14.1. Exercícios. TABELA 3 Temperatura aparente como função da temperatura e da umidade

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1 . Eercícios. No Eemplo consideramos a função W f (T, v), onde W era o índice de sensação térmica, T é a temperatura real, e v é a velocidade do vento. A representação numérica foi fornecida pela Tabela. (a) Qual é o valor de f ( 5, )? Qual é o seu significado? (b) Descreva em palavras o significado da questão Para quais valores de v é verdade que f (, v)?. Em seguida, responda à questão. (c) Descreva o significado da questão Para quais valores de T é verdade que f (T, ) 9?. Em seguida, responda à questão. (d) Qual o significado da função W f ( 5, v)? Descreva seu comportamento. (e) Qual o significado da função W f (T, 5)? Descreva seu comportamento.. O índice I de temperatura-umidade (ou simplesmente humide) é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real é T e a umidade relativa é h, de modo que podemos escrever I f (T, h). A tabela seguinte com valores de I foi etraída de uma tabela do Environment Canada. TABELA Temperatura aparente como função da temperatura e da umidade Umidade relativa(%) Temperatura real ( C) T h (a) Qual é o valor de f (5, 6)? Qual é o seu significado? (b) Para que valor de h temos f (, h) 6? (c) Para que valor de T temos f (T, )? (d) Quais são os significados das funções I f (, h) e I f (, h)? Compare o comportamento dessas duas funções de h ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homeworks Hints estão disponíveis em

2 . Um fabricante modelou sua função P da produção anual (o valor monetário de toda a produção em milhões de dólares) como uma função de Cobb-Douglas P(L, K),7L,65 K,5 onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhões de dólares). Encontre P(, ) e interprete-o.. Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas P(L, K),L,75 K,5 discutida no Eemplo, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica P(L, K) bl a K a 5. Um modelo para a área da superfície de um corpo humano é dado pela função S f (w, h),9w,5 h,75 onde w é o peso (em libras), h é a altura (em polegadas) e S é medida em pés quadrados. (a) Encontre f (6, 7) e interprete-a. (b) Qual é sua própria área de superfície? 6. O indicador de sensação térmica W discutido no Eemplo foi modelado pela seguinte função: W(T, v),,65t,7v,6,965tv,6 Verifique quão próimo este modelo está dos valores da Tabela para alguns valores de T e v. 7. A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h f (v, t), dados em metros, são apresentados na Tabela. (a) Qual é o valor de f (8, 5)? Qual é o seu significado? (b) Qual o significado da função h f (6, t)? Descreva seu comportamento. (c) Qual o significado da função h f (v, )? Descreva seu comportamento. Velocidade do vento (km/h) t v 6 8,6,,5,8, 5,8 7,,6,,, 6, 8,9, Duração (horas) 5 5 5,6,5,,9 7,7,, 8. Uma empresa fabrica caias de papelão de três tamanhos: pequena, média e grande. O custo é de $,5 para fabricar uma,6,5,5 5, 8,6, 6,6,6,5,7 5,5 9,5,8 9,,6,6,8 5,8,,7,5,6,6,8 5,9, 5,, caia pequena, $, para uma caia média e $,5 para uma caia grande. Os custos fios são de $ 8.. (a) Epresse o custo da fabricação de caias pequenas, caias médias e caias grandes como uma função de três variáveis: C f (,, ). (b) Encontre f (, 5, ) e interprete-a. (c) Qual o domínio de f? 9. Seja g (, ) cos ( ). (a) Calcule t(, ). (b) Determine o domínio de t. (c) Determine a imagem de t.. Seja F(, ) s. (a) Calcule F (,). (b) Determine e esboce o domínio de F. (c) Determine a imagem de F.. Seja f(,, ) s s s ln( ). (a) Calcule f (,, ). (b) Determine o domínio de f.. Seja t(,, ) s. (a) Calcule t(,, ). (b) Determine o domínio de t. Determine e esboce o domínio da função.. f, s. 5. f (, ) ln(9 9 ) f (, ) arcsen( ).. f (,, ) ln(6 ) Esboce o gráfico da função.. f (, ). f (, ) 5. f (, ) 5 6. f (, ) e 7. f (, ) 8. f (, ) 9. f (, ) f, s s f(, ) s s5 f, s f,, s f, s f, s f, s f, s. Faça uma correspondente entre a função e seu gráfico (identificado por I VI). Justifique sua escolha. (a) f (, ) (b) f (, ) (c) f, (d) f (, ) ( ) (e) f (, ) ( ) (f) f (, ) sen( )

3 I II uma função de profundidade e da época do ano. Estime a temperatura do lago em 9 de junho (dia 6) em uma profundidade de m e em 9 de junho (dia 8) em uma profundidade de 5 m. III IV Profundidade (m) Dia de 998 V VI 6. Dois mapas de contorno são mostrados na figura. Um é de uma função f cujo gráfico é um cone. O outro é de uma função t cujo gráfico é um paraboloide. Qual é qual? Por quê? I II. Um mapa de contorno de uma função f é apresentado. Use-o para estimar os valores de f (, ) e f (, ). O que você pode dier sobre a forma do gráfico? Localie os pontos A e B no mapa da Montanha Solitária (Figura ). Como você descreveria o terreno perto de A? É perto de B? 8. Faça um esboço de um mapa de contorno da função cujo gráfico está mostrado.. Um mapa de contorno da pressão atmosférica na América do Norte é mostrado em de agosto de 8. Nas curvas de nível (chamadas isobáricas) a pressão é indicada em milibares (mb). (a) Estime a pressão em C (Chicago), N (Nashville), S (São Francisco) e V (Vancouver). (b) Em quais desses lugares os ventos eram mais fortes? S V As curvas de nível (isotérmicas) são mostradas para a temperatura da água (em C) em Long Lake (Minnesota) em 998 como C N 9 Um mapa de contorno de uma função é mostrado. Use-o para faer um esboço do gráfico da f. 9.. _8 _6 _ 8

4 Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.. f (, ) ( ). f (, ) 5. f(, ) s 6. f (, ) ln ( ) 7. f (, ) e 8. f (, ) sec 9. f, s 5. f (, ) /( ) 5 5 Faça o esboço do mapa de contorno e do gráfico da função e compare-os. 5. f (, ) _ f, s Uma placa fina de metal, localiada no plano, tem temperatura T(, ) no ponto (, ). As curvas de nível de T são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma dessas curvas ; têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por T(, ) 5. Se V(, ) é o potencial elétrico em um ponto (, ) no plano, então as curvas de nível de V são chamadas curvas equipotenciais, porque em todos os pontos dessa curva o potencial elétrico é o mesmo. Esboce algumas curvas equipotenciais de V, c sr, onde c é uma constante positiva Utilie um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Imprima a que, em sua opinião, oferece a melhor visão. Se seu programa também produ curvas de nível, trace o mapa de contorno da mesma função e compare. 55. f (, ) MMM(sela do macaco) 56. f (, ) MMM(sela do cachorro) 57. f(, ) e ( )/ (sen( ) cos( )) 58. f (, ) cos cos 59 6 Faça uma correspondência entre a função (a) e seu gráfico (indicado por A F a seguir), (b) e seus mapas de contorno (indicado por I VI). Justifique sua escolha. 59. sen () 6. e cos 6. sen ( ) 6. sen sen 6. ( )( ) 6. A B C D E F I II III

5 . Eercícios. Suponha que (, )m(, ) f (, ) 6. O que podemos dier do valor de f (, )? E se a função f for contínua?. Eplique por que cada função é contínua ou descontínua. (a) A temperatura eterna como função da latitude, da longitude e do tempo. (b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitude e do tempo. (c) O custo da tarifa do tái como função da distância percorrida e do tempo gasto. Utilie uma tabela de valores numéricos de f (, ) para (, ) perto da origem para conjecturar sobre o ite de f (, ) quando (, ) m (, ). Em seguida, eplique por que sua conjectura está correta.. f, 5. 5 Determine o ite, se eistir, ou mostre que o ite não eiste , l, 7. 8., l, f,, l, e cos, l, ln 9., l,.. cos, l,..., l, s e 5. 6., l, 7. 8., l, s 9. e tg.,, l p, u,..,, l,,, l,, l,, l,, l,,, l,,,, l,, Utilie um gráfico feito por computador para eplicar por que o ite não eiste..., l, 5, l, sen ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em ;, l, sen ( )

6 ; 5 6 Determine h(, ) t( f (, )) e o conjunto no qual h é contínua. 5. t(t) t t,mmf (, ) 6 6. t(t) t ln t,mmf, 7 8 Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilie a fórmula para eplicar o que você observou. 7. f (, ) e /( ) 8. f, 9 8 Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. 9. F,. F(, ) cos s e. F,.. G(, ) ln( ). G(, ) tg (( ) ) 5. f (,, ) arcsen ( ) H, e e e 6. f (,, ) s ln se,, 7. f, se,, se,, 8. f, se,, ;. No início desta seção consideramos a função f, sen ; 9 Utilie coordenadas polares para determinar o ite. [Se (r, u) são as coordenadas polares do ponto (, ) com r, observe que r m quando (, ) m (, ).] 9., l,. ln, l,. e, l, e conjecturamos que f (, ) m quando (, ) m (, ) com base em evidências numéricas. Utilie coordenadas polares para comprovar o valor do ite. Em seguida, faça o gráfico da função.. Trace o gráfico e analise a continuidade da função. Seja sen f, se or f, se (a) Mostre que f (, ) m quando (, ) m (, ) por qualquer caminho da forma m a passando por (, ) com a. (b) Independentemente do item (a), mostre que f é descontínua em (, ). (c) Mostre que f é descontínua em duas curvas inteiras. 5. Mostre que a função f dada por f () é contínua em R n. [Dica: Considere a ( a) ( a).] 6. Se c V n, mostre que a função f dada por f () c é contínua em R n. se se

7 . Eercícios. A temperatura T (em ºC)de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude, da latitude e do tempo t, de modo que podemos escrever T f (,, t). Vamos medir o tempo em horas a partir do início de janeiro. (a) Qual o significado das derivadas parciais T/, T/ e T/ t? (b) Honolulu tem longitude de 58º W e latitude de º N. Suponha que às 9 horas em º de janeiro esteja ventando para noroeste uma brisa quente, de forma que a Oeste e a Sul o ar esteja quente e a Norte e Leste o ar esteja mais frio. Você esperaria que f (58,, 9), f (58,, 9) e f t (58,, 9) fossem positivos ou negativos? Eplique.. No início desta seção discutimos a função I f (T, H), onde I era o humide; T, a temperatura; e H, a umidade relativa. Utilie a Tabela para estimar f T (, 75) e f H (, 75). Quais são as interpretações práticas desses valores?. O índice de sensação térmica W é a temperatura sentida quando a temperatura real é T e a velocidade do vento, v. Portanto, podemos escrever W f (T, v). A tabela de valores a seguir foi etraída da Tabela da Seção.. Temperatura real ( C) (a) Estime os valores de f T ( 5, ) e f v( 5, ). Quais são as interpretações práticas desses valores? (b) Em geral, o que se pode dier sobre o sinal de W/ T e W/ v? (c) Qual parece ser o valor do seguinte ite? W v l v. A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h f (v, t) são apresentados na seguinte tabela. Duração (horas) t v,6,6,6,6,6,6,6 Velocidade do vento (km/h) T v ,,5,8, 5,8 7, Velocidade do vento (km/h),,, 6, 8,9, 6 9,5,,9 7,7,, 7,5,5 5, 8,6, 6,6 9 5,5,7 5,5 9,5,8 9, 6,6,8 5,8,,7,5 7 7,6,8 5,9, 5,, (a) Qual o significado das derivadas parciais h/ v e h/ t? (b) Estime os valores de f v(8, 5) e f t(8, 5). Quais são as interpretações práticas desses valores? (c) Qual parece ser o valor do seguinte ite? h t l t 5 8 Determine os sinais das derivadas parciais da função f cujo gráfico está mostrado. 5. (a) f (, ) (b) f (, ) 6. (a) f (, ) (b) f (, ) 7. (a) f (, ) (b) f (, ) 8. (a) f (, ) (b) f (, ) 9. As seguintes superfícies, rotuladas a, b e c, são gráficos de uma função f e de suas derivadas parciais f e f. Identifique cada superfície e dê raões para sua escolha. 8 _ a _8 _ 8 8 c _ b _ ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em

8 . Um mapa de contorno de uma função f é apresentado. Utilie- -o para estimar f (, ) e f (, ).. Se f (, ) 6, determine f (, ) e f (, ) e interprete esses números como inclinações. Ilustre ou com um esboço à mão ou utiliando o computador.. Se f, s, determine f (, ) e f (, ) e interprete esses números como inclinações. Ilustre ou com um esboço à mão ou utiliando o computador. ; Determine f e f e faça os gráficos f, f e f com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles.. f (, ). f (, ) 5 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. 5. f (, ) 5 6. f (, ) 8 7. f (, t) e t cos p 8. f (, t) ln t 9. ( ). tg. f (, ). f (, ) ( ) a b e. f (, ). w v c d u v 5. t (u, v) (u v v ) 5 6. f, t arctg(st ) 7. w sen a cos b 8. f (, ) 9. F(, ) h cos (et ) dt. F (a, b) h a b t dt. f (,, ) 5. f (,, ) sen( ). w ln( ). w e 5. u sen () 6. u / 7. h(,,, t) cos( /t) 8. f(,,, t) 9. u s n. u sen(... n n) Determine as derivadas parciais indicadas.. f, ln( s );MMf (, ). f, arctg ;MMf (, ) a b g d. f (,, ) ;MMf (,, ). f,, ssen sen sen ;MMf (,, p/) Use a definição de derivadas parciais como ites para encontrar f (, ) e f (, ). 5. f (, ) 6. f, 7 5 Use a derivação implícita para encontrar / e / e 5. ln 5 5 Determine / e /. 5. (a) f () t() (b) f ( ) 5. (a) f ()t() (b) f () (c) f (/) 5 58 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem. 5. f (, ) 5 5. f (, ) sen (m n) 55. w su 56. v v 57. arctg 58. v e e 59 6 Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u u. 59. u 6. u e sen 6. u cos ( ) 6. u ln( ) 6 7 Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s). 6. f (, ) ;Mf,Mf 6. f (, ) sen( 5);Mf 65. f (,, ) e ;Mf 66. t (r, s, t) e r sen(st);mmt rst 67. u u e ru sen u;mm r 68. usv w ; w 69. w ;, 7. u a b c ; 6 u w 7. Se f(,, ) arcsen ( s), determine f. [Dica: Qual ordem de diferenciação é a mais fácil?] 7. Se t(,, ) s s, determine t. [Dica: Use uma ordem de diferenciação diferente para cada termo.] 7. Use a tabela de valores de f(, ) para estimar os valores de f (, ), f (,,) e f (, ).,5,,5 u v w,8,,,5 8,,, 7,5, 9, 5,9 6,

9 7. As curvas de nível são mostradas para uma função f. Determine se as seguintes derivadas parciais são positivas ou negativas no ponto P. (a) f (b) f (c) f (d) f (e) f 75. Verifique se a função u e a k t sen k é solução da equação de condução do calor u t a u. 76. Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace u u. (a) u (b) u (c) u (d) u ln s (e) u sen cosh cos senh (f) u e cos e cos 77. Verifique se a função u u s é uma solução da equação de Laplace tridimensional u u u. 78. Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda u tt a u. (a) u sen(k) sen(akt) (b) u t/(a t ) (c) u ( at) 6 ( at) 6 (d) u sen( at) ln( at) 79. Se f e t são funções duas vees diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função u(, t) f ( at) t( at) é solução da equação de onda dada no Eercício Se u e a a an n, onde a a an, mostre que 8. Verifique que a função ln(e e ) é uma solução das equações diferenciais e u u 8 6 P u n u 8. A temperatura em um ponto (, ) de uma chapa de metal é dada por T(, ) 6/( ), onde T é medido em ºC e, em metros. Determine a taa de variação da temperatura no ponto (, ) em (a) a direção e (b) a direção. 8. A resistência total R produida por três condutores com resistência R, R e R conectados em paralelo em um circuito elétrico é dada pela fórmula R R R R Determine R/ R. 8. Mostre que a função produção de Cobb-Douglas P bl a K b satisfa a equação 85. Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfa P(L, K ) C (K )L a resolvendo a equação diferencial (Veja a Equação 6.) L P P K P L K dp dl P L 86. Cobb e Douglas usaram a equação P(L, K),L,75 K,5 para o modelo de economia norte-americana de 899 a 9, onde L é a quantidade de trabalho e K, a quantidade de capital. (Veja o Eemplo na Seção..) (a) Calcule P L e P K. (b) Encontre a produtividade marginal de trabalho e a produtividade marginal de capital no ano de 9, quando L 9 e K 7 (em comparação com os valores atribuídos L e K em 899). Interprete os resultados. (c) No ano de 9, o que troue mais benefícios para a produção: um aumento no capital de investimento ou um aumento nos gastos com mão de obra? 87. A equação de van der Waals para n mols de um gás é P n a V (V nb) nrt onde P é a pressão, V é o volume e T é a temperatura do gás. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular. Calcule T/ P e P/ V. 88. A lei dos gases para uma massa fia m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V é PV mrt, onde R é a constante do gás. Mostre que P V V T 89. Para o gás ideal do Eercício 88, mostre que T P T 9. O índice de sensação térmica é modelado pela função W,,65T,7v,6,965Tv,6 onde T é a temperatura (ºC) e v, a velocidade do vento (km/h). Quando T 5 ºC e v km/h, quanto você espera que a temperatura aparente W caia se a temperatura real decrescer em ºC? E se a velocidade do vento aumentar em km/h? 9. A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é K mv. Mostre que K m T P V mr T K v K 9. Se a, b e c são os lados de um triângulo e A, B e C são os ângulos opostos, determine A/ a, A/ b e A/ c pela derivação implícita da Lei dos Cossenos. 9. Disseram-lhe que eiste uma função f cujas derivadas parciais são f (, ) e f (, ). Você deve acreditar nisso?

10 ; 9. O paraboloide 6 intercepta o plano em uma parábola. Determine as equações paramétricas para a reta tangente a essa parábola no ponto (,, ). Use um computador para faer o gráfico do paraboloide, da parábola e da reta tangente em uma mesma tela. ; 95. O elipsoide 6 intercepta o plano em uma elipse. Determine as equações paramétricas da reta tangente a essa elipse no ponto (,, ). 96. No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade (medida em metros) pode ser modelada pela função T(, t) T T e l sen( t l) onde p/65 e l é uma constante positiva. (a) Determine T/. Qual seu significado físico? (b) Determine T/ t. Qual seu significado físico? ; (c) Mostre que T satisfa a equação do calor T t kt para uma certa constante k. (d) Se l,, T e T, use um computador para traçar o gráfico de T(, t). SCA (e) Qual é o significado físico do termo l na epressão sen( t l)? 97. Utilie o Teorema de Clairaut para mostrar que, se as derivadas parciais de terceira ordem de f forem contínuas, então f f f 98. (a) Quantas derivadas parciais de n-ésima ordem têm uma função de duas variáveis? (b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas? (c) Responda a parte (a) da questão para uma função de três variáveis. 99. (a) Se f (, ) ( ) / e sen( ), determine f (, ). [Dica: Em ve de determinar f (, ) primeiro, observe que é mais fácil utiliar a Equação ou a Equação.]. (a) Se f, s, determine f (, ).. (a). Seja se,, f, se,, (a) Use um computador para traçar o gráfico de f. (b) Determine f (, )e f (, ) quando (, ) (, ). (c) Determine f (, ) e f (, ) usando as Equações e. (d) Mostre que f (, ) e f (, ). (e) O resultado da parte (d) contradi o Teorema de Clairaut? Use os gráficos de f e f para ilustrar sua resposta.

11 . Eercícios ; 6 Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado..,mmm(,, ). ( ) ( ) 7,MMM(,, ). s, MMM(,, ). e, MMM(,, ) 5. sen( ),MMM(,, ) 6. ln( ),MMM(,, ) 7 8 Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolha o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente.) Em seguida, dê oom até que a superfície e o plano tangente se tornem indistinguíveis. 7.,MMM(,, 5) 8. arctg( ),MMM(,, p/) SCA 9 Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilie um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu plano tangente.) Em seguida, dê oom até que a superfície e o plano tangente se tornem indistinguíveis. sen 9. f,,,, MMM(,, ). f, e (s s s ),,, e, 6 Eplique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a lineariação L(, ) da função naquele ponto.. f (, ) ln( 5),MMM(, ). f (, ),MMM(, ). f,,mmm(, ). f, s e,mmm(, ) 5. f (, ) e cos,mmm(p, ) 6. f (, ) sen( ),MMM(, ) 7 8 Verifique a aproimação linear em (, ) s cos ; 9. Dado que f é uma função diferenciável f (, 5) 6, f (, 5) e f (, 5), use uma aproimação linear para estimar f (,,,9).. Determine a aproimação linear da função f (, ) l cos p em (, ) e use-a para aproimar o número f (,,,97). Ilustre, traçando o gráfico de f e do plano tangente.. Determine a aproimação linear da função f,, s em (,, 6) e use-a para aproimar o número s,,97 5,99.. A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h f (v, t) são apresentados na seguinte tabela. Use a tabela para determinar uma aproimação linear da função altura da onda quando v está próimo de 8 km/h e t está próimo de horas. Em seguida, estime a altura das ondas quando está ventando por horas a 8 km/h. Duração (horas) t v 5 5 5,5,,,5,7,8,8 Velocidade do vento (km/h) 6 8,8, 5,8 7,, 6, 8,9,,9 7,7,,. Utilie a tabela do Eemplo para encontrar a aproimação linear da função humide quando a temperatura está próima de ºC e a umidade relativa do ar é de aproimadamente 65%. Estime também o humide quando a temperatura é de ºC e a umidade relativa, 6%.. O índice de sensação térmica W é a temperatura sentida quando a temperatura real é T e a velocidade do vento, v. Portanto, podemos escrever W f (T, v). A tabela de valores a seguir foi etraída da Tabela da Seção.. Use essa tabela para determinar a aproimação linear da função de sensação térmica quando T estiver a 5 ºC e v estiver próimo de 5 km/h. Estime, a seguir, a sensação térmica quando a temperatura estiver a 7 ºC e a velocidade do vento for de 55 km/h. 5, 8,6, 6,6 5,5 9,5,8 9, 5,8,,7,5 5,9, 5,, ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em

12 Eercícios. (a) (,, ) (,, ) (b) r (t) i p sen pt j p cos pt k, r (t) p cos pt j p sen pt k. r(t) cos t i sen t j (5 cos t)k, t p 5. i (/p ) j (/p) k 7. 86,6 9. p/. (a) kt, t, l/ t t (b) kt t, t, t tl/ t 8 5t 6 6t 5t (c) t 8 5t 6 6t 5t /(t t ). /7 / 5. p 7. v(t) ( ln t) i j e t k, v(t) ln t (ln t) e t, a(t) (/t) i e t k 9. (a) Cerca de,8 m acima do chão, 8, m do atleta (b) 6, m (c) 9, m do atleta. (c) e t v d e t R. (a) v vr( sen vt i cos vt j) (c) a v r PROBLEMAS QUENTES. (a) 9º, v /(t). (a),5 m à direita da borda da mesa,,9 m/s (b) 5,9º (c),56 m à direita da borda da mesa, 5. 56º 7. r(u, v) c u a vb onde a ka, a, a l, b kb, b, b l, c kc, c, c l CAPÍTULO EXERCÍCIOS.. (a) 7; uma temperatura de 5 ºC com vento soprando a km/h dá uma sensação equivalente a cerca de 7 ºC sem vento. (b) Quando a temperatura é ºC, qual velocidade do vento dá uma sensação térmica de ºC? km/h (c) Com uma velocidade do vento de km/h, qual temperatura dá uma sensação térmica de 9 ºC? 5 ºC (d) Uma função da velocidade do vento que dá os valores da sensação térmica quando a temperatura é 5 ºC (e) Uma função da temperatura que dá os valores da sensação térmica quando a velocidade do vento é 5 km/h. 9,; a produção anual do fabricante está avaliada em $9, milhões quando horas trabalhadas são gastas e $ milhões de capital são investidos. 5. (a),5; a área da superfície de uma pessoa 7 pol. mais alta que pesa 6 libras é de aproimadamente,5 pés quadrados. 7. (a) 7,7; um vento de 8 km/h soprando em mar aberto por 5 h criará ondas de cerca de 7,7 m de altura. (b) f (6, t) é uma função de t que dá a altura das ondas produidas por ventos de 6 km/h por t horas. (c) f (v, ) é uma função de v que dá a altura das ondas produidas por ventos de velocidade v soprando por horas. 9. (a) (b) (c) [, ]

13 . (a) (b) {(,, ),,, }, o interior de uma esfera de raio, centro da origem, no primeiro octante. {(, ) } 7., cilindro parabólico =_ 9 5. {(, ) }, (, ln 9] 9 + = , paraboloide elíptico (,, 9) (,, ) (,, ) 7. {(, ), }., metade superior da elipsoide (,, ) _ 9. {(, ), } _ (,, ) (,, ) =. 56, 5 5. C, 9,5 C 7. Íngreme; quase achatado _ 9... {(,, ) } 5., plano paralelo ao eio. ( ) k 5. k (,, ) 5. 5, plano (, _, ) (,, ) 7. ke 9. k (,5,, ) (,, ) _

14 A78 CÁLCULO 5. 9 k _ 59. (a) C (b) II 6. (a) F (b) I 6. (a) B (b) VI 65. Família de planos paralelos 67. Família de cilindros circulares com eio no eio (k ) 69. (a) Translada o gráfico de f duas unidades para cima (b) Amplia o gráfico de f verticalmente por um fator (c) Reflete o gráfico de f em relação ao plano (d) Reflete o gráfico de f em relação ao plano e a seguir translada-o unidades para cima 7. _ f parece ter um valor máimo de cerca de 5. Há dois pontos de máimo local, porém nenhum ponto de mínimo local _5 5 5 _ = = = = Os valores da função tendem a quando, se torna grande; quando (, ) se aproima da origem, f tende a ou, dependendo da direção de aproimação. 75. Se c, o gráfico é uma superfície cilíndrica. Para c, as curvas de nível são elipses. O gráfico tem curva ascendente enquanto deiamos a origem, e a ingremidade aumenta à medida que c aumenta. Para c, as curvas de nível são hipérboles. O gráfico tem curva ascendente na direção e descendente, tendendo ao plano, na direção, causando uma aparência em forma de sela perto de (,, ). 77. c,, 79. (b),75, EXERCÍCIOS. 5. Nada; Se f for contínua, f (, ) Não eiste. Não eiste. 5. Não eiste Não eiste. O gráfico mostra que a função se aproima de números diferentes ao longo de retas diferentes. 5. h(, ) ( 6) 6; {(, ) 6} 7. Ao longo da reta 9.. {(, ) }. {(, ) } 5. {(,, ) } 7. {(, ) (, ) (, )} 9... f é contínua em EXERCÍCIOS.. (a) A taa de variação da temperatura quando a longitude varia, com a latitude e o tempo fiados; a taa de variação quando apenas a latitude varia; a taa de variação quando apenas o tempo varia. (b) Positiva, negativa, positiva. (a) f T ( 5, ),; para uma temperatura de 5 ºC e velocidade do vento de km/h, o índice de sensação térmica sobe para,ºc para cada grau de elevação da temperatura. f v( 5, ),5; para uma temperatura de 5ºC e velocidade do vento de km/h, o índice de sensação térmica cai para,5ºc para cada km/h de aumento da velocidade do vento. (b) Positiva, negativa (c) 5. (a) Positiva (b) Negativa 7. (a) Positiva (b) Negativa 9. c f, b f, a f. f (, ) 8 inclinação de C, f (, ) inclinação de C _ 6 6 _5 _ (,, 8) C (, ) (,, 8) C (, )

15 . 57. /( ),, /( ) 6. 6, ( 5 6 )e ² 67. ue ru ( sen u u cos u ru sen u) 69. /( ), _ f (, ) ,, 6,8,,5 8. R /R 87. T V nb, P n a nrt P nr V V (V nb) 9. Não 95. t,, t 99.. (a) _ f (, ). _. f (, ) 5. f (, ), f (, ) 5 7. f (, t) pe t sen p, f t(, t) e t cos p 9. / ( ) 9, / ( ) 9 5. t u(u, v) uv(u v v ) g v(u, v) 5(u v )(u v v ) 7. w/ a cos a cos b, w/ b sen a sen b 9. F (, ) cos(e ), F (, ) cos(e ). f, f 5, f. w/ /( ), w/ /( ), w/ /( ) 5. u/ sen (), u/ sen () /, u/ / 7. h cos(/t), h cos(/t), h ( /t) sen(/t), h t ( /t ) sen(/t) 9. u/ i i/... n _. f (, ) /, f (, ) / (ad bc) (bc ad). f (, ), f (, ) (c d) (c d) f (, ), f (, ) 7., 9., e e _ 5. (a) f (), t () (b) f ( ), f ( ) 5. f 6 5, f 5 8 f, f 55. w uu v /(u v ) /, w uv uv/(u v ) / w vu, w vv u /(u v ) / (b) f (, ) 5, f (, ) 5 ( ) ( ) (c), EXERCÍCIOS. (e) Não, uma ve que f e f não são contínuas p , ; 6,99. T,H,5;,ºC 5. d e cos pt d pe sen pt dt 7. dm 5p q dp p 5 q dq 9. dr b cos g da ab cos gdb ab sen g dg. Δ,95, d,9. 5, cm 5. 6 cm 7.,65mg; decresce 9.,59.,%. e Δ, e Δ EXERCÍCIOS.5. ( ) cos t ( )e t. [(/t) sen t]/ 5. e / [t (/) (/ )] 7. / s cos t sen t, / t s sen t s cos t 9. / s t cos u cos f st sen u sen f, / t st cos u cos f s sen u sen f r(. e t cos u s ) sen u s r( s t e ) s cos u t sen u t 7 _ , 5 s t _5 _