Miguel Angelo Gaspar Pinto. Posicionamento e Calibração de um Manipulador Robótico Submarino com Uso de Visão Computacional. Dissertação de Mestrado

Transcrição

1 Mguel Angelo Gapar Pnto Poonamento e Calbração de um Manpulador Robóto Submarno om Uo de Vão Computaonal Dertação de Metrado Dertação apreentada omo requto paral para obtenção do grau de Metre pelo Programa de Pógraduação em Engenhara Elétra do Departamento de Engenhara Elétra da PUC-Ro. Orentador: Prof. Rardo Tanhet Co-Orentador: Prof. Maro Antono Meggolaro Ro de Janero Agoto de 6

2 Mguel Angelo Gapar Pnto Poonamento e Calbração de um Manpulador Robóto Submarno om Uo de Vão Computaonal Dertação apreentada omo requto paral para obtenção do grau de Metre pelo Programa de Pó-Graduação em Engenhara Elétra do Departamento de Engenhara Elétra do Centro Téno Centífo da PUC-Ro. Aprovada pela Comão Examnadora abaxo anada. Prof. Rardo Tanhet Orentador Departamento de Engenhara Elétra PUC-Ro Prof. Maro Antono Meggolaro Co-Orentador Departamento de Engenhara Meâna PUC-Ro Prof. Raul Queroz Fetoa Departamento de Engenhara Elétra PUC-Ro Prof. Pedro Magalhãe Gumarãe Ferrera Departamento de Engenhara Elétra PUC-Ro Prof. Joé Frano Mahado do Amaral UERJ Prof. Joé Eugeno Leal Coordenador Setoral do Centro Téno Centífo Ro de Janero, 3 de agoto de 6

3 Todo o dreto reervado. É probda a reprodução total ou paral do trabalho em autorzação da unverdade, do autor e do orentador. Mguel Angelo Gapar Pnto Graduou-e em Engenhara de Controle e Automação (Pontfía Unverdade Católa) em 4. Trabalhou por meo ano na área de ontrole ante de omeçar metrado na área de Proeamento de Sna e Controle na Pó-Graduação da PUC- Ro. Sua área de nteree abrangem robóta, ontrole de tema, vão omputaonal e ntelgêna artfal. Fha Catalográfa Pnto, Mguel Angelo Gapar Poonamento e albração de um manpulador robóto ubmarno om uo de vão omputaonal / Mguel Ângelo Gapar Pnto ; orentador: Rardo Tanhet ; o-orentador: Maro Antono Meggolaro. Ro de Janero : PUC, Departamento de Engenhara Elétra, 6. 6 f. : l. ; 3 m Dertação (metrado) Pontfía Unverdade Católa do Ro de Janero, Departamento de Engenhara Elétra. Inlu referêna bblográfa.. Engenhara elétra Tee.. Robóta. 3. Calbragem. 4. Vão omputaonal. 5. Controle. 6. Intelgêna artfal. 7. Reonhemento de padrõe. 8. Ratreamento. I. Meggolaro, Maro Antono. II. Tanhet, Rardo. III. Pontfía Unverdade Católa do Ro de Janero. Departamento de Engenhara Elétra. VI. Título. CDD: 6.3

4 À mnha famíla por todo o apoo.

5 Agrademento À CAPES, pelo apoo fnanero; Ao orentador Maro Antôno Meggolaro, pela oportundade; Ao orentador Rardo Tanhet, pelo apoo; Ao profeor Raul Fetoa, pela parte de vão omputaonal; À PUC-Ro pelo eu exelente orpo aadêmo que me deu a bae para ete etudo; À mnha famíla, que próxma ou dtante, me nentvou nea jornada;

6 Reumo Pnto, Mguel A.G; Tanhet, Rardo (Orentador). Poonamento e Calbração de um Manpulador Robóto Submarno om Uo de Vão Computaonal. Ro de Janero, 6. 6p. Dertação de Metrado Departamento de Engenhara Elétra, Pontfía Unverdade Católa do Ro de Janero. Muto do robô ndutra utlzado atualmente eguem uma programação baeada em ratreamento de trajetóra. O robô é guado por um operador humano para loalzaçõe fxa onde ele atuará. Ee movmento ão, então, gravado na lnguagem de programação redente no ontrolador do robô, de forma que ete eja apaz de repetr a tarefa. Ete método pode er ufente para, por exemplo, movmentar objeto entre loa fxo. Como o robô etá trenado para e movmentar em poçõe fxa, toda a parte do manpulador, bem omo todo o objeto que erão manpulado devem etar em poçõe bem defnda, ou uma nova programação deverá er feta. Outra metodologa é a de teleoperação, na qual a movmentação de tema robóto é exeutada em modo manual, no qual o operador trabalha em uma arqutetura metre-eravo ontrolando dreta e ontnuamente a poçõe do manpulador. Para ea tarefa é neeáro apena que o tema poua um alto grau de repetbldade, uma vez que quaquer erro aboluto de poonamento ão vualmente ompenado pelo operador humano. Porém em erta aplaçõe robóta ea téna de programação de manpuladore ão mpratáve ou natfatóra. A prmera vem a er mpratável no ao de alta varabldade do ambente onde a tarefa etá endo feta. O egundo método atrbu ao robô uma preão aboluta baxa, devdo a própra defêna da perepção humana. Ete trabalho egue pela tendêna moderna de automação, a qua vêm oloando uma reente ênfae em robô guado por enore e programação off-lne, automatzando total ou paralmente muta da tarefa a erem exeutada. Senore, omo âmera lgada a um tema de vão omputaonal, detetam dferença entre a poção real do manpulador e a poção deejada. Eta dferença ão então envada para o ontroladore, para que ete orrjam a trajetóra pré-programada. O omando de movmento do manpulador ão programado off-lne por um tema de CAD, em a needade de atvar o robô, permtndo maor velodade em ua valdação e na reolução de problema. Apreentam-e nete trabalho metodologa e téna para o poonamento do manpulador utlzando-e, para tanto, âmera em ua extremdade. Uma vez poonado o manpulador em relação ao epaço de oordenada do mundo, é poível deloá-lo om egurança e preão em ua área de trabalho, o que é mprendível para automatzação de tarefa omplexa. O trabalho etá onentrado na aplaçõe de téna de vão omputaonal à albração de manpuladore. Como etudo de ao utlza-e uma tuação real, de um manpulador ubmarno de e grau de lberdade, para ntervençõe ubmarna em plataforma de petróleo. Abordam-e a albração de âmera, reonhemento de padrõe, orrelação de padrõe em magen dtnta, etereoopa, nemáta dreta e nvera de manpuladore e a unão de toda eta téna para o poonamento do manpulador em ua área de trabalho. Palavra-have Robóta; Calbragem; Vão Computaonal; Controle; Intelgêna Artfal; Reonhemento de Padrõe; Ratreamento.

7 Abtrat Pnto, Mguel A.G; Tanhet, R. (Advor). Potonng and Calbraton of a Underwater Robot Manpulator wth Ue of Computaonal Von. Ro de Janero, 6. 6p. MS Dertaton Departamento de Engenhara Elétra, Pontfía Unverdade Católa do Ro de Janero. Many of today ndutral robot are tll programmed to follow trajetore. The robot guded by a human operator to the dered fxed applaton loaton. Thee moton are reorded and are later edted, wthn the robot language redng n the robot ontroller, and played bak, for the robot to be able to repettvely perform t tak. Th methodology enough to move objet between fxed loaton. A the robot traned to move wthn fxed poton, all manpulator part, a well a all the objet whh wll be manpulated need to be n well defned poton, otherwe another program needed. Another methodology would be teleoperaton, where the robot ytem movement are exeuted n manual mode, havng the operator workng n a mater-lave arhteture, ontrollng dret and ontnuouly the poton of the robot. For thee tak t needed only for the ytem to have enough repeatablty, one any abolute potonng error an be vually ompenated by the human operator. On the other de, n ertan robot applaton, both programmng tehnque are ether not pratal or neffent. The frt, where the human operator teahe the trajetore to the robot, not poble when there hgh varane n the envronment where the tak beng performed. The eond method, the teleoperaton, ha low abolute auray, due the defene of human perepton. Th projet follow modern tendene of automaton, whh gve nreang empha on robot guded by enor and off-lne programmng, partally or ompletely automatng many of the tak to be exeuted. Senor uh a amera eloed to a ytem of omputatonal von detet dfferene between the atual and dered poton of the manpulator. Th nformaton ent to ontroller to orret the pre-programated trajetory. The manpulator movement ommand are programmed off-lne by a CAD ytem, wthout need even to turn on the robot, allowng for greatet peed on t valdaton, a well a problem olvng. Th work preent methodologe and tehnque whh allow the pree potonng of the manpulator ung amera n t end-effetor. One t potoned n relaton wth the world frame, t poble to move the manpulator wth afety and preon t work area, a needed for automaton of omplex tak. Th work foued on omputatonal von tehnque appled for manpulator albraton. It baed on a real ae of a ubea manpulator of x degree of freedom, ued for underwater nterventon n ol explorng platform. The ubjet treated n th work nlude amera albraton, pattern reognton, poton trakng, tereop, dret and nvere manpulator knemat and the unon of all tehnque for manpulator potonng n the work area. Keyword Robot; Calbraton; Computaonal Von; Control; Artfal Intellgene; Pattern Reognon; Trakng.

8 Sumáro. Introdução 4.. Motvação 4.. Objetvo do Trabalho 5.3. Derção do Trabalho 5.4. Organzação da Dertação. Modelagem Cnemáta para Calbração de Manpuladore.. Introdução.. Coneto Báo de Cnemáta 3.3. Convenção de Modelagem de Denavt-Hartenberg 5.4. Método Cláo de Calbração de Manpuladore 9.5. Elmnação de Erro Redundante Repreentação Fía do Erro Redundante Medda Para da Poção da Extremdade Cnemáta Invera Solubldade Vão Computaonal Introdução Modelagem da Câmera Modelo Pnhole Parâmetro Intríneo Parâmetro Extríneo Calbração de Câmera Emparelhamento de Ponto Deteção de Extremo no Epaço de Eala Loalzação Prea de Ponto-Chave Atrbução de Orentação Dertor Loal da Imagem Invarâna à Lumnodade Relaonamento de Ponto-Chave em Imagen Dtnta Reontrução Aplação ao Manpulador TA Introdução Derção do Manpulador Cnemáta do Manpulador Junta e Junta e Junta 3 e Junta 4 e Junta 5 e Junta Parâmetro de Denavt-Hartenberg Calbragem do Manpulador 68

9 4.5. Cnemáta Invera Vão Computaonal Câmera Correlação de Ponto Calbragem da Bae Reultado Introdução Smulação Cnemáta Cnemáta Dreta-Invera Jaobana de Identfação Smulaçõe em Vão Trangulação em Dtâna Trangulação em Função da Reolução Smulação de Calbração da Bae Conluõe e Sugetõe Contrbuçõe do Trabalho Sugetõe para Trabalho Futuro 9 7. Referêna Bblográfa 9 8. Apênde A Poção da Extremdade Jaobana de Identfação Apênde B 4

10 Lta de fgura Fgura Repetbldade e preão aboluta 6 Fgura Coordenada de referêna do dvero ubtema (elo) 3 Fgura 3 Parâmetro de Denavt-Hartenberg 7 Fgura 4 Tranlação e Rotação do tema devdo ao erro no -émo elo 3 Fgura 5 Erro Generalzado para -émo Elo 3 Fgura 6 Equema de Compenação de Erro 3 Fgura 7 Combnação lnear de erro tranlaona 36 Fgura 8 Combnação lnear de erro tranlaona 37 Fgura 9 Repreentação do modelo pnhole 4 Fgura Geometra do modelo pnhole 43 Fgura Modfaçõe ao modelo pnhole om bae na eala e alhamento do pxel da âmera. Fgura (a) motra o pxel egundo o modelo pnhole, fgura (b) motra um tema ma realta onde eala do exo x e y e dferenam, fgura () motra o problema de alhamento 43 Fgura Modelo pnhole modfado 44 Fgura 3 Tranformação de oordenada do mundo para a âmera 46 Fgura 4 Plataforma de Calbração 48 Fgura 5 - Tranformação do quadro do mundo para o quadro da âmera 48 Fgura 6- Vão de um memo objeto em âmera dtnta deloada por uma dtâna fxa 49 Fgura 7 Imagem (á equerda) ubmetda a gauana (no meo) e à dferença-do-gauano (à dreta) 5 Fgura 8 Repreentação do proedmento de obtenção de dferente dferença de gauana para dvera otava da magem 5 Fgura 9 Máxmo e mínmo da magen de Dferença-do-Gauano ão detetado omparando o pxel (marado por X) om eu 6 vznho em 3x3 regon na eala orrente e adjaente (marado por rulo) 5 Fgura Htograma de orentação do ponto-have 55 Fgura Ilutração da omputação de dertore de ponto-have 56 Fgura Trangulação 59 Fgura 3 TA4 e mnatura utlzada omo metre na tele-operação 6 Fgura 4 TA-4 e eu tema de oordenada 6 Fgura 5 Junta e 63 Fgura 6 Junta e 3 63 Fgura 7 Junta 3 e 4 65 Fgura 8 Junta 4 e 5 65 Fgura 9 Junta 5 e 6 66 Fgura 3 Junta 6 67 Fgura 3 Exo O,O 3 e O 4 obre a forma de nemata nvera de do grau de lberdade 7 Fgura 3 a/b Imagem de panel obtda om egundo de dferença durante tarefa 76

11 Fgura 33 a/b Imagem de panel om o ponto obtdo pelo algortmo SIFT 77 Fgura 34 Correlação de ponto 77 Fgura 35 Equema do algortmo para uma dtâna fxa, z 84 Fgura 36 Smulação de trangulação em função de dtâna de objeto à âmera 85 Fgura 37 Võe da mulação de albração da bae, om manpulador onfgurado om θ 6º, θ 3º, θ 3 º, θ 4 47º, θ 5 6º, θ 6 43º 87 Fgura 38 Võe de mulação de albração da bae, om manpulador onfgurado om θ 5º, θ -3º, θ 3 -º, θ 4 º, θ 5 8º, θ 6 º 87 Fgura 39 Võe de mulação de albração da bae, om manpulador onfgurado om θ º, θ 9º, θ 3-9º, θ 4 º, θ 5 9º, θ 6 º 88 Fgura 4 Stema de oordenada do TA-4 94 Fgura 4 Imagen de Calbração trada da âmera equerda e dreta 4 Fgura 4 Ponto obtdo na borda da magem 4 Fgura 43 Poção da âmera em relação ao tabulero 5

12 Lta de tabela Tabela Tabela de Parâmetro DH 67 Tabela Reultado da mulação de nemáta dreta-nvera 8 Tabela 3 Reultado da mulação om a Jaobana de Identfação 8 Tabela 4 Reultado da mulação de trangulação em dtâna 84 Tabela 5 Medda de erro de trangulação a partr da reolução e dtâna da âmera (erro em mlímetro). 85 Tabela 6 Reultado da mulação de Calbração da Bae 88

13 Abrevaçõe ROV TA-4 GEC SIFT DH Veíulo Submarno Robóto Manpulador Robóto Submarno Compenação de Erro Eláto e Geométro Tranformada de Propredade Invarante à Eala Denavt-Hartenberg

14 Introdução.. Motvação A motvação para ete etudo advém de um problema real de dvera aplaçõe em robóta, qual eja, o poonamento preo de robô em ambente dnâmo. Manpuladore robóto ão empregado há déada em ambente ndutra e neta aplaçõe geralmente não há needade de uma albração do manpulador devdo ao baxo nível de preão neeára e ao fato de toda ua área de trabalho ompreender poçõe fxa. É o ao, por exemplo, de robô que pntam arro em uma fábra de automóve. Porém, há aplaçõe em que a preão é fundamental, omo a nerção de omponente eletrôno em uma plaa de ruto. Nee ao, exte a needade de uma albração do manpulador para ompenar o erro de fábra e aumentar a preão. Método de albração de manpuladore foram etudado por epealta, tendo omo uma da ma mportante referêna o lvro Fundamental of Manpulator Calbraton de Moorng, Roth e Drel (99). Certa tarefa exeutada por manpuladore robóto requerem que ete reonheça ua área de trabalho e tome deõe baeado nete reonhemento. É o ao de um manpulador robóto utlzado em ntervençõe ubmarna. Tal manpulador dee a profunddade pergoa ao er humano e deve fazer tarefa em um ambente que muda a ada vez em que ele é tranportado à ua área de trabalho. A dfuldade envolvda no proeo de albragem de um manpulador em ambente ompletamente mutáve é um problema omplexo e pouo tratado na lteratura, motvando fortemente ete etudo.

15 5.. Objetvo do Trabalho O objetvo prnpa dete trabalho ão: Etudar téna de albragem de manpuladore era robóto, modelagem nemáta dreta e nvera. Etudar téna de vão omputaonal, epefamente modelo de âmera, reonhemento de padrõe e método de ratreamento de ponto. Buar método de poonamento da extremdade do manpulador em relação ao eu ambente de trabalho por uo de âmera Aplar a téna etudada na albração de um manpulador real, fazendo mulaçõe para demontrar a vabldade de aplar a téna em um ambente real..3. Derção do Trabalho É omum, em aplaçõe ndutra de manpuladore robóto, a programação de braço meâno por ratreamento de trajetóra, na qual um operador programa onde ada junta deverá e poonar em período ubequente do tempo. Deta forma, o manpulador poderá repetr o movmento e efetuar a mema tarefa repetdamente. Tal metodologa é ufente para tarefa repettva onde o ambente não muda e o objeto manpulado ão movdo para poçõe ontante. Porém, nem toda a atvdade ão realzada em ambente ontante e mutáve. Ete trabalho trata de um manpulador robóto om e grau de lberdade (TA-4), utlzado para efetuar ntervençõe ubmarna em pané de ontrole ubmero a profunddade pergoa à preença humana. A ada vez que há needade de ntervenção, o manpulador é poonado obre um veíulo

16 6 ubmarno robóto (Veíulo Operado Remotamente - ROV) que o tranporta até a área de trabalho. Uma vez atngdo o eu detno, o ubmarno e fxa no loal e permte que o manpulador realze ua tarefa. Devdo a quetõe que vão dede orrente marítma até a mpreão do operador que manpula o ubmarno robóto, a poção aboluta da bae o manpulador em relação a ua área de trabalho nuna é gual à poção de uma ntervenção ubmarna anteror. Am, a programação por mple ratreamento de trajetóra não e apla. Atualmente, faz-e a teleoperação do manpulador, na qual a movmentação do tema robóto é exeutada em modo manual, e o operador trabalha em uma arqutetura metre-eravo ontrolando dreta e ontnuamente a poçõe do manpulador. Para ea tarefa é neeáro apena que o tema poua repetbldade ufente, uma vez que quaquer erro aboluto de poonamento ão vualmente ompenado pelo operador humano. Defne-e aqu repetbldade omo a apadade de um tema ar e retornar, om o menor erro poível, a uma poção arbtrára de eu volume de trabalho, endo portanto uma medda de preão relatva. A preão aboluta mede o erro de poonamento em relação a um referenal fxo na bae do manpulador. A Fgura apreenta equematamente a dferença entre repetbldade e preão aboluta. boa repetbldade má preão aboluta boa repetbldade boa preão aboluta má repetbldade boa preão aboluta Fgura : Repetbldade e preão aboluta Em vta da aplação dreta do TA-4 em tarefa ubaquáta, perebe-e que amba a téna de programação de manpuladore tada anterormente ão mpratáve ou natfatóra. A téna na qual um operador humano enna a trajetóra ao robô é mpobltada devdo a alta varabldade do

17 7 ambente. O manpulador, a ada vez que for levado ao eu ambente de trabalho, deve er trenado para um novo poonamento, e portanto, perde-e toda a veratldade. O método de teleoperação atrbu ao robô uma preão aboluta baxa, devdo a própra defêna da perepção humana. Ete trabalho egue tendêna moderna de automação, a qua vêm oloando uma reente ênfae em robô guado por enore e programação off-lne, automatzando total ou paralmente muta da tarefa a erem exeutada. Senore, omo âmera lgada a um tema de vão omputaonal detetam dferença entre a poção real do manpulador e a poção deejada. Eta dferença ão então envada para o ontroladore para que ete orrjam a trajetóra pré-programada. O omando de movmento do manpulador ão programado off-lne por um tema de CAD. A trajetóra podem então er tetada em um ambente gráfo vrtual, em a needade de e atvar o robô. Am, tarefa podem er programada à dtâna, em o uo do robô, permtndo maor velodade na valdação de trajetóra para reolver problema. Ete etudo va reolver o problema de albração foado no manpulador TA-4, porém a téna de albração aplada poderão er utlzada em outro manpuladore robóto e em outro tema de poonamento em ambente dvero. Para vablzar eta téna é neeáro que o robô tenha não apena boa repetbldade omo também boa preão aboluta, o que geralmente é dfíl de er alançado em tema robóto de grande dmenõe. Nao é nomum que o modelo geométro do robô, orgnáro do projeto nal dete durante ua fabração, e dferene do modelo real devdo a tolerâna de ontrução. Eta dferença de modelo provoam perda de preão e ó podem er revertdo a partr da albração. Calbragem de robô é um proeo no qual a preão aboluta do tema é melhorada atravé de modfaçõe em eu oftware de ontrole de forma a ompenar erro. Para melhor ajutar o modelo geométro de um robô por albragem, uma quantdade ufente de medçõe prea er realzada. Ea medçõe ontem em poçõe da junta nterna do robô e de oordenada de um ou ma ponto da etrutura do tema em relação a um tema de oordenada degnado. Téna de albragem podem er aplada epefamente para albrar apena a extremdade do manpulador, apena ua

18 8 bae (ou eja, no ao de ntervençõe ubmarna, a poção do veíulo ubmarno que ontém o robô), apena a poção de uma ferramenta aoplada a extremdade do manpulador, ou qualquer ombnação do trê. O proeo de albração pode er dvddo em quatro etapa dtnta: Determnação do modelo matemáto que repreenta a geometra e o movmento do manpulador (modelagem nemáta). Medçõe de poção e orentação da extremdade do manpulador em oordenada do mundo (medda de poção). Identfação da relaçõe entre o ângulo da junta e a poçõe da extremdade do robô (Identfação nemáta) Modfação do omando de ontrole para permtr que a tarefa ejam ompletada om ueo (Compenação Cnemáta) A etapa de eleção de modelo, dentfação e ompenação foram etudada (Meggolaro et al. M., 999a; Meggolaro M., a), om a propoção de uma téna denomnada GEC (Geometr and Elat Error Compenaton) que modela qualquer tpo de erro no manpulador de uma forma unfada, apreentando melhore reultado em relação ao método tradona. O método GEC fo aplado om ueo, por exempo, em do tema robóto, um manpulador apaz de poonar paente em hopta (Meggolaro et al. M., 998) e um manpulador hdráulo Shllng Ttan II (Meggolaro et al. M., 999b) melhorando gnfatvamente a preão aboluta dete tema Como o TA-4 tem ua bae móvel, faz-e neeára uma albração deta bae em relação ao mundo empre que o manpulador for atvado. A abordagem para eta albração paa pelo uo de magen do loal. A albragem por um tema de âmera é potenalmente rápda, automatzada e não-nvava ao volume de trabalho. Há do tpo de onfguração para tema de medção baeado em magen. O prmero é fxar âmera no ambente próxmo ao da tarefa que poam vualzar uma referêna de albragem prea na extremdade do robô. O egundo tpo de onfguração é montar uma âmera ou um par de âmera na extremdade do manpulador. A onfguração de âmera móve

19 9 prea na extremdade do manpulador reolve o onflto entre alta preão e grande volume de trabalho vualzável. O uo de âmera para albração do manpulador paa por trê etágo: Reonhemento de padrõe Aompanhamento de padrõe Reuperação da nemáta da âmera O prmero etágo deda-e a enontrar padrõe na magen que ejam robuto a rotação, tranlação, mudança de eala e ruído. Dvero método ão utlzado para ete fm, endo que o ma robuto é a dentfação de anto na magen. Ete método, porém, dfulta o etágo egunte, no qual e proura relaonar o memo ponto em magen eguda. É omum utlzar orrelação para fazer ete trakng, porém eta não é robuta a rotação ou a mudança de eala, o que torna ambo o método natfatóro. Para dentfação do ponto e poteror ratreamento erá utlzada a Tranformada de Propredade Invarante a Eala (SIFT-Sale Invarant Feature Tranform) deenvolvdo por Davd G Lowe (LOWE D. G, 4), que deobre padrõe em magen ubequente e dá a ada ponto um onjunto de parâmetro para que ete poam er deoberto em magen ubequente. Ete metodo é robuto a rotação, tranlação, eala e ruído, permtndo a ua aplação nete trabalho. A últma etapa da albração da âmera va enontrar a dtâna do ponto apturado om relação à amera, bem omo obter a poção e orentação da âmera em relação ao mundo. Uma vez que a âmera etá ntalada na extremdade do manpulador, obtêm-e am a poção e orentação da extremdade em relação à bae, bem omo a dtâna do ponto vto à extremdade. O algortmo utlzado para tanto e hama trangulação. Apó a albragem do tema, tarefa de teleoperação automáta ou emautomáta ão fatíve. Além do, o onhemento da poção aboluta do manpulador e do ambente de trabalho ao eu redor permte gerar um tema de vualzação 3-D vrtual que reflta a onfguraçõe do tema em tempo real. Vualzação vrtual permte ao teleoperador vualzar área obureda

20 utlzando âmera vrtua. A âmera vrtua também permtem magnfar a borda de peça a erem nerda, faltando a exeução deta tarefa. Em manpuladore om enore de força e torque em ua extremdade, é poível anda vualzar no própro ambente vrtual medçõe de força de ontato entre o robô e o equpamento, omo pode er vto em um tema de ambente vrtua deenvolvdo para o uo em tarefa de manutenção em una nuleare (Meggolaro M., 999). A partr da teora e do onhemento apreentado neta dertação, erá poível vablzar a operação de manpuladore robóto em ambente rea dnâmo de forma faltada..4. Organzação da Dertação Eta dertação etá dvdda em e apítulo, derto a egur: O apítulo reume toda a teora neeára para o proeo de albração de um manpulador robóto. Ete apítulo expla om detalhe o oneto báo de modelagem nemáta de manpuladore plano, nlundo a equaçõe de Rodrgue, Tranformaçõe Homogênea e Convenção de Modelagem de Denavt-Hartenberg. Também apreenta a téna de albração e de ompenação de erro que erão utlzada poterormente para a albragem do TA-4. Por fm, nete apítulo ão dutdo o requto e o método para e obter a nemáta nvera de manpuladore. O Capítulo 3 nlu a teora e o oneto de vão omputaonal que erão utlzado para fazer o reonhemento do ambente de trabalho e o poonamento da bae do manpulador em relação ao mundo. Entre o tópo abordado etão o Modelo de Câmera, expltado pelo parâmetro ntríneo e extríneo, bem omo uma téna de Calbração da Câmera. Também nete apítulo, enontra-e um método de emparelhamento de ponto em magen obtda por âmera dtnta (algortmo SIFT) e o algortmo de trangulação neeáro para poonar o manpulador. O Capítulo 4 dereve ao ao partular do manpulador TA-4, empregando a téna e algortmo derto no apítulo do e trê para fazer a albragem total dete manpulador. O apítulo e dvde em uma rápda

21 apreentação do manpulador TA-4, egudo da derção do modelo de Denavt- Hartenberg para o memo. Em eguda, é demontrada a aplação do algortmo de albração para enontrar a matrze de erro. Por fm, motra-e o uo da téna de vão omputaonal para obter o poonamento da bae do manpulador. O Capítulo 5 pou reultado de dvera mulaçõe feta para tetar o algortmo no ao epeífo do TA-4. O Capítulo 6 é ompoto de obervaçõe e omentáro do reultado e propota de novo projeto.

22 Modelagem Cnemáta para Calbração de Manpuladore.. Introdução A modelagem nemáta é o prmero pao para o proeo de albragem do manpulador. O modelo nemáto do manpulador permte determnar, a partr do ângulo de ada junta, a poçõe e orentaçõe da junta e da extremdade do manpulador. O proeo de albração nlu a mudança do parametro do modelo nemáto para ompenar erro. Uma forma matematamente onvenente para derever poçõe e orentaçõe do dvero exo do tema é a utlzação de tranformaçõe homogênea. Inalmente, etabeleem-e tema de oordenada de referêna para o dvero ubtema, omo vto na Fgura, obtda do manual téno do manpulador. A egur, adonam-e tema de oordenada loa para ada parte móvel. No ao de um manpulador robóto, um tema de oordenada loal é adonado a ada exo do robô, tendo ua bae omo o tema de oordenada nal. Um onjunto de matrze de tranformação 4x4 relaona ada tema de oordenada loal om a de eu vznho. Além da nemáta dreta, pode-e também fazer uma modelagem da nemáta nvera, na qual e obtêm o ângulo de ada junta a partr do onhemento da poção e da orentação da extremdade do manpulador. Eta modelagem normalmente é ma omplexa e nem empre pou olução. Para tal modelagem, faz-e neeáro nalmente obter, pela nemáta dreta, a matrze de tranformação homogênea. Ete apítulo etá organzado da egunte forma: a eção. apreenta oneto báo de nemáta, neeáro para a modelagem nemáta do TA-4 (nlundo a equaçõe de Rodrgue, tranformaçõe homogênea e matrze de rotação gera). A eção.3 nlu a onvenção de modelagem de

23 3 Denavt-Hartenberg (D-H). A eção.4 demontra a metodologa de albração do TA-4. A eção.5 fnalza o apítulo om a nemáta nvera do manpulador. Fgura : Coordenada de referêna do dvero ubtema (elo).. Coneto Báo de Cnemáta A movmentação de um orpo rígdo no epaço pode er onvertda em uma tranlação e uma rotação em relação a um exo. Se ete exo for araterzado omo um vetor hamado k, o movmento de um orpo rígdo defne-e por uma rotação de um ângulo θ ao redor dete exo e uma tranlação de dtâna d paralela a k. O parâmetro (d, θ) defnem a movmentação em relação ao exo k. Condera-e P um ponto arbtráro do orpo rígdo e S um ponto arbtráro no exo k. Condera-e também r a poção de S em relação a um exo de oordenada de referêna, e r () p a poção do ponto P em relação ao memo exo de referêna no momento. Pela equação de Rodrgue (Murray, R. M.; 994), é () poível relaonar o ponto r p e r () p atravé do parâmetro de r, k, d e θ: r ( ) ( ) ( ) ( r r ) oφ kx( r r ) nφ [( r r ) k] k( oφ) r dk ( ) p p p p Eq...

24 4 Na forma matral: z y z z p y p x p z p y p x p p p p r r r R r r r ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (,, Eq... Onde a matrz R de rotação 3x3 é defnda por: φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ v k k v k k k v k k k v k k v k k v k k k v k k k v k k v k b p n b p n b p n R z x z y y z x x z y y z y x y z x z y x x z z z y y y x x x Eq...3 Onde φ v ) o ( φ, φ φ n e φ φ o. A matrz R é a matrz geral de rotação de um ângulo φ em torno de um exo k. Ea matrz pode er denotada por Rot(k, φ ). O trê vetore untáro n, p e b ão onhedo repetvamente omo normal, orentação e proxmdade, repetvamente. A Equação (..) pode er erta de forma ma ompata atravé da matrz de tranformação homogênea T. ) ( ) ( r T r Eq...4 Onde: 3 x p R T Eq...5 Pode-e, am, obter matrze de tranformação homogênea para alguma movmentaçõe báa de um orpo rígdo. Conderando d e uma rotação de θ em relação ao exo x, ou eja k(,,) T :

25 5 o n n o ), ( θ θ θ θ θ x Rot Igualmente, pode-e enontrar a rotação de um ângulo Ψ ao redor do exo y: Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ o n n o ) (y, Rot E a rotação de um ângulo φ ao redor do exo z: o n n o ), ( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ z Rot A matrz de tranlação obre o exo x, y e z, por dtâna a, b e, repetvamente, pode er obtda pela ombnação da trê tranlaçõe báa: ),, ( b a b a Tran A equêna de do movmento T e T é obtda pela multplação de amba a matrze T T. Eta tranformação é vta famente omo a tranformação do exo em uma loalzação P para um exo em P..3. Convenção de Modelagem de Denavt-Hartenberg Um manpulador é uualmente onttuído por um grupo de orpo rígdo, ou elo, onetado por junta. No ao do TA-4, omo em muto manpuladore ndutra, ada elo e oneta a do outro membro. Logo, ada

26 6 elo tem do exo. A modelagem de elo de Denavt-Hartenberg (DH) araterza a etrutura nemáta do manpulador em termo de parâmetro fío de ada elo. A onvenção de DH permte enontrar uma tranformação da bae do manpulador até ua extremdade, fazendo-e neeáro defnr a oordenada do elo e utlzar uma téna temáta que permta derever a nemáta do robô de n grau de lberdade de forma úna. A Fgura 3 motra um par de elo adjaente, elo - e elo, e ua junta aoada, junta e. A lnha H O na fgura é hamada de normal omum entre o exo e. A relação entre do elo pode er derta pela poção e orentação relatva entre o do tema de oordenada lgado ao do elo. Na notação DH, a orgem do -émo tema de oordenada etá loalzado na ntereção entre o exo e a normal omum entre o exo da junta e, omo motrado na Fgura 3. Nota-e que o tema de oordenada do elo etá na junta e não na junta. O exo x tem ua dreção na extenão da lnha formada pela normal omum, enquanto que o exo z etá na dreção do exo da junta. Fnalmente, o exo y é eolhdo omo exo reultante. Fgura 3: Parâmetro de Denavt-Hartenberg

27 7 A poção relatva entre o do tema de oordenada pode er ompletamente deduzda a partr do egunte parâmetro: a tamanho da normal omum d dtana entre o ponto O - e H α ângulo entre a junta e o exo z no entdo da mão dreta θ ângulo entre o exo x e a normal omum medda obre o exo z uando o entdo da mão dreta. O do prmero parâmetro ão ontante e determnado pela geometra do elo, enquanto que o do últmo varam de aordo om o tpo de movmento da junta. No ao de junta revoluta, o valor de θ nda o movmento angular da junta, enquanto que o parâmetro d e manterá ontante. Por outro lado, em junta prmáta, o ontráro oorre, endo d um parâmetro varável. A onvenção de modelagem DH nalmente aoa um exo de oordenada {x,y,z },,...,n para ada elo. A bae, a extremdade do robô, e o ambente ão denotado repetvamente omo exo de oordenada do elo, n e n. Para um manpulador eral, o número de grau de lberdade é exatamente n. Para uma junta de revolução, a orgem do tema de oordenada - etá na junta. Para uma junta prmáta, por outro lado, a orgem pode er dedda arbtraramente. A dreção potva do exo I defne o vetor untáro z -. A tranformação do tema de oordenada do mundo para o da extremdade é: Tn A A A... A... An A Eq..3. n Onde A é a matrz de tranformação homogênea entre o tema de oordenada om repeto ao tema de oordenada -. A tranformação de elo A é repreentada, portanto, pelo eu quatro parâmetro (θ, a, d, α ). A ontrução da matrze A para elo nterno,,...,n- é motrada a egur. Se a -éma junta é revoluta, a egunte tranformaçõe ão neeára para paar do tema de oordenada - ao tema.

28 8 Rotaonar o tema de oordenada - ao redor do exo z - em um ângulo θ, de modo que o exo x do tema de oordenada em movmento eja paralelo ao exo x. Tranladar o tema de oordenada pelo exo z - na dtâna d, para a orgem do tema em movmento alançar o ponto de ntereção entre o exo da -éma junta e a normal omum. Tranladar o tema de oordenada pelo exo x na dtâna a, para a orgem do tema em movmento ondr om a do tema de oordenada. Rotaonar o tema de oordenada - ao redor do exo x - em um ângulo α, de modo que o exo em movmento eteja agora ondente om o exo de oordenada. A Rot z, θ ) Tran(,, d ) Tran( a,,) Rot( x, α ) Eq..3. ( A oθ nθ nθ oα oθ oα nθ nα oθ nα a oθ a n θ d Eq..3.3 Smlarmente, e a -éma junta for prmáta, por defnção a e a varável paa a er d A Rot z, θ ) Tran(,, d ) Rot( x, α ) Eq..3.4 ( No ao de junta oneutva om exo paralelo, a onvenção DH etpula que a normal omum que atfaz d é eleonada. O tema de oordenada do mundo e da extremdade ão uualmente defndo pelo uuáro. O tema de oordenada da bae, por outro lado, é omumente defndo pelo fabrante.

29 9.4. Método Cláo de Calbração de Manpuladore Uma vez obtda a matrze homogênea que modelam o manpulador a partr do parâmetro de DH, era poível determnar a poção atravé de uma mple multplação deta matrze a partr da oordenada da bae. Porém, omo já fo dto ante, o manpulador pou dvero erro, que apear de erem pequeno em ada elo, provoam um efeto grande na extremdade. O erro podem er lafado omo repettvo e randômo (Sloum A., 99). Erro repettvo ão aquele no qua o valore numéro e na ão ontante durante uma onfguração do manpulador e peo arregado. Exemplo de erro repettvo é um erro reultante da tolerâna de fabração do omponente do manpulador e deflexõe devdo ao arregamento de arga peada. Erro randômo ão erro ujo valor numéro e nal mudam em prevbldade. Um exemplo de um erro randômo oorre no eorregar do dente de uma engrenagem do atuador. A albração que erá feta obre o TA-4 orrgrá apena o erro repettvo. Como vto na eção anteror, a nemáta do manpulador é modelada por um onjunto de matrze homogênea que tranformam o tema de oordenada de um elo para outro. A poção e orentação do tema de oordenada de referêna F, om repeto ao anteror F -, é defndo por uma matrz 4x4 A, que pou a forma geral: R T A Eq..4. O termo R é uma matrz 3x3 de rotação, entre o tema de oordenada F e o tema F -, e T é um vetor 3x que tranlada o entro do tema F até o tema F -, omo vto na Fgura 4. O elemento da matrz A dependem do parametro de DH para aquele elo.

30 3 Fgura 4: Tranlação e Rotação do tema devdo ao erro no -émo elo O erro ão expreo omo ma uma matrz de tranformação homogênea que deloa a poção fnal do elo ubequente em relação ao deal. O efeto dete erro na junta, por menore que ejam, ão aumulado de junta em junta podendo provoar um erro onderável na extremdade. A matrz homogênea 4x4 E produz o deloamento da poção e real orentação do tema de oordenada real F om repeto a ua loalzação deal F deal. A Equação.4. motra o formato da matrz de erro E. E ε r ε ε ε p r ε ε p ε x ε y ε z Eq..4. O e parâmetro ε x,, ε y,, ε z,, ε,, ε r, e ε p, ão hamado parâmetro de erro generalzado, o qua podem er função da geometra do tema e da varáve da junta. Para um manpulador de n grau de lberdade, extem 6(n) erro generalzado que podem er erto na forma de um vetor de dmenão 6(n)x: ε [ε x,,..., ε x,, ε y,, ε z,, ε,, ε r,, ε p,,, ε p,n ] T, om.. n (upondo que ambo o manpulador e ua bae etão endo albrado). Se o manpulador é albrado em relação à ua própra bae, então a matrz de erro E (que modela o erro da loalzação da bae) é elmnada, reduzndo o número de erro generalzado para 6n. O erro generalzado que dependem da geometra do tema podem er alulado do erro fío elo a elo.

31 3 Z deal Z real ε, real Y ε p, (ε x,,ε y,,ε z, ) Y deal X deal ε r, X real Fgura 5: Erro Generalzado para -émo Elo Defndo o erro omo uma matrz de tranformação homogênea, pode-e etender a Equação.3. de forma a nluí-lo: Tn ( q, ) E A E A E A... An En ε A E Eq..4.3 n n A matrz T n é uma a matrz homogênea 4x4 na forma da Equação (..5) e dereve a poção e orentação da extremdade do manpulador om repeto ao tema de oordenada neral da bae omo função do parâmetro de onfguração q e do vetor de erro generalzado ε. É poível defnr o vetor 6x da poção e orentação da extremdade X real omo o omponente tranlaona e o omponente formado pelo trê ângulo rotaona da matrz T n. Se for utlzada a dferença entre a poção real e a deal, ter-e-á erro de poção e orentação da extremdade do manpulador X: X X real X deal Eq..4.4 Conderando-e que o erro generalzado ão pequeno, X pode er alulado pela egunte equação lnear em ε: X J e ε Eq..4.5

32 3 Onde J e é a matrz Jaobana 6x6(n) do erro da extremdade X om repeto ao elemento do vetor de erro generalzado ε, também onheda omo a matrz Jaobana de Identfação (Zhuang H., pp.85-8, 999). Am omo no ao do erro generalzado, J e depende da onfguração do tema, geometra e arga arregada. No proeo de albração, deve-e enontrar a matrz Jaobana de Identfação a partr do parâmetro nemáto, e tomar um onjunto de medda da poção real da extremdade do manpulador em dvera onfguraçõe. Uma vez de poe dete dado, utlza-e a Eq..4.5 para obter o erro generalzado ε om uma mple nverão da matrz jaobana. Uma vez de poe do erro generalzado, ete podem er utlzado para alular a poção real do manpulador em qualquer onfguração. Pode-e também utlzar a Equação.4.5 para ompenar o erro. A Fgura 6 motra um equema do algortmo de ompenação de erro baeado na Equação.4.5. O método de enontrar ε a partr de medda expermenta é derto a egur. Fgura 6: Equema de Compenação de Erro Para alular o erro generalzado ε ondera-e que algun omponente do vetor X podem er meddo em um número fnto de dferente onfguraçõe do manpulador. Porém, omo oordenada de poçõe ão muto ma mple de e medr do que orentaçõe, em muto ao apena a trê oordenada da poçõe de X ão medda.

33 33 Supondo que toda a 6 omponente de X podem er medda, para um manpulador de n grau de lberdade, 6(n) erro generalzado ε podem er alulado medndo-e X em m onfguraçõe dferente, defnda omo q, q,, q m, e então erevendo a Equação.4.5 m veze: X t X X... X m Je( q) Je( q) ε Jt ε Eq J ( q ) e m Na Equação.4.6, X t é o vetor m x formado por todo o vetore meddo X em m onfguraçõe dferente e J t é a matrz 6m x 6(n) formada pela m matrze Jaobana de Identfação J e em m onfguraçõe, denomnada aqu de Jaobano de Identfação Total. Para reduzr o efeto de ruído de medda, m é, em geral, muto maor do que n. Conderando-e que o erro generalzado ε ão repettvo e ontante, uma etmatva úna por mínmo quadrado $ε pode er alulada por: T ( ) T ε$ J J J X t t t t Eq..4.7 Porém, e a matrz de dentfação jaobana Je(q) ontver oluna lnearmente dependente, a Equação.4.7 va produzr etmatva om baxa preão devdo ao frao ondonamento da matrz (Hollerbah, pp , 996). Ito oorre quando há redundâna no modelo de erro, e nete ao não é poível dtngur a ontrbução de ada ompontente do erro generalzado obre o erro total.

34 34.5. Elmnação de Erro Redundante Como vto na eção anteror, o erro redundante auam baxa preão ao proeo de albração e pream er elmnado. A egur é apreentado um método analíto para efetuar tal elmnação. Prmeramente, defnem-e a ombnaçõe lneare do oefente, J x,, J y,, J z,, J,, J r, e J p,, que ão oluna de J e aoada ao omponente do erro generalzado ε x,, ε y,, ε z,, ε,, ε r, e ε p,, repetvamente ( entre e n). A ombnaçõe lneare do oefente ão exprea a partr do parâmetro DH do manpulador. A Equação.4.5 pode er reerta omo: X ε X... ε X ε Y ε Z X Y Z S R P Pn Eq..5. ε S ε R ε P... ε Pn [ J... J J J J J J... J ] X Para ada elo, entre e n, a egunte ombnaçõe lneare ão empre válda (Meggolaro M, Apênde A, ): J z,( ) n α J y, o α J z, Eq..5. J r,( ) a oα J y, a nα J z, nα J, oα J r, Eq..5.3 Se a junta for prmáta, ombnaçõe adona para a oluna de J e ão enontrada: J J J x,() x, Eq..5.4 y,() o αj y, n αj z, Eq..5.5

35 35 A ombnaçõe lneare motrada ama etão empre preente, ndependentemente do valore de a e α, memo em ao epea (omo a ). Se a poção ompleta da extremdade (poção e orentação) for medda, então a Equaçõe ão a úna ombnaçõe lneare do elo. Para obter uma matrz Jaobana de Identfação não ngular, hamada aqu de G e, a oluna J z,(-) e J r,(-) devem er elmnada da matrz J e para todo o valore de entre e n. Se a junta for prmáta, então a oluna J x,(-) e J y,(-) devem er também elmnada. Para um manpulador de n grau de lberdade om r junta rotatva e p (p n-r) junta prmáta, um total de r4p oluna devem er elmnada do Jaobano de Identfação J e para formar a ubmatrz G e. Io gnfa que r4p erro generalzado não podem er obtdo medndo-e a poção da extremdade. Por defnção, o parâmetro de erro dependente elmnado por ε não afetam o erro da extremdade, reultando na dentdade: X J e ε G e ε * Eq..5.6 Uando a dentdade ama e a ombnaçõe lneare da oluna de J e da Equaçõe , é poível obter toda o relaonamento entre o onjunto de erro generalzado ε e eu ubonjunto ndependente, ε * (ver Apênde A). Se a junta for revoluta ( entre e n), então o erro generalzado ε z,(-) e ε r,(-) ão elmnado, e eu valore ão norporado ao parâmetro de erro ndependente ε y,, ε z,, ε, and ε r, : ε ε ε ε * y, * z, *, * r, ε ε ε ε y, z,, r, ε ε ε ε z,() z,() r,() r,() nα oα nα oα ε ε r,() r,() a a oα nα Eq..5.7 Se a junta for prmáta, o erro tranlaona ε x,(-) e ε y,(-) ão elmnado, e eu valore ão norporado ao parâmetro de erro ndependente ε x,, ε y, e ε z,. Nete ao, a Equação.5.7 paa a er:

36 36 ε ε ε ε ε * x, * y, * z, *, * r, ε ε ε ε ε x, y, z,, r, ε ε ε ε ε x,() y,() y,() r,() r,() oα n α n α oα ε ε z,() z,() n α oα ε ε r,() r,() a a oα n α Eq..5.8 Se o vetor ε * ontendo o erro ndependente for ontante, a matrz G e pode er uada para ubttur J e na Equação.5.5, e a Equação.5.7 é utlzada para alular um etmador para o erro generalzado ndependente ε *, ompletando o proeo de dentfação. Porém, e fatore não-geométro forem onderado, ão neeáro ma parâmetro do modelo em ε * omo função da onfguração do tema anterormente ao proeo de dentfação..6. Repreentação Fía do Erro Redundante O oneto de erro redundante pode er melhor ompreenddo e vto famente. Ele repreentam erro em junta dtnta que provoam o memo reultado na extremdade do manpulador. A Equação.5. demontra que um erro tranlaonal no exo Z da junta - pou o memo reultado na poção e orentação da extremdade que uma ombnação de erro tranlaona no exo Z e Y na junta (ver fgura 7). ε z,(-) ε y, α ε z, Fgura 7: Combnação lnear de erro tranlaona

37 37 Outro exemplo oorre quando um erro rotaonal ao longo do exo Z na junta - provoa o memo efeto que uma ombnação de erro rotaonal e tranlaonal obre o exo Y e Z da junta. Ete reultado pode er vto na Equação.3.3 e pode er vto exemplfado na Fgura 8. ε r,(-) X t X r ε r, ε y, X t X r Fgura 8: Combnação lnear de erro tranlaona.7. Medda Para da Poção da Extremdade Toda a equaçõe obtda até agora onderam que e tenham medda ompleta da poção e orentação da extremdade do manpulador em dvera onfguraçõe. Porém onegur menurar a orentaçõe da extremdade pode er pouo práto e portanto vale a pena dutr omo hegar ao memo reultado portando apena da poção da extremdade. Nete ao, ão formada ombnaçõe lneare adona, tendo a trê ultma oluna de J e omo vetore nulo (Meggolaro M, Apênde A, ): J,n J r,n J p,n Eq..6. A Equação.6. exprme o fato de que o trê erro rotaona da extremdade, ε,n, ε r,n e ε p,n não nfluenam na poção da mema (ele apena afetam a orentação, a qua não etão endo medda). Como reultado, ee erro generalzado não ão obtíve.

38 38 Se a últma junta for prmáta, então nenhuma outra ombnação lnear é enontrada. Porém, e a últma junta é revoluta e o tamanho dete elo a n é zero, então ma trê ombnaçõe lneare etão preente: J,(n-) d n J x,(n-) Eq..6. J p,(n-) d n J y,(n-) Eq..6.3 J r,(n-) Eq..6.4 Sgnfando que o efeto de ε,(n-) e ε p,(n-) não podem er dtngudo daquele auado por ε x,(n-) e ε y,(n-), e também o erro generalzado ε r,(n-) não é obtível. Se ambo o tamanho do elo a n e a dtâna da junta d n forem zero, então a orgem da oordenada n- e n ondem na extremdade. Nee ao, a Equaçõe podem er reurvamente aplada à oordenada n-, n-, e am por dante, dede que a orgem de todo o tema de oordenada e mantenham na poção da extremdade..8. Cnemáta Invera A nemáta dreta, enontrada a partr do parâmetro de Denavt- Hartenberg, permte loalzar a poção da extremdade do manpulador em relação à bae. A matrze de tranformação enontrada, além do, têm outra fnaldade. A partr dela é poível enontrar a nemáta nvera do manpulador. A nemáta nvera gera o ângulo de ada junta a partr da poção fnal da extremdade do manpulador. Com o uo da nemáta nvera paa a er poível a automatzação de tarefa, om um programa apaz de automatamente alular a poçõe de ada junta para movmentar a extremdade até a loalzação deejada. Na nemáta dreta, a poção da extremdade é determnada unamente pelo deloamento da junta. Na nemáta nvera, por outro lado, o problema paa a er ma omplexo uma vez que dvera oluçõe poíve extem para uma mema poção da extremdade, ou pode oorrer de não extrem oluçõe

39 39 para um onjunto partular de poçõe da extremdade, onderando a etrutura do manpulador. Além dete fatore, uma vez que a equação nemáta é ompota por dvera equaçõe não-lneare formada por funçõe trgonométra, não é poível dervar uma olução geral, endo a nemáta nvera produzda ao-a-ao a partr da equaçõe da nemáta dreta. Quando a olução para a nemáta nvera não pode er alulada analtamente, eta deve er obtda por método numéro. Um braço robóto deve pour pelo meno e grau de lberdade para permtr a loalzação de ua extremdade em um ponto arbtráro e om uma orentação arbtrára no epaço. Manpuladore om meno que e grau de lberdade podem não permtr tal poonamento arbtráro. Por outro lado, e o manpulador pour ma de e grau de lberdade, extem nfnta poíve oluçõe baeada na equaçõe nemáta, endo hamado manpuladore redundante. Condere o exemplo do braço humano, o qual pou ete grau de lberdade, exlundo o dedo. Memo om a mão fxada numa parede, é poível mover o otovelo ontnuamente em auar mudança na loalzação da mão nem do membro. Ito mpla que extem nfnto onjunto de deloamento de junta que levam a mema poção da mão..8.. Solubldade Nem empre oluçõe fehada para a nemáta nvera podem er obtda de forma analíta. Uma alternatva para o método analíto era aplar método numéro baeado em algortmo teratvo, omo o Método de Newton-Raphon. Porém, o poder omputaonal neeáro para ta método teratvo geralmente é muto maor que o neeáro quando e pou uma olução-fehada. Devdo a ea omplexdade, método numéro ão geralmente onderado pouo práto. Condere um manpulador neetando mover ua extremdade por uma trajetóra. O número de ponto ao longo da trajetóra prea er tranformado em deloamento de junta, neetando portanto de rápda omputação. Em partular, o tempo omputaonal é rual e a tranformação deve er feta em tempo real.

40 4 A extêna de oluçõe fehada depende da etrutura nemáta do braço robóto. A etrutura nemáta do braço robóto é geralmente deenvolvda para que o problema da nemáta nvera eja poível de e reolver, para evtar omplexdade omputaonal. Portanto, uma quetão mportante é deobrr o que faz uma etrutura nemáta paível de olução. (Peper, D.L., 968) motra que uma ondção ufene para que uma etrutura nemáta de um braço robóto de e grau de lberdade tenha nemáta nvera analíta é que o exo da junta de trê junta revoluta oneutva e ntereptem em um úno ponto para toda a onfguraçõe do braço. Quando a trê últma junta ntereptam eu exo em um úno ponto, a trê junta ão omumente referenada omo pulo eféro. (Perper, D. L., 968) lta toda a poíve etrutura nemáta para manpuladore de e grau de lberdade que e enaxam nete ao. No apítulo 4 erá dutda a nemáta nvera para o manpulador TA-4.

41 3 Vão Computaonal 3.. Introdução A albração do manpulador TA-4 no eo permte que e tenha uma boa preão na poção e orentação da extremdade do manpulador em relação à ua bae, orrgndo o erro etáto ntríneo ao tema. Em vára aplaçõe de manpuladore ete nível de albragem é ufente, po a bae etá empre fxa na mema poção. É o ao de um manpulador fxado no hão e que manpula objeto, o qua não mudam envelmente de poção. A aplação deta dertação pou um deafo a ma para a albração. O manpulador etará fxado obre um robô ubmarno, que o levará até ua área de trabalho. Am, dflmente a bae do manpulador etará no memo loal a ada vez em que ele for levado para ua área de trabalho, po o braço meâno provavelmente não rá e atraar dua veze na mema exata poção no fundo do oeano, além de não haver garanta de que a bae não e movmentará junto om o robô uma vez atraada. Logo, um método para e obter uma medda da poção da bae do manpulador em relação à ua área de trabalho e faz eenal. Uma manera onte no uo de dua âmera onetada à garra do manpulador. Ea eolha é aproprada em vrtude da redução do uto de âmera na últma déada e pela extêna de dvero algortmo que permtrão um poonamento om batante preão da bae e do objeto que erão manpulado. Nete apítulo, erá nalmente feta uma breve derção do modelo matemáto da âmera e de ua albração. Também erá abordado um método para enontrar ponto-have na magem obtda por uma da âmera e omo orrelaoná-la om ponto-have enontrado na magen obtda da outra âmera, proedmento ete neeáro para a obtenção da poção do objeto no epaço trdmenonal.

42 4 3.. Modelagem da Câmera 3... Modelo Pnhole Um do modelo de âmera ma dfunddo é o pnhole, repreentado equematamente na Fgura 9. Segundo ete modelo, um rao de luz provenente de um ponto M no epaço atravea um orfío C e nde em um plano no ponto m. Dá-e o nome de plano de magem ao plano de ndêna do rao, enquanto que o orfío C é hamado de entro da âmera. Um parâmetro ntríneo da âmera, hamado dtâna foal, pode er meddo pela dtâna do plano de magem ao entro da âmera, e é geralmente repreentado por f. Fgura 9: Repreentação do modelo pnhole. A Fgura repreenta a geometra do modelo pnhole, tendo o quadro da âmera no epaço 3D om ua orgem no orfío C. Também é repreentado o plano da magem normalzado em um tema de oordenada em dua dmenõe om orgem no ponto Ĉ. Por emelhança de trângulo, é poível demontrar que o ponto P(C X,C Y, z ) é mapeado no plano da magem normalzado pelo ponto ˆ ρ ( uˆ, vˆ) (fc X /z, fc Y /z ). É poível vualzar o ponto P e ρˆ em oordenada homogênea, pela egunte equação: C x u ˆ Z C y ˆ v Z uˆ pˆ vˆ z C P [ Id ] Eq. 3..

43 43 Sendo f z. z Fgura : Geometra do modelo pnhole Parâmetro Intríneo Na Equação 3.., upõe-e que a orgem do tema de oordenada do plano da magem é a orgem da magem, porém dependendo do programa empregado, a magem que é dgtalmente exprea omo uma matrz, pode ter ua orgem em uma poção dferente da do plano da magem. O modelo pnhole também ondera eala gua para o exo x e y, o que não é empre verdade para âmera CCD uada na práta. A Fgura motra a dferença entre o modelo pnhole e um modelo ma realta, onde o exo x e y têm eala dtnta e a âmera pouem alhamento de pxel. Fgura : Modfaçõe ao modelo pnhole om bae na eala e alhamento do pxel da âmera. Fgura (a) motra o pxel egundo o modelo pnhole, fgura (b) motra um tema ma realta onde eala do exo x e y e dferenam, fgura () motra o problema de alhamento

44 44 Além dto, a lente pode pour dtorçõe que pream er modelada. Para e adequar a ea realdade, a Equação 3.. deve er alterada, rando-e na modelagem o quadro da retna fía da magem, apó o quadro da magem normalzada, onforme vto na Fgura. Fgura : Modelo pnhole modfado. Conderando-e que o pxel da âmera podem ter eala dferente no exo x e y, om /k e /l endo a dmenõe horzontal e vertal do pxel, teme: u k f uˆ v l f vˆ Eq. 3.. Além dto, onderando-e que a orgem do quadro da magem não e enontra no entro do quadro, ma m deloado em (u,v ): u α uˆ u v β vˆ v Eq. 3..3, onde αkf e βlf Por fm, ondera-e que a matrz de enore pode e enontrar dtorda de um ângulo θ:

45 45 u α uˆ α ot θ vˆ u v β vˆ v Eq Matralmente, pode-e defnr uma matrz K do parâmetro ntríneo da âmera, onde: u α α ot θ p v β / en θ u ˆ u v ˆ v κ pˆ Eq A matrz de parâmetro ntríneo K tranforma a oordenada no quadro da magem normalzado para o quadro da retna fía da magem. Por fm, pode-e utlzar eta matrz para mapear o ponto no quadro da âmera para o quadro da retna fía da magem por meo de matrze homogênea: C C p κ ( Id ) P ( κ ) P Eq z z Na Equação 3..6, o ponto C P repreenta o ponto P em oordenada homogênea no tema de oordenada da âmera Parâmetro Extríneo Em geral, é ma onvenente exprear o ponto no epaço em termo de um ponto de referêna no mundo, endo o mundo defndo omo o quadro do epaço objeto. A oordenada do mundo etão relaonada om a oordenada do entro da âmera por uma rotação e uma tranlação. Am, e W O é o entro do tema de oordenada do mundo e C O o entro do tema de oordenada da âmera, pode-e mapear a loalzação de um ponto P repreentado no quadro no mundo para o quadro da âmera. Ete proeo etá repreentado na Fgura 3.

46 46 Fgura 3: Tranformação de oordenada do mundo para a âmera. Ea mudança de oordenada pode er derta omo uma tranformação de matrze, onforme a Equação 3..6: C C W R P T C C O W W W R P T t W P Eq O e parâmetro da matrze de rotação e tranlação ão hamado de parâmetro extríneo da âmera, e mapeam a poção de um ponto no tema de oordenada do mundo até a poção no tema de oordenada da âmera. Combnando a Equaçõe 3..6 e 3..7, obtém-e um mapeamento ompleto de um ponto no quadro do mundo para o quadro da magem. C t p ( κ ) R W W C P ( R t) W P T W z z K Eq A matrz que repreenta o mapeamento é denomnada Matrz de Projeção Perpetva (M): C W ( t) p P W M K R z M Eq. 3..9

47 Calbração de Câmera Como vto na eção 5., um ponto no epaço 3D pode er mapeado em um ponto no plano da magem atravé da Equação (3..9). Contudo, a matrz de projeção da âmera (M) deve er onheda. Ea matrz é uma arateríta partular de ada âmera e depende do proeo de fabração. Além do, ea matrz pode er alterada durante a exeução normal do tema por uma mudança na dtâna foal da âmera, e pode também varar de aordo om a ondçõe do ambente (varaçõe meâna, térma). Por o, a úna forma de determnar a matrz de projeção orretamente é atravé da albração da âmera. A albração da âmera é um proedmento dtnto da albração do manpulador. Enquanto que, no egundo ao, proura-e a matrz de erro de ada elo do manpulador, no ao da albração de âmera proura-e obter o parâmetro ntríneo e extríneo da âmera. Como na aplação erão utlzada dua âmera aoplada ao manpulador, a albração tem omo objetvo aber a poção de uma âmera em relação à outra. Extem dvero método de albração de âmera preente na lteratura, endo um proeo bem tetado, om dvero programa já mplementado utlzando algortmo dferenado. A bae do algortmo é a reolução de um tema equaçõe formado por dvero ponto oletado pela âmera, tendo omo nógnta o doze omponente da matrz de projeção M. A olução pode er feta de forma lnear ou não-lnear. Não entra no eopo deta dertação r a fundo no algortmo, porém podem er enontrada nformaçõe na referêna (Foryth, D. A., pp.43-59, 3). É poível fazer o reonhemento da poçõe de ponto no plano do mundo e relaoná-lo falmente om ponto no plano da âmera utlzando-e plataforma de albragem omo a motrada na Fgura 4. Conheendo a dtâna do lado do quadrado, obtém-e falmente a poção de ada ponto em relação ao outro. O reultado da albragem levam a uma matrz de projeção que ondera a orgem do plano do mundo no entróde do ponto obervado na plataforma de albração, onforme pode er vto na Fgura 5. Am, a matrz

48 48 M ondera uma tranlação e uma rotação em relação a ea orgem, que pode não er onvenente na práta. Fgura 4: Plataforma de Calbração Fgura 5: Tranformação do quadro do mundo para o quadro da âmera O manpulador robóto pourá dua âmera robóta aoplada a ua extremdade, apreentando uma tranlação e rotação entre. Eta tranlação e rotação erão futuramente mportante para poonar o objeto vto pela âmera e poonar a bae do manpulador em relação a ponto aptado do ambente de trabalho pela âmera. A albração de âmera erá revta no apítulo 4 onde a aplação da téna de vão omputaonal va er apreentada.

49 Emparelhamento de Ponto Um do prnpa problema de vão omputaonal é enontrar emelhança em magen. Tal problema oorre em reonhemento de objeto e ena, reolução de etrutura 3D em múltpla magen, orrepondêna etéreo e bua de movmento. Na albração da âmera, faz-e uo de uma plataforma de albração que falta o proeo, ma no fundo do oeano o problema de emparelhar ponto em dua magen dtnta é bem ma omplexo. A Fgura 6 motra omo um memo objeto pode er vto de forma dferente por âmera poonada de forma dtnta. Fgura 6: Vão de um memo objeto em âmera dtnta deloada por uma dtâna fxa. Na aplação, extrá um par de âmera etéreo, vendo a mema magem a não er por uma dferença de poção entre ela. Ela etarão ujeta a ruído na magem auada por um ambente onde há poua lumnação e dtorçõe por refração. Para que eja poível obter a poção do manpulador em relação ao eu ambente, erá preo enontrar ponto em amba a magen que ejam o memo no mundo real. Neta eção erá apreentado um algortmo para extrar ponto em uma magem que pouem dvera propredade que o habltam a erem deoberto em outra magen de um memo objeto ou ena. O método que erá apreentado obtém, para ada ponto enontrado, propredade robuta a varaçõe na magem, ta qua rotação, mudança de eala, lumnação e ponto de vta da âmera. Além dto, a propredade obtda do ponto por ee método tem elevada robutez a ruído. O método é apaz de dtngur ponto dferente a partr deta propredade, om alta probabldade de aerto. Ea metodologa é denomnada Tranformada de Propredade Invarante à Eala ( Sale Invarant Feature

50 5 Tranform, SIFT), po tranforma dado da magem em oordenada nvarante à eala e a outra arateríta loa, omo lumnodade e rotação. Um apeto mportante deta metodologa é que ela gera um grande número de arateríta que obrem denamente a magem obre uma ampla gama de eala e loalzaçõe. A quantdade de propredade é partularmente mportante para o reonhemento de objeto, po garante menor pobldade de erro quando e faz a bua do memo objeto na nuvem de ponto de outra magen. A egur, erá explado de forma reumda ada etágo do algortmo Deteção de Extremo no Epaço de Eala A prmera etapa do algortmo é buar ponto que ejam nvarante a mudança de eala da magem, pobltando a deteção de ponto om a âmera próxma ou dtante do objeto de nteree. Tal objetvo é obtdo prourando o ponto em toda a poíve eala, utlzando-e de uma função hamada de epaço de eala, que no ao é a função gauana. Am, o epaço de eala L(x,y,σ) é formado pela fltragem da magem I(x,y) por funçõe gauana G(x,y,σ), onforme vto abaxo: L( x, y, σ ) G( x, y, σ ) * I( x, y) Eq Onde * mbolza a onvolução em x e y. A função gauana G(x,y,σ) é exprea por: ( x y ) σ G( x, y, σ ) e Eq πσ A efêna da bua por ponto-have é aumentada ubttundo-e a função L(x,y,σ) por uma função de Dferença-do-Gauano, formada pela ubtração de do epaço de eala, eparada por um fator multplatvo k, onforme motrado na Equação Eta função e aproxma da função Laplaano do Gauano normalzado em eala σ G, que permte

51 5 (Lndeberg 994) a pou ponto nvarante à eala em eu máxmo e mínmo. [ G( x, y, kσ ) G( x, y, σ )]* I( x, y) L( x, y, kσ ) L( x, y, ) D( x, y, σ ) σ Eq A Fgura 7 motra uma magem ubmetda à funçõe L(x,y,σ) e D(x,y,σ), om σ. Fgura 7: Imagem (á equerda) ubmetda a gauana (no meo) e à dferença-dogauano (à dreta). A Fgura 8 demontra o algortmo para ração da dferença do gauano: - A magem nal ofre onvoluçõe nrementa om Gauano para produzr magen eparada por um fator de eala k no epaço de eala (emplhado na oluna equerda) - Cada otava (grupo de no magen que ofrem eguda onvoluçõe) do epaço de eala é dvdda por um número ntero,, de forma que k, produzndo am 3 magen na otava de forma que a deteção de extremo ubra toda otava. 3- Imagen em eala adjaente ão ubtraída para produzr a magen da dferença do gauano motrada na dreta. 4- Uma vez proeada a otava, é reduzda a amotragem da magem (downample) om dua veze o valor nal de σ (dua magen no topo da plha), voltando-e ao pao.

52 5 Fgura 8: Repreentação do proedmento de obtenção de dferente dferença de gauana para dvera otava da magem. O ponto-have ão loalzado no máxmo e mínmo loa de ada magem D(x,y,σ), que podem er obtdo omparando-e a ntendade de ada ponto om a ntendade de eu e ponto vznho na ua eala, e om o nove ponto vznho na eala ama e abaxo, omo vto na Fgura 9. Prouram-e ponto om valore de ntendade maore ou menore que todo o eu vznho. É mportante realtar que é poível enontrar um ponto máxmo ou mínmo em uma magem apó ter ua amotragem reduzda, e portanto a ua poção neta magem reduzda não é equvalente à ua poção na magem orgnal, que pou ma pxel, endo neeára uma nterpolação para deobrr a poção na magem orgnal. Fgura 9: Máxmo e mínmo da magen de Dferença-do-Gauano ão detetado omparando o pxel (marado por X) om eu 6 vznho em 3x3 regon na eala orrente e adjaente (marado por rulo).

53 Loalzação Prea de Ponto-Chave O ponto enontrado na eção anteror devem er fltrado para retrar aquele que pouem pouo ontrate (endo eníve a ruído) e aquele próxmo de extremdade. A elmnação de ponto eníve a ruído é obtda utlzando uma expanão de Taylor obre a função Dferença-do-Gauano deloada de modo a ter ua orgem no ponto de amotragem (Brown, M. and Lowe): T D T D D( x) D x x Eq x x onde D e ua dervada ão alulada no ponto de amotragem e x(x,y,σ) T é o deloamento dete ponto. A loalzação do extremo, xˆ, é dada por: D D xˆ Eq x x O valor da função no extremo, D( xˆ ), é útl para rejeção de extremo ntáve om baxo ontrate. Pode-e obter ete reultado ubttundo a Equação na Equação 3.4.4, deartando-e valore muto baxo de D( xˆ ) : T D D( xˆ) D xˆ Eq x A elmnação de ponto-have próxmo da extremdade é feta uando-e uma matrz Heana x, H, na loalzação e eala do ponto-have na função D. A Heana repreenta uma egunda dervada, permtndo menurar o tamanho da urvatura de D em eu autovalore. A urvatura próxma a ponto ujo gradente é paralelo a extremdade pou baxa ampltude, ma em ponto om gradente perpendular a ea extremdade a ampltude é elevada.

54 54 DXX DXY H Eq DXY DYY Sendo α o autovalor om maor magntude e β o de menor magntude, pode-e omputar a oma e o produto dete autovalore: Tr( H ) D XX Det( H ) D XX D D YY YY α β D αβ XY Eq Cao o determnante eja negatvo, a urvatura têm na dferente e o ponto é deartado, não endo um extremo. Sendo r a razão entre o maor e o menor autovalor, αrβ: ( α β ) ( rβ β ) Tr( H ) ( r ) Det( H ) αβ rβ r Eq A equação depende apena da razão entre o autovalore. A quantdade (r) /r oferee uma medda de quanto o autovalore ão dtnto. Elmnam-e ponto próxmo a extremdade deartando-e ponto abaxo de um determnado threhold: Tr( H ) ( r ) < Eq Det( H ) r Am, elmnam-e ponto-have que não ão etáve, apear de etarem próxmo de extremdade Atrbução de Orentação A nvarâna ao ruído e à eala já ão um pao mportante para o ponto-have, porém ele devem er nvarante à rotação da âmera. Para e obter ea nvarâna, atrbu-e uma orentação baeada na arateríta loa da magem.

55 55 Para tanto, alula-e para ada amotragem da magem, L(x,y), na eala do ponto-have, a magntude, m(x,y) e a orentação θ(x,y) do gradente uando-e dferença de pxel. m( x, y) θ ( x, y) tan ( L( x, y) L( x, y) ) ( L( x, y ) L( x, y ) ) ( L( x, y ) L( x, y ) ) ( ) L( x, y) L( x, y) Eq Eq Na regão vznha ao ponto-have, forma-e um htograma de orentaçõe ompoto pela orentaçõe do ponto amotrado. Ee htograma pou 36 ponto, obrndo o 36 grau de orentação, onforme vto na fgura. O po dete htograma é utlzado para defnr a ua orentação. No ao de múltplo po de elevada ampltude, o ponto-have reeberá múltpla orentaçõe, tornado-o anda ma etável para futura dentfação. Ao fnal, uma parábola é uada para nterpolar o trê valore do htograma ma próxmo do po, de forma a e ter uma melhor preão de ua poção. Fgura : Htograma de orentação do ponto-have Dertor Loal da Imagem A eçõe anterore apreentaram proedmento para poonamento de ponto-have, e atrbur-lhe eala, retêna a ruído e orentaçõe, permtndo a mpoção de um tema de oordenada D na qual derever uma regão da magem loalmente, e prover nvarâna a ee parâmetro. O próxmo pao erá de atrbur a ee ponto-have dertore nvarante a mudança de lumnação e ponto de vta 3D, além de torná-lo bem dtnguíve.

56 56 A magntude e orentaçõe do gradente ão amotrada ao redor da loalzação do ponto-have, utlzando a eala do ponto-have para eolher o nível de uavzação Gauano para a magem. Para que o dertore tenham nvarâna a rotação, a oordenada e a orentaçõe do dertore ão rotaonada relatvo a orentação do ponto-have. Ete proedmento etá motrado pela pequena eta em ada amotra da loalzação no lado equerdo da Fgura. Fgura : Ilutração da omputação de dertore de ponto-have Uma janela de uavzação gauana de σ gual à metade da largura da janela do dertor é uada para dar peo à magntude do gradente em ada ponto amotrado, onforme vto na equerda da Fgura 8. Ee gauano evta mudança úbta do dertor om pequena mudança na poção da janela e também reduz a ênfae no gradente longe do entro do dertor, que ão ma afetado por erro. Uma vez feta a uavzação do gradente, ram-e htograma de orentação obre 4x4 regõe de amotragem. O lado dreto da Fgura 8 motra o quatro htograma formado pela amotragem da equerda. Na fgura etão repreentada oto dreçõe para ada htograma e o tamanho de ada eta repreenta a magntude referente a repetva entrada do htograma. Para evtar efeto de borda na qual o dertor abruptamente muda enquanto a amotra e deloa uavemente ndo de um htograma para outro ou de uma orentação para outra, uma nterpolação trlnear é uada para dtrbur o valor de ada amotra de gradente para a ua poção no htograma adjaente. O dertor é formado de um vetor ontendo o valore de toda a orentaçõe do htograma, orrepondente ao tamanho da eta no lado dreto da Fgura 8.

57 Invarâna à Lumnodade Dua magen de um memo objeto podem pour varaçõe de lumnodade que modfquem o dertore obtdo envelmente. Devdo a ete motvo deve-e fazer um tratamento do dertore para torná-lo meno eníve a ea varaçõe. O dertore ão nvarante a mudança homogênea de brlho da magem, uma vez que eta varação repreenta uma adção de todo o pxel da magem por uma ontante e o dertore ão alulado por dferença de pxel. Quanto a mudança homogênea de ontrate, repreentada pela multplação de todo o pxel por uma ontante, é orrgda normalzando o dertore. Varaçõe não-lneare, auada quer por aturação da âmera, quer por efeto de lumnação de uperfíe trdmenona em dferente orentaçõe, podem provoar elevada nfluêna obre a magntude do dertore, ma pouo nfluenam na orentação. Reduz-e ete efeto mpondo um valor máxmo à magntude. Am endo, reduz-e a nfluêna da magntude na orrepondêna do ponto em magen dtnta e aumenta-e a mportâna do dertore de orentação Relaonamento de Ponto-Chave em Imagen Dtnta Uma vez aplado o algortmo SIFT obre dua magen dtnta do memo objeto, o algortmo retornará um onjunto de ponto-have em ada magem e eu repetvo dertore. Se faz neeáro relaonar o ponto de forma robuta. Dvero método poíve ão buar ponto om menor dtâna euldeana, dtâna de Mahalanob, máxma probabldade, entre outro. O proedmento eolhdo onte no uo de tranformada Hough (Ballard D., 98) para agrupar o ponto a partr de ua propredade (loalzação, orentação e dertore) em um epaço de tranformação D, e em eguda utlzar o algortmo RANSAC (Random Sample Conenu) (Fhler M. A., 98) para melhorar a etmatva.

58 58 A tranformada de Hough é um método uualmente utlzado para detetar lnha ou urva epefada por uma função paramétra. Ela ra uma matrz aumuladora n-dmenonal onde aumulam-e voto para o parâmetro orreto da lnha e urva enontrada na magem. O uo da tranformada Hough para relaonar ponto é pareda. Cada ponto-have epefa quatro parâmetro: loalzação D, eala e orentação. Sendo am, ra-e uma matrz aumuladora (epaço de tranformada D) em tranlaçõe (t, t), log eala (log ) e rotação (θ). Dretzam-e o tamanho do exo de om um otavo do tamanho da magem para tranlação, um otavo de eala para eala e um otavo de radano para rotação. A tranformada Hough dentfa agrupamento de propredade de ponto-have uando ada propredade de um ponto de uma magem para votar entre todo o outro ponto da outra magem aquele que é ma ontente. O reultado da tranformada Hough ão refnado uando RANSAC. Ete método tem a vantagem de er altamente nentvo a ponto anormalmente dtante da maora do ponto amotrado, ma falhará e ete grupo de ponto anormalmente dtante for muto grande. Por o é uado Hough ante para agrupar a propredade Reontrução O objetvo fnal do uo de âmera na albração do braço meâno é de obter a poçõe de ponto dentfado na magen na oordenada rea dele no mundo. Tendo-e eta poção do ponto, é poível deobrr a poção do manpulador em relação à ua área de trabalho para que ele poa trabalhar automatamente. Ete proeo hama-e reontrução e dentre dvero algortmo de reontrução preente na lteratura, o eolhdo fo o algortmo de Trangulação. Outro método omo Etrutura do Movmento e Geometra Eppolar foram tetado ma trouxeram pouo reultado potvo. O método da trangulação é puramente geométro. Tendo-e um par de âmera albrada e um onjunto de ponto p na prmera magem orretamente relaonado a ponto p na egunda magem, e endo a poção da âmera O e

59 59 O repetvamente, enontra-e a poção do ponto no epaço 3D na ntereção do rao ROp e R O p, onforme vto na Fgura. Na práta eta ntereção não oorre devdo a erro de albração e de loalzação do ponto. Para oluonar ete problema e alula o ponto médo do egmento que ma aproxma o do rao R e R. OP P P P O OO Eq Expandndo a Equação om a poção relatva da âmera: z pˆ ( pxrp ˆ ˆ ) z' Rpˆ ' t Eq Onde R é a matrz de rotação entre a âmera e t é o vetor de tranlação. Subttundo em o parâmetro ntríneo (K e K ): zk p ( K pxrk' p) z' RK' pˆ' t Eq Reolvendo o tema da Equação enontra-e o parâmetro z e. O ponto P é obtdo pela equação: P zk p ( K pxrk' p) / Eq Fgura : Trangulação

60 4 Aplação ao Manpulador TA Introdução No apítulo anterore, foram dutda dvera téna e algortmo para a albração de um manpulador robóto de forma genéra. Ete apítulo tem omo objetvo aplar ea téna em um ao real. O manpulador TA-4 é um braço robóto utlzado pela PETROBRAS em ntervençõe ubmarna. Ele atua em profunddade que mpobltam a ntervenção humana e funona fxado obre um robô ubmarno (ROV) que o tranporta até a ua área de trabalho. Atualmente, ontrolado por tele-operação, o manpulador pou poua preão e, gerando um alto grau de nerteza e perda de repettbldade neeára à automação. A albração dete manpulador é não apena uma grande oportundade de etudo ma trará reultado potvo na exploração de petróleo, permtndo automatzar proedmento. Nete apítulo, erá nalmente feta uma breve derção do manpulador TA-4, uja ompreenão é ndpenável para o proedmento. Em eguda, erão obtdo o eu modelo nemáto, ua nemáta nvera e a matrze de dentfação de erro. Segue uma demontração que mula o uo do algortmo SIFT atuando em magen vta pelo manpulador, bem omo a orrelação de ponto. Por fm, todo o algortmo ão undo de forma a e ter uma albração ompleta do manpulador.

61 6 4.. Derção do Manpulador O manpulador híbrdo TA-4 é um braço robóto ontrolado apaz de levantar uma arga máxma de kg a 95 mm de alane. Ele etá onfgurado om angulação de ombro, do otovelo, rotação do braço nferor, angulação do punho, rotação de garra e abertura e fehamento de garra. A movmentação é drgda por válvula hdráula, atuadore rotatóro e motore hdráulo, poundo e grau de lberdade. Crado para atuar em ambente hot ao er humano, o TA-4 é apaz de operar a profunddade de 3 metro e ob efeto de radação. Sua operação é feta por meo da manpulação de uma mnatura do manpulador, o braço metre, vualzada na Fgura 3. O proedmento adotado atualmente no uo do TA-4 em ntervençõe ubmarna alguma veze requer a ontrução de uma répla (maquete) da tarefa a er deenvolvda. Quando uma trajetóra para a tarefa é deoberta, o TA-4 é deloado para ua área de trabalho por meo de um ROV e ua tarefa é exeutada. Fgura 3: TA4 e mnatura utlzada omo metre na tele-operação

62 6 Com a albração do TA-4, a olução para um problema que neete de uma ntervenção ubmarna pode er deenvolvda offlne, em um ambente vrtual, reduzndo am o tempo de deenvolvmento de uma olução e reduzndo uto Cnemáta do Manpulador A nemáta do manpulador é pré-requto para a albração, quer eja na obtenção da matrz de erro quer eja na albração da bae. A teora neeára para ompreenão deta eão etá no apítulo, ma preamente em.5. A Fgura 4 motra o manpulador om eu e tema de oordenada. A egur obtêm-e parâmetro de Denavt-Hartenberg para ada tema de oordenada. Fgura 4: TA-4 e eu tema de oordenada Junta e A Fgura 5 motra a junta e om eu repetvo tema de oordenada. A junta etá na bae do manpulador. Seu exo z etá obre o exo de rotação e o exo x e x eguem a normal omum entre a junta e (lnha pontlhada). A normal omum entre z e z pou 5 mlímetro (a 5). Além dto, o exo z etá rotaonado em 9º no entdo horáro em relação ao exo z, endo o parâmetro (α -9º). A dtâna entre o exo de oordenada O e a normal omum é nula (d ).

63 63 Fgura 5: Junta e Junta e 3 A Fgura 6 motra a junta e 3 om eu repetvo tema de oordenada. O exo z etá obre o exo de rotação e o exo x egue a normal omum entre a junta e 3 (lnha pontlhada). A normal omum entre z e z pou 753 mlímetro (a 753). O exo z e z têm a mema orentação e entdo (α º). A dtâna entre o exo de oordenada O e a normal omum é nula (d ). Fgura 6: Junta e 3

64 Junta 3 e 4 Na Fgura 7 (junta 3 e 4), o exo z etá obre o exo de rotação e o exo x 3 egue a normal omum entre a junta 3 e 4 (lnha pontlhada). A normal omum entre z e z 3 pou 88 mlímetro (a 88). A poção do exo O 3 e enontra fora do lmte rea do manpulador. Exte uma rotação horára de 9º entre o exo z e z 3 (α 3 9º). A dtâna entre o exo de oordenada O e a normal omum é nula (d 3 ) Junta 4 e 5 Na Fgura 8 (junta 4 e 5), o exo z 3 etá obre o exo de rotação, e eu entdo va em dreção ao exo z 4, o que permte a eolha da poção da normal omum em qualquer ponto da lnha pontlhada que une o do exo. Fo eolhda a poção da normal omum obre o tema de oordenada O 4 a 747 mlímetro de dtâna ao tema O 3 (d 4 747); a normal omum pou tamanho nulo (a 4 ), o que permte a eolha da dreção de x 4 gual à dreção de x 3, faltando o álulo. Exte uma rotação ant-horára de 9º entre o exo z 3 e z 4 (α 4-9º).

65 65 Fgura 7: Junta 3 e 4 Fgura 8: Junta 4 e 5

66 Junta 5 e 6 A Fgura 9 motra a junta 5 e 6. Ambo o exo etão no memo ponto (a dtâna entre ele é nula) na dreçõe de eu repetvo exo de rotação e não há normal omum (d 5, a 5 ). O exo x 5 pode ter ua dreção eolhda de forma a faltar o álulo. Há uma rotação de 9º entre o exo z 4 e o exo z 5 (α 5 9º) Junta 6 A Fgura 3 motra a junta 6. O exo z 5 etá obre o exo de rotação, e eu entdo va em dreção ao exo z 6, o qual teve a orentação eolhda de modo que o exo z 6 tvee a mema orentação que o exo z 5. A orentação do exo permte a eolha da poção da normal omum em qualquer ponto da lnha pontlhada que une o do exo. Fo eolhda a poção da normal omum obre o tema de oordenada O 6 a 36 mlímetro de dtâna ao tema O 5 (d 6 36); a normal omum pou tamanho nulo (a 6 ). Não exte rotação entre o exo z 5 e z 6 (α 6 º). Fgura 9: Junta 5 e 6

67 67 Fgura 3: Junta Parâmetro de Denavt-Hartenberg A Tabela apreenta todo o parâmetro de Denavt-Hatenberg (DH). A partr dele, pode-e rar a matrze A que lgam uma junta à egunte (Equação 4.3.3) e a partr da Equação 4.4., obter a poção da extremdade do manpulador. Tabela : Tabela de Parâmetro DH Elo a d α θ 5 9 θ 753 θ θ θ θ θ 6

68 Calbragem do Manpulador Eta eção demontrará a aplação do método expltado na eção.4, onde e bua a matrz de erro do manpulador baeado no álulo de ua matrz jaobana de dentfação. Conforme vto, o manpulador pou erro, geralmente orgnáro de tolerâna de fabração, que ão pequeno em ada junta, uja aumulação provoa um grande erro na extremdade. Ete erro em ada junta podem er expltado pela Equação 4.4. z r y p x r p E ε ε ε ε ε ε ε ε ε Eq O prmero pao para dentfar o erro é alular a matrz jaobana de dentfação. Para tal é neeára a nemáta dreta do manpulador, alulada na eção 4.3. Adonando-e o erro à Equação.3., enontra-e a Equação.4.3, que, para o TA-4, é ompota por matrze: ), ( A E A E A E A E A A E E A E q T ε Eq A matrz jaobana de dentfação é enontrada dervando-e a Equação 4.4. em relação a ada um do erro, e em eguda gualando todo o erro da matrz reultante a zero. Ete últmo proedmento va reduzr a omplexdade de álulo poterore, onderando-e o erro ndvdua em ada junta muto pequeno ,,,,,,...,,,,,, ), ( z y x r p z y x r p e q T J ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Eq A matrz jaobana reultante pou 4 oluna e etá expltada no Apênde A. Eta matrz fo alulada de forma que e utlzem apena medda

69 69 da poção da extremdade, gnorando ua orentação. Am, omo eperado, a trê últma oluna ão nula. Enontrada a matrz jaobana, onforme explado no apítulo, a oluna lnearmente dependente devem er retrada. O erro generalzado ε z,(-) e ε r,(-), para..6, ão elmnado, e eu valore ão norporado ao parâmetro de erro ndependente ε y,, ε z,, ε, e ε r,.. Também ão retrada a trê últma oluna, referente à orentação da extremdade. A matrz jaobana reduzda reultante (G e ) pou 5 oluna, tendo do reduzda em 7 oluna. Fo deenvolvdo um tete, no qual e alulava a poção da extremdade do manpulador, em dvera onfguraçõe poíve, ob efeto de erro generalzado em toda a junta. Em eguda, ete erro foram alulado a partr da poção da extremdade obtda e da matrz G e. O erro generalzado alulado foram gua ao erro utlzado para alular a poção da extremdade do manpulador, porém a dferença entre o erro etavam ubtanalmente elevado no erro generalzado e x6,e y6,e z6,e r6,e p6 e e 6. O reultado fo provoado pela extêna de dua oluna lnearmente dependente, que provoou ngulardade na nverão da matrz G e. Eta oluna lnearmente dependente não foram reduzda pelo método analíto devdo ao fato de terem do auada pelo uo apena da poção da extremdade do manpulador, gnorando a orentação. Para que a matrz G e eja nverível, deve-e retrar ta oluna lnearmente dependente. Nete ao partular, onde a orentação do manpulador não é onderada, a Equação.6. mpla que o erro generalzado ε,n, ε r,n e ε p,n não afetam medda da extremdade. Portanto, e a últma junta é revoluta (omo no ao do TA-4) e a n então a egunte equação deve er utlzada para ompenar a jaobana (Meggolaro, Apênde A, ): * εx,(n) εx,(n) ε,(n) dn * εy,(n) εy,(n) εp,(n) dn Eq O que mpla que ε r,(n-) não afeta a poção da extremdade.

70 Cnemáta Invera A nemáta nvera é alulada ao-a-ao, baeada na onfguração do manpulador, tendo omo eu pré-requto o álulo de ua nemáta dreta. Como o manpulador pou o exo de ua trê últma junta (junta 4, 5 e 6) e enontrando num úno ponto, a olução analíta é poível de er enontrada. Condere-e a Equação 4.5. que modela a poção da extremdade do manpulador em relação à bae pela multplação de matrze de tranformação homogênea obtda pelo parâmetro DH: ) ( A A A A A A A q T Eq A Equação pode er manpulada para e enontrar a poção do exo no 5 P, om bae no exo : ( ) ( ) A A A A A T A P P n Eq A Equação 4.5. retorna uma matrz om a poção e a orentação do exo 5 em relação ao exo. É mportante notar que o exo 4 e 5 pouem a mema poção; portanto, a junta 4, por rodar em torno de eu própro exo, não tem efeto obre eta poção. A egur ão expanddo ambo o lado da Equação 4.5.: d a a R d a a P A A A A Eq ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b y b a x a b z R a a b y b a x A T A Eq ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' z y x a b y a b x a b z a a b y a b x d a a d a a P P Eq

71 7 Reolvendo-e a lnha trê na Equação 4.5.5, obtém-e o ângulo da prmera junta: y ba6 θ kπ z b a tan Eq Igualando-e a dua prmera lnha da Equação 4.5.5, tem-e: a a a 3 a 3 3 d 4 d x' y' Eq A Equação pode er mplfada para um manpulador plano de do grau de lberdade, po a dtâna entre o exo e 4 é ontante, onforme vto na Fgura 3. Fgura 3: Exo O,O 3 e O 4 obre a forma de nemata nvera de do grau de lberdade A partr da Equação e pela anále do trângulo formado pelo ponto O ˆO V 4 e O O ˆ 3O4 obtém-e o egunte tema de equaçõe:

72 7 φ θ ϖ ϖ θ ϖ θ ' ).n(.. ' ) o(.. y k a k d k k a k a x k a k d k k a k a d a k Eq Ete tema é típo de um manpulador plano de do grau de lberdade, uja olução, om o ângulo θ e θ 3, é: θ φ ' ' o tan y x a k a y x x y Eq ' tan o a d k a k a y x θ Eq Obtdo o ângulo do trê prmero exo, e a poção da extremdade do manpulador, é poível rar um tema de equaçõe que retorne o ângulo do exo 4 e 5. Para tanto, deve er onderada a poção da junta 6 em relação à junta 3. Partndo da Equação 4.5., hega-e à egunte reolução: a d a R a P A A A Eq ( ) a x a y z y x R a x y z a a T A Eq '' '' '' a d a a z y x a x a y z y x a x y z a a P Eq

73 73 Note-e que o valore da Equação 4.5. ão todo ontante, uma vez que o ângulo da junta a 3 já foram alulado anterormente. A partr da Equação 4.5.3, o ângulo do exo 4 e 5 ão: θ kπ x y '' ' ' tan 4 Eq '', '' tan a d z a y a θ Eq Onde za tan(y,x) é defnda tal que n(z)x e o(z)y. Obtdo o ângulo da no prmera junta, já e tem a poção da extremdade, uma vez que a junta 6 mpla apena em uma mudança de orentação da extremdade. Am, pode-e obter o ângulo do exo 6 a partr da poção fnal da extremdade: 6 z b p n y b p n x b p n A z z z y y y x z x Eq ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) n n n n z y z Eq Para faltar a vualzação, a egunte ontante ão defnda: ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) µ µ µ µ µ µ Conhedo o ângulo da junta a 5, hega-e a:

74 nxµ 3 nyµ µ µ µ µ nxµ 4 nyµ µ µ µ µ 3 Eq Reolvda a Equação 4.5.8, obtém-e o ângulo da junta e: (, ) kπ θ6 a tan 6 6 Eq A equaçõe da nemáta nvera do manpulador pouem váro termo defndo por tan - e o -, o que leva a múltpla oluçõe, num total de oto. Além dto, extem quetõe a erem vta obre a extêna de oluçõe. Conderando-e a Equação 4.5.6, referente ao exo, há a prnípo a pobldade de dua oluçõe. Não obtante, lmtaçõe fía de movmento deta junta permtem que ela e mova em ângulo entre -º a 9º, permtndo apena a oluçõe em que ete ângulo e enontra entre -9º e 9º. Quanto à Equaçõe e 4.5., repetvamente referente ao ângulo do exo e 3, têm-e a prnípo dua oluçõe poíve. Sabendo-e que o manpulador funona om o otovelo voltado para ma devdo à retrçõe da junta, retra-e ea ambgudade, permtndo-e apena oluçõe na qua Φ é negatvo. Na Equação 4.5.4, referente à junta 4, há a pobldade de ngulardade quando o ângulo da junta 5 é nulo. Nete ao, o ângulo da junta 4 e 6 ão redundante; um dele deve er fxado (4), e o outro rotaonado para um ajute fno da orentação da garra Vão Computaonal Eta eção motra omo é feta a lgação entre o algortmo derto no apítulo 3 e a nemáta do manpulador, de forma a e ter uma olução ompleta de albragem, na qual o manpulador om uo de âmera poona-e para efetuar ua tarefa.

75 75 O tete de albração da bae do manpulador foram mulado em um ambente vrtual. O motvo prnpal para tal é o fato de que o ambente vrtual retorna poçõe prea de todo o objeto. Fo utlzado o programa 3DStudo para ração de âmera e do modelo do manpulador Câmera Para tetar o algortmo ompleto de albração do manpulador fo utlzado um par de âmera om lente de 35 mlmetro e dtâna foal de mm. A âmera foram poonada a uma dtâna de mlmetro uma da outra, amba fxada na extremdade do manpulador. Am omo no modelo real, amba a âmera paaram por um proeo de albração. Foram trada oto foto de uma plataforma de albração (Fgura ) para ada âmera e em eguda fo utlzado o algortmo de albração preente na eção 3, apítulo 3. O reultado para amba a âmera etão motrado na Tabela 6, preente no Apênde B: Como motrado na eção 3.3, o reultado da albragem levam a uma matrz de projeção que ondera a orgem do plano do mundo no entróde do ponto obervado na plataforma de albração. Am, a matrz M ondera uma tranlação e rotação em relação a ea orgem, que pode não er onvenente na práta. Am, apla-e a nvera da matrz de parâmetro extríneo da âmera equerda obre amba a âmera, levando o entro do mundo para a âmera equerda, que etá aoplada em uma poção onheda do manpulador. O ponto enontrado poterormente pela trangulação erão poonado em relação à oordenada da âmera equerda Correlação de Ponto Como vto no apítulo 3, enontrar ponto orrepondente em amba a magen é mprendível para a trangulação e, portanto, para o poonamento do ponto da magem. O método SIFT fo eolhdo para enontrar o ponto

76 76 etáve na magem, e, atravé de tranformada Hough e RANSAC faz-e o relaonamento do ponto. A Fgura 3 apreenta dua magen retrada a um ntervalo de 4 egundo uma da outra, enquanto o TA-4 faza uma ntervenção ubmarna em um panel de ontrole. A Fgura 3 fo obtda de uma ntervenção ubmarna em um panel de ontrole, endo que a Fgura 3-a e 3-b foram obtda om dez egundo de dferença enquanto o manpulador e mova. A Fgura 33-a motra 9 ponto obtdo pelo algortmo SIFT aplado à magem 3-a, enquanto que a Fgura 33-b motra 5 ponto enontrado na Fgura 3-b. A Fgura 34 motra a orrelação de ponto. Cada reta numerada na magem tem orgem em um ponto deoberto por SIFT na Fgura 33-a e eu fm em um ponto enontrado por SIFT na Fgura 33-b. Pode-e ontatar que, apear de muto ponto enontrado em amba a magen erem gnorado pelo algortmo, o era de vnte ponto que e orrelaonam dreonam o movmento de forma oerente, po a reta ão vualmente paralela. Eta mulação permte que e ontate que o algortmo é apaz de enontrar um número relevante de ponto na magen ofereda pela âmera na profunddade da área de trabalho do TA-4 e que é apaz de aompanhá-lo em magen oneutva. Fgura 3 a/b: Imagem de panel obtda om egundo de dferença durante tarefa

77 77 Fgura 33 a/b: Imagem de panel om o ponto obtdo pelo algortmo SIFT Fgura 34: Correlação de ponto

78 Calbragem da Bae O grande objetvo de e utlzar proeamento de magen no TA-4 é o fato de que ada vez que ete é levado a ua área de trabalho, o objeto que ele manpulará etarão em poçõe aboluta dtnta da últma operação. Am, o manpulador neeta aber onde etá ua bae em relação ao objeto próxmo que ele rá manpular. Ao e obervar o algortmo do apítulo e 3, repetvamente de nemáta e vão omputaonal, perebe-e que ambo utlzam a matrze de tranformação homogênea para modelar a poçõe. Am, é poível a partr da magen do ambente, obter matrze de tranformação homogênea que defnam a poção de ponto nete ambente em relação à âmera, e em eguda utlzar a matrze obtda na nemáta e albração para obter a poção dete ponto em relação à bae do manpulador. Tendo-e dua âmera albrada aoplada à extremdade do manpulador em uma poção fxa, obtêm-e magen da área de trabalho om amba a âmera. A partr do uo do algortmo SIFT, a magen paam a er onvertda em onjunto de ponto p ρ, ρ, ρ,..., ρ ) na âmera equerda e L ( 3 n pr ρ', ρ', ρ',..., ρ' ) na âmera dreta, ρ ( u, v), oordenada na ( 3 m magem. Por tranformada Hough e RANSAC, erão enontrado ponto em p L que e relaonem a ponto em p R. O ponto orrelaonado ão utlzado na trangulação para e obter a C poção do memo no epaço trdmenonal, P q, q, q,..., q ), em relação ( 3 a poção de uma da âmera, endo q (x,y,z). A poção da âmera em relação à bae do manpulador é onheda, uma vez que e onhee a nemáta dreta do manpulador, bem omo o ângulo da junta, eu erro e a poção da âmera em relação à extremdade, determnada por uma matrz de tranformação homogênea, A C (Equação 4.6.). A Equação 6.6. tranforma a poçõe do C ponto P em relação à âmera para ua poção em relação à bae do manpulador.

79 79 ε Eq TC ( q, ) E A E A E A E3 A3 E 4 A4 E5 A5 E6 A6 A C C C P TC P E A E A E A E3 A3 E4 A4 E5 A5 E6 A6 AC P Eq Por fm, pode-e movmentar a extremdade do manpulador para qualquer do ponto deejado utlzando a nemáta nvera. A egunte metodologa é utlzada para e onegur a poção de ada objeto da magem em relação à poção da bae: - Obtém-e um par de magen om amba a âmera. - Utlza-e o SIFT, egudo de tranformada Hough e RANSAC, para relaonar ponto em amba a magen. 3- Utlza-e trangulação obre o ponto para obter a poção real do C ponto em relação à âmera equerda, P. 4- Calulam-e, a partr do ângulo da junta, erro e pela matrz onheda A C, a poção e orentação da âmera em relação à bae T C. 5- Utlza-e a equação 4.6. para obter a poção do ponto em relação à bae. 6- Utlza-e a nemáta nvera do manpulador para mover a extremdade para qualquer poção. Atravé do uo dete algortmo é poível ao manpulador poonar-e em qualquer ambente em a ntervenção humana. Ao operador, erá ofereda apena a tarefa de eolher poçõe da magem onde ele deeja que a ferramenta eteja, e o algortmo alulará automatamente o ângulo da junta neeáro para alançar o objetvo.

80 5 Reultado 5.. Introdução O objetvo dete apítulo é apreentar o reultado de dvera mulaçõe feta no deorrer do projeto. Ta mulaçõe têm o objetvo de tetar o algortmo preente no apítulo anteror e verfar e ele e aplam ao problema práto de albragem do TA-4. A mulaçõe aqu feta prouram obter reultado do algortmo aplado em onjunto para o funonamento do TA Smulação Cnemáta Neta eção, erão expoto dua mulaçõe. A prmera teta a nemáta dreta e nvera, utlzando o parâmetro de Denavt-Hartenberg. A egunda teta a matrz jaobana de dentfação, analando ua apadade de enontrar erro preente na junta do manpulador. 5.. Cnemáta Dreta-Invera Eta mulação tem omo objetvo tetar prnpalmente a nemáta nvera. O proedmento para eta mulação é o de utlzar o parâmetro de Denavt-Hartenberg preente na Tabela de forma a alular a e matrze de tranformação homogênea A. A partr deta matrze e do ângulo da e junta, θ, utlzando a Equação.3. alula-e a poção e orentação da extremdade om relação à bae do manpulador, T ( ). 6 θ

81 8 Com poe do algortmo de álulo da nemáta nvera, alulado na eção 4.5, alula-e o ângulo da e junta a partr da poção da extremdade alulada pela nemáta dreta. O ângulo obtdo pela nemáta nvera deve er gual ao utlzado na nemáta dreta. A mulação é feta om dvero ângulo dentro da área de trabalho o manpulador, de forma a buar falha no álulo da nemáta nvera. A Tabela motra o reultado da mulação para nove ângulo obtdo aleatoramente. O erro máxmo enontrado entre o ângulo utlzado e o ângulo alulado pela nemáta nvera em 5 rodada de mulação fo nferor a.3 grau. Tabela : Reultado da mulação de nemáta dreta-nvera 5.. Jaobana de Identfação Eta mulação tem omo objetvo tetar a matrz Jaobana de Identfação alulada na eção 4.4, que pode er enontrada algebramente no Apênde A. A matrz Jaobana de Identfação, Je, é utlzada para alular o erro preente no manpulador. O proedmento deta mulação é rar 4 erro randômo, nerr no álulo da extremdade do manpulador, e utlzar a jaobana para obter o erro rado. Inalmente, ram-e o erro generalzado ε x, ε y, ε z, ε p, ε, ε r, para...6, endo rado 4 erro. Ete erro ão rado aleatoramente, om valore na ordem de mlmetro e ml-radano O erro generalzado ε z,(-) e ε r,(- ), para..6, ão elmnado, e eu valore ão norporado ao parâmetro de erro ndependente ε y,, ε z,, ε, e ε r,..

82 8 Calula-e a partr do erro generalzado e do ângulo da junta a poção da extremdade do manpulador (Eq..4.). Calula-e também a poção deal, em erro, utlzando-e apena a nemáta dreta e a poção da junta. A dferença entre a poção real e deal é alulada, X. Utlzando-e a Equação.4.5 alulam-e o erro generalzado a partr de X e da peudo-nvera do Jaobano de Identfação. O erro alulado devem er o memo erro utlzado. A Tabela 3 apreenta o erro etmado (E_etm), o erro utlzado (E_real) e a dferença entre ele em uma mulação. Em 5 mulaçõe, o maor erro obtdo fo da ordem de -3, demontrando que o álulo etá adequado. Tabela 3: Reultado da mulação om a Jaobana de Identfação Erro Erro Rea (E_real) Erro Etmado (E_etm) Dferença (E_real-E_etm) Ex,875,875,93E-8 Ey,835,835 3,3E-6 E,54E-5,54E-5 -,89E-8 Ep 9,79E-6 9,79E-6 3,85E-9 Ex,66,66,77E-5 Ey,995,995,5E-6 E,3E-5,3E-5-3,69E-8 Ep,5E-5,5E-5,E-9 Ex,55,55 -,96E-5 Ey,73,73 -,3E-5 E,43E-5,43E-5,7E-8 Ep,3E-5,3E-5 -,3E-9 Ex3,3,3,78E-3 Ey3,875,875,9E-3 E3,6E-5,6E-5 -,4E-6 Ep3 9,8E-6 9,8E-6 8,9E-7 Ex4,455,455-7,6E-4 Ey4,89,89-6,9E-7 E4 8,97E-7 8,97E-7 3,7E-7 Ep4,7E-5,7E-5 8,6E-7 Ex5,877,877,7E-4 Ep5 -,3E-6 -,3E-6-3,66E-7 Ex6,54,54,7E-6 Ey6 6,86E-6 6,86E-6 4,38E-6 Ez6,4,4,47E-5

83 Smulaçõe em Vão O algortmo de trangulação já fo utlzado em dvero trabalho e é relatvamente onfável quando o ponto utlzado ão bem orrelaonado. O algortmo SIFT é adequado para a obtenção de ponto etáve, e, em onjunto om RANSAC e a tranformada Hough, é uma ferramenta robuta para orrelaonar ponto. São formulada a egur trê mulaçõe: a prmera para tetar o algortmo de trangulação dentro de dtâna pertenente à aplação, a egunda para tetar dferente reoluçõe, e a últma para tetar e o algortmo permte realmente enontrar poçõe de ponto na magem em relação à bae do manpulador Trangulação em Dtâna O manpulador TA-4 pode alançar uma dtâna máxma de do metro da bae. Am, fo tetada a apadade do algortmo de trangulação para alular poçõe de objeto em magen uja dtâna para a âmera foe de até do metro. De forma emelhante ao realzado para a mulaçõe de nemáta, prmeramente fo rado um onjunto de ponto a dtâna onheda da âmera equerda (P R ). O algortmo fo tetado para dez dtâna dtnta, varando entre 5 mlímetro e metro no exo Z. Para ada dtâna, foram rado n ponto om valore no exo X e Y varando aleatoramente, ma empre poíve de er vualzado em amba a âmera. Crado o ponto, fo utlzada a Equação 3..9 para e obter a poção em que ada ponto e enontra no quadro da magem. O parâmetro z da Equação 3..9 fo gual à dtâna do onjunto de ponto à âmera equerda no exo Z. A Matrz de Projeção Perpetva (M) fo alulada om o parâmetro ntríneo obtdo na albração (Apênde B) e om parâmetro extríneo onforme a Equação 5.3. (âmera afatada em nquenta mlímetro no exo X e paralela entre ).

84 84 R t 5 Eq Uma vez determnado o ponto no plano da magem, ele ão utlzado no proeo de trangulação. São utlzado o memo parâmetro ntríneo e extríneo para obtenção de um onjunto de ponto alulado no epaço trdmenonal em relação à âmera equerda (P P ). Uma medda de erro (P E ) para ada dtâna (d) é obtda alulando-e a dtâna euldeana entre o vetore P R e P P, para ada ponto, e em eguda alulando-e o erro médo quadráto: n PE ( d) PR (, d) PP (, d) / n Eq A Fgura 35 motra uma repreentação da mulação para uma dtâna. A tabela 4 motra o reultado da mulaçõe. Fgura 35: Equema do algortmo para uma dtâna fxa, z. Tabela 4: Reultado da mulação de trangulação em dtâna Dtana(mm) P E (mm) Erro Máxmo, 3,86 3,93 5, 6,64 5,9, 6,84,65 3, 8,3,83 5, 3,67 43,63 8, 48,4 67,4, 57,66 68, 3, 98,56,93 6,,86 4,36, 3, 39,3

85 85 Perebe-e que o erro aumenta om a dtâna da efera à âmera, omo eperado. Porém epera-e que o manpulador, uma vez aoplado na ua área de trabalho, deva etar a uma dtâna entre ua extremdade e o objeto a erem movdo muto nferor a do metro, om erro na ordem de entímetro. A Fgura 36 motra o erro médo quadráto em dvera dtâna de aordo om o exo. Fgura 36: Smulação de trangulação em função de dtâna de objeto à âmera Trangulação em Função da Reolução O algortmo SIFT é ma rápdo de er proeado e a magem tver dmenõe menore, porém to provoa uma redução da reolução, o que nterfere na trangulação. Para tetar eta nterferêna, fo feto a mema mulação anteror om dvera reoluçõe de âmera. Tendo do feta 5 mulaçõe para ada reolução, om âmera dtanada em mlímetro, a Tabela 4 motra o reultado para alguma dtâna. Tabela 5: Medda de erro de trangulação a partr da reolução e dtâna da âmera (erro em mlímetro). Reolução/Dtâna(mm) 5 3x4 7,8 4,3 73,5 45x54 5, 3,9 6,9 64x48 8, 8, 3,4 8x58 7,6 8,4 3,3 A mulação omprovou que o algortmo de trangulação pou erro maore quanto maor a dtâna, ma também que ete erro aumenta em

86 86 reoluçõe menore. No entanto uma reolução de 64x48 pode er ufente para ofereer ao algortmo erro pequeno, trazendo o benefío de uma maor rapdez na omputação Smulação de Calbração da Bae A últma mulação teta o poonamento do manpulador em relação ao objeto vto pela âmera. Neta mulação, fo rada uma répla do manpulador em ambente vrtual e adonada em poçõe fxa de ua extremdade dua âmera vrtua albrada. Em eguda, foram nerda efera de ore dferenada no ambente vrtual, om poçõe fxa. O tema de oordenada do mundo é fxado na bae do manpulador, enquanto que a poçõe rea da efera em relação a eta bae ão medda. Em eguda, ão obtda magen da efera em dvera onfguraçõe do TA-4, feta a trangulação para alular a poçõe da efera em relação a âmera equerda, e utlzada a Equação 4.6. para obter ta poçõe em relação à bae do manpulador. É utlzada a Equação 5.3. para alular o erro médo quadráto da poção real de ada efera, om relação à alulada. O reultado etão na Tabela 5, enquanto que a Fgura 37, 38 e 39 motram magen apturada em poçõe dtnta do manpulador.

87 87 Fgura 37: Võe da mulação de albração da bae, om manpulador onfgurado om θ 6º, θ 3º, θ 3 º, θ 4 47º, θ 5 6º, θ 6 43º. Fgura 38: Võe de mulação de albração da bae, om manpulador onfgurado om θ 5º, θ -3º, θ 3 -º, θ 4 º, θ 5 8º, θ 6 º.

88 88 Fgura 39: Võe de mulação de albração da bae, om manpulador onfgurado om θ º, θ 9º, θ 3-9º, θ 4 º, θ 5 9º, θ 6 º. Tabela 6: Reultado da mulação de Calbração da Bae

89 6 Conluõe e Sugetõe 6.. Contrbuçõe do Trabalho Ete trabalho ontrbuu no deenvolvmento de téna de albragem, obretudo na área relaonada à albração da bae do manpulador em relação ao eu ambente de trabalho. A téna abordada ão gera a qualquer manpulador, e portanto podem benefar não apena uuáro do TA-4, omo a PETROBRAS. O algortmo preente no apítulo de vão omputaonal ão bem onhedo e já utlzado em dvera aplaçõe, porém o algortmo SIFT em partular é reente, endo aplado baamente em reonhemento de padrõe. O uo do algortmo SIFT na albração do manpulador é uma ontrbução ubtanal dete trabalho. A junção do algortmo de vão omputaonal ao de albração nemáta permte que o manpulador pae a ter onhemento do eu ambente e a atuar om meno nterferêna do operador. É um pao à frente em dreção a uma automação ompleta de braço meâno, onde o manpuladore não neetarão ma ter ua trajetóra programada prevamente pelo operador, ma paarão a er rada no momento da tarefa de aordo om a dfuldade mpota pelo ambente. Quanto à aplação práta, a albração do manpulador TA-4, ete projeto teve muta ontrbuçõe. Foram alulada a nemáta dreta, nvera e a matrz jaobana de dentfação para ete manpulador em partular. Também fo deenvolvda uma metodologa para que o manpulador onheça a poção de ua bae em relação ao objeto a erem manpulado.

90 9 Com bae no que fo deenvolvdo, paa a er poível deenvolver um programa que permta erem feta tarefa em um ambente vrtual. Nete programa, havera um modelo vrtual do manpulador, rado om bae em ua nemáta dreta, nlundo o erro. Também havera a poção deal do objeto que eram manpulado. Nete ambente vrtual eram rada etratéga para ompletar tarefa, em a needade de atvar famente o manpulador. A movmentação nete ambente vrtual erá feta baeada na nemáta nvera, dexando ao operador apena a tarefa de defnr que objeto erão manpulado. Também poderá er deenvolvdo um programa para a atuação real do manpulador. Ete programa reebera a magen da âmera e medra a poçõe do objeto obre o qua o manpulador deve atuar. Em eguda, o manpulador ompara a poção real da bae om a poção deal da bae, alulada offlne. O programa era apaz de realular o ângulo neeáro para rerar a tarefa no ambente real, e atravé do uo onjunto da nemáta nvera e da vão omputaonal, deenvolver ua tarefa om o mínmo de eforço humano. Com bae na mulaçõe, fo poível eolher parâmetro para a âmera que melhor e adequam à aplação, e garantr que o algortmo pouam bon reultado na dtâna em que o manpulador atuará. Epera-e que o programa deenvolvdo por bae nete algortmo ejam onfáve e robuto. 6.. Sugetõe para Trabalho Futuro Ete projeto fo apaz de buar algortmo e metodologa neeára para albrar um manpulador eral que neete atuar em ambente mutáve. Foram apreentada também a aplação dete algortmo a um ao real. Porém o algortmo foram tetado em ambente vrtua. Durante o deenvolvmento da téna, o TA-4 etava ndponível ao uo, e portanto não fo poível fazer tete em laboratóro. É notóro que algortmo baeado em vão omputaonal neetem er aperfeçoado quando utlzado em magen rea. Uma ugetão para um futuro trabalho é tetar o algortmo aqu deenvolvdo em um ambente real. Também

91 9 é ugerda a ração de um programa ompleto para a atuação do manpulador por bae no algortmo aqu apreentado. O algortmo de trangulação aqu utlzado teve um deempenho aetável na dtâna até do metro, poundo erro ubtana quanto maor a dtâna. Uma alternatva a ete método que pode er etudada é o uo de trangulação probablíta, que provavelmente apreentará reultado uperore a dtâna maore.

92 7 Referêna Bblográfa AIT-AIDER O.; HOPPENOT, P. and COLLE, E. Adaptaton of Lowe' Camera Poe Reovery Algorthm to Moble Robot Self-Loalaton - Robota. ASADA, H. and SLOTINE, J.-J. Robot Analy and Control, Wley, New York, 986. BALLARD, D. and BROWN, C. Computer Von, Prente-Hall, Chap 4, 98. BROWN, M. and LOWE, D.G. Invarant Feature from Interet Pont Group, Von Conferene,Cardff, Wale, pp ,. DENAVIT, J. and HARTENBERG, R.S. A Knemat Notaton for Lower-Par Mehanm Baed on Matre, ASME J. Appled Mehan, pp.5-, 955. FISCHLER M.A. and BOLLES R.C. Random Sample Conenu; A paradgm for Model Fttng wth Applaton to Image Analy and Automated Cartography. Comm. Of the ACM, Vol 4, pp , 98 FORSYTH, D.A. and PONCE J. Computer Von, a Modern Approah, ed. Prente Hall, 3. HOLLERBACH, J.M. and WAMPLER, C.W. The Calbraton Index and Taxonomy for Robot Knemat Calbraton Method, Internatonal Journal of Robot Reearh, Vol. 5, No. 6, pp , 996. LOWE, D.G. Dtntve Image Feature from Sale-Invarant Keypont, Unverty of Brth Columba Vanouver, B.C., Canada, 4. MEGGIOLARO, M.; SCRIFFIGNANO, G. and DUBOWSKY, S. Manpulator Calbraton Ung A Sngle Endpont Contat Contrant, Proeedng of the ASME Degn Engneerng Tehnal Conferene, Maryland,. MEGGIOLARO, M. Ahevng Fne Abolute Potonng Auray n Large Powerful Manpulator, PhD the, Department of Mehanal Engneerng, Maahuet Inttute of Tehnology, Maahuett, a MEGGIOLARO, M. and DUBOWSKY, S. An Analytal Method to Elmnate the Redundant Parameter n Robot Calbraton, Proeedng of the Internatonal Conferene on Robot and Automaton (ICRA '), IEEE, San Frano, pp , b.

93 93 MEGGIOLARO, M.; DUBOWSKY, S. and MAVROIDIS, C. Calbratng for Geometr and Elat Error n Large Manpulator Inludng Elmnaton of Redundant Error Parameter, ubmtted to the Internatonal Journal of Robot Reearh,. MEGGIOLARO, M.; JAFFE, P. and DUBOWSKY, S. Ahevng Fne Abolute Potonng Auray n Large Powerful Manpulator, Proeedng of the Internatonal Conferene on Robot and Automaton (ICRA '99), pp.89-84, IEEE, Detrot, 999b. MEGGIOLARO, M.; JAFFE, P.; IAGNEMMA, K. and DUBOWSKY, S. A Fore-Updated Knemat Vrtual Vewng Sytem Wth Applaton To Nulear Power Plant Mantenane, Proeedng of the Tenth World Congre on The Theory of Mahne and Mehanm (IFToMM), Fnland, 999a. MEGGIOLARO, M.; MAVROIDIS, C. and DUBOWSKY, S. Identfaton and Compenaton of Geometr and Elat Error n Large Manpulator: Applaton to a Hgh Auray Medal Robot, Proeedng of the 998 ASME Degn Engneerng Tehnal Conferene, Atlanta, 998. MOORING, B.W.; ROTH S.Z. and DRIELS, M. Fundamental of Manpulator Calbraton, John Wley & Son, 99. MURRAY, R.M.; LI, Z. and SASTRY, S.S. A Mathematal Introduton to Robot Manpulaton. Boa Raton, FL: CRC Pre, 994. PIEPER, D.L. The knemat of manpulator under omputer ontrol. Stanford Artfal Intellgene Laboratory, Stanford Unverty, AIM 7, 968. ROTH, Z.S.; MOORING, B.W. and RAVANI, B. An Overvew of Robot Calbraton, IEEE Southon Conferene, Vol.RA-3, No.5, pp , 987. SCHEFFER, B. Geometr Control and Calbraton Method of Indutral Robot, th Internatonal Sympoum on Indutral Robot, Renault, Frane, 976. SCHRÖER, K. Theory of Knemat Modellng and Numeral Proedure for Robot Calbraton. In Bernhardt, R., Albrght, S.L. (ed.): Robot Calbraton. London: Chapman & Hall, pp.57-96, 993. SLOCUM, A. Preon Mahne Degn, Prente Hall, Englewood Clff, 99. ZHUANG, H.; MOTAGHEDI, S.H. and ROTH, Z.S. Robot Calbraton wth Planar Contrant, Pro. IEEE Internatonal Conferene of Robot and Automaton, Detrot, Mhgan, pp.85-8, 999. ZHUANG, HANQI; ROTH, S. ZVI. Camera-Aded Robot Calbraton, ed. CRC Pre, In, 996.

94 8 Apênde A Nete apênde etão a matrze relaonada à nemáta dreta do manpulador TA-4, bem omo a matrze da Jaobana de Identfação, para a formulação do erro generalzado. Condere o parâmetro D.H. q, q, q 3, q 4, q 5 e q 6 para o manpulador robóto TA-4, defndo na Fgura 4. Fgura 4: Stema de oordenada do TA Poção da Extremdade X(((o(q)*o(q)*o(q3)-o(q)*n(q)*n(q3))*o(q4) n(q)*n(q4))*n(q5)-(-o(q)*o(q)*n(q3) -o(q)*n(q)*o(q3))*o(q5))*d6 (o(q)*o(q)*n(q3)o(q)*n(q)*o(q3))*d4 o(q)*o(q)*a3*o(q3)-o(q)*n(q)*a3*n(q3) o(q)*a*o(q)a*o(q)

95 95 Y(((n(q)*o(q)*o(q3)-n(q)*n(q)*n(q3))*o(q4) -o(q)*n(q4))*n(q5)-(-n(q)*o(q)*n(q3) -n(q)*n(q)*o(q3))*o(q5))*d6 (n(q)*o(q)*n(q3)n(q)*n(q)*o(q3))*d4 n(q)*o(q)*a3*o(q3)-n(q)*n(q)*a3*n(q3) n(q)*a*o(q)a*n(q) Z((n(q)*o(q3)o(q)*n(q3))*o(q4)*n(q5) -(-n(q)*n(q3)o(q)*o(q3))*o(q5))*d6 (n(q)*n(q3)-o(q)*o(q3))*d4n(q)*a3*o(q3) o(q)*a3*n(q3)a*n(q) 8.. Jaobana de Identfação A egur etá a Matrz Jaobana de Identfação, ompota por quatro lnha e quarenta e dua oluna. Com o objetvo de auxlar a aplação, a jaobana erá expota na forma de algortmo. funton Je jaobana_dentfaao(q,q,q3,q4,q5,q6) %matrz jaobana de dentfação %entrada e ângulo da junta do manpulador %alula-e o eno e oeno antepadamente para aumentar a velodade o(q); o(q);3 o(q3);4 o(q4);5 o(q5);6 o(q6); n(q); n(q);3 n(q3);4 n(q4);5 n(q5);6 n(q6); %parâmetro DH do manpulador TA-4 em mlímetro a.5;a.753;a3.88;d4.747;a6.36; % J X, Je(,) ; Je(,) ; Je(3,) ;

96 96 %J Y, Je(,) ; Je(,) ; Je(3,) ; % J Z, Je(,3) ; Je(,3) ; Je(3,3) ; %J S, Je(,4)3*a3*3*a3*-d4*3*-a6*5*3*a6*5*3* d4*3*a6*5*4*3**aa6*5*4*3*; Je(,4) ; Je(3,4)-3*a3**-*a-a6*5*3**-a6*5*3**-a6*5*4* 3*a3**-d4*3**-d4*3**-a6*5*4*3**- *a*a6*5*4*3**; %J R, Je(,5)3*a3**-*a-a6*5*3**a6*5*4*3** -a6*5*4*3**-d4*3**-3*a3** a6*5*4*-d4*3**-a6*5*3**-*a*; Je(,5)3*a3***aa6*5*3**a6*5*3**a6*5*4* -3*a3**d4*3**d4*3**a6*5*4*3** *a*-a6*5*4*3**; Je(3,5) ; %J P, Je(,6) ; Je(,6)-3*a3*-3*a3*d4*3*a6*5*3*-a6*5*3*-d4*3* -a6*5*4*3*-*a-a6*5*4*3*; Je(3,6)-3*a3***aa6*5*3**-a6*5*4*3** a6*5*4*3**d4*3**3*a3** -a6*5*4*d4*3**a6*5*3***a*;

97 97 %J X, Je(,7) ; Je(,7) ; Je(3,7) ; %J Y, Je(,8) ; Je(,8) ; Je(3,8) ; %J Z, Je(,9) ; Je(,9) -; Je(3,9) ; %J S, Je(,)3*a3**-a6*5*3**a6*5*4*3**-a6*5*4*3** -d4*3**-3*a3**a6*5*4*-d4*3**-a6*5*3** -*a*; Je(,)3*a3**a6*5*3**a6*5*3**a6*5*4* -3*a3**d4*3**d4*3**a6*5*4*3** *a*-a6*5*4*3**; Je(3,) ; %J R, Je(,)-3*a3**-d4*3**d4*3**-*a*-3*a3** -a6*5*4*3**-a6*5*4*3**-a6*5*3** a6*5*3**; Je(,)-d4*3**-a6*5*4*3**d4*3**-a6*5*4*3** -3*a3**-3*a3**-*a*a6*5*3**-a6*5*3**; Je(3,)3*a3*d4*3*d4*3*-3*a3*a6*5*4*3* *aa6*5*3*a6*5*3*-a6*5*4*3*;

98 98 %J P, Je(,)d4*3**a6*5*4*3**-d4*3**a6*5*4*3** 3*a3**3*a3***a*-a6*5*3** a6*5*3**; Je(,)-3*a3**-d4*3**d4*3**-*a*-3*a3** -a6*5*4*3**-a6*5*4*3**-a6*5*3** a6*5*3**; Je(3,)-a6*5*4; %J X, Je(,3) *; Je(,3) *; Je(3,3) ; %J Y, Je(,4) -*; Je(,4) -*; Je(3,4) ; %J Z, Je(,5) ; Je(,5) -; Je(3,5) ; %J S, Je(,6) -a6*5*4*3*-a6*5*3*-3*a3*-d4*3*a6*5*4**; Je(,6) a6*5*3*a6*5*4*3*a6*5*4**d4*3*3*a3*; Je(3,6) a6*5*4*; %J R, Je(,7)-3*a3**-d4*3**d4*3**-3*a3** -a6*5*4*3**-a6*5*4*3** -a6*5*3**a6*5*3**;

99 99 Je(,7)-d4*3**-a6*5*4*3**d4*3**-a6*5*4*3** -3*a3**-3*a3**a6*5*3**-a6*5*3**; Je(3,7)3*a3*d4*3*d4*3*-3*a3*a6*5*4*3* a6*5*3*a6*5*3*-a6*5*4*3*; %J P, Je(,8) 3*a3*-d4*3*a6*5*4*3*-a6*5*3*a6*5*4**; Je(,8) a6*5*4**a6*5*3*-3*a3*-a6*5*4*3*d4*3*; Je(3,8) -a6*5*4*; %J X,3 Je(,9) -3**3**; Je(,9) -3**3**; Je(3,9) 3*3*; %J Y,3 Je(,) ; Je(,) -; Je(3,) ; %J Z,3 Je(,) 3**3**; Je(,) 3**3**; Je(3,) -3*3*; %J S,3 Je(,)-d4*3**d4*3**-a6*5*4*3**-a6*5*4*3** -a6*5*3**a6*5*3**; Je(,)-d4*3**-a6*5*4*3**d4*3** -a6*5*4*3**a6*5*3**-a6*5*3**; Je(3,)d4*3*d4*3*a6*5*4*3*a6*5*3*a6*5*3* -a6*5*4*3*;

100 %J R,3 Je(,3) a6*5*4*a6*5*4*3**-a6*5*4*3**; Je(,3) -a6*5*4*a6*5*4*3**-a6*5*4*3**; Je(3,3) -a6*5*4*3*-a6*5*4*3*; %J P,3 Je(,4) -d4*a6*5*4*3**-a6*5*a6*5*4*3**; Je(,4) a6*5*a6*5*4*3**a6*5*4*3**d4*; Je(3,4) -a6*5*4*3*a6*5*4*3*; %J X,4 Je(,5) 4*3**4*-4*3**; Je(,5) 4*3**-4*-4*3**; Je(3,5) 4*3*4*3*; %J Y,4 Je(,6) -3**-3**; Je(,6) -3**-3**; Je(3,6) 3*-3*; %J Z,4 Je(,7) 4*3**-4*3**4*; Je(,7) -4*-4*3**4*3**; Je(3,7) -4*3*-4*3*; %J S,4 Je(,8) -a6*5*4*-a6*5*4*3**a6*5*4*3**; Je(,8) a6*5*4*-a6*5*4*3**a6*5*4*3**; Je(3,8) a6*5*4*3*a6*5*4*3*; %J R,4 Je(,9) -a6*5*3**a6*5*4*-a6*5*3**a6*5*4*3** -a6*5*4*3**;

101 Je(,9)-a6*5*4*-a6*5*3**-a6*5*3** -a6*5*4*3**a6*5*4*3**; Je(3,9) a6*5*4*3*-a6*5*3*a6*5*4*3*a6*5*3*; %J P,4 Je(,3) a6*5*4*3**-a6*5*4*-a6*5*4*3**; Je(,3) a6*5*4*a6*5*4*3**-a6*5*4*3**; Je(3,3) a6*5*4*3*a6*5*4*3*; %J X,5 Je(,3)5*4*3**5*4*-5*3**-5*3**-5*4*3**; Je(,3)-5*4*-5*4*3**5*4*3**-5*3** -5*3**; Je(3,3)5*3*-5*3*5*4*3*5*4*3*; %J Y,5 Je(,3) 4*3**-4*3**4*; Je(,3) -4*-4*3**4*3**; Je(3,3) -4*3*-4*3*; %J Z,5 Je(,33)5*3**5*3**5*4*3** -5*4*3**5*4*; Je(,33)-5*4*3**5*3**5*3** -5*4*5*4*3**; Je(3,33) 5*3*-5*3*5*4*3*5*4*3*; %J S,5 Je(,34)-a6*5*3**a6*5*4*-a6*5*3**a6*5*4*3** -a6*5*4*3**; Je(,34)-a6*5*4*-a6*5*3**-a6*5*3** -a6*5*4*3**a6*5*4*3**; Je(3,34) a6*5*4*3*-a6*5*3*a6*5*4*3*a6*5*3*;

102 %J R,5 Je(,35) Je(,35) Je(3,35) %J P,5 Je(,36) -a6*4*-a6*4*3**a6*4*3**; Je(,36) a6*4*-a6*4*3**a6*4*3**; Je(3,36) a6*4*3*a6*4*3*; %J X,6 Je(,37)6*4*3**-6*4*3**-6*5*3** -6*5*3**6*4*-6*5*4*3** 6*5*4*6*5*4*3**; Je(,37)-6*5*4*3**-6*5*4*-6*4*3** -6*4*6*4*3**-6*5*3** 6*5*4*3**-6*5*3**; Je(3,37)6*5*4*3*-6*4*3*-6*5*3* 6*5*4*3*6*5*3*-6*4*3*; %J Y,6 Je(,38)6*4*3**6*4*6*5*3**-6*4*3** -6*5*4*6*5*3**-6*5*4*3**6*5*4*3**; Je(,38)6*5*4*3**-6*4*6*5*4*-6*5*4*3** 6*5*3**6*4*3**6*5*3**-6*4*3**; Je(3,38)6*5*3*-6*4*3*-6*5*4*3*-6*5*3*-6*4*3* -6*5*4*3*; %J Z,6 Je(,39)5*3**5*3**5*4*3**-5*4*3** 5*4*; Je(,39)-5*4*3**5*3**5*3**-5*4* 5*4*3**; Je(3,39)5*3*-5*3*5*4*3*5*4*3*;

103 3 %J S,6 Je(,4) ; Je(,4) ; Je(3,4) ; %J R,6 Je(,4) ; Je(,4) ; Je(3,4) ; %J P,6 Je(,4) ; Je(,4) ; Je(3,4) ; A jaobana de dentfação, onforme alulada ama om 4 oluna, pou oluna lnearmente dependente e portanto não pode er nvertda. Para tanto, deletam-e a oluna: A matrz reduzda pou 5 oluna lnearmente ndependente.

104 9 Apênde B Nete apênde etão a matrze relaonada a albragem de amba a âmera que foram utlzada na mulaçõe de vão omputaonal. Para a albração, a âmera foram poonada a uma dtâna fxa entre, e foram obtda magen de uma plataforma de albração om a dua âmera poonada em poçõe e angulaçõe dvera em relação a própra plataforma. A Fgura 4 motra a magen da plataforma, obtda na âmera equerda e dreta. A Fgura 4 motra uma magem om o anto do tabulero de hadrez obtdo para dentfação. A Fgura 43 motra a poçõe de onde foram poonada a âmera. Fgura 4: Imagen de Calbração trada da âmera equerda e dreta Fgura 4: Ponto obtdo na borda da magem