Valter Soares de Camargo

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1 O MÉTODO DA TRANSVERSAL COMPLETA NA CLASSIFICAÇÃO DE CURVAS PLANAS IRREDUTÍVEIS Valter Soares de Camargo Centro de Ciências Exatas Universidade Estadual de Maringá Programa de Pós-Graduação em Matemática (Mestrado) Orientador: Marcelo Escudeiro Hernandes Maringá - Pr 2005

2 ii O MÉTODO DA TRANSVERSAL COMPLETA NA CLASSIFICAÇÃO DE CURVAS PLANAS IRREDUTÍVEIS Valter Soares de Camargo Dissertação submetida ao corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Estadual de Maringá - UEM-PR, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre. Aprovada por: Prof. Dr. Marcelo Escudeiro Hernandes - UEM (Orientador) Prof. Dr. Abramo Hefez - UFF Prof. Dr. Victor Hugo Jorge Pérez - ICMC - USP Maringá Fevereiro, 2005

3 Este trabalho é dedicado a toda minha família e amigos em especial, Jair e Wesley. iii

4 iv Agradecimentos Ao Prof. Marcelo Escudeiro Hernandes, por ter sido o mentor deste trabalho; Ao Prof. Victor Hugo Jorge Pérez, por sua orientação na iniciação científica na linha deste trabalho; À UEM, que através do DMA me proporcionou uma formação de qualidade; Ao Programa de Pós-graduação em Matemática, em especial à Lúcia e os professores que ministraram as disciplinas obrigatórias; À CAPES, pelo apoio financeiro; À banca de qualificação, pelas sugestões que contribuiram para a versão final deste trabalho.

5 v Resumo Neste trabalho, aplicando o método da Transversal Completa, classificamos curvas analíticas planas irredutíveis com alguns semigrupos de valores fixos. Mais especificamente, curvas que admitem semigrupos 2, v 1, 3, v 1, 4, 5, 4, 6, v 2 e 4, 7. Abstract In this work, applying the Complete Transversal method, we classify irreducible analytic plane curves with some fixed semigroup of values. More specifically curves that admit semigroups 2, v 1, 3, v 1, 4, 5, 4, 6, v 2 and 4, 7.

6 vi

7 Sumário 1 Curvas Algebróides Planas O Anel Local de uma Curva Plana Teorema de Preparação de Weierstrass Parametrizações e Semigrupo de Valores Expoentes Característicos Curvas Analíticas Planas Aplicações diferenciáveis Germes de Aplicações Diferenciáveis Ação de um Grupo sobre um Conjunto Os Grupos de Mather R, L, A, C, K e suas Ações K-equivalência versus A-equivalência Grupos de Lie Transversal Completa Classificação de Curvas Planas Irredutíveis Espaço Tangente à órbita Formas Normais Curvas com semigrupo Γ = 2, v vii

8 viii SUMÁRIO Curvas com semigrupo Γ = 3, v Curvas com semigrupo Γ = 4, Curvas com semigrupo Γ = 4, Curvas com semigrupo Γ = 4, 6, v A Lema de Hadamard 79

9 Introdução Em todos os ramos da matemática é muito comum classificar objetos com respeito à uma determinada relação de equivalência. Por exemplo, podemos classificar matrizes quadradas com respeito à relação de semelhança, ou seja, duas matrizes A e B são semelhantes se, e somente se, existe uma matriz inversível M, tal que A = M 1 BM. Para efetuar a classificação, em geral, podemos proceder de dois modos. Podemos procurar elementos que se mantêm inalterados em uma mesma classe de equivalência, tais elementos são chamados invariantes. No caso específico de semelhança de matrizes, os polinômios característicos são invariantes. Embora não permitam decidir se duas matrizes são semelhantes, certamente permitem dizer quando não são. Um outro modo de abordar o problema da classificação, é obter um método sistemático para encontrar um representante padrão para cada classe de equivalência, de forma que verificar se dois elementos são equivalentes se resume em comparar tais representantes, que são chamados de formas normais ou formas canônicas. Quando consideramos a relação de semelhança de matrizes, as formas normais correspondem as formas canônicas de Jordan e/ou formas canônicas racionais. Neste trabalho estaremos interessados no problema de classificação de objetos matemáticos, mais especificamente, em classificar curvas analíticas com respeito à equivalência analítica. Por ser um campo vasto, vamos nos restringir ao caso de curvas analíticas planas irredutíveis. Pode parecer, a primeira vista, que por se tratar de objetos muito específicos, a classificação se torna fácil e mesmo trivial. No entanto, tal problema é mais difícil do que parece, como teremos a oportunidade de 1

10 2 SUMÁRIO constatar. Na verdade, em sua totalidade, se trata de um problema aberto (até a redação deste trabalho). Nossa abordagem consiste em fixar um determinado invariante, a saber, o semigrupo de valores de uma curva, e obter as formas normais para todas as curvas analíticas planas irredutíveis com determinado semigrupo de valores fixo. Mais especificamente vamos nos concentrar em semigrupos com multiplicidade baixa. As formas normais apresentadas não são originais. Na verdade, vários autores já as apresentaram. No entanto, os métodos utilizados são distintos do que abordamos neste trabalho. O método que adotamos é o da Transversal Completa, desenvolvido por Bruce, Kirk e du Plessis em [BKP] para aplicações diferenciáveis, que pode ser aplicado no caso de curvas, após relacionarmos a equivalência de curvas analíticas planas irredutíveis com a chamada A-equivalência de aplicações diferenciáveis, constituindo assim uma bela ligação entre a Teoria de Singularidades e a Geometria Algébrica. Passemos agora a descrever a estrutura deste trabalho. No capítulo 1, apresentamos os resultados referentes às curvas planas irredutíveis. Iniciamos com o caso algebróide, não nos preocupando assim com o aspecto da convergência. Além de vários resultados, como o Teorema da Divisão e o da Preparação de Weierstrass, introduzimos alguns objetos importantes que estão relacionados com as curvas planas, tais como o anel local e o semigrupo de valores. O primeiro é importante pois permite uma outra formulação da equivalência de curvas e o segundo por se tratar de um importante invariante com respeito à relação de equivalência considerada. Muitas propriedades do semigrupo de valores são apresentados, como por exemplo, a existência de condutor, o fato de ser finitamente gerado e sua obtenção a partir de uma parametrização da curva. Outras propriedades são mencionadas, mas não provadas. No entanto, remetemos o leitor às referências bibliográficas precisas. Finalizamos o capítulo com uma seção devotada especificamente às curvas

11 SUMÁRIO 3 analíticas. O capítulo 2 contém os resultados da Teoria de Singularidades que utilizaremos. Introduzimos o conceito de germe de aplicação, as principais relações de equivalências entre germes, a saber, a L, R, A, C e K-equivalência. Tais relações sugerem grupos que agem sobre o conjunto de germes, justificando assim seções dedicadas ao estudo de ações de grupos e grupos de Lie. As classes de equivalências são identificadas com as órbitas de ações de grupos e verificar se dois elementos são equivalentes se resume a verificar se eles pertencem a uma mesma órbita. Neste capítulo apresentamos a ligação entre a equivalência analítica de curvas analíticas planas irredutíveis e a K-equivalência de suas equações bem como, com a A-equivalência de suas parametrizações. O capítulo encerra com os dois resultados centrais do trabalho, o Lema de Mather e o Teorema da Transversal Completa. A obtenção das formas normais das curvas planas analíticas irredutíveis com determinados semigrupos fixos é apresentada no capítulo 3. Para tanto, exploramos o espaço tangente à uma órbita, a ação dos grupos A k sobre o espaço de jatos e a importância do espaço H k dos polinômios homogêneos de grau k. Aplicando o Teorema da Transversal Completa, apresentamos as formas normais para as curvas planas analíticas irredutíveis com semigrupo 2, v 1, 3, v 1, 4, 5, 4, 6, v 2 e 4, 7.

12 4 SUMA RIO

13 Capítulo 1 Curvas Algebróides Planas Neste capítulo vamos introduzir algumas propriedades e resultados relacionados com as curvas algebróides, bem como alguns objetos associados, tais como, o anel local e o semigrupo de valores. Definição 1.1 Uma curva algebróide plana é uma classe de equivalência de elementos não nulos do ideal maximal M = X, Y do anel das séries formais C[[X, Y ]], módulo a relação de associado. Se f M\{0} C[[X, Y ]], denotaremos por (f) a curva algebróide determinada por f, ou seja, (f) = {u.f; u é uma unidade de C[[X, Y ]]}. Portanto, (f) = (g) se, e somente se, existe u C[[X, Y ]] unidade tal que f = u.g. Uma curva algebróide plana (f) será dita irredutível, se a série f for irredutível em C[[X, Y ]]. Caso contrário, diremos que a curva é redutível. Note que a irredutibilidade (redutibilidade) independe do representante da curva. Definição 1.2 Seja f C[[X, Y ]]\{0}. Suponha que f = F n + F n onde cada F i é um polinômio homogêneo de grau i e F n 0. O inteiro n é chamado de multiplicidade de f e denotado por mult(f). Se f = 0, põe-se mult(f) =. 5

14 6 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS A noção de multiplicidade para séries de potências desempenha papel semelhante à noção de grau para polinômios. Como a multiplicidade de uma série é igual à de qualquer um de seus associados, define-se a multiplicidade da curva algebróide (f) como sendo a multiplicidade de f. Uma curva algebróide de multiplicidade 1 será dita suave. Caso a multiplicidade seja maior do que 1, diremos que a curva é singular. Muitas das propriedades de uma curva algebróide plana são preservadas por mudança de coordenadas em C[[X, Y ]], isto é, através de um C-automorfismo de C[[X, Y ]]. Isto serve de motivação para a próxima definição. Definição 1.3 Dadas duas curvas algebróides planas (f) e (g), com f, g M\{0} C[[X, Y ]], diremos que elas são equivalentes, escrevendo (f) (g), se existir um C-automorfismo Φ de C[[X, Y ]] tal que (Φ(f)) = (g). Em outras palavras, (f) e (g) são equivalentes, se existirem um C-automorfismo Φ e uma unidade u de C[[X, Y ]] tais que Φ(f) = u.g. Observação 1.4 É um problema central na teoria de curvas algebróides planas, e ainda em aberto, realizar a classificação das curvas algebróides planas módulo a relação de equivalência, definida acima. Até o presente momento, não temos conhecimento de nenhum algoritmo que permita decidir se duas curvas planas são ou não equivalentes. Para poder avaliar a dificuldade deste problema, considere as curvas algebróides dadas por: f = Y 3 X 5

15 7 e g = ( 2 X)Y 6 + ( 2 X)Y 5 + ( 24X 12X 2 )Y 4 + ( 180X 2 90X 3 )Y 3 + ( 6X 2 543X 3 270X 4 )Y 2 + ( 810X 4 405X 5 )Y 243X 6 486X 5 + X 4 + 2X 3. O que podemos dizer a propósito da equivalência ou não destas curvas? É difícil responder a esta pergunta a priori, pois as duas séries têm equações bem diferentes. A única coisa que conseguimos dizer é que elas possuem a mesma multiplicidade. Pois bem, a série g foi construída de modo que Φ(f) = u.g onde u(x, Y ) = (2 + X) 1 e Φ(X, Y ) = (3X + Y, X Y 2 ) e portanto, (f) (g). O caráter redutível ou irredutível de uma curva, bem como a sua multiplicidade, entre muitas outras propriedades, se conservam por equivalência de curvas. De fato, temos que f é redutível se, e somente se, g = u 1 Φ(f) é redutível, onde Φ é um automorfismo e u é uma unidade de C[[X, Y ]]. Com efeito, considere r f = f i com f i irredutível, então qualquer curva equivalente à f é da forma i=1 ( r ) r g = u 1 Φ(f) = u 1 Φ f i = u 1 Φ(f i ). i=1 i=1 Portanto g é redutível. Em particular tome r = 1 e assim temos que f é irredutível se, e somente se, g é irredutível. Vejamos agora que a equivalência de curvas preserva multiplicidade.

16 8 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS Com efeito, considere f = F i, com F i homogêneo de grau i. Assim i = m mult(f) = m. Devemos mostrar que mult(g) = m, onde g = u 1 Φ(f). Observe que ( ) g = u 1 Φ F i = u 1 Φ(F i ). i = m i = m Vamos analisar Φ(F i ), onde F i é homogêneo de grau i, ou seja, F i = j+k = i a jk X j Y k. Como Φ é automorfismo de C[[X, Y ]], temos que Φ : C[[X, Y ]] C[[X, Y ]] X ax + by + termos de ordem superior Y cx + dy + termos de ordem superior satisfazendo ad cb 0. Assim, Φ(F i ) = j+k = i a jk Φ(X) j Φ(Y ) k. Mas veja que mult(φ(x)) = 1 e mult(φ(y )) = 1. Logo mult(φ(x) j Φ(Y ) k ) = j + k = i. Portanto, mult(φ(f i )) = i e mult(g) = m. 1.1 O Anel Local de uma Curva Plana Nesta seção, vamos caracterizar a equivalência de curvas algebróides planas em termos do isomorfismo de seus anéis locais, que é um objeto algébrico associado à tais curvas. Seja f um elemento do ideal maximal M = X, Y de C[[X, Y ]]. Denotaremos por f o ideal gerado por f em C[[X, Y ]].

17 1.1. O ANEL LOCAL DE UMA CURVA PLANA 9 Define-se o anel local da curva (f) como sendo a C-álgebra O f = C[[X, Y ]]. f Observação 1.5 O f não depende do representante de (f). Quando f é irredutível, O f é um domínio e neste caso, o corpo de frações de O f será denotado por K f. O próximo resultado mostra que o anel O f é um importante invariante das classes de equivalência de curvas algebróides planas. Teorema 1.6 Dadas duas curvas algebróides planas (f) e (g), tem-se que (f) (g) se, e somente se, O f O g, isto é O f e O g são isomorfos como C-álgebras. Demonstração: ( ) Suponha que Φ(f) = u.g, onde Φ é um automorfismo e u uma unidade de C[[X, Y ]]. Temos os homomorfismos de anéis C[[X, Y ]] Φ C[[X, Y ]] π 2 O g = C[[X, Y ]] g C[[X, Y ]] Φ 1 C[[X, Y ]] π 1 O f = onde π 1 e π 2 são as projeções naturais. C[[X, Y ]] f (1.1) Note que π 2 Φ e π 1 Φ 1 são sobrejetores. Assim C[[X, Y ]] ker(π 2 Φ) O g e Veja que, se h C[[X, Y ]], então C[[X, Y ]] ker(π 1 Φ 1 ) O f. π 2 Φ(h.f) = π 2 (Φ(h).Φ(f)) = π 2 (Φ(h).u.g) = π 2 (Φ(h)).π 2 (u).π 2 (g) = 0

18 10 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS i.e., f ker(π 2 Φ). Assim O f = C[[X, Y ]] f Da mesma forma, usando (1.1) temos que C[[X, Y ]] ker(π 2 Φ) O g. (1.2) O g = Por (1.2) e (1.3) temos C[[X, Y ]] g C[[X, Y ]] ker(π 1 φ 1 ) O f. (1.3) O f C[[X, Y ]] ker(π 2 φ) O g C[[X, Y ]] ker(π 1 φ 1 ) O f, ou seja, O f O g. ( ) Vamos supor O f O g. Consideremos inicialmente que mult(g) 2. Denotando por ψ o isomorfismo entre O f e O g temos ψ : O f O g x h 1 y h 2 com h 1, h 2 M O g, onde x = X + f, y = Y + g e h i = H i + g com H i C[[X, Y ]] (note que se h i (0, 0) 0, então ψ não seria inversível). Considere o homomorfismo Ψ : C[[X, Y ]] C[[X, Y ]] X H 1 Y H 2. Como ψ é isomorfismo, existem G 1, G 2 C[[X, Y ]] tais que x = ψ(g 1 (x, y)) = G 1 (ψ(x), ψ(y)) = G 1 (h 1, h 2 ) onde x = X + g e y = Y + g. y = ψ(g 2 (x, y)) = G 2 (ψ(x), ψ(y)) = G 2 (h 1, h 2 ) Assim X = G 1 (H 1, H 2 ) + g e Y = G 2 (H 1, H 2 ) + g, i.e., X G 1 (H 1, H 2 ) g M 2

19 1.1. O ANEL LOCAL DE UMA CURVA PLANA 11 Y G 2 (H 1, H 2 ) g M 2, pois mult(g) 2. Denotando G 1 (X, Y ) = mx + ny +... G 2 (X, Y ) = px + qy +... e H 1 (X, Y ) = ax + by +... H 2 (X, Y ) = cx + dy +... devemos ter X G 1 (H 1, H 2 ) = X m(ax + by ) n(cx + dy )... Y G 2 (H 1, H 2 ) = Y p(ax + by ) q(cx + dy )..., assim i.e., a.d c.b 0. a.m + c.n = 1 a.p + c.q = 0 b.m + d.n = 0 b.p + d.q = 1 Desta forma, Ψ é um automorfismo, uma vez que sua matriz jacobiana ( ) a b J 0 Ψ = c d é inversível. Além disto, como C[[X, Y ]] Ψ C[[X, Y ]] π 1 π 2 temos O f ψ Og π 2 Ψ(f) = ψ π 1 (f) = ψ(0) = 0, ou seja, Ψ(f) g, i.e., Ψ(f) = h.g com h C[[X, Y ]].

20 12 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS Mais ainda, mult(f) = mult(ψ(f)) = mult(h.g) = mult(h)+mult(g) e portanto, mult(f) 2. Repetindo o argumento para Ψ 1, obtemos que Ψ 1 (g) = h.f. Deste modo g = Ψ(Ψ 1 (g)) = Ψ(h.f) = Ψ(h ).Ψ(f) = Ψ(h ).h.g, ou seja, h.ψ(h ) = 1. Conseqüentemente h(0, 0) 0, ou seja, h é unidade e (f) (g). Resta analisar o caso em que mult(g) = 1, mas note que se mult(f) 2 deveríamos ter mult(g) 2 o que contraria a hipótese. Portanto se mult(g) = 1 devemos ter mult(f) = 1. Seja g(x, Y ) = ax + by +..., como mult(g) = 1 devemos ter a 0 ou b 0. Suponha, sem perda de generalidade, que a 0. Então Ψ : C[[X, Y ]] C[[X, Y ]] X g(x, Y ) Y Y é um automorfismo, pois sua matriz jacobiana ( ) a 0 J 0 Ψ = b 1 é inversível. Assim, (g) (X). Claramente se b 0, então podemos definir um automorfismo similar e garantir que (g) (Y ). Como mult(f) = 1, temos também que (f) (X) ou (f) (Y ). Em ambos os casos concluímos que (f) (g), uma vez que (X) (Y ) via o automorfismo Φ : C[[X, Y ]] C[[X, Y ]] X Y Y X. 1.2 Teorema de Preparação de Weierstrass Nesta seção vamos estudar algumas propriedades algébricas dos anéis das séries de potências formais. O objetivo central é apresentar o Teorema da Preparação de Weierstrass.

21 1.2. TEOREMA DE PREPARAÇÃO DE WEIERSTRASS 13 Definição 1.7 Diremos que f C[[X, Y ]]\{0} é regular de ordem n em relação à Y (resp. X) se f(0, Y ) (resp. f(x, 0)) for divisível por Y n (resp. X n ) mas não por por Y n+1 (resp. X n+1 ). Exemplo 1.8 A série XY 2 + 4X 2 Y Y 2 X 5 + X 6 Y + 2X 7 Y não é regular com relação a nenhuma variável, enquanto XY 3 + Y 4 + X 5 é regular de ordem 4 em Y e regular de ordem 5 em X. Dizemos que f é regular em X (resp. em Y ), se f é regular de ordem igual a multiplicidade de f com respeito à X (resp. Y ). Proposição 1.9 Seja f C[[X, Y ]]\{0} com multf = n. Então existe uma mudança linear de coordenadas que associa f a uma série regular com respeito à Y (ou à X). Demonstração: Seja f(x, Y ) = F n + F n , onde cada F i é um polinômio homogêneo de grau i. Considere F n (X, Y ) = a n,0 Y n +a n 1,1 Y n 1 X+...+a 1,n 1 Y X n 1 + a 0,n X n, assim F n (X, 1) = a n,0 + a n 1,1 X a 1,n 1 X n 1 + a 0,n X n C[X], então existe c C tal que F n (c, 1) 0. Considere a mudança de coordenadas (C-automorfismo de C[[X, Y ]]) Ψ : C[[X, Y ]] C[[X, Y ]] X X cy Y Y. Assim, denotando g(x, Y ) = Ψ(f(X, Y )) = f(x + cy, Y ) temos que g é regular em Y. De fato, g(0, Y ) = f(0 + cy, Y ) = F n (cy, Y ) + F n+1 (cy, Y ) +... }{{}. grau superior a n Analisando o primeiro termo após a segunda igualdade temos, F n (cy, Y ) = a n,0 Y n + a n 1,1 cy n a 1,n 1 c n 1 Y n + a 0,n c n Y n

22 14 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS F n (cy, Y ) = Y n donde vem que g é regular em Y. (a n,0 + a n 1,1 c a 1,n 1 c n 1 + a 0,n c n }{{} ) F n (c, 1) 0 Exemplo 1.10 Apliquemos o resultado anterior para deixar f(x, Y ) = XY 2 + 4X 2 Y + 2X 7 Y regular em Y. Temos que f = F 3 +F 8, onde F 3 (X, Y ) = XY 2 +4X 2 Y. Note que F 3 (X, 1) = X+ 4X 2. Então basta tomar c = 1, pois F 3 (1, 1) = 5 0. Sendo assim, considerando temos que Ψ : C[[X, Y ]] C[[X, Y ]] X X Y Y Y, Ψ(f(X, Y )) = f(x + Y, Y ) = 9XY 2 + 5Y 3 + 4X 2 Y + 2X 7 Y + 14X 6 Y X 5 Y 3 + é regular em Y. 70X 4 Y X 3 Y X 2 Y XY 7 + Y 8 O teorema que segue, desempenha um papel importante na Teoria de Curvas Algebróides. Este teorema permite que consideremos uma série de potências que define uma curva de forma especial. Teorema 1.11 (Teorema da Divisão de Weierstrass) Seja f C[[X, Y ]]\{0} regular em Y de ordem n 1. Dado g C[[X, Y ]] existem q C[[X, Y ]] e r C[[X]][Y ], com r = 0 ou deg Y r < n, unicamente determinados tais que g = qf + r. Demonstração: A demonstração se dará por construção.

23 1.2. TEOREMA DE PREPARAÇÃO DE WEIERSTRASS 15 Escreva g = h + r 1 com deg Y r 1 < n e mult(r 1 ) 0 (ou r 1 = 0), (1.4) e h = h n + h n onde cada h i é homogêneo de grau i (1.5) f = f s + f s f }{{ n } +f n com f i homogêneo de grau i. f Note que h n, f C[X, Y ]. Assim podemos aplicar o algoritmo da divisão para polinômios em C[X][Y ] = C[X, Y ] e obter únicos r 0, q 0 C[X, Y ] tais que h n = q 0 f + r 0 onde q 0 C, i.e., mult(q 0 ) = 0, deg Y r 0 < n e mult(r 0 ) s 1 ou r 0 = 0. Mas f = f (f n ). (1.6) Assim em (1.5) implica h n = q 0 f (q 0 f n ) + r 0 e em (1.4) temos que h = q 0 f (q 0 f n ) + h n r 0 = q 0 f + (h n+1 q 0 f n+1 ) r 0 g = q 0 f + (h n+1 q 0 f n+1 ) r 1 + r 0. (1.7) Repetindo o argumento para h n+1 q 0 f n+1, i.e., dividindo por f, temos h n+1 q 0 f n+1 = q 1 f + r 1 com deg Y r 1 < n e mult(r 1 ) s (ou r 1 = 0) e deg Y (q 1 ) = mult(q 1 ) = 1 ou q 1 = 0, pois h n+1 q 0 f n+1 é homogêneo de grau n + 1 ou nulo.

24 16 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS Assim usando (1.6) temos e substituindo em (1.7) resulta que h n+1 q 0 f n+1 = q 1 (f (f n )) + r 1 g = q 0 f + q 1 (f (f n )) + r r 1 + r 0 = (q 0 + q 1 )f + (h n+2 q 0 f n+2 q 1 f n+1 ) r 1 + r 0 + r 1. Procedendo deste modo, obteremos q 0, q 1, q 2,... com q i = 0 ou mult(q i ) = i r 0, r 1, r 2,... com r i = 0 ou mult(r i ) i + 1 e deg Y (r i ) < n, tais que g = i=0 q i }{{} q f + i= 1 r i }{{} r. Pela expressão de mult(q i ) e mult(r i ) temos que q = i=0 q i C[[X, Y ]] r = r i C[[X]][Y ] e deg y r < n. i= 1 Note que a demonstração dada do Teorema de Divisão é construtiva, permitindo construir as séries r e q até uma ordem desejada. Exemplo 1.12 Sejam f = XY Y 3 + X 2 Y 2 X 4 e g = 7 + X + Y 2 X 2 Y 2 + XY 3 + Y 5. Aplicando o teorema anterior temos r 1 = 7 + X + Y 2 X 2 Y 2 e h = h 4 + h 5

25 1.2. TEOREMA DE PREPARAÇÃO DE WEIERSTRASS 17 onde h 4 = XY 3 e h 5 = Y 5. Temos também f 4 = X 2 Y 2 X 4. Assim f = f f 4 = Y 3 + XY. Aplicando o Teorema da Divisão de Weierstrass temos, h 4 = q 1 f + r 1 q 1 = X r 1 = X 2 Y h 5 q 1 f 4 = q 2 f + r 2 q 2 = Y 2 X r 2 = X 3 Y 2 + X 2 Y X 5 q 2 f 4 = q 3 f + r 3 q 3 = X 2 Y r 3 = (2X 3 X 4 )Y 2 X 5 q 3 f 4 = q 4 f + r 4 q 4 = X 4 r 4 = (X 5 X 6 )Y q 4 f 4 = q 5 f + r 5 q 5 = 0 r 5 = X 6 Y 2 X 8. Assim, g = qf + r, onde q = 2X Y 2 X 2 Y X 4 e r = 2X 2 Y + 3X 3 Y 2 2X 5 X 4 Y 2 + X 5 Y X 6 Y + X 6 Y 2 X 8. Como conseqüência do teorema anterior, temos o seguinte resultado. Teorema 1.13 (Teorema da Preparação de Weierstrass) Seja f C[[X, Y ]]\{0} regular em Y e mult(f) = n 1, então existe uma unidade u C[[X, Y ]] tal que u(x, Y )f(x, Y ) = Y n + a 1 (X)Y n a n 1 (X)Y + a n (X), com a i (X) C[[X]] e mult(a i (X)) i. Demonstração: Basta aplicar o teorema anterior com g = Y n, pois deste modo existem uma unidade q C[[X, Y ]] e r C[[X]][Y ] com deg Y r < n tais que g = qf + r. Escrevendo r = b 1 (X)Y n b n 1 (X)Y + b n (X) e q = u temos Y n = u.f + b 1 (X)Y n b n 1 (X)Y + b n (X),

26 18 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS ou seja, u.f = Y n (b 1 (X)Y n b n 1 (X)Y + b n (X)). Denotando a i (X) = b i (X), obtemos u.f = Y n + a 1 (X)Y n a n 1 (X)Y + a n (X). Agora, calculando a multiplicidade de ambos os lados, temos que mult(a i (X)) i. Exemplo 1.14 Vamos preparar à Weierstrass a série f = XY Y 3 + Y 4. Escrevendo f = f + f 4, onde f = XY Y 3 e f 4 = Y 4, e usando o Teorema da Preparação de Weierstrass temos Y 3 = 1f + XY = f + Y 4 + XY. Mas, Y 4 = Y f + XY 2. Assim, Y 3 = ( 1 Y )f + Y 5 + XY + XY 2. Como, Y 5 = ( Y 2 X)f + X 2 Y, obtemos, Y 3 = ( 1 X Y Y 2 )f + Y 6 + XY 4 + XY + XY 2 + X 2 Y. Mas, Y 6 + XY 4 = ( Y 3 2XY )f + 2X 2 Y 2. Logo, Y 3 = ( 1 X Y Y 2 )f + (Y 3 + 2XY )Y 4 + XY + XY 2 + X 2 Y + 2X 2 Y 2. Continuando com o processo, teremos ( 1 X Y Y )f = Y 3 (X + 2X )Y 2 (X + X )Y.

27 1.3. PARAMETRIZAÇÕES E SEMIGRUPO DE VALORES 19 Observação 1.15 Usando a Proposição 1.9 e o teorema anterior podemos assumir que uma curva algebróide plana seja dada, a menos de mudança de coordenadas, por um polinômio de Weierstrass, i.e., Y n + a 1 (X)Y n a n 1 (X)Y + a n (X) C[[X]][Y ], com mult(a i (X)) i. 1.3 Parametrizações e Semigrupo de Valores Seja C = C f uma curva plana irredutível dada por uma série de potências f(x, Y ) M\{0} C[[X, Y ]] e O C seu anel local, que sabemos ser um domínio. Denotando x = X + f e y = Y + f, podemos considerar que O C = C[[X,Y ]] f = {g(x, Y ) ; g C[[X, Y ]]} = {g(x, y) ; g C[[X, Y ]]} = C[[x, y]]. Consideremos K o corpo de frações de O C, i.e., { g } K = h ; g, h O C, h 0. Pode-se provar que K C(t) (veja [H] Teorema 2 do capítulo 3), ou seja, o conjunto de todos os elementos da forma p(t) q(t) com p, q C[[t]] e q 0. Os elementos de C(t) da forma p(t) 1 formam um anel, a saber C[[t]] que é isomorfo a um subanel de K que contém O C e será denotado por O C, ou seja, Deste modo temos a inclusão O C O C K. O C O C C[[t]], e o monomorfismo de anéis Ψ : O C C[[t]] x p 1 (t) y p 2 (t)

28 20 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS e portanto, O C ImΨ = C[[p 1 (t), p 2 (t)]]. Considerando a projeção natural π : C[[X, Y ]] O C e a composição C[[X, Y ]] π C[[X, Y ]] f temos que ker(ψ π) = ker(π) = f, i.e., Ψ O C C[[t]] 0 = Ψ π(f) = Ψ(f(x, y)) = f(p 1 (t), p 2 (t)). Dito de outro modo, as raízes de f(x, Y ) são dadas por x = p 1 (t) e y = p 2 (t). Dizemos, neste caso que Ψ é uma parametrização de f (ou de C f ) e denotamos { x(t) = p1 (t) C f : y(t) = p 2 (t). (1.8) Já vimos que após mudanças de coordenadas, podemos assumir que uma curva plana seja dada por um polinômio de Weierstrass, ou seja, um elemento de C[[X]][Y ] da forma n Y n + a i (X)Y n i. (1.9) i=1 O Teorema de Newton-Puiseux, (ver [H] pag. 49) nos dá um meio de expressar as raízes de um polinômio da forma (1.9) e nos fornece um algoritmo para obter uma parametrização como (1.8) que chamaremos de parametrização de Newton- Puiseux. Em muitos softwares de computação algébrica (em Maple por exemplo) podemos encontrar algoritmos que fornecem a parametrização de Newton-Puiseux até uma certa ordem a partir de um polinômio f(x, Y ) considerado como elemento de C[[X, Y ]]. Seja { x(t) = p1 (t) C f : y(t) = p 2 (t) com p 1 (t), p 2 (t) C[[t]]. Efetuando uma mudança de coordenadas (se necessário) podemos considerar n = ord t (x(t)) = ord t (p 1 (t)) ord t (y(t)) = ord t (p 2 (t)). Além disto, podemos escrever p 1 (t) = ct n (1 + h(t)), com h(0) = 0 e c C\{0}. Assim

29 1.3. PARAMETRIZAÇÕES E SEMIGRUPO DE VALORES 21 existe u(t) C[[t]] tal que u(t) = n 1 + h(t). Deste modo, considerando t 1 = n c.t.u(t) (que é automorfismo de C[[t]]) temos que e assim podemos considerar t n 1 = c.t n.u n (t) = c.t n (1 + h(t)) O C C[[p 1 (t), p 2 (t)]] C[[t n 1, q(t 1 )]]. Por meio de mudança de coordenadas e usando o Teorema de Newton-Puiseux podemos considerar que n = mult(f). Além disto, se { x(t) = t n C f : y(t) = q(t) = a 1 t m 1 + a 2 t m e m 1 é múltiplo de n (lembre-se n m 1 ), digamos m 1 = αn, então usando o isomorfismo x 1 = y 1 = x y a 1 x α temos que o anel O C C[[t n, q(t)]] é isomorfo ao anel C[[t n, a 2 t m ]], repetindo o argumento podemos considerar que o anel local de uma curva é dado (é isomorfo) a C[[t n, rt m +...]], onde n < m e n m. Além disto, usando o isomorfismo x 1 = y 1 = x y r podemos admitir que o anel local de uma curva seja dado por O f = C[[t n, t m +...]] com n < m e n m. Exemplo 1.16 Considere a série f(x, Y ) = Y 3 + (3X 6X 2 )Y 2 + (3X 2 12X X 4 18X 5 )Y + X 3 6X X 5 26X 6 180X 7 X 8.

30 temos { x1 = t CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS Usando o procedimento implementado em Maple, obtemos a seguinte parametrização x = t3 y = t t t t8. Considerando obtemos t 1 = t = 1 6 t { x = t 3 1 y = t t t t 8 1 Agora tomando a mudança de coordenadas x 1 = x y 1 = y + x 2x2 6 y 1 = t t8 1. Seja C uma curva algebróide plana irredutível dada por f M\{0} C[[X, Y ]]. Como vimos temos que O C = C[[X, Y ]] f C[[x(t), y(t)]] O C C[[t]] K C(t). O anel O C é um DVD (Domínio de Valorização Discreta), ou seja, existe uma função (valorização) tal que v : O C Z { } v(a.b) = v(a) + v(b) e v(a + b) min{v(a), v(b)}, para todo a, b O C. Neste caso, temos que a valorização é dada por v : O C Z { } g ord t ( g), onde g é a imagem isomórfica de g em C[[t]].

31 1.3. PARAMETRIZAÇÕES E SEMIGRUPO DE VALORES 23 Note que Im(v) = N { }. Restringindo v ao anel local O C O C temos que v(o C \{0}) N e v(u) = 0 se u(0) 0 v(g.h) = v(g) + v(h) g, h O C. Definição 1.17 O conjunto Γ C = v(ψ(o C \{0})) é um semigrupo denominado semigrupo de valores associado à curva C. Note que se α Γ C, então existe g O C tal que v(ψ(g)) = α. O semigrupo de valores Γ C de uma curva plana irredutível C é tal que N \ Γ é finito. Para constatar este fato, vamos considerar a extensão de v à K C(t), i.e., v : K Z { } g ( g ) h v = v(g) v(h) h onde g, h O C e h 0. Como t C(t) K existem g, h O C tais que v ( g h) = 1, ou seja v(g) = v(h) + 1. Como g, h O C temos que em Γ C há dois números consecutivos, a saber, a = v(h) e a + 1 = v(g). O lema abaixo garante que existe um elemento em Γ C de modo que todo natural maior que tal elemento é ainda um elemento de Γ C. Lema 1.18 Se a e a + 1 são elementos de um semigrupo (aditivo) Γ N, então todo número natural maior ou igual à (a 1)(a + 1) está em Γ. Demonstração: Tome um natural d (a 1)(a + 1). Como a e a + 1 são primos entre si temos que 0, a + 1, 2(a + 1),..., (a 1)(a + 1) }{{} a elementos formam um sistema completo de restos módulo a, i.e., cada elemento da seqüência acima deixa um resto distinto quando dividido por a. Deste modo, d e(a + 1) mod(a), 0 e a 1.

32 24 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS Assim d = e(a + 1) + r.a, com r 0 e portanto d Γ. O menor inteiro c Γ (não necessariamente o descrito acima) tal que c + α Γ para todo α N, é chamado de condutor de Γ. Deste modo, temos que #(N/Γ) <, e os elementos de N/Γ são chamados de lacunas. Além disto, temos que o semigrupo de valores Γ é finitamente gerado, i.e., existem v 0, v 1,..., v g Γ tais que todo elemento de Γ é da forma α 0 v 0 + α 1 v α g v g, com α i N. Neste caso denotamos Γ = v 0, v 1,..., v g. Mostremos que Γ é finitamente gerado. Considere a seqüência v 0 = min Γ \ {0} v 1 = min Γ \ v 0 v 2 = min Γ \ v 0, v 1 : : v i+1 = min Γ \ v 0, v 1,..., v i : : Tal seqüência é finita, ou seja, existe g tal que v g = min Γ \ v 0, v 1,..., v g 1 mas não existe min Γ \ v 0, v 1,..., v g, ou seja, Γ \ v 0, v 1,..., v g =, o que equivale a afirmar que Γ = v 0, v 1,..., v g. Mostremos que a seqüência definida anteriormente é finita. Inicialmente, note que se i k, então v i v k mod(v 0 ). De fato, se v i v k mod(v 0 ) então v i = v k + sv 0, s Z. Se s 0, então v i v k e v i v 0, v k v 0, v 1,..., v k, impossível de ocorrer pelo modo que definimos a seqüência de v i s.

33 1.3. PARAMETRIZAÇÕES E SEMIGRUPO DE VALORES 25 Se s < 0 então v k > v i e v k = v i sv 0, ou seja, v k v 0, v i v 0, v 1,..., v i novamente uma contradição. Como v i e v k não podem deixar o mesmo resto por v 0, teremos um número finito de v i s, a saber, no máximo v 0 elementos na seqüência. O conjunto v 0, v 1,..., v g obtido como anteriormente é chamado de sistema mínimo de geradores de Γ e elementos h 0, h 1,..., h g O C tais que v(h i ) = v i forma o que denominamos Base Standard de O C. Observação 1.19 Para todo k Γ = v 0, v 1,..., v g, temos que existem α 0, α 1,..., α g N tais que k = α 0 v 0 + α 1 v α g v g. Se {h 0, h 1,..., h g } é uma Base Standard de O C,i.e., v(h i ) = v i com i = 0,..., g, temos que ( g ) v = k. i = 0 h α i i Exemplo 1.20 Seja C uma curva algebróide plana irredutível com parametrização com v 1 ímpar e v 1 > 2. x = t 2 y = t v 1 + i > v 1 a i t i Claramente v(x) = 2 e v(y) = v 1 pertencem ao semigrupo de valores Γ C, além disto, constata-se facilmente que 2 = min Γ C \{0} e v 1 é o menor número ímpar de Γ C assim temos que 2 e v 1 são geradores de Γ C. Como podem haver no máximo dois geradores, acabamos por descobrir todos, ou seja, Γ C = 2, v 1. Exemplo 1.21 Considere C uma curva algebróide plana irredutível que admite uma parametrização da forma { x = t 4 y = t 6 + t 7. Como antes, temos que v(x) = 4 = min Γ C \{0} e v(y) = 6 pertencem ao sistema mínimo de geradores de Γ C. Certamente deve haver mais elementos no

34 26 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS sistema mínimo de geradores, pois caso contrário, em Γ C haveria somente números pares e portanto não teríamos condutor. De fato, temos que 13 Γ C, pois tomando g(x, Y ) = Y 2 X 3, temos que v(g(x, y)) = ord t ((t 6 + t 7 ) 2 (t 4 ) 3 ) = ord t (2t 13 + t 14 ) = 13. Na próxima seção, veremos como obter o sistema mínimo de geradores de Γ C, a partir de certos expoentes presentes na parametrização de uma curva. Pode-se provar que o semigrupo de valores é um invariante com respeito a equivalência de curvas (veja [H] seção 6.2), isto é, curvas equivalentes possuem mesmo semigrupo, mas a recíproca não é verdade, como teremos oportunidade de constatar em vários exemplos do capítulo Expoentes Característicos Dada uma parametrização de Newton-Puiseux de uma curva C, vimos que podemos, através de mudanças de coordenadas e de parâmetro (se necessário), considerar que esta seja dada na forma x = t β 0 C : y = t β 1 + a i t i i > β 1 onde β 0 < β 1 e β 1 não é divisível por β 0. Além disto podemos, mediante mudança de parâmetro, assumir que a parametrização é primitiva, isto é, o mínimo múltiplo comum entre todos os expoentes da parametrização é 1. Chamamos de expoentes característicos da curva C aos inteiros β 0, β 1,..., β g obtidos como segue: Considere e 0 = β 0 e para i = 1,..., g defina e i = mdc(β i, e i 1 )

35 1.4. EXPOENTES CARACTERÍSTICOS 27 β i+1 = min{j ; a j 0 e e i não divide j}. Exemplo 1.22 Seja Então { x = t 8 C : y = t t 16 t t t β 0 = e 0 = 8 e β 1 = 12 e 1 = mdc(12, 8) = 4 logo β 2 = 22 e 2 = mdc(22, 4) = 2 logo β 3 = 23 e 3 = mdc(23, 2) = 1 Assim, os expoentes característicos de C são 8, 12, 22 e 23. Como vimos anteriormente, para obter o sistema mínimo de geradores de Γ C, basta considerarmos v 0 = min Γ C \ {0} e v i = min Γ C \ v 0,..., v i 1. Deste modo, temos v 0, v 1,..., v g tais que Γ C = {α 0 v α g v g ; α i N} = v 0,..., v g. A escolha do índice g para o último expoente característico bem como para o último gerador de Γ C não foi uma coincidência. Zariski mostrou como obter o sistema mínimo de geradores de Γ C a partir dos expoentes característicos (veja [H] cap. 6) a saber, temos as relações v 0 = β 0 v i+1 = n i v i + β i+1 β i onde n 0 = 1 e n i = e i 1 e i = mdc(β 0,..., β i 1 ) mdc(β 0,..., β i ). Observação 1.23 Através do sistema mínimo de geradores do semigrupo Γ C de uma curva C podemos obter o condutor de Γ C pela fórmula (veja [H] Proposição 2, Capítulo 7) c = g (n i 1)v i v i=1 Deste modo, podemos calcular o semigrupo de valores de uma curva plana irredutível e seu condutor, usando os expoentes característicos.

36 28 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS Exemplo 1.24 Considere a curva dada por { x = t 8 C : y = t t 16 t t t 23 + Vimos que β 0 = 8, β 1 = 12, β 2 = 22 e β 3 = 23. Assim, v 0 = 8 n 0 = 1 v 1 = n 0 v 0 + β 1 β 0 = β 1 = 12 n 1 = 2 v 2 = n 1 v 1 + β 2 β 1 = 34 n 2 = 2 v 3 = n 2 v 2 + β 3 β 2 = 69 n 3 = 2. Logo, Γ C = 8, 12, 34, 69 e neste caso, temos que c = 108. A proposição abaixo nos fornece uma técnica de eliminação de termos por mudança de coordenadas no intuito de obter curvas equivalentes com parametrizações mais simples. Proposição 1.25 Sejam C uma curva dada pela parametrização x = t v 0 C : y = t v 1 + a i t i i > v 1 e Γ C = v 0,..., v g seu semigrupo de valores. Se k Γ C, então C C onde x = t v 0 C : k 1 y = t v 1 + a i t i + a it i. i > v 1 i > k Demonstração: De fato, como k Γ C, então existem α 0, α 1,..., α g N tais que k = α 0 v α g v g. Tomando uma Base Standard {h 0, h 1,..., h g } de O C, ou g seja, elementos h i O C tais que v(h i ) = v i e considerando h = h α i i, temos que v(h) = k. Logo, basta considerar a mudança de coordenadas x 1 = x y 1 = y a k b g i = 0 h α i i, i = 0

37 1.5. CURVAS ANALÍTICAS PLANAS 29 onde b é o coeficiente de h expresso como série em t e teremos o desejado. Pela proposição acima podemos assumir que a parametrização de uma curva plana irredutível C (a menos de mudança de coordenadas) seja truncada no termo cujo expoente seja o condutor do semigrupo de C. 1.5 Curvas Analíticas Planas Nas seções anteriores, estudamos curvas algebróides planas como elementos de C[[X, Y ]]. Desta forma, uma curva algebróide plana foi considerada como uma série de potências formal. No entanto, no lugar de C[[X, Y ]], podemos considerar o anel das séries de potências convergentes nas variáveis X e Y, ou seja, C{X, Y }. Todos os resultados apresentados anteriormente para C[[X, Y ]] podem ser demonstrados para C{X, Y }. Podemos também definir uma relação de equivalência sobre C{X, Y } de maneira similar aquela feita para C[[X, Y ]], ou seja, dados f, g C{X, Y } dizemos, que tais elementos são equivalentes, isto é, f g se, e somente se, existem um automorfismo Φ e uma unidade u de C{X, Y } tais que Φ(f) = u.g. A propriedade extra da convergência permite uma interpretação geométrica do conjunto dos zeros de um elemento f do ideal maximal de C{X, Y }. Deste modo, definimos a curva analítica plana dada por f(x, Y ) C{X, Y } como C f = {(x, y) U, f(x, y) = 0}, onde U C 2 é uma vizinhança da origem. Proposição 1.26 Sejam f e g elementos irredutíveis de C{X, Y }. Temos que C f = C g se, e somente se, f e g são associados.

38 30 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS Demonstração: Veja Lema 7 e Corolário pag. 62 de [H]. Observe que dado um difeomorfismo analítico Φ: V U de vizinhanças U e V da origem de C 2 temos um automorfismo Φ de C{X, Y } dado por Φ(f) = f Φ 1 para todo f C{X, Y } definido em V C 2. Reciprocamente, dado um automorfismo Φ de C{X, Y } temos um difeomorfismo Φ de vizinhanças da origem de C 2 relacionados como acima. Temos assim o seguinte resultado: Proposição 1.27 Dados f : V C e g : U C elementos irredutíveis de C{X, Y }, temos que existe um automorfismo Φ de C{X, Y } tal que Φ(f) e g são associados se, e somente se, Φ (C f ) = C g. Demonstração: Suponha inicialmente que existam um automorfismo Φ e uma unidade u de C{X, Y } tais que Φ(f) = u.g. Considere Φ: V U o difeomorfismo induzido por Φ, i.e., Φ(f) = f Φ 1. Assim, C g = C u.g = C f Φ 1. Agora veja que C f Φ 1 = Φ (C f ). De fato, (x, y) C f Φ 1 f Φ 1 (x, y) = 0 Φ 1 (x, y) C f (x, y) Φ (C f ). Portanto, C g = Φ (C f ).

39 1.5. CURVAS ANALÍTICAS PLANAS 31 Reciprocamente, suponha que existe um difeomorfismo Φ: V U tal que Φ (C f ) = C g, ou seja, C Φ(f) = C 1 = f Φ (C f ) = C g onde Φ é o automorfismo de Φ C{X, Y } obtido a partir de Φ. Como f é irredutível e Φ é automorfismo, temos que Φ(f) também é irredutível. Assim pela proposição anterior temos que Φ(f) e g são associados, concluindo a demonstração do resultado. Nosso objetivo é classificar curvas analíticas planas irredutíveis, com determinados semigrupos de valores fixo, com respeito à relação de equivalência introduzida anteriormente. Como mencionamos na Observação 1.4, tal questão não admite uma resposta trivial. Para tanto, iremos utilizar ferramentas da Teoria de Singularidades, fazendo assim, uma bela ligação entre tal teoria com a Geometria Algébrica.

40 32 CAPÍTULO 1. CURVAS ALGEBRÓIDES PLANAS

41 Capítulo 2 Aplicações diferenciáveis Neste capítulo vamos apresentar alguns resultados referentes a germes de aplicações diferenciáveis, além de relacioná-los com a teoria de curvas analíticas. Apresentaremos também os resultados centrais deste trabalho. 2.1 Germes de Aplicações Diferenciáveis Sejam duas aplicações analíticas f : U C p e g : V C p definidas em vizinhanças U e V de um ponto q C n. Definimos a seguinte relação de equivalência: f g vizinhança W de q, W U V tal que f(p) = g(p), p W. A classe de equivalência de uma aplicação f : U C p será chamada de germe de f no ponto q. Sem perda de generalidade podemos tomar q = 0 C n. O germe de f em 0 é denotado por f : C n, 0 C p. O conjunto de todos os germes g : C n, 0 C p será denotado por O(n, p). Quando p = 1, isto é, quando considerarmos germes de funções, o conjunto anterior será denotado simplesmente por O n. 33

42 34 CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS As operações f + g = f + g e f.g = f.g, estão bem definidas e fazem de O n um anel comutativo com a identidade 1. Seja M n = {f O n ; f(0) = 0}, ou seja, M n é o conjunto dos germes de funções cujos representantes se anulam em 0. Temos que M n é um ideal de O n, mais ainda M n é um ideal maximal de O n e O n é um anel local. De fato, seja M um outro ideal de O n e suponha que f M M n. Então f(0) 0, portanto 1/f está bem definida em uma vizinhança de 0, assim temos 1/f.f = 1 M, portanto M = O n. Isto mostra que M n é o único ideal maximal de O n. A partir deste ponto, como estaremos considerando apenas germes de aplicações, denotaremos o germe de f : U C n C p simplesmente por f : C n, 0 C p, 0. Além das propriedades algébricas de O n, temos que O(n, p) é um O n -módulo. De fato, (O(n, p), +) é um grupo abeliano, O n é um anel, e a operação O n O(n, p) O(n, p) (f, F ) (f.f 1,..., f.f n ), onde F = (f 1,..., f n ) com f i O n, satisfaz f.(g.f ) = (f.g).f f.(f + G) = f.f + f.g (f + g).f = f.f + g.f 1.F = F. Observação 2.1 Dada f : U C um elemento de C{X, Y }, onde U C 2 é uma vizinhança da origem, a curva analítica plana determinada por qualquer representante do germe de f é a mesma, e neste caso, a denominamos germe da curva analítica dada por f. Além de O n e O(n, p), um outro conjunto desempenhará papel importante nos resultados que apresentaremos. Temos assim a seguinte definição.

43 2.2. AÇÃO DE UM GRUPO SOBRE UM CONJUNTO 35 Definição 2.2 O espaço de jatos J k (n, p) é o espaço vetorial de todas as aplicações f : C n C p cujas componentes são polinômios de grau menor ou igual a k com termo constante nulo. Uma das principais idéias na teoria de singularidades é substituir o espaço dos germes M n.o(n, p) pelo espaço de k-jatos que pode também ser expresso como onde M k+1 n J k (n, p) = M n.o(n, p)/m k+1 n.o(n, p), denota o ideal de todos os germes de funções cujos polinômios de Taylor de ordem k na origem são identicamente nulos. A cada f M n.o(n, p) associamos o k-jato j k (f) que é seu polinômio de Taylor de grau menor ou igual a k na origem. Neste trabalho, todos os difeomorfismos serão considerados difeomorfismos analíticos e o grupo de todos os difeomorfismos de C n será denotado por Diff(C n ). 2.2 Ação de um Grupo sobre um Conjunto Antes de relacionar a teoria de curvas com a de aplicações diferenciáveis, vejamos alguns conceitos necessários. Definição 2.3 Seja G um grupo e M um conjunto. Uma ação de G sobre M é uma aplicação Θ : G M M, definida por (g, m) g m, tal que para todo m M e g, h G tem-se: onde e é a identidade de G. i) Θ(e, m) = e m = m ii) Θ(gh, m) = (gh) m = g (h m) = Θ(g, Θ(h, m)) Exemplo 2.4 Sejam M = C ω (C n, C p ) = {f : C n C p ; f é analítica } e G = G 1 G 2, onde G 1 = (Diff(C n )) e G 2 = (Diff(C p )). Podemos definir uma ação de G sobre M, do seguinte modo Θ : (Diff(C n ) Diff(C p )) C ω (C n, C p ) C ω (C n, C p ). ((φ, ψ), f) ψ f φ 1

44 36 CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS C n f C p φ ψ C n ψ f φ 1 C p Dada uma ação de G sobre M, podemos definir uma relação de equivalência G em M por: m 1 G m 2 g G tal que m 2 = g m 1. Definição 2.5 Seja G um grupo agindo sobre um conjunto M e m M. A classe de equivalência de m pela relação definida acima é chamada a órbita de m e será denotada por G m = {g m : g G} M. Dada a aplicação φ m : G M g g m com m M, temos que a órbita do elemento m M é a imagem de φ m. Uma vez que as órbitas são classes de equivalência, temos que duas órbitas distintas são subconjuntos não vazios e disjuntos de M. Observação 2.6 Um ponto de uma órbita pode ser identificado com qualquer outro ponto da órbita, e esta propriedade é conhecida como homogeneidade de uma órbita. 2.3 Os Grupos de Mather R, L, A, C, K e suas Ações Vamos nesta seção introduzir alguns grupos e ações sobre conjuntos de germes de aplicações. Tais grupos e ações serão cruciais para os próximos resultados. Considere o O n -módulo O(n, p). O conjunto de todos os germes de difeomorfismos C n, 0 C n, 0, será denotado por R e o conjunto de todos os germes de difeomorfismos C p, 0 C p, 0, por L. É imediato que R e L são grupos com a

45 2.3. OS GRUPOS DE MATHER R, L, A, C, K E SUAS AÇÕES 37 operação composição. Além disto podemos definir o grupo A dado pelo produto direto R L. Podemos definir ações destes grupos sobre M n.o(n, p) por h f = f h 1, h R k f = k f, k L (h, k) f = k f h 1, (h, k) A, onde f M n.o(n, p). O grupo R (respectivamente L) é chamado também de grupo de mudanças de coordenadas na fonte (respectivamente na meta) de M n.o(n, p). O grupo C é o grupo de germes de difeomorfismos C n C p, 0 C n C p, 0 que são escritos na forma H(x, y) = (x, H (x, y)) com H (x, 0) = 0 com x em uma vizinhança da origem de C n. A ação de C sobre M n.o(n, p) é definida por H f(x) = H (x, f(x)), onde H C e f M n.o(n, p). O grupo C pode ser visto como o grupo de difeomorfismos C p, 0 C p, 0 parametrizados por x C n. Denote h x (y) = H (x, y), então a equação anterior pode ser escrita na forma H f(x) = h x (f(x)). O grupo K é o grupo dos germes de difeomorfismos C n C p, 0 C n C p, 0, que são escritos na forma H(x, y) = (h(x), H (x, y)), onde h R e H (x, 0) = 0 com x em uma vizinhança da origem de C n. A ação de K sobre M n.o(n, p) é definida como H f(x) = H (h 1 (x), f(h 1 (x))) com H K, h R e f M n.o(n, p), isto é, H f(x) = h x (f(h 1 (x))). O grupo K é chamado grupo de contato. O grupo C é um subgrupo normal de K e os grupos R, L e A podem ser identificados com subgrupos de K. Tais grupos são chamados grupos de Mather.

46 38 CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS 2.4 K-equivalência versus A-equivalência. Como mencionamos no final do capítulo anterior, nosso objetivo é classificar curvas planas analíticas irredutíveis, mais especificamente, os germes destas. O leitor pode estranhar até este ponto, qual o motivo de termos introduzido várias outras relações de equivalência (R, L, A, C, K-equivalência). Na verdade, tais relações, no caso de curvas planas irredutíveis, estão mais próximas do que pode parecer. Nesta seção vamos mostrar que a equivalência de curvas planas analíticas irredutíveis corresponde à K-equivalência das equações cartesianas das curvas e à A-equivalência de suas parametrizações. Lembremos que dados f, g : C 2, 0 C, 0, dizemos que f K g se, e somente se, existe um difeomorfismo H : C 2 C, 0 C 2 C, 0 ((x, y), z) (h 1 (x, y), h 2 ((x, y), z)) (2.1) com h 1 : C 2, 0 C 2, 0 difeomorfismo e h 2 ((x, y), 0) = 0 tal que H((x, y), g(x, y)) = (h 1 (x, y), f h 1 (x, y)) ou seja, (h 1 (x, y), h 2 ((x, y), g(x, y))) (2.1) = H((x, y), g(x, y)) = (h 1 (x, y), f h 1 (x, y)), i.e., f h 1 (x, y) = h 2 ((x, y), g(x, y)). Além disto, temos que f C g se f é K-equivalente à g com h 1 (x, y) = (x, y) (i.e., h 1 = Id), ou seja, f(x, y) = h 2 ((x, y), g(x, y)). (2.2) Observação 2.7 Pelo que foi exposto acima, fica evidente que f K g se, e somente se, existe h 1 : C 2, 0 C 2, 0 difeomorfismo tal que f h 1 é C-equivalente à g.

47 2.4. K-EQUIVALÊNCIA VERSUS A-EQUIVALÊNCIA. 39 A próxima proposição nos fornece uma caracterização da C-equivalência em termos algébricos, em termos de ideais. Proposição 2.8 Dados dois germes f, g : C 2, 0 C, 0 temos que f C g se, e somente se, f = g. Demonstração: ( ) Se f C g então existe H : C 2 C, 0 C 2 C, 0 ((x, y), z) ((x, y), h 2 ((x, y), z)) invertível e h 2 : C 2 C C com h 2 ((x, y), 0) = 0. Usando o Lema de Hadamard (veja A.1) podemos escrever h 2 ((x, y), z) = z.h 3 ((x, y), z) com h 3 : C 2 C C. Deste modo, por (2.2) temos que f(x, y) = h 2 ((x, y), g(x, y)) = h 3 ((x, y), g(x, y)).g(x, y) e assim temos, f g. Do mesmo modo mostramos que g f. E portanto, f = g. ( ) Suponha que f = g, i.e., g = g 1.f e f = f 1.g com g 1, f 1 O 2. Note que g = g 1.f 1.g

48 40 CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS ou seja, g 1 (0, 0).f 1 (0, 0) 0. Defina Note que h 2 ((x, y), 0) = 0. h 2 : C 2 C C ((x, y), z) z.f 1 (x, y). Assim H : C 2 C C 2 C definida por H((x, y), z) = ((x, y), h 2 ((x, y), z)) é inversível pois a matriz Jacobiana de H J 0 (H) = f 1 (0, 0) é inversível. Como temos que h 2 ((x, y), g(x, y)) = f 1 (x, y).g(x, y) = f(x, y) f C g. Dado um germe h : C 2, 0 C 2, 0, definimos o homomorfismo de álgebras h : O 2 O 2 por h (f) = f h e chamamos de homomorfismo induzido por h. Corolário 2.9 Sejam f, g : C 2, 0 C, 0. Tem-se que f K g se, e somente se, existe h : C 2, 0 C 2, 0 difeomorfismo tal que h ( f ) = g, ou seja, f h = g. Demonstração: Pela Observação 2.7 temos que f K g se, e somente se, existe h : C 2, 0 C 2, 0 difeomorfismo tal que f h C g, e pela Proposição 2.8 isto é equivalente a f h = g. O próximo resultado relaciona a equivalência de curvas planas analíticas irredutíveis com a K-equivalência.

49 2.4. K-EQUIVALÊNCIA VERSUS A-EQUIVALÊNCIA. 41 Proposição 2.10 Sejam f 0 e f 1 germes de curvas planas analíticas irredutíveis. Temos que f 0 K f 1 se, e somente se, existe um difeomorfismo h : C 2, 0 C 2, 0 tal que h(f 1 0 (0)) = f 1 1 (0). Demonstração: ( ) Suponhamos que f 0 K f 1. Pelo corolário anterior existe um difeomorfismo h : C 2, 0 C 2, 0 tal que f 0 = f 1 h. Assim, f 1 h = g 0.f 0 e f 0 = g 1.(f 1 h), com g 0, g 1 O 2. Se (x 0, y 0 ) f 1 0 (0), então f 1 h(x 0, y 0 ) = g 0 (x 0, y 0 ).f 0 (x 0, y 0 ) = 0. Assim h(x 0, y 0 ) f 1 1 (0) e portanto h(f 1 0 (0)) f 1 1 (0). Se h(x 0, y 0 ) f 1 1 (0), então como f 0 = g 1.(f 1 h), temos f 0 (x 0, y 0 ) = g 1 (x 0, y 0 ).(f 1 h(x 0, y 0 )) = 0. Assim (x 0, y 0 ) f 1 0 (0), e f 1 1 (0) h(f 1 0 (0)). E deste modo h(f 1 0 (0)) = f 1 1 (0). ( ) Seja h : C 2, 0 C 2, 0 um difeomorfismo tal que h(f 1 0 (0)) = f 1 1 (0). Temos que f 0 = f 1 h. Com efeito, como h(f 1 0 (0)) = f 1 1 (0) temos que f 1 0 (0) = (f 1 h) 1 (0),

50 42 CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS portanto f 0 e f 1 h possuem os mesmos zeros. Como h é difeomorfismo, f 0 e f 1 são irredutíveis. Pela Proposição 1.27 temos que existe uma unidade u de C{X, Y } tal que f 1 h = u.f 0 e isto garante que f 0 = f 1 h. A hipótese de f 0 e f 1 serem irredutíveis, no último resultado, é crucial, como o próximo exemplo ilustra. Exemplo 2.11 Sejam f 0 (X, Y ) = Y X 2 e f 1 (X, Y ) = (Y X 2 ) 2. Obviamente f 1 0 (0) = f 1 1 (0), no entanto, f 0 f 1. O teorema a seguir, nos mostra que a classificação de curvas analíticas planas irredutíveis corresponde à classificação de suas parametrizações com respeito à A- equivalência. Teorema 2.12 Se ϕ i : C, 0 C 2, 0 são parametrizações primitivas de germes de curvas planas analíticas irredutíveis definidas por f i : C 2, 0 C, 0, com i = 0, 1, então ϕ 0 e ϕ 1 são A-equivalentes se, e somente se, f 0 e f 1 são K-equivalentes. Demonstração: ( ) Suponhamos que ϕ 0 A ϕ 1, i.e., existem Φ : C 2, 0 C 2, 0 e Ψ : C, 0 C, 0 difeomorfismos tais que C, 0 ϕ 0 C 2, 0 Ψ Φ C, 0 ϕ1 C 2, 0 Denotando ϕ i (t) = (x i (t), y i (t)), temos que f i (x i (t), y i (t)) = 0. Note que Φ preserva as imagens de ϕ 0 e ϕ 1 e portanto o conjunto que anula f 0 e f 1, ou seja Φ(f 1 0 (0)) = f 1 1 (0). Como f 0 e f 1 são irredutíveis, o resultado anterior garante que f 0 K f 1. ( ) Suponhamos que f 0 K f 1. Então existe um difeomorfismo Φ : C 2, 0 C 2, 0 tal que Φ(f 1 0 (0)) = f 1 1 (0). Assim temos que Φ(ϕ 0 (t)) nos dá uma parametrização