UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COPPE PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA. Profs. Argimiro R. Secchi e José Manuel Perez

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COPPE PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA COQ-89 Conrole Avançao e Processos Pros. Argimiro R. Secchi e José Manel Perez 5

2 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ Coneúo. OIMIZAÇÃO DE PROCESSOS DINÂMICOS FORMULAÇÃO DA FUNÇÃO OBJEIVO E RESRIÇÕES PRINCÍPIO DO MÍNIMO DE PONRYAGIN CONROLE ÓIMO....4 CONROLE PREDIIVO... 7 EXERCÍCIOS PROBLEMA DO PÊNDULO INVERIDO BIBLIOGRAFIA BÁSICA... 9

3 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ. Oimização e Processos Dinâmicos Eemplo.: Para ilsrar o problema e oimização inâmica, algmas vezes chamao e oimização em imensão ininia, pois envolve variáveis e ecisão qe são nções, consiere o sisema abaio e m reaor semi-baelaa, com as reações eoérmicas: em qe C é o proo e ineresse e D é m sb-proo. Iniciano com o reaor vazio, as alimenações e A e B, bem com a aa e ága e resriameno, esão livres para variar ao longo a operação. Para m ao reaor, com imensões ias, o objeivo operacional poe ser o e eerminar o empo e ração a operação e as aas e alimenação e reagenes e ága, e moo a maimizar a concenração inal e C. O projeo o eqipameno ambém poe ser pare o objeivo o problema. Geralmene, qano as variáveis e ecisão envolvem somene variáveis operacionais, o problema é enominao e conrole óimo. A ormlação maemáica o processo acima poe ser genericamene represenaa por: F((), (),y(),(),v) = em qe (), () são as variáveis ierenciais e sas erivaas em relação a variável inepenene, (geralmene o empo), y() são as variáveis algébricas, () são as variáveis e conrole e v são os parâmeros invarianes no empo, a serem eerminaos pela oimização. Para o eemplo, () represena as aas e alimenação os reagenes e a ága e rerigeração e v poe ser o volme o reaor. As conições iniciais para ese problema poem ser escrias genericamene por: I((), (),y(),(),v) = 3

4 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ qe jnamene com a orma ncional e () e os valores e v eerminam compleamene a resposa ransiene o sisema.. Formlação a nção objeivo e resrições A ormlação a nção objeivo para m problema e oimização inâmica poe esar associaa a eerminação os segines valores: horizone e empo a operação, (empo inal); parâmeros invarianes no empo, v; variação emporal as variáveis e conrole, (), para [, ]. e moo a minimizar (o maimizar) m ncional ((),v, ), ambém conhecio como orma e Mayer. A nção objeivo é m ncional pois epene a escolha a nção (). No problema o reaor semi-baelaa seria a concenração inal o proo C e seria a ração a baelaa, reslano no problema e oimização abaio: em qe 3 é a concenração e C. ma, v, ( ), [, ] = 3 ( ) sjeio a: F((), (),y(),(),v) = I((), (),y(),(),v) = Se a nção objeivo a ser minimizaa or a inegral e ma nção sobre oo o inervalo [, ], conhecia como orma e Lagrange: ((),v, ) = ((), (),y(),(),v) poe-se aicionar ao sisema e eqações algébrico-ierenciais o problema, a segine eqação: = ((), (),y(),(),v) com a conição inicial () =, para ser inegraa simlaneamene. Para o caso pariclar e =, em-se o problema e minimização o empo e operação,. Uma ormlação mais geral para a nção objeivo, orma e Bolza, envolve as as ormas acima, o seja: ((),v, ) = (( ), ) (,y( ),( ),v) + ((), (),y(),(),v) 4

5 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ Denre as mais variaas ormas e resrições aicionais em m problema e oimização inâmica, em-se: a) Limies nas variáveis e ecisão min ma min () ma, [, ] v min v v ma b) Resrições erminais e igalae: w( ) = w* e esigalae: w min w( ) w ma em qe w represena algma variável o sisema ( o y), o ma relação enre elas. Para o eemplo o reaor, a qaniae inal e maerial no reaor poe ser iaa o a emperara inal poe esar limiaa em ma aa aia. c) Resrições ineriores Aparecem qano algmas variáveis evem esar limiaas em algns ponos no inerior o inervalo e operação, o seja: w min ( I ) w( I ) w ma ( I ) em qe I [, ). Como por eemplo, limiar a crva e aqecimeno o reaor enro e ma aia eerminaa. ) Resrições e rajeória São aqelas resrições qe evem ser saiseias rane oo o inervalo e operação, o seja: w min w() w ma, [, ] Por eemplo, no reaor semi-baelaa poe-se impor qe a emperara a reação não eva lrapassar m eerminao valor para eviar a egraação o proo.. Princípio o Mínimo e Ponryagin Anes e ennciar o princípio o mínimo e Ponryagin, é necessário inrozir os conceios o cálclo variacional, qe raa a seleção e ma nção esconhecia qe aparece no inegrano e ma inegral qe eve ser minimizaa o maimizaa em nção esa seleção. Consiere a segine inegral: 5

6 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ S( ) [, ( ), ( )] em qe () é a erivaa e () em relação a. O problema o cálclo variacional consise na seleção e () e moo a minimizar (o maimizar) o ncional S(). Spono qe *() é a nção qe minimiza S() e () é ma ora nção com ma ierença ininiesimal e *() em caa pono enro o inervalo (, ), eine-se: = () *() como o operaor variação, o seja, a variação e ma nção represena ma mança ininiesimal arbirária na nção a m ao valor e. Noe qe a variação iere a ierenciação, pois esa úlima correspone a ma meia a mança e ma nção reslane e ma mança especíica (não arbirária) na variável inepenene. A eqação acima poe ser escria como: = () *() = () em qe () é ma nção arbirária conína e ierenciável e é m parâmero variável qe ene a zero. Como o operaor variação acarrea ma mança ininiesimal em ma nção para m valor io e, em-se: = o seja, a variável inepenene não paricipa o processo e variação. Ora proprieae imporane o operaor variação é a comaiviae com os operaores e ierenciação e inegração: [ ( )] e ( ) ( ) * ( *) *( ) [ ( ) *( )] ( ) Como a conição necessária e primeira orem para o mínimo local e ma nção, S(), poe ser inerpreaa como a eisência e m pono esacionário a nção objeivo, enão enro e ma região ininiesimal em orno ese pono em-se qe: S = Usano a proprieae comaiva chega-se a: S 6

7 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ em qe = [, (),] [*, * ( ),] = [* +, *( ) + (),] [*, * ( ),]. Epanino em série e aylor em-se: [* + (), * ( ) + (), ] = [*, * ( ), ] + [*, * ( ), ] () + [*, * ( ), ] () + O[ (), ( ) ] qe eliminano os ermos e orem O( ), resla em: = { [*, *( ), ] () + [*, * ( ), ] () } Para m pono esacionário em-se: S sobre qalqer nção arbirária (). O segno ermo no inegrano poe ser inegrao por pares ( = e v = ), reslano em: [ ] [ ] Se a nção () é iaa nos conornos, e, enão () eve se anlar neses ponos, pois não poe eisir variação e () nos conornos. Dese moo o primeiro ermo a inegração por pares é nlo. Para o caso mais geral, one algm conorno poe esar livre, as segines conições e complemenariae evem ser saiseias: para = e = o seja, se S é para ser zero para oas as variações amissíveis (resrias somene pela coniniae e ierenciabiliae) enão o primeiro ermo a inegração por pares eve ser sempre nlo. No caso e eisir ma conribição erminal na nção objeivo: S ) [ ( ), ] [, ( ), ( )] ( a conição e complemenariae erminal seria: [ ] para = Sbsiino a inegração por pares em S =, em-se enão: S [ ] 7

8 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ Como a eqação acima eve ser saiseia para qalqer nção arbirária (), conína, ierenciável e qe saisaça as conições e conorno, enão o ermo enre parênesis eve ser nlo, reslano na eqação e Eler-Lagrange: [ ] Eemplo.: Para ilsrar, consiere o problema e eerminar a crva e menor comprimeno conecano ois ponos no espaço, conorme a igra abaio. O comprimeno e ma crva conecano os ponos (, ) e (, ) é ao por: em qe [, ( ), ( )] e segmeno ininiesimal a crva. s( S( ) s ) s( ) s qe é o comprimeno e m Aplicano a eqação e Eler-Lagrange para o problema acima, em-se: [ ] 8

9 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ o seja: consane, o qe implica qe *( ) = consane. Porano, como não poeria eiar e ser, o caminho mais cro enre ois ponos é ma rea: *() = a + b. Naralmene, para assegrar qe a nção () minimize o ncional S(), a conição siciene e segna orem eve ser veriicaa, qe no caso e variações signiica qe a segna variação e S eve ser posiiva para oas variações possíveis e, iso é: S >, qe é eqivalene a () e Legenre: S (*) >, o aina pela conição e segna orem ( *, *, ) > Aplicano esa conição para o eemplo acima em-se: ( ) 3/ logo, a solção óima *() minimiza o ncional S(). Reornano ao problema e oimização e sisema inâmicos, seja enão o problema: min [(),(), ] = [( ), ] + [(),(),], ( ), ( ), [, ] sjeio a: () = [(),(),], () = o h[( ), ] = Inrozino os mliplicaores e Lagrange associao às resrições chega-se a: L[(),(),(),, ] = [( ), ] + h[( ), ] + qe poe ser iviia em as nções: { [(),(),] + () ([(),(),] () )} [( ),, ] = [( ), ] + h[( ), ] e [(),(),(),] = [(),(),] + () ([(),(),] () ) reslano no ncional: L[(),(),(),, ] = [( ),, ] + [(),(),(),] 9

10 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ qe ao ser minimizao resla nas eqações e Eler-Lagrange: [ ] [ ] ce em qe () = (), e pelas conições e complemenariae para ) : [ ] para = pois ( ) é livre ( ) e não epene e, chega-se a, o seja: ( Deinino a segine nção e Hamilon (o Hamiloniano): H[(),(),(),] = [(),(),] + () [(),(),] enão, as conições necessárias e primeira orem (Eler-Lagrange) escrias acima são eqivalenes a: H H H qe evem ser resolvias jnamene com as conições iniciais e inais e as conições e complemenariae: () = o h[( ), ] = [ ) ( )] ( ) = ( {H[( ),( ),( ), ] + } = A conição e segna orem poe ser veriicaa pela posiiviae e H. Ese conjno e conições são conhecios como Princípio o Mínimo e Ponryagin (96), e os mliplicaores e Lagrange, (), são conhecios como variáveis ajnas. Para as pares o caminho () sobre as resrições min o ma, vale a segine conição e oimaliae, no lgar e H para oos as possíveis nções (). : H[*(),*(),*(),] H[*(),(),*(),] Para problemas com resrições e esigalae o ipo:

11 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ g[(),(),], [, ] em qe g p é as vezes coninamene ierenciável e o sbconjno e resrições aivas, g a, não eve ser maior qe o número e variáveis e conrole,, e eve apresenar ma mariz Jacobiana, g a, e poso compleo [, ]. Eemplos e resrições e esigalae qe saisazem esas conições são: min () ma, [, ] min [(),] () ma [(),], [, ] () m, [, ] () r, [, ], r Inrozino nções e olga z (), iso é: g i [(),(),] + ( ) =, i =,,...,p em-se o inegrano a nção e Lagrange na orma: z i [(),(),(),] = [(),(),] + () ([(),(),] () ) + () (g[(),(),] + z ( ) ) em qe o veor z ( ) = [... z i ( )...]. Nese caso as eqações e Eler-Lagrange são aas por: [ ] z [ ] ce [ ] ce z z g De moo análogo às conições e complemenariae para (), qe reslam em, para a nção z() em-se: [ ] z z z z para = z z logo, z e, pela einição e, i z i =, o aina i g i =, i =,,...,p. Deinino o Hamiloniano para ese caso: H[(),(),(),] = [(),(),] + () [(),(),] + () g[(),(),] enão o Princípio o Mínimo e Ponryagin (o conições necessárias e oimaliae para sysemas inâmicos) é ao por: H H H g g

12 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ a H { g = } jnamene com as conições iniciais, inais e e complemenariae: () = o h[( ), ] = [ ) ( )] ( ) = ( {H[( ),( ),( ), ] + i g i =, i =,,...,p. } =.3 Conrole óimo Analisano inicialmene o problema e conrole óimo para sisemas lineares: com a segine nção objeivo qaráica: () = A() () + B() (), () = o S[(),(), ] = ( ) ( ) ( ) Q () R () em qe Q = Q e, Q() e R() > são marizes siméricas e pesos. Ese problema é conhecio como LQ (Linear Qaraic), reslano no conrolaor LQR (Linear Qaraic Reglaor). Deinino o Hamiloniano para ese problema: H[(),(),(),] = () () + [A + B ] Q () R () enão, pelo princípio o mínimo e Ponryagin, em-se: H A + B H Q A H R + B = () = o ( ) = ( ) qe resolveno para (), chega-se a: = R B = A B R B gerano m problema e PBVP (wo-poin bonary vale problem) para e, cja solção minimiza a nção objeivo, pois H = R >, e é m mínimo global evio a conveiae o problema. Nesa ormlação, ambém é conhecio como co-esao

13 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ o variáveis ajnas. Se a solção () o problema e PBVP per ser epressa como ma nção a solção () em ermos e ma ransormação linear P() nn, iso é, () ser ma base e solções para (): () = P() () enão a solção o PBVP poe ser acilmene obia. Para veriicar al possibiliae, primeiro sbsii-se esa epenência nas eqações para e, e sbrai-se ma a ora reslano em: ( P +PA + A P P B R B P + Q) () = qe eve ser saiseia, logo como () enão: P = PA A P + P B R B P Q qe é ma eqação ierencial maricial não linear, conhecia como eqação e Riccai inâmica, cja conição e conorno é obia e ( ) = ( ), o seja: P( ) = Fazeno a mança e variável =, em-se = e: P = PA + A P P B R B P + Q P() = Porano, o problema e PBVP oi ransormao em m problema e valor inicial e imensão n (n + ) /, pois P() é ma mariz simérica. Com a solção a eqação e Riccai inâmica, a lei e conrole óimo qaráico é aa por: *() = K() *() K() = R() B() P() qe é inepenene a conição inicial o. O sisema inâmico em malha echaa poe ser escrio como: * = (A B R B P) * = A K *, () = o em qe A K () = A B R B P é a mariz caracerísica a inâmica o sisema reglao. Observa-se ambém qe o valor óimo a nção objeivo é ao por: S[*,*, ] = 3 o P() em qe P() é obio em = ( = ). Ese reslao poe ser veriicao pela eqação: ( P ) P o P qe ao sbsiir as epressões para P e *, resla em: P

14 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ ( P ) = Q P B R B P = Q R Inegrano a eqação acima em [, ] em-se: pois P( ) =. () P() () = ( ) P( ) ( ) + Fazeno a inegração em [, ] em-se: ( Q R ) = S[(),(), ] () P() () = ( ) ( ) + ( Q R ) e one concli-se qe P() é posiiva semieinia. Para o caso pariclar e m sisema invariane no empo, com [A B] conrolável, = (horizone ininio) e marizes pesos consanes, iso é: com a segine nção objeivo qaráica: () = A () + B (), () = o S[(),(), ] = () () Q R em qe Q e R > são marizes siméricas e pesos, a lei e conrole óimo poe ser obia aravés a solção a eqação e Riccai esacionária: PA + A P P B R B P + Q = qe poe ser eicienemene resolvia via ecomposição em valores caracerísicos o graiene o Hamiloniano associao. Nese caso a mariz e ganhos, K, a lei e conrole é invariane no empo e a lei e conrole óimo qaráico é aa por: *() = K *() K = R B P O sisema inâmico em malha echaa poe ser escrio como: * = (A B R B P) * = A K *, () = o em qe A K = A B R B P é a mariz caracerísica o sisema reglao. Na maioria os casos e conrole óimo não linear, é mais eiciene raar o problema como ma programação não linear o qe ilizar o princípio o mínimo e Ponryagin, para ober o conrole óimo, (). Neses casos, a escolha a orma as variáveis e conrole oma m aspeco mais e engenharia o qe maemáico, pois epenerá a orma com qe as ações e conrole serão implemenaas na práica. 4

15 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ Algns ipos e variações mais comns para as variáveis e conrole esão ilsraos a segir. Seno as as primeiras mais reqüenemene ilizaas em conrole óimo e processos. Para qalqer m os casos acima, o algorimo abaio mosra ma maneira e solcionar o problema e oimização inâmica via NLP, conhecia como méoo a enaiva-e-erro o single-shooing. algorimo ) Escolher m peril inicial para as variáveis e conrole, (), k =. ) Inegrar o sisema e eqações algébrico ierenciais. 3) Calclar a nção objeivo e resrições. 4) Corrigir as variáveis e conrole pelo so e méoos e NLP. 5) Veriicar a convergência e k (). Caso não eseja saiseia k k + (ir para ). 6) FIM. Ora orma e resolver o problema é aravés a iscreização as eqações ierenciais (o méoo simlâneo) por écnicas e elemenos inios, ierenças inias o aproimação polinomial, gerano m problema algébrico e programação não linear e elevaa imensão, qe ambém poe ser resolvio por qalqer méoo e NLP com resrição. ambém é possível paricionar o horizone e empo em 5

16 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ sbinervalos e inegrar os sb-problemas inepenenemene, méoo mlipleshooing, impono conições e coniniae enre os inervalos. O problema e conrole óimo para sisemas lineares com incerezas ecorrenes e isúrbios aiivos o ipo río branco gassiano (com méia zero e esvio parão ) e eno inormação parcial os esaos, o seja, nem oos os esaos são meios: () = A() () + B() () + v(), () = o y() = C() () + w() em qe v() e w() são ríos brancos gassianos o sisema e as meias, respecivamene, com a segine nção objeivo qaráica: S[(),(), ] = E{ ( ) ( ) ( ) } Q () R () em qe E{z} é a esperança o valor esperao a variável aleaória z,, Q() e R() > são marizes siméricas e pesos, é conhecio como LQG (Linear Qaraic Gassian). O conrolaor LQG é ma combinação o esimaor e esaos e Kalman, o ilro e Kalman, o aina LQE (Linear Qaraic Esimaor) com o LQR e a aplicação o princípio a separação, seno ao pela solção o segine sisema e eqações: ˆ () A() ˆ() B() () L()[ y() C() ˆ()], ˆ() E{ o } () = K() ˆ( ) em qe L() é a mariz e ganhos o ilro e Kalman, qe é obia pela solção a segine eqação e Riccai: P = AP + PA P C W C P + V P() = E{ o o } em qe E{v() v ()} = V ( ) e E{w() w ()} = W ( ) com V > e W > as marizes e inensiae a correlação crzaa os ríos e () a nção ela e Dirac, reslano em: L() = P() C () W (). A mariz e ganhos o conrolaor, K(), ambém é obia pela solção e ma eqação e Riccai, qe em a orma: P = PA A P + P B R B P Q P( ) = reslano em: K() = R() B() P(). 6

17 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ.4 Conrole Preiivo 7

18 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ Eercícios. Problema o pênlo inverio. 8

19 COQ-89 Conrole Avançao e Processos - Pro. Argimiro - PEQ/COPPE/UFRJ Bibliograia Básica he Mahemaical heory o Opimal Processes L.S. Ponryagin, V.G. Bolyanskii, R.V. Gamkrelize & E.F. Mishchenko John Wiley & Sons, 96. he Variaional Meho in Engineering R. S. Schecher McGraw-Hill, 967. Opimizaion: heory an Pracice G. S. G. Beverige & R. S. Schecher McGraw- Hill, 97. Nonlinear Programming M. S. Bazaraa & C. M. Shey John Wiley & Sons, 979. Opimal Conrol F.L. Lewis & V.L. Syrmos John Wiley & Sons, 995. Opimierng M. Papageorgio Olenborg E., 996. Nmerical Opimizaion J. Noceal & S. J. Wrigh Springer, 999. Nmerical Opimizaion J. F. Bonnans, J. C. Gilber, C. Lemaréchal & C. A. Sagasizábal Springer, 3. Nonlinear Opimizaion A. Rszczynski Princeon Universiy Press, 6. Nonlinear Programming: Conceps, Algorihms, an Applicaions o Chemical Processes L.. Biegler SIAM,. 9