MÉTODOS DE CONTAGEM. Joaquim H. Vianna Neto. Relatório Técnico RTE-02/2013. Relatório Técnico Série Ensino

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE IÊNIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTIA MÉTODOS DE ONTAGEM Jaquim H Viaa N Relatóri Técic RTE-02/2013 Relatóri Técic Série Esi

2 Métds de ctagem br/jaquim 11 Itrduçã A pricípi, pde parecer desecessária a existêcia de métds para realizar uma ctagem Ist de fat é verdade se úmer de elemets que querems ctar fr peque Etrat, se úmer de elemets fr grade, a ctagem pde se trar uma tarefa árdua Exempl 11: Seja A cjut de úmers de 3 algarisms distits Assim, A {123, 124, 125,, 875, 876} Observe que é trabalhs bter tds s elemets deste cjut e depis ctá-ls rre-se risc de haver missões u repições de elemets Resultad 11: siderems s cjuts A {a 1, a 2,, a } e B {b 1, b 2,, b m } Pdems frmar m pares rdeads a, b, de a A e b B O diagrama de árvre, ilustrad abaix, pde ser usad para visualizar s pares rdeads a 1 a 2 a b 1 b 2 b m b 1 b 2 b m b 1 b 2 b m a 1, b 1 a 1, b 2 a 1, b m a 2, b 1 a 2, b 2 a 2, b m a, b 1 a, b 2 a, b m br/jaquim Exempl 12: siderems 3 cidades: X, Y e Z Suphams 4 rdvias que ligam X à Y e 5 que ligam Y à Z frmas pdems chegar até Z? Sluçã: Partid de X e passad pr Y, de quatas Jaquim N br/jaquim págia 7 de 73

3 𝒃𝟏 m aq /j 𝒃𝟐 𝒃𝟑 𝒁 b r 𝒃𝟒 𝒃𝟓 𝒂𝟑 𝒂𝟒 𝒀 ui 𝒂𝟐 𝑿 𝒂𝟏 Sejam A {a1, a2, a3, a4 } cjut das rdvias que ligam X à Y e B {b1, b2, b3, b4, b5 } cjut das rdvias que ligam Y à Z ada md de viajar de X até Z pde ser assciad a um par a, b, cm a A e b B Lg úmer de mds de viajar de X até Z é 4 5 úmer de pares rdeads Defiiçã 11: Seja um úmer atural iteir ã egativ O fatrial de, idicad pr, é defiid pr: , para 2, 1 1 e 0 1 Exempl 13: Pricípi fudametal da ctagem Resultad 12 Primeira parte d pricípi fudametal da ctagem: siderems s cjuts A1, A2,, A O úmer de -uplas rdeadas sequêcias de elemets d tip a1, a2,, a tais que ai Ai i {1, 2,, } é #A1 #A2 #A 𝑨𝟐 m 𝑨𝟏 𝑨𝒏 br /j a qu i Jaquim N 𝒂𝟏, 𝒂𝟐,, 𝒂𝒏 br/jaquim págia 8 de 73

4 Exempl 14: Três classes diferetes ctém 20, 18 e 25 estudates e ehum estudate é membr de mais de uma das classes Se uma equipe deve ser cmpsta pr um estudate de cada classe, de quats mds diferetes s membrs desta equipe pdem ser esclhids? Sluçã: Sejam A1, A2, A3 cjuts que represetam as 3 classes ada equipe 𝑨𝟐 𝑨𝟑 b r/j a qu i m 𝑨𝟏 esclhida pde ser assciada a um vr a1, a2, a3, cm ai Ai 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑 Lg, aplicad a primeira parte d pricípi fudametal da ctagem, úmer de mds que esta equipe pde ser esclhida é #A1 #A2 #A Resultad 13 Seguda parte d pricípi fudametal da ctagem: Sejam A {a1, a2,, a } e p O úmer de sequêcias vres d tip b1, b2,, bp tais que bi A i {1,, p} e bi, bj para i, j é 1 2 p + 1 {z } p p fatres b r/j a q ui m e 𝑨 t Em utras palavras, úmer de sequêcias de tamah p frmadas cm elemets distits 2 a 2 de A é / p 𝒃𝟏, 𝒃𝟐,, 𝒃𝒑 𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒃𝒑 Jaquim N br/jaquim págia 9 de 73

5 Exempl 15: Em um campeat de futebl participam 20 times Quats resultads sã pssíveis para s 3 primeirs lugares? Sluçã: Seja A cjut ds times que participam d campeat Os resultads pssíveis para s 3 primeirs lugares pdem ser assciads a sequêciasvres b1, b2, b3 de elemets distits dis a dis esclhids em A aq ui m 𝑨 br /j 𝒃𝟐 𝒃𝟑 f jf 𝒃𝟏 𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑 𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒃𝟑 Lg, aplicad a seguda parte d pricípi fudametal da ctagem, úmer de resultads pssíveis para s 3 primeirs lugares é m verems exempl a seguir, algumas vezes as sequêcias a serem ctadas pssuem tamahs diferetes, que impede us d pricípi fudametal da ctagem Exempl 16: Uma pessa laça uma meda sucessivamete até que crram duas caras csecutivas u quatr laçamets sejam feits, que crrer primeir Quats sã s resultads pssíveis? Sluçã: N diagrama abaix, represetams s resultad cara e cra cm e, respectivamete m pdems ver, úmer de resultads pssíveis é 12 4 laçamet 3 laçamet 1 laçamet br /j a qu i m 2 laçamet Jaquim N br/jaquim págia 10 de 73

6 13 Arrajs Defiiçã 12: Um arraj é uma sequêcia frmada cm s elemets de um cjut Um arraj de elemets distits é chamad de arraj sem repiçã O úmer de arrajs cm p elemets de um cjut A cm elemets será detad pr A,p e chamad de arraj de tmad p a p Para úmer de arrajs sem repiçã, usarems a taçã AS,p e direms arraj sem repiçã de tmad p a p Arraj sem repiçã Arraj A b r/j a qu im A 𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑,, 𝒃𝒑 𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒃𝒑 𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑,, 𝒃𝒑 Obs: Para frmar um arraj, ã é precis usar tds s elemets d cjut Resultad 14: Pel pricípi fudametal da ctagem, tems que A,p p e AS,p, p para p Exempl 17: As placas ds autmóveis sã frmadas pr 3 lras 26 lras alfab seguidas de 4 algarisms úmers de 0 a 9 Quatas placas pdem ser frmadas? Sluçã: Seja A um cjuts de sequêcias de 3 lras e B um cjut de sequêcias de 4 algarisms Pel pricípi fudametal da ctagem, tems que #A A26,3 263 e #B A10,4 104 Assim, cada placa pde ser assciada a um par a, b tal que a A e b B Aplicad vamete pricípi fudametal da ctagem, úmer de placas que pdem ser frmadas é #A #B Jaquim N br/jaquim págia 11 de 73

7 Exempl 18: Uma liha ferrviária tem 16 estações Quats tips de bilhes devem ser impresss, se cada tip deve assialar a estaçã de partida e a de chegada Sluçã: Seja A cjut de estações da liha ferrviária ada bilhe pde ser assciad a um par a1, a2, tal que a1 A, a2 A e a1, a2 pricípi fudametal da ctagem, úmer de bilhes é Lg, pel AS16, Exempl 19: Os caracteres em códig MORSE sã frmads pr sequêcias de traçs - e pts, sed permitidas repições Pr exempl: a Quats caracteres pdem ser represetads usad 3 símbls? b Quats caracteres pdem ser represetads usad máxim 8 símbls? Sluçã: a Seja A {, } ada caracter de 3 símbls pde ser assciad a um vr a1, a2, a3, tal que a1, a2, a3 A Pel pricípi fudametal da ctagem, tems que úmer de caracteres de 3 símbls é A2, b O úmer de caracteres usad p símbls é A2,p e, csequetemete, úmer de caracteres cm máxim 8 símbls é a sma d úmer de caracteres btids cm p 1, 2,, 8 símbls, u seja, A2,1 + A2,2 + + A2, Permutações Defiiçã 13: Uma permutaçã, é uma sequêcia de elemets distits frmada b r/j a qu im A cm tds s elemets de um dermiad cjut O úmer de permutações de um cjut cm elemets será detad pr P e chamad simplesmete de permutaçã de elemets 𝒃𝟏, 𝒃𝟐,, 𝒃𝒏 𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒃𝒏 Jaquim N br/jaquim págia 12 de 73

8 Obs: Para frmar uma permutaçã, tds s elemets d cjut devem ser utilizads Resultad 15: Pel pricípi fudametal da ctagem, tems P AS, Exempl 110: Quats aagramas pssui a palavra Jaquim? Sluçã: Seja A cjut das lras da palavra Jaquim m cada aagrama é uma permutaçã ds elemets de A, tems que a quatidade prcurada é P Permutações cm repiçã Resultad 16: Seja A {a1,, ar } um cjut qualquer Uma sequêcia cm 1 elemets iguais a a1, 2 elemets iguais a a2, r elemets iguais a ar é uma permutaçã cm repiçã ds elemets de A Sed r, úmer ttal de sequêcias deste tip é 1 2 r b r/j a qu im A,2,,r P1,,,,,, 𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑, 𝒃𝟒, 𝒃𝟓,, 𝒃𝒑 Exempl 111: Um bairr é frmad pr 12 quarteirões dispsts segud a figura abaix Uma pessa sai d pt P e camiha até pt Q, sempre usad Jaquim N br/jaquim págia 13 de 73

9 camih mais curt mved-se sempre da esquerda para direita u de baix para cima gráfic Nestas cdições, quats camihs diferetes ela pderá fazer? b r/j a qu i m Q P Sluçã: Usad V para detar um mvimet vertical e H para um mvimet hriztal, cada camih pde ser assciad a uma sequêcia cm 3 elemets iguais a V e 4 elemets iguais a H Pr exempl, a sequêcia V, V, V, H, H, H, H represeta 3 mvimets verticais seguids de 4 mvimets hriztais Deste md, prblema se resume a ctagem de sequêcias cm elemets repids Lg, a quatidade prcurada é P 16 3, mbiações Defiiçã 14: Seja A um cjut qualquer Um subcjut de A é chamad de cmbiaçã ds elemets de A O úmer de cmbiações cm p elemets b r/j a qu im A de um cjut cm elemets é detad pr,p e chamad de cmbiaçã de tmad p a p 𝒃𝟏, 𝒃𝟐,, 𝒃𝒑 𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒃𝒑 Obs: Uma utra taçã para,p é p É imprtate tar a difereça etre cmbiaçã e arraj sem repiçã Em uma cmbiaçã a rdem ds elemets ã imprta, u seja, elemets que diferem apeas pela rdem sã ctads cm um úic elemet Já em um Jaquim N br/jaquim págia 14 de 73

10 arraj, a rdem imprta, u seja, sequêcias cm s mesms elemets, mas em rdem diferete sã ctadas separadamete Resultad 17: A cmbiaçã de tmad p a p é dada pr,p pp Exempl 112: Detre 10 hmes e 8 mulheres, quatas cmissões de 5 pessas pdem ser frmadas, sed que em cada uma deve haver 3 hmes e 2 mulheres? Sluçã: Seja A cjut ds subcjuts de 3 hmes e B cjut ds subcjuts de 2 mulheres Pel resultad 16, tems que #A 10,3 120 e #B 8,2 28 Além diss, cada cmissã pde ser assciada a um par a, b, cm a A e b B Lg, pela primeira parte d pricípi fudametal da ctagem, úmer de cmissões é #A #B Triâgul de Pascal O triâgul de pascal é uma frma de rgaizar s resultads de p para diferetes valres de e p A figura abaix apreseta triâgul br/jaquim A seguir, verems algus resultads relaciads à cmbiações e, csequetemete, a Triâgul de Pascal Resultad 18: N, tems que Herique N Jaquim N br/jaquim págia 15 de 73

11 Prva: Resultad 19: N, tems que 1 Prva: 1 Resultad 110 Relaçã de Stiefel: Se, p N e > p 0 etã p + p p + 1 Prva: p + p + 1 p p + p + 1 p 1 p p + p + 1 p p p + p p + 1 p p + p p 1 p + 1 p 1 p p p p + 1 p p p p p p 1 p + 1 p p p + 1 p + 1 Pdems usar s resultads acima para fazer cálcul das cmbiações d triâgul de pascal Nte que: m 1 N, tds s elemets da clua 0 sã iguais a 1 0 Jaquim N br/jaquim págia 16 de 73

12 m 1 N, últim elemet de cada liha é igual a 1 ada elemet d triâgul que ã seja da clua 0 em últim de cada liha é igual à sma daquele que está a mesma clua e liha aterir cm elemet que se situa à esquerda deste últim Relaçã de Stifel A figura abaix ilustra pass-a-pass cm a relaçã de Stiefel pde ser usada para cstruir triâgul de Pascal br/jaquim Resultad 111: Se, p N e p, etã p p Prva: p p [ p ] Herique N 29 p p p O resultad aterir afirma que s elemets de uma liha d triâgul de Pascal eqüidistates ds extrems sã iguais Veja a figura abaix br/jaquim Resultad 112: N, tems Herique N Jaquim N br/jaquim págia 17 de 73

13 Prva: Seja A um cjut cm elemets m é úmer de p subcjuts cm p elemets d cjut A, tems que é úmer ttal de subcjuts de A Pesad de utra frma, para frmar um subcjut, tems duas pções de esclha para cada elemet de A: u elemet está subcjut u ã está m A tem elemets, terá 2 subcjuts Jaquim N br/jaquim págia 18 de 73

14 18 Exercícis Exercíci 11 Três classes diferetes ctém 20, 18 e 25 estudates e ehum estudate é membr de mais de uma das classes Se uma equipe deve ser cmpsta pr um estudate de cada classe, de quats mds diferetes s membrs desta equipe pdem ser esclhids? Quats resul- Exercíci 12 Em um campeat de futebl participam 20 times tads sã pssíveis para s 3 primeirs lugares? Exercíci 13 Um cfre pssui um disc marcad cm s dígits 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 O segred d cfre é frmad pr uma sequêcia de 3 dígits distits Se uma pessa tetar abrir cfre, quatas tetativas deverá fazer máxim para cseguir abri-l? Supha que a pessa sabe a quatidade de dígits d segred e que este é frmad pr dígits distits Exercíci 14 De quatas frmas 6 pessas pdem setar-se uma fileira de 6 cadeiras se duas delas, Jaquim e Rafael, se recusam a setar um a lad d utr? Exercíci 15 sidere 10 cadeiras umeradas de 1 a 10 De quatas maeiras 2 pessas pdem setar-se, deved haver a mes uma cadeira etre eles? Exercíci 16 Quats aagramas da palavra estud cmeçam e termiam cm vgal? Exercíci 17 sidere 2 uras A primeira cm 4 cartas umeradas de 1 a 4 e a seguda cm 3 cartas umeradas de 7 a 9 Duas cartas sã extraídas da primeira ura, sucessivamete e sem repsiçã, e em seguida duas cartas sã extraídas da seguda ura, sucessivamete e sem repsiçã Quats úmers de 4 algarisms pdem ser frmads cm s úmers das cartas btidas? Exercíci 18 m s algarisms 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quats úmers de 4 algarisms cm pel mes dis algarisms iguais existem? Exercíci 19 De quatas frmas 5 meis e 5 meias pdem ficar em fila, de md que meis e meias devem ficar em psições alteradas? Exercíci 110 Dez pessas, detre elas Atôi e Beatriz, devem ficar em fila De quatas frmas ist pde ser feit de md que Atôi e Beatriz fiquem sempre juts? Exercíci 111 De quatas frmas 4 hmes e 5 mulheres pdem ficar em fila se a s hmes devem ficar juts? b E se s hmes devem ficar juts e as mulheres também? Exercíci 112 sidere 15 livrs em uma estate, ds quais 4 sã de prbabilidade De quatas frmas pdems clca-l em uma prateleira da estate de md que s livrs de prbabilidade fiquem sempre juts? Exercíci 113 Quats aagramas existem da palavra AMARILIS? Jaquim N br/jaquim págia 19 de 73

15 Exercíci 114 Uma ura ctém 3 blas vermelhas e 2 amarelas, que se distiguem apeas pela cr Quatas sequêcias de cres sã pssíveis de bservar extraid uma a uma sem repsiçã? Exercíci 115 Quats úmers de 7 algarisms existem s quais cmparecem uma só vez s algarisms 3, 4 e 5 e quatr vezes algarism 9? Exercíci 116 Uma meda é laçada 20 vezes cras existem cm 10 caras e 10 cras? Quatas sequêcias de caras e Exercíci 117 Quats prduts pdems bter se tmarms 3 fatres distits esclhids etre 2,3,5,7 e 11? Exercíci 118 Um time de futebl de salã deve ser escalad a partir de um cjut de 10 jgadres, etre eles Jaquim e ai Quats times de 5 jgadres pdem ser frmads se Ari e Arald devem ser escalads ecessariamete? Exercíci 119 sidere 10 hmes e 10 mulheres Quatas cmissões de 5 pessas pdems frmar se em cada uma deve haver 3 hmes e 2 mulheres? Exercíci 120 Uma ura ctém 10 blas bracas e 6 pras, tdas marcadas cm símbls distits Quats cjuts de 7 blas riradas desta ura pdems frmar de md que pel mes 4 blas d cjut sejam pras? Exercíci 121 Em uma reuiã, cada pessa cumprimetu tdas as utras, haved a td 45 aperts de mã Quatas pessas haviam a reuiã? Exercíci 122 Um químic pssui 10 tips diferetes de substâcias De quats mds pssíveis pderá assciar 6 diferetes tips destas substâcias, sed que dis tips smete ã pdem ser jutads pis prduzem mistura explsiva? Exercíci 123 Quatas diagais tem um plíg regular de lads? Exercíci 124 Obter úmer de maeiras que ve algarisms iguais a 0 e seis algarisms iguais a 1 pdem ser clcads em sequêcia de md que dis us ã cmpareçam juts Exercíci 125 Quats subcjuts de 5 cartas cted exatamete 3 ases pdem ser frmads de um baralh de 52 cartas? Exercíci 126 A dirria de uma firma é cmpsta pr 7 dirres brasileirs e 4 japeses Quatas cmissões pdem ser frmadas cm 3 dirres brasileirs e 3 japeses? Exercíci 127 Em um grup de 15 pessas existem 5 médics, 7 egeheirs e 3 advgads Seleciad pessas este grup, quatas cmissões de 5 pessas pdems frmar, de md que cada cmissã seja cstituída de 2 médics, 2 egeheirs e 1 advgad? Exercíci 128 Um hmem pssui 8 pares de meias distits De quatas frmas ele pde seleciar esclher dis pés de meia um direit e um esquerd de md que eles sejam de pares diferetes? Jaquim N br/jaquim págia 20 de 73

16 Exercíci 129 m s algarisms 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quats úmers de algarisms distits existem etre 500 e 1000? Exercíci 130 m s algarisms 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quats úmers pares de 3 algarisms distits pdems frmar? Exercíci 131 Quats úmers pares de 3 algarisms pdems frmar cm s algarisms 1, 3, 6, 7, 8 e 9? Exercíci 132 Suphams que tds s úmers btids a partir da permutaçã ds algarisms 1,2,4,6 e 8 fram dispsts em rdem crescete Qual psiçã cupa úmer 68412? Jaquim N br/jaquim págia 21 de 73

17 19 Respstas ds exercícis a ; b , , ,3 10, ,4 10,3 + 6,5 10,2 + 6,6 10, , ,6 8, , , ,3 48, ,3 4, ,2 7,2 3, Jaquim N br/jaquim págia 22 de 73