3 Restauração da Solubilidade das Equações de Fluxo de Potência

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1 3 Retauração da Solubldade da Equaçõe de Fluo de Potêna 3. Introdução O etudo de fluo de potêna de um tema de energa elétra onte baamente na determnação da tenõe em toda a barra etado do tema do fluo no ruto e de outra grandea de nteree [Montell983]. Nete etudo a modelagem da rede elétra é etáta. Ito é a rede é repreentada por um onunto de equaçõe e nequaçõe algébra não-lneare em onderar efeto trantóro de qualquer naturea. olução algébra da equaçõe nãolneare aoada om o problema de fluo de potêna é obtda atravé de método numéro ta omo: o Método de Newton-Raphon e ua verõe deaoplada. Na maora do ao ete método podem enontrar uma olução para a equaçõe de fluo de potêna tanto no ao-bae omo para etado de ontngêna. Entretanto em algun ao pode oorrer a não onvergêna dete algortmo. Eta não onvergêna pode er auada pela perda de uporte de potêna atva/reatva em uma ou ma barra e/ou pela perda de nterlgaçõe que permtem tranferêna de grande bloo de potêna. Etem do tpo de não-onvergêna aoado om o algortmo de fluo de potêna [Romero 99]: Numéra: é araterada quando o problema tem uma olução fía porém o algortmo é napa de enontrá-la. Ete tpo de não onvergêna pode er auado pelo egunte fatore: baa qualdade da olução nal o ponto de partda do algortmo é muto dtante da olução fía e mal-ondonamento numéro ngulardade da matr Jaobana da equaçõe de fluo de potêna. Nete ao o tema pode ter problema de ntabldade de tenão

2 83 auado pela perda de ontrolabldade devdo à promdade do ponto de mámo arregamento da rede elétra. Fía: é araterada quando não há olução real para o problema. Nete ao o tema opera em um etado de ntabldade de tenão auado pela auêna de olubldade da equaçõe de fluo de potêna. O problema de onvergêna do algortmo de fluo de potêna onvenona ão geralmente elmnado atravé do aute de varáve de ontrole ta omo: potêna de aída do geradore redaho da geração tap de tranformadore tenõe termna do geradore v orte de arga últmo reuro. utlação do ontrole ama para elmnar problema de onvergêna de algortmo de fluo de potêna onvenona é denomnada Retauração da Solubldade da Equaçõe de Fluo de Potêna RESFUP. Geralmente a RESFUP é realada atravé da olução de um problema de FPO não-lnear ua função obetvo é mnmar o orte de arga [Granvlle 996]. Eta função obetvo é mnmada ueto à retrçõe: equaçõe de balanço de potêna atva e reatva lmte de neção de potêna atva e reatva lmte na tenõe de barra om geração de potêna reatva v lmte de tap no tranformadore. prnpal vantagem da realação da RESFUP atravé do FPO é a pobldade de autar multaneamente dvera varáve de ontrole para elmnar problema de não onvergêna que não podem er reolvdo apena om o orte de arga.

3 84 Na próma eçõe erão apreentada formulaçõe de problema de FPO que podem er uada na RESFUP e também o algortmo de Ponto- Interore utlado para reolver ete problema. 3. FPO Ideal para a RESFUP Geralmente é deeável preervar o ponto de operação orgnal daho de geração e valore efado de tenõe e tap de tranformadore apó a RESFUP. Deta forma pode-e aprovetar a eperêna préva do operadore om relação ao ponto de operação orgnal. Entretanto o ponto de operação obtdo apó a RESFUP é omumente muto dtante do ponto de operação orgnal. Conequentemente toda nformação aoada om o ponto de operação orgnal é perdda. Uma alternatva para ontornar eta dfuldade do método de otmação é uar a egunte formulação para o problema de FPO aoado om a RESFUP: Mnmar α Pd Ω 3. ueto a: P V Pg Pd P V Pg P V Pd α P V Pg e P V Pd α P V e Q Q Q Q V Qg V Qg V Qd Qd V e Ω α Pd e ΩV Ω e ΩV Ω Pg Pd e ΩPV Ω ΩPV Ω Pd e ΩPQ Ω Ω Ω PQ e α α Qd PQ Qd Ω Ω V Ω e Ω e PV Ω PQ Ω Ω Ω V PV Ω

4 85 para Ω 3.4 V V Ω Ω V para 3.5 V PV α para Ω 3.6 para...nb onde: NB m G o B en P V V V é a potêna atva líquda na barra ; NB m m m m m m m G en B o Q V V V é a potêna reatva líquda na barra ; m m m m NB é o número de barra; V é o vetor de ângulo módulo da tenõe na barra uo elemento ão gua a V ; G m B m é o elemento m da matr ondutâna ueptâna de barra; m - m ; Pd Qd é a arga atva reatva efada na barra ; Pg Qg é a geração de potêna atva reatva na barra ; V e Pg ão o valore efado da egunte varáve: V e Pg retvamente; Ω V Ω PV e Ω PQ ão o onunto aoado om o egunte tpo de barra: V PV e PQ retvamente; Ω é o onunto de barra de arga; α é a fração de orte de arga na barra ;

5 86 -B nda o onunto do elemento que pertenem a ma que não pertenem a B por eemplo: Ω V - Ω é o onunto de barra V ma elundo-e aquela onde há arga onetada. nalando-e o problema pode-e onlur que: o número de retrçõe de gualdade é NB; o número de varáve não-fa é NB Ω onde a notação Ω nda o número de elemento do onunto Ω; apena o orte de arga é uado para retaurar a olubldade; v apena a geraçõe de potêna atva na barra V ão dahada para ompenar o orte de arga; v a tenõe termna na barra PV e V ão fa; v o ângulo da tenõe na barra V ão fo; v a maora do ontrole que defnem o ponto de operação ão fado ou ea é poível aprovetar a eperêna préva do operadore om o ponto de operação orgnal apó a RESFUP. Conequentemente e uma olução para a equaçõe de fluo de arga for garantda o problema de otmação modelado por deve obter a mema olução do algortmo de fluo de arga onvenona. Ete fato erá demontrado omparando-e a oluçõe obtda om o programa NREDE Programa de nále de Rede [CEPE 999] e FUPO Programa de Fluo de Potêna Ótmo [CEPE ] do CEPE para a ondção do ao-bae do tema IEEE-RS IEEE Relablt et Stem de 4 barra [RS a Fore 999]. O Método de Newton-Raphon do programa NREDE erá uado para reolver o problema de fluo de arga enquanto o Método de Ponto-Interore do programa FUPO erá uado para reolver o problema de otmação modelado por tenõe na barra do tema IEEE-RS alulada pelo programa NREDE e FUPO ão motrada na abela 3.. partr da abela 3. pode-e obervar que a tenõe na barra do tema IEEE-RS obtda pelo programa NREDE e FUPO ão apromadamente a mema ou ea o modelo de FPO para a RESFUP obteve

6 87 a mema olução que um algortmo de fluo de potêna onvenonal. Contudo podem etr ao de nolubldade que não podem er tratado apena om o orte de arga e mantendo-e o daho orgnal. Por eemplo a perda do ruto 5/6 e 6/7 do tema IEEE-RS lutrada na Fgura 3.. O programa FUPO fo uado para realar a RESFUP para eta ontngêna atravé da olução do problema de otmação pó a eeução do programa FUPO um do eu relatóro de aída apreentava a menagem motrada na Fgura 3.. partr da deta fgura pode-e onlur que ma varáve de ontrole devem er uada na RESFUP quando da oorrêna de ontngêna evera. Na próma eção erá motrada uma formulação para o problema de FPO apa de elmnar ao de não-onvergêna que não podem er retaurado apena om o orte de arga. abela 3. enõe obtda pelo programa NREDE e FUPO para o ao-bae do tema IEEE-RS Barra po NREDE FUPO Módulo pu Ângulo grau Módulo pu Ângulo grau

7 88 Fgura 3. Dagrama unflar do tema IEEE-RS om o ruto 5/6 e 6/7 fora de ervço Fgura 3. reho de um do relatóro de aída do programa FUPO uando o modelo deal para uma ontngêna dupla no ruto 5/6 e 6/7 do tema IEEE-RS

8 FPO Práto para a RESFUP Cao de nolubldade que não podem er tratado apena om o orte de arga e mantendo-e o daho orgnal podem er reolvdo om o egunte modelo: Mnmar α Pd Ω 3.7 ueto a: P V Pg Pd P V Pg P V Pd α P V e α Pd e e ΩPG Ω Pd e Ω Ω PG Ω Ω PG Ω Ω PG 3.8 Q Q Q Q V Qg V Qg V Qd Qd e Ω Qd V e Ω α α QG Qd QG Ω Ω e Ω e Ω QG QG Ω Ω 3.9 para Ω 3. V Pg mn Pg Pg para Ω 3. ma PG V mn V V para Ω 3. ma QG Qg mn Qg Qg para Ω 3.3 ma QG α para Ω para NB 3.4

9 9 onde: o obrerto mn e ma ndam o lmte nferor e uperor aoado om uma varável; a notação Ω nda o omplemento do onunto Ω; Ω PG e Ω QG ão o onunto de barra om geração de potêna atva e reatva retvamente. nalando-e o problema modelado por pode-e onlur que: O ontrole de tenão e potêna reatva é uado em toda a barra om geração de reatvo barra do tpo PV e V. pena o ângulo da tenõe na barra V é fado. O redaho da geração é uado na retauração da olubldade. v O tap do tranformadore ão mantdo fo em valore efado ma podem er nluído omo ontrole na RESFUP. v O número de varáve não-fa é gual a: NB - Ω V Ω PG Ω QG Ω. Conequentemente o número de grau de lberdade número de varáve meno o número de retrçõe do problema é Ω PG Ω QG Ω - Ω V enquanto que o número de grau de lberdade do problema é Ω. Deta forma o problema pode er reolvdo ma falmente que o problema O programa FUPO do CEPE fo utlado para realar a RESFUP uando o modelo ombnação do FUPO om o modelo fo tetada no memo etado de ontngêna analado na Seção 3. FPO deal para RESFUP. pó a eeução do programa FUPO um do eu relatóro de aída apreentou a menagem motrada na Fgura 3.3.

10 9 Fgura 3.3 reho de um do relatóro de aída do programa FUPO uando o modelo práto para uma ontngêna dupla no ruto 5/6 e 6/7 do tema IEEE-RS partr da menagen ama pode-e obervar que a utlação de ontrole adona ta omo o redaho da geração e o aute da tenõe termna do geradore fo ufente para remedar ao de nolubldade que não puderam er tratado apena om o orte de arga e mantendo-e o daho orgnal. Ete fato pode er um ndatvo de que a nolubldade pode er auada não ó pelo eeo de arga ma também pelo ongetonamento de ruto devdo ao daho de geração. Devdo a to o modelo erá uado neta pequa para realar a retauração da olubldade da equaçõe de fluo de potêna. Fnalmente deve er menonado que o modelo modfa o ponto de operação orgnal da rede elétra. Conequentemente o operadore perdem a nformaçõe e eperêna adqurda prevamente om o ponto de operação orgnal. Uma alternatva para mnmar ete problema é uar uma da egunte funçõe obetvo:

11 9 Mínmo devo quadráto de um ponto de operação efado: nete ao é mnmado o quadrado da dtâna Euldana entre o ontrole do ponto de operação orgnal e o valore ótmo dete ontrole. donalmente deve-e efar peo para ada ontrole endo que o peo aoado om o orte de arga devem ter maor magntude em relação ao peo retante. Mínmo uto: eta função obetvo é ompota pela adção da geraçõe de potêna atva multplada pelo eu uto de operação om o orte de arga na barra multplado pelo eu uto de nterrupção. função obetvo do tem preerva tanto o apeto de daho de geração omo de ontrole de tenão aoado om um ponto de operação. Por outro lado a função obetvo do tem ó ondera apeto do daho de geração. Entretanto eta função modela arateríta eonôma na RESFUP que podem er nterpretada omo uma da omponente do uto de etabldade de tenão. mplementação atual do algortmo de RESFUP uado neta pequa utla o modelo Entretanto eta formulação pode er etendda para norporar tanto o mínmo uto omo o mínmo devo quadráto na função obetvo. Na eção egunte erá apreentado o método de otmação não-lnear uado para reolver o problema modelado por lgortmo de Otmação Uado na RESFUP 3.4. Introdução tualmente a téna ma utlada na olução de problema de FPO não-lnear ão: a Programação near Sueva PS [Melopoulo 988] [laç 99] [Romero 99]; Programação Quadráta Sueva PQS [Nedaw ] e o Método de Ponto-Interore MPI [Granvlle 994] [Granvlle 996] [ete

12 93 orre 998]. Neta pequa o MPI fo eolhdo para reolver o problema de programação não-lnear aoado om a RESFUP. prnpal vantagem do MPI om relação a PS é a relaação da needade de uma olução para a equaçõe de fluo de potêna. Eta arateríta é de fundamental mportâna na RESFUP. lém do em [Noedal 6] é relatado que em muto ao ma nem empre o MPI upera o Método de Conunto tvo ta omo a PQS na olução de problema de programação não-lnear de grande porte. bae teóra do MPI etá entrada em trê téna: Método de Barrera ogarítma de Fao e MCorm: para elmnar retrçõe de degualdade; Método de agrange: para a olução de problema om retrçõe de gualdade; Método de Newton: para reolver tema de equaçõe não-lneare e problema de otmação rretrta. Na próma ubeçõe erá motrado omo eta trê téna ão ombnada para gerar a verão do MPI uada para reolver problema de FPO aoado om a RESFUP. Eta verão e baea no MPI propoto na referêna [Granvlle 994] e [Wähter 6] Formulação Geral do Problema de Otmação Não-near oado om a RESFUP O problema de FPO pode er oloado na egunte formulação genéra para problema de otmação não-lnear: Mnmar 3.5 ueto a: b 3.6

13 94 l u 3.7 onde: é a função obetvo; é o vetor de retrçõe; b é o vetor de termo ndependente aoado om ; é o vetor de varáve otmáve; l e u ão o vetore de lmte nferor e uperor aoado om o vetor. O problema de otmação ama e relaona om a RESFUP da forma: é o omatóro do orte de arga no ponto de demanda equação 3.7; é vetor da retrçõe de gualdade aoada om o balanço de potêna atva e reatva na barra do tema retrçõe 3.8 e 3.9; b é um vetor ompoto pela arga atva e reatva efada na barra do tema; v é um vetor formado pela egunte varáve: ângulo e módulo da tenõe noda neçõe de potêna atva e reatva e fração de orte de arga; v l e u ão formado pelo vetore de lmte nferor e uperor na egunte varáve: no módulo da tenõe em barra de geração neçõe de potêna atva e reatva e fração de orte de arga. formulação ege que toda a varáve do problema de otmação tenham lmte nferor e uperor. Entretanto em problema de FPO o ângulo da tenõe na barra ão varáve lvre. Deta forma é neeáro utlar lmte ftío por eemplo o ntervalo [- rad rad] para o ângulo da tenõe e um problema de FPO for reolvdo uando-e O uo de ntervalo ftío para varáve lvre deterora a arateríta de onvergêna do MPI. Eta deteroração é auada pelo termo de penaldade aoado om a

14 95 varáve lvre. O termo de penaldade podem adonar valore de magntude elevada no elemento dagona da matr Jaobana aoado om a ondçõe de optmaldade. Devdo a to o omprmento de pao aoado om varáve lvre tornam-e menore. Conequentemente pode oorrer um aumento no número de teraçõe. Uma alternatva para ontornar eta dfuldade é modelar a varáve lvre de forma natural ou ea em adonar lmte ftío. Deta forma a formulação alternatva para problema de otmação não-lnear é: Mnmar 3.8 ueto a: b 3.9 l u 3. onde: [ ] ; é a partção do vetor aoada om varáve lvre; é partção do vetor aoada om varáve que tem lmte blatera varáve analada; l e u ão o vetore do lmte nferore e uperore retvamente aoado om o vetor Elmnação da Retrçõe de Degualdade atravé de Método de Barrera ogarítma déa do Método de Barrera é nar em um ponto no nteror da regão fatível defnda pela retrçõe de degualdade e ontrur uma barrera para evtar que qualquer varável rue a frontera. Por eemplo adonar ln na função obetvo para retrçõe do tpo auará um aumento na função

15 96 obetvo quando e apromar de ero. Deta forma e a olução ótma etver na frontera a barrera logarítma não permtrá que eta ea obtda. Uma etratéga para ontornar ete problema é utlar o parâmetro de barrera para balanear a ontrbução da verdadera função obetvo om relação a função de barrera. Conequentemente um problema de mnmação om retrçõe de nãonegatvdade pode er onvertdo em um problema de mnmação rretrto. Por eemplo ondere o problema de otmação: Mnmar f ueto a O problema de otmação ama pode er ubttuído por uma famíla de problema de otmação da forma: Mnmar B μ f μ n ln onde n é a dmenão do vetor. Ou ea o problema orgnal om retrçõe de degualdade é ubttuído por uma famíla de problema rretrto parametrado om relação a varável μ que é denomnada parâmetro de barrera. Na referêna [Fao 99] é demontrado que o mnmador de Bμ μ e aproma da olução ótma do problema om retrçõe de degualdade * quando μ tende a ero. O onunto de mnmadore μ é denomnado de traetóra entral. traetóra entral pode er obtda atravé do algortmo: Eolha μ > e aute. Enontre μ que mnma B μ. Se μ < ε o algortmo é fnalado. Cao ontráro eolha μ < μ. v ute e vá para o pao. No pao pode-e enontrar μ atravé da olução do tema de equaçõe não-lneare:

16 97 B f μ para n Na práta não é preo enontrar μ preamente ante de redur μ. Deta forma μ é apromado uando apena uma teração do Método de Newton. O prmero pao para aplar a téna de barrera logarítma derta no problema de otmação é ntrodur varáve de folga na retrção 3.. pó ete proedmento tem-e o problema de otmação: Mnmar 3. ueto a: b 3. g t 3.3 t u 3.4 g 3.5 t 3.6 Inerndo-e o termo de barrera logarítma na função obetvo para repreentar a retrçõe 3.5 e 3.6 tem-e: Mnmar μ n ln g μ n ln t 3.7 ueto a: b 3.8 g l 3.9 t u 3.3

17 98 onde n é a dmenão do vetore g e t Função agrangeana O egundo pao na dervação do MPI é utlar o Método de agrange [Noedal 6] para tranformar um problema de otmação om retrçõe de gualdade em um problema de otmação rretrto. Ete método erá lutrado atravé do problema de otmação: Mnmar f ueto a: g para...m onde m é o número de retrçõe de gualdade. O Método de agrange etabelee que a olução ótma do problema de otmação ama pode er obtda atravé da mnmação da função: f m g função ama é denomnada função agrangeano e a varável é o multplador de agrange aoado om -éma retrção de gualdade. Deta forma a função agrangeano aoada om o problema de otmação é dada por: n n μln g μ ln t b g l t u 3.3 onde e ão o multpladore de agrange aoado om a retrçõe e 3.3 retvamente. ondçõe de optmaldade aoada om a função 3.3 ão obtda gualando-e a dervada deta função a ero ou ea:

18 99 ; g ; t ; ; e Deta forma têm-e a egunte ondçõe de optmaldade: [ ] 3.3 μe e Z G 3.33 μe e S 3.34 b 3.35 l g 3.36 u t 3.37 onde: e é um vetor om dmenão n e todo o elemento gua a ; é o gradente da função obetvo; [ ] é a matr Jaobana do vetor de retrçõe; G Z e S ão matre dagona om o elemento não-nulo gua a g t e retvamente.

19 3.4.5 Solução da Condçõe de Optmaldade atravé do Método de Newton ondçõe de optmaldade ão um tema de equaçõe não-lneare. Portanto pode-e aplar o Método de Newton para obter uma olução para eta equaçõe. Entretanto não é neeáro obter uma olução eata para a ondçõe de optmaldade po a mema etão parametrada om relação a varável μ ver Subeção Deta forma erá reolvdo uando-e apena uma teração do Método de Newton. Em ada teração do Método de Newton uma etmatva da olução é alulada atravé da olução de um tema de equaçõe lneare. Ete tema é obtdo a partr da Epanão de alor da equaçõe não-lneare em torno da olução atual. Conequentemente a lnearação de reulta em: Equação 3.3 [ ] [ ] [ ] a a a a m m m m onde: m é o número de retrçõe dmenão do vetor ; e a a a a a ão a matre Heana da função obetvo e da retrção a retvamente. Faendo-e

20 m m m m a a a a H H H H [ ] r r d d em-e: [ ] d d r r H H H H 3.38 Equação 3.33 e μ e Z G e μg g Z G Faendo-e e μg r tem-e: r g Z G 3.39 Equação 3.34 e μ e S e μ t S Faendo-e e μ r tem-e: r t S 3.4 Equação 3.35 b [ ] b

21 [ ] b Faendo-e b tem-e: r b 3.4 [ ] rb Equação 3.36 g l g g l Faendo-e g l tem-e: r l g r 3.4 l Equação 3.37 t u t u t Faendo-e u t tem-e: r u t r 3.43 u Erevendo-e em notação matral tem-e: t g - S - -I t -r -G - -I g Z -r -H -H r d -H -H I -I r d 3.44 r b -I I r l -I -I -r u

22 3 Utlando-e -S - e -G - Z omo pvô bloo na laro em 3.44 pode-e elmnar a varáve t e g de pó ete proedmento obtéme o tema de equaçõe: -H -H -H -H r d I -I r d r b 3.45 I GZ - -I S - r ˆl - r ˆu onde: rˆ l rl GZ r e rˆ u ru S r Utlando-e GZ - e S - omo pvô bloo na laro em 3.45 pode-e elmnar a varáve e de pó ete proedmento obtéme o tema de equaçõe: -H -H r d -H - r 3.46 ˆd H D r b onde: D G Z S e rˆ ˆ ˆ d rd G Z rl S ru O tema de equaçõe 3.46 é denomnado Stema umentado. Uandoe 3.46 para alular e pode-e obter a varáve retante omo: rˆ S u rˆ G Z l r g GZ

23 4 r t S eqüêna de álulo ama é equvalente a ubttução regreva uada na olução de tema lneare va fatore trangulare. Na próma ubeçõe erão apreentado algun detalhe obre a mplementação omputaonal do MPI uado na RESFUP Inalação da Varáve aplação do MPI na olução de problema de otmação não-lnear ege que uma etmatva nal para a varáve ea forneda unto om o dado do problema. lém do é também neeáro atrbur um valor nal para a varáve de folga que foram adonada ao problema para modelar a retrçõe de degualdade. Deta forma om o valore na de deve-e determnar o valore na de g e t. Neta mplementação do MPI a varáve prma g e t ão nalada de aordo om a etratéga propota em [Vanderbe 999] to é: n φl φ u n φ l φu e l e l < e n n n u < u g - l t u - onde ϕ é um fator de mtura om valor prómo de. ϕ9 e n n é a etmatva nal da varável. O proedmento ama etabelee que quando uma varável etá fora do eu lmte eu valor nal é alterado para que a mema permaneça dentro do

24 5 eu lmte baeado em uma ombnação lnear do eu lmte. Neta ombnação o lmte ma prómo do valor nal terá o maor peo. Fnalmente deve-e menonar que não é neeáro nenhum proedmento eal de nalação para a varáve lvre. nalação da varáve dua e e baea na etratéga propota em [Wähter 6] to é: n n μ / g ; μ / t para...n e para m onde μ n é o valor nal de μ Regra de Parada Neta mplementação do MPI fo utlado o rtéro de onvergêna propoto em [Wähter 6]. Ete rtéro de onvergêna e baea no reíduo da ondçõe de optmaldade do problema orgnal em o termo de barrera logarítma problema ou ea: Fatbldade Prmal r b : b r l : g l r u : u t Complementaredade ZGe Se

25 6 Fatbldade Dual [ r ] [ ] d Potvdade g t Deta forma uma olução ótma do MPI é obtda quando: g t εtol E < onde: ; E g t ma{ r r r r W } d ZGe W S e W b l u d W d ma ma ma ; m n W W ma W ; εtol é uma tolerâna efada; W d W e W ão peo uado para evtar dfuldade numéra auada pela magntude elevada da varáve dua. Eta magntude elevada podem er auada pela preença de dependêna lnear entre o gradente da retrçõe atva na olução ótma Cálulo do Comprmento de Pao dreçõe de pequa determnada pelo Método de Newton ão obtda onderando-e que o omprmento de pao é untáro por eemplo: ggg. Entretanto ete omprmento de pao pode volar a retrçõe de

26 7 potvdade mpota obre a varáve g t e. Deta forma deve-e uar um omprmento de pao menor para atfaer: para n t t g g > > > > nequaçõe ama podem er reerta omo: para n t t g g > > > > O valor de - que atfa toda a degualdade ama pode er obtdo por: para ma n t t g g onde α é uma ontante om valor levemente menor do que. α95 uada para garantr a degualdade ama. Fnalmente a atualação da varáve prma e dua é realada: t t t g g g tualação do Parâmetro de Barrera Neta pequa o parâmetro de barrera é obtdo uando-e a etratéga heuríta propota em [Vanderbe 999]. Neta etratéga o valor de μ é alulado por:

27 8 ξ μ ω mn α ξ 3 μ onde: g t μ é o valor médo do gap de omplementaredade obtdo à partr n da ondçõe de otmaldade ; ξ { g t n} μ mn ; / α é um fator de egurança uado no álulo do omprmento de pao geralmente α 95; ω é uma ontante uo valor é gual a. etratéga ama e baea no fato de que o MPI tem um melhor deempenho quando o produto de omplementaredade g e t para...n tendem a ero em uma taa unforme. Deta forma o valor de ξ mede a dtâna da unformdade. Conequentemente ξ e ξ e e omente e g e t para...n ão todo gua a um valor ontante. Quando não há unformdade no produto de omplementaredade o valor de μ deve er aumentado para garantr unformdade na próma teração éna de Operação de Matre Epara e Solução do Stema umentado prnpal omponente do uto omputaonal em uma teração do MPI é a olução do tema aumentado No ao da RESFUP ete tema é ompoto por matre ara ta omo a matre Jaobana e Heana da equaçõe de fluo de potêna. Deta forma neta mplementação do MPI foram utlada téna de operação de matre ara baeada no formato de armaenamento Zollenopf propoto em [Red 97] [Brameller 976]. O

28 9 armaenamento do elemento não-nulo por oluna de uma matr 6 6 uando o formato Zollenopf é motrado na Fgura 3.4 onde: FIRS: é o vetor que ontém a poçõe do prmero elemento de ada oluna; NNZ: é o vetor que armaena o número de elemento não-nulo de ada oluna; IROW: vetor onde ão guardado o índe de lnha do elemento não-nulo; v NEX: é o vetor que armaena a poção do prómo elemento não-nulo de uma oluna; v VUE: é o vetor que ontém o valore do elemento não-nulo. O formato Zollenopf fo uado para armaenar o elemento não-nulo da matre Jaobana e Heana por oluna e por lnha retvamente. lém do apena o elemento do trângulo uperor da matr Heana ão armaenado po eta matr é métra. Eta etratéga de armaenamento permte que ada lnha da matr do oefente do tema aumentado ea ontruída a partr de uma lnha da matr Heana e uma oluna da matr Jaobana lnha da tranpota do Jaobano. etratéga de ontrução do tema aumentado é lutrada na Fgura 3.5. nalando-e a Fgura 3.5-a pode-e obervar que o bloo nferor dreto é ompoto por elemento nulo. Entretanto também ão reervada poçõe para o elemento dagona dete bloo onforme é motrado na Fgura 3.5-b. Eta poçõe ão uada durante o proeo de olução do tema aumentado. O tema aumentado do MPI é reolvdo uando-e a ubrotna M7 da bblotea HS Harwell Subroutne brar [HS ]. ubrotna M7 é proetada para reolver tema de equaçõe lneare aro métro e ndefndo ta omo o tema aumentado do MPI. eolha deta ubrotna é devdo a ua grande utlação em dvero programa de otmação não-lnear ta omo o IPOP [Wähter 6] e o KNIRO [d Pllo 6]. lém da ubrotna M7 foram utlado o egunte proedmento na olução do tema aumentado:

29 Fgura 3.4 rmaenamento de uma matr 6 6 no formato Zollenopf Fgura 3.5 Etratéga de ontrução do tema aumentado

30 Equlbração da matr do oefente om a ubrotna de ealamento MC9 da bblotea HS [HS ]. equlbração evta problema de malondonamento numéro auado pelo termo de penaldade aoado om o lmte na varáve. Refnamento Iteratvo. dção de uma perturbação no elemento dagona do bloo nferor dreto do tema aumentado. Eta perturbação é adonada quando a ubrotna M7 nda que o tema aumentado é ngular para uma tolerâna de pvoteamento efada ε PIV. magntude da perturbação adonada ao elemento dagona do bloo nferor dreto é gual a -8 μ /4. v Subttução do fatore trangulare do tema aumentado da teração atual pelo fatore trangulare da teração anteror. Eta ubttução é realada quando a perturbação não é ufente para elmnar a ngulardade. Ou ea a ubttução do fatore trangulare é uma etratéga de retaguarda para a perturbação. O proedmento -v ão uado em dvero programa de otmação não-lnear ta omo o IPOP e o KNIRO Modelagem de Varáve Fa Em problema de FPO alguma varáve ão mantda fa em eu valore efado ta omo o ângulo da tenõe na barra Vq. No MPI uado na RESFUP a varáve fa não ão elmnada do modelo de otmação ma ão utlado pontero e vetore de nalação flag para aear apena o elemento aoado om varáve não-fa no vetore e matre uado no MPI. Em outra palavra durante o álulo da funçõe e dervada toda a varáve ão onderada omo não-fa. Eta téna de modelagem de varáve fa permte que programa de Dferenação utomáta [Noedal 6] poam er uado para gerar a dervada do MPI a partr do

31 ódgo fonte da funçõe. Ou ea não é neeáro alular a dervada manualmente embora neta mplementação do MPI a dervada foram alulada am. No entanto om a modelagem ama o MPI mplementado poderá er ntegrado om programa de Dferenação utomáta. Na olução do tema aumentado a varáve fa ão modelada gualando-e a e a o elemento dagona e não dagona retvamente da lnha e oluna aoada om varáve fa. lém do o elemento do vetor do lado dreto aoado om a varáve fa ão também gualado a. Ete proedmento reulta em dreçõe de pequa nula para a varáve fa. Conequentemente eta varáve permaneem no eu valore na valore efado durante todo o proeo teratvo lgortmo Conetual partr do proedmento derto na Subeçõe tem-e o algortmo onetual para o MPI: Inalação do ontador de teraçõe e da varáve g t e onde o obrerto nda o valor de uma varável ou função na teração. Cálulo da dervada: e [ ] Cálulo do parâmetro de barrera μ ξ ξ α ω μ 3 mn onde: n t g μ e { } μ n t g ξ / mn v ete de onvergêna: e tol ε t g E < o MPI onvergu para uma olução; ao ontráro proga para o pao v.

32 3 v Calular: m m m m a a a a H H H H e S Z G D v Calular e atravé da olução do tema aumentado ou ea: b d d r r r O H H H H ˆ v Calular a dreçõe de pequa retante: u r S ˆ l r Z G ˆ r Z G g e r S t v Calular o omprmento de pao. tualação da varáve: ; ; g g g ; t t t ; ; e. tualação do ontador de teraçõe. Repetr o pao - enquanto < K onde K é o número mámo de teraçõe Comentáro Fna Nete apítulo fo defndo o problema de FPO não-lnear aoado om a RESFUP. Ete problema de otmação tem omo obetvo mnmar o orte de arga total ueto a egunte retrçõe: lmte na geraçõe de potêna atva e reatva equaçõe de balanço de potêna atva e reatva e lmte no módulo da

33 4 tenõe em barra PV e V. prnpal arateríta do problema de FPO aoado om a RESFUP é a utlação do redaho de potêna atva para elmnar ao de não onvergêna do algortmo de fluo de potêna tradona. Eta arateríta permte elmnar ao de nolubldade que não podem er retaurado apena om o orte de arga. lém do é poível dentfar etado no qua a RESFUP pode er realada em o uo do orte de arga ação orretva ma evera. Eta dentfação não é poível quando a RESFUP é realada va FPC [arapu 99] po a arga e a geração ão multaneamente reduda ou aumentada em ada pao prevor/orretor. É mportante menonar que o problema de otmação aoado om a RESFUP tem dvera varáve de deão por eemplo: potêna de aída da una tenõe termna na barra om geração de reatvo e orte de arga no ponto de demanda. Em outra palavra é neeáro que o operador aute dvero ontrole para elmnar um etado ntável auado pela auêna de olubldade. Contudo ete aute múltplo de ontrole não é deeável na operação de tema de energa elétra. Uma alternatva para atenuar ete problema é uar o mínmo devo de um ponto de operação efado omo função obetvo da RESFUP. Eta função obetvo ege a pré-efação de peo para defnr a mportâna e a everdade da açõe de ontrole. odava ete peo podem gerar reultado tendenoo devdo à ubetmação/obretmação da açõe de ontrole. Fnalmente deve-e menonar que o algortmo de RESFUP uado neta tee não é apa de dtngur e um ao de não onvergêna é numéro ou fío. Eta dentfação egra a utlação do modelo de FPO deal Seção 3. e práto Seção 3.3 na RESFUP. Nete ao o modelo deal era uado para tentar obter uma olução em modfar o daho de geração e a tenõe na barra de geração. Se uma olução é obtda em orte de arga então o etado atual tem problema de nolubldade numéra. Cao ontráro o modelo práto é uado para realar a RESFUP. Eta tranção entre o do modelo pode er realada atvando-e eqüenalmente o ontrole uado na RESFUP. Ito é nalmente a potêna de aída do geradore e ua tenõe termna ão modelada omo varáve fa utlação do modelo deal e ão lberada para varar dentro do eu lmte quando não é poível obter uma olução em orte

34 5 de arga utlação dom modelo práto. Eta etratéga não fo aplada neta tee devdo ao eu alto uto omputaonal e a deteroração da arateríta de onvergêna do MPI.