cálculo Tradução da 7ª edição norte-americana Volume 2 James Stewart

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1 cálculo Tradução da 7ª edição norte-americana Volume James Stewart

2 CÁLCULO VOLUME II

3 Sumário Prefácio i Testes de Verificação i Uma Apresentação do Cálculo vii 9 Equações Diferenciais Modelagem com Equações Diferenciais Campos de Direções e Método de Euler Equações Separáveis 538 Projeto Aplicado Quão Rapidamente um Tanque Esvaia? 546 Projeto Aplicado O Que É Mais Rápido, Subir ou Descer? Modelos para Crescimento Populacional Equações Lineares Sistemas Predador-Presa 563 Revisão 569 Problemas Quentes 57 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 575. Curvas Definidas por Equações Paramétricas 576 Projeto de Laboratório Rolando Círculos ao Redor de Círculos 583. Cálculo com Curvas Parametriadas 584 Projeto de Laboratório Curvas de Béier 59.3 Coordenadas Polares 59 Projeto de Laboratório Famílias de Curvas Polares 6.4 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares 6.5 Seções Cônicas 66.6 Seções Cônicas em Coordenadas Polares 63 Revisão 69 Problemas Quentes 6 Sequências e Séries Infinitas 63. Sequências 64 Projeto de Laboratório Sequências Logísticas 635. Séries O Teste da Integral e Estimativas de Somas Os Testes de Comparação 65.5 Séries Alternadas Convergência Absoluta e os Testes da Raão e da Rai 66.7 Estratégia para Testes de Séries 667

4 VI CÁLCULO.8 Séries de Potência Representações de Funções como Séries de Potências 674. Séries de Talor e Maclaurin 679 Projeto de Laboratório Um Limite Elusivo 69 Projeto Escrito Como Newton Descobriu a Série Binomial 69. Aplicações dos Polinômios de Talor 69 Projeto Aplicado Radiação Proveniente das Estrelas 7 Revisão 7 Problemas Quentes 73 Vetores e a Geometria do Espaço 77. Sistemas de Coordenadas Tridimensionais 78. Vetores 73.3 O Produto Escalar 7.4 O Produto Vetorial 77 Projeto de Descoberta A Geometria de um Tetraedro Equações de Retas e Planos 735 Projeto de Laboratório Colocando 3D em Perspectiva Cilindros e Superfícies Quádricas 744 Revisão 75 Problemas Quentes 75 3 Funções Vetoriais Funções Vetoriais e Curvas Espaciais Derivadas e Integrais de Funções Vetoriais Comprimento de Arco e Curvatura Movimento no Espaço: Velocidade e Aceleração 776 Projeto Aplicado Leis de Kepler 785 Revisão 786 Problemas Quentes Derivadas Parciais Funções de Várias Variáveis Limites e Continuidade Derivadas Parciais Planos Tangentes e Aproimações Lineares A Regra da Cadeia Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente Valores Máimo e Mínimo 85 Projeto Aplicado Projeto de uma Caçamba 858 Projeto de Descoberta Aproimações Quadráticas e Pontos Críticos Multiplicadores de Lagrange 86 Projeto Aplicado Ciência dos Foguetes 866 Projeto Aplicado Otimiação de uma Turbina Hidráulica 867 Revisão 868 Problemas Quentes 87

5 576 CÁLCULO. Curvas Definidas por Equações Paramétricas FIGURA C (, )={f(t), g(t)} Imagine que uma partícula se mova ao longo de uma curva C, como mostrado na Figura. É impossível descrever C com uma equação do tipo f () porque C não passa no Teste da Reta Vertical. Mas as coordenadas e da partícula são funções do tempo e, assim, podemos escrever f (t) e t(t). Esse par de equações é, muitas vees, uma maneira conveniente de descrever uma curva e fa surgir a definição a seguir. Suponha que e sejam ambas dadas como funções de uma terceira variável t (denominada parâmetro) pelas equações f (t)mmmm t(t) (chamadas equações paramétricas). Cada valor de t determina um ponto (, ), que podemos marcar em um plano coordenado. Quando t varia, o ponto (, ) (f (t), t(t)) varia e traça a curva C, que chamamos curva parametriada. O parâmetro t não representa o tempo necessariamente e, de fato, poderíamos usar outra letra em ve de t para o parâmetro. Porém, em muitas aplicações das curvas parametriadas, t denota tempo e, portanto, podemos interpretar (, ) (f (t), t(t)) como a posição de uma partícula no instante t. EXEMPLO Esboce e identifique a curva definida pelas equações paramétricas t tmmmm t SOLUÇÃO Cada valor de t fornece um ponto na curva, como mostrado na tabela. Por eemplo, se t, então, e assim o ponto correspondente é (, ). Na Figura marcamos os pontos (, ) determinados por diversos valores do parâmetro e os unimos para produir uma curva. t=4 t t=3 8 t= 3 t= (, ) t= 8 3 t=_ t=_ FIGURA Esta equação em e nos descreve onde a partícula esteve, mas não nos di quando ela estava em um ponto específico. As equações paramétricas têm uma vantagem: elas nos diem quando a partícula estava em determinado ponto. Elas também indicam a direção do movimento. FIGURA 3 (, ) (8, 5) Uma partícula cuja posição é dada por equações paramétricas se move ao longo da curva na direção das setas quando t aumenta. Observe que os pontos consecutivos marcados na curva aparecem em intervalos de tempo iguais, mas não a distâncias iguais. Isso ocorre porque a partícula desacelera e então acelera à medida que t aumenta. Parece, a partir da Figura, que a curva traçada pela partícula poderia ser uma parábola. Isso pode ser confirmado pela eliminação do parâmetro t, como a seguir. Obtemos t a partir da segunda equação e substituímos na primeira equação. Isso fornece t t ( ) ( ) 4 3 e assim a curva representada pelas equações paramétricas dadas é a parábola 4 3. Nenhuma restrição foi colocada no parâmetro t no Eemplo, de modo que assumimos que t poderia ser qualquer número real. No entanto, algumas vees restringimos t a um intervalo finito. Por eemplo, a curva parametriada t tmmm t MMM t 4 mostrada na Figura 3 é a parte da parábola do Eemplo que começa no ponto (, ) e termina no ponto (8, 5). A seta indica a direção na qual a curva é traçada quando aumenta de até 4.

6 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES 577 De forma geral, a curva com equações paramétricas f (t)mmm t(t)mmma t b tem ponto inicial (f (a), t(a)) e ponto final (f (b), t(b)). EXEMPLO Que curva é representada pelas seguintes equações paramétricas? cos tmmm sen tmmm t p π t= (cos t, sen t) SOLUÇÃO Se marcarmos os pontos, parece que a curva é um círculo. Podemos confirmar esta impressão pela eliminação de t. Observe que cos t sen t Então, o ponto (, ) se move no círculo unitário. Observe que, neste eemplo, o parâmetro t pode ser interpretado como o ângulo (em radianos) mostrado na Figura 4. Quando t aumenta de até p, o ponto (, ) (cos t, sen t) se move uma ve em torno do círculo, no sentido anti-horário, partindo do ponto (, ). t=π FIGURA 4 3π t= t t= (, ) t=π EXEMPLO 3 Que curva é representada pelas seguintes equações paramétricas? sen tmmm cos tmmm t p t=, π, π SOLUÇÃO Temos sen t cos t (, ) de modo que as equações paramétricas representam o círculo unitário. Mas quando t aumenta de até p, o ponto (, ) = (sen t, cos t) começa em (, ) e se move duas vees em torno do círculo no sentido horário, como indicado na Figura 5. Os Eemplos e 3 mostram que diferentes conjuntos de equações paramétricas podem representar a mesma curva. Então distinguimos uma curva, que é um conjunto de pontos, e uma curva parametriada, na qual os pontos são percorridos em um modo particular. FIGURA 5 EXEMPLO 4 Encontre equações paramétricas para o círculo unitário com centro (h, k) e raio r. SOLUÇÃO Se tomarmos as equações do círculo unitário no Eemplo e multiplicarmos as epressões para e por r, obtemos r cos t, r sen t. Você pode verificar que essas equações representam um círculo de raio r e centro na origem, percorrido no sentido anti- -horário. Agora, trocamos h unidades na direção e k unidades na direção e obtemos equações paramétricas do círculo (Figura 6) com centro (h, k) e raio r: h r cos tmmm k r sen tmmm t p (_, ) (, ) r (h, k) FIGURA 6 =h+r cos t, =k+r sen t FIGURA 7 EXEMPLO 5 Esboce a curva com equações paramétricas sen t, sen t. SOLUÇÃO Observe que (sen t) e, dessa forma, o ponto (, ) se move na parábola. Mas observe também que, como sen t, temos, assim as equações paramétricas representam apenas a parte da parábola onde. Como sen t é periódica, o ponto (, ) (sen t, sen t) se move para a frente e para trás infinitamente ao longo da parábola de (, ) até (, ). (Veja a Figura 7.)

7 744 CÁLCULO.6 Cilindros e Superfícies Quádricas Já olhamos para dois tipos especiais de superfícies planos (Seção.5) e esferas (Seção.). Aqui, estudaremos outros dois tipos de superfícies cilindros e superfícies quádricas. Para esboçar o gráfico dessas superfícies é útil determinar a intersecção da superfície com planos paralelos aos planos coordenados. Essas curvas são denominadas cortes (ou secções transversais) da superfície. FIGURA A superfície = é um cilindro parabólico. Cilindros Um cilindro é uma superfície constituída de todas as retas (chamadas geratries) que são paralelas a uma reta dada e que passam por uma curva plana. EXEMPLO Esboce o gráfico da superfície. SOLUÇÃO Observe que a equação do gráfico,, não envolve. Isto significa que qualquer plano vertical com a equação k (em paralelo com o plano ) intersecta o gráfico de uma curva com a equação. Os cortes verticais são, portanto, parábolas. A Figura mostra como o gráfico é formado tornando a parábola no plano e movendo-a na direção do eio. O gráfico é uma superfície chamada de cilindro parabólico, constituída por um número infinito de cópias deslocadas da mesma parábola. Aqui, as geratries do cilindro são paralelas ao eio. Observamos que a variável não aparece na equação do cilindro do Eemplo. Esse fato é comum às superfícies cujas geratries são paralelas a um dos eios coordenados. Se uma das variáveis, ou está faltando na equação da superfície, a superfície é um cilindro. EXEMPLO Identifique e esboce as superfícies. (a) (b) FIGURA + = SOLUÇÃO (a) Como não aparece e as equações, k representam uma circunferência de raio no plano k, a superfície é um cilindro circular cujo eio é o eio. (Veja a Figura.) Aqui, as geratries são retas verticais. (b) Nesse caso, a variável é que está faltando, e a superfície é um cilindro circular cujo eio é o eio. (Veja a Figura 3.) Ela é obtida tomando-se a circunferência, no plano e deslocando-a paralelamente ao eio. OBSERVAÇÃO Quando estamos tratando de superfícies, é importante reconhecer que uma equação como representa um cilindro e não uma circunferência. O corte desse cilindro no plano é a circunferência de equações,. FIGURA 3 +@= Superfícies Quádricas Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação de segundo grau nas três variáveis, e. A equação mais geral é A B C D E F G H I J onde A, B, C,..., J são constantes, mas por rotação e translação essa equação pode ser posta em uma de duas formas padrão A B C J MMMouMMMA B I As superfícies quádricas são as correspondentes tridimensionais das cônicas no plano. (Veja a Seção.5 para uma revisão das seções cônicas.) EXEMPLO 3 Utilie cortes para faer o esboço da superfície quádrica com equação 9 4

8 VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 745 SOLUÇÃO Substituindo, determinamos que o corte no plano é /9, que reconhecemos ser a equação de uma elipse. Em geral, o corte horiontal no plano k é 9 k 4 k que é uma elipse, desde que k 4, ou seja, k. Da mesma forma, os cortes verticais também são elipses: 9 4 k k se k SOLUÇÃO Os cortes nos planos verticais k são parábolas k, com concavidade para cima. Os cortes em k são parábolas k, com concavidade para baio. Os traços horiontais são k, uma família de hipérboles. Na Figura 6 desenhamos esses cortes e mostramos como eles aparecem quando colocados nos planos corretos na Figura 7. Na Figura 8 colocamos juntos os cortes da Figura 7 para formar a superfície, um paraboloide hiperbólico. Observe que o formato da superfície perto da origem se asse 4 k 9 k A Figura 4 mostra como desenhar alguns cortes para indicar a forma da superfície. Essa superfície é chamada elipsoide, visto que todos os seus cortes são elipses. Observe a simetria em relação a cada plano coordenado; isto é refleo do fato de só aparecerem potências pares de, e. EXEMPLO 4 Utilie cortes para esboçar a superfície 4. se 3 k 3 SOLUÇÃO Impondo, obtemos, de forma que o plano intercepta a superfície em uma parábola. Impondo k (uma constante), obtemos 4k. Isso significa que, se cortarmos o gráfico por qualquer plano paralelo ao plano, obteremos uma nova parábola com concavidade para cima. Da mesma forma, tomando k, o corte é 4 k, que corresponde novamente a uma parábola com concavidade para cima. Tomando k, obteremos os cortes horiontais 4 k, que reconhecemos como uma família de elipses. Sabendo a forma dos cortes, podemos esboçar o gráfico da Figura 5. Pelo fato de os cortes serem parábolas e elipses, a superfície quádrica 4 é denominada paraboloide elíptico. (,, ) (,, ) Elipsoide + + = 9 4 (, 3, ) EXEMPLO 5 Esboce a superfície. FIGURA 5 A superfície =4 + é um paraboloide elíptico. Os cortes horiontais são elipses e os cortes verticais são parábolas FIGURA 6 Os cortes verticais são parábolas; os cortes horiontais são hipérboles. Todos os cortes são identificados por um valor de k. Cortes em =k são = -k@ Cortes em =k são =_ +k@ Cortes em =k são - =k

9 746 CÁLCULO FIGURA 7 Cortes movidos para seus planos corretos TEC Em Module.6A você pode investigar como cortes determinam a forma de uma superfície. _ Cortes em =k Cortes em =k Cortes em =k melha a uma sela. Essa superfície será alvo de estudos futuros na Seção 4.7, quando discutirmos os pontos de sela. EXEMPLO 6 Esboce a superfície. 4 4 FIGURA 8 A superfície = - é um paraboloide hiperbólico. SOLUÇÃO O corte em qualquer plano horiontal k é a elipse 4 k 4 mas os cortes nos planos e são as hipérboles k 4 4 e 4 Essa superfície é chamada hiperboloide de uma folha e está esboçada na Figura 9. (,, ) (,, ) FIGURA 9 A ideia de usar os cortes para desenhar a superfície é empregada em programas de computadores que faem gráficos tridimensionais. Na maioria desses programas, os cortes nos planos verticais k e k são desenhados para valores de k, igualmente espaçados, e partes do gráfico são eliminadas utiliando-se a técnica de remover linhas escondidas. A Tabela mostra gráficos de computador de seis quádricas básicas na forma padrão. Todas as superfícies são simétricas em relação ao eio. Se uma quádrica é simétrica em relação a um eio diferente, sua equação se modifica de modo apropriado.

10 4 Derivadas Parciais Os gráficos das funções de duas variáveis são superfícies que podem assumir uma variedade de formatos, incluindo sela ou estrada montanhosa. Nesta localiação no sudeste de Utah (Arco de Phipps), você pode ver um ponto que é um mínimo em uma direção, mas um máimo em outra. Essas superfícies são discutidas na Seção 4.7. Stan Wagon, Macalester College Até aqui tratamos o cálculo de funções de uma única variável. No entanto, no mundo real, quantidades físicas frequentemente dependem de duas ou mais variáveis, de modo que, neste capítulo, focaliaremos nossa atenção em funções de várias variáveis e estenderemos nossas ideias básicas do cálculo diferencial para tais funções.

11 79 CÁLCULO 4. Funções de Várias Variáveis Nesta seção estudaremos as funções de duas ou mais variáveis sob quatro pontos de vista diferentes: verbalmente (pela descrição em palavras) numericamente (por uma tabela de valores) algebricamente (por uma fórmula eplícita) visualmente (por um gráfico ou curvas de nível) Funções de Duas Variáveis A temperatura T em um ponto da superfície da Terra em dado instante de tempo depende da longitude e da latitude do ponto. Podemos pensar em T como uma função de duas variáveis e, ou como uma função do par (, ). Indicamos essa dependência funcional escrevendo T f (, ). O volume V de um cilindro circular depende de seu raio r e de sua altura h. De fato, sabemos que V pr h. Podemos dier que V é uma função de r e de h, e escrevemos V(r, h) pr h. Definição Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (, ) de um conjunto D um único valor real, denotado por f (, ). O conjunto D é o domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f, ou seja, { f (, )(, ) D}. f(, ) (, ) D (a, b) f(a, b) FIGURA Frequentemente escrevemos f (, ) para tornar eplícitos os valores tomados por f em um ponto genérico (, ). As variáveis e são variáveis independentes e é a variável dependente. [Compare com a notação f () para as funções de uma única variável.] Uma função de duas variáveis é simplesmente aquela cujo domínio é um subconjunto de R e cuja imagem é um subconjunto de R. Uma maneira de visualiar essa função é pelo diagrama de setas (veja a Figura ), no qual o domínio D é representado como um subconjunto do plano e a imagem é um conjunto de números na reta real, mostrado como um eio. Por eemplo, se f (, ) representa a temperatura em um ponto (, ) em uma placa de metal chata com o formato de D, podemos pensar que o eio é um termômetro eibindo as temperaturas registradas. Se a função f é dada por uma fórmula e seu domínio não é especificado, fica subtendido que o domínio de f é o conjunto de todos os pares (, ) para os quais a epressão dada fornece um número real bem definido. EXEMPLO Para cada uma das seguintes funções, calcule f(3, ) e encontre o domínio. s (a) f, (b) f (, ) ln( ) SOLUÇÃO ++= (a) f 3, s3 3 s6 FIGURA Domínio de = œ ++ f(, )= - A epressão para f está bem definida se o denominador for diferente de e o número cuja rai quadrada será etraída for não negativo. Portanto, o domínio de f é D {(, ), } A desigualdade, ou, descreve os pontos que estão na linha ou acima dela, enquanto significa que os pontos na linha devem ser ecluídos do domínio. (Veja a Figura.) (b) f (3, ) 3 ln( 3) 3 ln

12 DERIVADAS PARCIAIS 793 Já que ln( ) é definido somente quando, isto é,, o domínio de f é D {(, ) }. Isso representa o conjunto de pontos à esquerda da parábola. (Veja a Figura 3.) Nem todas as funções podem ser representadas por fórmulas eplícitas. A função do próimo eemplo é descrita verbalmente e por estimativas numéricas de seus valores. = EXEMPLO Em regiões com inverno severo, o índice de sensação térmica é frequentemente utiliado para descrever a severidade aparente do frio. Esse índice W mede a temperatura subjetiva que depende da temperatura real T e da velocidade do vento, v. Assim, W é uma função de T e de v, e podemos escrever W f (T, v). A Tabela apresenta valores de W compilados pelo Serviço Nacional de Meteorologia dos Estados Unidos e pelo Serviço Meteorológico do Canadá. TABELA Índice de sensação térmica como função da temperatura do ar e velocidade do vento Temperatura real ( C) Por eemplo, a tabela mostra que, se a temperatura é 5 ºC e a velocidade do vento, 5 km/h, então subjetivamente parecerá tão frio quanto uma temperatura de cerca de 5 ºC sem vento. Portanto, f (5, 5) 5 EXEMPLO 3 Em 98, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelaram o crescimento da economia norte-americana durante o período de Eles consideraram uma visão simplificada da economia em que a saída da produção é determinada pela quantidade de trabalho envolvido e pela quantidade de capital investido. Apesar de eistirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função utiliada para modelar a produção era da forma P(L, K) bl a K a onde P é a produção total (valor monetário dos bens produidos no ano); L, a quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e K, a quantidade de capital investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios). Na Seção 4.3, mostraremos como obter a Equação a partir de algumas hipóteses econômicas. Cobb e Douglas usaram dados econômicos publicados pelo governo para construir a Tabela. Eles tomaram o ano de 899 como base e P, L e K foram tomados valendo nesse ano. Os valores para outros anos foram epressos como porcentagens dos valores de 899. Cobb e Douglas utiliaram o método dos mínimos quadrados para ajustar os dados da Tabela à função Velocidade do vento (km/h) T v P(L, K),L,75 K,5 FIGURA 3 Domínio de f(, )= ln( -) O Novo Índice de Sensação Térmica Um novo índice de sensação térmica foi introduido em novembro de e é muito mais preciso que o velho índice de medição de quanto frio se sente quando está ventando. O novo índice é baseado em um modelo de quão rápido um rosto humano perde calor. Foi desenvolvido por meio de ensaios clínicos nos quais voluntários eram epostos a uma variedade de temperaturas e velocidade do vento em um túnel de vento refrigerado. TABELA Ano P L K

13 794 CÁLCULO + =9 (Veja o Eercício 79 para detalhes.) Se usarmos o modelo dado pela função na Equação para calcular a produção nos anos de 9 e 9, obteremos os valores P(47, 8),(47),75 (8),5 6,9 P(94, 47),(94),75 (47),5 35,8 que são muito próimos dos valores reais, 59 e 3. A função de produção foi usada posteriormente em muitos contetos, de empresas individuais até questões globais de economia. Ela passou a ser conhecida como função de produção de Cobb-Douglas. Seu domínio é {(L, K) L, K }, pois, como L e K representam mão de obra e capital, não podem ser negativos. EXEMPLO 4 Determine o domínio e a imagem de t, s9. SOLUÇÃO O domínio de t é D, 9, 9 que é o disco com centro (, ) e raio 3 (veja a Figura 4). A imagem de t é _3 FIGURA 4 Domínio de g(, )=œ Como é a rai quadrada positiva,. Da mesma forma, por causa de 9 9, temos Assim, a imagem é s9,, D s9 3 3, 3 S {,, f (, ) } Gráficos Outra forma de visualiar o comportamento de uma função de duas variáveis é considerar seu gráfico. FIGURA 5 f(, ) D (,, ) (,, 6) Definição Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (,, )em R 3 tal que f (, )e (, ) pertença a D. Assim como o gráfico de uma função f de uma única variável é uma curva C com equação f (), o gráfico de uma função f com duas variáveis é uma superfície S com equação f (, ). Podemos visualiar o gráfico S de f como estando diretamente acima ou abaio de seu domínio D no plano (veja a Figura 5). EXEMPLO 5 Esboce o gráfico da função f (, ) 6 3. (,, ) FIGURA 6 (, 3, ) SOLUÇÃO O gráfico de f tem a equação 6 3, ou 3 6, que representa um plano. Para desenharmos o plano, primeiro achamos as intersecções com os eios. Colocando na equação, obtemos como a intersecção com o eio. Da mesma forma, a intersecção com é 3 e a intersecção com é 6. Isso nos permite esboçar a porção do gráfico pertencente ao primeiro octante na Figura 6. A função do Eemplo 5 é um caso especial da função f (, ) a b c e é chamada função linear. O gráfico de uma dessas funções tem a equação a b cmmmoummma b c e, portanto, é um plano. Do mesmo modo que as funções lineares de uma única variável são importantes no cálculo de uma variável, veremos que as funções lineares de duas variáveis têm um papel central no cálculo com muitas variáveis. EXEMPLO 6 Esboce o gráfico de t, s9.

14 DERIVADAS PARCIAIS 795 SOLUÇÃO O gráfico tem a equação s9. Elevando ao quadrado ambos os lados da equação, obtemos 9, ou 9, que reconhecemos como a equação da esfera de centro na origem e raio 3. Mas, como, o gráfico de t é somente a metade superior da esfera (veja a Figura 7). OBSERVAÇÃO Uma esfera inteira não pode ser representada por uma única função de e. Como vimos no Eemplo 6, o hemisfério superior da esfera 9 é representado pela função t, s9. O hemisfério inferior é representado pela função h, s9. EXEMPLO 7 Utilie o computador para traçar o gráfico da função de produção de Cobb-Douglas P(L, K),L,75 K,5. SOLUÇÃO A Figura 8 mostra o gráfico de P para os valores de mão de obra L e capital K que estão entre e 3. O computador utiliou os cortes verticais para desenhar a superfície. Vemos a partir desses cortes que o valor da produção P aumenta com o crescimento de L ou de K, como esperado. (,, 3) (, 3, ) (3,, ) FIGURA 7 Gráfico de g(, )= œ P FIGURA 8 3 K L 3 EXEMPLO 8 Determine o domínio e a imagem e esboce o gráfico de h(, ) 4. SOLUÇÃO Observe que h(, ) é definida para todos os possíveis pares ordenados de números reais (, ) e seu domínio é R, o plano todo. A imagem de h é o conjunto [, ) de todos os reais não negativos. [Observe que e, portanto h(, ) para todo e.] O gráfico de h tem a equação 4, que é o paraboloide elíptico que esboçamos no Eemplo 4 na Seção.6. Os cortes horiontais são elipses e os cortes verticas são parábolas (veja a Figura 9). FIGURA 9 Gráfico de h(, )=4 + Eistem programas de computador desenvolvidos para traçar os gráficos de funções de duas variáveis. Na maioria desses programas, são desenhados os cortes nos planos verticais k e k para os valores de k igualmente espaçados, e as linhas do gráfico que estariam escondidas são removidas. A Figura mostra uma série de gráficos de diversas funções, gerados por computador. Observe que obtemos uma visão melhor da função quando a giramos de modo a olhá-la por diferentes pontos de vista. Nos itens (a) e (b) o gráfico de f é achatado e próimo do plano, eceto perto da origem; isso se dá porque e é muito pequeno quando ou é grande.

15 796 CÁLCULO (a) f(, )=( +3 )e _ _ (b) f(, )=( +3 )e _ _ FIGURA (c) f(, )=sen +sen sen sen (d) f(, )= Curvas de Nível Até aqui vimos dois métodos diferentes para visualiar funções: diagramas de flechas e gráficos. Um terceiro método, emprestado dos cartógrafos, é um mapa de contorno, em que os pontos com elevações constantes são ligados para formar curvas de contorno ou curvas de nível. Definição As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equação f (, ) k, onde k é uma constante (na imagem de f ) L ONESOME MTN. A 5.5 B 5. f(, )= k= 45 k=4 k= 35 k=3 k= 5 k= 4.5 L o n e s o m e C r e e k FIGURA FIGURA

16 DERIVADAS PARCIAIS 797 Uma curva de nível f (, ) k é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor de f é k. Em outras palavras, ela mostra onde o gráfico de f tem altura k. Você pode ver na Figura a relação entre as curvas de nível e os cortes horiontais. As curvas de nível f (, ) k são apenas cortes do gráfico de f no plano horiontal k projetados sobre o plano. Assim, se você traçar as curvas de nível da função e visualiá-las elevadas para a superfície na altura indicada, poderá imaginar o gráfico da função colocando as duas informações juntas. A superfície será mais inclinada onde as curvas de nível estiverem mais próimas umas das outras. Ela será um pouco mais achatada onde as curvas de nível estão distantes umas das outras. Um eemplo comum de curvas de nível ocorre em mapas topográficos de regiões montanhosas, como o mapa da Figura. As curvas de nível são aquelas em que a elevação em relação ao nível do mar é constante. Se você andar sobre um desses contornos, nem descerá nem subirá. Outro eemplo comum é a função temperatura apresentada no parágrafo inicial desta seção. Aqui as curvas de nível são chamadas curvas isotérmicas e ligam localidades que têm a mesma temperatura. A Figura 3 mostra um mapa de clima indicando as temperaturas médias do mês de janeiro. Isotérmicas são as curvas que separam as bandas destacadas. TEC Visual 4. A apresenta uma animação da Figura ao mostrar as curvas de nível sendo elevadas para os gráficos das funções. FIGURA 3 Temperaturas médias ao nível do mar no mês de janeiro, em graus Celsius TARBUCK, EDWARD J.; TASA, DENNIS, ATMOSPHERE, THE: AN INTRODUCTION TO METEOROLOGY,. ed.. Impresso e reproduido eletronicamente com permissão da Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ EXEMPLO 9 Um mapa de contorno para uma função f é mostrado na Figura 4. Use-o para estimar os valores de f (, 3) e f (4, 5). SOLUÇÃO O ponto (, 3) está na parte entre as curvas de nível cujos valores de são 7 e 8. Estimamos que f (, 3) 73 Da mesma forma, estimamos que f (4, 5) 56 EXEMPLO Esboce as curvas de nível da função f (, ) 6 3 para os valores k 6,, 6,. SOLUÇÃO As curvas de nível são 6 3 kmmmoummm3 (k 6) Essa é uma família de retas com inclinação. As quatro curvas de nível particulares pedidas com k 6,, 6 e são 3, 3 6, 3 e 3 6. Elas estão esboçadas na Figura 5. As curvas de nível são retas paralelas, igualmente espaçadas, porque o gráfico de f é um plano (veja a Figura 6) FIGURA k= k= k= k=_6 EXEMPLO Esboce as curvas de nível da função t, s9 MMMparaMMMk,,, 3 FIGURA 5 Mapa de contorno de f(, )=6-3-

17 798 CÁLCULO SOLUÇÃO As curvas de nível são s9 k ou 9 k Essa é uma família de circunferências concêntricas com centro em (, ) e raio s9 k. Os casos k,,, 3 são mostrados na Figura 6. Tente visualiar essas curvas de nível elevadas para formar uma superfície e compare com o gráfico de t (um hemisfério) na Figura 7. (Veja a TEC Visual 4.A.) k=3 k= k= k= (3, ) FIGURA 6 Mapa de contorno de g(, )=œ 9- - TEC Visual 4.B demonstra a coneão entre as superfícies e seus mapas de contorno. EXEMPLO Esboce algumas curvas de nível da função h(, ) 4. SOLUÇÃO As curvas de nível são 4 kmmmoummm (k ) k que, para k, descrevem uma família de elipses com semieios sk e sk. A Figura 7(a) mostra um mapa de contorno de h desenhado por um computador. A Figura 7(b) apresenta essas curvas de nível elevadas para o gráfico de h (um paraboloide elíptico), onde elas se tornam os cortes horiontais. Vemos na Figura 7 como o gráfico de h é montado a partir de suas curvas de nível. 4 FIGURA 7 O gráfico de h(, )=4 + + é formado levantando-se as curvas de nível. (a) Mapa de contorno (b) Cortes horiontais são curvas de nível elevadas K 3 EXEMPLO 3 Trace as curvas de nível da função de produção de Cobb-Douglas do Eemplo 3. SOLUÇÃO Na Figura 8 usamos o computador para desenhar um mapa de contorno da função de produção de Cobb-Douglas P(L, K),L,75 K,5 FIGURA L As curvas de nível são rotuladas com o valor da produção P. Por eemplo, a curva de nível indicada com 4 mostra todos os valores da mão de obra L e do capital de investimento K que resultam em uma produção de P 4. Vemos que, para um valor fio de P, L aumenta e K decresce e vice-versa. Para alguns propósitos, o mapa de contorno é mais útil que um gráfico. Certamente isto é verdadeiro no Eemplo 3. (Compare a Figura 8 com a Figura 8.) Isso também é verdadeiro na estimativa dos valores da função, como no Eemplo 9.

18 DERIVADAS PARCIAIS 799 A Figura 9 apresenta algumas curvas de nível geradas por computador juntamente com os gráficos correspondentes. Observe que as curvas de nível na parte (c) da figura aparecem muito amontoadas perto da origem. Isso corresponde ao fato de o gráfico na parte (d) ser muito íngreme perto da origem. (a) Curvas de nível de f(, )=_e _ _ (b) Duas vistas def(, )=_e _ _ FIGURA 9 (c) Curvas de nível de f(, )= _3 + + (d) f(, )= _3 + + Funções de Três ou Mais Variáveis Uma função com três variáveis, f, é uma regra que associa a cada tripla ordenada (,, ) em um domínio D R 3 um único número real, denotado por f (,, ). Por eemplo, a temperatura T em um ponto da superfície terrestre depende da latitude e da longitude do ponto e do tempo t, de modo que podemos escrever T f (,, t). EXEMPLO 4 Encontre o domínio de f se f (,, ) ln( ) sen SOLUÇÃO A epressão para f (,, ) é definida enquanto, assim, o domínio de f é D {(,, ) R 3 } Esse é um semiespaço que consiste em todos pontos que estão acima do plano. É muito difícil visualiar uma função de f de três variáveis por seu gráfico, já que ele estaria em um espaço de quatro dimensões. No entanto, obtemos certo conhecimento de f ao eaminar suas superfícies de nível, que são aquelas com equações f (,, ) k, onde k é uma constante. Se o ponto (,, ) move-se ao longo de uma superfície de nível, o valor f (,, ) permanece fio. EXEMPLO 5 Encontre as superfícies de nível da função. f (,, )

19 84 CÁLCULO IV V VI ; ; ; Descreva as superfícies de nível da função. 65. f (,, ) f (,, ) f (,, ) 68. f (,, ) 69 7 Descreva como o gráfico de t é obtido a partir do gráfico de f. 69. (a) t(, ) f (, ) (b) t(, ) f (, ) (c) t(, ) f (, ) (d) t(, ) f (, ) 7. (a) t(, ) f (, ) (b) t(, ) f (, ) (c) t(, ) f ( 3, 4) 7 7 Utilie um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Imprima aquela que apresente melhor os picos e vales. Você acha que essa função tem um valor máimo? Você poderia identificar os pontos do gráfico correspondentes aos máimos locais? E aos mínimos locais? 7. f (, ) f (, ) e Utilie um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Comente o comportamento da função no limite. O que acontece quando e se tornam muito grandes? O que acontece quando (, ) se aproima da origem? 73. f, 74. f, 75. Use um computador para investigar a família de funções f (, ) e c. De que maneira a forma do gráfico depende de c? ; 76. Use um computador para investigar a família de superfícies (a b )e ; Como a forma do gráfico depende dos números a e b? 77. Use um computador para investigar a família de superfícies c. Em particular, você deve determinar os valores de transição de c para os quais a superfície muda de um tipo de superfície quádrica para outro. 78. ; Faça o gráfico da função f, s f, e s f, lns f, sen(s ) ; e Em geral, se t(t) é uma função de uma variável, como obter o gráfico de a partir do gráfico de t? f, s f, t(s ) 79. (a) Mostre que, tomando logaritmos, a função geral de Cobb- -Douglas P bl a K a pode ser epressa como ln P K ln b ln L K (b) Se deiarmos ln(l/k)e ln(p/k), a equação no item (a) torna-se a equação linear a ln b. Use a Tabela (no Eemplo 3) para faer a tabela dos valores de ln(l/k) e ln(p/k) para os anos Em seguida, use uma calculadora gráfica ou o computador para encontrar a linha de regressão dos quadrado mínimos pelos pontos (ln(l/k), ln(p/k)). (c) Dedua que a função de produção de Cobb-Douglas é P,L,75 K,5. 4. Limites e Continuidade Vamos comparar o comportamento das funções f, sen e t, quando e se aproimam de [e, portanto, o ponto (, ) se aproima da origem]. As Tabelas e mostram valores de f (, ) e t(, ), com precisão de três casas decimais, para pontos (, ) próimos da origem. (Observe que nenhuma das funções está definida na origem.)

20 ( ) DERIVADAS PARCIAIS 85 TABELA Valores de f (, ) TABELA Valores de t(, ),,5,,,5,,,5,,,5,,455,759,89,84,89,759,455,759,959,986,99,986,959,759,89,986,999,,999,986,89,84,99,,,99,84,89,986,999,,999,986,89,759,959,986,99,986,959,759,455,759,89,84,89,759,455,,5,,,5,,,5,,,5,,,6,93,,93,6,,6,,74,,74,,6,93,74,,,,74,93,,93,,74,,,,,,,74,,93,6,,74,,74,,6,,6,93,,93,6, Parece que, quando (, ) se aproima de (, ), os valores de f (, ) se aproimam de, ao passo que os valores de t(, ) não se aproimam de valor algum. Essa nossa observação baseada em evidências numéricas está correta, e podemos escrever lim, l, sen e lim, l, não eiste Em geral, usamos a notação lim f, L, l a, b para indicar que os valores de f (, ) se aproimam do número L à medida que o ponto (, ) se aproima do ponto (a, b) ao longo de qualquer caminho que esteja no domínio de f. Em outras palavras, podemos faer os valores de f (, ) tão próimos de L quanto quisermos tornando o ponto (, ) suficientemente próimo do ponto (a, b), mas não igual a (a, b). Uma definição mais precisa é a seguinte: Definição Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próimos de (a, b). Diemos que o limite de f (, ) quando (, ) tende a(a, b) é L e escrevemos lim f, L, l a, b se para todo número e houver um número correspondente de d tal que se, D e s a b então Outras notações para o limite da Definição são f, L lim f, L l a l b e f, l L as, l a, b Observe que f (, ) L corresponde à distância entre os números f (, ) e L, e s a b é a distância entre o ponto (, ) e o ponto (a, b). Assim, a Definição di que a distância entre f (, ) e L pode ser feita arbitrariamente pequena se tomarmos a D (, ) (a, b) f L+ L L- L+ L L- S (a, b) D FIGURA FIGURA

21 86 CÁLCULO b FIGURA 3 a distância de (, ) a (a, b) suficientemente pequena (mas não nula). A Figura ilustra a Definição por meio de um diagrama de setas. Se qualquer intervalo pequeno (L e, L e) for dado em volta de L, poderemos encontrar um disco D d com o centro em (a, b) e raio d tal que f mapeia todos os pontos em D d [eceto, possivelmente, (a, b)] no intervalo (L e, L e). Outra ilustração da Definição é dada na Figura, onde a superfície S é o gráfico de f. Se e for dado, podemos achar d tal que se (, ) for restrito ao disco D d e (, ) (a, b), então a parte correspondente de S fica entre os planos horiontais L e e L e. Para as funções de uma única variável, quando faemos tender a a, só eistem duas direções possíveis de aproimação: pela esquerda ou pela direita. Lembremos a partir do Capítulo que se lim m a f () lim m a f (), então lim m a f () não eiste. Já para as funções de duas variáveis essa situação não é tão simples porque eistem infinitas maneiras de (, ) se aproimar de (a, b) por uma quantidade infinita de direções e de qualquer maneira que se queira (veja a Figura 3), bastando que (, ) se mantenha no domínio de f. A Definição di que a distância entre f (, ) e L pode ser feita arbitrariamente pequena se tomarmos a distância de (, ) para (a, b) suficientemente pequena (mas não nula). A definição refere-se somente à distância entre (, ) e (a, b). Ela não se refere à direção da abordagem. Portanto, se o limite eiste, f (, ) deve se aproimar do mesmo valor-limite, independentemente do modo como (, ) se aproima de (a, b). Assim, se acharmos dois caminhos diferentes de aproimação ao longo dos quais f (, ) tenha limites diferentes, segue então que lim (, ) m (a, b) f (, ) não eiste. Se f (, ) m L quando (, ) m (a, b) ao longo do caminho C e f (, ) m L quando (, ) m (a, b) ao longo do caminho C, com L L, então lim (, ) m (a, b) f (, ) não eiste. EXEMPLO Mostre que lim não eiste., l, SOLUÇÃO Seja f (, ) ( )/( ). Primeiro vamos considerar (, ) ao longo do eio. Então dá f (, ) / para todo, portanto f=_ f (, ) m MMMquandoMMM(, ) m (, ) ao longo do eio f= Agora vamos nos aproimar ao longo do eio, colocando. Então f, para todo, portanto f (, ) m quando (, ) m (, ) ao longo do eio FIGURA 4 (veja a Figura 4). Como f tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não eiste. (Isso confirma a conjectura que fiemos com base na evidência numérica no início desta seção.) f= f= f= = EXEMPLO Se f (, ) /( ), será que Mlim f (, ) eiste? (, )m(, ) SOLUÇÃO Se, então f (, ) /. Portanto, f (, ) m MMMquandoMMM(, ) m (, ) ao longo do eio Se, então f (, ) /, portanto f (, ) m MMMquandoMMM(, ) m (, ) ao longo do eio Apesar de termos encontrado valores idênticos ao longo dos eios, não podemos afirmar que o limite eista e seja. Vamos agora nos aproimar de (, ) ao longo de outra reta; por eemplo,. Para todo, f, FIGURA 5

22 DERIVADAS PARCIAIS 87 Portanto f (, ) m MMMquando MMM(, ) m (, ) ao longo de (Veja a Figura 5.) Como obtivemos valores diferentes para o limite ao longo de caminhos diferentes, podemos afirmar que o limite dado não eiste. A Figura 6 nos dá uma ideia do que acontece no Eemplo. A cumeeira que ocorre acima da reta corresponde ao fato de que f (, ) para todos os pontos (, ) dessa reta, eceto na origem. FIGURA 6 f(, )= + EXEMPLO 3 Se f,, será que lim f, eiste? 4, l, SOLUÇÃO Com a Solução do Eemplo em mente, vamos tentar economiar tempo deiando (, ) m (, ) ao longo de qualquer reta não vertical através da origem. Tomemos m, onde m é a inclinação da reta e f, f, m m m m 3 4 m 4 4 m m 4 Portanto f (, ) m quando (, ) m (, ) ao longo de m A Figura 7 mostra o gráfico da função do Eemplo 3. Observe a cumeeira sobre a pa- Logo, f tem o mesmo limite ao longo de qualquer reta não vertical que passe pela origem. Mas isso ainda não garante que o limite seja, pois, se tomarmos agora (, ) m (, ) ao longo da parábola, teremos f, f, 4 4 4,5 _,5 Portanto f (, ) m MMMquandoMMM(, ) m (, ) ao longo de FIGURA 7 Como caminhos diferentes levaram a resultados diferentes, o limite não eiste. Vamos agora olhar o caso em que o limite eiste. Como para a função de uma única variável, o cálculo do limite de funções com duas variáveis pode ser muito simplificado usando- -se as propriedades dos limites. As Propriedades do Limite listadas na Seção.3, no Volume I, podem ser estendidas para as funções de duas variáveis: o limite da soma é a soma dos limites; o limite do produto é o produto dos limites; e assim por diante. Em particular, as seguintes equações são verdadeiras: lim a, l a, b lim b, l a, b lim c c, l a, b O Teorema do Confronto também vale. EXEMPLO 4 Ache lim, l, 3 se eistir. SOLUÇÃO Como no Eemplo 3, podemos mostrar que o limite ao longo de uma reta qualquer que passa pela origem é. Isso não prova que o limite seja, mas o limite ao longo das parábolas e também obtemos o limite, portanto começamos a suspeitar que o limite eiste e é igual a.

23 88 CÁLCULO Seja e. Queremos encontrar d tal que se s então ou seja, se s então 3 3 Mas uma ve que, portanto /( ) e, assim, Outro modo de resolver o Eemplo 4 é pelo Teorema do Confronto em ve de usar a Definição. De segue que Mlim 3 (, )m(, ) e, portanto, a primeira desigualdade em 3 mostra que o limite dado é. 3 Dessa forma, se escolhermos d e/3 e fiermos s, teremos Logo, pela Definição, 3 3s 3 3 3s 3s lim, l, Continuidade Lembremo-nos de que o cálculo de limites de funções contínuas de uma única variável é fácil. Ele pode ser obtido por substituição direta, porque, pela definição de função contínua, lim m a f () f (a). Funções contínuas de duas variáveis também são definidas pela propriedade da substituição direta. 4 Definição Uma função f de duas variáveis é dita contínua em (a, b)se lim f, f a, b, l a, b Diemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto (a, b) de D. O significado intuitivo de continuidade é que, se o ponto (, ) varia por uma pequena quantidade, o valor de f (, ) variará por uma pequena quantidade. Isso quer dier que a superfície que corresponde ao gráfico de uma função contínua não tem buracos ou rupturas. Usando as propriedades de limites, podemos ver que soma, diferença, produto e quociente de funções contínuas são contínuos em seus domínios. Vamos usar esse fato para dar eemplos de funções contínuas. Uma função polinomial de duas variáveis (ou simplesmente polinômio) é uma soma de termos da forma c m n, onde c é uma constante e m e n são números inteiros não negativos. Uma função racional é uma raão de polinômios. Por eemplo, f (, ) é um polinômio, ao passo que t, é uma função racional. Os limites em mostram que as funções f (, ), t(, ) e h(, ) c são contínuas. Como qualquer polinômio pode ser obtido a partir das funções f, t e h por multiplicação e adição, segue que todos os polinômios são funções contínuas em R. Da mesma forma, qualquer função racional é contínua em seu domínio, porque ela é o quociente de funções contínuas. EXEMPLO 5 Calcule lim , l,

24 DERIVADAS PARCIAIS 89 SOLUÇÃO Como f (, ) é um polinômio, ela é contínua em qualquer lugar, portanto podemos calcular seu limite pela substituição direta: lim , l, Onde a função f, EXEMPLO 6 é contínua? SOLUÇÃO A função f é descontínua em (, ), pois ela não está definida nesse ponto. Como f é uma função racional, ela é contínua em seu domínio, o que corresponde ao conjunto D {(, )(, ) (, )}. EXEMPLO 7 Seja se,, t, se,, Aqui t está definida em (, ), mas t ainda é descontínua porque lim, l, t, não eiste (veja o Eemplo ). EXEMPLO 8 Seja 3 se,, f, se,, Sabemos que f é contínua para (, ) (, ), uma ve que ela é uma função racional definida nessa região. Do Eemplo 4, temos que A Figura 8 mostra o gráfico da função contínua do Eemplo 8. lim f,, l, lim, l, 3 f, Portanto f é contínua em (, ) e, consequentemente, contínua em R. Como para as funções de uma variável, a composição é outra maneira de combinar funções contínuas para obter outra também contínua. De fato, pode ser mostrado que, se f é uma função contínua de duas variáveis e t é uma função contínua de uma única variável definida na imagem de f, a função composta h t f definida por h(, ) t( f (, )) também é contínua. FIGURA 8 EXEMPLO 9 Onde a função h(, ) arctg(/) é contínua? SOLUÇÃO A função f (, ) / é racional e, desse modo, contínua em todo lugar, eceto sobre a reta. A função t(t) arctg t é contínua em toda parte. Logo, a função composta t( f (, )) arctg(/) h(, ) é contínua, eceto onde. O desenho da Figura 9 mostra a ruptura eistente no gráfico da função h acima do eio. _ Funções de Três ou Mais Variáveis Tudo o que fiemos até aqui pode ser estendido para as funções com três ou mais variáveis. A notação lim f,, L,, l a, b, c FIGURA 9 A função h(, )=arctg (/) é descontínua, onde =. significa que os valores de f (,, ) se aproimam do número L à medida que o ponto (,, ) se aproima do ponto (a, b, c) ao longo de qualquer caminho que esteja no domínio de f. Como a distância entre dois pontos (,, ) e (a, b, c) em R 3 é dada por s a b c, podemos escrever a definição precisa da seguinte forma: para todo número e eiste um número correspondente d tal que se (,, ) está no domínio de f e então s a b c f,, L

25 8 CÁLCULO A função f é contínua em (a, b, c) se Por eemplo, a função lim f,, f a, b, c,, l a, b, c f,, é uma função racional em três variáveis, e portanto é contínua em todo ponto de R 3, eceto onde. Em outras palavras, é descontínua na esfera com o centro na origem e raio. Se usarmos a notação vetorial introduida no fim da Seção 4., poderemos escrever as definições de limite para as funções de duas ou três variáveis de uma forma compacta, como a seguir. 5 Se f é definida em um subconjunto D de R n, então lim m a f () L significa que para todo número e eiste um número correspondente d tal que se D e a d, então f () L e Observe que se n, então e a a e 5 é eatamente a definição do limite para as funções de uma única variável. Para o caso n, temos k, l, a ka, bl e a s a b, de modo que 5 se torna a Definição. Se n 3, então k,, l, a ka, b, cl, e 5 é a definição de limite de uma função de três variáveis. Em cada caso, a definição de continuidade pode ser escrita como lim f f a l a 4. Eercícios. Suponha que lim (, )m(3, ) f (, ) 6. O que podemos dier do valor de f (3, )? E se a função f for contínua?. Eplique por que cada função é contínua ou descontínua. (a) A temperatura eterna como função da latitude, da longitude e do tempo. (b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitude e do tempo. (c) O custo da tarifa do tái como função da distância percorrida e do tempo gasto. 3 4 Utilie uma tabela de valores numéricos de f (, ) para (, ) perto da origem para conjecturar sobre o limite de f (, ) quando (, ) m (, ). Em seguida, eplique por que sua conjectura está correta. 3. f, Determine o limite, se eistir, ou mostre que o limite não eiste. 5. lim 6., l, lim 8., l, 3 f, lim, l, e cos lim ln, l, lim., l, cos. lim., l, 3 3. lim 4., l, s e 5. lim 6., l, lim 8., l, s 9. lim e tg.,, l p, u,. lim.,, l,, 4 lim, l, lim, l, lim, l, lim, l, lim,, l,, lim,, l,, 3 4 Utilie um gráfico feito por computador para eplicar por que o limite não eiste lim 4. lim, l, 3 5, l, sen ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em ; lim, l, sen ( ) 4 4

26 DERIVADAS PARCIAIS 8 ; 5 6 Determine h(, ) t( f (, )) e o conjunto no qual h é contínua. 5. t(t) t t,mmf (, ) t(t) t ln t,mmf, 7 8 Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilie a fórmula para eplicar o que você observou. 7. f (, ) e /( ) 8. f, 9 38 Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. 9. F, 3. F(, ) cos s e 3. F, G(, ) ln( 4) 34. G(, ) tg (( ) ) 35. f (,, ) arcsen ( ) H, e e e 36. f (,, ) s ln 3 se,, 37. f, se,, se,, 38. f, se,, ; ; 39 4 Utilie coordenadas polares para determinar o limite. [Se (r, u) são as coordenadas polares do ponto (, ) com r, observe que r m quando (, ) m (, ).] lim, l, 4. lim, l, ln e 4. lim, l, 4. No início desta seção consideramos a função e conjecturamos que f (, ) m quando (, ) m (, ) com base em evidências numéricas. Utilie coordenadas polares para comprovar o valor do limite. Em seguida, faça o gráfico da função. 43. Trace o gráfico e analise a continuidade da função 44. Seja f, sen sen f, 4 seor f, se 4 (a) Mostre que f (, ) m quando (, ) m (, ) por qualquer caminho da forma m a passando por (, ) com a 4. (b) Independentemente do item (a), mostre que f é descontínua em (, ). (c) Mostre que f é descontínua em duas curvas inteiras. 45. Mostre que a função f dada por f () é contínua em R n. [Dica: Considere a ( a) ( a).] 46. Se c V n, mostre que a função f dada por f () c é contínua em R n. se se 4.3 Derivadas Parciais Em um dia quente, a umidade muito alta aumenta a sensação de calor, ao passo que, se o ar está muito seco, temos a sensação de temperatura mais baia que a indicada no termômetro. O Serviço Meteorológico do Canadá introduiu o humide (ou índice de temperatura-umidade) para descrever os efeitos combinados da temperatura e umidade. O humide I é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real for T e a umidade relativa for H. Desse modo, I é uma função de T e H e podemos escrever I f (T, H). A tabela de valores de I a seguir é a parte de uma tabela compilada pelo Serviço Meteorológico. T 6 H Umidade relativa (%) Temperatura real ( C) TABELA Índice de calor I como função da temperatura e umidade

27 8 CÁLCULO Se nos concentrarmos na coluna assinalada da tabela que corresponde à umidade relativa de H 6%, estaremos considerando o humide como uma função de uma única variável T para um valor fiado de H. Vamos escrever t(t) f (T, 6). Então, t(t) descreve como o humide I aumenta à medida que a temperatura real T aumenta quando a umidade relativa é 6%. A derivada de t quando T 3 ºC é a taa de variação de I com relação a T quando T 3 ºC: t3 h t3 t3 lim lim h l h h l f 3 h, 6 f 3, 6 h Podemos aproimar seu valor usando a Tabela e tomando h e : t3 t3 t3 f 3, 6 f 3, t3 t8 t3 f 8, 6 f 3, ,5 Calculando a média desses valores, podemos dier que a derivada t(3) é aproimadamente,75. Isso significa que, quando a temperatura real é 3 ºC e a umidade relativa é 6%, a temperatura aparente (humide) aumenta cerca de,75 ºC para cada grau que a temperatura real sobe. Olhemos agora para a linha sombreada da Tabela, que corresponde à temperatura fia de T 3 ºC. Os números nesta linha são valores da função G(H) f (3, H), que descreve como o humide aumenta à medida que a umidade relativa H aumenta quando a temperatura real é T 3 ºC. A derivada dessa função quando H 6% é a taa de variação de I com relação a H quando T 6%: G6 h G6 G6 lim lim h l h h l f 3, 6 h f 3, 6 h Tomando h 5 e 5, aproimamos o valor de G(6) usando os valores tabelados: G6 G65 G6 5 f 3, 65 f 3, ,4 G6 G55 G6 5 f 3, 55 f 3, , Ao calcularmos média desses valores, obtemos a estimativa G(6),3. Isso nos di que, quando a temperatura é de 3 ºC e a umidade relativa é de 6%, o humide aumenta em cerca de,3 ºC para cada ponto percentual que a umidade relativa aumenta. Em geral, se f é uma função de duas variáveis e, suponha que deiemos somente variar enquanto mantemos fio o valor de, por eemplo, faendo b, onde b é uma constante. Estaremos então considerando, realmente, uma função de uma única variável, a saber, t() f (, b). Se t tem derivada em a, nós a chamaremos derivada parcial de f em relação a em (a, b) e a denotaremos por f (a, b). Assim, f (a, b) t(a)mmmondemmmt() f (, b) Pela definição de derivada, temos e assim a Equação torna-se ta h ta ta lim h l h f a, b lim h l f a h, b f a, b h

28 DERIVADAS PARCIAIS 83 Da mesma forma, a derivada parcial de f em relação a em (a, b), denotada por f (a, b), é obtida mantendo-se fio ( a) e determinando-se a derivada em b da função G() f (a, ): 3 f a, b lim h l f a, b h f a, b h Com essa notação para as derivadas parciais, podemos escrever as taas de variação do humide I com relação à temperatura real T e umidade relativa H quando T 3 ºC e H 6% como segue: f T (3, 6),75MMMMf H (3, 6),3 Se agora deiamos o ponto (a, b) variar nas Equações e 3, f e f se tornam funções de duas variáveis. 4 Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções f e f definidas por f, lim h l f, lim h l f h, f, h f, h f, h Eistem diversas notações alternativas para as derivadas parciais. Por eemplo, em ve de f, podemos escrever f ou D f (para indicar a derivação em relação à primeira variável) ou f/. Mas aqui f/ não pode ser interpretada como uma raão de diferenciais. Notações para as Derivadas Parciais Se f (, ), escrevemos f, f f f, f D f D f f, f f f, f D f D f Para calcularmos as derivadas parciais, tudo o que temos a faer é nos lembrarmos, a partir da Equação, que a derivada parcial com relação a é a derivada ordinária da função t de uma única variável obtida mantendo-se fio o valor de. Então, temos a seguinte regra. Regra para Determinar as Derivadas Parciais de ƒ(, ). Para determinar f, trate como uma constante e derive f (, ) com relação a.. Para determinar f, trate como uma constante e derive f (, ) com relação a. EXEMPLO Se f (, ) 3 3, encontre f (, ) e f (, ). SOLUÇÃO Mantendo constante e derivando em relação a, obtemos f (, ) 3 3 e, assim, f (, ) Mantendo constante e derivando em relação a, obtemos f (, ) 3 4 f (, ) 3 4 8

29 84 CÁLCULO S T C P(a, b, c) (a, b, ) T C FIGURA As derivadas parciais de f em (a, b) são as inclinações das retas tangentes a C e C. =4- - Interpretações das Derivadas Parciais Para darmos uma interpretação geométrica para as derivadas parciais, lembremo-nos de que a equação f (, ) representa uma superfície S (o gráfico de f ). Se f (a, b) c, então o ponto P(a, b, c) está em S. Ao fiar b, estamos restringindo nossa atenção à curva C, na qual o plano vertical b intersecciona S. (Em outras palavras, C é o corte de S no plano b.) Dessa maneira, o plano vertical a intersecciona S em uma curva C. As curvas C e C passam pelo ponto P (Veja a Figura.) Observe que a curva C é o gráfico da função t() f (, b), de modo que a inclinação da tangente T em P é t(a) f (a, b). A curva C é o gráfico da função G() f (a, ), de modo que a inclinação da tangente T em P é G(b) f (a, b). Então, as derivadas parciais f (a, b) e f (a, b) podem ser interpretadas geometricamente como as inclinações das retas tangentes em P(a, b, c) aos cortes C e C de S nos planos b e a. Como vimos no caso da função humide, as derivadas parciais podem ser interpretadas como taas de variação. Se f (, ), então / representa a taa de variação de com relação a quando é mantido fio. Da mesma forma, / representa a taa de variação de em relação a quando é mantido fio. (,, ) FIGURA C = C = (, ) =4- - EXEMPLO Se f (, ) 4, determine f (, ) e f (, ) e interprete esses números como inclinações. SOLUÇÃO Temos f (, ) MMMf (, ) 4 f (, ) MMMf (, ) 4 O gráfico de f é o paraboloide 4, e o plano vertical intercepta-o na parábola,. (Como na discussão anterior, rotulamos C na Figura.) A inclinação da reta tangente a essa parábola no ponto (,, ) é f (, ). Da mesma forma, a curva C na qual o plano intercepta o paraboloide é a parábola 3,, e a inclinação da reta tangente em (,, ) é f (, ) = 4. (Veja a Figura 3.) A Figura 4 nos mostra o gráfico desenhado pelo computador correspondente à Figura. O item (a) eibe o plano interceptando a superfície para formar a curva C, e o item (b) mostra C e T. [Usamos as equações vetoriais r(t) kt,, t l para C e r(t) k t,, tl para T.] Do mesmo modo, a Figura 5 corresponde à Figura 3. (,, ) 4 4 FIGURA 3 (, ) 3 3 FIGURA 4 (a) (b) FIGURA 5

30 DERIVADAS PARCIAIS 85 f f EXEMPLO 3 Se f, sen, calcule e SOLUÇÃO Usando a Regra da Cadeia para funções de uma variável, temos f cos f cos cos cos EXEMPLO 4 Determine / e / se é definido implicitamente como uma função de e pela equação SOLUÇÃO Para determinarmos /, diferenciando implicitamente em relação a, tomando o cuidado de tratar como constante: Alguns sistemas de computação algébrica podem traçar superfícies definidas por equações implícitas com três variáveis. A Figura 6 mostra o desenho da superfície definida implicitamente pela equação do Eemplo 4. Resolvendo essa equação para /, obtemos Da mesma forma, derivando implicitamente em relação a, temos FIGURA 6 Funções de Mais de Duas Variáveis As derivadas parciais também podem ser definidas para funções de três ou mais variáveis. Por eemplo, se f é uma função de três variáveis, e, então sua derivada parcial em relação a é definida como f,, lim h l f h,, f,, h e é determinada olhando-se e como constantes e derivando f (,, ) em relação a. Se w f (,, ), então f w pode ser interpretada como a taa de variação de w com relação a quando e são mantidos fios. Entretanto, não podemos interpretá-la geometricamente porque o gráfico de f pertence ao espaço de dimensão quatro. Em geral, se u é uma função de n variáveis, u f (,,..., n ), sua derivada parcial em relação à i-ésima variável i é u i lim h l f,..., i, i h, i,..., n f,..., i,..., n h e podemos também escrever u f f i f i D i f i i EXEMPLO 5 Determine f, f e f se f (,, ) e ln. SOLUÇÃO Mantendo e constantes e derivando em relação a, temos f e ln Da mesma forma, e f e f e ln