Raciocínio Lógico. Sentenças Abertas

Transcrição

1 Raciocínio Lógico

2 Sentenças Abertas Sentenças matemáticas abertas ou simplesmente sentenças abertas são expressões que não podemos identificar como verdadeiras ou falsas. Exemplos: Ø x + 4 = 12. Essa expressão pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor da incógnita x. Ø Ele esta estudando. Nessa outra, precisaríamos saber de quem está se falando para poder atribuir valor lógico à sentença.

3 Sentenças Fechadas ou Proposições Sentenças matemáticas fechadas ou proposições são expressões que podemos identificar como verdadeiras ou falsas. Exemplos: Ø = 12. Essa expressão é falsa, logo uma proposição Ø Dudan está estudando para preparar suas aulas. Essa outra também pois sabemos ser uma eterna verdade.

4 Proposições Compostas Proposição composta é a união de proposições simples por meio de um conector lógico. Esse conector irá ser decisivo para o valor lógico da expressão. Proposições podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lógicos. Conectores que criam novas sentenças mudando ou não seu valor lógico (Verdadeiro ou Falso).

5 Proposições Compostas Uma proposição simples possui apenas dois valores lógicos, verdadeiro ou falso. Já proposições compostas terão mais do que duas possibilidades distintas de combinações dos seus valores lógicos. Portanto, de acordo com o número de proposições simples que compõem uma proposição composta, montamos a tabela verdade com um número de linhas que pode ser calculado elevando o algarismo 2 ao numero de proposiçoes simples que usaremos. Exemplo: Uma proposição composta construída com duas simples terá 4 linhas na sua tabela verdade. Isso porque 2² = 4; Caso tenhamos 3 proposições simples compondo a composta, teremos 2³ = 8 linhas na tabela verdade e assim por diante.

6 Conjunção Conectivos : e / ^ Tabela Verdade: V V = V Exemplo: Dudan viaja e ensina Matemática. Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Dudan viaja e ensina Matemática. p ^ q V V V V F F F V F F F F Se usarmos Teoria dos Conjuntos, basta lembrar que p ^ q é a intersecção, logo a região que pertence a ambos, portanto é onde ambos se confirmam Verdadeiros.

7 Mais Exemplos: Adoro Matemática e passarei nesse concurso. Vou ser nomeado e agradecerei aos professores.

8 Disjunção Inclusiva Conectivos : ou / v Tabela Verdade: F F = F Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática. Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Dudan viaja ou ensina Matemática. p v q V V V V F V F V V F F F Se usarmos Teoria dos Conjuntos, basta lembrar que p v q é a união, logo toda a região que é limitada pelos conjuntos, portanto é onde algum deles se confirma Verdadeiro.

9 Mais Exemplos: Adoro Matemática ou passarei nesse concurso. Vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

10 Condicional Conectivos : Se...então / à Tabela Verdade: V F = F Vera Fischer Falsa Exemplo: Se Dudan viaja então ensina Matemática. Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. p à q V V V V F F F V V F F V Na Condicional temos uma ideia de causa e efeito. Assim a proposição inicial é a condição necessária e a outra, a condição suficiente.

11 Mais Exemplos: Se adoro Matemática então passarei nesse concurso. Se vou ser nomeado então agradecerei aos professores.

12 Disjunção Exclusiva Conectivos : Ou...ou... / v Tabela Verdade: V V = F e F F = F Exemplo: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. p v q V V F V F V F V V F F F Se usarmos Teoria dos Conjuntos, basta lembrar que p v q a região de exclusividade dos conjuntos, portanto é onde somente um deles se confirma Verdadeiro.

13 Mais Exemplos: Ou adoro Matemática ou passarei nesse concurso. Ou vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

14 Bicondicional Conectivos : Se e somente se... / ßà Tabela Verdade: F F = V e V V = V Exemplo: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática. Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. p ßà q V V V V F F F V F F F V Podemos entender a bicondicional como uma condicional de ida e outra de volta.

15 Mais Exemplos: Adoro Matemática se e somente se passarei nesse concurso. Vou ser nomeado se e somente se agradecerei aos professores.

16 Negação Simples Para negar uma sentença acrescentamos o não ou o retiramos, sem mudar a estrutura da frase, mas mudando seu valor lógico. Exemplo: Dudan adora Matemática. Negação: Dudan não adora Matemática. Exemplo: Amanha não vai chover. Negação: Amanha vai chover.

17 Negação de Proposições Compostas Negar uma proposição composta não é tão simples como negar uma proposição simples mas a ideia de mudar seu valor lógico permanece. Sendo assim uma proposição composta será negada de acordo com o conectivo. As regras são específicas e devem ser decoradas.

18 Conjunção Conectivos : e / ^ Tabela Verdade: V V = V Negação: nega ambas as proposições e troca e por ou. ~(p^q) = ~p V ~q Exemplo: Dudan viaja e ensina Matemática. Negação: Dudan não viaja ou não ensina Matemática. p q p ^ q ~p ~q ~p v ~q V V V F F F V F F F V V F V F V F V F F F V V V Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela verdade.

19 Mais Exemplos: Adoro Matemática e passarei nesse concurso. Negando, temos: Não adoro Matemática ou não passarei nesse concurso. Vou ser nomeado e agradecerei aos professores. Negando, temos: Não vou ser nomeado ou não agradecerei aos professores.

20 Disjunção Inclusiva Conectivos : ou / V Tabela Verdade: F F = F Negação: nega ambas as proposições e troca ou por e. ~(pvq) = ~p ^ ~q Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática. Negação: Dudan não viaja e não ensina Matemática. p q p v q ~p ~q ~p ^ ~q V V V F F F V F V F V F F V V V F F F F F V V V Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela verdade.

21 Mais Exemplos: Adoro Matemática ou passarei nesse concurso. Negando, temos: Não adoro Matemática e não passarei nesse concurso. Vou ser nomeado ou agradecerei aos professores. Negando, temos: Não vou ser nomeado e não agradecerei aos professores.

22 Condicional Conectivos : Se...então / à Tabela Verdade: V F = F Negação : Confirma a causa e nega a consequencia ~(p à q ) = p ^ ~q Exemplo: Se Dudan viaja, então ensina Matemática. Negação : Dudan viaja e não ensina Matemática. p q p à q p ~q ~p ^ ~q V V V V F F V F F V V V F V V F F F F F V F V F Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela verdade.

23 Mais Exemplos: Se adoro Matemática então passarei nesse concurso. Negando, temos: Adoro Matemática e não passarei nesse concurso. Se vou ser nomeado então agradecerei aos professores. Negando, temos: Vou ser nomeado e não agradecerei aos professores.

24 Disjunção Exclusiva Conectivos : Ou...ou... / V Tabela Verdade: F F = F e V V = F Negação: ~(p V q) = p q Exemplo: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. Negação :Dudan viaja se e somente se ensina Matemática.

25 Mais Exemplos: Ou adoro Matemática ou passarei nesse concurso. Negando, temos: Adoro Matemática se e somente se passarei nesse concurso. Ou vou ser nomeado ou agradecerei aos professores. Negando, temos: Vou ser nomeado se e somente se agradecerei aos professores.

26 Bicondicional Conectivos : Se e somente se / Tabela Verdade: F F = V e V V = V Negação: ~(p q) = (q v p) Exemplo: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática. Negação: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática.

27 Mais Exemplos: Adoro Matemática se e somente se passarei nesse concurso. Negando, temos: Ou adoro Matemática ou passarei nesse concurso. Vou ser nomeado se e somente se agradecerei aos professores. Negando, temos: Ou vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

28 Equivalência de Proposições Compostas Duas proposições são consideradas EQUIVALENTES entre si, quando elas transmitem a mesma ideia. De forma prática, dizemos que duas proposições são equivalentes entre si quando elas SEMPRE possuem o mesmo valor lógico ou seja, quando uma é verdadeira, a outra também é, e quando uma é falsa, a outra também é. Resumidamente, duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. Vamos aprender os principais mecanismos de equivalência lógica?

29 Conjunção Conectivos : e / ^ Tabela Verdade: V V = V Equivalência: (p^q) = (q ^ p) Comutatividade. Exemplo: Dudan viaja e ensina Matemática. Equivalência: Dudan ensina Matemática e viaja.

30 Mais Exemplos: Adoro Matemática e passarei nesse concurso. Vou ser nomeado e agradecerei aos professores.

31 Disjunção Inclusiva Conectivos : ou / V Tabela Verdade: F F = F Equivalência 1: (p V q) = (q V p) Comutatividade. Equivalência 2: (p V q) = (~pàq) Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática. Equivalência 1 : Dudan ensina Matemática ou viaja. Equivalência 2 : Se Dudan não viaja, então ele ensina Matemática.

32 Mais Exemplos: Adoro Matemática ou passarei nesse concurso. Vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

33 Condicional Conectivos : Se...então / à Tabela Verdade: V F = F Equivalência 1: (p à q) = (~p V q) Duas negações em sequencia. Equivalência 2: (p à q) = ( ~q à ~p) Contrapositiva Exemplo: Se Dudan viaja, então ensina Matemática. Equivalência 1: Dudan não viaja ou ensina Matemática. Equivalência 2: Se Dudan não ensina Matemática, então não viaja.

34 Mais Exemplos: Se adoro Matemática então passarei nesse concurso.

35 Mais Exemplos: Se vou ser nomeado então agradecerei aos professores.

36 Disjunção Exclusiva Conectivos : Ou...ou... / V Tabela Verdade: F F = F e V V = F Equivalência: (p V q) = (q V p) Comutatividade.

37 Mais Exemplos: Ou adoro Matemática ou passarei nesse concurso. Ou vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

38 Bicondicional Conectivos : Se e somente se / Tabela Verdade: F F = V e V V = V Equivalência: (p q) = (q p) Comutatividade.

39 Mais Exemplos: Adoro Matemática se e somente se passarei nesse concurso. Vou ser nomeado se e somente se agradecerei aos professores.

40 DIAGRAMAS LÓGICOS

41 Diagramas lógicos ü Todo Sinônimos: qualquer um ou outra similar. Representação: Conclusão: Todo A é B. Alguns elementos de B são A ou existem B que são A. Negação: Trocar TODO por ALGUM NÃO Exemplo: Todo aluno gosta de Matematica. Negação: Algum aluno não gosta de Matemática

42 Diagramas lógicos ü Algum Sinônimos: existe(m), há pelo menos um ou qualquer outra similar. Representação: Conclusão: Existem elementos em A que são B. Existem elementos em B que são A. Existem elementos A que não são B. Existem elementos B que não estão em A. Negação: trocar ALGUM por TODO NÃO ou por NENHUM. Exemplo: Algum aluno gosta de Matematica. Negação 1 : Todo aluno não gosta de Matemática. Negação 2 : Nenhum aluno gosta de Matemática.

43 Diagramas lógicos ü Nenhum Representação: Conclusão: Nenhum A é B. Nenhum B é A. Negação: trocar NENHUM por ALGUM Exemplo: Nenhum aluno gosta de Matematica. Negação : Algum aluno gosta de Matemática.

44 ü Exemplos Toda mulher é friorenta. Negação: Alguma mulher não é friorenta. Algum aluno da casa será aprovado. Negação: Nenhum aluno da Casa vai ser aprovado. Nenhum gremista é campeão. Negação: Pelo menos um gremista é campeão. Todos os estudantes não trabalham. Negação: Algum estudante trabalha. Diagramas lógicos

45 ü Resumindo Diagramas lógicos