Faustino Sanches Júnior DESENVOLVIMENTO DE MODELOS NUMÉRICOS PARA A ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS

Transcrição

1 Fautno Sanhe Júnor DESENVOLVIMENTO DE MODELOS NUMÉRICOS PARA A ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS Tee apreentada à Eola de Engenhara de São Carlo da EESC-USP da Unverdade de São Paulo, omo parte do requto para a obtenção do título de Doutor em Engenhara de Etrutura. Orentador: Profeor Ttular Wlon Sérgo Venturn São Carlo 3

2

3 .8.-LAJES DE CONCRETO ARMADO VIGAS DE CONCRETO ARMADO ANÁLISE NÃO-LINEAR COM CISALHAMENTO ASPECTOS GERAIS FATORES DE INFLUÊNCIA NA RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO CISALHAMENTO E PUNÇÃO EM LAJES DE CONCRETO ARMADO MODELOS PARA PUNÇÃO EM LAJES DE CONCRETO ARMADO CISALHAMENTO EM VIGAS MODELO IDEALIZADO PARA O CISALHAMENTO EM VIGAS HIPÓTESES CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO CONTRIBUIÇÃO DA ARMADURA TRANSVERSAL MODELO IDEALIZADO PARA O CISALHAMENTO EM LAJES HIPÓTESES CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO CONTRIBUIÇÃO DA ARMADURA EXEMPLOS VIGA ENGASTADA ANÁLISE NÃO-LINEAR COM CORTANTE COMPARAÇÃO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS - VIGA COMPARAÇÃO COM RES. EXPER. LAJE COMPARAÇÃO COM RES. EXP. LAJE NERVURADA CARGA DE RUPTURA POR CISALHAMENTO PAVIMENTO DE EDIFÍCIO CONCLUSÕES BIBLIOGRAFIA... 59

4 5 - MODELAGEM DE PAVIMENTOS ELEMENTOS PLANOS - MEMBRANA INTRODUÇÃO PATCH-TEST TESTE DO ELEMENTO INDIVIDUAL BERGAN & HANSEN (97)9 5.-ASPECTOS BÁSICOS DA FORMULAÇÃO LIVRE ELEMENTO FINITO TRIANGULAR PROPOSTO POR BERGAN & FELIPPA (985) DETERMINAÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ RELATIVA AOS MODOS BÁSICO, K b DETERMINAÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ RELATIVA AOS MODOS DE ALTA ORDEM, K S DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES NO ELEMENTO DE MEMBRANA EXEMPLO MODELOS DE COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS INTRODUÇÃO FUNDAMENTOS BÁSICOS DA MECÂNICA DO DANO NO CONTÍNUO CARACTERIZAÇÃO DO DANO DANIFICAÇÃO DO CONCRETO MODELO DE MAZARS PARA O DANO NO CONCRETO MODELO DE COMI & PEREGO PARA O DANO NO CONCRETO 9.-MODELO ELASTO-PLÁSTICO PARA AS ARMADURAS APLICAÇÃO DOS MODELOS....8-APLICAÇÃO DOS MODELOS NO ESPAÇO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES ASPECTOS GERAIS...

5 3..5 TRAVAMENTO OU BLOQUEIO DE SOLUÇÃO MODELAGEM DA EXCENTRICIDADE DA VIGA INTRODUÇÃO CONS. DA EXCENTRICIDADE DA VIGA EXEMPLOS EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO MODELAGEM DE PAVIMENTOS ELEMENTOS PLANOS - FLEXÃO INTRODUÇÃO FLEXÃO DE PLACAS TEORIA DE REISSNER-MINDLIN INTRODUÇÃO FORMULAÇÃO ELEMENTOS FINITOS FUNDAMENTADOS NA TEORIA DE REISSNER-MINDLIN BLOQUEIO DA SOLUÇÃO - TRAVAMENTO FORMULAÇÃO DO ELEMENTO DST INTRODUÇÃO GEOMETRIA DO ELEMENTO HIPÓTESES DA FORMULAÇÃO FORMULAÇÃO EXPLÍCITA DA MATRIZ DE RIGIDEZ DETERMINAÇÃO DAS DISTORÇÕES DETERMINAÇÃO DAS ROTAÇÕES MATRIZ DE RIGIDEZ: PARCELA DA FLEXÃO.....-MATRIZ DE RIGIDEZ: PARCELA DO CISALHAMENTO DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES....-FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES....7-EXEMPLO... 5

6 SUMÁRIIO RESUMO... ABSTRACT... -INTRODUÇÃO....-GENERALIDADES....-OBJETIVOS METODOLOGIA....-DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS PAVIMENTOS DE ED. DE CONCRETO ARMADO INTRODUÇÃO CÁLCULO DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM PAVIMENTOS REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS SOLICITANTES....-PRÉ E PÓS-PROCESSAMENTO DE DADOS....5-POSICIONAMENTO DA VIGA CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DO TEMPO... 3-MODELAGEM DE PAVIMENTOS ELEMENTOS LINEARES ELEMENTO FINITO DE BARRA INTRODUÇÃO FLEXÃO DE BARRAS: TEORIA DE TIMOSHENKO ELEMENTO DE BARRA DEDUÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO... 9

7 AGRADECIIMENTOS A Deu. Ao prof. Wlon Sérgo Venturn, pelo paente trabalho de orentação. À Fundação de Amparo à Pequa do Etado de São Paulo FAPESP, pelo auxílo fnanero. À Mara, pelo nentvo e apoo durante o ano de doutorado. Ao profeore e funonáro do departamento de etrutura da EESC-USP. Ao olega do departamento, em epeal ao amgo Alexandre Sampao Botta e Ângelo Vera Mendonça que ontrbuíram de manera dreta para a elaboração dete trabalho.

8 À mnha epoa Mara Slva de Mora Sanhe, om amor.

9 ABSTRACT SANCHES JR, F (3). Development of numeral algorthm to the buldng floor truture analy. São Carlo, SP. 7p. Tee (Doutorado) Eola de Engenhara de São Carlo, Unverdade de São Paulo. Th wor gve a ontrbuton to the non-lnear trutural analy of renfored onrete buldng floor ung the Fnte Element Method. The hear tran omponent are taen nto aount by adoptng the Tmoheno beam theory together wth and the Rener-Mndln theory for plate bendng. Bar and plate element poton are ndependent and therefore an be defned at dfferent plane. A everal level are ondered when defnng the truture membrane effet are neeary ondered. In order to omplete the mehanal model, phyal non-lnearte are alo aumed to derbe onrete and teel behavour. The deteroraton of the onrete materal n hear alo taen aount. For th purpoe, a mplfed model adopted to ompute approxmately the damaged hear omponent n the teel dreton. Keyword: phyal nonlnearty, Rener-Mndln plate, Tmoheno beam, hear algorthm, renfored onrete, buldng floor, fnte element.

10 RESUMO SANCHES JR, F (3). Deenvolvmento de modelo numéro para a anále de etrutura de pavmento de edfío. São Carlo, SP. 7p. Tee (Doutorado) Eola de Engenhara de São Carlo, Unverdade de São Paulo. Ete trabalho fornee uma ontrbução à anále etrutural não-lnear de pavmento de edfío de onreto armado om o emprego do Método do Elemento Fnto. A deformação por eforço ortante é onderada, portanto a teora de Tmoheno e de Rener-Mndln ão empregada na formulaçõe do elemento de barra e de plaa, repetvamente. A poçõe do elemento de barra e de plaa ão ndependente e, portanto, podem er defnda em dferente plano. Em oneqüêna do expoto, o efeto de membrana deve er neearamente onderado na modelagem do pavmento. Para ompletar o modelo meâno, a não-lneardade fía derevem o omportamento do onreto e do aço. A deteroração do onreto no alhamento é também onderada atravé de um modelo mplfado que é propoto para a modelagem do alhamento em ondçõe de ervço. Palavra-have: não-lneardade fía, plaa de Rener-Mndln, vga de Tmoheno, modelo para o alhamento, onreto armado, pavmento de edfío, elemento fnto.

11 trabalho, evdentemente ta modelo podem er aprmorado por trabalho futuro que poam efetuar enao em laboratóro. O exemplo de aplação de anále não-lnear em vga, laje e pavmento de edfío ão apreentado no otavo apítulo. Algun exemplo lutratvo ão oportunamente apreentando em apítulo anterore ao otavo. Fnalmente, a onluõe dete trabalho ão apreentada no nono apítulo, onde também ão feta ugetõe para trabalho futuro.

12 5 Foram deenvolvdo modelo própro para o alhamento em vga onde ondera-e a ontrbução da armadura tranveral na retêna ao eforço alhante, tanto em tuação de ervço quanto naquela próxma à ruína. Anda na mema lnha, deenvolveu-e modelo para o alhamento em laje, onde ondera-e a ontrbução da armadura de punção quando houver, dea forma e atravé de etudo de ao fo poível forneer uma ontrbução à modelagem numéra da punção. Toda a mplementaçõe omputaona foram efetuada no oftware FORTRAN...--DESCRIIÇÃO DOS CAPÍÍTULOS O egundo apítulo dete texto aborda aunto gera relatvo ao pavmento de edfío de onreto armado, dute-e, de manera unta, fatore que nfluenam na deformabldade ta omo: a exentrdade da vga, o efeto do tempo e a anále em regme não-lnear. A formulação do elemento fnto lneare é apreentada no terero apítulo, onde também fo deenvolvda a matrz de rgdez da vga exêntra. No quarto apítulo apreenta-e o elemento fnto de flexão de plaa, DST, utlzado na mplementaçõe numéra; embora ee elemento já eja onhedo no meo téno, optou-e por deenvolvê-lo de manera explíta om o objetvo de faltar futura mplementaçõe. O elemento fnto de membrana, deenvolvdo a partr da formulação lvre, etá derto no qunto apítulo. O modelo meâno para o omportamento do matera etão no exto apítulo, onde e apreentam o modelo de dano de Mazar e de Com & Perego, além do modelo elato-pláto para a armadura. A ntegração da tenõe na altura do elemento etrutural, para que o modelo poa er erto no ampo do eforço oltante, também é apreentada naquele apítulo. O problema da anále não-lnear om o alhamento no onreto é dutdo no étmo apítulo onde ão apreentado o modelo para o alhamento em vga e laje em ondçõe de ervço. Ee modelo onttuem-e na ontrbução orgnal dete

13 não erá ótropo. A armadura erão tratada ndvdualmente om rtéro própro. Por ea razão e anda por erem o elemento lneare fletdo defndo em plano ndependente, o problema de flexão e membrana erão neearamente aoplado. Com o emprego do ódgo omputaonal mplementado é poível fazer um ére de etudo de ao que forneem ubído para o projeto etrutura de pavmento de edfío de onreto armado...3--metodologiia Emprega-e na anále etrutural o método do elemento fnto. O pavmento é modelado empregando-e elemento plano de plaa e de membrana, e elemento lneare de vga. O elemento de vga ão onderado exêntro em relação ao plano médo da plaa. O elemento de flexão de plaa empregado fo o DST ( DISCRETE SHEAR TRIANGLE ) propoto por Batoz e Lardeur. Ee elemento ontempla a hpótee de Rener-Mndln e é batante ntereante para aplação em problema de engenhara po é trangular om trê grau de lberdade por nó endo dua rotaçõe e uma tranlação. Emprega-e o elemento de membrana propoto por Bergan e Fellpa deenvolvdo a partr da formulação lvre, também trangular e om trê grau de lberdade por nó endo dua tranlaçõe e uma rotação perpendular ao plano. Ee grau de lberdade adonal, também hamado de drllng permte um melhor aoplamento om o elemento de flexão. Emprega-e um elemento de vga fundamento na hpótee de Tmoheno, omo a vga ão onderada exêntra fo neeáro o emprego de um modelo própro para a ua onderação. Foram utlzado para a modelagem do omportamento meâno do onreto o modelo de Mazar (98) e de Com & Perego () ambo fundamentado na meâna do dano no ontínuo, para a armadura emprega-e modelo elato-pláto. A tenõe efetva reultante ão ntegrada na epeura da peça para que e trabalhe no ampo do momento e urvatura.

14 3..--OBJETIIVOS O prnpal objetvo dete trabalho é o deenvolvmento de modelo matemáto para a anále etrutural de pavmento de edfío de onreto armado e ua mplementação em ódgo omputaonal. Dentre o dvero tema etrutura para pavmento de edfío, podemo tar aquele ompoto por: vga e laje plana, laje nervurada, laje plana em vga além de varaçõe entre ee tema. Objetvando-e que o ódgo omputaonal deenvolvdo eja efaz para a anále de qualquer um dee tema etrutura é neeáro que ele ontenha modelo numéro que repreentem o omportamento etrutura de elemento de plaa e de vga. A tenõe alhante, tanto na plaa quanto na vga, erão onderada na aplação do modelo de omportamento; portanto a ruína poderá oorrer tanto por flexão quanto por alhamento. A anále numéra de pavmento de edfío ompoto por tema de laje em vga poderá er efetuada de manera bem ma aprofundada do que atualmente e faz, permtndo-e que a ruína por punção eja repreentada atravé de aproprado modelo para o alhamento em laje. Do memo modo, em e tratando de pavmento ompoto por laje e vga a anále não-lnear é efetuada partndo-e empre de um etado plano de tenõe onderando-e o alhamento (quando e pena na ubdvão da epeura do elemento em amada plana). O exo da vga ão onderado exêntro em relação ao plano médo da laje, hpótee batante realta em e tratando e pavmento de edfío de onreto armado, dea forma o efeto de flexão e membrana do elemento plano ão aoplado. Utlzam-e formulaçõe de plaa moderadamente epea que ontemplam a láa hpótee de Rener-Mndln. Embora a eolha dea hpótee dexe a formulação ma omplexa, permte em dúvda a elaboração de modelo ma ompleto om a nluão da tenõe alhante. Para a modelagem do elemento lneare fletdo (enrjeedore) erão adotada a hpótee formulada para vga por Tmoheno, objetvando-e am a onderação do eforço alhante também para ee elemento. Para repreentar o onreto erão empregado modelo fundamentado na Meâna do Dano efetuando-e a ntegração da tenõe reultante ao longo da altura da peça para pode-e erevê-lo no epaço do momento. Portanto, o modelo reultante

15 nee ao, a furação do onreto é repreentada de manera dfua num elemento repreentatvo de volume. O onreto é um bom exemplo de materal que e deva da hpótee elátolneare, quando ubmetdo a tenõe de tração, anda que pequena, apreentada elevada danfação. O onreto armado, largamente utlzado na engenhara vl, tem um omportamento batante omplexo devdo ao trabalho em onjunto do matera que o onttuem - onreto e armadura pava e, também, ao aráter não-lnear de ada um dee onttunte. Para um elemento de onreto armado ubmetdo à flexão mple, fura epaçada entre deverão oorrer. O alongamento da armadura pava é máxmo na eção da fura, dmnundo à medda que e amnha para o ponto médo entre fura ueva. Dede o urgmento do omputadore peoa, no fnal do ano etenta, e ua mpreonante evolução até o da atua, exgu-e uma rápda tranformação na metodologa de anále etrutural até então empregada em projeto de etrutura. Modelo de álulo fundamentado em téna do meo ontínuo foram ubttuído por modelagen va anále matral de etrutura e método do elemento fnto. A hpótee de lneardade entre tenão e deformação anda ão a ma empregada em ertóro téno devdo a ua mpldade e ao eu baxo uto omputaonal. Ee uto tem e tornado meno gnfatvo atualmente, permtndo que rotna de anále não-lnear ejam gradatvamente norporada à anále va método do elemento fnto. Uma anále etrutural onde o modelo numéro empregado repreentam, de manera ma fel poível, o omportamento meâno do matera onttunte deverá forneer um reultado ma repreentatvo do omportamento real da etrutura. Evdentemente, o profonal que fzer uo dea metodologa deverá ter um amplo domíno obre a engenhara etrutural. O reultado am obtdo, embora ma onfáve, não ubttuem a ndaçõe de norma téna. Não e deve penar na ompleta ubttução da anále lnear de etrutura pela não-lnear, ea prmera é, e empre erá, um mportante ndatvo do omportamento de uma etrutura, muto embora, num futuro próxmo, rotna de anále não-lnear de etrutura deverão fazer parte do da-a-da do ertóro téno. A anále nãolnear deverá apreentar-e apena omo ma uma ferramenta, embora bem ma oftada, para o álulo de etrutura.

16 --IINTRODUÇÃO..--GENERALIIDADES A anále de eforço e deloamento em etrutura de onreto armado tem omo objetvo prnpal a reprodução va modelagem numéra do omportamento meâno dee materal. Seu grau de oftação deve er aproprado para atfazer a needade daquele que dela e utlzam. Hpótee mplfadora, omo a fundamentada na Le do Hooe, onde é aumda a relação lnear entre tenõe e deformaçõe, ão de elevada mportâna para o epealta em engenhara de etrutura. O reultado am obtdo forneem uma prmera ndação do omportamento de uma determnada etrutura; evdentemente, ea prmera ndação pode e aproxmar em muto do omportamento real da etrutura dependendo do ao. O bom engenhero etrutural, ao examnar o reultado apó uma anále eláto-lnear, e pergunta o quanto ee reultado e aproxmam do omportamento real da etrutura, fazendo, muta veze, reavalaçõe em deloamento, redtrbuçõe de eforço oltante et...om bae em ndaçõe de norma téna Extem, já há algun ano, modelo ma oftado para a repreentação do omportamento meâno do dvero matera etrutura. Modelo elato-pláto ão bem repreentatvo para o matera metálo e o parâmetro para ete modelo ão falmente obtdo por meo de enao de laboratóro. O onreto, materal frágl, pode er repreentado por modelo fundamentado na meâna do dano no ontínuo,

17 5 ε ( t) ε ( t ) ε ( t, t ) (.) ε ( t) ε ( t ) ( ϕ( t, t )) (.) onde ε (t,t ) é a fluêna no onreto, ϕ (t,t ) é a relação entre a deformação por fluêna e a deformação nal. Nete trabalho ão avalada apena a deformaçõe que oorrem no ntante de aplação do arregamento. Em Olvera () a deformaçõe ao longo do tempo ão onderada para laje e vga, a vga ão admtda onêntra à laje e empregae a teora de Euller-Bernoul. Em Sanhe (998) a deformaçõe do onreto ão erta em termo de uma equação em função de tempo que é reolvda pelo método AAEM ( Age Adjuted Effetve Modulu ). Naquele trabalho o pavmento é dretzado por elemento fnto de barra.

18 A NBR 8 (3) permte que a vga não-nvertda ejam alulada omo eção Tê, onde a mea é onttuída por uma largura olaborante da laje que é defnda em função da ondçõe de vnulação da vga e da geometra do pavmento. O álulo em ruína e em ervço deverão er efetuado om a néra da eção ompota. Em relação à deformabldade, em exemplo efetuado om a modelagem da vga exêntra, obervou-e que a ndaçõe da norma foram favoráve à egurança. No álulo do pavmento do edfío onderando-e a exentrdade da vga é poível avalar o eforço norma no elemento de barra e o eforço de membrana na laje orundo dea onderação, dea forma a anále torna-e ma prea do que aquela onde admte-e que o exo da vga etá ontdo no plano médo da laje. O dmenonamento da vga erá efetuado onderando-e a flexão ompota. Para o ao de um tramo de vga totalmente nvertda, obtém-e a flexo-tração; enquanto que, para outro tramo dênto porém não nvertdo, obtém-e a flexãoompreão. Em ambo o ao, o deloamento em regme eláto ão gua. Em regme não-lnear a flexo-tração é meno favorável devdo à ntenva danfação do onreto. Por outro lado, a tuação de flexo-ompreão é anda ma favorável quando ondera-e a anále não-lnear, devdo a retêna do onreto à ompreão, podendo-e onlur que para a vga não nvertda a não onderação da exentrdade onduz a deloamento uperetmado...- -CONSSIIDERAÇÃO DOSS EFEIITTOSS DO TTEMPPO A etrutura de onreto armado etão ujeta a ofrerem uma ére de modfaçõe em eu etado de tenõe e deformaçõe dede o ntante em que o arregamento é aplado, t, até um ntante genéro de tempo, t. Ee aunto vem endo etudado por dvero autore dentre o qua pode-e tar Nevlle (983) e Bazant (97). A fluêna e a retração do onreto aumem grande mportâna na deformabldade de etrutura de onreto ao longo do tempo. Para avalar a deformaçõe auada por ee fenômeno, torna-e neeáro o emprego de funçõe de tempo aproprada, reultando num modelo vo-eláto. A deformação de onreto no ntante de tempo t pode er determnada a partr da uperpoção da fluêna oorrda entre t e t om a deformação nal, ε (t ), am:

19 3 35m 3m 5m m 5m m 5m m m 5m m 5m m 5m 3m 35m m 5m 5m.m -.5m -.m -.5m -.m -.5m -.3m -.35m -.m -.5m -.5m Fgura.: Pó-proeamento de reultado Fgura.5: Malha de elemento fnto PPOSSIICIIONAMENTTO DA VIIGA O poonamento do exo da vga em relação ao plano médo da laje num pavmento de edfío exere grande nfluêna obre a ua deformabldade; a tuação ma favorável é aquela onde a exentrdade eja a máxma poível e não oorrem eforço norma de tração (em e tratando do onreto armado). Nete trabalho a exentrdade da vga é onderada na formulaçõe.

20 momento fletore fo forçada em projeto atravé da dmnução da taxa de armadura de flexão nea regõe...- -PPRÉ E PPÓSS- -PPROCESSSSAMENTTO DE DADOSS A reolução de pavmento de edfío om o emprego do método do elemento fnto apreenta alguma dfuldade em relação a entrada de dado e a anále de reultado obtdo. Geralmente é neeáro ubdvdr o domíno do pavmento de edfío num grande número de elemento fnto, reultando num trabalho exevo para a entrada de dado. A manera deal para a entrada de dado era atravé de programa em ambente de CAD, dee modo o ódgo omputaona neetaram er deenvolvdo em onjunto om epealta em omputação gráfa, o que raramente é poível no meo aadêmo. Nete trabalho a entrada de dado é feta atravé de arquvo alfa numéro, a onferêna dee dado é efetuada om o auxílo do oftware SURFER (99). Em e tratando da anále não-lnear de etrutura, uma dfuldade adonal é que a taxa de armadura longtudnal e tranveral devem er nluída no arquvo de entrada. O reultado obtdo na anále de um pavmento ão o egunte: um deloamento em ada uma da dreçõe ox, oy e oz; rotaçõe em torno do exo x, y e z; momento m x, m y e m xy ; eforço ortante v x e v y ; eforço norma n x, n y e n xy ; magnando que a ada lugar geométro ontdo no domíno do pavmento orreponda deloamento e 8 eforço oltante fa pratamente mpoível trabalhar ee reultado em o auxílo de um pó-proeador. Nete trabalho optou-e por gerar, om o auxílo do ofware SURFER (99), gráfo plano que ontém urva de o-valore; em alguma dea urva é ndado o valor orrepondente. A ada faxa de varação do valore orreponde um nível de or. Na fgura. é lutrado a dtrbução de deloamento verta para uma laje retangular de 3,5x5, m. A laje é apoada obre 5 plare, endo um em ada anto e um plar nterno no entro geométro da laje, o módulo de elatdade longtudnal onderado fo E 88 MPa e a epeura da laje é m. A malha de elemento fnto é lutrada pela fgura.5.

21 proeo que levem em onta o eu aráter não-lnear. Modelo de omportamento para o matera ão apreentado no apítulo e 7 dete trabalho. A anále etrutural em regme eláto é uma forma egura de e efetuar o dmenonamento em ruína do elemento etrutura, no entanto por er dema mple, é apena ndatva da deformabldade do pavmento. Efeto omo a nãolneardade fía e a deformabldade ao longo do tempo não ão onderado. Dea forma é grande a dfuldade do projetta de etrutura em, a partr do reultado da anále lnear, avalar a deformaçõe rea do pavmento de edfío. Nete trabalho é empregada a teora de Tmoheno para vga e a teora de Rener-Mndln para a plaa; ea teora ão ma ampla por onderarem em ua formulação a deformação por alhamento. No pavmento onvenona, a deformação por alhamento é pequena, num prmero momento pode-e aredtar que não é vável o emprego da teora de Tmoheno e Rener-Mndln, no entanto eta ão empre ma prea e ma ampla, não havendo vantagen em não empregá-la REDIISSTTRIIBUIIÇÃO DE ESSFORÇOSS SSOLLIICIITTANTTESS A anále etrutural em regme não-lnear pode onduzr a uma redtrbução de eforço oltante no pavmento, no entanto ee fato não deve provoar grande preoupaçõe ao projetta de etrutura. Tete numéro efetuado motraram que, e o pavmento for adequadamente armado de aordo om o reultado obtdo por anále lnear, não oorrerão problema relatvo à ruína de elemento. Pode-e onlur que é um proedmento eguro efetuar a armação da etrutura de aordo om o reultado da anále lnear para a maora do pavmento de edfío, entretanto, onforme já tado, a anále lnear não é ufente para derever, om preão, a deformabldade de um pavmento. A laje de onreto armado ão elemento onde há uma preença bem aentuada da redtrbução de eforço oltante, ee fato pode er explado pelo eu aráter bdmenonal e pelo fato de que, na armação dee elemento, a armadura de flexão neeára para retr ao eforço máxmo é etendda por toda a laje, gerando treho uperdmenonado. Geralmente o eforço máxmo apó a anále não-lnear ão menore do que aquele obtdo em regme eláto. Na vga de onreto armado não foram obervada gnfatva redtrbuçõe de eforço, ua oorrêna e dá apena quando a platfação de

22 Fgura.3: Pavmento: laje nervurada em vga - propredade TECSOF LTDA. O álulo de eforço e deloamento em pavmento de onreto armado é efetuado no da atua, na grande maora do ao, atravé de método numéro e de rotna de anále matral de etrutura, dea forma a ompatbldade de deloamento entre a vga (quando houverem) e a laje fa aegurada devdo ao aoplamento entre ee elemento. O método numéro ma empregado é, eguramente, o Método do Elemento Fnto que é também utlzado nete trabalho; o domíno do pavmento é dretzado por elemento de barra e de plaa. No Método do Elemento de Contorno, também empregado na modelagem de pavmento, o que e dretza é o ontorno do pavmento, maore detalhe obre o emprego do MEC em pavmento de edfío podem er enontrado em Baarj () e Fernandez (3). Admte-e, nalmente, que na formulação do método numéro o materal obedee ao regme eláto-lnear, no entanto o não oorre para o materal onreto armado. O omportamento etrutural dee materal é melhor repreentado atravé de

23 L V x V x V7 x V8 x L VB x3 L3 V5 x L7 V9 x V x V3 x 9 P x V P3 P P x3 V x x3 V x3 L9 VB5 x3 P7 x3 P7 x P5 x5 V7 x P8 x5 L P5 x V x P58 x5 V P55 x L P53 x5 L V9 x P9 x5 P x P7 x3 VBx3 P x P5 x5 P5 x P5 x V x P7 x V P3 x P9 x V3 x P59 x V3 P x P8 x V P7 x V x P x Fgura.: Pavmento onvenonal. Fgura.: Laje om drop panel - vta paral - propredade TECSOF LTDA.

24 8 obter um teto lo; naturalmente a epeura da laje erá ontante, exgndo-e uma verfação apurada da tenõe alhante. A laje la apreentam grande deformabldade, prnpalmente na borda lvre, o que jutfa o emprego de vga no ontorno do pavmento. Cao e empregue o tema de laje nervurada, a vga no bordo podem etar embutda na própra epeura da laje, e eta for ufente para tanto. Método numéro ão extremamente ntereante para que o projeto dea laje eja vável tanto do ponto de vta da açõe em ervço, quanto da açõe de ruína. Um tema etrutural batante ntereante é aquele onde empregam-e laje nervurada em vga; o dmenonamento eonômo dea laje onduz a uma epeura maor do que aquela que reultara para o ao da laje la. Na regão da lgação om o plare, utlza-e um treho de laje maça, mantendo-e a epeura ontante. Para o tema onvenonal ompoto por laje maça ou nervurada e vga, o dmenonamento e a verfação da ondçõe em ervço deve, preferenalmente, levar em onta o omportamento em onjunto do elemento etrutura. Algun exemplo de pavmento ão lutrado pela fgura:. onde apreentae um pavmento onvenonal, om vga e laje maça;.: um pavmento ompoto por laje la onde há uma aumento da altura da laje na regão do plare;.3 onde e tem um pavmento ompoto por laje nervurada em vga, oberva-e que na regão do plare exte um treho de laje maça, om epeura gual a altura total da laje nervurada, aumentando muto a retêna ao alhamento...- -CÁLLCULLO DE ESSFORÇOSS E DESSLLOCAMENTTOSS EM PPAVIIMENTTOSS A faldade de aeo ao mroomputadore permte que a antga hpótee de álulo de elemento etrutura ejam ubttuída por rotna numéra devdamente mplementada em ódgo omputaona. A antga rotna de projeto etrutural de pavmento de edfío utlzavam a hpótee de que a laje foem detaada da vga, alulada à parte, e a vga eram alulada om a reaçõe de apoo da laje; egundo ee proeo, o apoo da laje eram upoto nfntamente rígdo. Ee modelo de álulo é, em geral, a favor da egurança.

25 7 --PAVIIMENTOS DE EDIIFÍÍCIIOS DE CONCRETO ARMADO..- -IINTTRODUÇÃO O objetvo dete apítulo é dutr algun tema de nteree ao projeto etrutural de pavmento de edfío, dando maor ênfae à quetõe relatva à ua deformabldade. Apreenta-e, a egur, algun tema etrutura poíve de erem empregado em pavmento; evdentemente, a vabldade de ada tema depende de um etudo detalhado. A onepção etrutural do pavmento de edfío de onreto armado tem evoluído gnfatvamente no da atua. O tema etrutural ompoto por laje e vga, anda muto empregado na edfaçõe, tem eddo gradatvamente epaço a tema de laje la, proporonando uma grande lberdade ao projeto arqutetôno, além de onderável eonoma em forma. A tenõe de alhamento em laje la ão, muta veze, o prnpal fator a er levado em onta no dmenonamento. Denomna-e punção à ruína da lgação entre a laje e o plar, omo ea ruína é do tpo frágl, deve er evtada; o projeto etrutural deverá garantr que, ao oorra, a ruína e dê por flexão e não por alhamento. Podem-e tar dua manera de alvar a tenõe de alhamento na lgação da laje la om o plare: a prmera dela etá no uo de apté que podem er entenddo omo um aumento da eção tranveral do plar ob a laje; outra era o emprego do drop panel que é o aumento da epeura da laje nea regão. Devdo a emelhança entre o onjunto onttuído por laje, plar e aptel e o ogumelo urgu a denomnação laje-ogumelo, que também é largamente uada no doma europeu. Deve-e realtar que atualmente o apté e o drop panel etão endo ada vez meno utlzado devdo a dfuldade de forma e a enorme vantagem de e

26 37 Tabela 3.: deloamento vertal no meo do vão. VIGA BI-APOIADA Elemento Relação Relação H/L Euller Tmoheno Plano Euller - Plano Tmoh. - Plano (mm) (mm) (mm) % % Tabela 3.: deloamento vertal na extremdade da vga. VIGA ENGASTADA Elemento Relação Relação H/L Euller Tmoheno Plano Euller - Plano Tmoh. - Plano (mm) (mm) (mm) % %

27 EXEMPPLO 33 Nete exemplo, etuda-e a nfluêna da deformação por ortante numa vga bapoada, lutrada pela fgura 3.8a, e numa vga engatada numa extremdade e lvre na outra onforme a fgura 3.8b. A arateríta do materal onttunte da vga ão a egunte: módulo de elatdade longtudnal 885 MPa; oefente de Poon,5. O reultado obtdo ão apreentado na tabela 3. e 3.. Empregou-e o método do elemento fnto para a anále de deloamento. Compara-e, para etudar o efeto da deformação por ortante, reultado obtdo om a teora de Euller-Bernoul e Tmoheno e om o emprego de elemento plano. O objetvo dea omparação é apena lutrar o trabalho deenvolvdo, po é evdente que a teora de Tmoheno onduzrá empre a melhore reultado em omparação om o emprego da teora de Euller-Bernoul, devendo empre que poível er empregada na anále etrutura ndependentemente da relação H/L. Para a vga engatada, FN. Fgura 3.8: a) Vga b-apoada; b) Vga engatada. Analando-e o reultado obtdo perebe-e a boa performane do elemento de vga de Tmoheno. Pode-e onlur que a deformação por ortante, para vga bapoada ubmetda a um arregamento unformemente dtrbuído, deve er onderada para relaçõe H/L maore que,5. Para a vga engatada numa extremdade, a dferença entre a teora de Euller e de Tmoheno tornam-e grande para relaçõe H/L maore que,5.

28 35 enurtamento do plano da laje pode er obervado na fgura 3. e 3.7 onde ão repreentado o deloamento horzonta egundo a dreçõe x e y, repetvamente. m. 5m m m. -. m m m m m m 3m m 5m m 7m 8m 9m -. Fgura 3.: deloamento na dreção x (mm). m 5m m 3m m m m m m m 3m m 5m m 7m 8m 9m Fgura 3.7: deloamento na dreção y (mm).

29 3 m 5m m 3m m m m m m m 3m m 5m m 7m 8m 9m Fgura 3.: Deloamento verta para vga exêntra (mm). m 5m m 3m m m m m m m 3m m 5m m 7m 8m 9m Fgura 3.5: Deloamento verta: eção TÊ (mm) O máxmo deloamento verta na laje foram:,5mm para vga exêntra e 5mm para eção TÊ. Novamente oberva-e que a onderação da hpótee de vga T da norma onduzu a valore 5% maore do que aquele obtdo onderando-e a exentrdade. De um modo geral, pode-e afrmar que a onderação da exentrdade da vga repreenta de manera ma rgoroa o omportamento etrutural de pavmento de edfío e de aa enrjeda. O

30 EXEMPPLO Anala-e nete exemplo uma laje nervurada de x9m em ada uma da egunte tuaçõe: vga exêntra e néra da eção TÊ onforme a NBR 8 (3). A laje e a repetva eçõe tranvera ão lutrado pela fgura 3.. Condera-e f MPa, depreza-e a rgdez à torção da barra. Para a modelagem etrutural va Método do Elemento Fnto fo utlzada malha quadrada onforme a fgura 3.3, para a nervura e para a vga do ontorno foram empregado elemento de barra e para a apa elemento plano. O deloamento verta obtdo egundo ada uma da tuaçõe ão lutrado pela fgura 3. e 3.5. Fgura 3.: Laje Nervurada. Fgura 3.3: Malha de elemento fnto.

31 3 A fgura 3. e 3. lutram, repetvamente, o deloamento verta do pavmento para e3m e em. 9m 8m m m 5m m 3m m m m m m m 3m m 5m m 7m 8m 9m Deloamento (mm) Fgura 3.: deloamento verta para e3m (mm). 9m 8m m m 5m m 3m m m m m m m 3m m 5m Deloamento (mm) m 7m 8m 9m Fgura 3.: Deloamento verta para em (mm).

32 3 O gráfo da fgura 3.9 lutra o deloamento verta, para a exentrdade e varando de até 3m, do nó loalzado no entro do pavmento 9 Deloamento (mm) Exentrdade (m) Fgura 3.9: Gráfo deloamento vertal do nó entral. Do gráfo da fgura 3.9 pode-e onlur que o melhor poonamento da vga erá na tuaçõe onde a elevação eja nula ou gual a m onfgurando vga nvertda. O máxmo deloamento verta obtdo foram o egunte: w3,85 mm para e3m; w,33mm quando onderam-e vga e laje onêntra e w5,8mm quando admte-e eção TÊ de aordo om a NB. Oberva-e que o deloamento onderando-e a eção TÊ reultaram 5% maore do que aquele obtdo quando da onderação da exentrdade da vga, pode-e onlur que para ee pavmento a onderação apena da eção TÊ de aordo om a NB onduz a valore a favor da egurança na anále de deloamento e que a anále onderandoe vga e laje onêntra onduz a valore rrea do deloamento. Para o elemento de barra loalzado na regão entral do pavmento onde oorreram o maore eforço oltante obteve-e: para e, não onderando-e eção TÊ : momento fletor M 93 Nm, eforço normal N N; para e3m: momento fletor M 78 Nm, eforço normal N N (ompreão), M M N.e 993 Nm. Cao eja levada em onta a exentrdade, a vga deverá er dmenonada onderando-e o eforço: M 993 Nm e N N (ompreão).

33 3 O pavmento e a repetva eçõe tranvera ão lutrado pela fgura 3.7. Condera-e f MPa, depreza-e a rgdez à torção da barra. Para a modelagem etrutural va Método do Elemento Fnto fo utlzada malha quadrada onforme a fgura 3.8. A egur, dute-e o reultado obtdo para ada uma da onderaçõe. Fgura 3.7: Pavmento de edfío e eçõe tranvera. Fgura 3.8: Malha de Elemento Fnto

34 9 ampo de deloamento axa da vga o que mplara na adoção de um grau de lberdade adonal no elemento. Outra forma de mnmzar o erro, egundo Gupta & Ma (977), era aumentando-e o número de elemento fnto, po am a dervada do deloamento verta era aproxmadamente ontante. Ee autore apreentam a eq.(3.) para a avalação do erro ometdo, avalando-e ea expreão perebe-e que quando n, que é o número de elemento fnto, tende para um valor batante grande o erro, r, tende a zero. r C n (3.) onde: C ( A v A v A p p e A ) ( I v I p ) (3.7) EXEMPLOS EXEMPPLO O objetvo exemplo é etudar a nfluêna do poonamento da vga em relação a laje num pavmento de edfío; para o adota-e um pavmento de edfío om 9x9m. Conderam-e dferente ondçõe de poonamento da vga, nalmente admte-e que a exentrdade e eja gual a zero, aumenta-e e gradatvamente até eu lmte uperor (e3m). Outra tuação ntereante é onderar a largura da mea olaborante de aordo om a NBR 8 (3), nee ao e e a néra da barra é alulada levando-e em onta a eção TÊ. Toda a anále ão anda efetuada em regme eláto-lnear.

35 Aplando-e o prnípo da mínma energa é obtda a matrz de rgdez do elemento, am: 8 L T T KV T β D β dx T T T K T (3.3) onde K é a matrz de rgdez dênta a obtda em a onderação da exentrdade. Expltando-e a matrz K v, deonderando-e a parela da rgdez à torção: K V E I 3 L E I L E I 3 L g E I L E I L E I( g) E Ae L E I L E I( g) E Ae L E Ae L E Ae L E I 3 L E I L E I 3 L E I L E I L E I( g) E Ae L E I L E I( g) E Ae L E Ae L E Ae L E Ae L E Ae L E A L E A L E Ae L E Ae L E A L E A L...(3.) O vetor de eforço noda na barra é determnado a partr do deloamento da eq.(3.5). Serão obtdo no exo da barra um momento fletor M, e um eforço ortante V, o eforço normal N etará exêntro em relação ao exo da vga; a vga deverá er dmenonada à flexão ompota onderando-e M M N.e além do eforço normal N. A laje deverão er dmenonada onderando-e o eforço normal e de flexão. u VIGA T u PLACA (3.5) O emprego de funçõe de forma lneare para aproxmar o deloamento axa da vga onduz à uma nompatbldade em deloamento, po a funçõe de forma empregado para o deloamento verta da plaa uualmente ão úba, portanto ua dervada ão quadráta. Mller (98), vando reduzr ee erro, apreenta uma formulação onde ão utlzada funçõe de forma quadráta para o

36 7 Aplando-e ao nó de elemento obtém-e: LAJE VIGA u u w w e e u u w w θ θ θ θ (3.9) Ou, reumdamente: VIGA T δ PLACA δ (3.) Fgura 3.: a) Elemento de vga exêntra, b) Compatbldade de deloamento. A partr da formulação do método do elemento fnto va energa potenal obtém-e que a energa de deformação para o elemento de vga é dada por: dx D U V L T V T β δ δ β (3.) onde D aopla a rgdez normal e a rgdez à flexão do elemento. Subttundo-e a eq.(3.) na eq.(3.) obtém-e: T dx D T U P L T P T T β δ δ β (3.)

37 A extêna de deformaçõe axa na uperfíe méda da laje pode er lutrada de manera mple ao analar-e a dtrbução de deformaçõe devda a flexão ao longo da altura da vga. Pode-e laramente pereber que etando a vga exêntra em relação a laje, a deformaçõe na laje orrepondem a um etado aoado de membrana e de flexão. A fgura 3.5 lutra ee omportamento. Fgura 3.5: Deformaçõe na vga e na laje CONSSIIDERAÇÃO DA EXCENTRIICIIDADE DA VIIGA Um amnho batante mple para a formulação da matrz de rgdez da vga exêntra onte em erever-e o ampo de deloamento da vga omo endo uma tranformação efetuada obre o ampo de deloamento da plaa. A uperfíe méda da plaa erá então o plano de referêna para o deloamento. Dvero autore omo Gupta & Ma (977), Mller (979), Balmer (978) empregam ee memo proedmento. Condere-e o elemento de vga exêntro em relação ao plano médo da laje lutrado pela fgura 3.a. O ampo de deloamento verta para a vga é aproxmado por um polnômo úbo (eq.(3.a)) enquanto que utlza-e uma função de forma lnear para o deloamento axa (eq.(3.b)). O deloamento da vga podem er relaonado om o deloamento da laje a partr da mpoção da ondçõe de ompatbldade em deloamento (fgura 3.), am pode-e erever, onderando-e pequeno deloamento: θ laje θ vga θ (3.8a) ulaje uvga e tg ( θ ) ulaje uvga e θ (3.8b)

38 5 a) b) plano médo da plaa exo da vga plano médo da plaa exo da vga e Z Y X Z Y X Fgura 3.: a) Vga onêntra; b) Vga exêntra. Devdo a onderação da exentrdade da barra, o elemento fnto utlzado para modelar a plaa deve, neearamente, onter grau de lberdade repreentatvo de deloamento no eu plano, ou eja, egundo a dreçõe x e y; upondo-e que o plano xy ontenha o plano médo da plaa. Além, obvamente de deloamento repreentatvo de um etado de flexão na plaa. Para mular ta efeto optou-e por empregar uma formulação de elemento fnto de aa obtdo pela uperpoção de um elemento de flexão de plaa e um elemento de membrana. Ea é uma forma batante mple e efente de tratar o problema de aa e, egundo dvero autore, não perde em efêna em relação a dema abordagen quando anala-e aa plana. A lberdade rotaonal ( drllng ) é deejável na formulação de elemento fnto de aa (va uperpoção de efeto de flexão e de membrana) para evtar problema de ngulardade na matrz de rgdez global em etrutura onde o elemento fnto ão oplanare ou aproxmadamente oplanare, omo é o ao do pavmento de edfío. Bergan & Fellpa (985) apreentam de forma explíta o deenvolvmento de um elemento fnto de membrana trangular om grau de lberdade rotaonal a partr da formulação lvre de Bergan & Nygard (98) Para mular o efeto de flexão da plaa emprega-e o elemento fnto trangular DST (Drete Shear Trangle) propoto por Batoz (988); o elemento plano ão abordado no apítulo e 5 dete trabalho.

39 formulação de elemento fnto de barra empregando-e a teora de Tmoheno pode er enontrada em Cheng et al. (997) MODELAGEM DA EXCENTRIICIIDADE DA VIIGA IINTRODUÇÃO A anále etrutural de pavmento de edfío va Método do Elemento Fnto requer que elemento de plaa e elemento de barra ejam empregado na ua modelagem ou, então, que e empregue elemento trdmenona. Supondo-e o prmero ao, é neeáro que a equaçõe de deloamento ejam erta em relação a um plano de referêna que, geralmente, é tomado omo endo o plano médo do elemento de plaa. O exo da vga pode não er ondente om o plano médo da plaa, nee ao é neeáro que erevam-e equaçõe de ompatbldade entre deloamento da vga e da plaa. A maora do programa omputaona deenvolvdo para anále de plaa ou aa om a preença de enrjeedore ondera a hpótee da exentrdade (dtâna entre o exo da vga e o plano médo da laje) er nula, portanto nee ao a ompatbldade entre deloamento da barra e da plaa era total. O emprego dea hpótee aarreta, omo tem-e motrado em reultado obtdo, em onderáve erro na avalação do deloamento. O álulo de eforço e deloamento em pavmento de edfío, que é o objetvo dete trabalho, é muto benefado quando emprega-e a hpótee da vga er exêntra. Na maora aboluta do ao, para ee tpo de etrutura, a vga ão exêntra em relação à laje. A fgura 3.a motra a hpótee geralmente empregada para o poonamento da vga em pavmento e a fgura 3.b motra a hpótee requerda.

40 3 GJ t GJ t L L GJ t GJ t K L L x, t EA EA (3.5) L L EA EA L L Como pode er obervado, à medda que o valor da ontante de Weaver (g) dmnu, a parela relatva à flexão da matrz de rgdez do elemento de barra e aproxma daquela obtda de aordo om a hpótee de Euller-Bernoul, endo ompletamente gua para a tuação lmte onde g. O vetor de arregamento noda, uponde-e um momento toror (T) e um arregamento vertal (q) unformemente dtrbuído e eforço axa N e N, pode er erto na forma: F T q L q L q L q L TL TL N N (3.) TRAVAMENTO OU BLOQUEIIO DE SSOLUÇÃO O elemento de flexão de vga egundo a teora de Tmoheno obtdo da forma omo motrado, ou eja, atravé da mpoção da ondçõe de equlíbro entre momento e eforço ortante é lvre do fenômeno do bloqueo de olução, ou travamento. O travamento onte baamente no exevo enrjemento da olução para relaçõe pequena entre a altura da vga e eu omprmento. Imagnando-e uma eção retangular de bae b e altura h, a ontante de Weaver pode er rerta por: g E fg h L (3.7) Perebe-e laramente que na tuação lmte onde (h/l), g e a matrz de rgdez exprea na equação (3.) tende para a matrz de rgdez onderando-e a hpótee de Euller, dea forma o travamento etá afatado. Maore detalhe obre a

41 A partr da formulação do método do elemento fnto va energa potenal ntegrando-e a tenõe na altura do elemento pode-e erever a energa de deformação por: L L L L E I f G A EA du GJ t dβ x U dx ( ) dx dx dx r γ dx dx (3.) onde J t é o momento de néra à torção. Aplando-e o prnípo da mínma energa (eq. (3.3)) na expreão da energa de deformação e efetuando-e a ntegração ao longo do omprmento do elemento é obtda fnalmente a matrz de rgdez para a vga de Tmoheno. Apreenta-e na expreão (3.), por mpldade, apena a parela da matrz de rgdez relaonada om a deformação por flexão e alhamento, a parela relatva a deformação por torção e deformação axal, embora já batante onheda e extremamente mple, ão agrupada na eq.(3.5) apena para tornar o texto ma ompleto. Evdentemente, em e pretendendo a mplementação numéra dea matrze há de e fazer o adequado mapeamento do grau de lberdade. d dv (3.3) onde ΠUW; W é a energa potenal externa e V ão o grau de lberdade noda. 3 3 L L L L E I ( g) ( g) K L L L L f g (3.) 3 3 L L L L ( g) ( g) L L L L

42 trabalho a obtenção da expreõe da urvatura e da dtorção ao longo do omprmento do elemento, explta-e o valore da ontante na eq.(3.8). a (w w Lβ Lβ ) 3 L ( g) a ( 3w 3w Lβ Lβ ) L ( g) a ( w w L( g) β Lg L( g) 3 β a w u b b u u L β β L β x x x ) (3.8a) (3.8b) (3.8) (3.8d) (3.8e) (3.8f) (3.8g) (3.8h) A urvatura da eção pode então er erta dretamente em função do parâmetro noda onforme eq.(3.9), am: ( L x) d w r dx (3.9) g L ( ) 3x w β ( L x) [ L( g) 3x] w β g) L 3 3 r ( g) L ( g) L ( g) L (...(3.) Partndo-e da expreão (3.) e utlzando-e a ontante de Weaver, pode-e erever a dtorção da egunte forma: [ ( w w ) L ( β β )] γ g [ L ( g)] (3.)

43 Fgura 3.3: Elemento de barra. Perebe-e que o deloamento verta, o horzonta e a rotaçõe β x ão ndependente entre. A equação de equlíbro (3.) que exprea a relação entre o eforço ortante e o deloamento verta w pode er rerta, empregando-e a eq.(3.3b), na egunte forma: 3 d w EI dx 3 f GAγ (3.5) Dea forma torna-e poível erever a relação entre a dtorção γ e o deloamento verta w, am: EI fga γ a γ gl a (3.) onde g EI fgal é a ontante de Weaver. A rotaçõe β ão erta a partr da eq. (3.), am: β ( x) 3ax a x a3 gl a (3.7) A ontante a, b e do polnômo devem er determnada a partr da mpoção da ondçõe de ontorno no nó do elemento. Por er de nteree ao

44 ELEMENTO DE BARRA A manera ma mple de obter-e um elemento de barra formulado de aordo om a hpótee de Tmoheno é aquela onde empregam-e funçõe aproxmadora lneare tanto para o deloamento verta quanto para a rotaçõe. Oñate (99) apreenta um elemento fnto obtdo om aproxmação lnear para o ampo de deloamento e rotaçõe. Entretanto ee elemento apreenta o problema de travamento para vga pouo deformáve por eforço ortante. Gere & Weaver (98) apreentam uma dedução da matrz de rgdez para a vga de Tmoheno que não apreenta o fenômeno do travamento medante o emprego do denomnado método dreto (aplaçõe de deloamento e rotaçõe untára na extremdade do elemento), o que nada ma é do que a olução exata da equação dferenal da flexão de vga. Nete trabalho a matrz de rgdez do elemento erá deduzda om a mema hpótee apreentada por Gere, porém erá empregado o método da energa para obter-e a funçõe de urvatura e de dtorção ao longo do omprmento do elemento DEDUÇÃO DA MATRIIZ DE RIIGIIDEZ DO ELEMENTO Suponha-e o elemento de barra lutrado pela fgura 3.3 om o egunte grau de lberdade: dua rotaçõe e dua tranlaçõe por nó. O deloamento verta, w, ao longo do elemento ão derto por um polnômo de terero grau onforme a eq.(3.a), o deloamento horzonta e a rotação devda a torção ão derto por um polnômo lnear. Admte-e que a dtorção no elemento eja ontante. w a u b x 3 x a x a3x a b (3.a) (3.b) β x x (3.)

45 8 onde w é o deloamento vertal. A partr da verfação da ondçõe de equlíbro de um elemento om omprmento nfntemal, dx, onforme lutrado pela fgura 3. pode-e erever a relaçõe (3.). Fgura 3.: Equlíbro de elemento de vga. dv dx q (3.a) dm V dx V E I d 3 dx w 3 (3.b) (3.) São válda a egunte relaçõe onttutva, admtndo-e a hpótee de materal om omportamento eláto-lnear: dβ d w M E I dx M E I dx dγ d w dx γ te M E I dx (3.3a) dw V f G Aγ f G A( β ) dx (3.3b) d β V E I dx (3.3) onde E é o módulo de elatdade longtudnal; G é o módulo de elatdade tranveral, I é o momento de néra à flexão da eção; A é área da eção tranveral e f é um fator que leva em onta que γ é um valor médo da dtorção da eção, para eçõe retangulare f aume o valor de 5/. Oñate (99) apreenta a dedução de f.

46 7 exo da barra, onttundo-e am numa melhor aproxmação do omportamento real da vga, a dtorção da eção oorre devdo a deformação por eforço ortante. Na realdade a deformação da eção era melhor repreentada por uma uperfíe parabóla, empregando-e a teora de Tmoheno admte-e que a eção deformada eteja ontda num plano pela deformada real. O efeto da dtorção é ma pronunado em vga onde a relação entre omprmento e altura é pequeno, à medda que ea relação aumenta a dtorção dmnu e a hpótee da teora de Euller-Bernoul paam a er batante repreentatva do ampo de deloamento rea da vga. A fgura 3. lutra a nemáta da vga. A dema hpótee ão a mema da teora de Euller-Bernoul, a aber: a deformação perpendular ao exo da vga é deprezível - ε z ; a tenõe norma ao exo da barra ão deprezíve - σ z ; o deloamento horzonta do exo da barra ão nulo. Z n h n Deformada real X Plano pela deformada admtda Fgura 3.: Cnemáta da barra teora de Tmoheno. Da nemáta da barra pode-e afrmar: β ϕ γ (3.a) dw dx ϕ w, x (3.b) β w, γ x (3.)

47 3--MODELAGEM DE PAVIIMENTOS ELEMENTOS LIINEARES 3..--MATRIIZ DE RIIGIIDEZ DO ELEMENTO DE BARRA IINTRODUÇÃO A matrz de rgdez do elemento de barra deenvolvda nea eção é obtda a partr da olução exata da equação dferenal de flexão de barra, nee ao não faz entdo falar-e em método do elemento fnto para ua dedução, uma vez que a função empregada para derever o deloamento da vga é a olução exata da referda equação. A matrz de rgdez erá então obtda de aordo om a anále matral de etrutura. Nete trabalho emprega-e elemento de barra om nó e grau de lberdade por nó: tranlaçõe e dua rotaçõe. Inere-e na formulação onvenonal de vga o grau de lberdade relatvo ao deloamento axa. A vga podem er onderada exêntra em relação ao plano médo da laje. A formulação é fundamentada na teora de Tmoheno, tendo am um ampo de aplação ma amplo do que aquela deenvolvda a partr da hpótee de Euller-Bernoul. No tem 3.3 apreenta-e metodologa para a onderação da exentrdade da barra FFLEXÃO DE BARRASS: : TEORIIA DE TIIMOSSHENKO A hpótee fundamental da teora de flexão de vga de Tmoheno é que a eçõe plana permaneem plana apó a deformação porém não ma ortogona ao

48 Nete exemplo, o elemento motrou boa performane apreentando erro de % para uma malha de 3 elemento, motrou também onvergêna para a repota exata a medda que e refna a malha. Fgura.: Malha de elemento fnto.

49 5 vetor não é ontente om a formulação do elemento, porém tete que foram elaborado pelo própro autor demontram que ee vetor onduz a bon reultado. Am: { Q Q Q } T Fe (.89) onde Q q A/3. Sydentrer et. Al. (995) apreentam, em eu artgo, propota para a obtenção de um vetor de força noda ontente om a formulação do elemento DST. Para o preente trabalho, o vetor de força noda equvalente erá o da eq. (.89), o prnpal objetvo dete trabalho é a anále não-lnear de pavmento de edfío, onde o vetor de eforço redua erá obtdo de manera ontente om a formulação...7--exemplo Nete exemplo, alula-e, empregando o elemento DST, o deloamento no entro de uma plaa quadrada de 5x5m apoada no eu quatro lado ubmetda a um arregamento unformemente dtrbuído de ntendade de N/m. A arateríta do materal ão a egunte: módulo de elatdade longtudnal: 885 N/m, oefente de Poon:,3. Pretendendo-e nvetgar a performane e a onvergêna do elemento empregado, a plaa fo dretzada em dferente malha de elemento trangulare, endo a prmera om 8 elemento, a egunda om 3, a terera om elemento e a quarta malha om 8 elemento, onforme lutrado pela fgura.5. O valor exato do deloamento no ponto entral da plaa é de 7,77mm (Tmoheno (959) - teora de Krhhoff), o deloamento obtdo em ada uma da malha, bem omo o erro relatvo ão lutrado pela tabela.. Tabela.: Reultado obtdo. Malha (elem.) del.(mm) erro %

50 A matrz de rgdez ompleta do elemento DST é obtda omando-e a parela relatva à flexão e ao alhamento...5--determiinação DOS ESFORÇOS SOLIICIITANTES O eforço oltante ão determnado de manera dreta em qualquer ponto pertenente ao domíno do elemento, utlzando-e o vetore B b e B. O momento fletore ão determnado om o auxílo da equação (.85) e o eforço alhante ão determnado pela eq. (.8). M M M x y xy ( ζ, η) ( ζ, η) D ( ζ, η) Tx D B T y u b B b ( ζ, η) u (.85) (.8) Conforme pode-e notar, o eforço alhante ão ontante no elemento o que é perfetamente ontente, po ão a prmera dervada do momento fletore que pouem uma varação lnear. O eforço oltante no nó do elemento podem er determnado pela equaçõe ama ou pela egunte equaçõe: M M M T T x y x y xy K K b w θ x,3 - (.87) θ y w θ x,3 (.88) θ y..--forças NODAIIS EQUIIVALENTES Segundo Batoz (989) o vetor de eforço noda do elemento DST é melhor repreentado por trê arga verta aplada em ada um do nó do elemento. Ee