MATEMÁTICA APLICADA - RESOLUÇÃO 02/12/2007

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1 MATEMÁTICA APLICADA - RESOLUÇÃO 0//007 ª QUESTÃO Um carteiro leva três cartas para três destinatários diferentes. Cada destinatário tem sua caixa de correspondência, e o carteiro coloca, ao acaso, uma carta em cada uma das três caixas de correspondência. A Qual é a probabilidade de o carteiro não acertar nenhuma caixa de correspondência? B Qual é a probabilidade de o carteiro acertar exatamente uma caixa de correspondência? (A) probabilidade de errar a ª caixa: 3 ; probabilidade de errar a ª caixa: probabilidade de errar todas: (B) probabilidade de acertar uma das caixas e errar as outras:.. 3 como há 3 possibilidades de acertar uma caixa (a ª ou a ª ou a 3ª):

2 MATEMÁTICA APLICADA - RESOLUÇÃO 0//007 ª QUESTÃO No triângulo ABC da figura ao lado, AM é a mediana relativa ao lado BC, DP é P paralelo a AM e Q é o ponto de A intersecção de AB com DP. Demonstre que DQ + DP AM Q B D M C Sejam: BM MC ; DM x BAM BQD DPC MAC AM QD DP MA BM BD DC MC () () QD DP AM. AM. x + x () + () : QD + DP AM AM ( x + + x) ( ) QD + DP AM

3 MATEMÁTICA APLICADA - RESOLUÇÃO 0//007 3ª QUESTÃO Cláudio, gerente capacitado de uma empresa que produz e vende instrumentos musicais, contratou uma consultoria para analisar o sistema de produção. Os consultores, após um detalhado estudo, concluíram que o custo total de produção de x flautas de determinado tipo pode ser expresso pela função C ( x ) x, sendo R$ 00,00 o custo fixo. Atualmente a empresa vende 60 flautas daquele tipo por mês, ao preço de R$0,00 por unidade. O trabalho da empresa de consultoria demonstrou, também, que um gasto extra de R$ 00,00 em publicidade provocaria um aumento de 5% no volume atual de vendas das flautas. Na sua opinião, Cláudio deveria autorizar o gasto extra em publicidade? Justifique matematicamente a sua resposta. ( ) ( ) ( ) ( ) 00 L x R C 0 x x Lucro Atual: L R$60, 8 x 00 Gasto extra em publicidade: L ( x) 8 ( 69) 3600 R$96, 00 O GASTO EXTRA EM PUBLICIDADE NÃO DEVE SER AUTORIZADO, POIS O LUCRO DIMINUIRIA EM R$,00. 3

4 MATEMÁTICA APLICADA - RESOLUÇÃO 0//007 ª QUESTÃO O rendimento de um carro flex (número de quilômetros que percorre com um litro de combustível), que pode ser movido por uma mistura de álcool com gasolina em qualquer proporção, é dado pela função R ( x ) K. a x quilômetros por litro, na qual K e a são x é a porcentagem de álcool misturado com gasolina. Sabe-se que, abastecido com 00% de gasolina, o rendimento é de 8 quilômetros por litro e que, com 00% de álcool, cai para 9 quilômetros por litro. Se, ao iniciar uma viagem, uma pessoa enche o tanque do carro com 50 litros de uma mistura de álcool com gasolina e chega ao seu destino, depois de rodar 600 km, com o tanque praticamente vazio, qual a porcentagem de álcool na mistura? Para os cálculos, utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela abaixo: números reais positivos e x ( 0 ) n log n 0,30 0,8 0,85 00% gasolina: R( 0) 8 K.a K 8 00% álcool: R () 9 8.a a R x ( x) o x 8. 8 x 3 x log log3 log 0,8 0,30 8 x 0,6 log 0,30 30 A PORCENTAGEM DE ÁLCOOL NA MISTURA É 60%

5 MATEMÁTICA APLICADA - RESOLUÇÃO 0//007 5ª QUESTÃO A figura ao lado mostra castelos de cartas, de, e 3 andares. De quantos baralhos de 5 cartas precisamos, no mínimo, para formar um castelo de 0 andares? Teto: 0,,,3,... ( ) ( + 9).9 S T Lados:,,6,..., n,... ( ) ( + 0).0 S L 0 S T + SL PRECISAMOS DE 3 BARALHOS DE 5 CARTAS. Considerando que há fileira de cartas na base do castelo, teríamos: E, PORTANTO, PRECISARÍAMOS DE BARALHOS. 5

6 MATEMÁTICA APLICADA - RESOLUÇÃO 0//007 6ª QUESTÃO Um teatro aumenta o preço do ingresso em 8%. Em conseqüência, o número de ingressos vendidos diminui em 5%. A Qual é a variação, em porcentagem, da receita obtida pelo teatro? B Determine a variação, em porcentagem, no número de ingressos vendidos, de modo que o valor da receita não se altere em conseqüência do aumento de 8% no preço. R atual p x (A) R nova (p + 8%p). ( x 5%x) (,08).( 0,95) R nova,06 px ( +,6% ) R atual p x,08p (B) 0,96 x x A RECEITA AUMENTOU EM,6%,08 x ( 0,070) PARA QUE A RECEITA NÃO VARIE, O NÚMERO DE INGRESSOS VENDIDOS DEVERÁ DIMINUIR EM 7,% px 6

7 MATEMÁTICA APLICADA - RESOLUÇÃO 0//007 7ª QUESTÃO Um televisor com DVD embutido desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo, de modo que o valor, daqui a t anos, será: a. b t, com a > 0 e b > 0. Se um televisor novo custa R$ 000,00 e valerá 5% a menos daqui a ano, qual será o seu valor daqui a anos? a.b a b b t t DAQUI A ANOS, O TELEVISOR CUSTARÁ R$ 50,00 7

8 MATEMÁTICA APLICADA - RESOLUÇÃO 0//007 8ª QUESTÃO Uma das folhas mais utilizadas nas impressoras é a de tamanho A. Você sabe como são estabelecidas as suas dimensões? Em primeiro lugar, recordemos que, quando se dobra uma folha ao meio, obtém-se outra folha retangular, semelhante à anterior. A área de uma folha A0 é m. Quando se dobra ao meio uma folha A0, obtém-se uma folha A, que, dobrada ao meio, dá origem a uma folha A, e assim, sucessivamente. A0 A Quanto mede aproximadamente, em centímetros, o lado maior da folha A? Para os cálculos, utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela abaixo: A A3 n 3 7,9 00 n,, A Retângulos semelhantes: a b a b a b b a ab m cm b b 85 a 85 b 0 000, 9,75 7,9 O LADO MAIOR DA FOLHA A MEDE 30cm, APROXIMADAMENTE. a A0 a b A A3 b A a a b a A b 8

9 MATEMÁTICA APLICADA - RESOLUÇÃO 0//007 9ª QUESTÃO Em um baile havia 35 pessoas. Ana dançou com 6 homens, Clara dançou com 7 homens e, assim, sucessivamente, até a última mulher, Júlia, que dançou com todos os homens presentes no baile. Quantas mulheres participaram da festa? Número de mulheres: x Número de homens: x + 5 ( x + 5) 35 x 5 x + PARTICIPARAM 5 MULHERES. 9

10 MATEMÁTICA APLICADA - RESOLUÇÃO 0//007 0ª QUESTÃO No mês de abril o mercado financeiro viveu uma certa instabilidade, e o preço de determinada ação oscilou de tal forma que ele poderia ser descrito pela função periódica: f x,50 + sen π x f x é o preço da ação, x 0 representa o º dia útil de ( ) ( ), em que ( ) abril, x, o º dia útil, x, o 3º dia útil, e assim por diante. A Esboce o gráfico da função f ( x ) correspondente aos primeiros 5 dias úteis de abril. B Considerando que o dia º de abril foi segunda-feira, determine em que dias da ª semana útil de abril o preço dessa ação atingiu o maior e o menor valor. C Quais foram o maior e o menor valor dessa ação na ª semana útil de abril? 5,5,5 3,5 3 x f ( x),50 + sen ( π x) º dia : x 0 f ( x) º dia : x f 3º dia : x f 3 º dia : x 5º dia : x f ( x) ( x),50 5,50,50 f( x) ( x), 50 3,50 PREÇO MAIS ALTO: 3ª FEIRA, 0/0 R$5,50 PREÇO MAIS BAIXO: 5ª FEIRA: 0/0 R$3,50 0