Exercícios de Probabilidades e Estatística. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Instituto Politécnico de Setúbal
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- Ian Delgado Arruda
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1 Exercícios de Probabilidades e Estatística Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Instituto Politécnico de Setúbal Março de 2009
2 1 Elementos da Teoria das Probabilidades Exercício 1.1 Lançam-se dois dados, um branco e outro vermelho e representa-seoresultadoporumparordenado(b,v). Qualaprobabilidadeda somab+v ser: 1. Par; 2. Divisível por três; 3. Paroudivisívelpor3. Exercício 1.2 Uma cidade de habitantes tem à sua disposição dois jornais diários: O Aurora e o O Conhecedor. Um inquérito revelou os seguintes dados: pessoas lêem diariamente O Aurora ; pessoas lêem diariamente O Conhecedor ; 5000 pessoas lêem diariamente os dois jornais. Qual a probabilidade de ao escolhermos ao acaso um habitante desta cidade, este seja leitor: 1. Depelomenosumdosjornais; 2. De nenhum desses jornais; 3. Exclusivamente do jornal O Aurora. Exercício 1.3 Numa população 20% das famílias têm máquina de lavar louça, 30% têm máquina de lavar roupa e 10% têm ambos os tipos de máquinas. Calcule a probabilidade de uma família escolhida ao acaso: 1. Terpelomenosumdostiposdemáquina; 2. Nãoternenhumdostiposdemáquina; 3. Terumsótipodemáquina. Exercício1.4 SuponhaqueA,B ec sãoacontecimentostaisque: P(A) = P(B)=P(C)= 1 4 ; P(A B) = P(B C)=0; P(A C)= 1 8. CalculeaprobabilidadedequepelomenosumdosacontecimentosA,B ou C ocorra. 1
3 Exercício1.5 SuponhaqueA,B ec sãoacontecimentostaisque: CalculeP(A C)eP(A C). A B C=Ω; A B= ; B C= ; P(A)=0.3; P ( B ) =0.7; P(C)=0.5. Exercício1.6 Sendo A,B e C acontecimentos tais que P ( A B ) ( ) = 0.2, P(A B)=0.3eP(A B C)=0.25.CalculeP A B C. Exercício1.7 Sabe-sequeemrelaçãoaumdadoprogramadetelevisãose tem para um casal, a seguinte situação: a probabilidade de o homem ver um programa é 0.4; a probabilidade da mulher ver o mesmo programa é 0.5;aprobabilidadedohomemveroprogramaporqueamulherovêé0.7. Determine a probabilidade de: 1. Umcasalveroprograma; 2. Amulherveroprogramaporqueohomemovê; 3. Pelomenosumelementodocasalveroprograma. Exercício 1.8 Após alguns testes efectuados à personalidade de um indivíduo concluiu-se que, este é louco com uma probabilidade igual a 0.6, ladrão comumaprobabilidadeiguala0.7enãoélouconemladrãocomumaprobabilidade de Determine a probabilidade do indivíduo ser louco e ladrão. 2. Determine a probabilidade do indivíduo ser apenas louco ou apenas ladrão. 3. Determine a probabilidade do indivíduo ser ladrão, sabendo que o mesmonãoélouco. Exercício 1.9 Considere dois acontecimentos A e B tais que: DetermineP(B)eP ( A/B ). P(A B) = P(A)+P(B) 0.1 P(A/B) =
4 Exercício 1.10 Dados dois acontecimentos A e B, tais que Determine: P(A)= 1 4, P(B)= 1 3 ep(a B)= SeAeBsãomutuamenteexclusivos; 2. SeAeBsãoindependentes; 3. P(A/B),P(Ā/B),P( B/A),P(Ā/ B). Exercício 1.11 Considere os acontecimentos A, B e C de probabilidade não nula. Sabe-se que: C éincompatívelcomaecomb. Dois dos acontecimentos são independentes entre si. P(A)=0.2,P(C)=0.15eP(A B)=0.06. CalculeP(A B C). Exercício 1.12 Considerando os acontecimentos A, B e C tais que: P(B)>0;P(C)>0; B e C são acontecimentos independentes. ProvequeP(A/B)=P(A/B C)P(C)+P ( A/B C ) P ( C ). Exercício 1.13 Indique, justificando, o valor lógico da seguinte afirmação: P ( B/A ) =P(B/A) AeBsãoacontecimentosindependentes. Exercício 1.14 Considere dois acontecimentos A e B independentes, em que A tem probabilidade dupla em relação a B. Determine a probabilidade decadaumdeles,sabendoqueéde0.5aprobabilidadedeocorrênciadepelo menos um deles. Exercício1.15 ConsidereoespaçoderesultadosΩ={A,B,C}onde: Determine p. AéindependentedeB edec; C édisjuntodeb; Os acontecimentos A e B têm probabilidade de ocorrência p enquantoquec temprobabilidade p 2. 3
5 Exercício 1.16 Sejam A e B dois acontecimentos independentes, prove que ocomplementardeaeocomplementardeb tambémosão. Exercício 1.17 Numa amostra constituída por 100 indivíduos obtiveram-se os resultados apresentados no quadro seguinte: Com Bronquite Sem Bronquite Fumadores Não Fumadores Diga, justificando, se os acontecimentos ser fumador e ter bronquite são independentes. 2. Calcule a probabilidade de um indivíduo que é fumador ter bronquite. Exercício 1.18 Suponha que a entrevista de candidatura a um emprego, é uma experiênciaaleatória e que anossa atenção se centra emdois acontecimentos o candidato tem boa aparência (acontecimento A) e o candidato conseguiu o emprego (acontecimento B). Sabendo que P(A) = 0.4, P(B)=0.2eP(A B)= Calcule a probabilidade de o candidato ter boa aparência e conseguir oemprego. 2. Os acontecimentos o candidato tem boa aparência e o candidato conseguiu o emprego são independentes? 3. Calcule a probabilidade de o candidato ter boa aparência sabendo que conseguiu o emprego. Exercício 1.19 Numa fábrica verificou-se que um certo artigo pode apresentardefeitosdedoistipos. AprobabilidadedeocorrerodefeitodotipoA é0.1eaprobabilidadedeocorrerodefeitodotipob é0.05. Sabendoque os defeitos ocorrem independentemente um do outro, calcule a probabilidade de: 1. Um artigo não ter qualquer defeito; 2. Um artigo ter defeito; 3. Umartigocomdefeitoterumeumsótipodedefeito. 4
6 Exercício 1.20 Supondo que se tem conhecimento da seguinte informação: aprobabilidadedoacontecimento veroanúnciodoprodutoa é0.35; a probabilidade do acontecimento comprar o produto A é 0.23 a probabilidade do acontecimento comprar o produto A, tendo visto o anúnciodoprodutoa é CalculeaprobabilidadedeveroanúncioecompraroprodutoA. 2. CalculeaprobabilidadedeveroanúnciooucompraroprodutoA. 3. CalculeaprobabilidadedeveroanúnciodoprodutoAsecomprouesse produto. 4. Osacontecimentos veroanúnciodoprodutoa e compraroproduto A são independentes? Justifique. Exercício 1.21 Numa turma, 20% dos alunos falam Inglês, 40% falam Francês e15%dominamasduaslínguas. 1. Averigúe se falar Francês e falar Inglês são acontecimentos independentes. 2. Calcule a probabilidade de: (a) Umalunoescolhidoaoacasofalarpelomenosumadaslínguas; (b) Um aluno não falar nenhuma das línguas; (c) Umalunofalarumaeumasódasduaslínguas. 3. SabendoqueumalunonãofalaInglês,qualaprobabilidadedomesmo falar Francês? Exercício1.22 Aprobabilidade de umindivíduoaestarvivo daqui a30 anosé0.6eaprobabilidadedeumoutroindivíduob estarvivodaquia30 anos é 0.7, suponha que os acontecimentos são independentes. Determine a probabilidade de daqui a 30 anos: 1. EstaremvivososindivíduosAeB; 2. NãoestaremvivososindivíduosAeB; 3. Estar vivo pelo menos um dos indivíduos. 5
7 Soluções 1.1.1: : : : :.1.2.3: : : : : : P(A C)=0.1;P(A C)= : : : : : : : : P(B)=0.5;P ( A/B ) = : Não : Sim : P(A/B)= 1,P(Ā/B)= 3, 4 4 P( B/A)= 2 3,P(Ā/ B)= : :. 1.13: Verdadeira. 1.14: P(A)=0.38,P(B)= : : : Nãosãoindependentes : : : Não : : : : : : : : Não : Não a: b: c: : : : :
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