I Documento nº. 4 I 4. TEORIA DAS FILAS DE ESPERA. 4.1 FILA DE ESPERA COM VilRIAS ESTAÇÕES. 4.2 FILA DE ESPERA COM VilRIAS ESTAÇÕES E NUMERO LIMITADO

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1 N O R 11 A, S,A. R,L, Sciedade de Estuds para Desevlvimet de Empresas A HVESTGAÇÃO OPERACONAL NA EMPRESA Dcumet º. 4 1 N D C E Capítul ESTUDO ELEMENTAR DE ALGUNS MODELOS E TJ;1CliiCAS UTLZADAS NA NVESTGAÇÃO OPERACONAL (ctiuaçã) Pág. 4. TEORA DAS FLAS DE ESPERA FLA DE ESPERA COM VilRAS ESTAÇÕES FLA DE ESPERA COM VilRAS ESTAÇÕES E NUMERO LMTADO DE CLENTES

2 Capítul ESTUDO ELE1ffiNTAR DE ALGUNS MODELOS E TCNCAS UTLZADAS NA NVESTGAÇÃO OPERACONAL (ctiuaçã) 4. TEORA DAS FLAS DE ESPERA A teria das filas de espera agrega c,jut de mdels tc;mátics estcástics cstruíds para estud ds feómes de espera que surgem crretemete a vida qutidiaa. Ns 11guichets11 das gares, ds bacs e ds crreis, s relógis de pt de um serviç, tráfeg, efim, em umersas situações, deparams cm um feóme que se pde caracterizar d md seguite: Certas uidades chegam de uma maeira aleatória a um lcal de lhes é prestad determiad serviç. Nesse lcal há uma u várias estações. de as uidades sã servidas segud a sua rdem de chegada e durate um períd de temp aleatóri. Se, mmet de chegada a lcal de certa uidade, tdas as estaçes estã cupadas, ela terá de igressar um fila de esj:>era u bich l:_, a;guardad mmet de ser servida. N quadr abaix idicad apresetam-se diverss feómes de espera, especificad-se para cada cas, as uidades, a atureza d serviç e as estações: r-: u l_ d a d e _ s ṟ_e_ z_a d s_e_r_ v_l_- ç _ E _s_ t _ aç_õ_ e _s Clietes! Veda de um artig Vededres Chamadas telefóicas 11 Cversaçã Circuits telefóics Aviões Aterragem Pistas Barcs Descarga Cais Máquias para reparar Reparaçã Mecâics Miutas Dactilgrafia Dactilógrafs Mesages Decifraçã Decifradres Ecmedas j Prduçã Oficias

3 O prblema ecómic g_ue se põe a prpósit ds feómes de espera c_g_ siste a ptimizaçã de certa fuçã bjectiv g_ue geralmete ada ass ciada as custs evlvids feóme e à eficiêcia d serviç. Essa ptimizaçã traduz-se, pr exempl, a mdificaçã d úmer de estações, a alteraçã d temp médi de serviç em uma u mais estações, a partiçã de uma fila u a reuiã de várias, etc Façams as hipóteses seguites: -2-1ª) A chegada de uma uidade é idepedete da de utra (id pedêcia das chegadas). 2ª) Nuca chegam duas uidades u mais a mesm temp. 3ª) A taxa média das chegadas ã varia temp. Nestas cdições desigad pr p (t) a prbabilidade de g_ue _g_ chegadas se prduzam durate um iterval de temp igual a 1, pde demstrar- -se g_ue 1) p (t) =. - ), t (}t)! de A represeta a taxa média de chegadas referida à uidade de temp esclhida. Rechece-se g_ue 1) cm valr esperad é a fuçã de freg_uêcias da distribuiçã E () = Á. t 6 2 ; de Piss e varlacla = t A prbabilidade d iterval g_ue separa duas chegadas csecutivas ser superir a um cert valr G é igual à prbabilidade de ã se bservar ehuma chegada iterval e e, prtat, e, igual a e -AG Se desigarms pr F(e) a fuçã de distribuiçã da lei de e, tem-se 2) F(e) = 1-e} e e a fuçã de freg_uêcias é 3) f(g) =./... 6"9 (lei expecial).

4 -3- O valr esperad e a variâcia sã E(G) = 1/ (temp médi etre as chegadas) e c= l/ 2 Qualquer das fuções de desidade l) e 3) caracteriza uma fila cm chegadas de Piss prque é pssível deduzir uma da utra. A duraçã d serviç pde ser cstate, variável mas determiada u aida aleatória, Quad é aleatória, a sua lei de prbabilidade apr seta-se frequetes vezes sb a frma expecial. Desigad pr s uma variável aleatória que represeta temp que a estaçã leva a cmpletar serviç, uma uidade, etã a fuçã de desidade de s é 4) g(s) A taxa média de serviç para uma estaçã particular é /u. E é clar que 11. é temp médi de serviç. Vams ver seguidamete cm s elemets estudads aterirmete pdem ser cmbiads para frecerem ifrmaçã referete a sistema de espera (filas + estações). Seja S úmer de estações; úmer de uidades a fila de espera; j úmer de uidades que estã a ser servidas as estações (j?s); úmer ttal de uidades sistema ( = V+j); P (t) a prbabilidade de que haja uidades sistema is tate - t, V umer de estações icupadas -, v, j, valres esperads de v, ( s, j e (l ; t f temp médi de espera a fila ates d serviç 4.1 FLA DE ESPERA COM v,mias ESTAÇÕES Neste cas, cm j < S, ã há fila de espera e tda a uidade que

5 -chega é imediatamete servida (v), A ctrári, se js, pde frmar-se uma fila de espera e. V. Supd ue as prbabilidades sã idepedetes d temp (regime permaete), faça-se i ;;.c A uatidade Y;s, cha- mada itesidade d tráfic pr estaçã, terá de ser tal ue \/S < l 9. quer dizer /<S, seã a fila trar-se-ia ifiita ( úmer médi de chegadas seria superir a das saídas), p (t) a) Prbabilidade P de um úmer de uidades sistema l <S 2) p p t S! s -s s de 3) p l y s -; 4! 2 S! ( 1- f!/s) + l + -- l + +.,+ S-1! Em particular, cas de uma estaçã úica, s1, tem-se 4) p l -V 5) p (l -ij) r. Pdem também utilizar-se, para cálcul de P as f6rmulas de. recrrec1a 6) p 7) p _L_ p -1 l 3 «: S p s -1 -E s. b) Númer médi de uidades sistema De 00 - L. p vem

6 -5- s) r 2 = \v+ 2 2! \) +!_ + " S / S+l i (S+l) ST + S! (S-V ) s J/ + Em particular, para S=l, vem 9),; l- r c) Númer médi de uidades a fila de espera Calculad valr esperad da variável aleatória V=-s, vem ([) v=l =S+l (-S) P u lo) ) = SS!, 1S+l T p (l- V/s) 2 Em particular, cm S=l, tem-se d) Húmer médi r, de estações icupadas Para S=l, vem Jl_. 11) (1 =L (s-) P = s-lf. = 12) r =

7 -6- As médias \) e f estã ligadas pela relaçã - 13) = -,. + s - = \) +{ e) Prbabilidade de espera r Desigad pr P a prbabilidade de espera, é clar que P é a prbabili ide dü qur; S. Etã 9 c p = L. =S p que dá 14) s ij)., S! (l- 1V/S) p Tem-se f) Temp médi de espera t f! a fila e daqui vem ) 15) t f = = A. l /s) 2 p C- (l- "" Para S=l, vem 16) t Ui - \!. r = f = k l- "V 4.2 FLA DE ESPERA COM VÁRAS ESTAÇÕES E NtT!ERO LMTADO DE UNDADES Supd S <: m, de m desiga úme:zr de uidades cjut d fe6me, este pde ser caracterizad d md seguite: se l 2 S, há S- estações icupadas, se S< " m há S uidades que estã a ser servidas e -S a fila de espera, a) Prbabilidade P de um úmer de uidades sistema

8 -7- Prva-se g_ue l) p = c J m l p -=;. -2- s 2) p =! S! 8 - S c t p s m = l m cm m \ L_ = p = l Pdem também utilizar-se fórmulas de recrrêcia. Escreved 3) a = P /P, vem a = l 4) a = m-+l \/ a -l 5) a = m-+l ;,,_) s a -l Da relaçã m \-- p = l - p L_ =l resulta 6) p = l D,- - l+l a =l N cas de uma estaçã úica, as fórmulas a utilizar sã: 7) p m! = (m-)! r p

9 -8- cm 8) p l m! ti ) (m-)! e l1l L P :: l u aida a fórmula de recrrêcia 9) P (m-+l) f P -l b) Núers médis de uidades a fila, de estações icupadas e de uidades sistema Os úmers - e sã dads pelas fórmulas m lo) > (-S) p S+l ll) tl s \--- / (s-) p 12) s- + r N cas de uma estaçã úica (Sl), tem-se 13) (l-p ) 14) r p 15) - l m - ( l-p )

10 -9- c) Prbabilidade de espera e temp médi de espera a fila Obtêm-se as fórmulas m \ 16) p = L =S p 17) e, cas de uma estaçã úica (S=l), 18) p = 1 - p 19) tf 1 m 1+ V = r 1-P \li i \ Vejams uma aplicaçã umérica de algus ds resultads que acabáms de estabelecer, Exempl i As chegadas a uma cabie telefóica bedecem a uma lei de Piss, cm um temp médi de 10 miuts etre uma chegada e a seguite, A duraçã de uma cversaçã distribui-se expecialmete cm a média de 3 miuts, a) Qual é a prbabilidade de uma pessa que chega à cabie ter de esperar? b) A cmpahia ds telefes istalará uma seguda cabie quad uma chegada teha de esperar pel mes três miuts pel telefe, Qual deverá ser acréscim de chegadas para justificar a istalaçã de uma seguda cabie? Neste prblema, tem-se }, =!J-= l P = 0,1 0,33 chegadas pr miut cversações pr miut 0,1-0,33-3

11 -10- Etã a) p = t! p = 1- V.1; + 1- / ( 1- ;-\) = \j) i = 0,3 b) tf = 1 \j/ 1 A = 1- \ji f - "! A. u = 3 J, ;f r\ ) 0,33 (0,33-.\ dde! = 0,16 chegadas pr miut,. O flux de chegadas de,lx60= 6 pr hra deve aumetar para O,l6x60 = 9,6,; 10 pr hra pira q_ue c. cp::mhia!:!ote uc1a vu cabie, Existem utrs mdels matemátics para estud de filas de espera múltiplas cm priridades de serviç, cm distribuições das chegadas e ds serviçs diferetes da lei de Piss, etc Em muits cass que surgem a prática ã é pssível ajustar fuções de distribuiçã i1s distribuições empíricas das chegadas e ds serviçs e é ecessári recrrer as mtds de Mte-Carl para reslver esses prblemas.