INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1 o Teste SEMESTREPAR 28/29 Data: 9 demaiode 29 Duração: 2hm Tópicos de Resolução 1. Numdeterminadocruzamentodeumaavenidatemosaopçãodeviraràesquerda,viraràdireitaouseguir emfrente. Nessecruzamentotem-severificadoqueosveículosqueseguememfrentesãoodobrodosque viramàdireitaeosqueviramàesquerdametadedosqueviramàdireita. [1.5] a) Qual é a probabilidade dos veículos nesse cruzamento virarem à esquerda? Sabemos que E virar à esquerda D viraràdireita F seguiremfrente PF)=2PD) PE)= 1 2 PD) PE)+PD)+PF) = PD)+PD)+2PD)=1 PD)+2PD)+PD)=2 Logo 7PD)=2 PD)= 2 7 PE)= = 1 7 [1.] b) Qualéaprobabilidadedeumveículoviraràdireitasabendoquenãosegueemfrente? P F ) =1 PF)= = 7 P D/F ) = P D F ) P F ) = PD) PD F) 2 P F ) = 7 = OSr. Joãotemumapapelariaondevendediversasrevistas. Comoasvendastêmvindoadiminuir,oSr. Joãoresolveufazerumestudosobreonúmeroderevistasquevendepordiaechegouàseguinteconclusão: nãovendemaisderevistaspordia; em9%dosdiasvenderevistas; em65%dosdiasvendemaisdeumarevista; em%dosdiasvendepelomenostrêsrevistas; emmédiavende2revistaspordia. [2.] a) Construa a função de probabilidade do número de revistas vendidas por dia pelo Sr. João. X númeroderevistasquevendepordia das condições vem: nãovendemaisderevistaspordia em9%dosdiasvenderevistas av.a. X éumav.a. discretaeassumeosvalores, 1, 2, e; PX>)=.9 1 PX=)=.9 f)=.1;

2 em65%dosdiasvendemaisdeumarevista PX>1)=.65 1 PX 1)=.65 f)+f1)=.5 f1)=.25; em%dosdiasvendepelomenostrêsrevistas PX )=. 1 PX 2)=. f)+f1)+f2)=.7 f2)=.5 emmédiavende2revistaspordia. E[X] = 2 f)+1 f1)+2 f2)+ f)+ f)= f)+f)=2 f)+f)=1.5 Comof éumafunçãodeprobabilidadevemque fx), x e f)+f1)+f2)+f)+f)=1 f)+f)=. Agora basta resolver o seguinte sistema { f)+f)=1.5 f)+f)=. { f)=.15 f)=.15 A função de probabilidade é x 1 2 fx) [1.] b) Qual a probabilidade, de num dia, o Sr. João vender mais de 2 revistas sabendo que nesse dia já vendeu revistas? PX>2/X>)= PX>2eX>) PX>) = PX>2).9 = PX ).9 =..9 = 1 [1.5] c) CalculeV [2 X]. E [ X 2] = 2 f)+1 2 f1)+2 2 f2)+ 2 f)+ 2 f)= = =5. V[2 X]=9V [X]=9 E [ X 2] E 2 [X] ) = ) =12.6. Considere a variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade: c 2 x 2, 1 x fx)= cx, <x 1, caso contrário esejacumaconstantereal. 2

3 [1.5] a) Proveque 1 2 éoúnicovaloradmissívelparac. fx), x R. Para 1 x :fx)=c 2 x 2, c R Entãoda1 a condiçãoconclui-seque c. + fx)dx = 1. Para <x 1:fx)= cx, c R 1 1 c 2 x 2 dx c 2 c 2 =1 c= cxdx=1 [ c 2 x ] [ ] cx =1 2 2 ± 9 + c= c=2. Juntandoasduascondiçõesdaf.d.p.,oúnicovaloradmissívelparacé 1 2. [2.] b) DetermineafunçãodedistribuiçãodavariávelaleatóriaXecombasenessafunçãocalculeP 1 ) <X<1. x < 1: Fx)= du= 1 x : Fx)=F 1)+ 1 u2 du=+ [ u ] x 1 = x +1 < x 1: Fx)=F)+ 2 udu= 1 + [ u 2 ] x = x2 +1 x > 1: Fx)=F1)+ du= +1 =1 Logoafunçãodedistribuiçãoédadapor: e P 1 <X< 1 ) =F Fx)=,x< 1 x +1, 1 x x 2 +1,<x 1 1,x>1 ) 1 F 1 ) = 1/)2 +1 1/) +1 = Numdeterminadocruzamentodeumaavenidatemosaopçãodeviraràesquerda,viraràdireitaouseguir em frente. Nesse cruzamento verificam-se alguns acidentes. Sabe-se que o número de acidentes por semana nesse cruzamento segue uma distribuição de Poisson cujo parâmetro depende da direcção que os veículos seguem. Sabe-se que em relação aos veículos que seguem em frente a probabilidade de não haver acidentes numasemanaéde.15,osqueviramàdireitatêmemmédia1acidenteporsemanaeosqueviramà esquerda têm em média acidentes por semana.

4 [1.] a) Qual o número médio de acidentes por semana nesse cruzamento em relação aos veículos que seguem em frente? X númerodeacidentes,porsemana,dosveículosqueseguememfrente. PX =)=.15 e λ λ =.15 λ=2! conclui-seque X P2)ecomoE[X ]=λ =2, tem-sequeocorrememmédia2acidentespor semana no cruzamento relativamente aos veículos que seguem em frente. [1.5] b) Qual a probabilidade de numa semana se registarem pelo menos 1 acidentes nesse cruzamento? Considere: X 1 númerodeacidentes,porsemana,dosveículosqueviramàesquerda E[X 1 ]=peloquex 1 P) X 2 númerodeacidentes,porsemana,dosveículosqueviramàdireita E[X 2 ]=1peloqueX 2 P1) X númerodeacidentes,porsemana,dosveículosqueseguememfrente E[X ]=2peloqueX P2) SejaX av.a. querepresentaonúmerodeacidentes,porsemana,nocruzamento. Sabemosque X Pλ) Sabemos que o parâmetro λ depende da direcção que os veículos seguem. Observe-se que as variáveis aleatórias X 1,X 2 e X são independentes, então podemos aplicar a propriedade da aditividade da Poisson ) X= X i P λ= λ i i=1 i=1 obtendo-se neste caso X P+1+2) X P7) Pelo que PX 1)=1 PX<1)=1 PX 9)=1 F9)=1.85= [1.5] c) Qual a probabilidade do tempo entre dois acidentes consecutivos nesse cruzamento ser no mínimo de dias? Seja Y a v.a. que representa o tempo, em dias, entre dois acidentes consecutivos. Tem-se que Y Expθ) onde θ= t λ = 7 7 =1

5 istoporquex Pλ=7),ondeλ=7correspondeaonúmeromédiodeacidentesem1semana=7 dias. Tendo-se assim que Y Exp1) Sendo a sua função de distribuição dada por: Fy)= Pelo que sex< 1 e y θ sex PY )=1 PY <)=1 PY )=1 F)=1 ) 1 e 1 =e = A resistência à compressão de provetes cúbicos em MPa-Mega Pascal) é uma variável aleatória que se admite ter distribuição normal com desvio padrão igual a MP a. Sabe-se, ainda, que a probabilidade deumprovetecúbicopossuirumaresistência,nomáximo,de22.2mpaéde.179. [1.5] a) Com base na informação disponível, prove que a resistência média à compressão de provetes cúbicos é25.6mpa. X resistênciaàcompressãodeprovetescúbicosemmpa X Nµ,) Z= X µ PX 22.2) =.179 P Z 22.2 µ ) ) 22.2 µ =.179 Φ =.179 Φ 22.2 µ ) = µ Aresistênciamédiaàcompressãodeprovetescúbicoséde25.6Mpa. =2.1 µ=25.6 N,1) [1.] b) Qual a probabilidade de um provete cúbico ter uma resistência superior a M pa? PX>2.256)=1 P Z ) =1 Φ.8)=1 1 Φ.8))=Φ.8)=.7995 [1.5] c) Qual a probabilidade de, em 18 provetes cúbicos, se registarem pelo menos 5 com resistência no máximode2.256mpa? Y númerodeprovetescúbicoscomresistêncianomáximo2.256mpa,deumgrupode18provetes n=18 p=psucesso)=px 2.256)=1.7995=.25.2 Y B18,.2) PY 5)=1 PY )=1.716=.286 5

6 [1.5] 6. Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função de distribuição {, x< Fx)= 1 e βx, x e sejam a e b constantes reais positivas. Mostre que a seguinte propriedade é verdadeira PX a+b/x a)=px b). PX a+b/x a)= PX a+b X a) PX a) = Fa+b) Fa) 1 Fa) = 1 e βa+b) 1 e βa) 1 1 e βa ) Pa X a+b) = a>, b> PX a) = e βa 1 e βb) e βa = X v.a. contínua =1 e βb =Fb)=PX b). Fim. 6