Produtos Notáveis. 2 Proposta de ensino Proposta da atividade: O Quadrado da soma Quadrado da diferença. 4

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1 Programa de Iniciação a Docência em Matemática (UEM 2010)- Outubro 9: 1 9. c PIBID-MAT Produtos Notáveis Priscila Costa Ferreira de Jesus e Tatiane Oliveira Santos Resumo: Neste trabalho apresentamos uma proposta de atividade para o desenvolvimento de produtos notáveis que pode auxiliar o na comprensão deste tópico e no trabalho do professor. Para as demonstrações sugerimos um enfoque mais geométricas e a construção de materiais manipulativos que tem por objetivo a visualização destes produtos especiais. Uma atividade envolvendo o triângulo de Pascal é apresentada de modo a generalizar a construção do binômio de Newton. Alguns exercícios são sugeridos ao final do texto. Sumário 1 Introdução 1 2 Proposta de ensino Proposta da atividade: O Quadrado da soma. 3 4 Quadrado da diferença. 4 5 O produto da soma pela diferença 5 6 Curiosidade: Produtos notáveis e o Triângulo de Pascal 6 1. Introdução Nos Elementos, Euclides realiza todas as construções utilizando somente régua e compasso. Além disso, a régua não tem nenhuma marcação, nenhum número, nenhuma medida. Euclides e os antigos matemáticos gregos não faziam cálculos e nem estabeleciam medidas. Preocupavam-se apenas com relações que podiam obter geometricamente. A parte mais substancial do percurso efetuado pela matemática grega estava subordinada à geometria. Na Grécia antiga o raciocínio matemático baseava-se, quase unicamente, nas formas e figuras geométricas, assim, um segmento de reta representava também o seu próprio comprimento, o produto de dois segmentos de reta representava uma área retangular, o produto de três segmentos de reta representava um volume de um paralelepípedo. Isto é, efetuavam as operações aritméticas através das construções geométricas, por exemplo, se x e y representavam dois segmentos, então x.y era a área do retângulo de lados x e y. Para os geômetras gregos, um problema solúvel com régua não graduada e compasso era um problema cuja solução passava por construir os elementos desconhecidos, utilizando apenas a régua não graduada e o compasso, a partir dos elementos geométricos conhecidos. 1 Typeset by style. c Pibid Mat.

2 Produtos Notáveis 2 2. Proposta de ensino Ao abordar um conteúdo em sala de aula é importante sempre explicar ao aluno o porque estudar tal assunto. O conteúdo tratado neste texto é conhecido como Produtos Notaveis, e para isto, nós professores devemos entender também a importância deste conteúdo. Antes de qualquer coisa, o que são os produtos notáveis? Vamos entender o significado das palavras Produtos e Notaveis. Nos dicionários encontramos os seguintes significados: Produtos: o resultado de uma multiplicacao. Notáveis: Digno de nota, de atenção. Assim o termo Produtos Notáveis significa multiplicação que se destaca. Respondendo a nossa questão temos dois motivos fundamentais para o ensino de produtos notáveis: 1. O assunto esta proposto nos parâmetros curriculares nacionais. 2. É uma ferramenta que auxilia nos cálculos de álgebra e geometria. Se as fórmulas só forem impostas por nós professores, os alunos não saberão a origem das fórmulas e geralmente esquecem pelo fato de acharem que isso é decoreba. Neste texto temos o intuito de mostrar ao aluno como foram demonstradas geometricamente algumas das fórmulas, pois assim poderemos transmitir uma visão mais concreta do assunto Proposta da atividade: 1. Objetivos: Compreender geometricamente a demonstração da fórmula do quadrado da soma, diferença de dois quadrados e produto da soma pela diferença. 2. Conceitos a serem Desenvolvidos Quadrado da soma. Diferenca de dois quadrados. Produto da soma pela diferença. 3. Materiais Didáticos utilizados: Papel cartão. Tesoura. Régua. Lápis e borracha. É importante que o professor utilize as duas formas de demonstrações já que cada aluno tem a sua maneira própria de visualizar, então demonstraremos algebricamente e geometricamente.

3 Produtos Notáveis 3 3. O Quadrado da soma. Desenvolvimento desta atividade: Proponha ao aluno que recorte um quadrado de lados com medida a, um quadrado de lados com medida b e dois retângulos de lados com medidas a e b. Veja figura 1. Figura 1: Ilustrando as peças que serão produzidas Dada as figuras em (1) é importante aproveitar o momento para o enriquecimento da atividade com relação ao estudo das propriedades das figuras geométricas. Propomos ao professor que indague aos alunos quais são as maneiras de se obter a respectivas áreas, os ângulos que compõe as figuras, classificação das figuras geométricas e como encontrar seus perímetros. Com essas quatro figuras peça aos alunos que montem um quadrado utilizando todas as peças. Veja a figura 2. Figura 2: Ilustrando o quadrado da soma Questionem aos alunos as maneiras de obtermos a área deste quadrado formado por todas as peças.

4 Produtos Notáveis 4 O esperado são as seguintes respostas: (a+b) 2 (a+b)(a+b) a 2 +ba+ab+b 2 ou a 2 +ab+ab+b 2 ou a 2 +2ab+b 2 Reflita com os alunos a maneira que pensaram para calcular a área do quadrado montado e conclua que independentemente da maneira que foi calculada a área do quadrado de lados (a+b) o resultado tem que ser sempre igual já que se trata da mesma figura. Isto é, (a+b) 2 = (a+b).(a+b) = a 2 +b.a+a.b+b 2 = a 2 +a.b+a.b+b 2 = a 2 +2.a.b+b 2. Logo, (a+b) 2 = a 2 +2.a.b+b Quadrado da diferença. Desenvolvimento desta atividade: Com as figuras utilizadas no exercício anterior os desafiem a construir um quadrado de lado (a b). Os alunos devem sobrepor o lado de medida b dos retângulos sobre os lados do quadrado. Veja a figura 3. Figura 3: Ilustrando o quadrado da diferença Questione-os sobre as diferentes maneiras de se obter a área deste quadrado (quadrado azul). Esperam-se as seguintes respostas: (a b) 2 (a b)(a b) a 2 ba ab+b 2 ou a 2 2ab+b 2

5 Produtos Notáveis 5 Novamente reflita com os alunos a maneira que pensaram para calcular a área do quadrado. Conclua com os alunos que independentemente da maneira que foi calculada a área do quadrado de lados (a b), o resultado tem que ser sempre igual já que se trata da mesma figura. Isto é, (a b) 2 = (a b).(a b) = a 2 b.a a.b+b 2 = a 2 a.b a.b+b 2 = a 2 2.a.b+b 2. Logo, (a b) 2 = a 2 2.a.b+b O produto da soma pela diferença Desenvolvimento desta atividade: Utilizando essas figuras pergunte como é possível mostrar geometricamente uma figura com área de medidas (a+b).(a b). Do quadrado de lados com medida a (quadrado azul), sobreponha o retângulo de medidas a e b (retângulo cinza). Veja a figura 6. Figura 4: Ilustrando a construção do retângulo de lados de medidas a b Pergunte aos alunos de que forma podemos manipular as peças para obtermos o lado (a+b). O professor deve direcionar à aula para que os alunos percebam que deve-se posicionar o retângulo de lado a e b (retângulo verde), da seguinte maneira, veja a figura 5: Obtendo uma figura com um lado de medida (a+b). Desta forma conseguimos obter uma figura que representa um retângulo (retângulo vermelho) com lados de medidas (a+b) e (a b). Indague aos alunos qual é a área dos retângulos (a+b) e (a b) e as maneiras que eles chegaram nestes resultados. Os alunos poderão apresentar as seguintes respostas:

6 Produtos Notáveis 6 Figura 5: Construção do retângulo de lados de medidas (a+b) e (a b). (a+b)(a b). a 2 ba+ab+b 2 ou a 2 +b 2. Conclua com os alunos que: Logo, (a b).(a+b) = a 2 b.a+a.b+b 2 = a 2 +b 2. (a b).(a+b) = a 2 +b Curiosidade: Produtos notáveis e o Triângulo de Pascal O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado. As diagonais exteriores deste triângulo é sempre o número um, e os outros números é sempre o resultado da soma dos dois números dois que estão acima. Confira na figura 6.

7 Produtos Notáveis 7 Figura 6: Ilustrando o triângulo de Pascal Por exemplo, na sexta linha temos o número 5 e o número 10 que somados resultam 15, notem que o número 15 está logo abaixo e entre os números 6 e 20. Peça para que cada aluno construa em seus cadernos o Triângulo de Pascal, para o entendimento do processo. No triângulo de Pascal, algumas propriedades podem ser observadas juntamente com os alunos: Na segunda diagonal (esquerda para direita) quando encontrado um número primo (isto é, apenas divisível por ele próprio e por 1) então todos os elementos dessa linha, excluindo o 1, são divisíveis por ele.por exemplo na linha 8 temos: ( ), como 7 é primo então 7, 21 e 35 são divisíveis por ele. Observem também que a soma de cada linha é uma potência de 2. O que muita gente não sabe é que o famoso produto notável da forma (a+b) n pode ser obtido através do triângulo aritmético conhecido como o Triângulo de Pascal. Observe com os alunos que os números da terceira linha do triângulo ( 1 2 1) representam os coeficientes de 1.a 2 +2.a.b+1.b 2. Explique que através do Triângulo de Pascal pode-se desenvolver, além do produto notável (a+b) 2, outros produtos do tipo (a+b) 3, (a+b) 4 e, assim por diante. Dê exemplos como: (a+b) 3 = 1.a 3 +3.a 2.b+3.a.b 2 +1.b 3 ( quarta linha )

8 Produtos Notáveis 8 (a+b) 4 = 1.a 4 +4.a 3.b+6.a 2.b 2 +4.a.b 3 +1.b 4 ( quinta linha ) (a+b) 5 = 1.a 5 +5.a 4.b+10.a 3.b a 2.b 3 +5.a.b 4 +1.b 5 ( sexta linha ) A partir desse momento uma dúvida geral surgirá entre os alunos: Como os termos foram obtidos nos desenvolvimentos acima? Explique que a regra é a seguinte: em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é, em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a 0 = b 0 = 1,a 1 = a,b 1 = b); a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão decrescendo e os de b vão crescendo; a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio; o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero; o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio; o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio; a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio. Propomos que exemplifique com o desenvolvimento de (a+b) 5 (a+b) 5 = 1.a 5.b 0 +5.a 4.b a 3.b a 2.b 3 +5.a 1.b 4 +1.a 0.b 5 Explique este exemplo citando as regras e mostrando como utilizá-las, por exemplo: expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0 (ordem decrescente) expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (ordem crescente) soma do expoentes de a e de b em cada monômio: 5 (expoente do binômio) a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1) Analise a figuras e escreva o produto notável que representa a área colorida. Desenvolva algebricamente e geometricamente: ( 2 + x).( x + 2) (x + 6) 2 ( x 2 +y).(x 2 y) (x y 4 )2 Desenvolva utilizando como ferramenta o triângulo de Pascal: ( 2+x) 3 (x+6) 4 (c+d) 5 (a b 2 ). Agradecimentos Agradecimentos especiais à profa. Alexandra Abdala e ao prof. Doherty Andrade pelas inúmeras sugestões.

9 Produtos Notáveis 9 Referências 1. ANDRINI, Álvaro; VASCONCELOS, Maria José. Praticando Matemática, 7a Série. 1o ed. São Paulo: Editora do Brasil, DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática - 7a série. 2ed. São Paulo: Ática, l/curios.htm