Matemática capítulo 1

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1 Matemática capítulo Eercícios propostos 0 (PUC-RS) Num ogo foram sorteados 6 números para compor uma matriz M =(m i ) de ordem Após o sorteio notou-se que esses números obedeceram à regra m i = i Assim a matriz M é igual a e) (PUC-MG) Sea A a matriz A = (a i ) cua lei de formação é dada por i se i ai = + Écorreto afirmarque : i se i= 5 A = A = (UFG-GO) Sea M= a i nm A = A = uma matriz quadrada de ordem n onde a i = i + Nessas condições a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz é: n n+n n+n n +n e) n+n 0 (Unesp) Considere três loas L L e L e três tipos de produtos P P e P A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loa na primeira semana de dezembro Cada elemento a i da matriz indica a quantidade do produto P i vendido pela loa L i = P P P L L L Analisando a matriz podemos afirmar que: a quantidade de produtos do tipo P vendidos pela loa L é a quantidade de produtos do tipo P vendidos pela loa L é 0 a soma das quantidades de produtos do tipo P vendidos pelas três loas é 0 a soma das quantidades de produtos do tipo P i vendidos pelas loas L i i = é 5 e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P e P vendidos pela loa L é 5 05 (UEL-PR) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se A t = A Nessas condições se a matriz A mostrada na figura adiante é uma matriz antissimétrica então + y + z é igual a: 0 y z A = 0 0 e) 06 (UFR-RJ) Após o falecimento do saudoso Renato Russo em /0/96 os fãs do Legião Urbana começaram a ouvir as músicas da banda regravadas pelos mais diversos intérpretes da MPB Um desses fãs percebeu que ao longo do tempo três cantores em cada um dos seus três discos mais recentes gravaram as mesmas três obras de Renato Russo cada qual uma vez Não podendo comprar os nove CD s o fã resolveu comprar três um de cada cantor C C e C contendo diferentes músicas M M e M Após uma pesquisa nas loas de um shopping o fã verificou que os vários CD s poderiam ser encontrados a preços diferentes e organizou a seguinte matriz de preços em R$: C C C M 0 5 M 8 0 M 8 8 A partir da análise verifica-se que: a compra poderá ser feita por R$ 00 o máimo a ser gasto na compra é R$ 00 o mínimo a ser gasto na compra é R$ 800 não é possível efetuar a compra por R$ 00 e) não é possível encontrar o menor valor da compra 07 (UFR-RJ) Antônio Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope de bar em bar tanto no sábado quanto no domingo As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: 5 5 S= 0 0 e D = S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo Cada elemento a i nos dá o número de chopes que i pagou para sendo Antônio o número Bernardo o número e Cláudio o número (a i representa o elemento da linha i coluna de cada matriz)

2 Assim no sábado Antônio pagou chopes que ele próprio bebeu chope de Bernardo e de Cláudio (primeira linha da matriz S) Quem bebeu mais chope no fim de semana? Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? e 0 08 (Ueg) Dada a matriz A = y+ e sea B 0 uma matriz identidade de ordem os valores de e y não negativos tal que as matrizes A e B seam iguais são respectivamente 0 e 0 e e e 09 (UFPE) Um grupo de alunos dos cursos e solicita transferência para outro curso escolhido entre os mesmos e A matriz abaio representa o resultado obtido após as transferências: Para i na interseção da linha i com a coluna encontra-se o número de estudantes do curso i que se transferiram para o curso ; Para i = na interseção da linha i com a coluna encontra-se o número de estudantes do curso i que permaneceram no curso i Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um curso analise as afirmações seguintes de acordo com as informações acima ( ) Antes das transferências eistiam 7 alunos no curso ( ) Após as transferências eistem 7 alunos no curso ( ) Foram transferidos 6 alunos para o curso ( ) O total de alunos transferidos é 69 ( ) total de alunos nos cursos e é de 6 alunos 0 (UERJ) A temperatura corporal de um paciente foi medida em graus Celsius três vezes ao dia durante cinco dias Cada elemento a i da matriz abaio corresponde à temperatura observada no instante i do dia Determine: o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura; a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação (UFSM-RS) Sabendo-se que a matriz y 6 7 A = 0 5 y 0 é igual à sua transposta o valor de + y é: e) (UERJ) Três barracas de frutas B B e B são propriedade de uma mesma empresa Suas vendas são controladas por meio de uma matriz na qual cada elemento b i representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas B i e B em milhares de reais ao final de um determinado dia de feira 8 0 B = a y 0 d c z Calcule para esse dia o valor em reais: arrecadado a mais pela barraca B em relação à barraca B ; arrecadado em conunto pelas três barracas (Uer) Observe a matriz A quadrada e de ordem três A= Considere que cada elemento a i dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i + ) O valor de é igual a: (Espm-SP) A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de apartamentos é dada pela matriz 5 y onde cada elemento a i representa a 6 y + quantidade de moradores do apartamento do andar i Sabe-se que no º andar moram pessoas a mais que no º e que os apartamentos de número comportam pessoas ao todo O valor de n é: 0 e) 5 (UEL-PR) Atualmente com a comunicação eletrônica muitas atividades dependem do sigilo na troca de mensagens principalmente as que envolvem transações financeiras Os sistemas de envio e recepção de mensagens codificadas chamam-se criptografia Uma forma de codificar mensagens é trocar letras por números como indicado na tabela-código a seguir 5 Z Y X V U T S R Q P O N M L K J I H G F 5 E D C B A Nessa tabela-código uma letra é identificada pelo número formado pela linha e pela coluna nessa ordem Assim o número corresponde à letra N A mensagem final M é dada por A + B = M onde B é uma matriz fiada que deve ser mantida em segredo e A é uma matriz

3 enviada ao receptor legal Cada linha da matriz M corresponde a uma palavra da mensagem sendo o 0(zero) a ausência de letras ou o espaço entre palavras José tuitava durante o horário de trabalho quando recebeu uma mensagem do seu chefe que continha uma matriz A De posse da matriz B e da tabela-código ele decodificou a mensagem O que a chefia informou a José? Dados: A = B = Sorria você está sendo advertido Sorria você está sendo filmado Sorria você está sendo gravado Sorria você está sendo improdutivo e) Sorria você está sendo observado 0 6 Sendo A= e B= 0 calcule: A + B A B B A 7 Calcule y e z tais que y z 7 7 = z 0 8 Sendo A= (a i ) onde a i =i e B= (b i ) com b i = i + calcule: A B B A (A+B) t 9 Sendo A= 0 0 e B = 0 0 determinar as matrizes X e Y tais que: X + Y = A + B e X Y = A B 0 Dadas as matrizes A = 0 B = 0 e 5 C = 0 8 calcule: (A B) + (B C) + (C A) (A - B) (B C) C a matriz X tal que (X A) + B = (X A + C) Sendo A= (a i ) onde a i =i e B= (b i ) com b i = i determine X tal que A + X = B 0 Sendo A= e B = calcule as matrizes X e Y no sistema X+ Y= B X+ Y= A Sendo A= 0 0 e B= -A determine a matriz X tal que X A= B (Fei) Se as matrizes A = (a i ) e B = (b i ) estão assim definidas: ai = sei= ai = 0 sei bi = sei+ = bi = 0sei+ onde i e então a matriz A + B é: e) (CFTMG) Sendo as matrizes A = (a i ) e B = (b i ) quadradas de ordem com a i = i e b i = i + o valor de A B é: (UFTM adaptad Considere as matrizes A a i = ( ) tal que a i B b i i = + = ( ) tal que b = i + i ( ) Determine pela lei de formação a matriz C resultante da soma das matrizes A e B 7 (IFSC) Sobre as propriedades da matriz transposta considere as sentenças abaio: t I A+ B At Bt ( ) = + t ( ) = II ka ka t III AB AB t t ( ) = t 5

4 Assinale a alternativa correta penas a sentença II é verdadeira Apenas a sentença III é verdadeira Apenas as sentenças I e II são verdadeiras Apenas as sentenças II e III são verdadeiras e) Apenas as sentenças I e III são verdadeiras 8 (UFSM-RS) Na planilha de cálculos do setor de Engenharia responsável pelas obras de um shopping foram encontradas as matrizes: A = log log 0 0 log00 log 0 e π π cos tg B = π π sen cos É correto então afirmar que A é igual a: B B B B t e) B 9 (PUC-MG) Considere as matrizes de elementos reais: A = B e C y z = = 5 9 Sabendo-se que A B = C pode-se afirmar que o produto dos elementos de A é: (UFRN) Considere a seguir uma tabela com as notas de quatro alunos em três avaliações e a matriz M formada pelos dados dessa tabela Avaliação Avaliação Avaliação Thiago Maria Sônia André M = O produto M corresponde à média de todos os alunos na avaliação de cada avaliação de cada aluno nas três avaliações de todos os alunos na avaliação (UFG-GO) Uma metalúrgica produz parafusos para móveis de madeira em três tipos denominados soft escareado e setavado que são vendidos em caias grandes com 000 parafusos e pequenas com 900 cada caia contendo parafusos dos três tipos A tabela a seguir fornece a quantidade de parafusos de cada tipo contida em cada caia grande ou pequena A tabela fornece a quantidade de caias de cada tipo produzida em cada mês do primeiro trimestre de um ano Tabela Parafusos/caia Pequena Grande Soft Escareado Setavado Tabela Caias/mês JAN FEV MAR Pequena Grande Associando as matrizes A= e B = às tabelas e respectivamente o produto A B fornece: o número de caias fabricadas no trimestre a produção do trimestre de um tipo de parafuso em cada coluna a produção mensal de cada tipo de parafuso a produção total de parafusos por caia e) a produção média de parafusos por caia (UFC-CE) O valor A + B 0 quando A = 0 e B = 0 é igual a: e) (UCS-RS) Uma empresa vende três produtos O preço de venda do tipo está representado por a i na matriz A = [ ] O número de produtos vendidos do tipo em determinado mês está representado por b i na matriz B = [5 5 5] O custo para produzir cada produto do tipo está representado por c i na matriz C = [ ] A epressão que fornece o lucro obtido com a venda dos produtos no mês em questão é AB CA CB t AB t AB t CB t e) CA AB AB t 6

5 (UERN) Seam duas matrizes A e B : A = (a i ) tal que i se i ai = e B = A i+ se > Assim a soma dos elementos da diagonal secundária de B é: (UFF-RJ) Se C C C k representam k cidades que compõem uma malha aérea a matriz de adacência associada à malha é a matriz A definida da seguinte maneira: o elemento na linha i e na coluna de A é igual ao número se eiste eatamente um voo direto da cidade C i para a cidade C caso contrário esse elemento é igual ao número 0 Uma propriedade importante do produto com An = AA A n N é a seguinte: nfatores O elemento na linha i e na coluna da matriz A dá o número de voos com eatamente n escalas da cidade C i para a cidade C Considere a malha aérea composta por quatro cidades C C C e C cua matriz de adacência é: 0 0 A = Os números de voos com uma única escala de C para C de C para C e de C para C são respectivamente iguais a: 0 0 e e e 0 e e) e 6 (ESPM-SP) Sendo A = a b c d uma matriz quadrada de ordem a soma de todos os elementos da matriz M = A A t é dada por a + b + c + d (a + b + c + (a + + (c + (a + + (b + e) (a + + (b + 7 (Unesp) Dada a matriz A = e definindo- se A 0 = I A = A e A K = A A A A com k fatores onde I é uma matriz identidade de ordem k N e k a matriz A 5 será dada por: I A A A e) A 8 (Enem) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz e que poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes Todas as provas possuíam o mesmo peso e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir º bim º bim º bim º bim Matemática Português Geografia História Para obter essas médias ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por: e) 9 (UFSM-RS) Ao comprar os produtos necessários para fazer uma feioada uma dona de casa resolveu pesquisar preços em três supermercados A matriz P dos preços está representada a seguir; a primeira linha mostra os preços por kg do supermercado A; a segunda do supermercado B; a terceira do supermercado C Esses preços são relativos respectivamente aos produtos feião linguiça tomate e cebola P = Q = Sabendo que a matriz Q representa as quantidades necessárias respectivamente de feião linguiça tomate e cebola a dona de casa economizará mais se efetuar as compras no supermercado: A B C A ou B indiferentemente e) A ou C indiferentemente 0 (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 007(tabela I) Com base na tabela é possível formar a matriz quadrada A cuos elementos a i representam o número de medalhas do tipo que o país i ganhou sendo i e pertencentes ao conunto { } Para fazer outra classificação desses países são atribuídos às medalhas os seguintes valores: - ouro: pontos; - prata: pontos; - bronze: ponto Esses valores compõem a matriz V = 7

6 medalhas país tipos - ouro - prata - bronze total - EUA Cuba Brasil Tabela I Quadro de medalhas Jogos Pan-americanos RJ 007 Determine a partir do cálculo do produto A V o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente (UECE) Se as matrizes M = y y en = são tais que M N = N M então sobre os números reais e y é possível afirmar corretamente que: é um número qualquer e y pode assumir somente um valor y é um número qualquer e pode assumir somente um valor e y podem ser quaisquer números reais pode assumir somente um valor o mesmo acontecendo com y (ITA-SP) Determine todas as matrizes M M X ( R ) tais que MN = NM N M ( R ) (Mackenzie) Se A= 0 0 B= 0 0 C = e os inteiros e y são tais que A + A + y B = C então = 0 = = e) = = (PUC-RS) O valor de + y para que o produto das matrizes sea a matriz nula é: 0 A = e B y = e) f) 5 (Unesp) Uma fábrica produz dois tipos de peças P e P Essas peças são vendidas a duas empresas E e E O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P é R$ 00 e de cada peça P é R$ 00 A matriz a seguir (figura ) fornece a quantidade de peças P e P vendidas a cada uma das empresas E e E no mês de novembro A matriz da figura onde e y representam os lucros em reais obtidos pela fábrica no referido mês com a venda das peças às empresas E e E respectivamente é: Figura Figura P P E 0 8 E 5 y e) (UFMG) Milho soa e feião foram plantados nas regiões P e Q com auda dos fertilizantes X Y e Z A matriz A (fig ) indica a área plantada de cada cultura em hectares por região A matriz B (fig ) indica a massa usada de cada fertilizante em kg por hectare em cada cultura Calcule a matriz C = AB Eplique o significado de c o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C Figura Figura Milho Soa Feião P A = Q y z Milho B = Soa Feião 7 (Pucrs) Dada a matriz A = e a função f defi- nida no conunto das matrizes por f() = então f(a) é e) 8 (UFR-RJ) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada prateada e bronzead para guarda-roupas em mogno e cereeira nos modelos básico luo e requinte A tabela mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 005 e a tabela a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês Tabela : Produção de armários em outubro de 005 Madeira/Modelo Básico Luo Requinte Mogno 5 Cereeira 5 8

7 Tabela : Fechaduras usadas em outubro de 005 Madeira/Modelo Mogno Cereeira Dourada 0 Prateada 8 8 Bronzeada 6 A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de e) 88 9 (UEG-GO) Duas matrizes A e B são comutativas em relação à operação multiplicação de matrizes se A B = B A Dada a matriz B (figura ) para que uma matriz não nula A (figura ) comute com a matriz B seus elementos devem satisfazer àrelação: Figura Figura 0 B = a = c + d e b = 0 c = a + d e b = c A = a b c d a = c + d e b = c = a + d e d = c 50 (ESPM-SP) A rotação de um ponto P( y) do plano cartesiano em torno da origem é um outro ponto P ( y ) obtido pela equação matricial: ' cos y' = α senα senα cos α y onde α é o ângulo de rotação no sentido anti-horário Desse modo se P = ( ) e = α 60º as coordenadas de P serão ( ) (0 ) e) ( ) ( ) (0 ) 5 (Fuvest-SP) Seam α e β números reais com π < α< π e 0 < β< π Se o sistema de equações dado em notação matricial π π tg α = cos β π 0 e) π 6 5 (Uem Uma matriz A (m n) é uma tabela retangular formada por m n números reais (a i ) dispostos em m linhas e n colunas O produto de duas matrizes A = (a i ) m n e B = (b i ) n p é uma matriz C = (c i ) m p em que o elemento c i é obtido da multiplicação ordenada dos elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna da matriz B e somando os elementos resultantes das multiplicações A soma de matrizes é comutativa ou sea A + B = B + A Faça a multiplicação das matrizes A e B e verifique se esse produto é comutativo ou sea: A B = B A 0 A= 0 e B = (Insper-SP) A multiplicação de matrizes quadradas de ordem possui sob vários aspectos semelhanças com a composição de funções Para começar as duas operações não são comutativas isto é: eistem matrizes quadradas M e N de ordem tais que (M N) (N M); eistem funções f e g tais que (f g) (g f) ou sea f(g()) g(f()) Além disso as duas operações possuem um elemento neutro No caso da multiplicação de matrizes trata-se da matriz I = 0 Para qualquer matriz quadrada M de 0 ordem tem-se que M I= I M= M O elemento neutro da operação de composição de funções é a função i dada pela lei: i( )= i( )= i( )= i( )= ( )( + ) e) i( )= 5 (UFU-MG) Por recomendação médica João está cumprindo uma dieta rigorosa com duas refeições diárias Estas refeições são compostas por dois tipos de alimentos os quais contêm vitaminas dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte tabela (fig ) De acordo com sua dieta João deve ingerir em cada refeição 000 unidades de vitamina A e 500 unidades de vitamina B Considere nesta dieta: = quantidade ingerida do alimento em gramas y = quantidade ingerida do alimento em gramas Figura Vitamina A Vitamina B Alimento 0 unidades/grama 0 unidades/grama Alimento 50 unidades/grama 5 unidades/grama AmatrizM talque M éigual a y = (UFF-RJ) Um dispositivo eletrônico usado em segurança modifica a senha escolhida por um usuário de acordo com o procedimento descrito a seguir A senha escolhida S S S S deve conter quatro dígitos representados por S S S e S Esses dígitos são então transformados nos dígitos M M M e M da seguinte forma M M P S S e M M P S = = S 0 onde Pématriz 0 9

8 Se a senha de um usuário á modificada é 00 isto é M = 0 M = M = e M = 0 pode-se afirmar que a senha escolhida pelo usuário foi: (Unesp) Considere as matrizes e) 00 5 A B e C y z = = 6 5 com y z números reais Se A B = C a soma dos elementos da matriz A é: e) 8 57 (UEL-PR) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos matemáticos seguindo os passos: Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C; O destinatário recebe do remetente uma matriz P tal que MC = P onde M é a matriz mensagem a ser decodificada; Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: = a = b = c = z; Consideremos o alfabeto com letras ecluindo as letras k w e y; 5 O número zero corresponde ao ponto de eclamação; 6 A mensagem é lida encontrando a matriz M fazendo a correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue: m m m m m m m m m Considere as matrizes: 0 0 C= 0 0 e P = Com base nos conhecimentos e nas informações descritas assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M Boasorte! Boaprova! Boatarde! Audeme! e) Socorro! 58 (Ufg) Um modelo matemático usado para a ampliação de uma imagem consiste em considerar uma transformação linear dada pela multiplicação de uma matriz escala E s por uma matriz coluna A composta pelas coordenadas do ponto P que forma a imagem que será ampliada Considerando as matrizes A e E S dadas por A y e E E o = S = 0 E y em que E e E y são fatores multiplicativos que indicam a mudança da escala então a matriz Q que indica as novas coordenadas do ponto P obtidas pela multiplicação das matrizes E s e A é: E ye E ye y E e) y y E y E E y + + y E 0 0 ye y 59 (PUC-SP) Dadas as matrizes A = (a i ) e B = (b i ) quadradas de ordem com ai = i+ ebi = i se C = A + B então C é igual a: e) 60 Dadas as matrizes A = (a i ) 6 tal que a i = i B = (b i ) 5 tal que com b i = i e C = AB determine o elemento c 6 Sendo A= calcule A + A 5 I 6 Determine a matriz X tal que X + A = (A B A) t sendo A= 0 e B= 0 6 (Mackenzie-SP) A é uma matriz mn e B é uma matriz mp A afirmação falsa é: A + B eiste se e somente se n = p A = A t implica m = n (A t = transposta de A) A B eiste se e somente se n = p A B t eiste se e somente se n = p e) A t B sempre eiste 6 (UERJ) Considere a sequência de matrizes (A A A ) todas quadradas de ordem respectivamente iguais a: Sabendo que o elemento a i = 75 é da matriz A n determine os valores de n i e a 65 (FGV-SP) A matriz b é a solução da equação matricial AX = M em c que: A = 0 e M = 5 Então a + b +c vale: e) 7 66 (UEL-PR) Dadas as matrizes A = (a i ) definida por a i = i ; B = (b i ) definida por b i = ; C = (c i ) definida por C = A B é correto afirmar que o elemento c é: igual ao elemento c igual ao produto de a por b oinverso do elemento c igual à soma de a com b e) igual ao produto de a por b 0

9 67 (FGV-SP) A e B são matrizes e A t é a matriz transposta de A Se A y eb= então a matriz A t B será nula para: + y = y = y = y = e) y = 8 68 (Uem Uma empresa da construção civil faz tipos de casa: tipo para casal sem filhos; tipo para casal com até filhos e tipo para casal com ou mais filhos A empresa de material de construção Barateiro Umbizal fornece ferro madeira telha e tiolo para a primeira etapa da construção conforme tabelas de material e de preço Quantidade de Material Fornecido pela Empresa Barateiro Umbizal Tipo da Casa Ferro (feie) Madeira (m ) Telha (milheiro) Tiolo (milheiro) Tipo Tipo 5 Tipo Preço por Unidade de Material Fornecido em reais Feie de ferro Madeira (m ) Telha (milheiro) Tiolo (milheiro) Sabendo que a empresa construirá e 5 casas dos tipos e respectivamente o preço unitário de cada tipo de casa e o custo total do material fornecido para esta primeira etapa de construção pela empresa em reais é de e) Tipo Tipo Tipo Custo total Tipo Tipo Tipo Custo total Tipo Tipo Tipo Custo total Tipo Tipo Tipo Custo total Tipo Tipo Tipo Custo total (UFSM-RS) Outra medida no sentido de desafogar o trânsito é o planeamento na construção de edifícios públicos O diagrama a seguir representa três bairros C C e C com as respectivas populações de alunos e as distâncias entre eles em quilômetros Desea-se construir uma escola em um desses bairros de tal maneira que a distância percorrida por todos os alunos sea a mínima possível A matriz X que representa as distâncias entre as localidades é dada por X = [d i ] onde d i é a distância entre C i e C i C C C 0 Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas 0 8 ( ) X = ( ) 0 Se Y = 0 é a matriz-coluna das populações então XY = 6 8 ( ) A localidade escolhida para a construção da escola deve ser C A sequência correta é: V V V V F V F V F V V F e) F F V 70 (Fuvest-SP) Uma matriz real A é ortogonal se AA t = I onde I indica a matriz identidade e A t indica a transposta de A Se A = y ( ) z é ortogonal então + y é igual a: ( ) e)

10 7 (UEL-PR) Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta leite e cereais) necessária para uma alimentação sadia A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos A matriz M fornece a quantidade (em gramas) de proteínas gorduras e carboidratos fornecidos por cada grama ingerida dos alimentos citados A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é: 7 (UFR-RJ) Observe a tabela Quantidade comprada por cada amiga Carne Arroz Café Laura 0 kg pct pct Simone 5 kg pct pct Lisa 0 kg pct pct 00 fruta D = 00 leite 600cereais proteínas M = gorduras carboidratos e) Preços dos insumos em cada mercado Mercado A Mercado B Mercado C Carne (kg) R$ 600 R$ 550 R$ 550 Arroz (5 kg) R$ 00 R$ 50 R$ 00 Café (500g) R$ 00 R$ 00 R$ 00 Simone e duas vizinhas se encontraram após fazerem uma pesquisa de preços em três mercados Levando-se em conta três itens de suas listas a saber: carne arroz e café e os preços destes insumos em cada mercado conforme mostra a tabela anterior é correto afirmar que: Lisa e Simone gastarão menos comprando no mercado C do que gastariam no mercado B Simone e Lisa gastarão menos comprando no mercado B do que gastariam nos mercados A ou C as três gastarão menos comprando no mercado A do que gastariam no mercado B Laura e Simone gastarão menos comprando no mercado C do que gastariam nos mercados A ou B e) Laura e Lisa gastarão menos comprando no mercado B do que gastariam no mercado C

11 Matemática capítulo Eercícios propostos 7 (UERJ) Os números 0 78 e 55 são divisíveis por 7 Considere o determinante de ordem a seguir: Demonstre que esse determinante é divisível por 7 7 (UEL-PR) Seam as matrizes A = (a i ) tal que a i = i e B = (b y ) tal que b y = y O determinante da matriz A B é igual a: e) 75 (UFRGS-RS) Sendo A = (a i ) nn uma matriz onde n é igual a e a i = i o determinante da matriz A é: 0 76 (Unitau) Sendo B = (b i ) onde se i = b i = i se i < se i> Calcule o detb t : e) e) 0 77 (Mackenzie-SP) Dadas as matrizes A = (a i ) tal que ai = 0 sei= e B = (b ai = 0 sei i ) bi = sei= tal que bi = 0 sei o valor de det(ab) é: e) (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades: I II III > < > 7 É correto afirmar que: são verdadeiras apenas as desigualdades I e II são verdadeiras apenas as desigualdades II e III são verdadeiras apenas as desigualdades I e III as três desigualdades são verdadeiras e) as três desigualdades são falsas 79 (PUC-RS) Dadas as matrizes A = e B = 5 o determinante det (A B) é igual a e) (UEL-PR) Se o determinante da matriz é nulo então: = = 7 A = = = 0 8 (IFSul) Sendo o determinante [0] [5] e) = 7 sen sen D = o valor do D = cos + sen π 6 está no intervalo: [57] [79] 8 (Fatec-SP) Se é um número real positivo tal que A = B = 0 e det (A B) = então - é igual a: e) 8 (Cfts Calcule o valor de para que se tenha 6 0 = 0 e) 6 8 (PUC SP) Se os coeficientes da função quadrática definida por f() = a + b + c satisfazem à condição 0 então é correto afirmar que: c b b 0 = bc a

12 f tem um máimo a e c têm sinais opostos o gráfico de f é uma parábola cuo vértice pertence ao eio das ordenadas o gráfico de f está contido no primeiro e segundo quadrantes e) o gráfico de f tangencia o eio das abscissas 85 (UEL PR) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero: a b b a b a + b a quaisquer que seam os valores reais de a e de b se e somente se a = b se e somente se a = b se e somente se a = 0 e) se e somente se a = b = sen 86 (Mackenzie SP) Sendo A = cos e cos sen B = log56 log 0 5 da epressão AB é 5 números reais o valor e) 5 a b 87 (UFTM) É dada a matriz A = onde a e b b a 0 a são números reais Se 5 = b então o determinante de A é igual a: b + a b + 5 b + a 5a + e) 5a 88 (Unesp) Considere a matriz A = (a i ) definida por a i = + i + para i O determinante de A é: e) 89 (PUC MG) O termo geral da matriz M é a i = i O valor do determinante de M é: 5 e) 6 90 (PUCCamp SP) São dadas as matrizes A=(a i ) onde a i =i- e B=(b i ) onde: i + se i = b i = i se i Nessas condições se X = (B A) o determinante da matriz X é igual a: e) 9 (Fei SP) As faces de um cubo foram numeradas de a 6 depois em cada face do cubo foi registrada uma matriz de ordem com elementos definidos por: i f se i a i = + = sei onde f é o valor associado à face correspondente Qual o valor do determinante da matriz registrada na face 5? (UFR RJ) Dadas as matrizes 5 0 A = e) 0 e B= O valor de tal que det A = det B é: 0 5 e) 9 (PUCCamp SP) Seam as matrizes mostradas na figura a seguir A= 0 B ec = 0 = 0 0 O determinante da matriz A + B C é: 0 e) 5 9 (Unioeste PR) O valor de "a" para o qual o determinante adiante se anula é: 0 8 a 8 95 (Fei SP) Para que o determinante da matriz + a a sea nulo o valor de a deve ser: ou ou ou 5 5 ou e) ou 96 (Uepg PR) Dadas as matrizes 0 sen A= e B = 0 sen assinale o que for correto cos sen e ava- 0 Se = π então det B = 0 0 A matriz A B é transposta de B 0 B A = B 08 det (A B) = cos 6 det B 0 para todo R sen 97 (Upf) Considere a matriz A = cos lie as seguintes afirmações

13 I A matriz A é diagonal se e somente se sen = ± II O determinante da matriz A é um número maior do que π III A matriz A é simétrica se e somente se = + kπ para algum k Z IV A matriz A é inversível qualquer que sea R É verdadeiro o que se afirma em: I e II apenas I III e IV apenas II e III apenas e) I II III e IV II III e IV apenas 98 (Mackenzie SP) Na função real definida na figura a seguir f(000) vale: f ( )= e) (CFTMG) Dada f:r R definida por cos f ( ) = cos sen é correto afirmar que sen essa função: possui raiz em = 0 assume máimo apenas em = π é constante para qualquer valor de tem como representação gráfica uma senoide 00 (ESPM-SP) Considerando-se log = 0 o valor do determinante abaio é igual a: 06 0 log log6 log00 ( log) ( log) ( log 0) 07 e) 0 0 (UFPE) Para cada número real α defina a matriz cosα senα 0 M( α) = senα cos α Analise as afirmações seguintes acerca de M(α) ( ) M(0) é a matriz identidade ( ) M(α) = M(α) ( ) M(α) tem determinante ( ) M(α) é invertível e sua inversa é M( α) ( ) Se M(α) t é a transposta de M(α) então M(α) M(α) t = M(0) 0 (Epcar (Af) Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M: M t é a matriz transposta de M M é a matriz inversa de M det M é o determinante da matriz M Da equação (X t ) = A (B + C) em que A e (B + C) são matrizes quadradas de ordem n e inversíveis afirmase que I X A t t = ( ) ( B+ C ) II det X = deta det ( B+ C) III X = Bt+ Ct At ( ) São corretas apenas I e II apenas II e III apenas I e III I II e III 0 (Unesp) Sea A = [a i ] a matriz real definida por a i = se i e a i = se i > Calcule A - a 0 (UFPE) Sea c Indique a + b + c + d b d a inversa da matriz 05 (FGV SP) Sabendo que a inversa de uma matriz A é A = e que a matriz X é solução da 5 equação matricial X A = B em que B=[8 ] podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz X é: e) Teto para as próimas questões: Uma empresa de informática constatou que o custo total C() em reais para produzir seus equipamentos é dado pela função C() = deta + detb 0 + na qual é o número de equipamentos produzidos com A 0 = e B= (Ifsul) A quantidade de unidades que devem ser fabricadas para que o custo sea mínimo é unidade unidades unidades unidades 07 (Ifsul) O custo total para a produção de 0 unidades do equipamento é R$ 00 R$ 500 R$ 00 R$ (UFC-CE) A matriz quadrada A de ordem é tal que: A = Calcule A I em que I é a matriz identidade de ordem Sabendo-se que A cumpre a propriedade A A = I determine a matriz inversa de A 5

14 09 (UFPR) Se A é uma matriz quadrada de ordem e I é a matriz identidade de mesma ordem pode-se mostrar que para cada n natural eistem números reais α e β tais que A n = αa + βi Dada a matriz A = 0 encontre α e β tais que A = αa + βi multiplicando a epressão do item anterior pela matriz inversa A - obtém-se a epressão A = αi + βa - Use essa informação para calcular a matriz A - 0 (Fuvest-SP) Dada a matriz A = calcule a sua inversa A- A relação especial que você deve ter observado entre A e A - seria também encontrada se calculássemos as matrizes inversas de B = C = e D = 0 Generalize e demonstre o resultado observado (Udes Sea X o conunto formado por todas as matrizes diagonais de ordem Analise as proposições: I A multiplicação de matrizes pertencentes a X satisfaz à propriedade comutativa II Todas as matrizes pertencentes ao conunto X possuem inversa III A matriz identidade de ordem pertence ao conunto X IV Se A e B são dois elementos pertencentes a X então A + B também pertence a X Assinale a alternativa correta Somente a afirmativa II é verdadeira Somente as afirmativas I III e IV são verdadeiras Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras Somente a afirmativa III é verdadeira e) Todas as afirmativas são verdadeiras (Udes Seam A = (a i ) e B = (b i ) matrizes quadradas de ordem de tal forma que: a i = i + b i = e os elementos de cada coluna de cima para baio formam uma progressão geométrica de razão Analise as proposições abaio: ( ) A = A T ( ) Os elementos de cada uma das linhas da matriz B estão em progressão aritmética ( ) Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas da matriz AB estão em progressão aritmética ( ) Eiste a matriz inversa da matriz C = A B O número de proposição(ões) verdadeira(s) é: 0 e) (UEM-PR) Considerando as matrizes de números reais quadradas e de ordem A = (a i ) e B = (b i ) definidas respectivamente por se i> i a i i = e i se i= bi = ( ) + se > e que A t 0 se i i se i< indica a transposta da matriz A assinale o que for correto 0 A matriz B é invertível 0 AB BA 0 Eiste um valor inteiro positivo n para o qual B n é a matriz quadrada nula de ordem 08 A matriz A A t = (c i ) satisfaz a c i = c i para todo i e para todo 6 A matriz A A t = (d i ) satisfaz a d i = d i para todo i e para todo (Unioeste-PR) Considere as matrizes 0 A = e B = b Denotemos por A T a matriz transposta de A e por A a matriz produto A A É correto afirmar que: 0 qualquer que sea b R tem-se que AB T = para todo b R tem-se que ( A+ B) ( A B)= A + B se b = então a matriz A+ B T é inversível se b= k para algum k Z então A+ B T é inversível e) qualquer que sea b R a matriz A+ B T nunca será inversível a a+ 5 (Fuvest-SP) Considere a matriz A = a a+ em que a é um número real Sabendo-se que A admite a inversa A - cua primeira coluna é a soma dos elementos da diagonal principal de A - é igual a: e) 9 6 (UFR RJ) Dada uma matriz A = 0 denotamos por A - a matriz inversa de A Então A + A - é igual a: 0 e)

15 7 (UFPR) Considere a matriz A = [a i ] de ordem cuos elementos são mostrados a seguir se i a i = 0 se i = É correto afirmar que: 0 Na matriz A o elemento a é igual ao elemento a 0 Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos 0 O determinante da matriz A é igual a 08 Se a matriz B é [ ] então o produto B A é a matriz B 6 Sendo I a matriz identidade de ordem a matriz A + I possui todos os elementos iguais a 8 (Mackenzie SP) As raízes não nulas da equação mostrada na figura a seguir 7 7 = 0 7 são as medidas dos lados de um triângulo de área: e) 7 9 (UFV-MG) Considerando a matriz A cuo termo geral é dado por a y = ( ) +y é correto afirmar que: A = A t A é inversível a + a + a = 0 a y = cos(( + y) π) e) a + a + a = 0 0 (Unirio) Sea a matriz mostrada na figura adiante c 0 A = a b Sabendo-se que A t = A calcule o determinante da matriz A A + I Calcule os seguintes determinantes aplicando o Teorema de Laplace: Calcular com o auílio do Teorema de Laplace os seguintes determinantes: D = = D Calcular o valor dos seguintes determinantes: D = D = Calcular na igualdade = 0 5 Determine o conunto verdade das equações: = = 0 6 Calcular na igualdade = 0 7 Sendo A= calcular det A (UFC CE) Uma matriz é dita singular quando seu determinante é nulo Então os valores de c que tornam singular a matriz são: e 0 e 9 9 c c e e 5 e) 9 e 9 (UFSCar SP) A condição para que o determinante da matriz A mostrada na figura a seguir sea diferente de zero é: a = e a = a e a a > 0 a A = a a a e a e) a e a 7

16 0 (Uflavras) Os valores de "a" na matriz adiante a 0 M = 0 a 0 a 0 a que satisfazem a f(det M) = 0 para f(x) = X + a são: e) (UFC-CE) Considere a matriz mostrada na figura adiante M = α α α 0 α onde α representa qualquer uma das raízes (compleas) da equação + + = 0 Se detm simboliza o determinante da matriz M assinale a opção na qual consta o valor de (detm) + (detm) + i 0 e) i (UFC-CE) Considere a matriz A mostrada na figura adiante 0 A = a a 0 O valor de a para o qual a equação deta= possui eatamente uma raiz real é: 5 e) (PUC-PR) O valor de no determinante a seguir é: log 9 log = 5 9 e) 5 (UFC-CE) O determinante da matriz mostrada na figura adiante é igual a: π π cos sen 5π π cos sen 5π π cos sen 5 e) 5 (UEL-PR) O determinante mostrado na figura a seguir é positivo sempre que: > 0 < > < e) > 6 (Unifesp) Considere a matriz mostrada na figura adiante onde varia no conunto dos números reais 0 A= sen 0 0 cos Calcule: o determinante da matriz A; o valor máimo e o valor mínimo deste determinante 7 (UFSM RS) A equação m = 0 0 na variável tem duas soluções reais: somente para m Z para todo m R somente para m = 0 somente para m = / e) para m = + i onde i é a unidade imaginária 8 (FGV SP) A matriz mostrada na figura a seguir A= 5 5 admite inversa se e somente se: 5 e 5 e 5 e) 9 (Ufscar) Sea A = (a i ) uma matriz quadrada de ordem tal que p se i = ai = p se i com p inteiro positivo Em tais condições é correto afirmar que necessariamente det A é múltiplo de: 5 7 e) 8

17 0 (PUC PR) Sendo 0 π/ o valor de para que o determinante da matriz sea nulo é: π π cos tan sen π 6 π cos sen cos e) π (CFTMG) O número de soluções inteiras que verificam a inequação < 0 9 é (são): um dois três quatro (ITA SP) Seam a b c e d números reais não nulos Eprima o valor do determinante da matriz bcd a a acd b b abd c c abc d d na forma de um produto de números reais (PUC RS) Sendo: abc mtk A = B e deta= mtk abc o determinante de B é igual a: e) (Acafe SC) Analise as afirmações abaio sabendo que: a b c d e f = g h i I II III IV d e f a b c = g h i a b c d e f = 6 g h i a b c = 0 g h i a b c d+ a e+ b f+ c = g h i Assinale a alternativa correta Apenas I III e IV são verdadeiras Apenas a afirmação III é verdadeira Apenas I e II são verdadeiras Todas as afirmações são verdadeiras 5 (UEL - PR) Sea o determinante (D) na figura adiante: a c = D b a = D d c D = a b Éverdade que c d : c d a b = D d c b a = D e) a b c d = D 6 (PUC MG) M é uma matriz quadrada de ordem e seu determinante é det(m) = O valor da epressão det(m) + det(m) + det(m) é: e) 7 7 (UFSC) Seam A B e C matrizes Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s) 0 Se A é uma matriz de ordem n então det(ka)=k n deta k R 0 (A t ) t A - = I 0 det(a + B) = deta + detb 9

18 08 Se A é uma matriz de ordem n m e B é de ordem m k então A + B é uma matriz de ordem n k 0 /7 9/8 e) /6 8 (UFSM RS) Seam A e B matrizes reais quadradas de ordem n e 0 a matriz nula de ordem n Então a afirmativa correta é a seguinte: Se A t é a matriz transposta de A então deta t det A Se det A 0 eiste a matriz inversa A - e A - = /(deta) (cofa) t onde cof A é a matriz dos cofatores de A Se A B = 0 então A = 0 ou B = 0 (A B) = A AB + B e) Se k R então det (k A) = k det A para todo k 9 (Mackenzie SP) Considere a matriz A representada na figura adiante sen cos A = R sen cos então det 5 A vale: det A det A det A det A 8 e) det A 50 (ESPM SP) Se a matriz + for multiplicada pelo valor do seu determinante este ficará multiplicado por 9 Um dos possíveis valores de é: 5 e) 5 (UFES) Se A é uma matriz quadrada de ordem com det(a) = e se k é um número real tal que det(ka) = 9 então o valor de k é: 8 6 e) 96 5 (PUC MG) A matriz A é de quarta ordem e seu determinante é 8 Na equação det(a) = 50 o valor de é: (UEG-GO) Sendo e y respectivamente os determinantes das matrizes a b c d e a c b d 5 5 y é verdade que é igual a: e) 0 5 (FGV SP) As matrizes A = (a i ) e B = (b i ) são tais que a i = b i Se o determinante da matriz A é igual a / então o determinante da matriz B é igual a: 55 (Mackenzie SP) Sea A uma matriz quadrada de ordem com determinante maior que zero e A a sua inversa Se 6 det A - = det (A) então o determinante de A vale: 6 8 e) 6 56 (UFSM) Seam A e B matrizes reais quadradas de ordem n Se det A = det B 0 então det [(/) A t B - ] é igual a: /( n ) / (/) det A t [/( n )] det A e) n 57 (UFPE) Sea M uma matriz inversível tal que DetM = /96 onde M é a matriz inversa de M Determine o valor de DetM 58 (PUCCamp-SP) Se A e B são matrizes quadradas de ordem tais que det A 0 e det B 0 então é correto afirmar que: det (A+B) = det A + det B det (A) = det A 59 (Udes Dada a matriz A (figura ) Sea a matriz B tal que A BA = D onde a matriz D (figura ) então o determinante de B é igual a: Figura Figura A = 5 5 D = e) 60 (EEWB) O determinante da matriz A onde os elementos da primeira linha são 5 e ; os elementos da segunda linha são 0 0 e ; os da terceira linha são 7 0 e 0 e os da quarta linha e é (IFAL) Se A = e B = 0 0 o determinante da matriz (AB) é: e) nda 6 (UEPB) Se a matriz com det(a)= e A o valor de m é: 0 e) = m 0 0

19 6 (PUCCamp-SP) São dadas as matrizes A e B na figura adiante 0 A= e B = Se A B - = C o determinante de A B + C é igual a: e) cosθ senθ 6 (IFCE) Considere a matriz A = senθ 0 cosθ Sabendo-se que senθ= cos θ em que 0 θ π o determinante da matriz inversa de A indicado por Det A - vale: 0 e) 5 65 (Udes Considerando que A é uma matriz quadrada de ordem e inversível se det(a) = det(a ) então det(a) é igual a: e) (Udes Considere as matrizes A = e B = Se I representa a matriz identidade de ordem dois então o produto entre todos os valores de Rque satisfazem à equação det( AB )+ det( B+ I)= det( B T ) é igual a: 5 e) 67 (IBMEC RJ) Seam M e N matrizes quadradas de ordem cuos determinantes são denotados respectivamente por det (M) e det (N) Sea O é a matriz nula de ordem Assinale a afirmativa correta Se det (M) = 0 então M = O det (M + N) = det (M) + det (N) det (M) = det (M) det ( M) = det (M) e) Se det (MN) = 0 então det (M) = 0 ou det (N) = 0 68 (Unesp) Sea A uma matriz Se o determinante A é: A = e) Gabarito C D 5 D D E 6 C 7 Cláudio chopes 8 A 9 V V F V F 0 Na segunda medição do 0 dia 7 C C 00 reais 00 reais B C 5 B = y = 9 e z = X= 0 0 e Y= X= X= 5 5 e Y= X = 0 0 D 5 B 6 c c C = c c + + [( ) ] [( ) ] = [( + ) ] [( + ) ] = 6 7 C 8 D 9 C 0 C C B B A 5 C 6 E 0 Estados Unidos: 59 Cuba: 88 Brasil: 09 A M= C D 5 C B 8 E 9 C

20 6 Figura Figura B = milho soa feião A = X Y Z P Q milho soa eião c = 700 significa que serão necessários 700 kg do fertilizante Z para as culturas de milho soa e feião na região Q 7 B 8 D 9 A 50 D 5 B 5 Para que o produto sea comutativo deve-se ter c i = d i para todo e todo (c i ) = C = A B e (d i ) = D = B A Assim como c = e d = 0 segue-se que o produto de A e B não é comutativo Em particular temos 0 A B= = e B A= = E 57 A 5 C 55 C 58 A 59 B 56 B X= 6 C 6 n= 7 + = 75 e i= e = 65 A 66 E 69 D 70 E 67 D 7 E 68 C 7 D 7 det = det = 6 det = 7 8 é divisível por 7 7 C 75 E 76 A 77 A 78 B 79 C 80 E 8 A 8 B 8 E 8 E 85 A 86 B 87 E 88 D 89 E 90 E 9 B 9 B 9 A A = 97 D 98 D 99 C 00 E 0 VVVVV 0 D 0 A = 0 a + b + c + d = = 9 05 A 06 D 07 A 08 A 0 0 I= 0 0 = 0 0 A = 09 α = e β = A = 0 0 A = a a a a A = + A a a = + a a B B = 0 D 6 C 5 A = 7 8 B 9 D = ou = 5 /6 9/ 6 = ou = D 9 B 0 C D E B B 5 B 6 det A = sen cos + 8 máimo = 85 mínimo = 75 7 B 9 C 8 C 0 D A (b - (c - (d - (c - (d - (d - E A 5 D 6 E = 0 8 B 9 C 50 D 5 A 5 A 5 D 5 B 55 D 56 A B 59 D 60 B 6 E 6 B 6 B 6 C 65 E 66 B 67 E 68 C