COMPARAÇÃO DE MODELOS EXATOS PARA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE ROTEIRIZAÇÃO DE VEÍCULOS COM JANELAS DE TEMPO

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1 COMPARAÇÃO DE MODELOS EXATOS PARA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE ROTEIRIZAÇÃO DE VEÍCULOS COM JAELAS DE TEMPO Oralde Soares da Sla Júnor Departamento de Engenhara de Produção Pontfíca Unersdade Católca do Ro de Janero Rua Marquês de São Vcente, 225, Gáea - Ro de Janero, RJ - Brasl oralde@yahoo.com.br Sílo Hamacher Departamento de Engenhara de Produção Pontfíca Unersdade Católca do Ro de Janero Rua Marquês de São Vcente, 225, Gáea - Ro de Janero, RJ - Brasl hamacher@puc-ro.br RESUMO O problema de roterzação de eículos com janelas de tempo (Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows - VRPTW) tem sdo amplamente estudado nas últmas décadas dedo à sua aplcação prátca como ferramenta de apoo à logístca e transportes. este problema, os clentes são atenddos pelos eículos dentro dos nteralos de tempo permtdos, denomnados janelas de tempo, e respetando as restrções de capacdade dos eículos. Para soluconar este problema, fo proposto um modelo de programação lnear ntera msta, o qual fo modelado e resoldo atraés dos softwares AIMMS e CPLEX e testado com problemas benchmark da lteratura. Uma segunda abordagem para elmnação de sub-rotas fo analsada. Ela permtu uma conergênca para a solução ótma com um número menor de terações. Porém, não apresentou efcênca quanto ao tempo computaconal ao resoler problemas com janelas de tempo mas largas. Palaras-chae: Roterzação de Veículos com Janelas de Tempo; Programação Matemátca; VRPTW. ABSTRACT The ehcle routng problem wth tme wndows (VRPTW) has been wdely studed n recent decades due to ts practcal applcaton as a tool to support the transport and logstcs. In ths problem, customers are sered by ehcles wthn the range of tme allowed, called tme wndows, and respectng the constrant of ehcle capacty. To sole ths problem, we propose a med nteger lnear programmng model, whch was modeled and soled through AIMMS and CPLEX software, usng benchmark problems from lterature. A new approach to elmnatng subroutes was analyzed. Ths approach allowed a conergence to the optmal soluton wth less teraton. Howeer, t was not effcent regardng computatonal tme to sole problems wth wder tme wndows. Keywords: Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows; Mathematcal Programng; VRPTW. 2354

2 . Introdução O problema de roterzação de eículos com janelas de tempo (Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows - VRPTW) tem sdo amplamente estudado nas últmas décadas. este problema, cada clente possu um nteralo de tempo durante o qual dee ser serdo pelas rotas. Cada nteralo de tempo consste em uma hora de níco de atendmento e uma hora de fm, Outra restrção deste problema é a capacdade dos eículos, que não dee ser ecedda. Dersos modelos para a representação do VRPTW, englobando formulações eatas, por meta-heurístcas e por heurístcas, podem ser encontradas na lteratura. Desaulners et al. (22), Bräysy e Gendreau (25a) e (25b) propõem uma etensa resão destes modelos. o conteto das formulações eatas do VRPTW, dersas formulações para as restrções de elmnação de sub-rotas têm sdo propostas. Duas destas formulações são analsadas neste trabalho. A prmera, proposta por Kohl et al. (999) fo nsprada nas restrções propostas por Dantzg et al. (954) para o Problema do Caero Vajante (Traellng Salesman Problem TSP). A segunda, proposta por Desrochers e Laporte (99), fo baseada nas restrções propostas por Tucker em 96 (Mller, et al., 96) para o TSP. O objeto deste artgo é modelar o problema de roterzação de eículos com janelas de tempo (Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows - VRPTW) como um problema de programação lnear ntera msta com uso do software de modelagem matemátca AIMMS e analsar o desempenho da formulação das restrções de elmnação de sub-rotas de Kohl et al. (999), comparando-o posterormente com a formulação de Desrochers e Laporte (99). O trabalho está organzado como se segue. a seção 2, apresenta-se a defnção do problema. a seção 3, propõe-se um modelo matemátco proposto para o VRPTW, que é aldado atraés da resolução de problemas conhecdos da lteratura nternaconal, usados como benchmarkng. a seção 4, apresenta-se uma comparação de modelos eatos para solução do VRPTW, na qual são aaladas as abordagens de elmnação de sub-rotas. Fnalmente, na seção 5 são tecdas as prncpas conclusões do trabalho. 2. Defnção do Problema O VRPTW pode ser descrto por um grafo G(,A), onde é um conjunto contendo todos os nós, e A é um conjunto contendo todas as arestas. Os nós representam os clentes e o depósto, os quas são acessados atraés dos índces ou j. O depósto de onde partrão as rotas usualmente é representado pelo nó com índce. As arestas representam os camnhos que lgam estes nós e são acessadas atraés do par ordenado j. Consdera-se o grafo como sendo completo, o que não representa de forma alguma uma redução da dfculdade do problema. Cada aresta j possu um custo c j assocado. Este custo é, usualmente, o comprmento de cada arco. o caso do VRPTW, este custo será o tempo necessáro para se percorrer cada aresta. o depósto, estem M eículos à dsposção, cada um com uma capacdade cap. Cada clente possu uma demanda d assocada, bem como um tempo de serço s. Além dsso, cada clente possu também sua janela de tempo, durante a qual deerá ser serdo. Esta janela é dada por [b, e ], sendo que b representa o horáro de níco do atendmento e e a hora lmte para que um carro chegue ao clente para ser atenddo. O depósto possu demanda zero e tempo de serço zero, e sua janela de tempo se estende desde a hora zero até uma hora grande o sufcente para que um eículo retorne de qualquer clente que esteja atendendo. O objeto do problema é encontrar rotas de tempo total mínmo que atendam todos os clentes, respetando as restrções de capacdade dos eículos e das janelas de tempo. Além dsso, deseja-se encontrar o número mínmo V de eículos necessáros para a realzação da tarefa. a lteratura, é comum defnr uma herarquzação de objetos para este problema, na qual a mnmzação do número de eículos é mas mportante que o custo aráel das rotas. Para sto, deem ser assocados custos aos eículos utlzados, assm como no trabalho de Cunha e Gualda (999), que atrbu para cada eículo, um custo untáro aráel com a dstânca, um custo fo dáro total e um custo horáro. o entanto, o modelo matemátco a deste trabalho sa apenas a mnmzação do tempo total percorrdo pelos eículos. 2355

3 3. Modelo Matemátco Proposto O modelo matemátco do VRPTW desenoldo neste trabalho fo baseado nas restrções de elmnação de sub-rotas propostas por Kohl et al. (999). Este modelo sa a mnmzação do tempo total de entrega de cargas, consderando as restrções de janelas de tempo e de capacdade dos eículos. As quantdades a serem transportadas são determnístcas e conhecdas a pror e todos os eículos possuem a mesma capacdade (frota homogênea). Seja o número de clentes a serem atenddos. Em cada clente {, 2,..., } dee ser realzada a entrega de produtos. A cada clente {, 2,..., } estão assocados: um tempo de atendmento s uma janela de tempo [a, b ], a b, que defne, respectamente, o horáro mas cedo e o horáro mas tarde em que pode ser ncado o atendmento; uma quantdade q de carga (ou de passageros) a ser coletada ou entregue. Os nós e + representam, respectamente, a base de saída e de chegada dos eículos (depósto). A cada um destes dos nós estão assocados tempos de atendmento e demanda nulos e janelas de tempo que ndcam os horáros permtdos de saída e de chegada dos eículos às bases. Para o atendmento dos clentes dspõe-se de uma frota composta de V eículos. Para cada eículo da frota dsponíel, =, 2,..., V é defnda uma capacdade máma K. A formulação matemátca do VRPTW compreende as seguntes aráes de decsão: j, se j é atenddo =, caso contráro após pelo eículo () T = horáro de níco de atendmento em, {, 2,..., } O modelo matemátco do VRPTW é apresentado a segur: V + ( VRPTW ) mn c j j (2) = = j= V + = j= j = =,, 2,..., ; j (3) + j= j = =, 2,..., V (4) = j + = j = j =, ; =, 2,..., V (5) + = V (6), + = =,2,..., a T b =,2,..., (7) T + s + c j T j ( ) M j j =, 2,..., ; j =, 2,..., ; j ; =, 2,..., V (8) 2356

4 = j= q j j K =, 2,..., V (9) j {, } =,, 2,..., ; =, 2,..., V j =,, 2,..., + ; () A função objeto (2) representa o tempo total a ser mnmzado. As restrções (3) asseguram que cada clente seja stado uma únca ez e por um únco eículo; as restrções (4) asseguram que todo eículo nce uma rota a partr do depósto; as restrções (5) mpõem que todo eículo dee entrar e sar de um clente; as restrções (6) mpõem que todo eículo termne uma rota no depósto. Caso o eículo não seja utlzado, ele segue o camnho do arco dreto lgando a base de partda (nó ) à base de chegada (nó +). As restrções (7) mpõem que o horáro de níco de atendmento de cada nó ocorra dentro da sua respecta janela de tempo. As restrções (8) estabelecem a relação entre o horáro de partda do eículo a partr de um clente e seu sucessor medato, garantndo também a elmnação de sub-rotas. As restrções de capacdade de carga são dadas pela epressão (9). Por fm, as restrções () asseguram a ntegraldade da solução. As restrções (8) foram obtdas a partr da lnearzação das restrções orgnas nãolneares (), a qual fo possíel atraés da condção de ntegraldade pelas restrções (). O alor da constante M j nas restrções pode ser substtuído por ma(b +s +c j -a,),,j {,2,...,}. ( T j + s + c j T j ) =, 2,..., ; j =, 2,..., ; j ; =, 2,..., V () 3.2. Valdação do Modelo A aldação do modelo proposto fo realzada a partr da eecução do modelo no AIMMS com os dados do problema eemplo chamado C, que é um dos problemas propostos por Solomon (987) para o VRPTW. Este problema possu clentes e 2 eículos dsponíes, cada um com capacdade de carga de 2 undades. Para este problema o AIMMS gerou um modelo de programação lnear e ntera msta (MIP) com aráes, entre as quas são nteras. O soler utlzado pelo AIMMS fo o CPLEX.2. A solução encontrada é a ótma, conforme pode ser obserado em Program Status. O alor da função objeto no ponto ótmo fo de 828,9, o qual fo confrmado também com o alor do problema obtdo na lteratura. O tempo de eecução fo de 72,4 segundos. O computador utlzado possu um processador Intel Core 2 Quad 2.33GHz e 3GB de memóra RAM, sob plataforma Wndows XP. Para aldar a solução do problema, utlzou-se a ferramenta Math Inspector do AIMMS, a qual possblta nspeconar os alores de todas as aráes utlzadas no modelo. Atraés das aráes X(,j,) com alor gual a um, ou seja, o clente j é atenddo após o clente pelo eículo, pode ser dentfcada a rota que cada eículo deerá realzar. Uma representação sual das rotas obtdas para os eículos é lustrada pela fgura. Esta representação em forma de rede também fo obtda atraés do AIMMS. Ressalta-se que, apesar da abordagem de solução utlzada neste trabalho não ser competta com o "estado-da-arte" encontrado na lteratura (Baldacc et al., 2), é releante por ser mas smples e por ser sufcente para realzar a comparação entre os modelos analsados Análse de Sensbldade Para efetos de testes, realzou-se uma análse de sensbldade com o objeto de erfcar o ganho, caso fosse alterado alguns parâmetros como a capacdade dos eículos, a janela de tempo dos clentes e o tempo de serço. Esta análse fornece apoo à alteração dos parâmetros do problema ao demonstrar até quanto é cabíel nestr na alteração desejada. 2357

5 3.3.. Aumentando a capacdade dos eículos Analsou-se o aumento da capacdade de todos os eículos do problema orgnal, em 2%, % e 2%, e mesmo assm as soluções obtdas foram guas à solução com a capacdade orgnal. Isto ocorreu, pos fo necessáro o mesmo número de eículos para não olar as restrções das janelas de tempo. Fgura : Rotas do problema eemplo C com clentes Aumentando a janela de tempo dos clentes Analsou-se o aumento do tamanho das janelas de tempo dos clentes do problema orgnal, em 2%, % e 2%. Verfcou-se que a solução contnua dêntca à solução orgnal do problema com os aumentos de 2% e %, pos as janelas contnuam estretas e leam sempre à mesma solução. Já com o aumento de 2%, as janelas fcaram largas o sufcente para ser obtda uma solução com tempo total menor em 2% da solução orgnal e utlzando o mesmo número de eículos Aumentando o tempo de serço O problema C apresentou grande sensbldade com o aumento do tempo de serço. Com um aumento a partr de 3% do tempo de serço de todos os clentes, fo obtda uma solução com tempo total maor em 2% da solução orgnal. Este comportamento mostra que no problema orgnal, as janelas de tempo estão tão estretas, que um pequeno aumento no tempo de serço nablza o atendmento pelo eículo que estaa mas prómo ao clente, conforme lustram as fguras: 2 (a) com tempos de serço orgnas e 2 (b) aumentando-os em 3%. 2358

6 Fgura 2: Rotas de 3 eículos do problema orgnal (a) e do problema modfcado (b) 4. Aalação das abordagens para elmnação de sub-rotas Dentre as duas abordagens propostas para as restrções de elmnação de sub-rotas ctadas anterormente, utlzou-se prmeramente as restrções (7), as quas foram obtdas atraés da lnearzação das restrções (). Estas foram propostas por Kohl et al. (999) e também são apresentadas nos trabalhos de Cunha e Gualda (999) e Desaulners et al. (22). A segunda abordagem, conforme a epressão (2), fo proposta por Desrochers e Laporte (99). Outros autores como Araujo e Hamacher (28) e Kallehauge (28) utlzaramse desta abordagem para solução do VRPTW. T T + ( b + t + s + a ) b a =, 2,..., ; j =, 2,..., ; j (2) j j Para efetos de comparação, foram realzados testes computaconas no AIMMS utlzando prmeramente o modelo proposto, com as restrções (7) e em seguda, utlzando as restrções (2). Para sto, foram utlzados os problemas c, c5 e c7 de Solomon com clentes. Estes problemas possuem os mesmos dados das coordenadas, demanda e tempo de serço dos clentes, arando apenas as janelas de tempo. os problemas c e c5, os tamanhos médos das janelas de tempo são, respectamente, 6,76 e 2,6. Já no problema c7, todas as janelas de tempo possuem o mesmo tamanho, Efeto sobre o número de terações Conforme lustra a fgura 3, o número de terações necessáras para obter a solução ótma dos três problemas utlzados fo relatamente maor utlzando as restrções (7) em comparação com o número de terações utlzando as restrções (2). Este comportamento ndca que as restrções (2) permtem uma conergênca mas rápda do algortmo para a solução ótma. Efeto das restrções de elmnação de sub-rotas sobre o número de terações 2 úmero de terações 5 5 c c5 c7 Restrções (7) Restrções (2) Fgura 3: Efeto das restrções de elmnação de sub-rotas sobre o número de terações 2359

7 A fgura 3 também lustra a relação entre o tamanho das janelas de tempo e o número de terações necessáras para obter a solução ótma. Para os problemas c e c5 que possuem janelas de tempo menores (mas estretas), o número de terações fo menor utlzando ambas as restrções (7) e (2). Já para o problema c7, com janelas de tempo maores (mas abertas), o número de terações fo maor Efeto sobre o tempo computaconal Apesar das restrções (2) possbltarem um número menor de terações quando comparada com as restrções (7), foram necessáros maores tempos computaconas para obter a solução ótma para os problemas c e c7. Já para o problema c5, as restrções (2) permtram uma redução tanto no número de terações quanto no tempo computaconal, conforme lustra a fgura 4. Efeto das restrções de elmnação de sub-rotas sobre o tempo computaconal Tempo computaconal (s) c c5 c7 Restrções (7) Restrções (2) Fgura 4: Efeto das restrções de elmnação de sub-rotas sobre o tempo computaconal Identfcou-se também a relação entre o tamanho das janelas e o tempo computaconal. Ao utlzar as restrções (7), o tempo computaconal cresceu lnearmente em função do tamanho das janelas de tempo. Utlzando as restrções (2), o tempo computaconal cresceu polnomalmente em função do tamanho das janelas de tempo. Sendo assm, as restrções (7) são mas ndcadas para elmnação de sub-rotas no VRPTW, por possuírem um crescmento lnear do tempo computaconal em função do tamanho das janelas de tempo. 5. Conclusões Modelou-se com sucesso o problema de roterzação de eículos com janelas de tempo (VRPTW) como um problema de programação lnear ntera msta utlzando o software de modelagem matemátca AIMMS e otmzador CPLEX. A modelagem no AIMMS mostrou-se ser bastante ntuta dedo à sua nterface amgáel. Uma das suas grandes antagens é o desenolmento da modelagem smbólca, na qual é possíel separar os dados do problema do modelo. Identfcou-se também uma grande flebldade na modelagem, a qual pode ser realzada de dersas formas para um mesmo problema. Com o modelo em mãos, fo obtda ncalmente a solução ótma de uma nstânca do problema denomnada C, a qual possu clentes. As soluções foram aldadas atraés do Math Inspector, o qual permtr erfcar que as restrções de capacdade, janelas de tempo e de fluo foram respetadas. Por fm, também fo aalada uma noa abordagem para elmnação de sub-rotas do VRPTW. Podê-se obserar que esta noa abordagem permte uma boa redução no número de terações do otmzador. o entanto, esta abordagem não se comportou bem com janelas de tempo mas largas, pos foram necessáros tempos computaconas bem maores. 236

8 6. Referêncas AIMMS. (2) Dsponíel em < Acesso em: abrl 2. Araujo, V.K.W.; Hamacher, S. (28) S. Aalação de custos para a produção de bodesel a partr de óleos resduas frtura. Ro de Janero. 97 p. Dssertação de Mestrado - Departamento de Engenhara Industral, Pontfíca Unersdade Católca do Ro de Janero. Baldacc, R., Bartoln, E.; Mngozz, A; Robert, R. (2). An eact soluton framework for a broad class of ehcle routng problems. Computatonal Management Scence, 7(3): Bräysy, O.; Gendreau, M. (25a). Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows, Part I: Route Constructon and Local Search Algorthms, Transportaton Scence 39, 4-8. Bräysy, O.; Gendreau, M. (25b). Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows, Part II: Metaheurstcs, Transportaton Scence 39, Cunha, C. B; Gualda,.D.F. (999). Heurístcas baseadas em Relaação Lagrangana para o Problema de Roterzação de Veículos com Restrções Operaconas. In: Transporte em Transformação II Trabalhos Vencedores do Prêmo CT Produção Acadêmca 997. Problemas e soluções dos transportes no Brasl. São Paulo: MAKRO Books. p Dantzg, G.; Fulkerson, R.; Johnson, S. (954). Soluton of a large-scale traelng-salesman problems. Operatons Research;2: Desaulners, G.; Desrosers, J.; Solomon, M.M.; Soums, F.; Cordeau, J.F. (22) "The VRP wth Tme Wndows", The Vehcle Routng Problem, SIAM Monographs on Dscrete Mathematcs and Applcatons, 9, P. Toth and D. Vgo (eds.), SIAM, Phladelpha, PA, Desrochers, M.; Laporte, G. (99). Improements and etensons to the Mller Tucker Zemln subtour elmnaton constrants. Operatons Research Letters;: Kallehauge, B. (28). Formulatons and eact algorthms for the ehcle routng problem wth tme wndows, Computers and Operatons Research, do:.6/j.cor Kohl,.; Desrosers. J.; Madsen, O.B.G.; Solomon, M.M.; Soums, F. (999). 2-path cuts for the ehcle routng problem wth tme wndows. Transportaton Scence; 33: 6. Mller, C.E.; Tucker, A.W.; Zemln, R.A. (96). Integer programmng formulaton of traelng salesman problems. Journal of the Assocaton for Computng Machnery;7: Solomon, M. M. (987). Algorthms for the Vehcle Routng and Schedulng Problems wth Tme Wndows Constrants. Operatons Research, 35, 2,