tal que = +3 tal que 2+, > em que / 01 =2 3) ( > seja igual à matriz identidade. 3(+4 1

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1 " COLÉGIO ODELO LUIZ EDUARDO AGALHÃES ATEÁTICA LISTA : ATRIZES E DETERINANTES 2ª SÉRIE TURA: II UNIDADE PROFESSOR: HENRIQUE PLÍNIO DATA: / /206 CAAÇARI - BA ALUNO(A): Nenhum obstáculo é tão grande se a sua vontade de vencer for maior. ) Represente explicitamente as matrizes: ) = tal que = 2 ) = tal que = + 0, = ) = tal que = ) = tal que 2+, >, < 2) Seja #= h, tal que h =4 2. Determine: ) # ) # & c) a soma dos elementos da diagonal principal de H d) a soma dos elementos da diagonal secundária de H 2 ( ) Seja a matriz ' 7 ( 9,. Para que valor de x a soma dos elementos da diagonal principal é igual 0 ( à soma dos elementos da diagonal secundária? 4) Qual é o elemento - da matriz =.. em que / 0 =2 ) ? 5) Sendo 9 a matriz identidade de ordem 2, determine o número real x tal que :: ( ( <=9 6) Obtenha o número x, de modo que a matriz = = ( 7(+ 0 ( > seja igual à matriz identidade. (+4 7) Uma matriz quadrada é dita simétrica quando = &. a) Sabendo-se que a matriz?( 2 5B é simétrica, qual é o valor de (+2@ A? A b) Uma matriz quadrada é dita antissimétrica quando = &. Determine os valores de ( a fim de que a matriz C ( 2 D seja antissimétrica 8) Obtenha os valores reais de ( de modo que a matriz = (+@ > seja nula 0 0 9) (UFG-GO) Seja =E F G G uma matriz quadrada de ordem H, em que =+. Nessas condições, a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz é: ) H ) 2H+ 2H )2H + H ) H + H ) H+2H

2 0) (Faap SP) Sabendo que as matrizes =: 2 4 ( < e =? (+6 2B obedecem à condição & =, conclui-se que o número ( é um número : a) Ímpar positivo b) ímpar negativo c) par positivo d) par negativo e) racional não inteiro 2 ) (FCSC SP) Se a matriz '( então o valor de (+@ é: ) ) )0 ) 2 ) 2) Assinale a alternativa falsa: a) 2 & ) J = b) 29) & 9, em que 9 é uma matriz identidade. c) Se é uma matriz linha, então & é uma matriz coluna d) Para toda matriz diagonal, temos que & = e) Toda matriz diagonal é uma matriz identidade ) Coloque 2K) se a alternativa for verdadeira ou 2L) se for falsa. ( ) A matriz = é uma matriz linha ( ) A matriz = N é uma matriz coluna, = ( ) A matriz =, com =O 0, " é uma matriz identidade. ( ) As matrizes Q= e R=, com = para 0<< 0<<, são opostas. ( ) A matriz S= ( é a transposta da matriz se ( =@, para 0<<4 0<< ) Determine,, e para que as matrizes : + 2+ < e :7 < sejam iguais. 8 +H 2V 5) Seja =, em que =+. Determine, H e V em =C D, a fim de que H+ H V 5 tenhamos =. 6) Em um final de semana, registrou-se o número de fregueses que fizeram compras em uma padaria, bem como o período (manhã, tarde ou noite) da visita.

3 Na matriz a seguir, o elemento indica o número de fregueses que foram à padaria no dia e no período : W X. Sabendo que sábado e domingo correspondem, respectivamente, aos índices e 2 e que manhã, tarde e noite são representados pelos índices,2 e, respectivamente, determine: a) O número de clientes que a padaria recebeu sábado à tarde: b) O número total de clientes no domingo. 7) Quatro seleções (Rússia, Itália, Brasil e EUA) disputaram a etapa final de um torneio internacional de vôlei no sistema todos jogam contra todos uma única vez. O campeão do torneio será a equipe que obtiver mais vitórias; em caso de empate no número de vitórias, o campão é decidido pelo resultado obtido no confronto direto entre as equipes empatadas. Na matriz seguinte, o elemento indica o número de sets que a seleção venceu no jogo contra a seleção. Lembre que o jogo de vôlei termina quando uma equipe completa sets Y Z Representando Rússia por, Itália por 2, Brasil por e EUA por 4, determine: a) O número de vitórias da equipe norte-americana; b) O placar do jogo Brasil X Itália; c) O número de sets marcados contra a Rússia; d) O campeão do torneio 8) (Unipar PR) Sabendo que é uma matriz quadrada de ordem 2 e está definida pela lei de formação = O log 2+), = ", 2 4 podemos afirmar que a sua transposta é a matriz, ) : < ) : < ) :2 < ) : < ):4 2 2 < 9) Se uma matriz quadrada é tal que & =, ela é chamada de matriz antissimétrica. Sabendo que é 4+ antissimétrica e = ' +2,.Os elementos, da matriz valem: 2 8 ) 4, 2,4 ) 4,2 4 ) 4, 2 4 ) 2, ) Dadas as matrizes =: <, =? 2 2B, calcule, se existir: ) + ) & + ) + & ) & + & 2) Dadas as matrizes = : < = :4 <. Calcule:

4 ) +, 2+) & & + &. O que você verificou? ), 2 ) & & &. O que você verificou? 22) Sejam as matrizes = _, em que =2, e = _, em que =+. Seja =+, em que = +. Determine os elementos: ) `. ) _ 2) Resolva as seguintes equações matriciais: ) S+? B=? 2 B ) S : <=: < )? 2 B+? 2 4 B=S+: 2 4 < ) Determine a matriz S, tal que 2S+) & =, sendo = ' 0, =W X 5 25) Dadas = : 2 < = :2 <, calcule as matrizes: ) 2 + ) & 2 ) 4 2 ) 2 & 2 26) Dada =? B, calcule a matriz 522) & 2 ) 4 27) Calcule os que tornam verdadeira a igualdade C D+ 0 ( <=: 0 2 < 28) Dadas as matrizes = a 2+=S+2 b, =:4 0 2 < =a 0 b, determine a matriz S que verifica a equação 0 29) Determine a matriz S que na a equação 2.S & + =, sendo = W X =W X. 0) Dadas as matrizes = : 0 < =: 2 <, calcule as matrizes S T em cada sistema: 2 2 ) c S+T= S T= " ) Determine, se existirem, os produtos: ) W 2 4 XW 2 2 X ) c S+2T=7 2 2S T=4+ " ) W XW 2 X ) W X' 4, ) ' 5 6,', ) Y ZW X d) ',e6 2 8f ) Calcule o valor de ( de modo que ( 2 <.: 2 <=: 5 <. ) Sejam =: 2 2 < e <. Determine ( para que.= ) Sejam as matrizes = g h = g h. Se =, determine, se existirem, os elementos: ) ) )

5 5) Sejam as matrizes = -, em que =+, e =, em que = 2i. Sendo = - a matriz produto., determine o elemento N. 6) (UF-SC) Sejam = e = duas matrizes definidas por =+ e =2+, respectivamente. Se.=, qual é o elemento da matriz? 7) Calcule o valor dos determinantes> ) ) k 5 k ) k2 N 8 2 k ) k4 k ) k 2 5 k d)k k l) k 5 k h) k6 k ) m m 8) Calcule o valor 7 5 k+k4 2 2 k 9) Verifique se a N N N N b é a inversa de : 2 <. 40) Sabendo que a inversa da matriz =o 2 p é a matriz = a ) k2 5 k b, determine o valor de (+@. Uma outra forma para encontrar a matriz inversa de uma matriz quadrada de ordem 2, = : <, caso ela seja invertível, é: q = rs&.t.: < 4) Determinar, existir, a inversa das matrizes: OBS.: Uma matriz é invertível se uvwx y ) = : < ) = : < ) = : < ) =: < 42) Considere as matrizes: = `, definida por = = ` z, definida por = = O elemento - : ) é 2 ) é 2 ) é 8 ) é 9 d) Hã} (~ 4) (Fatec- SP) Seja a matriz = : < tal que 9 8 =: <. É verdade que + é igual a: 0 9 ) 0 ) ) 9 ) ) 9 44) Considere as matrizes = C A D,=: 2 < = :4 5 <, com (,@,A números reais. 6 5 Se.=, a soma dos elementos da matriz é: ) 9 ) 40 ) 4 ) 50 ) 8 45) (FGV SP A matriz =W ( X é inversa da matriz == >. Nessas condições, podemos afirmar que a 2 soma (+@ vale: ) ) 2 ) ) 4 ) 5 46) (Fatec SP) Sabe-se que as ordens das matrizes, são respectivamente, (, ( 2 ( ~. S e a matriz 2 ). é de ordem ( 4, então ++~ é igual a: ) 6 ) 8 ) 0 ) 2 ) 4 47) (UE-PI) Se a V 0 b é a matriz inversa da matriz C 0 D, então V+ é igual a:

6 ) 4 2 ) 48) (Unirio RJ) O valor de tal que N ` ) 5 4 ) 2 6 seja a matriz inversa de W 7 X é ) 47 2 ) ) ) 5 ) 2 ) 5 49) (U.F. Pelotas RS) Podem-se utilizar matrizes e usas inversas para codificar uma mensagem. Uma proposta para a aquisição de um determinado equipamento será enviada pela Internet. Por segurança, esse valor será 2 05 transmitido pela matriz.=: 4 4 <. A mensagem recebida deverá ser decodificada através da relação q.2.)=, em que é a matriz original da mensagem. Com base no texto e em seus conhecimentos, considerando que a ariz codificadora da mensagem é =: 5 < e que o valor da proposta é dado pela soma dos elementos da matriz original, é correto afirmar que 2 essa quantia, em mil reais, é igual a: ) ) 49 ) 47 ) ) 5 50) (UF-PE) Um grupo de alunos dos cursos, 2 e solicitaram transferência para outro curso, escolhidos entre os mesmos, 2 e. A matriz abaixo representa o resultado obtido após as transferências: Para, na interseção da linha com a coluna, encontra-se o número de estudantes do curso que se transferiram para o curso. Para =, na interseção da linha com a coluna, encontra-se o número de estudantes do curso que permaneceram no curso ? 2 5 B Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um curso, analise as afirmações seguintes, de acordo com as informações acima. 2 ) Antes das transferências, existiam 47 alunos no curso 2 ) Após as transferências, existem 7 alunos no curso 2. 2 ) Foram transferidos 26 alunos para o curso. 2 ) O total de alunos transferidos é ) O total de alunos nos cursos,2 e é de 6 alunos. 5) (ENE -202) U aluno registrou as suas notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4 x 4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que conseguiu é mostrada a seguir. º bimestre 2º bimestre º bimestre 4 º bimestre atemática 5,9 6,2 4,5 5,5 Português 6,6 7, 6,5 8,4 Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0 História 6,2 5,6 5,9 7,7 Para obter essas médias ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por

7 ) = > ) = > ) Y Z ˆ 2 ) 2 2 ƒ2 ˆ 4 ) 4 4 ƒ4 52) (FGV-RJ) AS meninas = Adriana, 2 = Bruna e = Carla falam muito ao telefone entre si. Na matriz, abaixo, cada elemento é igual ao número de telefonemas que deu para no mês de setembro. 0 0 = ' 8 0 6, No mês de setembro, quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações são, respectivamente: a) Bruna e Carla b) Adriana e Carla c) Carla e Bruna d) Adriana e Bruna e) Bruna e Adriana 5) (FGV RJ) Três ônibus levaram alunos de uma escola para uma excursão. Em uma parada, todos os alunos saíram dos ônibus. Todos prosseguiram a viagem, mas não necessariamente no ônibus de onde tinham saído. Na matriz abaixo, representa o número de pessoas que saíram do ônibus e subiram no ônibus após a parada. a) participaram da excursão 75 alunos ' ,. Então: 6 20 b) um dos ônibus permaneceu com o mesmo número de passageiros. c) o ônibus perdeu 6 passageiros d) o ônibus 2 ganhou 4 passageiros e) o ônibus ganhou passageiros 54) (Univali- SC) No sistema matricial dado por c S+T= S T=2 " onde = W X =W 5 X, os determinantes das matrizes S T, serão, 0 respectivamente: a) 9, - 4 b) - 4, 9 c) -, - 9 d) 9, - e) - 9, - 55) Resolva cada equação ) k ( (+2 4 k=( ) k ( ( k=2 ) k( k=0 ) k( (+ ( 5 ( 2 ( 2 k=0 56) Calcule o valor de cada determinante 2 5 ) ) ) ) Dadas as matrizes abaixo, calcule o valor de ( de modo que. = : 5 2 ( ( < =? ( 2B 2

8 ( 0 58) Para quais valores reais de ( o determinante 0 ( 0 é positivo? 0 59) (UFRN) Na equação a seguir, envolvendo determinantes, encontre os valores reais de (. 60) Resolva as equações: ( 0 + ( 0 = 0 0 ( 2 ( 2 ( ( (+ ( ) ( 0 =0 ) 2 4 ( =0 ) 2 ( 4 =75 ) ( =0 0 ( 2 ( ( 2 ( i 6) (UFCE) Se o determinante i é igual a 280, determine o valor de i 2i. 9i i 62) (UFCE) Calcule o determinante da matriz Š, em que Š é a matriz. 6) Para a construção de casas populares, um prefeito sugeriu dois tipos de casa: e G. As casas do tipo têm 5 portas, 6 janelas e 6 caixas de luz. As casas do tipo G têm 8 portas, 9 janelas e 0 caixas de luz. Numa primeira etapa, deverão ser construídas 500 casas do tipo e 200 do tipo G; numa segunda etapa, 600 do tipo e 400 do tipo G. Chame de A a matriz material X tipo de casa e de B a matriz número de casas X etapas. Calcule A x B e responda: a) Quantas portas serão necessárias na construção de todas as casas na primeira etapa? b) Quantas janelas serão necessárias na construção de todas as casas? 64) (UFSC) Determine o valor de ( para que para que o determinante da matriz =. & seja igual a 602, onde 65) (UFOP-G) a) Dadas as matrizes : = W X = W( X, = =, com = O, ", = e =, com =O, ", calcule o determinante de. 2 2 b) Observe a matriz ' 0 ( 4,. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua 0 diagonal principal. Determine ( na matriz dada, de modo que seu traço valha 9 e o seu determinante ) (UNESP) Os valores de i para que a matriz? i B não admita inversa são: i ) 0 ) ) 2 ) ) GABARITO

9 ) ) =? 4 2B ) = : < ) = : < ) =? 5 0 B ) ) #= Y Z ) # & =Y Z ) 20 ) ) (= 4) 5) (=4 6) (=4 7) ) ) 8) 9) Q 0) Q ) 2) R ) L,L,K,K,K 4) =,=,=,= 5) =0,H=2 V= 2 6) ) 90 ) 75 7) ) ) S 9~á ) 8 ) 8) 9) ) ) )? 4B ) : ) < ) 2) )? 0 B Ž : 2+) & = & + & ) b)? 4 B Ž : 2 ) & = & & 2) ) S=? 2B 22) ) 2 ) ) ) S= : < ) S= : < 24) S= ' 6, 25) ) : < ) : < ) ) : < ):8 5 0 < 26)? 7 9 7B 27) ==2,(= ) : < 29) ' 2, 0) ) S=? B T=? B ) S= : 0 < ) ) T= : 2 ) ) W 0 0 < 2 X ) W X ) ã} (~ ) ' 0 7 4, ) Y Z )d)? B 2) (= ) ) 2 ) ) Hã} (~ 7) ) 5 ) 5 9) 40) 5 ) ) 0 ) 7 d) 4 l) h) 26 )0 5 4) ) q = g 6 6 ) 5) 48 6) 94 8) 2 h ) Hã} H ~í ) q =: 2 < ) q =g h ) R 4) 44) 45) 46) 47) R 48) R 49) 50) K,L,L,K,L 5) R 52) R 5) R 54) Q 55) ) 4 ) 5 ) 0 5 ) 4 ) ) ) 5 ) 42 56) ) 2 )0 57) 58) (<0 } (> 59) 4 60) ) ) ) 9 ) 7 6) 9 62) 64 6) ) 400 ) ) 56 65) ) 64 } 66)