Módulo VII. 25/12/1642, Wolsthorpe, Inglaterra 20/03/1727, Kensington, Inglaterra

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1 1 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII Módulo VII Neste módulo estudaremos o Binômio de Newton que foi desenvolvido em 1667, por Isaac Newton. O Binômio de Newton trata dos números binomiais em forma de coeficiente de um polinômio do tipo ( a +b ). Segundo o Teorema, pode-se desenvolver qualquer potência inteira de um binômio dado, tendo diversas aplicações, principalmente na Análise ombinatória. Mas antes de iniciar nosso estudo, vamos percorrer a história para sabermos um pouco sobre este brilhante cientista físico, matemático e astrônomo inglês Isaac Newton. 5/1/164, Wolsthorpe, Inglaterra 0/03/177, Kensington, Inglaterra Em Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, Newton lançou as bases da ciência moderna

2 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII Quando criança, Newton não foi um aluno brilhante, mas gostava de inventar e construir objetos. Graças a um tio, estudou em ambridge, onde desenvolveu um recurso matemático, o binômio de Newton. Na época de sua formatura, foi obrigado a se refugiar na fazenda da mãe, devido à peste que assolava a Inglaterra. Permaneceu lá por cerca de dois anos ( ). As reflexões dessa época o levaram a formular importantes teorias. Ao observar uma maçã caindo de uma árvore, Newton começou a pensar que a força que havia puxado a fruta para a terra seria a mesma que impedia a Lua de escapar de sua órbita. Descobriu a lei da gravitação universal. Foi a primeira vez que uma lei física foi aplicada tanto a objetos terrestres quanto a corpos celestes. Ao firmar esse princípio, Newton eliminou a dependência da ação divina e influenciou profundamente o pensamento filosófico do século 18, dando início à ciência moderna. Quando retornou a ambridge, redigiu o princípio que trata da atração dos corpos, mas só o retomou em 168. Nos anos iniciais de sua carreira, desenvolveu o cálculo infinitesimal e descobriu a aceleração circular uniforme (embora não tenha conseguido a comprovação dessa teoria, que exigia conhecer a medida do raio terrestre). Em 1669 o cientista formulou sua teoria das cores, sobre a refração da luz. Quando um raio de sol atravessa um prisma de vidro, sai do outro lado como um feixe de luzes de diferentes cores, como um arco-íris. Newton fez o feixe colorido passar por um segundo prisma, onde as cores voltaram a se juntar em outro feixe, de luz branca, igual ao inicial. om essa descoberta, percebeu que o fenômeno da refração luminosa limitava a eficiência dos telescópios da época. Inventou, então, um

3 3 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII telescópio refletor, em que a concentração da luz era feita por um espelho parabólico e não por uma lente. Em 1671, o cientista assumiu o cargo de professor catedrático de Matemática da Universidade de ambridge e, no ano seguinte foi eleito para a Royal Society. Nos anos posteriores, tratou das propriedades da luz, explicou a produção das cores por lâminas delgadas e formulou a teoria corpuscular da luz. Newton recebeu, em 1684, a visita do astrônomo Edmond Halley, que queria interrogá-lo sobre o movimento dos planetas, observado pelos astrônomos. Newton retomou, então, suas reflexões sobre a mecânica celeste. O resultado foi sua obra "Princípios Matemáticos da Filosofia Natural", que propõe três princípios básicos: o da inércia, o da dinâmica e o da ação e reação. Este trabalho obteve grande repercussão internacional. Newton foi eleito para o Parlamento em 1687, e nomeado para a Superintendência da asa da Moeda em 1696, quando se mudou para Londres. Tornou-se presidente da Royal Society em 1703 e, dois anos depois, sagrado cavaleiro, passou a ser chamado de Sir Isaac Newton. Fonte: Binômio de Newton Denomina-se Binômio de Newton, a todo o binômio ( a +b ) n, sendo n um número natural.

4 4 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII Exemplo: ( 4 3 ) 4 = x y onde a = 4x, b = 3y e n = 4 (grau do binômio). Exemplos de desenvolvimento de Binômios de Newton: a) ( ) a + b = a + ab + b b) ( ) a + b = a + 3a b + 3ab + b c) ( ) a + b = a + 4a b + 6a b + 4ab + b d) ( ) a + b = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b Então, temos a seguinte fórmula: ( x + a) n =. x n. a 0. x n 1. a 1 n +,0 n +. x n.. n 3. 3,1 n a + x a, n +, ,4 x n n a + n, n x. a n Exemplos: a) ( x + 1) 7 = x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x ,0 7,1 7, 7,3 7,4 + x 1 + x 1 + x ,5 7,6 7,7 Resolve-se as combinações e depois substitui na fórmula:

5 5 7! 7! 7,0 = = 0! 7 0! 1 7! ( ) urso Matemática Para oncursos II Módulo VII = 1 7,1 7! 7! 7 6! = = = 1! 7 1! 1!6! 1 6! ( ) = 7 7, 7! 7! 7 6 5! = = =! 7!!5! 1 5! ( ) = 1 7,3 7! 7! 7 6 = = = 3! 7 3! 3!4! ( ) 5 4! 6 4! = 35 7,4 7! 7! ! = = = 4! 7 4! 4!3! 4! 3 ( ) = 35 7,5 7! 7! 7 6 5! = = = 5! 7 5! 5!! 5! 1 = 1 ( ) 7,6 7! 7 6! = = 7 6!1! 6! 1 = 7! 7,7 = 1 7! 1! = Substituindo: x 1 1 x 1 35 x 1 35 x 1 1 x 1 7 x 1 1 x = = 1+ 7x + 1x + 35x + 35x + 1x + 7x

6 6 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII 3 b) ( ) 6 a b + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b + a b + a b 6,0 6,1 6, ,3 6,4 6,5 6,6 + a b + a b + a b + a b 6! 6,0 = = 1 0! 6 0! ( ) 6,1 = 6! 6 5! 1!5! = = 6 1 5! 6, = 6! 6 5 4!!4! = = ! 6,3 6! 6 3!3! = = 5 4 3! 3! 6 = 0 6,4 6! 6 5 4! = = 15 4!! 4! 1 = 6,5 6! 6 5! = = 6 5!1! 5! 1 = 6! 6,6 = = 1 6!0

7 ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) = = urso Matemática Para oncursos II Módulo VII = a b + 1a b + 60a b + 160a b a b 19a b 64 Fonte:

8 8 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton Um termo genérico T do desenvolvimento de p+ ( a b) n 1 +, sendo p um número natural, é dado por: n n p p T = a b p+ 1 p Onde n n! = p n, p = p! ( n p)! é denominado Número Binomial n p é o número de combinações simples de n elementos de taxa p. Este número é também conhecido como Número ombinatório. Exercícios Resolvidos: 1. Determine o x termo do binômio ( ) 9, desenvolvido segundo as potências decrescentes de x. Vamos aplicar a fórmula do termo geral de ( a + b) n, onde a = x, b = 1 e n = 9. omo queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então: T T 9! ! ,6 ( x ) ( 1 ).( ) 1 8 ( 9 6 )! 6! x 3 1 6! x + = = = =

9 9 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII x = x. Portanto o sétimo termo procurado é 3 67x.. Qual o termo médio do desenvolvimento de ( x 3y) 8 +? Temos a = x, b = 3y e n = 8. Sabendo que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T 5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T 5. Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos: T T 8! ! ,4 ( x ) ( 3 y ) ( ) ( 3 ) ( 8 4 )! 4! x y ( 4! 4 3 1) x y + = = = = Fazendo as contas vem: T x y 9070x y = =, que é o termo médio procurado. 3. Desenvolvendo o binômio ( x 3y) 3 termos. Qual o valor de n? n, obtemos um polinômio de 16 Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15. Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de:

10 10 a) ( x 3y) 1 b) ( x y) 50 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII? Resposta: 1? Resposta: 0 a) basta fazer x = 1 e y = 1. Logo, a soma S procurada será: ( ) ( ) 1 1 S = = 1 = 1. b) Analogamente, fazendo x = 1 e 1 y =, vem ( ) S = 1 1 = 0 = Determine o termo independente de x no desenvolvimento de 6 x + 1 x. Sabendo que o termo independente de x é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x. Temos no problema dado: a = x, 1 b = e n = 6. x Pela fórmula do termo geral, podemos escrever: p 6 p 1 6 p p 6 p T = x x x x p 1 6, p = =. + x 6, p 6, p Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois 0 x = 1. Logo, fazendo 6 p 0 =, obtemos p = 3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:

11 11 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII 0 6! ! T = T = x = = = = ,3 6,3 ( 6 3 )! 3! 3! 3 1 Logo, o termo independente de x é o T 4 (quarto termo) que é igual a 0. Observações: 1) o desenvolvimento do binômio ( a b) n ) o desenvolvimento de ( a b) n + é um polinômio. + possui n + 1 termos. 3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos, no desenvolvimento de ( a + b) n são iguais. 4) a soma dos coeficientes de ( a b) n + é igual a n. Socorro!!!!!!!!!! Fonte:

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