DNIT RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO PROFESSORA: KARINE WALDRICH

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1 AULA 1 1. Aula 1: Estruturas Lógicas. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. Lógica sentencial (ou proposicional): proposições simples e compostas; tabelas-verdade; equivalências; leis de De Morgan; diagramas lógicos. Lógica de primeira ordem Conectivo Se e somente se Conectivo Ou...Ou Símbolos dos Conectivos Apelidos dos Conectivos Proposições Equivalentes Negação de proposições Tautologia e Contradição Estruturas Todo, Algum e Nenhum Diagramas Lógicos Questões comentadas Memorex Lista das Questões Comentadas... 48

2 1. Aula 1: Estruturas Lógicas. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. Lógica sentencial (ou proposicional): proposições simples e compostas; tabelas-verdade; equivalências; leis de De Morgan; diagramas lógicos. Lógica de primeira ordem. Bom dia, pessoal Desculpem a demora para postar a aula. Fiquei sem notebook durante a semana passada, pois ele estava no conserto. Todas as aulas longe de mim... Pirei! Prometo que não acontecerá novamente. Hoje teremos uma aula bem importante, de Lógica, em que continuaremos o assunto da aula passada. Muita atenção, pois a ESAF a-d-o-r-a esse assunto. Boa aula! 1.1 Conectivo Se e somente se Nome: bicondicional Símbolo: O que significa: A primeira proposição simples exprime uma condição para a segunda, e a segunda também exprime uma condição para a primeira. A frase só estará correta se ambas as proposições forem Verdadeiras ou forem Falsas (uma só não vale). Por exemplo: O Neymar é jogador da Seleção se e somente se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira Valor lógico: V se e somente se V = V (ou seja, a proposição composta é Verdadeira) Mais um exemplo: O Neymar é jogador da Seleção se e somente se o Muricy é o técnico da Seleção Brasileira Valor lógico: V se e somente se F = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Terceiro exemplo: O Rogério Ceni é jogador da Seleção se e somente se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira Prof. Karine Waldrich 2

3 Valor lógico: F se e somente se V = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Último exemplo: O Rogério Ceni é jogador da Seleção se e somente se o Muricy é o técnico da Seleção Brasileira Valor lógico: F se e somente se F = V (ou seja, a proposição composta é Verdadeira) Assim, em resumo, o conectivo Se e somente se se comporta da seguinte forma: 1.2 Conectivo Ou...Ou Nome: disjunção exclusiva Símbolo: v CONECTIVO SE E SOMENTE SE V se e somente se V = V V se e somente se F = F F se e somente se V = F F se e somente se F = V O que significa: Ou um, ou outro. A frase só estará correta se uma das proposições for Verdadeira e a outra for Falsa (as duas não vale). É o contrário da estrutura Se e somente se, que vimos acima. Por exemplo: Ou o Neymar é jogador da Seleção ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira. Valor lógico: Ou V ou V = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Mais um exemplo: Ou O Neymar é jogador da Seleção ou o Muricy é o técnico da Seleção Brasileira. Valor lógico: Ou V ou F = V (ou seja, a proposição composta é Verdadeira) Terceiro exemplo: Ou o Rogério Ceni é jogador da Seleção Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira Valor lógico: Ou F ou V = V (ou seja, a proposição composta é Verdadeira) Prof. Karine Waldrich 3

4 Último exemplo: Ou O Rogério Ceni é jogador da Seleção Ou o Muricy é o técnico da Seleção Brasileira Valor lógico: Ou F Ou F = F (ou seja, a proposição composta é Falsa) Assim, em resumo, o conectivo Ou...Ou se se comporta da seguinte forma: CONECTIVO OU...OU Ou V ou V = F Ou V ou F = V Ou F ou V = V Ou F Ou F = F 1.3 Símbolos dos Conectivos Como vimos, cada conectivo possui um símbolo. Muitas questões usam os símbolos, ao invés de escreverem por extenso os conectivos. As proposições também, são normalmente representadas por letras minúsculas. As mais usadas são p e q. Por exemplo: p: Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira q: então o Neymar é jogador da Seleção Vou agrupar os conectivos e seus símbolos na tabela abaixo, para que fique bem fixado para vocês: SÍMBOLOS DOS CONECTIVOS CONECTIVO SÍMBOLO EXEMPLOS SIGNIFICADO p e q E ^ p ^ q O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira e o Neymar é jogador da Seleção p ou q ou v p v q O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira ou o Neymar Prof. Karine Waldrich 4

5 é jogador da Seleção Ou p ou q ou... ou V p v q Se...então p q Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira ou o Neymar é jogador da Seleção Se p então q Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção p se e somente se q se e somente se p q O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira se e somente se o Neymar é jogador da Seleção Sugiro que, ao resolverem uma questão, vocês substituam as frases pelos símbolos, para não ter que ficar escrevendo o tempo todo (além de ajudar a memorizar os símbolos para a prova). 1.4 Apelidos dos Conectivos Às vezes, as questões de concursos criam outros nomes para as estruturas que vimos (os conectivos). Por exemplo, ao invés de usar Se A, então B, ela usa Quando A, B. É a mesma coisa, basta trocar pelo Se...então que já conhecemos. Sintetizei na tabela abaixo os apelidos que já vi serem utilizados em provas. Primeiramente, vamos ver os apelidos do Se...então. APELIDOS DA ESTRUTURA SE...ENTÃO EQUIVALENTE COM APELIDO EXEMPLO DE PROPOSIÇÃO APELIDO UTILIZADO Prof. Karine Waldrich 5

6 Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira, o Neymar é jogador da Seleção O Neymar é jogador da Seleção, se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira Quando o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira, o Neymar é jogador da Seleção O Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira implica o Neymar ir à Copa O Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira é condição suficiente para o Neymar ir à Copa Se... (sem o então )...se (invertido e sem o então ) Quando......implica......condição suficiente... Prof. Karine Waldrich 6

7 Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira se e somente se o Neymar é jogador da Seleção Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção O Neymar ir à Copa é condição necessária para o Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira. O Neymar ir à Copa é condição necessária e suficiente para o Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira. Somente o Neymar é jogador da Seleção se Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira somente se o Neymar é jogador da Seleção...condição necessária......condição necessária e suficiente......somente... se... (Somente no início da frase)...somente se... (não tem o se antes ) Prof. Karine Waldrich 7

8 Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção Toda vez que o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira o Neymar é jogador da Seleção Sempre que o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira o Neymar é jogador da Seleção Sempre/Toda/ Toda vez que... Pintei a linha que fala do Se invertido e do Condição Necessária para vocês verem que esses são os únicos casos em que é necessário inverter a proposição composta. Nos outros, é só trocar o apelido pelo Se...então, sem inverter. Da tabela acima, o caso mais cobrado em concurso é, com certeza, o caso da Condição Suficiente e da Condição Necessária. Para facilitar a memorização disso, criei um macete, que uso desde os tempos de faculdade. É o Macete do Sol e Nuvem. Não riam, porque na hora da prova tenho certeza que vocês vão acertar a questão por causa dele: MACETE DO SOL E NUVEM Condição Suficiente Dia de Sol Basta substituir pelo Se...então Condição Necessária Dia de Nuvem Deve-se inverter as proposições primeiro, para depois substituir pelo Se...então Prof. Karine Waldrich 8

9 Esse macete serve para lembrar que, se a frase possui Sol (condição suficiente) basta substituir diretamente por Se...então. No entanto, se for dia de Nuvem (condição necessária), não é tão simples, deve-se inverter as proposições, para depois substituir pelo Se...então. A estrutura Se e somente se também possui um apelido: APELIDO DA ESTRUTURA SE E SOMENTE SE EXEMPLO DE EQUIVALENTE PROPOSIÇÃO COM APELIDO O Mano Menezes ser o técnico da O Neymar é jogador da Seleção Seleção se e somente se Brasileira é o Mano Menezes é o condição técnico da Seleção necessária e Brasileira suficiente para o Neymar ir à Copa APELIDO UTILIZADO Condição necessária e suficiente Agora falaremos de um assunto importante, os equivalentes lógicos. 1.5 Proposições Equivalentes Duas proposições são equivalentes quando querem dizer a mesma coisa. Para ficar mais claro, vamos resolver utilizando o conceito das tabelas-verdade. Tabela-verdade é um nome difícil para aqueles esquemas que vimos em cada Estrutura, do tipo: ESTRUTURA SE...ENTÃO Se V então V = V Se V então F = F Se F então V = V Se F então F = V Essa é a tabela-verdade da Estrutura Se...então. Ela lista todas as possibilidades para as proposições com a estrutura. Sabendo isso, devemos deixar claro que Equivalentes Lógicos são proposições em que as tabelas-verdade são iguais. Vamos ver com mais detalhes nas questões. Resumidamente, vou sintetizar as proposições equivalentes na tabela abaixo: Prof. Karine Waldrich 9

10 PROPOSIÇÃO CONDICIONAL Se...então p q BICONDICION AL Se somente se p q DISJUNÇÃO EXCLUSIVA Ou...Ou... p v q EQUIVALENTES LÓGICOS PROPOSIÇÃO EXEMPLO EQUIVALENTE ~q ~p (É a condicional com os termos invertidos e negados) ~p v q q v ~p (É a disjunção com o primeiro termo da condicional negado) (p q) ^ (q p) (É a condicional de ida E a condicional de volta) p ~q ~p q (É a bicondicional com o um dos termos negados) Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira se e somente se o Neymar é jogador da Seleção Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira ou o Neymar é jogador da Seleção RESULTADO Se o Neymar não é jogador da Seleção então o Mano Menezes não é o técnico da Seleção Brasileira. O Mano Menezes não é o técnico da Seleção Brasileira ou o Neymar é jogador da Seleção O Neymar é jogador da Seleção ou o Mano Menezes não é o técnico da Seleção Brasileira. Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção E Se o Neymar é jogador da Seleção então o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira se e somente se o Neymar não é jogador da Seleção O Mano Menezes não é o técnico da Seleção Brasileira se e somente se o Neymar é jogador da Seleção 1.6 Negação de proposições Prof. Karine Waldrich 10

11 Negar uma proposição é inverter o seu sentido. Falando em termos de tabelaverdade, uma proposição é negação de outra quando suas tabelas-verdade forem opostas (o que é Verdadeiro em uma, é Falso em outra, e vice-versa). Sintetizei as negações na tabela abaixo. Veremos como funciona na prática durante os exercícios comentados. NEGAÇÃO NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS EXEMPLO COMO FAZER (Passo-a-passo) RESULTADO Negação de conjunção = ~(p ^ q) Negação de (O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira e o Neymar é jogador da Seleção) OBS: existem duas maneiras de se negar uma conjunção. Na primeira, forma-se uma disjunção (p OU q). Na segunda, forma-se uma condicional (se p, então q). Para se formar uma disjunção: 1º: Negar a primeira (p) 2º: Negar a segunda (q) 3: Trocar o e por ou Para se formar uma condicional: 1º: Manter a primeira (p) 2º: Negar a segunda (q) 3: Trocar o e por O Mano Menezes não é o técnico da Seleção Brasileira ou o Neymar não é jogador da Seleção = ~p v ~q Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar não é jogador da Seleção = p ~q Negação de disjunção = ~(p v q) Negação de (O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira ou o Neymar é jogador da Seleção) 1º: Negar a primeira (p) 2º: Negar a segunda (q) 3: Trocar o ou por e O Mano Menezes não é o técnico da Seleção Brasileira ou o Neymar não é jogador da Seleção = Negação de disjunção exclusiva Negação de (Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção 1º: Substituir o v por ~p ^ ~q O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira se e Prof. Karine Waldrich 11

12 = ~(p v q) Brasileira ou o Neymar é jogador da Seleção) OBS: vocês se lembram que já vimos isso, quando falamos sobre o conectivo Se e somente se? somente se o Neymar é jogador da Seleção = Negação de condicional = ~(p q) Negação de (Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira então o Neymar é jogador da Seleção) 1º: Manter a primeira (p) 2º: Negar a segunda (q) 3: Trocar o por e p q O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira e o Neymar não é jogador da Seleção = Negação de bicondicion al = ~(p q) Negação de (O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira se e somente se o Neymar é jogador da Seleção) 1º: Substituir o por v OBS: reparem que estamos fazendo o inverso do que fizemos acima (na negação da disjunção exclusiva) p ^ ~q Ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira ou o Neymar é jogador da Seleção = p v q Muitas vezes, as questões propõem negações de expressões matemáticas. Veja abaixo como elas ocorrem: Expressão Negação Exemplo = ~(x = 7) = x 7 = ~(x 7) = x = 7 < ~(x 7) = x < 7 > ~(x > 7) = x 7 > ~(x 7) = x < 7 < ~(x < 7) = x 7 Veremos mais sobre isso nos exercícios. 1.7 Tautologia e Contradição A Tautologia e a Contradição são nomes dados quando: Tautologia: a tabela-verdade da proposição possui todas as linhas iguais a V. Prof. Karine Waldrich 12

13 Por exemplo, vejam a proposição [ B]v{[ B]A} (OBS: (cantoneira) significa o mesmo que o ~, ou seja, negação): A B ~B {[ B]A} [ B]v{[ B]A} V V F V V V F V V V F V F V V F F V F V Contradição: a tabela-verdade da proposição possui todas as linhas iguais a F. Por exemplo, vejam a proposição ~[p v ~(p ^ q)]: p q p ^ q ~(p ^ q) p v ~(p ^ q) ~[p v ~(p ^ q)] V V V F V F V F F V V F F V F V V F F F F V V F 1.8 Estruturas Todo, Algum e Nenhum Diagramas Lógicos Diagramas Lógicos são mecanismos utilizados para expressar proposições que alguns matemáticos chamam de categóricas : Todo, algum, nenhum. Quando dizemos, por exemplo: todo brasileiro é uma pessoa inteligente. Podemos traduzir a ideia dessa frase em um diagrama: Pessoa inteligente Brasileiro Vamos ver todas as possibilidades para a frase acima: Prof. Karine Waldrich 13

14 Brasileiro Pessoa inteligente Todo brasileiro é uma pessoa inteligente V V Verdadeiro, pois se ele for brasileiro, será uma pessoa inteligente (dentro da área amarela do diagrama) V F Falso, pois não existe a possibilidade de ser brasileiro e não ser uma pessoa inteligente F V Verdadeiro, pois ele pode ser uma pessoa inteligente e não ser brasileiro (estar na área laranja do diagrama) F F Verdadeiro, pois ele pode não ser brasileiro e, assim, não ser uma pessoa inteligente (estar fora do diagrama, na área em cinza) Portanto, a única possibilidade de a frase ser falsa é no caso em que o sujeito é brasileiro e não é uma pessoa inteligente, pois essa possibilidade não existe. A tabela acima é igual à tabela-verdade da estrutura Se...então. Podemos dizer, então, que Todo brasileiro é uma pessoa inteligente e Se é brasileiro, então é uma pessoa inteligente são equivalentes. Passando para outra estrutura: o algum. Podemos dizer: Alguns brasileiros são pessoas inteligentes. Isso pode ser representado através do diagrama abaixo: Prof. Karine Waldrich 14 Pessoa

15 Brasileiro Agora, todas as possibilidades são possíveis. O sujeito pode ser brasileiro e ser ou não uma pessoa inteligente, assim como pode ser inteligente e ser ou não brasileiro. Portanto, é importante frisar que, neste caso, alguns brasileiros são pessoas inteligentes e algumas pessoas inteligentes são brasileiras são frases equivalentes: Pessoa inteligente Brasileiro = Brasileiro Pessoa inteligente Passemos para o nenhum. Podemos dizer: nenhum brasileiro é uma pessoa inteligente. Isso é representado através do diagrama abaixo: Prof. Karine Waldrich 15 Pessoa

16 Brasileiro Dizer nenhum brasileiro é uma pessoa inteligente e nenhuma pessoa inteligente é brasileira são expressões equivalentes, como podemos ver pelo diagrama acima. Vamos colocar todas as possibilidades de nenhum brasileiro é uma pessoa inteligente numa tabela: Brasileiro Pessoa inteligente Nenhum brasileiro é uma pessoa inteligente V V Falso, pois se ele for brasileiro, não será uma pessoa inteligente V F Verdadeiro, pois se ele for brasileiro, não será uma pessoa inteligente F V Falso, pois se ele não for brasileiro, pode ou não ser uma pessoa inteligente (não estar dentro do diagrama amarelo não significa necessariamente estar dentro do diagrama laranja. Pode estar na área em cinza) F F Falso, pois a pessoa pode não ser brasileira e ser inteligente Percebam que a tabela-verdade acima é igual à tabela-verdade da estrutura Se...~então. Vou fazer a Se...~então para vocês verem: Prof. Karine Waldrich 16

17 Brasileiro Pessoa inteligente DNIT RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Pessoa nãointeligente Se é brasileiro, então não é uma pessoa inteligente V V F Falso, pois se ele for brasileiro, é verdadeiro dizer que não será uma pessoa inteligente, e não falso V F V Verdadeiro, pois se ele for brasileiro, não será uma pessoa inteligente F V F Falso, pois se ele não for brasileiro, pode ou não ser uma pessoa inteligente (é falso dizer que, só por não ser brasileiro, será inteligente) F F V Falso, pois a pessoa pode não ser brasileira e ser inteligente Portanto, são equivalentes as frases nenhum brasileiro é inteligente e se é brasileiro, então não é inteligente. Vamos, ainda, falar sobre a negação do Todo, Algum e Nenhum. Primeiramente, o Todo. Qual a negação de Todo A é B? B A Podemos pensar que seria Nenhum A é B: B A Mas vejam que não, necessariamente. Se houver algum A que não for B, a frase Todo A é B já está falsa. Portanto, basta ter a certeza de que há Algum A não é B. Prof. Karine Waldrich 17

18 Assim, a negação de Todo A é B é Algum A não é B. ~ (Todo A é B) = Algum A não é B Por exemplo: Todo múltiplo de 100 é divisível por 5. A negação é Algum múltiplo de 100 não é divisível por 5. Agora passamos à negação do Algum. Algum A é B: B A O Algum indica que pelo menos 1 A é B. A negação disso é dizer que nenhum A é B. Como a palavra diz, nem-hum (nem um). São totalmente separados: B A ~ (Algum A é B) = Nenhum A é B Já a negação do Nenhum é o contrário do que vimos acima. Negar que Nenhum A é B é dizer que Algum A é B. ~ (Nenhum A é B) = Algum A é B Essas estruturas são bem cobradas em concurso. Prof. Karine Waldrich 18

19 Por fim, vamos às questões. Primeiramente, veremos as questões do Todo, Algum e Nenhum. Depois passamos às demais questões de RL, que não se relacionam a conteúdo específico. Prof. Karine Waldrich 19

20 2. Questões comentadas. DNIT RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Questão 1 ESAF/SMF-RJ/Fiscal de Rendas/2010 A proposição um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par equivale logicamente à proposição: a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar. c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar. d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par. e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par. Temos a proposição: um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par. Ou seja, colocando em termos de letras e símbolos: p = um número inteiro é par; q = seu quadrado for par; A proposição fica: p q. Pela tabela da questão anterior, vemos que o equivalente da bicondicional é: Proposição Equivalente p q (p q) ^ (q p) Então, o equivalente da proposição do enunciado é: (p q) = Se um número inteiro é par, então o seu quadrado é par (q p) = Se o quadrado de um número inteiro é par, então o número inteiro é par. Com a proposição E, fica: Se um número inteiro é par, então o seu quadrado deve ser par, E se o quadrado de um número inteiro for par, então o número inteiro é par. Vejamos as alternativas: Prof. Karine Waldrich 20

21 a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar. c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar. d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par. e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par. Vejam que não há nenhuma frase igual a que encontramos. Então, vamos ver se não há nenhuma frase equivalente a (p q) ou (q p). Vimos que o equivalente do Se então é: Proposição Equivalente ~q ~p p q ~p v q As alternativas não usam o OU, apenas o Se então. Então, vamos usar o equivalente: p q = ~q ~p. A nossa frase (que encontramos) é: Se um número inteiro é par, então o seu quadrado deve ser par, E se o quadrado de um número inteiro for par, então o número inteiro é par. Vamos pegar as alternativas mais parecidas com essa que encontramos. Vejam que são a letra A e a letra D: a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par. A primeira parte é igual a que temos, a segunda está diferente. Vamos fazer o equivalente da segunda parte da nossa frase, para ver com qual alternativa fica igual. Temos: Prof. Karine Waldrich 21

22 (p q) = Se um número inteiro é par, então o seu quadrado é par (Ok, é igual as das alternativas A e D). (q p) = Se o quadrado de um número inteiro é par, então o número inteiro é par (é diferentes das alternativas A e D). O equivalente do (q p) é ~p ~q, ou seja: Se o número inteiro não é par, então o quadrado do número inteiro não é par. Percebam que essa é a segunda parte que está na alternativa A. Ou seja, a alternativa A é a correta, equivalente à frase do enunciado. Portanto, temos: um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par = se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par. Resposta: Letra A. Questão 2 ESAF/MPOG/EPPGG/2009 A negação de Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José é: a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha. c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José. d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema. e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José. Nessa questão, falamos sobre a negação de proposições. Mais especificamente, sobre a negação do OU e do E. A negação mais importante, de todas as que vimos, e que mais cai, é: Da mesma forma: Proposição Negação p OU q ~p E ~q Proposição Negação p E q ~p OU ~q A questão fornece a seguinte proposição: Prof. Karine Waldrich 22

23 Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José. Colocando em letras em símbolos, temos: p = Maria comprou uma blusa nova q = Foi ao cinema com José A proposição é p E q. A negação é ~p OU ~q: Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. Essa é exatamente a letra A. Resposta: Letra A. Questão 3 ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. b) Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Milão não é a capital da Itália. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. Como vimos na aula, há vários tipos de negações. A mais comum é a negação do E (que vira OU) e do OU (que vira E), que vimos na questão anterior: ~(p E q) = ~p OU ~q ~(p OU q) = ~p E ~q Essa questão cobra simplesmente isso. Temos: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra. p = Milão é a capital da Itália q = Paris é a capital da Inglaterra Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra = p OU q. A negação do p OU q é ~p E ~q, que fica: ~p = Milão não é a capital da Itália ~q = Paris não é a capital da Inglaterra ~p E ~q = Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. Prof. Karine Waldrich 23

24 Resposta: Letra A. DNIT RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Questão 4 ESAF/RFB/AFRFB/2009 Considere a seguinte proposição: Se chove ou neva, então o chão fica molhado. Sendo assim, pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. Mais uma questão de equivalente, do concurso da Receita de Nessa questão, só se usam proposições Se Então. Sabemos que: Proposição Equivalente ~q ~p p q ~p v q Nessa questão vamos usar o equivalente p q = ~q ~p. Temos: Se chove ou neva, então o chão fica molhado Colocando em termos de símbolos: p = chove ou neva q = o chão fica molhado Temos: p q, cujo equivalente é ~q ~p, que é: ~q = o chão não ficou molhado ~p = negação de chove ou neva. Vimos na questão anterior que a negação do OU é o não E. Ou seja: Assim: Proposição Negação p OU q ~p E ~q ~p = negação de chove ou neva = não choveu E não nevou. Prof. Karine Waldrich 24

25 Assim, temos que: ~q ~p = Se o chão não ficou molhado, então não choveu e não nevou. Vejamos as alternativas: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. A questão considerou que não ficou molhado = está seco. Então, nossa frase fica: Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. Essa frase é igual à letra E. Resposta: Letra E. Questão 5 ESAF/MPOG/APO/2010 Sejam F e G duas proposições e ~F e ~G suas respectivas negações. Marque a opção que equivale logicamente à proposição composta: F se e somente G. a) F implica G e ~G implica F. b) F implica G e ~F implica ~G. c) Se F então G e se ~F então G. d) F implica G e ~G implica ~F. e) F se e somente se ~G. Questão sobre os apelidos dos conectivos. Vimos que o implica é um apelido do Se...Então. Assim, a frase A implica B é equivalente à frase Se A então B. O enunciado pede o equivalente de F se e somente se G. Já vimos que o equivalente do se e somente se é: Proposição Equivalente p q (p q) ^ (q p) Prof. Karine Waldrich 25

26 Então: F se e somente se G = Se F então G E se G então F. Não existe alternativa assim. Algumas alternativas usam o implica. Vamos substituir o Se então pelo implica (seu apelido): F se e somente se G = Se F então G E se G então F = F implica G E G implica F. Também não existe alternativa assim. Mas vejam que, nas alternativas, os segundos termos estão negados (com o ~ ). Sabemos que o equivalente do Se A então B (p q) é o Se não B, então não A (~q ~p). Ou seja, trocando o Se então pelo apelido, o equivalente de A implica B (p q) é o não B implica não A (~q ~p). Trocando o segundo termo da proposição que encontramos pelo seu equivalente: F se e somente se G = Se F então G E se G então F = F implica G E G implica F = F implica G E não F implica não G = F implica G E ~F implica ~G. Essa é exatamente a letra B. Resposta: Letra B. Questão 6 ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Considere que: se o dia está bonito, então não chove. Desse modo: a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. c) chover é condição necessária para o dia estar bonito. d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. Mais uma questão com apelidos dos conectivos. Vimos na aula que: Se A então B = A é condição suficiente para B = B é condição necessária para A. Lembrem-se do Macete do Sol e Nuvem (Sol = suficiente = dia de sol = diretamente. Nuvem = necessária = dia nublado = tem que inverter A e B). Assim, temos: Prof. Karine Waldrich 26

27 se o dia está bonito, então não chove : A = dia está bonito B = não chove Se A então B = A é condição suficiente para B = O dia estar bonito é condição suficiente para não chover. Igualmente: Se A então B = B é condição necessária para A = Não chover é condição necessária para o dia estar bonito. A frase acima é exatamente a letra A. Resposta: Letra A. Questão 7 ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. Essa questão é de uma linha que a ESAF vem adotando. Em que ela pede que realmente utilizemos conhecimentos prévios para resolver. Ou seja, temos de manjar de Geografia: saber que Roma é a capital da Itália, Londres é a Capital da Inglaterra, Paris é a capital da França... A ESAF fez isso também com outros tipos de conhecimentos, que são pedidos no edital, por exemplo: Álgebra, Geometria, etc (veremos questões a seguir). Assim, vamos analisar cada alternativa: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. Roma é a Capital da Itália, mas Londres não é a capital da França. Assim, temos Se V então F, que é o caso proibido, cujo valor lógico é sempre Falso. Alternativa falsa. Prof. Karine Waldrich 27

28 b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. Londres é a capital da Inglaterra (V). Mas Paris não é a capital da França é F, porque Paris é a capital da França. Ou seja, temos Se V então F. Valor lógico Falso. Alternativa Falsa. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. Temos uma proposição da forma A E B OU C. Guardem isso: sempre juntamos o A E B, primeiro. Podemos até substituir: A E B = D. Assim, temos D OU C. Vamos ver se D = A E B é Verdadeiro ou Falso: A = Roma é a capital da Itália = V B = Londres é a capital da França = F Assim, A E B = V E F = F (o E, para ser V, exige que ambas sejam V). C = Paris é a capital da França = V. Assim, temos D OU C = F OU V = V (para o OU, basta uma ser V). Assim, o valor lógico da proposição é V. Alternativa correta. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra. Novamente, temos A E B OU C: A = Roma é a capital da Itália = V B = Londres é a capital da França = F A E B = V E F = F. C = Paris é a capital da Inglaterra = F. Prof. Karine Waldrich 28

29 Assim, temos F OU F = F. Alternativa falsa. DNIT RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. Roma é a capital da Itália (V), mas Londres não é a capital da Inglaterra é Falso, porque Londres é a capital da Inglaterra. Temos, portanto, V E F, cujo valor lógico é F. Alternativa falsa. Resposta: Letra E. Questão 8 ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009 Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 e = 9 b) Se 3 = 3, então = 9 c) Se 3 = 4, então = 9 d) 3 = 4 ou = 9 e) 3 = 3 se e somente se = 9 Mais uma questão em que utilizamos conhecimentos prévios. Passemos à análise das alternativas. a) 3 = 4 e = 9 3 = 4: Falso = 9: Falso. Ou seja, temos F E F = Falso. b) Se 3 = 3, então = 9 3 = 3: Verdadeiro = 9: Falso. Temos o caso Se V então F, que é o caso proibido. Falso. c) Se 3 = 4, então = 9 3 = 4: Falso. Prof. Karine Waldrich 29

30 3 + 4 = 9: Falso. DNIT RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Sabemos que Se F então F é Verdadeiro. Alternativa correta. d) 3 = 4 ou = 9 3 = 4: Falso = 9: Falso. Temos F OU F. Falso. e) 3 = 3 se e somente se = 9 3 = 3: Verdadeiro = 9: Falso. No Se e somente se, a proposição só é Verdadeira se ambas forem Verdadeiras ou se ambas forem Falsas. Aqui, temos uma Verdadeira e uma Falsa. Falso. Resposta: Letra C. Questão 9 ESAF/Ministério da Fazenda/ATA/2009 X e Y são números tais que: Se X 4, então Y>7. Sendo assim: a) Se X 4, então Y < 7. b) Se Y > 7, então X 4. c) Se Y < 7, então X 4. d) Se Y 7, então X > 4. e) Se X < 4, então Y 7. Questão sobre o equivalente do Se então. Vimos que p q = ~q ~p. Assim: Se X 4, então Y > 7: p = X 4 q = Y > 7 p q. A negação é: Prof. Karine Waldrich 30

31 ~p = X > 4 ~q = Y 7 A proposição equivalente é: ~q ~p = Se Y 7, então X > 4. Resposta: Letra D. Questão 10 ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos de Engenharia/2010 Por definição, um triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais. Considere então a proposição: Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais. Uma conclusão falsa desta proposição é: a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais. b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais. d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo não é equilátero. e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos outros. Mais uma questão que é, supostamente, de Geometria, mas no fundo é de Lógica. Vamos ver um pouco sobre Geometria na aula 3, mas, mesmo assim, conseguimos resolver a questão, pois o enunciado explica o necessário. A questão fornece uma proposição e pede a conclusão falsa. Ou seja, ela quer saber qual das frases não é equivalente à frase do enunciado. Vamos à análise das alternativas: a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais. A frase do enunciado é Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais. Ou seja: p = Um triângulo é equilátero q = Três ângulos são iguais Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais = p q. Prof. Karine Waldrich 31

32 Vimos que o apelido do Se e somente se é o condição necessária e suficiente. Assim: A SE E SOMENTE SE B = A É CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA B. Para o Se e Somente Se não importa a ordem (ele é igual ao OU). A se e somente se B é o mesmo que B se e somente se A (assim como A OU B é o mesmo que B OU A). Portanto, não importa como a frase foi arranjada, ela diz isso: A é condição necessária e suficiente para B. E isso é o mesmo que A se e somente se B. Alternativa verdadeira, portanto não é resposta da questão (a questão pede a falsa). b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. Essa alternativa não envolve lógica, só geometria. Se a frase do enunciado é Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais, é possível concluir que os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. Alternativa verdadeira (não é resposta). c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais. Não entendi essa alternativa, ela só repete a frase do enunciado. Alternativa correta (não é resposta). d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo não é equilátero. Mais uma vez, só geometria. Se um dos ângulos é diferente, então o triângulo não é equilátero. Alternativa verdadeira (não é resposta). e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos outros. Mais uma vez, só geometria. Se um triângulo é equilátero, não significa que os três ângulos tem de ser diferentes, e sim que um deles deve ser diferente. 2 podem ser iguais e um diferente (é o triângulo isósceles). Alternativa falsa. Prof. Karine Waldrich 32

33 Resposta: Letra E. DNIT RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Questão 11 ESAF/MTE/AFT/2010 Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo: a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo. b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular. c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular. d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo. Questão com o jeito da anterior, mas mais capciosa. Vamos diretamente à análise das alternativas. a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo. A frase do enunciado é: Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Ou seja, o poliedro convexo é regular se e somente se for A OU B OU C... Não podemos concluir que se o poliedro convexo for regular, ele É um cubo. Pode ser um tetraedro OU um octaedro OU C OU D... Alternativa falsa. b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular. Igual à alternativa anterior. Se não for um cubo, pode ser um tetraedro OU B OU C... e ser regular mesmo assim. Alternativa falsa. c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular. A questão fala apenas em poliedro (sem dizer que é convexo). O poliedro pode ser regular e não ser um cubo, nem B, nem C nem D... É só ser algum outro tipo de poliedro regular (não necessariamente convexo). Prof. Karine Waldrich 33

34 Alternativa falsa. d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Igual à anterior. O poliedro pode não ser um tetraedro, B, C... e ainda não ser regular. Isso se for outro tipo de poliedro (não convexo). Alternativa falsa. e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo. Essa alternativa também suprime o convexo. Mas vejam só. O enunciado diz que um cubo é um poliedro convexo regular. Ou seja, o cubo é regular. Ou seja, se o poliedro não for regular, com certeza não será um cubo. Porque o cubo é regular. Por isso, a alternativa está certa. Questão para atentos. Resposta: letra E. Questão 12 ESAF/MPOG/APO/2010 Questão que, para resolver, precisamos construir as tabelas-verdade. As alternativas a e e se referem à proposição (F v G) ^ ~(~F ^~G). Já as alternativas b, c e d se referem à proposição (F v G) ^ (~F ^~G). Vamos construir cada uma das tabelas-verdade e ver qual alternativa está correta. Primeiramente, a tabela-verdade da estrutura (F v G) ^ (~F ^~G) (para fazer a outra apenas negamos o segundo termo): Prof. Karine Waldrich 34

35 F G F v G ~F ~G ~F ^ ~G (F v G) ^ (~F ^~G) V V V F F F F V F V F V F F F V V V F F F F F F V V V F Ou seja, pela tabela-verdade acima, a expressão (F v G) ^ (~F ^~G) é uma contradição, pois, não importa qual os valores de F ou G, a expressão sempre retorna um valor lógico Falso. Assim, já podemos marcar a alternativa correta, que é a letra C. Vamos fazer a estrutura (F v G) ^ ~(~F ^~G), apenas negando a penúltima coluna da tabela acima: F G F v G ~F ~G ~F ^ ~G ~(~F ^ ~G) (F v G) ^ ~(~F ^~G) F ^ G V V V F F F V V V V F V F V F V V F F V V V F F V V F F F F V V V F F F A letra a afirma que a estrutura acima é contradição (não é, porque para 3 valores de F e G a estrutura é verdadeira), e a letra e afirma que é igual à F ^ G. Coloquei F ^ G na última coluna da tabela, para vocês verem como é diferente. Resposta: Letra C. Questão 13 ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Entre as opções abaixo, qual exemplifica uma contradição formal? a) Sócrates não existiu ou Sócrates existiu. b) Sócrates era ateniense ou Sócrates era espartano. c) Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo. d) Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo. e) Todo filósofo era ateniense e algum filósofo era espartano. Vimos que a contradição ocorre quando, para qualquer valor lógico das proposições simples, a proposição composta é sempre Falsa. Vamos analisar cada alternativa: a) Sócrates não existiu ou Sócrates existiu. Prof. Karine Waldrich 35

36 Temos uma estrutura OU. O OU é só é Falso quando as duas proposições simples forem Falsas. As duas proposições simples são uma a negação da outra. Quando Sócrates não existiu for Falso, Sócrates existiu será Verdadeiro. E o contrário também ocorrerá: quando Sócrates existiu for Falso, Sócrates não existiu será Verdadeiro. Ou seja, a frase será sempre Verdadeira, pois uma das proposições sempre será Verdadeira. Ou seja, trata-se de uma tautologia (sempre V) e não de uma contradição (sempre F). Alternativa errada. b) Sócrates era ateniense ou Sócrates era espartano. Nesta frase, também temos a proposição OU, mas uma proposição simples não é o contrário da outra. Sócrates pode ter sido ateniense, ou espartano, ou de qualquer outro lugar. Assim, a frase pode ser Verdadeira (se Sócrates era ateniense for V ou Sócrates era espartano for V) ou Falsa (se Sócrates não era nem ateniense e nem espartano). Dessa forma, a frase não é uma contradição (não é sempre F). Alternativa errada. c) Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo. d) Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo. Vamos ver as duas alternativas juntas, pois elas diferem apenas pelo E ou OU. Sabemos que o Todo é equivalente do Se...então. Então, podemos substituir os Todos acima por Se...então : Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo = Se era filósofo, era ateniense E se era ateniense, era filósofo. Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo = Se era filósofo, era ateniense OU se era ateniense, era filósofo. Se era filósofo for V e se era ateniense também for V, teremos: Se V, então V E se V, então V, na alternativa C. Como Se V, então V é sempre V, teremos V E V, que é sempre V. Da mesma forma, teremos V OU V, que é sempre V. Prof. Karine Waldrich 36

37 Se um dos dois for F ( era filósofo for F ou era ateniense for F), em alguma das duas proposições teremos Se V, então F, que é sempre F. Neste caso, na alternativa C teremos F E V (ou então V E F), que será F. Já na alternativa D teremos F OU V (ou V OU F), que será sempre V. Se era filósofo for F e era ateniense também for F, teremos, na proposição C, Se F, então F E se F, então F, que será V E V, ou seja, V. Da mesma forma, teremos V OU V na proposição D, que é sempre V. Assim, na alternativa C teremos casos em que a proposição é V e casos em que a proposição é F. Já a alternativa D será sempre V. Em ambos os casos, não há contradição. Alternativa errada. e) Todo filósofo era ateniense e algum filósofo era espartano. Já podemos deduzir que esta é alternativa certa. E vejam, sem grande análise podemos ver que há uma contradição, e que a frase será sempre falsa. Isso porque temos o E, então, para a frase ser Verdadeira, Todo filósofo era ateniense deve ser Verdadeiro e Todo filósofo era espartano deve ser Verdadeiro, ao mesmo tempo. Agora, vejam: Se todo filósofo era ateniense, é porque nenhum filósofo era espartano, certo? Ou seja, quando Todo filósofo era ateniense for V, algum filósofo era espartano será F. As proposições nunca serão V ao mesmo tempo. Assim, a proposição composta será sempre Falsa. Alternativa certa. Resposta: Letra E. Questão 14 ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Considerando as seguintes proposições: Alguns filósofos são matemáticos e não é verdade que algum poeta é matemático, podese concluir apenas que: a) algum filósofo é poeta. b) algum poeta é filósofo. c) nenhum poeta é filósofo. d) nenhum filósofo é poeta. e) algum filósofo não é poeta. Vamos analisar as frases do enunciado. Prof. Karine Waldrich 37

38 Alguns filósofos são matemáticos: sabemos que a frase é equivalente a Alguns matemáticos são filósofos, também. Filósofos Matemáticos Não é verdade que algum poeta é matemático = ~(Algum poeta é matemático). Vimos que a negação do algum é o nenhum, então a frase fica: Nenhum poeta é matemático. Poeta Matemáticos Podemos juntar os dois diagramas: Filósofos Matemáticos Poeta Prof. Karine Waldrich 38

39 As alternativas relacionam filósofo e poeta. Reparem que podem até haver filósofos que são poetas. Não sabemos. A única coisa que sabemos, com certeza, é que há alguns filósofos que não serão poetas, pois são os filósofos que são matemáticos, e, como vimos, nenhum poeta é matemático. Assim, passemos à análise das alternativas: a) algum filósofo é poeta. Não, pois, como vimos, sabemos que alguns filósofos não são poetas. b) algum poeta é filósofo. Não sabemos. O que sabemos é que alguns filósofos não são poetas. c) nenhum poeta é filósofo. Não podemos afirmar que nenhum poeta é filósofo. Pode até haver poetas filósofos, o que há, com certeza, são filósofos que não são poetas. d) nenhum filósofo é poeta. Não podemos afirmar que nenhum poeta é filósofo. Pode até haver poetas filósofos, o que há, com certeza, são filósofos que não são poetas. e) algum filósofo não é poeta. É exatamente isso, como explicamos acima. Resposta: Letra E. Questão 15 ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Numa empresa de nanotecnologia, sabe-se que todos os mecânicos são engenheiros e que todos os engenheiros são pós-graduados. Se alguns administradores da empresa também são engenheiros, pode-se afirmar que, nessa empresa: a) todos os administradores são pós-graduados. b) alguns administradores são pós-graduados. c) há mecânicos não pós-graduados. d) todos os trabalhadores são pós-graduados. e) nem todos os engenheiros são pós-graduados. Mais uma questão da mesma prova. Essa prova (EPPGG 2009) cobrou 5 questões com o Todo-Algum-Nenhum. Para resolver vamos, mais uma vez, fazer os diagramas. Quando há a estrutura Algum é mais fácil fazer por diagramas. Se só há o Todo e o Nenhum, fica mais fácil substituir pelo Se...então e pelo Se...~então. Prof. Karine Waldrich 39

40 Temos: Todos os mecânicos são engenheiros: Engenheiros Mecânicos Todos os engenheiros são pós-graduados: Pós-graduados Engenheiros Mecânicos Alguns administradores da empresa também são engenheiros: Se alguns administradores da empresa também são engenheiros, temos que há administradores dentro do círculo laranja dos engenheiros (e também pode haver fora. O que sabemos com certeza é que há dentro): Prof. Karine Waldrich 40

41 Administradores Pós-graduados Engenheiros Mecânicos Passemos à análise das alternativas: a) todos os administradores são pós-graduados. Alguns administradores são engenheiros. Neste caso, são pós-graduados, pois todos os engenheiros são pós-graduados. Mas pode haver administradores que não são engenheiros e, neste caso, não sabemos se são pós-graduados ou não. Alternativa falsa. b) alguns administradores são pós-graduados. Como alguns administradores são engenheiros, e todos os engenheiros são pós-graduados, então com certeza alguns administradores são pós-graduados. Alternativa correta. c) há mecânicos não pós-graduados. Todos os mecânicos são engenheiros e todos os engenheiros são pósgraduados. Assim, todos os mecânicos são pós-graduados. Alternativa falsa. d) todos os trabalhadores são pós-graduados. Não, pois os administradores que não são engenheiros, por exemplo, podem não ter pós-graduação. É a área cinza do desenho. Alternativa falsa. Prof. Karine Waldrich 41

42 e) nem todos os engenheiros são pós-graduados. Não, pois todos os engenheiros são pós-graduados. Alternativa errada. Resposta: Letra B. Questão 16 ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Admita que, em um grupo: se algumas pessoas não são honestas, então algumas pessoas são punidas. Desse modo, pode-se concluir que, nesse grupo: a) as pessoas honestas nunca são punidas. b) as pessoas desonestas sempre são punidas. c) se algumas pessoas são punidas, então algumas pessoas não são honestas. d) se ninguém é punido, então não há pessoas desonestas. e) se todos são punidos, então todos são desonestos. Temos o algum dentro de uma estrutura Se...então. A questão quer saber o equivalente da frase do enunciado, que é: se algumas pessoas não são honestas, então algumas pessoas são punidas. Podemos dizer que: p = algumas pessoas não são honestas q = algumas pessoas são punidas, A frase fica: p q. Já sabemos que o equivalente do p q é o ~q ~p. Então, o equivalente desta frase é: ~q = ~(algumas pessoas são punidas) = nenhuma pessoa é punida. ~p = ~(algumas pessoas não são honestas) = nenhuma pessoa não é honesta. ~q ~p = Se nenhuma pessoa é punida, então nenhuma pessoa não é honesta. Substituindo o não é honesta por desonesta, temos: ~q ~p = Se nenhuma pessoa é punida, então nenhuma pessoa não é honesta = Se nenhuma pessoa é punida, então nenhuma pessoa é desonesta. Prof. Karine Waldrich 42

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