Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar

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1 Assistente Técnico Administrativo Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar

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3 Raciocínio Lógico Professor Bruno Villar

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5 Edital RACIOCÍNIO LÓGICO: Estruturas lógicas, Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões, Lógica sentencial (ou proposicional), Proposições simples e compostas, Tabelas-verdade, Equivalências, Diagramas lógicos, Lógica de primeira ordem. Noções de Lógica. BANCA: ESAF CARGO: Assistente Técnico Administrativo

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7 Raciocínio Lógico RACIOCÍNIO LÓGICO Tema: Proposições Noções preliminares A proposição lógica é alicerce da construção do conhecimento da lógica proposicional. Para entendermos o conceito de proposição lógica, é necessário termos uma noção básica de frases. Vamos relembrar juntos? Definição: Frase é qualquer enunciado (curto ou longo) que estabelece uma comunicação. As frases são divididas em cincos tipos, de acordo com a gramática tradicional. Declarativa: O enunciado é afirmativo ou negativo e termina em ponto (.) ou em reticências (...). Exemplos: A lua é um satélite natural. (Frase declarativa afirmativa) Jorge não é paraibano. (Frase declarativa negativa) Imperativa: O enunciado apresenta um tom de ordem, pedido, súplica, exortação, advertência, etc. Verbos no imperativo (afirmativo ou negativo) marcam tal tipo de frase, a qual termina em ponto (.), ponto de exclamação (!) ou reticências (...). Exemplos: Faça seu trabalho corretamente. Quando for à Salvador, visite o pelourinho. Interrogativa: O enunciado apresenta um questionamento direto ou indireto e termina em ponto de interrogação (?) se a indagação for direta e em ponto (.), se for indireta. Exemplos: Qual o melhor livro de Raciocínio Lógico? Não sei onde ele pode estar. Dica: O exemplo acima é uma interrogativa indireta, pois é possível realizar uma pergunta direta com a frase onde ele pode estar (?). 7

8 Exclamativa: O enunciado exprime um sentimento e uma altissonância (Produz um som alto ou intenso); termina em ponto de exclamação(!) Exemplos: Que alegria! Meus pêsames! Optativa: O enunciado exprime um desejo e termina em ponto (.) ou ponto de exclamação (!). Exemplos: Sucesso, viu! Deus te ouça, meu amor! Proposição lógica Definição: Proposição é toda sentença declarativa (com sujeito e predicado) à qual pode se atribuir, sem ambiguidade, apenas um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F). Exemplos: O sol é uma estrela. 8 é divisível por 4. João é paulista. As proposições lógicas dividem-se em: proposição fechada (proposição lógica) e proposição aberta ( sentença aberta ). A proposição lógica é chamada de proposição fechada, pois o valor do enunciado está definido. Proposição Aberta ou Sentença aberta Definição: Sentença aberta é uma sentença cujo resultado (falso ou verdadeiro) é desconhecido por conter pelo menos um elemento indefinido. Caso 1: pronome Exemplo: x + 2 = 5 Caso 2: Variável Matemática Exemplo: Ele é alto. 8

9 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Resumo: Proposição fechada = proposição lógica. Obs.: Tem valor lógico. PROPOSIÇÃO Proposição aberta = sentença aberta. Obs.: Não é uma proposição lógica, pois possui valor indefinido Treinamento 1. (FUNIVERSA SAPEJUS-GO 2015) Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença bem definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a alternativa em que a sentença apresentada corresponde a uma proposição. a) Ele foi detido sem ter cometido crime algum? b) Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes prisionais. c) Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados. d) Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio. e) Houve fuga de presidiários, que tragédia! 2. (FCC) Uma proposição de uma linguagem é uma expressão de tal linguagem que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Com base nessa definição, analise as seguintes expressões: I < 13 II. Que horas são? III. Existe um número inteiro x tal que 2x > 5. IV. Os tigres são mamíferos. V. 36 é divisível por 7. VI. x + y = 5 É correto afirmar que são proposições APENAS as expressões: a) I e IV. b) I e V. c) II, IV e VI. d) III, IV e V. e) I, III, IV e V Gabarito: 1. C 2. E 9

10 Tema: Princípios fundamentais da lógica Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo, isto é, uma proposição verdadeira é sempre verdadeira e uma proposição falsa é sempre falsa. Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição ou é só verdadeira ou é só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso. 1. (CESPE) Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico. ( ) Certo ( ) Errado 2. (CESPE) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos. ( ) Certo ( ) Errado Tema: Classificação das proposições As proposições podem ser simples ou compostas. Proposição simples ou atômica: É uma frase declarativa que expressa um pensamento completo acerca de um objeto, isto é, que possui um único objeto de estudo. Indicaremos tais proposições por letras minúsculas do nosso alfabeto. Exemplos: p: O México fica na América do Norte. Proposição composta ou molecular: É formada por duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos lógicos. Serão indicadas por letras maiúsculas do nosso alfabeto. P: João é alto e André e baixo. Gabarito: 1. Certo 2. Errado 10

11 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Tema: negação de uma proposição simples Definição: a negação de uma proposição é mudança do valor lógico, sem perder o sentido. A forma simbólica da negação é p ou p (banca Cespe). p V F p F V Caso 01: A frase não possui o advérbio não. p: Salvador tem praia. p : Salvador não tem praia. Outras formas de negar essa mesma proposição são: Não é verdade que Salvador tem praia. É falso que Salvador tem praia. Caso 02: A frase possui o advérbio não. Dica: É só retirar o advérbio não. q: O Brasil não é um país do continente americano. q : O Brasil é um país do continente americano. Caso 03: Utilização de antônimos. p : Mário é alto. p : Mário não é alto. p : Mario é baixo. Caso 04: Negação dos símbolos matemáticos. p p = < > > < 11

12 Exemplos: p : = 5 p: q: Maria tem mais de 20 anos trabalhando no INSS. q : Maria não tem mais de 20 anos trabalhando no INSS. (Forma simples, porém pouco utilizada) q : Maria tem de 20 anos ou menos trabalhando no INSS. (Forma mais cobrada em prova) Caso 5: negação de proposições contendo quantificador ou segunda lei de Morgan. 1ª situação: quantificador universal afirmativo (Todo) Dica: A regra da negação é utilizar o algum (pelo menos um ou existe) mais a negação da frase. p: Todo homem é mortal. p : Algum um homem não é mortal. Outras opções: p : Pelo menos um homem que não é mortal. p : Existe um homem que não é mortal. p : Nem todo homem é mortal 2ª situação: quantificador existencial ( algum = existe = pelo menos um ) Dica: para negar o quantificador existe ( algum ) temos duas opções: 1ª Trocar pelo quantificador todo e escrever a negação da sentença. 2ª Porém, se utilizarmos o quantificador nenhum, a sentença deverá ser mantida. p: Existem homens que são sábios. p : Todos os homens não são sábios. P : Nenhum homem é sábio. 3ª Situação: quantificador universal negativo ( nenhum ) Dica: no caso de negar o quantificador nenhum ou ninguém, o único quantificador utilizado é o existe ( algum ou alguém ). p: Nenhum A é B. p : Algum A é B. 12

13 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Treinamento 1. (CESPE 2014) Julgue o item seguinte, acerca da proposição P: Quando acreditar que estou certo, não me importarei com a opinião dos outros. Uma negação correta da proposição Acredito que estou certo seria Acredito que não estou certo. ( ) Certo ( ) Errado 2. (CESPE) Os jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. Assinale a opção correspondente à negação da frase acima. a) Nenhum jogador do Estrela Futebol Clube é craque. b) Quase todos os jogadores do Estrela Futebol Clube não são craques. c) Existe algum jogador do Estrela Futebol Clube que não é craque. d) Apenas alguns jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. 3. (CESPE PF 2014) Ao planejarem uma fiscalização, os auditores internos de determinado órgão decidiram que seria necessário testar a veracidade das seguintes afirmações: P: Os beneficiários receberam do órgão os insumos previstos no plano de trabalho. Q: Há disponibilidade, no estoque do órgão, dos insumos previstos no plano de trabalho. R: A programação de aquisição dos insumos previstos no plano de trabalho é adequada. A respeito dessas afirmações, julgue o item seguinte, à luz da lógica sentencial. A negação da afirmação Q pode ser corretamente expressa por Não há disponibilidade, no estoque do órgão, dos insumos não previstos no plano de trabalho. ( ) Certo ( ) Errado 13

14 4. (MPOG 2009) A negação de À noite, todos os gatos são pardos é: a) De dia, todos os gatos são pardos. b) De dia, nenhum gato é pardo. c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. e) À noite, nenhum gato é pardo. Tema: Operadores Lógicos Disjunção Dadas duas proposições p e q, chama-se disjunção de p e q a proposição p q (lê-se: p ou q). Exemplo: 1. p: O sol é uma estrela. q: O céu é azul. p q: O sol é uma estrela ou céu é azul. Seguem outras formas filosóficas de escrever a forma p q: p q: p ou q P ou q ou ambos P e/ou q (documentos legais) Estudo da tabela da disjunção inclusiva p q p v q V V V V F V F V V F F F Disjunção exclusiva Dadas duas proposições p e q, chama-se disjunção de p e q a proposição p v q (lê-se: ou p ou q). Transmite uma ideia de exclusão, isto é, conjuntos disjuntos (sem elementos comuns). Exemplo: Ou Bruno é baiano ou Bruno é paraibano. Gabarito: 1. Errado 2. C 3. Errado 4. D 14

15 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar p q p v q V V F V F V F V V F F F Conjunção Dadas duas proposições p e q, chama-se conjunção de p e q a proposição p q (lê-se: p e q). A conjunção p q será verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras; e será falsa nos outros casos. Exemplo: 1) p: O sol é uma estrela. q: A lua é um satélite. P q: O sol é uma estrela e a lua é um satélite. Fique esperto! A expressão p q também pode ser escrita nas seguintes formas: p e q p, mas q p, porém q Tanto p como q p, apesar de q p,q Em provas de concurso, já foram cobradas as seguintes formas: p e q p, mas q Tanto p como q Estudo da tabela da conjunção p q p q V V V V F F F V F F F F 15

16 Condicional Dadas duas proposições p e q, a proposição se p, então q, que será indicada por p q, é chamada de condicional. Exemplo: 1) p: Mário é inocente. q: Jorge é culpado. p q: Se Mário é inocente, então Jorge é culpado. Se Mário é inocente, Jorge é culpado. Fique esperto! As outras formas filosóficas de escrever a condicional são: Se p, então q p implica q p é suficiente para q q é necessário para p p consequentemente q Quando p, q No caso de p, q q, contanto p q, se p q, no caso de p Todo p é q. P, logo q Já foram cobradas as formas: p implica q; p é suficiente para q; q é necessário para p; p consequentemente q; q, se p e todo p é q. Casos especiais de escrita da condicional Caso 1: Condição suficiente Dica 01: A causa é condição suficiente para o efeito (p é suficiente para q). Por isso, podemos escrever a expressão da seguinte forma: Corro é condição suficiente para canso. Lembrem-se: quando utilizar a expressão suficiente está na ordem direta, causa efeito. Cuidado! A forma simbólica p q ( causa efeito) não muda a posição. 16

17 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Caso 2: Condição necessária Dica 02: O efeito é condição necessária para a causa. Logo podemos escrever a expressão da seguinte forma: Canso é condição necessária para corro. Estudo da tabela da condicional p q p q V V V V F F F V V F F V Bicondicional Dadas duas proposições p e q, a proposição p se, e somente se, q, que será indicada por p q, é chamada de bicondicional. p q (lê-se: p se e somente se q) Exemplo: p: Perereca se transforma em sapo. q: Sapo se transforma em perereca. p q: Perereca se transforma em sapo se e somente se o sapo se transforma em perereca. Outra opção: Perereca se transformar em sapo é condição suficiente e necessária para o sapo se transformar em perereca. Estudo da tabela da bicondicional p q p q V V V V F F F V F F F V 17

18 Resumo da linguagem Conectivo Símbolo Forma simbólica Sentido Disjunção inclusiva p q Ocorre p ou ocorre q ou ambos Disjunção exclusiva v p v q Ocorre p ou ocorre q mas não ocorre ambos Conjunção p q Ocorre p e q Condicional p q Bicondicional p q Se ocorre p então q também ocorre Ou ocorre p e q, ou não ocorre p e q Resumo da tabela Conectivo Forma simbólica Dica Disjunção inclusiva p q 1 V = V Disjunção exclusiva p v q Símbolos diferentes (VF ou FV) = V Conjunção p q 1 F = F Condicional p q VF = F Bicondicional p q Símbolos iguais (VV ou FF ) = V Treinamento final de operadores 1. (SEFAZ APOFP-SP 2009) Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 e = 9 b) Se 3 = 3, então = 9 c) Se 3 = 4, então = 9 d) 3 = 4 ou = 9 e) 3 = 3 se e somente se = 9 2. (MPOG 2009) Considere que: se o dia está bonito, então não chove. Desse modo: a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. c) chover é condição necessária para o dia estar bonito. d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. 18

19 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar 3. (AFC STN 2005 ESAF) A afirmação Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que: a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo 4. (MPOG 2009) Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. 5. (ESAF 2016) Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p e q são, respectivamente, a verdade e a falsidade, assinale o item que apresenta a proposição composta cujo valor lógico é a verdade. a) p q q b) p q q c) p q d) p q e) q (p q) 6. (ESAF 2014) Assinale a opção que apresenta valor lógico falso. a) 2 3 = 8 e = 5. b) Se, 8 = 3, então 6 2 = 3. c) Ou 3 1 = 2 ou = 8. d) Se 7 2 = 5, então = 7. e) 3 2 = 9 se, e somente se, 3 8 = 2 7. (ESAF MPOG 2009) Considere que: se o dia está bonito, então não chove. Desse modo: a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. c) chover é condição necessária para o dia estar bonito. d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. Gabarito: 1. C 2. A 3. C 4. C 5. A 6. D 7. A 19

20 Tema: Tabela Verdade É uma maneira prática de organizar os valores lógicos de uma proposição simples ou composta. Pergunta 1: Número de linhas O número de linhas de uma tabela verdade é fornecido pela expressão 2 n, onde o n é o número de proposições simples (distintas) componentes e o 2 representa o número de valores lógicos possíveis (V ou F). Dica: A fórmula 2 n será usada para descobrir o total de linhas ou saber a quantidade de valorações de uma proposição lógica. Treinamento 1. (CESPE 2014) Considerando a proposição P: Nos processos seletivos, se o candidato for pós-graduado ou souber falar inglês, mas apresentar deficiências em língua portuguesa, essas deficiências não serão toleradas, julgue os itens seguintes acerca da lógica sentencial. A tabela verdade associada à proposição P possui mais de 20 linhas. ( ) Certo ( ) Errado Pergunta 2: Construção de uma tabela verdade 2. (ATA ESAF 2012) A proposição p (p q) é logicamente equivalente à proposição: a) p q b) p c) p d) q e) p q 3. (ESAF DNIT 2013) A proposição composta p p q é equivalente à proposição: a) p q b) p q c) p d) p q e) q Gabarito: 1. Errado 2. E 3. D 20

21 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Tema: Classificação das tabelas verdades Tautologia Definição: Uma proposição composta representa uma tautologia quando o seu valor lógico é sempre verdade, independente dos valores das proposições componentes da proposição composta. Exemplo: Chove ou não chove (p p) A tabela verdade é: p p p p V F V F V V Contradição Definição: Uma proposição composta representa uma contradição quando o seu valor lógico é sempre falso, independente dos valores das proposições componentes da proposição composta. Exemplo: Chove e não chove (p p) A tabela verdade é: p p p p V F F F V F Indeterminação ou contingência Uma proposição (simples ou composta) representa uma indeterminação quando os valores da proposição apresentam dois resultados V e F. Exemplo: Fulano é culpado (V ou F) Maria é alta ou Mário é baixo. (V ou F) 21

22 Treinamento 1. (MPOG 2009) Entre as opções abaixo, qual exemplifica uma contradição formal? a) Sócrates não existiu ou Sócrates existiu. b) Sócrates era ateniense ou Sócrates era espartano. c) Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo. d) Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo. e) Todo filósofo era ateniense e algum filósofo era espartano. 2. (APO 2010 ESAF) Considere os símbolos e seus significados: negação, conjunção, disjunção, contradição e Τ tautologia. Sendo F e G proposições, marque a expressão correta. a) (F G) ( F G) =. b) (F G) ( F G) = T. c) (F G) ( F G) =. d) (F G) ( F G) = F G. e) (F G) ( F G) = F G. 3. (ESAF 2014) Assinale qual das proposições das opções a seguir é uma tautologia. a) p q q b) p q q c) p q q d) (p q) q e) p q q 4. (ESAF 2013) Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição P P é: a) uma tautologia. b) equivalente à proposição P P. c) uma contradição. d) uma contingência. e) uma disjunção. Gabarito: 1. E 2. C 3. B 4. C 22

23 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Tema: negação de uma proposição composta Negação da disjunção inclusiva. Fórmula: (p q) p q Cuidado: As expressões: (p q) e p q não representam a mesma coisa, a primeira expressão a negação da conjunção e a segunda a negação de p ou q. Dica: Negar a primeira proposição (simples ou composta ) depois colocar o conectivo e e negar a segunda proposição (simples ou composta). Exemplo: P: Salvador tem praia ou Santos não tem praia. ~P ; Salvador não tem praia e Santos tem praia; Negação da conjunção Fórmula: (p q) p q Dica: Negar a primeira proposição (simples ou composta), depois colocar o conectivo ou e negar a segunda proposição (simples ou composta). P: Mário é alto e Jorge é culpado. ~ P: Mário não é alto ou Jorge não é culpado. ~ P: Mário é baixo ou Jorge é inocente. Negação da condicional Fórmula: (p q) p q Dica: Conservar a primeira proposição (simples ou composta), colocar o conectivo e e depois negar somente a segunda proposição (simples ou composta) Exemplo: P: Se corro, então canso. ~P: Corro e não canso. Negação da bicondicional Fórmula: (p q) = p q outra opção p q ou p V q Dica: Conservar o conectivo e depois temos a livre escolha de negar apenas uma proposição e conservar a outra. 23

24 Outra opção: Dica: mantemos as proposições e colocamos o conectivo se e somente se. P: 2 é par se e somente se 3 é ímpar. ~P: 2 não é par se e somente se 3 é ímpar. ~P: 2 é par se e somente se 3 não é ímpar. ~P: ou 2 é par ou 2 é ímpar. Negação da disjunção exclusiva Fórmula: (p V q) = p V q outra opção p V q ou p q. A: ou 2 é par ou 2 é ímpar. ~A: ou 2 é não par ou 2 é ímpar. ~A: ou 2 é par ou 2 não é ímpar. ~A: 2 é par se e somente se 2 é ímpar. Treinamento 1. (AFP-SP 2009 ESAF) A negação de "Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra" é: a) Milão não é a capital da Itália. b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Paris não é a capital da Inglaterra. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. 2. (MPOG 2009) A negação de Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José é: a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha. c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José. d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema. e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José 3. (ANEEL 2006 ESAF) Dizer que não é verdade que A = B e C = D, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) A não é B e C não é D. b) A não é B ou C não é D. c) A é B ou C não é D. d) se A não é B, então C é D. e) se A não é B, então C não é D. 24

25 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar 4. (MF 2009) A negação da de Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em Casa é: a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa. b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa. c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa. d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa. e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa. 5. (ATRFB ESAF 2012) A negação da proposição se Paulo estuda, então Marta é atleta é logicamente equivalente à proposição a) Paulo não estuda e Marta não é atleta. b) Paulo estuda e Marta não é atleta. c) Paulo estuda ou Marta não é atleta. d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta. e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta. 6. (ESAF 2016) A negação da proposição se choveu, então o voo vai atrasar pode ser logicamente descrita por a) não choveu e o voo não vai atrasar. b) choveu e o voo não vai atrasar. c) não choveu ou o voo não vai atrasar d) se não choveu, então o voo não vai atrasar. e) choveu ou o voo não vai atrasar. 7. (ESAF 2013) A negação da proposição se Curitiba é a capital do Brasil, então Santos é a capital do Paraná é logicamente equivalente à proposição: a) Curitiba não é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná. b) Curitiba não é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná. c) Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná. d) Se Curitiba não é a capital do Brasil, então Santos não é a capital do Paraná. e) Curitiba é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná. Gabarito: 1. B 2. A 3. B 4. B 5. B 6. B 7. C 25

26 Tema: Equivalência lógica As proposições P e Q são equivalentes quando apresentam tabelas verdades idênticas. Indicamos que p é equivalente a q do seguinte modo: p q. Referências Dupla Negação P.q.r proposições τ tautologia γ contradição ( p) p Leis Idempotentes Leis Comutativas Leis Associativas Leis Distributivas Leis de Morgan Leis de Identidade Leis Complementares p p p p p p p p q p p p q p p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (p q) p q (p q) p q p γ p p γ γ p τ p p τ τ p p τ p p γ τ γ γ τ Condicional Bicondicional p q (p q) p q p q q p (p q) p q p q (p q) (q p) (p q) p q p q 26

27 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Treinamento 1. (AFRFB 2009) Considere a seguinte proposição: Se chove ou neva, então o chão fica molhado. Sendo assim, pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou 2. (ATRFB 2009) A afirmação: João não chegou ou Maria está atrasada equivale logicamente a: a) Se João não chegou, Maria está atrasada. b) João chegou e Maria não está atrasada. c) Se João chegou, Maria não está atrasada. d) Se João chegou, Maria está atrasada. e) João chegou ou Maria não está atrasada. 3. (MTE AFT 2010) Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo: a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo. b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular. c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular. d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo. 4. (TFC CGU 2008 ESAF) Um renomado economista afirma que A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que: a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta. b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa. c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta. d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta. 5. (SMF-RJ 2010) A proposição "um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par" equivale logicamente à proposição: a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar. c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar. d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par. e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par. 27

28 6. (AFRFB ESAF 2012) A afirmação A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro tem como sentença logicamente equivalente: a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. 7. (ESAF 2016) A proposição se o voo está atrasado, então o aeroporto está fechado para decolagens é logicamente equivalente à proposição: a) o voo está atrasado e o aeroporto está fechado para decolagens. b) o voo não está atrasado e o aeroporto não está fechado para decolagens. c) o voo está atrasado, se e somente se, o aeroporto está fechado para decolagens. d) se o voo não está atrasado, então o aeroporto não está fechado para decolagens. e) o voo não está atrasado ou o aeroporto está fechado para decolagens. 8. (APO 2010) Sejam F e G duas proposições e F e G suas respectivas negações. Marque a opção que equivale logicamente à proposição composta: F se e somente se G. a) F implica G e G implica F. b) F implica G e F implica G. c) Se F então G e se F então G. d) F implica G e G implica F. e) F se e somente se G. 9. (ESAF 2015) Dizer que Se Marco é marinheiro, então Míriam é mãe equivale a dizer que a) se Míriam é mãe, Marco não é marinheiro. b) se Marco não é marinheiro, então Míriam não é mãe. c) se Míriam não é mãe, então Marco não é marinheiro. d) Marco é marinheiro ou Míriam é mãe. e) Marco não é marinheiro e Míriam não é mãe. Gabarito: 1. E 2. D 3. E 4. D 5. A 6. C 7. E 8. B 9. C 28

29 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Lógica de primeira ou quantificadores I. Quantificador universal: (lê-se qualquer que seja, ou, ainda, para todo ). II. Quantificadores existenciais: (lê-se existe pelo menos um ) e (lê-se existe um"). Relação entre Proposições e Conjuntos Tipos de Proposições Categóricas Chamam-se de proposições categóricas proposições simples e diretas na forma de sujeitopredicado. Elas apresentam de quatro tipos: A: Todo M é N. B: Nenhum M é N. (Todo M não é N.) C: Algum M é N. D: Algum M não é N. Em que: A é uma proposição universal afirmativa. B é uma proposição universal negativa. C é uma proposição particular afirmativa. D é uma proposição particular negativa. Relação entre Conjuntos e Proposições Caso 01: Todo M é N. Essa relação mostra que o conjunto M está dentro do conjunto N. Logo, M é subconjunto de N. Exemplo: Todo homem é sábio. O conjunto homem está dentro do conjunto sábio. 29

30 Caso 02: Nenhum M é N. O termo nenhum tem a função de exclusão, por isso os conjuntos não possuem elementos comuns. Logo, M e N são conjuntos distintos. Caso 03: Algum M é N. A palavra algum representa elemento comum, isto é, que pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo. Logo M N (intersecção de conjuntos). Caso 04: Algum M não é N. Nesse caso, a expressão representa um elemento que pertence ao conjunto M, mas não pertence ao conjunto. Logo M N (diferença de conjuntos). Cuidado! Algum M não é N é equivalente a Algum não N é M. Agora Algum M não é N é diferente de Algum N não é M, conforme vemos no diagrama abaixo: 30

31 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Tema: Argumento O argumento lógico é um conjunto de premissas que resultam em uma conclusão (P1,P2,...Pn C). 1º caso: argumento formado por quantificadores Caso 1: todo e todo 1. (PF CESPE 2004) É válido o seguinte argumento: Todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal. ( ) Certo ( ) Errado 2. (CESPE) Considere como premissas as proposições Todos os hobits são baixinhos e Todos os habitantes da Colina são hobits, e, como conclusão, a proposição Todos os baixinhos são habitantes da Colina. Nesse caso, essas três proposições constituem um raciocínio válido. ( ) Certo ( ) Errado Caso 2: Todo e algum 3. (PC-ES CESPE 2011) Nessas condições, é correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 e conclusão P3 é válido. Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas, respectivamente, por "Todos os leões são pardos" e "Existem gatos que são pardos", e a sua conclusão P3 for dada por "Existem gatos que são leões", então essa sequência de proposições constituirá um argumento válido. ( ) Certo ( ) Errado 31

32 Caso 3: Todo e Nenhum 4. Considere uma argumentação em que duas premissas são da forma Nenhum A é B. Todo C é A e a conclusão é da forma Nenhum C é B. Essa argumentação não pode ser considerada válida ( ) Certo ( ) Errado Caso 4: Nenhum e algum 5. (ESAF) Se é verdade que Alguns A são R e que Nenhum G é R, então é necessariamente verdadeiro que: a) algum A não é G; b) algum A é G. c) nenhum A é G; d) algum G é A; e) nenhum G é A. 6. (ESAF) Se é verdade que alguns escritores são poetas e que nenhum músico é poeta, então, também é necessariamente verdade que a) nenhum músico é escritor. b) algum escritor é músico. c) algum músico é escritor. d) algum escritor não é músico. e) nenhum escritor é músico. 7. (MPOG 2009) Considerando as seguintes proposições: Alguns filósofos são matemáticos e não é verdade que algum poeta é matemático, pode-se concluir apenas que: a) algum filósofo é poeta. b) algum poeta é filósofo. c) nenhum poeta é filósofo. d) nenhum filósofo é poeta. e) algum filósofo não é poeta. 8. (ATA ESAF 2012) Em uma cidade as seguintes premissas são verdadeiras: Nenhum professor é rico. Alguns políticos são ricos. Então, pode-se afirmar que: a) Nenhum professor é político. b) Alguns professores são políticos. c) Alguns políticos são professores. d) Alguns políticos não são professores. e) Nenhum político é professor. Gabarito: 1. Certo 2. Errado 3. Errado 4. Errado 5. A 6. D 7. E 8. D 32

33 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Questões especiais 1. (SERPRO 2001 ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então: a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês. b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história. c) nenhum aluno de português é aluno de matemática. d) todos os alunos de informática são alunos de matemática. e) todos os alunos de informática são alunos de português. 2. (MPOG 2009) Numa empresa de nanotecnologia, sabe-se que todos os mecânicos são engenheiros e que todos os engenheiros são pós-graduados. Se alguns administradores da empresa também são engenheiros, pode-se afirmar que, nessa empresa: a) todos os administradores são pós-graduados. b) alguns administradores são pós-graduados. c) há mecânicos não pós-graduados. d) todos os trabalhadores são pós-graduados. e) nem todos os engenheiros são pós-graduados 2º caso: argumento sem quantificadores A relação entre premissas e conclusão é uma implicação lógica; por isso, para que o argumento seja validado, é necessário que a relação entre a premissa e a conclusão seja verdadeira. Na tabela a seguir, temos as possíveis situações para o nosso argumento ser válido. PREMISSA (P) CONCLUSÃO (C) P C VERDADEIRA VERDADEIRA VÁLIDO FALSA VERDADEIRA VÁLIDO FALSA FALSA VÁLIDO Gabarito: 1. C 2. B 33

34 Treinamento 1. (ATA ESAF 2012) Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. Se Pedro não é professor, então Murilo trabalha. Se Murilo trabalha, então hoje não é domingo. Ora, hoje é domingo. Logo, a) Marta não é estudante e Murilo trabalha. b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha. c) Marta é estudante ou Murilo trabalha. d) Marta é estudante e Pedro é professor. e) Murilo trabalha e Pedro é professor. 2. (ATRFB ESAF 2012) Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. Ora, Leila não é tia de Maria. Logo a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana. b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo. 3. (AFRFB ESAF 2012) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim, a) não viajo e caso. b) viajo e caso. c) não vou morar em Pasárgada e não viajo. d) compro uma bicicleta e não viajo. e) compro uma bicicleta e viajo. 4. (ESAF 2016) Considere verdadeiras as premissas a seguir: Se Paulo é médico, então Sandra não é estudante. Se Sandra não é estudante, então Ana é secretária. Ou Ana não é secretária, ou Marina é enfermeira. Marina não é enfermeira. Logo, pode-se concluir que: a) Paulo é médico ou Ana é secretária b) Sandra é estudante e Paulo é médico c) Ana não é secretária e Sandra não é estudante. d) Paulo é médico ou Ana não é secretária. e) Sandra não é estudante e Paulo é médico. 34

35 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar 5. (ESAF 2014) Em um argumento, as seguintes premissas são verdadeiras: Se o Brasil vencer o jogo, então a França não se classifica. Se a França não se classificar, então a Itália se classifica. Se a Itália se classificar, então a Polônia não se classifica. A Polônia se classificou. Logo, pode-se afirmar corretamente que: a) a Itália e a França se classificaram b) a Itália se classificou e o Brasil não venceu o jogo. c) a França se classificou ou o Brasil venceu o jogo d) a França se classificou e o Brasil venceu o jogo. e) a França se classificou se, e somente se, o Brasil venceu o jogo. 6. (ESAF 2014) As seguintes premissas são verdadeiras: Se Paulo não trabalha terça-feira, então Maria trabalha sábado. Se Ana não trabalha domingo, então Samuel não trabalha sexta-feira. Se Samuel trabalha sexta-feira, então Maria não trabalha sábado. Samuel trabalha sexta-feira. Logo, pode-se afirmar que: a) Paulo trabalha terça-feira e Maria trabalha sábado. b) Paulo não trabalha terça-feira ou Maria trabalha sábado c) Maria trabalha sábado e Ana não trabalha domingo. d) Ana não trabalha domingo e Paulo trabalha terça-feira. e) Se Maria trabalha sábado, então Ana não trabalha domingo. 7. Considere verdadeiras as premissas a seguir: se Ana é professora, então Paulo é médico; ou Paulo não é médico, ou Marta é estudante; Marta não é estudante. Sabendo-se que os três itens listados acima são as únicas premissas do argumento, pode-se concluir que: a) Ana é professora. b) Ana não é professora e Paulo é médico. c) Ana não é professora ou Paulo é médico. d) Marta não é estudante e Ana é Professora. e) Ana é professora ou Paulo é médico. Gabarito: 1. B 2. D 3. B 4. D 5. C 6. E 7. C 35

36 Tema: Raciocínio Analítico (conteúdo implícito) 1. (MPOG ESAF 2006) Sete meninos, Armando, Bernardo, Cláudio, Délcio, Eduardo, Fábio e Gelson, estudam no mesmo colégio e na mesma turma de aula. A direção da escola acredita que se esses meninos forem distribuídos em duas diferentes turmas de aula haverá um aumento em suas respectivas notas. A direção propõe, então, a formação de duas diferentes turmas: a turma T1 com 4 alunos e a turma T2 com 3 alunos. Dada as características dos alunos, na formação das novas turmas, Bernardo e Délcio devem estar na mesma turma. Armando não pode estar na mesma turma nem com Bernardo, nem com Cláudio. Sabe-se que, na formação das turmas, Armando e Fábio foram colocados na turma T1. Então, necessariamente, na turma T2, foram colocados os seguintes alunos: a) Cláudio, Délcio e Gelson. b) Bernardo, Cláudio e Gelson. c) Cláudio, Délcio e Eduardo. d) Bernardo, Cláudio e Délcio. e) Bernardo, Cláudio e Eduardo. 2. (AFC ESAF 2006) Cinco irmãs nasceram, cada uma, em um Estado diferente do Brasil. Lúcia é morena como a cearense, é mais moça do que a gaúcha e mais velha do que Maria. A cearense, a paulista e Helena gostam de teatro tanto quanto Norma. A paulista, a mineira e Lúcia são, todas, psicólogas. A mineira costuma ir ao cinema com Helena e Paula. A paulista é mais moça do que a goiana, mas é mais velha do que a mineira; esta, por sua vez, é mais velha do que Paula. Logo: a) Norma é gaúcha, a goiana é mais velha do que a mineira, e Helena é mais moça do que a paulista. b) Paula é gaúcha, Lúcia é mais velha do que Helena, e a mineira é mais velha do que Maria. c) Norma é mineira, a goiana é mais velha do que a gaúcha, e Maria é mais moça do que a cearense. d) Lúcia é goiana, a gaúcha é mais moça do que a cearense, e Norma é mais velha do que a mineira. e) Paula é cearense, Lúcia é mais velha do que a paulista, e Norma é mais moça do que a gaúcha. 3. (MPU Administrativa 2004 ESAF) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim, a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. 36

37 ATA Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar 4. (AFRFB 2009) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores branco e laranja ; a cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente: a) cão, cobra, calopsita. b) cão, calopsita, cobra. c) calopsita, cão, cobra. d) calopsita, cobra, cão. e) cobra, cão, calopsita. 5. (AFC CGU ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações: O primeiro diz: Eu sou o ladrão. O segundo diz: É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão. O terceiro diz: Eu sou o ladrão. Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro. b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. Gabarito: 1. D 2. E 3. A 4. A 5. B 37