Herinelto da Fonseca Josefa Casimiro Doutorando em «Métodos matemáticos e instrumentais»

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1 1 BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL: NEWTON VS PASCAL 1 Herinelto da Fonseca Josefa Casimiro Doutorando em «Métodos matemáticos e instrumentais» Palavras-chave: triângulo de Pascal, binômio de Newton, polinômio, termo livre, quadrado da soma, factorial, coeficientes, monômios, soma de cubos O determinado artigo trata das descobertas de grande importância na matemática moderna feitas por estes dois grandes matemáticos do século XVII. Vamos de uma maneira mais compreensível analisar o pensamento construtivo dos 1 Herinelto da Fonseca Josefa Casimiro 2016

2 2 dois: como realizar a operação de uma forma puramente lógica e algébrica, nas expressões da forma (a + b) n, onde n; a e b números reais, mas n N 2, em casos quando n for um número grande. E outra finalidade deste artigo, está nas possiveis conclusões, referentemente a melhor forma algébrica e qual das mesmas é a mais acessível para compreensão rápida e aplicação. Viajando um pouco na história, podemos confirmar que, o grande matemático francês Pascal foi mais velho do inglês Newton, numa diferença de 19 anos 2. Pascal conhecido como o clássico da literatura francesa, um dos fundadores da análise matemática, teoria das probabilidades e geometria projetiva, criador dos primeiros exemplos da técnica de contagem, autor da lei fundamental da hidrostática [3], não há sombras de dúvidas que foi o primeiro a dar solução a questão da resolução desses casos quando n for um número grande. E o grande Newton um dos fundadores da física clássica. O autor da obra fundamental "Princípios Matemáticos da Filosofia Natural", na qual ele expôs a lei da gravitação universal e as três leis da mecânica, que se tornou a base da mecânica clássica [3], por sua vez desenvolveu a sua técnica que mais abaixo mostraremos, independemente do Pascal. Quando os valores de n forem 2 e 3, teremos as seguintes fórmulas que já são do nosso conhecimento a partir da escola [3]: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Com ajuda delas é muito fácil encontrar algumas expressões. Como por exemplo: (2x + 3) 2 = (2x) (2x) = 4x x + 9 (2x + 3) 3 = (2x) (2x) x = 8x x x Mais informações sobre os trabalhos e bibliografia dos mesmos, o leitor pode ver no livro: Matemática No Mundo dos Números (NMN). Galeria dos grandes matemáticos. Herinelto Casimiro Pág. 223 e 225.

3 3 Mas se nós sermos obrigados a encontrar a expressão 2x + 3 não elavada a 2 ou 3, mas sim elevada a 10 ou ainda elevada a 20, 30, O que fazer? Para resolução deste problema, o grande matemático e físico francês Blaise Pascal a 350 anos atrás, inventou uma ferramenta especial para determinar estes coeficientes - "triângulo de Pascal" [3]: O determinado triângulo constrói-se de seguinte maneira. No tope do triângulo escreve-se 1. O número 1 corresponde à expressão (a + b) 0, uma vez que qualquer número com o expoente zero é sempre igual à 1. Construindo o triângulo, abaixo escreveremos mais uma vez 1. Estes são coeficientes da decomposição do mesmo binômio, com expoente 1: (a + b) 1 = a + b. Vamos em diante. Nos lados do triângulo formam unidades, quer dizer números 1, mas a soma de duas unidades, que se encontram no topo é 2. Estes são os coeficientes do polinômio com três termos " quadrado da soma 3 " ou ainda trinômio do quadrado perfeito: a 2 + 2ab + b 2. A próxima sequência, como anterior começa e termina com as unidades, mas entre elas - a soma dos dígitos que estão no tope: 1, 3, 3, 1. Obtemos os coeficientes da decomposição da "soma de cubos": a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. 3 Matemática No Mundo dos Números (NMN). Herinelto Casimiro Pág. 225.

4 4 A sequência dos coeficientes do binômio de expoente 4, está constituído por: 1, 4, 6, 4, 1; e em diante. Exemplos: Vamos decompor (2x + 3) 5, aqui a = 2x, b = 3 e n = 5. Conforme o triângulo de Pascal, teremos o seguinte: Isto é: (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 (2x + 3) 5 = (2x) 5 + 5(2x) (2x) (2x) (2x) Logo: (2x + 3) 5 = 32x x x x x Em contra partida, o famoso Newton resolve a questão com ajuda do seu binômio, que possui a forma 4 : n (a + b) n = C n k a n k b k = A 0 a n + A 1 a n 1 b + A 2 a n 2 b A n b n Onde: A k = C n k = k=0 k!(n k)! ; k número de série (expoente) do termo no polinômio. Lembrem-se que, o factorial é o produto dos números naturais de 1 até n, isto é: n denomina-se por. Mais informações [3, 116]. Exemplo, 5! = = 120. Memorizar esta fórmula não é fácil realmente. Mas vamos tentar analisá-la. É visível que o expoente do elemento a decresce, mas expoente do elemento b cresce e em qualquer polinômio contém a n e b n com coeficientes 1, porque [3]: A 0 = C n 0 = = = 1 e A 0!(n 0)! 0! n = C n n = = = 1 (n n)! 0! 4 Matemática No Mundo dos Números (NMN). Herinelto Casimiro Pág. 223.

5 5 É também evidente que, cada termo do polinômio aparece como o produto de determinados expoentes dos termos do binômio (a + b). Além disso, a soma dos expoentes é sempre igual a n. Por exemplo, na expressão (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 soma dos expoentes dos factores em todos os membros (monômios) é igual a três (3; 2 + 1; 1 + 2; 3). O mesmo aplica-se para qualquer outro expoente. A única questão é a seguinte - quais coeficientes devem ser colocados nos termos. Agora, voltaremos para o nosso problema. Suponhamos, que é preciso realizar operação com a seguinte expressão (2x + 3) 10, vamos escreve-lo em forma do binômio de Newton, teremos o seguinte: 10 (2x + 3) 10 = C k 10 a 10 k b k k=0 = A 0 (2x) 10 + A 1 (2x) A 2 (2x) A Como podemos notar que, A 0 e A 10 são iguais a 1, isto é, coeficiente quando x 10 é igual a 2 10 = 1024 e o termo livre (termo sem variável) é igual a 3 10 = 59049, mas os outros coeficientes vamos procurar na fórmula acima indicada. Por exemplo: encontrar o coeficiente quando x 9 na expressão (2x + 3) 10, temos que, por e simplesmente simplificar o processo em que A 1 (2x) 9 3 onde A 1 = C 1 10 = 10! = 1!9! 10, logo A 1 (2x) 9 3 = 10. (2x) 9 3 = 15360x 9, isto é, coeficiente quando x 9 é igual a Da mesma forma, podemos encontrar todos os outros restantes coeficientes A k. Depois de uma análise profunda como estes dois grandes matemáticos do século XVII resolveram a questão da expressão (a + b) n, quando o n for um número grande, sem sombras de dúvidas que o Pascal mostrou um ferramenta mais clara e

6 6 acessível para a compreenção e menos trabalhosa, em comparação com o binômio de Newton, que necessita de condições iniciais: A 0 = C n 0 = = = 1 e A 0!(n 0)! 0! n = C n n = = = 1, (n n)! 0! assim como o uso constante da expressão complementar A k = C n k = k!(n k)!, que pode causar aborrecimento por parte dos estudantes. Mas é de realçar, que o binômio de Newton apresenta melhor forma de raciocínio puramente matemático. O triângulo de Pascal é trabalhoso somente no momento da sua construção e principalmente quando o n for bastante grande, como por exemplo n = 20. Se caso haver necessidades de comprovar como será longo usar o binômio de Newton no caso quando n = 5, como o caso acima já feito, o leitor pode individualmente fazê-lo. Existe alguns erros típicos por parte dos estudantes no uso da expressão complementar A k = C n k = k!(n k)!. Geralmente, pode existir sim estes tipos de erros, como por exemplo, se escrevermos (a + b) 5 na forma do binômio de Newton, teremos o seguinte: (2x + 3) 5 = C 5 k a 5 k b k 5 k=0 = = A 0 (2x) 5 + A 1 (2x) A 2 (2x) A 3 (2x) A 4 (2x) A Sabendo que A 0 = 1 e A 5 = 1, logo o primeiro elemento (membro) do polinômio será (2x) 5 = ( )x 5 = 32x 5 e o último será somente 3 5 = 243. Neste dois elementos geralmente não aparecem muitos erros por parte dos estudantes. Os erros aparecem com mais frequência na localização dos demais elementos, por exemplo vamos determinar A 2 (2x) Determinando A 2, isso vem:

7 7 A 2 = C 5 2 = 5! 2!(5 2)! = 5! 2!3!, geralmente aí, os estudantes se dão o luxo de multiplicar 2! 3! é errado! Temos que fazer de seguinte modo: A 2 = 5! 2! 3! = = = 20 2 = 10 Logo: A 2 (2x) x 3 9 = 10 8x 3 9 = 720x 3. Boa sorte no estudo da matemática! Arigorosidade da minha matemática, siginifica, acima de tudo, honestidade e clareza. Literatura utilizada [1] Dicionário bibliográfico dos pesquisadores no ramos da matemática", Kiev, Radyans'ka Escola [2] História da Matemática, editado por A. P. Yushkevich, em três volumes, M., Ciência: Vol. 1. Desde os tempos antigos para início do período moderno [3] Matemática No Mundo dos Números (NMN), Herinelto Casimiro. 2015