Rodada #1 Raciocínio Lógico

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1 Rodada #1 Raciocínio Lógico Professor Guilherme Neves Assuntos da Rodada 1. Estruturas Lógicas. 2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos. 4. Trigonometria. 5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 6. Álgebra. 7. Combinações, Arranjos e Permutação. 8. Probabilidade, ariáveis Aleatórias, Principais Distribuições de Probabilidade, Estatística Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão. 9. Geometria Básica. 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização. 11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos.

2 a. Teoria em Tópicos 1. Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Exemplo: Paris está na Inglaterra (also). 2. Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado. Portanto, expressões como Os alunos do Ponto dos Concursos não são proposições lógicas, pois não possuem predicado (verbo). 3. Sendo declarativa, não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa. Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições. i) Que belo dia! (exclamativa) ii) Qual é o seu nome? (interrogativa) iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa indica ordem) iv) Que Deus te abençoe. (optativa exprime desejo). 4. Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta ou função proposicional. Sentença aberta é aquela em que o sujeito é um termo variável. Exemplo: Ele foi aprovado no concurso da Receita ederal em A frase acima não é uma proposição lógica, pois não pode ser classificada em ou, já que não sabemos quem é ele. 2

3 Exemplo: x + 2 = 8 A sentença acima não pode ser classificada em ou, pois não sabemos o valor de x. A sentença x + 2 = 8 é, portanto, uma sentença aberta (não é proposição lógica). 5. A partir de proposições dadas, podemos construir novas proposições com o auxílio de operadores lógicos. Os operadores lógicos são o modificador (advérbio não) e os conectivos. 6. O modificador é um operador lógico que troca o valor lógico das proposições. Se temos em mãos uma proposição verdadeira, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição falsa. Da mesma forma, se temos em mãos uma proposição falsa, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. 7. Os símbolos que indicam que uma proposição foi modificada são: ~ ou. A proposição modificada é chamada de negação da proposição original. Exemplos: p: Paris está na Inglaterra. Está é uma proposição falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. ~p: Paris não está na Inglaterra. Esta frase também pode ser lida das seguintes formas: ~p: É falso que Paris está na Inglaterra. 3

4 ~p: Não é verdade que Paris está na Inglaterra. 8. Quando temos uma proposição simples, devemos modificar o verbo principal para negar a frase. ejamos outro exemplo: q: John Lennon não recebeu o Oscar de melhor ator em Esta é uma proposição verdadeira. amos modificar o verbo e torná-la uma proposição falsa. ~q: John Lennon recebeu o Oscar de melhor ator em Uma tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das proposições. Tabelas-verdade são especialmente usadas para determinar os valores lógicos de proposições construídas a partir de proposições simples. Observe a tabela que dispõe as relações entre uma proposição p e a sua negação ~p. p ~ p 10. Além do modificador, podemos construir novas proposições utilizando conectivos lógicos. 4

5 11. Os conectivos cobrados em provas são Conjunção (e), Disjunção Inclusiva (ou), Disjunção Exclusiva (ou...ou), Condicional (se..., então) e o Bicondicional (...se e somente se...). 12. Caso o problema fale apenas disjunção, consideraremos que se trata da Disjunção Inclusiva. 13. Os conectivos podem estar disfarçados sob expressões equivalentes. Exemplo 1: ui à praia, mas não estudei = ui à praia e não estudei. Exemplo 2: Quando vou à praia, não durmo = Se vou à praia, então não durmo. Exemplo 3: Penso, logo existo = Se penso, então existo. 14. A proposição Guilherme e Moraes são professores é uma proposição simples. O sujeito dessa proposição, porém, é composto. A proposição Guilherme é professor e Moraes é professor é uma proposição composta. 15. Cada um dos conectivos é representado por um símbolo. Nome do Conectivo orma mais comum Símbolo Conjunção e Disjunção (Inclusiva) ou Disjunção Exclusiva Ou...ou 5

6 Condicional Se..., então Bicondicional...se e somente se 16. Como distinguir os símbolos e? Basta colocar uma letra O ao lado dos símbolos. Observe: O / O Em qual das duas situações você consegue ler OU? Na palavra da esquerda! Portanto, aquele símbolo é o ou. Consequentemente o outro é o e. Outro processo mnemônico consiste em colocar um pontinho em cima do símbolo. ejamos: Em qual das duas situações você consegue ver a letra cursiva i? No símbolo da direita! Portanto, aquele símbolo é o e (mesmo fonema do i ). 17. Para classificar uma proposição composta em ou, devemos saber a regra de cada um dos conectivos. 18. Uma proposição composta pelo conectivo e (conjunção) só é verdadeira quando as duas frases componentes são verdadeiras. Se pelo menos uma das frases componentes for falsa, a proposição composta será falsa. Exemplo: Se a proposição João é pobre for falsa e se a proposição João pratica atos violentos for verdadeira, então a proposição João não é pobre, mas pratica atos 6

7 violentos será verdadeira. João não é pobre e pratica atos violentos. Exemplo: A proposição 2+3 = 5 e a Lua é quadrada é falsa, pois um de seus componentes é falso = 5 e a Lua é quadrada. 19. Uma proposição composta pelo conectivo ou (disjunção (inclusiva)) só é verdadeira se pelo menos um de seus componentes for verdadeiro. A disjunção só será falsa se os dois componentes forem falsos. Exemplo: A proposição 2+3 = 5 ou a Lua é quadrada é verdadeira, pois pelo menos um de seus componentes é verdadeiro = 5 ou a Lua é quadrada. Exemplo: A proposição Paris está na Inglaterra ou 16=3 é falsa, pois seus dois componentes são falsos. Paris está na Inglaterra ou 16 = Observe que o conectivo "ou" tem um sentido inclusivo, ou seja, classificamos como verdadeira a proposição composta pelo ou que possui os dois componentes verdadeiros. 7

8 2 + 3 = 5 ou a Lua é um satélite da Terra. 21. Ao utilizar o conectivo Ou...ou... a proposição composta só será verdadeira quando APENAS um dos componentes for verdadeiro. Se as duas frases componentes forem verdadeiras, a composta será falsa. Se as duas frases forem falsas, a composta será falsa. Ou = 5 ou a Lua é um satélite da Terra. Há exercícios em que a banca enfatiza o conectivo ou...ou... colocando a expressão mas não ambos ao final da frase. Assim, Ou p ou q = Ou p ou q, mas não ambos. 22. Na proposição condicional Se p, então q, a proposição p é o antecedente e a proposição q é o consequente. Exemplo: Se Guilherme é recifense, então é Igor é mineiro. O antecedente é a proposição Guilherme é recifense e o consequente é a proposição Igor é mineiro. A proposição Se p, então q pode ser lida como p é condição suficiente para q ou como q é condição necessária para p. 8

9 23. Uma proposição composta pelo conectivo Se..., então... só é falsa quando ocorre, ou seja, quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Em qualquer outra possibilidade (,, ) a composta será verdadeira. Exemplos: Se = 5, então a Lua é um satélite da Terra. Se = 5, então a Lua não é um satélite da Terra. Se , então a Lua é um satélite da Terra. Se , então a Lua não é um satélite da Terra. 24. O que precisamos saber é apenas isso: se ocorrer, ou seja, se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, a proposição composta pelo se..., então é falsa. Em todos os outros casos a proposição composta será verdadeira. p q p q 9

10 25. Uma proposição composta pelo conectivo...se e somente se... (bicondicional) é verdadeira quando os dois componentes têm valores iguais, ou seja, ou. Se os componentes têm valores opostos ( ou ), a composta será falsa = 5 se e somente se a Lua é um satélite da Terra = 5 se e somente se a Lua não é um satélite da Terra se e somente se a Lua é um satélite da Terra se e somente se a Lua não é um satélite da Terra. 26. O conectivo se e somente se corresponde à conjunção (e) de dois condicionais (se...,então...). Em outras palavras, as proposições P se e somente se Q e Se P, então Q e se Q, então Q querem dizer a mesma coisa (são equivalentes). Exemplo: São equivalentes as proposições Hoje é Natal se e somente se hoje é 25/12 e Se hoje é Natal, então hoje é 25/12 e se hoje é 25/12, então hoje é Natal. A proposição p se e somente se q pode ser lida como p é condição necessária e suficiente para q ou q é condição necessária e suficiente para p. 27. Podemos resumir tudo o que foi dito sobre conectivos com a seguinte tabelaverdade. p q p q p q p q p q p q 10

11 28. Para facilitar o processo mnemônico, podemos fixar as regras que tornam as compostas verdadeiras. Conjunção p q Disjunção Inclusiva p q Disjunção Exclusiva p q Condicional p q As duas proposições p, q devem ser verdadeiras Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas. Apenas uma das proposições pode ser verdadeira. A proposição composta será falsa se os dois componentes forem verdadeiros ou se os dois componentes forem falsos. Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer (p)= e (q)=. Em uma linguagem informal, dizemos que não pode acontecer, nesta ordem. Bicondicional p q Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas. 11

12 29. O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples é 2 n. Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2, pois, pelas leis do pensamento a proposição p só pode assumir um dos dois valores lógicos: ou. p Para duas proposições p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 2 2 = 4. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 2 proposições, começaremos com a seguinte disposição. p q Para 3 proposições p, q e r, o número de linhas da tabela-verdade é 2 3 = 8. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 3 proposições, começaremos com a seguinte disposição. 12

13 p q r Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as proposições) representa uma valoração. 30. Tautologia é uma proposição composta que é verdadeira independentemente dos valores das proposições simples que a compõem. amos considerar três proposições quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade envolvendo apenas estas três proposições terá 2 3 = 8 linhas. Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposição ( p r) (~ q r). E o que significa construir a tabela-verdade desta proposição? 13

14 Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valoração para esta proposição. Ou seja, estamos preocupados em responder quando é que esta proposição é verdadeira e quando é que ela é falsa. Para tal tarefa, devemos começar com a seguinte disposição: p q r Neste começo de tabela, estão dispostas todas as possibilidades de valorações destas 3 proposições. Observe que há um padrão na construção deste início. Na primeira coluna, temos 4 seguidos de 4. Na segunda coluna temos 2 seguidos de 2 alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos e que se alternam. Pois bem toda tabela-verdade envolvendo três proposições começa assim. 14

15 Queremos construir a tabela-verdade da proposição ( p r) (~ q r). Observe que não aparece a proposição q propriamente dia e sim a sua negação. Portanto, o primeiro passo é construir a negação de q. Lembre-se que se uma proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e reciprocamente. p q r ~ q alores opostos!! amos obedecer a ordem de preferência. amos construir as proposições compostas que estão dentro dos parênteses. Comecemos por p r. Devemos conectar a proposição p com a proposição r através do conectivo e. Lembre-se que uma proposição composta pelo e só é verdadeira quando os dois componentes são verdadeiros. amos selecionar as linhas em que ambas p e r são verdadeiras. Todas as outras possibilidades tornam a composta p r falsa. 15

16 p q r ~ q p r amos agora construir a segunda proposição composta que está dentro de parênteses: ~q r. Lembre-se que uma proposição composta pelo conectivo ou é verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. amos nos focar apenas nas linhas em que pelo menos uma das duas ~q ou r for verdadeira. p q r ~ q p r ~ q r 16

17 Observe que tanto na linha 2 quanto na linha 6 as duas proposições são falsas, e portanto, a composta construída é falsa nestes casos. Podemos agora, finalmente construir a composta ( p r) (~ q r). Lembre-se que há apenas um caso em que a composta pelo se..., então é falsa: quando o primeiro componente for verdadeiro e o segundo componente falso. amos olhar apenas as duas últimas colunas. ejamos cada linha de per si: 1ª linha: (o condicional é verdadeiro). 2ª linha: (o condicional é verdadeiro). 3ª linha: (o condicional é verdadeiro). 4ª linha: (o condicional é verdadeiro). 5ª linha: (o condicional é verdadeiro). 6ª linha: (o condicional é verdadeiro). 7ª linha: (o condicional é verdadeiro). 8ª linha: (o condicional é verdadeiro). 17

18 Desta forma: p q r ~ q p r ~ q r ( p r) (~ q r) Concluímos que a proposição composta ( p r) (~ q r) é sempre verdadeira, independentemente dos valores atribuídos às proposições p, q e r. Dizemos então que a proposição ( p r) (~ q r) é uma tautologia (ou proposição logicamente verdadeira). 31. Contradição é uma proposição composta que é falsa independentemente dos valores das proposições simples que a compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição, devemos construir a sua tabelaverdade. 18

19 32. Contingência é uma proposição composta que assume valores ou a depender dos valores das proposições componentes. Para verificar se uma proposição é uma contingência, devemos construir a sua tabelaverdade. 33. Grosso modo, duas proposições são logicamente equivalentes quando elas dizem a mesma coisa. Por exemplo: p: Eu joguei o lápis. q: O lápis foi jogado por mim. As duas proposições acima têm o mesmo significado. Elas querem dizer a mesma coisa!! Quando uma delas for verdadeira, a outra também será. Quando uma delas for falsa, a outra também será. Dizemos, portanto, que elas são logicamente equivalentes. Em símbolos, escrevemos p q. 34. Para mostrar que duas proposições são equivalentes, devemos construir as tabelas-verdade e verificar se elas possuem as mesmas valorações em todas as linhas. Exemplo: Mostre que são equivalentes as proposições p q, ~q ~p e ~p q. Precisamos apenas construir a tabela-verdade. 19

20 p q ~ q ~ p p q ~ q ~ p ~ p q Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente equivalentes. 35. As proposições equivalentes do tópico anterior são responsáveis por 99% das questões de concurso sobre este assunto. Portanto, não se preocupe. ocê não precisará construir uma tabela para resolver a questão da sua prova (afirmo isso com 99% de probabilidade de acertar. Rs...). Portanto, memorize as seguintes equivalências: (p q) (~q ~p) (p q) (~p q) 36. A equivalência (p q) (~q ~p) permite construir uma proposição composta pelo se...,então... a partir de outra proposição composta pelo se...,então. Para tanto, basta negar os dois componentes e trocar a ordem. 20

21 Exemplo: São equivalentes as proposições Se bebo, então não dirijo e Se dirijo, então não bebo. 37. A equivalência (p q) (~p q) permite construir uma proposição composta pelo ou a partir de uma composta pelo se...,então.... Para tanto, basta negar o primeiro componente. Exemplo: São equivalentes as proposições Penso, logo existo e Não penso ou existo. 38. Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, deve-se negar os componentes e trocar o conectivo por e. Exemplo: A negação de Corro ou não durmo é Não corro e durmo. 39. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e, deve-se negar os componentes e trocar o conectivo por ou. Exemplo: A negação de Corro e não durmo é Não corro ou durmo. 40. Para negar uma proposição composta pelo Se...,então... : copie o antecedente, negue o consequente e troque o conectivo por e. Em outras palavras, copie a primeira parte, negue a segunda e troque por e. Exemplo: A negação de Penso, logo existo é Penso e não existo. 21

22 41. Proposições quantificadas são aquelas utilizam expressões como Todo, Nenhum, Algum. Observação: Algum = Existe = Pelo menos um = Existe um = Existe pelo menos um = Existe algum 42. Uma proposição do tipo Todo...é... é chamada de Proposição Universal Afirmativa (U.A.) Exemplo de U.A.: Todo recifense é pernambucano. 43. Uma proposição do tipo Todo...não é... é chamada de Proposição Universal Negativa (U.N.). A Universal Negativa também pode ser representada por Nenhum...é.... Exemplo de U.N.: Todo brasileiro não é uruguaio = Nenhum brasileiro é uruguaio. 44. Uma proposição do tipo Algum...é... é chamada de Proposição Particular Afirmativa (P.A.) Exemplo de P.A.: Algum recifense é pernambucano. 45. Uma proposição do tipo Algum... não é... é chamada de Proposição Particular Negativa (P.N.) Exemplo de P.N.: Algum carioca não é pernambucano. 22

23 46. Resumo das proposições quantificadas. Proposição universal afirmativa Todo recifense é pernambucano. Proposição universal negativa Proposição particular afirmativa Nenhum recifense é pernambucano. Algum recifense é pernambucano. Proposição particular negativa Algum recifense não é pernambucano. 47. Como negar proposições quantificadas? Se for Particular, troca por Universal (e vice-versa). Se Afirmativa, troca por Negativa. Afirmação Particular afirmativa ( algum... ) Negação Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Universal negativa ( nenhum... ou Particular afirmativa ( algum... ) todo... não... ) Universal afirmativa ( todo... ) Particular negativa ( algum... não ) Particular negativa ( algum... não ) Universal afirmativa ( todo... ) Observe que se a proposição original utiliza o quantificador UNIERSAL, a sua negação terá um quantificador PARTICULAR. Se a proposição original tem um quantificador PARTICULAR, sua negação utilizará o quantificador UNIERSAL. 23

24 erifique ainda que se a proposição original é AIRMATIA, sua negação será NEGATIA. Se a proposição original é NEGATIA, sua negação será AIRMATIA. ejamos alguns exemplos: p : Algum político é honesto. p : Existe político honesto. A proposição dada é uma PARTICULAR AIRMATIA. Sua negação será uma UNIERSAL NEGATIA. ~ p ~ p : Nenhum político é honesto. : Todo político não é honesto. q : Nenhum brasileiro é europeu. q : Todo brasileiro não é europeu. A proposição dada é uma UNIERSAL NEGATIA. Sua negação será uma PARTICULAR AIRMATIA. ~ q : Algum brasileiro é europeu. ~ q : Existe brasileiro que é europeu. r : Todo concurseiro é persistente. 24

25 A proposição dada é uma UNIERSAL AIRMATIA. Sua negação será uma PARTICULAR NEGATIA. ~ r ~ r : Algum concurseiro não é persistente. : Existe concurseiro que não é persistente. t : Algum recifense não é pernambucano. t : Existe recifense que não é pernambucano. A proposição dada é uma PARTICULAR NEGATIA. Sua negação será uma UNIERSAL AIRMARTIA. ~ t : Todo recifense é pernambucano. 48. Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação? De três maneiras: i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada. ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa. iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. 25

26 49. O estudo das proposições categóricas (que utilizam quantificadores) pode ser feito utilizando os diagramas de Euler-enn. É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada. 50. Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das proposições categóricas. Todo A é B Todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos comuns. Algum A é B Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum. Algum A não é B O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de B. 51. Todo A é B A proposição categórica Todo A é B é equivalente a: A é subconjunto de B. A é parte de B. A está contido em B. 26

27 B contém A. B é universo de A. B é superconjunto de A. Se sabemos que a proposição Todo A é B é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Algum A é B é necessariamente verdadeira. Nenhum A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente falsa. 52. Algum A é B A proposição categórica Algum A é B equivale a Algum B é A. Se algum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é necessariamente falsa. Todo A é B e Algum A não é B são indeterminadas. Observe que quando afirmamos que Algum A é B estamos dizendo que existe pelo menos um elemento de A que também é elemento de B. 53. Nenhum A é B 27

28 A proposição categórica Nenhum A é B equivale a: Nenhum B é A. Todo A não é B. Todo B não é A. A e B são conjuntos disjuntos. Se nenhum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Todo A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente verdadeira. Algum A é B é necessariamente falsa. 54. Algum A não é B Observe que Algum A não é B não equivale a Algum B não é A. Por exemplo, dizer que Algum brasileiro não é pernambucano não equivale a dizer que Algum pernambucano não é brasileiro. Se algum A não é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? 28

29 Nenhum A é B é indeterminada, pois poderia haver elementos na interseção dos conjuntos A e B. Algum A é B é indeterminada, pois pode haver ou não elementos na interseção dos conjuntos A e B. Todo A é B é necessariamente falsa. 29

30 b. Revisão 1 (Questões) QUESTÃO 01 ESA GESTOR AZENDÁRIO-MG 2005 Considere a afirmação P: P: A ou B Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: Carlos é dentista. B: Se Enio é economista, então Juca é arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. QUESTÃO 02 ESA MPOG Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da rança. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da rança. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança, ou Paris é a capital da rança. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança, ou Paris é a capital da 30

31 Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. QUESTÃO 03 ESA ANAC Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p e q são, respectivamente, a verdade e a falsidade, assinale o item que apresenta a proposição composta cujo valor lógico é a verdade. a) ~p q q b) p q q c) p q d) p q e) q (p q) QUESTÃO 04 ESA MTUR Assinale a opção que apresenta valor lógico falso. a) 2 3 = 8 e = 5 b) Se 8 = 3, então 6 2 = 3. c) Ou 3 1 = 2 ou 5+2=8. d) Se 7 2 = 5, então = 7. e) = 9 se, e somente se, 8 = 2. QUESTÃO 05 ESA SEAZ/SP Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 e =9. b) Se 3 = 3, então = 9. 31

32 c) Se 3 = 4, então = 9. d) 3 = 4 ou = 9. e) 3 = 3 se e somente se = 9. QUESTÃO 06 ESA SEAZ/MG O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte: 1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã? O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são, respectivamente: a) Não, sim, não b) Não, não, sim c) Sim, sim, sim d) Não, sim, sim e) Sim, não, sim QUESTÃO 07 ESA PECAZ Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~P P e : 32

33 a) uma tautologia. b) equivalente a proposição ~p p. c) uma contradição. d) uma contingência. e) uma disjunção. QUESTÃO 08 ESA MTUR 2014 Assinale qual das proposições das opções a seguir é uma tautologia. a) p q q b) p q q c) p q q d) (p q) q e) p q q QUESTÃO 09 ESA MTUR 2014 A proposição se Catarina e turista, então Paulo e estudante e logicamente equivalente a a) Catarina não e turista ou Paulo não e estudante. b) Catarina e turista e Paulo não e estudante. c) Se Paulo não e estudante, então Catarina não e turista. d) Catarina não e turista e Paulo não e estudante. e) Se Catarina não e turista, então Paulo não e estudante. QUESTÃO 10 ESA PECAZ 2013 A negação da proposição Brasília e a Capital ederal e os Territórios ederais integram a União e : 33

34 a) Brasília não e a Capital ederal e os Territórios ederais não integram a União. b) Brasília não e a Capital ederal ou os Territórios ederais não integram a União. c) Brasília não e a Capital ederal ou os Territórios ederais integram a União. d) Brasília e a Capital ederal ou os Territórios ederais não integram a União. e) Brasília não e a Capital ederal e os Territórios ederais integram a União. 34

35 c. Revisão 2 (Questões) QUESTÃO 11 ESA DNIT 2013 A proposição composta p p q é equivalente à proposição: a) p q b) p q c) p d) ~p q e) q QUESTÃO 12 ESA STN 2013 A negação da proposição se Curitiba e a capital do Brasil, então Santos e a capital do Paraná e logicamente equivalente a proposição: a) Curitiba não e a capital do Brasil e Santos não e a capital do Paraná. b) Curitiba não e a capital do Brasil ou Santos não e a capital do Paraná. c) Curitiba e a capital do Brasil e Santos não e a capital do Paraná. d) Se Curitiba não e a capital do Brasil, então Santos não e a capital do Paraná. e) Curitiba e a capital do Brasil ou Santos não e a capital do Paraná. QUESTÃO 13 ESA ATA-M 2012 A proposição p (p q) é logicamente equivalente à proposição a) p q b) ~p c) p d) ~q e) p q 35

36 QUESTÃO 14 ESA MPOG 2006 Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. QUESTÃO 15 ESA SM/RJ 2010 Qual das proposições abaixo tem a mesma tabela verdade que a proposição: Se a < 3, então b 4, onde a e b são números reais? a) b 4 e a < 3. b) b > 4 ou a < 3. c) b > 4 e a < 3. d) b 4 ou a < 3. e) b 4 ou a 3. QUESTÃO 16 ESA CGU 2008 Um renomado economista afirma que A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que: a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta. b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa. c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta. d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta. 36

37 QUESTÃO 17 ESA ARB 2009 Considere a seguinte proposição: Se chove ou neva, então o chão fica molhado. Sendo assim, pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. QUESTÃO 18 ESA ATA-M 2009 X e Y saõ nuḿeros tais que: Se X 4, entaõ Y>7. Sendo assim: a) Se Y 7, entaõ X>4. b) Se Y>7, entaõ X 4. c) Se X 4, entaõ Y<7. d) Se Y<7, entaõ X 4. e) Se X<4, entaõ Y 7. QUESTÃO 19 ESA ARB 2012 A afirmação A menina tem olhos azuis ou o menino e loiro tem como sentença logicamente equivalente: a) se o menino e loiro, então a menina tem olhos azuis. b) se a menina tem olhos azuis, então o menino e loiro. c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino e loiro. d) não e verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino e loiro. e) naõ e verdade que se o menino e loiro, então a menina tem olhos azuis. QUESTÃO 20 ESA PRE. DE NATAL

38 Durante uma prova de matemática, Joãozinho faz uma pergunta para a professora. Mariazinha - que precisa obter nota alta e, portanto, qualquer informação na hora da prova lhe será muito valiosa -, não escutou a pergunta de Joãozinho. Contudo, ela ouviu quando a professora respondeu para Joãozinho afirmando que: se X 2, então Y = 3. Sabendo que a professora sempre fala a verdade, então Mariazinha conclui corretamente que: a) se X = 2, então Y 3 b) X 2 e Y = 3 c) X = 2 ou Y = 3 d) se Y = 3, então X 2 e) se X 2, então Y 3 38

39 d. Revisão 3 (Questões) QUESTÃO 21 ESA MPOG 2009 Considere que: se o dia está bonito, então não chove. Desse modo: a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. c) chover é condição necessária para o dia estar bonito. d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. QUESTÃO 22 ESA STN 2005 Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo, a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. QUESTÃO 23 ESA SEAZ/SP 2009 A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. b) Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Milão não é a capital da Itália. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. QUESTÃO 24 ESA ATA/M

40 A negação de Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa e : a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa. b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa. c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa. d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa. e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa. QUESTÃO 25 ESA MPOG 2009 A negação de Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José é: a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha. c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José. d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema. e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José. QUESTÃO 26 ESA ISCAL DE RECIE 2003 Pedro, apoś visitar uma aldeia distante, afirmou: Naõ e verdade que todos os aldeoẽs daquela aldeia naõ dormem a sesta. A condic aõ necessaŕia e suficiente para que a afirmac aõ de Pedro seja verdadeira e que seja verdadeira a seguinte proposic aõ: a) No ma ximo um aldeaõ daquela aldeia naõ dorme a sesta. b) Todos os aldeoẽs daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeaõ daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeaõ daquela aldeia naõ dorme a sesta. e) Nenhum aldeaõ daquela aldeia dorme a sesta. QUESTÃO 27 ESA MPOG 2009 A negação de À noite, todos os gatos são pardos é: 40

41 a) De dia, todos os gatos são pardos. b) De dia, nenhum gato é pardo. c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. e) À noite, nenhum gato é pardo. QUESTÃO 28 ESA ATRB 2012 A negação da proposição se Paulo estuda, então Marta e atleta e logicamente equivalente a proposição a) Paulo não estuda e Marta não e atleta. b) Paulo estuda e Marta não e atleta. c) Paulo estuda ou Marta não e atleta. d) se Paulo naõ estuda, então Marta naõ e atleta. e) Paulo naõ estuda ou Marta naõ e atleta. QUESTÃO 29 ESA SM/RJ 2010 Considere x um número real. A negação da proposição 2/3 x 5/3 ou 1< x < 1 e : a) 1 < x 2/3. b) 1 x < 2/3. c) x 1 e x > 5/3. d) x 1 ou x > 5/3. e) 1 x < 2/3 e x > 5/3. QUESTÃO 30 ESA ATA/M 2012 Em uma cidade as seguintes premissas são verdadeiras: Nenhum professor é rico. Alguns políticos são ricos. Então, pode-se afirmar que: 41

42 a) Nenhum professor é político. b) Alguns professores são políticos. c) Alguns políticos são professores. d) Alguns políticos não são professores. e) Nenhum político é professor. 42

43 e. Gabarito B C A D C D C B C B D C E D E D E A C C A E A B A C D B D D 43

44 f. Comentários às questões QUESTÃO 01 ESA GESTOR AZENDÁRIO-MG 2005 Considere a afirmação P: P: A ou B Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: Carlos é dentista. B: Se Enio é economista, então Juca é arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. Resolução A proposição P é a disjunção das proposições A, B (conectivo ou). O texto nos informou que P é falsa, e sabemos que a disjunção A ou B só é falsa quando ambas, A e B são falsas. A proposição A é falsa e daí concluímos que Carlos não é dentista. A condicional B é falsa. Uma proposição condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso; donde Enio é economista (antecedente verdadeiro) e Juca não é arquiteto (consequente falso). 44

45 Lembre-se sempre: uma proposição composta pelo conectivo se...,então... só é falsa quando ocorre. E como o enunciado nos disse que B é falsa, então ocorreu. B: Se Enio é economista, então Juca é arquiteto. O antecedente é verdadeiro, logo Enio é economista. O consequente é falso, logo Juca não é arquiteto. Letra B QUESTÃO 02 ESA MPOG Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da rança. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da rança. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança, ou Paris é a capital da rança. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança, ou Paris é a capital da Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. Resolução amos analisar cada uma das alternativas de per si. a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da rança. Antecedente: Roma é a capital da Itália: erdadeiro. Consequente: Londres é a capital da rança: also. 45

46 Uma proposição composta pelo conectivo Se..., então... com antecedente verdadeiro e consequente falso é falsa (lembre-se que não admitimos no Se..., então... ). b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da rança. Antecedente: Londres é a capital da Inglaterra: erdadeiro. Consequente: Paris não é a capital da rança: also. Uma proposição composta pelo conectivo Se..., então... com antecedente verdadeiro e consequente falso é falsa. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança, ou Paris é a capital da rança. amos analisar as partes componentes desta frase: Roma é a capital da Itália: erdadeiro. Londres é a capital da rança: also. Paris é a capital da rança: erdadeiro. A primeira parte da frase é composta pelo conectivo e. Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança Lembremos que uma proposição composta pelo conectivo e só é verdadeira se os seus dois componentes forem verdadeiros. Como a proposição Londres é a capital da rança é falsa, então esta primeira parte da proposição é falsa. Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança, ou Paris é a capital da rança. amos conectar esta frase com Paris é a capital da rança, que é uma proposição verdadeira. Ora, uma proposição composta pelo conectivo ou é verdadeira quando 46

47 pelo menos um de seus componentes é verdadeiro. Assim, concluímos que a proposição da alternativa C é verdadeira. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança, ou Paris é a capital da Inglaterra. amos analisar as partes componentes desta frase: Roma é a capital da Itália: erdadeiro. Londres é a capital da rança: also. Paris é a capital da Inglaterra: also. A primeira parte da frase é composta pelo conectivo e. Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança Lembremos que uma proposição composta pelo conectivo e só é verdadeira se os seus dois componentes forem verdadeiros. Como a proposição Londres é a capital da rança é falsa, então esta primeira parte da proposição é falsa. Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança, ou Paris é a capital da Inglaterra. amos conectar esta frase com Paris é a capital da Inglaterra, que é uma proposição falsa. Ora, uma proposição composta pelo conectivo ou é falsa quando seus dois componentes são falsos. Portanto, a frase da alternativa D é falsa. inalmente a alternativa E. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. ejamos os componentes. 47

48 Roma é a capital da Itália: verdadeiro. Londres não é a capital da Inglaterra: falso. Uma proposição composta pelo conectivo e só é verdadeira quando seus dois componentes são verdadeiros, portanto a frase acima é falsa. Letra C QUESTÃO 03 ESA ANAC Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p e q são, respectivamente, a verdade e a falsidade, assinale o item que apresenta a proposição composta cujo valor lógico é a verdade. a) ~p q q b) p q q c) p q d) p q e) q (p q) As alternativas A e B devem ser lidas assim: a) (~p q) q b) (p q) q Agora sim, vamos analisar as alternativas. O enunciado diz que a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa. a) (~p q) q Temos ( ou ), que é o mesmo que. Como não ocorreu no se..., então..., a composta é verdadeira. Esta é a resposta da questão e é o gabarito oficial. 48

49 b) (p q) q Temos ( ou ), que é o mesmo que. A proposição composta pelo se..., então... é falsa quando ocorre. Portanto, a letra B está errada. c) p q p é verdadeira e q é falsa. A proposição composta pelo se..., então... é falsa quando ocorre. Portanto, a letra C está errada. d) p q p é verdadeira e q é falsa. A proposição composta pelo se e somente se só é verdadeira quando os dois componentes possuem o mesmo valor lógico. Como uma é e a outra é, a composta é falsa e a alternativa D está errada. e) q (p q) A proposição acima é composta pelo conectivo e. Estamos conectando as proposições q e p v q através do e. Ora, como q é falsa, a composta é falsa, pois uma composta do e só é verdadeira quando os dois componentes são verdadeiros. Letra A QUESTÃO 04 ESA MTUR Assinale a opção que apresenta valor lógico falso. a) 2 3 = 8 e = 5 b) Se 8 = 3, então 6 2 = 3. c) Ou 3 1 = 2 ou 5+2=8. 49

50 d) Se 7 2 = 5, então = 7. e) = 9 se, e somente se, 8 = 2. Resolução a) 2 3 = 8 e = 5 Os dois componentes são verdadeiros. Lembre-se que é justamente neste caso em que uma proposição composta pelo conectivo e é verdadeira. b) Se 8 = 3, então 6 2 = 3. O antecedente é falso e o consequente é verdadeiro, ou seja, ocorreu. Uma proposição composta pelo conectivo se..., então... só é falsa quando ocorre, nesta ordem. A proposição composta é, portanto, verdadeira. c) Ou 3 1 = 2 ou = 8. Temos uma proposição composta pelo ou exclusivo. No caso deste conectivo, a proposição composta é verdadeira quando APENAS um de seus componentes é verdadeiro. oi justamente o que ocorreu. Assim, a composta é verdadeira. d) Se 7 2 = 5, então = 7. O antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, ou seja, ocorreu. Sabemos que quando ocorre em uma proposição composta pelo se..., então... a composta torna-se falsa. Assim, a proposição acima é falsa. e) 3 2 = 9 se,e somente se, 3 8 = 2. Quando os dois componentes são iguais em uma proposição composta pelo se e somente se, a composta torna-se verdadeira. 50

51 Letra D QUESTÃO 05 ESA SEAZ/SP Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 e =9. b) Se 3 = 3, então = 9. c) Se 3 = 4, então = 9. d) 3 = 4 ou = 9. e) 3 = 3 se e somente se = 9. Resolução a) 3 = 4 e = 9 Os dois componentes são falsos. Destarte, a proposição acima é falsa, pois uma proposição composta pelo conectivo e só é verdadeira quando seus dois componentes são verdadeiros. b) Se 3 = 3, então = 9. Uma proposição composta pelo conectivo Se..., então... com antecedente verdadeiro e consequente falso é falsa (lembre-se que não admitimos no Se..., então... ). c) Se 3 = 4, então = 9. Uma proposição composta pelo conectivo Se..., então... só é falsa quando ocorre, nesta ordem. Assim, quando o antecedente é falso e o consequente também é falso, a proposição composta é verdadeira. Assim, esta é a resposta da questão. 51

52 d) 3 = 4 ou = 9 Para que uma proposição composta pelo conectivo ou seja verdadeira, pelo menos um de seus componentes deve ser verdadeiro. Como os dois componentes são falsos, a frase acima é falsa. e) 3 = 3 se e somente se = 9 Uma proposição composta pelo conectivo se e somente se só é verdadeira quando seus dois componentes são iguais, ou seja, quando ambos são ou ambos são. Como os componentes têm valores lógicos opostos (um é e o outro é ), então a composta é falsa. Letra C QUESTÃO 06 ESA SEAZ/MG O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte: 1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã? 52

53 O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são, respectivamente: a) Não, sim, não b) Não, não, sim c) Sim, sim, sim d) Não, sim, sim e) Sim, não, sim Resolução 1. O dragão desaparecerá amanhã Aladim beijou a princesa ontem A afirmação do mago é falsa e o dragão desaparecerá amanhã. Para que o bicondicional seja falso, os componentes devem ter valores opostos. Se o primeiro componente é verdadeiro, o segundo deverá ser falso. O dragão desaparecerá amanhã Aladim beijou a princesa ontem Assim, não podemos concluir que Aladim beijou a princesa ontem. 2. O dragão desaparecerá amanhã Aladim beijou a princesa ontem A afirmação do mago é verdadeira e o dragão desaparecerá amanhã. O bicondicional é verdadeiro quando os dois componentes têm o mesmo valor lógico. Ou seja, ambos devem ser ou ambos devem ser. Como o primeiro componente é verdadeiro, então o segundo componente também será verdadeiro. 53

54 O dragão desaparecerá amanhã Aladim beijou a princesa ontem Podemos concluir que Aladim beijou a princesa ontem? Sim! 3. O dragão desaparecerá amanhã Aladim beijou a princesa ontem A afirmação do mago é falsa e o Aladim não beijou a princesa ontem. Para que o bicondicional seja falso, os componentes devem ter valores opostos. Se o segundo componente é falso, o primeiro deverá ser verdadeiro. O dragão desaparecerá amanhã Aladim beijou a princesa ontem Posso concluir que o dragão desaparecerá amanhã? Sim! Letra D QUESTÃO 07 ESA PECAZ Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~P P e : a) uma tautologia. b) equivalente a proposição ~p p. c) uma contradição. d) uma contingência. e) uma disjunção. Resolução Pelo que vimos, sabemos que a proposição ~P P é uma contradição. 54

55 Temos uma proposição composta pelo conectivo e. eremos que o símbolo significa e. eremos também que uma proposição composta pelo conectivo e é chamada de conjunção. Disjunção é uma proposição composta pelo conectivo ou, cujo símbolo é. Assim, já podemos descartar a letra E. amos construir a tabela-verdade da proposição ~P P. Devemos ligar a proposição P com a sua negação ~P através do conectivo e. Como temos apenas uma proposição simples envolvida, a nossa tabela-verdade terá apenas 2 linhas, pois há apenas dois possíveis valores lógicos para a proposição P: ou. P ~P ~P P A proposição ~P é a negação da proposição P, ou seja, seus valores são os valores opostos aos de P. P ~P ~P P amos agora ligar as duas proposições P e ~P através do conectivo e. Uma proposição composta pelo conectivo e só é verdadeira quando os dois componentes são simultaneamente verdadeiros. Observe que na primeira linha temos apenas um componente verdadeiro. O mesmo ocorre na segunda linha. Assim, concluímos que a composta ~P P é falsa nas duas linhas. P ~P ~P P 55

56 Uma proposição que é sempre falsa recebe o nome de contradição. Letra C QUESTÃO 08 ESA MTUR 2014 Assinale qual das proposições das opções a seguir é uma tautologia. a) p q q b) p q q c) p q q d) (p q) q e) p q q Resolução amos tentar resolver a questão com apenas uma tabela. Para facilitar a minha comunicação com vocês, vou colocar uma numeração nas colunas: C1, C2, C3,... A nossa tabela terá 4 linhas. Começaremos construindo as colunas das proposições p, q e das proposições auxiliares p q e p q. Lembre-se que p q só é falsa na última linha (porque ela é verdadeira quando ocorre ao menos um ) e p q só é verdadeira na primeira linha (quando os dois componentes são verdadeiros. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 p q p q p q p q q p q q p q q (p q) q p q q 56

57 Para construir a coluna C5, vamos ligar a proposição p q (C3) com a proposição q (C2) através do conectivo se..., então.... Este conectivo se importa com a ordem das proposições. A proposição de C5 será falsa quando ocorrer. Observe que devemos olhar a tabela de C3 para C2. Ocorre na segunda linha. É lá que C5 se torna falsa. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 p q p q p q p q q p q q p q q (p q) q p q q amos agora construir C6. Para tanto, ligaremos C4 com C2, nesta ordem. Observe que não ocorre em linha alguma, ou seja, C6 é sempre verdadeira. Trata-se, portanto, de uma tautologia. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 p q p q p q p q q p q q p q q (p q) q p q q 57

58 Esta já é a resposta da questão. Na hora da prova você nem precisaria continuar construindo a tabela. Para construir C7, vamos ligar C4 com C2. Uma proposição composta pelo se e somente se é verdadeira quando os componentes têm valores iguais, ou seja, ou os dois são ou os dois são. Assim, C7 é falsa na terceira linha, pois C2 é e C4 é. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 p q p q p q p q q p q q p q q (p q) q p q q Para construir C8, vamos ligar C4 com C2 através do conectivo ou. A proposição será verdadeira nas linhas 1 e 3, pois existe pelo menos um componente verdadeiro. Observe que nas linhas 2 e 4 os dois componentes são falsos. 58

59 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 p q p q p q p q q p q q p q q (p q) q p q q inalmente, vamos construir C9 ligando C3 com C2 através do se e somente se. A proposição será verdadeira nas linhas 1,3 e 4, pois nestas linhas os dois valores lógicos dos componentes são iguais. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 p q p q p q p q q p q q p q q (p q) q p q q Letra B QUESTÃO 09 ESA MTUR

60 A proposição se Catarina e turista, então Paulo e estudante e logicamente equivalente a a) Catarina não e turista ou Paulo não e estudante. b) Catarina e turista e Paulo não e estudante. c) Se Paulo não e estudante, então Catarina não e turista. d) Catarina não e turista e Paulo não e estudante. e) Se Catarina não e turista, então Paulo não e estudante. Resolução oi dada uma proposição composta pelo se..., então.... Basicamente temos duas possibilidades: construir outra equivalente com o se..., então... ou construir uma equivalente com o conectivo ou. Para construir a equivalente com o se..., então... devemos negar de trás pra frente. Se Paulo não é estudante, então Catarina não é turista. Letra C Eu sempre tento construir primeiro a composta do se..., então.... Ela é mais frequente do que a composta do ou. De qualquer forma, para construir a composta do ou, devemos negar o primeiro componente, colocar o conectivo ou e repetir o segundo componente. Catarina não é turista ou Paulo é estudante. QUESTÃO 10 ESA PECAZ

61 A negação da proposição Brasília e a Capital ederal e os Territórios ederais integram a União e : a) Brasília não e a Capital ederal e os Territórios ederais não integram a União. b) Brasília não e a Capital ederal ou os Territórios ederais não integram a União. c) Brasília não e a Capital ederal ou os Territórios ederais integram a União. d) Brasília e a Capital ederal ou os Territórios ederais não integram a União. e) Brasília não e a Capital ederal e os Territórios ederais integram a União. Resolução Esta questão também foi bem trivial. Queremos negar uma proposição composta pelo conectivo e. A regra que fornece a negação de uma proposição composta pelo conectivo e é conhecida como Lei de De Morgan, em homenagem ao matemático Augustus De Morgan. Pois bem, para negar uma proposição composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. Afirmação Brasília e a Capital ederal e os Territórios ederais integram a União Negação Brasília não e a Capital ederal ou os Territórios ederais não integram a União Letra B QUESTÃO 11 ESA DNIT 2013 A proposição composta p p q é equivalente à proposição: a) p q b) p q 61