Geração de Números Aleatórios e Simulação

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Geração de Números Aleatórios e Simulação"

Transcrição

1 Departamento de Informática Geração de Números Aleatórios e imulação Métodos Quantitativos LEI 26/27 usana Nascimento Advertência Autores João Moura Pires usana Nascimento Este material pode ser livremente usado para uso pessoal ou académico e sem qualquer autorização prévia do autor desde que acompanhado desta declaração do autor. Para uso comercial (por exemplo em cursos pagos) o uso deste material requer a expressa autorização do autor. 2

2 imulação Técnica de amostragem estatística controlada, para estimar o desempenho de sistemas estocásticos complexos quando os modelos analíticos são inadequados. Ummodelo de simulação descreve o funcionamento do sistema em termos de eventos individuais de componentes do sistema. Podemos observar o comportamento global do sistema simulado para diferentes configurações e escolher aquela que apresenta um melhor desempenho. imulações de eventos discretos 3 Preparar uma simulação. Definição de um estado de sistema Por exemplo o número de clientes na fila de espera 2. Identificar os possíveis estados que o sistema pode ter 3. Identificar os possíveis eventos que podem ocorrer Por exemplo chegadas de clientes, conclusão de serviços 4. Um relógio do simulador Para simular a passagem do tempo 5. Um ou vários geradores de eventos aleatórios 6. Uma fórmula/método para identificar as transições de estado geradas pelos vários tipos de eventos 4 2

3 Um exemplo muito simples Lançase repetidamente uma moeda ao ar até que a diferença entre o número vezes que saiu caras e o número de vezes que saiu coroa seja 3. Por cada vez que se atira a moeda é preciso pagar. De cada vez que o jogo pára recebemos 8. Não é possível desistir a meio do jogo Questão de fundo: Valerá a pena jogar? Ganharemos uma partida de cada vez que que ela parar ao fim de 7 lançamentos. Não ganharemos se parar ao fim de 8 lançamentos Perdemos se parar depois de 8 lançamentos. 5 Números aleatórios para simular o lançamento Gerar sequência de números aleatórios inteiros entre e 9 e o número for inferior a 5 saiu cara (c) e o número for superior ou igual a 5 saiu coroa () Exemplo de sequência de números Aleatórios Faces c c c c Diferença

4 Repetir a experiência: simular Vale a pena Jogar? Jogo Lançamentos Número médio de lançamentos Estima a verdadeira média da distribuição de probabilidades Assim o lucro esperado é de 8 7 =! 7 Repetindo a experiência (5 ensaios) Número médio de lançamentos Jogo Assim o lucro esperado é de =.4! 8 4

5 Repetindo a experiência (25 ensaios) Número médio de de lançamentos Jogo Assim o lucro esperado é de =.4! 9 Não fazer estimativas com base em pequenas amostras N = 4; E(Lanc) = 7 N = 5; E(Lanc) = 7.6 N = 25; E(Lanc) = 8.4 Valor real da média da distribuição (do nº de lançamentos por jogo) é 9! Determinar um intervalo de confiança da média amostral como estimadora da média da distribuição O desvio padrão estimado da média amostral é TDVA(X)/QRT(N) 5

6 Intervalo de confiança (95%) % 95.4% 25 observações aleatórias de acordo com a distribuição normal com média de e.96 o desvio padrão (σ). Dá o intervalo com 95% de confiança onde a média real da distribuição se encontra imulação: Geração de Números Aleatórios Um gerador de números aleatórios é um gerador que produz sequências de números de acordo com uma distribuição de probabilidadade dada, e que apresenta aleatoriedade. Número aleatório é uma observação aleatória de uma distribuição uniforme (i.e. todos os nºs são igualmente prováveis). Número inteiro aleatório é uma observação aleatória de uma distribuição uniforme discreta sobre um intervalo inteiro n, n +,..., N. As probabilidades para esta distribuição são: P(n) =... = P(N) = /(N n + ). Um caso particular é o intervalo inteiro de a N. 2 6

7 Geração de Números Aleatórios (cont) Número aleatório uniforme é uma observação aleatória de uma distribuição contínua uniforme sobre um intervalo real [a, b]. A função densidade de probabilidade é: f(x) = /(b a) se a x b e f(x) = para qualquer outro valor de x. Quando a e b não são especificados, assumese: a= e b= Observação aleatória quando for relativa a qualquer outra distribuição de probabilidades 3 Geração de Números Aleatórios (cont) Em geral, os geradores produzem sequências de números inteiros mas podem ser facilmente convertidos para números aleatórios uniformes. Exemplo para um número aleatório uniforme em [, ] Dado um número inteiro aleatório r {,, N}, dividindoo por N obtemos uma boa aproximação se N for grande x = (r + /2) / (N + ) Mínimo = /(2N + 2); Máximo = (N + /2) / (N + ) (r= ) (r= N) 4 7

8 Geração aleatória de números inteiros Existem vários tipos de geradores de números aleatórios: Método congruencial misto Método congruencial aditivo Método congruencial múltiplicativo. 5 Geração aleatória de números inteiros Método congruencial (misto) gera uma sequência de números inteiros (pseudo) aleatórios no intervalo a m, cada nº é calculado a partir do anterior: X n+ = (a X n + c) (modulo m) e X semente onde a, c e m são números inteiros (a < m, c < m), e em que m representa o nº de valores diferentes a gerar. 6 8

9 Exemplo de Método congruencial (misto) Por exemplo para a = 5, c = 7 e m = 8 e X = 4. X n+ = (a X n + c) (modulo m) X n X n+ (5X n +7)/8 X 3 (3 + 3/8) X 4 X 2 3 X 7 6 X 4 5 X 5 X X (2 + 6/8) (4 + 5/8) (4 + /8) ( + 7/8) (5 + 2/8) (2 + /8) ( + 4/8) X = 4 X 8 X 9 X X X 2 X 3 X 4 X Método congruencial (misto) A quantidade de números consecutivos numa sequência antes de se voltar a repetir é designada por período da sequência. O período da sequência do exemplo é 8. Aliás o máximo valor do período é m. e b for o número de bits da representação de inteiros no computador então a escolha usual para m é 2 b. Para este valor de m existem valores de a e c para os quais se assegura que cada número inteiro irá ocorrer uma vez antes de qualquer outro se repetir. Valores de a:, 5, 9, 3,... Valores para c:, 3, 5,

10 Método congruencial Multiplicativo e Aditivo Multiplicativo É um caso particular do método misto em que c = ou seja: X n+ = a X n (modulo m) e X semente Embora haja várias combinações de a e m aceitáveis, a combinação mais conhecida é devida a LearmouthLewis: X n+ = 75 X n (módulo 23 ) Aditivo É um caso particular do método misto em que a = e c é um dos números aleatórios que precedem X n na sequência. 9 Geração de observações aleatórias A partir de distribuições de probabilidade Métodos / distribuições Distribuições discretas (método trivial) Para a distribuição Erlang (gama) Distribuição Normal (soma de n uniformes) hiquadrado a partir da normal Método de aceitaçãorejeição 2

11 Distribuições discretas (método trivial) onsiste simplesmente em atribuir os possíveis valores de um número aleatório a vários números na distribuição de probabilidades na proporção directa das respectivas probabilidades desses números. Exemplo: X = {,, 2}; P(X) = {.25,.25,.5} eja r um número aleatório inteiro entre e 99. e r =,..., 24 > X = ; e r = 25,..., 49 > X = ; e r = 5,..., 99 > X =2 2 Método da transformação inversa É aplicável tanto ao caso das variáveis discretas como contínuas. ejax a variável aleatória e a sua função de distribuição acumulada F(X) = P{X x}. Gerar um número uniforme r no intervalo [, ] 2. Resolver a equação F(x) = r em ordem a x F (r) = x A solução desta equação é a observação aleatória que se pretende. A resolução da equação pode ser analítica, ou numérica. 22

12 Método da transformação inversa exemplo eja a distribuição exponencial f(x) = e αx A acumulada é F(x) = e αx (para x ) onde /α é a média da distribuição Resolvendo a equação F(x) = r temos x = ln ( r) / α. 23 Distribuição Erlang (gama) A distribuição Erlang com um parâmetro de forma k e média /α, é a soma de k variáveis independentes com distribuição exponencial, cada uma com média = /(kα). ejam r, r 2,..., r k k números aleatórios do intervalo [, ]. Uma observação aleatória da distribuição Erlang é obtida por: k x = ln ( r i ) kα 24 2

13 Distribuição Normal (soma de n uniformes) De acordo com o teorema do limite central a soma de n números uniformemente distribuidos no intervalo [, ] tem aproximadamente uma distribuição normal com média = n/2 e desvio padrão n. 2 ejam r, r 2,..., r n n números aleatórios do intervalo [, ] então σ n x = r i +µ n σ 2 n/2 n/2 é uma observação aleatória de uma distribuição aproximadamente normal com média µ e desvio padrão σ 25 Método de aceitaçãorejeição É muitas vezes usado para distribuições para as quais não é possível ou não é fácil o uso do método da transformação inversa (i.e. contínuas). O método de aceitaçãorejeição consiste em dois passos (possivelmente repetidos até aceitação). 26 3

14 Método de aceitaçãorejeição Exemplo f(x) = x se x ; f(x) = (x ) se x 2 f(x) = c.c Aceita r 2 = Rejeita 27 Método de aceitaçãorejeição Exemplo (cont.) O método de aceitaçãorejeição usa os 2 passos para gerar observação aleatória:. Gerar um número aleatório uniforme r no intervalo [, ]; calcular x= 2r (o intervalo de valores possíveis de x é de [, 2]. Aceitar x com probabilidade: p = x se x ; p = (x ) se x 2 em que p corresponde à observação aleatória desejada (já que esta probabilidade é igual a f(x)). aso contrário, rejeitar x e repetir os passos 2. Gerar um número aleatório uniforme r 2 no intervalo [, ]. Aceitar x se r 2 f(x); Rejeitar x se r 2 > f(x); (se x é rejeitado repetir os dois passos). 28 4

15 Método de aceitaçãorejeição O método de aceitaçãorejeição consiste em dois passos (possivelmente repetidos até aceitação):. Gerar um número aleatório uniforme r no intervalo [, ]. alcular x a partir de r tendo em consideração o domínio de r. 2. Gerar um número aleatório uniforme r 2 no intervalo [, ]. e necessário calcular y a partir de r 2 tendo em consideração o maior valor de f(x). (e o maior valor de f(x) fosse L, menor do que, então seria necessário considerar y = L. r 2. e y f(x) aceita x e a observação aleatória é r 2 ; e y > f(x) rejeita x e repete os dois passos. 29 imulação IO Técnica de amostragem estatística controlada, para estimar o desempenho de sistemas estocásticos complexos quando os modelos analíticos são inadequados. Ummodelo de simulação descreve o funcionamento do sistema em termos de eventos individuais de componentes do sistema. Podemos observar o comportamento global do sistema simulado para diferentes configurações e escolher aquela que apresenta um melhor desempenho. imulações de eventos discretos 3 5

16 imular o exemplo do Lançamento de moeda O sistema a ser simulado é o lançamento sucessivo de uma moeda. Relógio de simulação regista o número de lançamentos efectuados: t Estado de sistema N(t) = número de caras menos o número de coroas depois de t lançamentos Possíveis eventos que podem ocorrer: sair cara (c) ou sair coroa () Método de geração aleatória dos eventos a partir de um número aleatório uniforme no intervalo [, ]:, até.5 > cara;.5 até. > oroa 3 Formalizar este exemplo simples (cont) Transições de estado geradas pelos vários tipos de eventos: N(t) = N(t) + se o lançamento t foi cara (c); N(t) = N(t) se o lançamento t foi oroa (); Identificar os possíveis estados que o sistema pode ter: cara cara cara cara cara cara 3 2 O 2 3 coroa coroa coroa coroa coroa coroa O jogo pára quando N(t) = ± 3 (diferença entre nº de lançamentos c e é 3) O resultado de um jogo é sempre 8 t (8 é o que se ganha e t é o que se paga) 32 6

17 Um exemplo de filas de espera M/M/ com λ = 3 por hora; µ = 5 por hora omeçando em o relógio da simulação indica a quantidade de tempo (simulado) que já passou. Estado do sistema, N(t) é o número de clientes no sistema. Os eventos são: chegada de um cliente e a conclusão de um serviço a um cliente. Transição de estado em cada instante t: N(t) = N(t) + se ocorre a chegada de um cliente no instante t N(t) = N(t) se ocorre a saída de um cliente no instante t 33 Avançar o relógio da simulação Incrementos de tempo fixo Incrementar o valor de t de um valor fixo e pequeno Actualizar o sistema: determinar que eventos ocorreram nesse intervalo de tempo e consequentemente qual o estado do sistema. Por exemplo, os eventos que podem ocorrer podem ser uma ou mais chegadas de clientes, uma ou mais conclusão de serviços Incrementos de tempo até ao próximo evento Avançar o tempo (simulado) até ao próximo evento de qualquer tipo: chegada ou saída de cliente Actualizar o sistema: determinar o novo estado resultante do evento; gerar aleatoriamente o tempo até ao próximo evento de qualquer tipo (se não estiver já gerado), segundo a distribuição de probabilidade (i.e. exponencial) 34 7

18 Avançar o relógio por incrementos de tempo fixo Para um intervalo de tempo arbitrário podem ocorrer vários eventos: hegada de vários clientes onclusão de vários serviços Vamos escolher um intervalo de tempo pequeno para incremento fixo do relógio: eja t =. hora = 6 minutos Probabilidade de que para t =. hora, ocorra uma chegada: P[T t] = e λt = e 3/ =.259 Probabilidade de que para t =. hora, ocorra um serviço: P[T t] = e λt = e 5/ = Escolha do incremento de tempo Um valor de t suficientemente pequeno permite tornar desprezível a probabilidade de ocorrência de chegdas múltiplas ou serviços múltiplos. Aproximar como um evento discreto: Distribuição de Poisson P[X(t) > ] = (P[X(t) = ] + P[X(t) = ]) P[X(t) = n] = (αt)n e αt para n =,,... n! P[X(t) > ] t =. (6 min) t =.5 (3 min) t =. (36 seg) λ = %.2%.4% µ = 5 9.2% 2.65%.2% 36 8

19 imular por incrementos fixos de tempo =.h hegadas de clientes. Gerar um número aleatório (método transformação inversa), r A entre [, ]: r A.259 ocorreu uma chegada r A >.259 não ocorreu uma chegada erviços concluídos, se existir algum cliente a ser servido pelo servidor. Gerar outro número aleatório, r D entre [, ]: r D.393 o serviço do cliente foi concluído r D >.393 o serviço do cliente não foi concluído Estamos a assumir que se não houver clientes no sistema no início do intervalo então nenhum cliente pode ver o seu serviço concluído, mesmo que chegue um cliente. 37 imular por incrementos fixos de tempo =.h t (min) N(t) r A hegada? r D Partida? r A.259 r D sim sim sim sim 38 9

20 Actualizar o estado do sistema Além de actualizar o estado do sistema é necessário guardar a informação necessária para os indicadores que se pretendam analisar Transição de estado é: N(t) = N(t) + se ocorre a chegada de um cliente N(t) = N(t) se ocorre a saída de um cliente Estimar o tempo médio de espera imulados apenas 2 clientes ada um deles esteve 3 períodos no sistema Est(W) = [(3+3)/2](.h) 39 Problemas da simulação por Tempo Fixo e o intervalo de tempo for grande pode introduzir erros e o intervalo de tempo for muito pequeno pode requerer grande número de iterações Iterações sem eventos Ao iniciar a simulação com n = o sistema não se inicia em regime estacionário 4 2

21 Incremento de tempo até ao Próximo Evento Avançar o relógio do simulador até ao instante do próximo evento (qualquer tipo de evento) Actualizar o estado sistema que resulta desse evento. Gerar aleatoriamente o tempo do próximo evento que pode ocorrer a partir deste estado t É necessário o sistema guardar o registo dos eventos futuros (lista de eventos futuros LEF) 4 Geração de números aleatórios com distribuição exponencial: método da transformação inversa É aplicável tanto ao caso das variáveis discretas como contínuas. eja X a variável aleatória e a sua função de distribuição acumulada F(X) = P{X x}. Gerar um número uniforme r no intervalo [, ] 2. Resolver a equação F(x) = r em ordem a x: F (r) = x A solução desta equação é a observação aleatória que se pretende. A resolução da equação pode ser analítica, ou numérica. 42 2

22 Método da transformação inversa exemplo eja a distribuição exponencial f(x) = e αx A acumulada é F(x) = e αx (para x ) onde /α é a média da distribuição Resolvendo a equação F(x) = r temse e αx = r x = ln ( r) / α. 43 Incremento de tempo até ao próximo evento t (min) N(t) r A.96 Próximo tempo entrechegadas 2.9 r D Próximo tempo de serviço Próxima chegada 2.9 Próxima saída Próximo evento upondo que em N(t = ) = x = ln ( r) / α. geração uniforme em [, ]: r A =.96 α=,5 corresponde ao tempo até à próxima chegada de: 2.9 próxima chegada deve ocorrer para t = =

23 Incremento de tempo até ao próximo evento t (min) 2.9 N(t) r A Próximo tempo entrechegadas r D.665 Próximo tempo de serviço 3.23 Próxima chegada Próxima saída 5.42 Próximo evento t = 2.9 (chegada de um cliente) N(2.9) = N() + = ; Geração aleatória dos próximos eventos x = ln ( r) / α. α D =,8 Próx. chegada: r A =.569 t = t A = ( ) Próx. saída: r D =.665 t = 3.23 t D = 5.42 ( ) 45 Incremento de tempo até ao próximo evento t (min) N(t) r A Próximo tempo entrechegadas t = 5.42 (saída de um cliente).665 N(5.42) = N(2.9) = ; r D Próximo tempo de serviço 3.23 Próxima chegada Próxima saída 5.42 Próximo evento Geração aleatória dos próximos eventos não é necessária pois: não existe mais ninguém no sistema para ser servido e a chegada do próximo cliente já está fixada que irá ocorrer t A =

24 Incremento de tempo até ao próximo evento t (min) N(t) r A Próximo tempo entrechegadas r D Próximo tempo de serviço Próxima chegada Próxima saída Próximo evento t = (chegada de um cliente) N(8.852) = N(5.42) + = ; Geração aleatória dos próximos eventos: (próxima chegada e tempo de serviço deste) Próx. chegada: r A =.764 t = t A = ( ) Próx.saída:r D =.842 t = t D = ( ) 47 Incremento de tempo até ao próximo evento t (min) N(t) r A t = (saída de um cliente) N(4. 994) = N(8.852) = ;.764 Próximo tempo entrechegadas r D Próximo tempo de serviço Próxima chegada Próxima saída Geração aleatória dos próximos eventos não é necessária pois não existe mais ninguém no sistema para ser servido e a chegada do próximo cliente já está fixada que irá ocorrer t A = Próximo evento 48 24

25 Um exemplo para simular () Pretendese abrir uma agência bancária com duas caixas. Estudos de mercado indicam que o ritmo de entrada de clientes no banco é de por minuto, ou seja o tempo médio entre clientes consecutivos é de minuto. Devido a problemas de estacionamento na zona o banco coloca uma zona de estacionamento reservada aos seus clientes. Um guarda verifica se de facto são clientes do banco, demorando esta operação.5 minutos. Assim o tempo mínimo entre clientes consecutivos é de.5 minutos. O tempo médio para atendimento dos clientes é.5 minutos 49 Um exemplo para simular (2) Distribuição de probabilidades dos tempos entre chegadas Mínimo de.5 minutos Médio de minuto O tempo que excede os.5 minutos é uma exponencial com média de.5 minutos Distribuição dos tempos de serviço é uma Erlang com média de.5 minutos e parâmetro de forma, k = 4 tdev(t ) = k µ =.5 =.75 minutos

26 Um exemplo para simular (3) Vamos iniciar a simulação supondo que acabou de chegar um cliente (A) no instante t =. Geração aleatória de um tempo entre chegadas (c): Geração aleatória de um tempo de serviço (s): Um exemplo para simular (4) Antes de avançar para o instante do próximo evento (T=.92653), vamos registar para este cliente: Tempo de espera excluíndo serviço: Tempo de espera incluíndo o serviço:

27 Um exemplo para simular (5) :.9265 Uma nova chegada. O cliente é imediatamente atendido (s= 2): Geração aleatória de um tempo entre chegadas:.2654 Geração aleatória de um tempo de serviço: Tempos Próxima chegada (c2) = = Próximo serviço concluído (s2) = = Registos deste cliente: Tempo de espera excluíndo serviço: Tempo de espera incluíndo o serviço: Um exemplo para simular (6) :.763 O próximo evento é uma conclusão de um serviço. omo não existem clientes à espera não é necessário gerar quer a chegada de novo cliente quer o novo tempo de serviço. Não é necessário registar mais informação dos clientes. A única coisa que se altera é o número de clientes no sistema que passa a

28 Um exemplo para simular (7) 2: 2.88 Uma nova chegada (c2). O cliente é imediatamente atendido: Geração aleatória de um tempo entre chegadas:.7252 Geração aleatória de um tempo de serviço: Tempos Próxima chegada (c3) = = Próximo serviço concluído (s3) = = Registos deste cliente: Tempo de espera excluíndo serviço: Tempo de espera incluíndo o serviço: Um exemplo para simular (8) 3: 2.93 Uma nova chegada (c3). O cliente fica em fila de espera: Geração aleatória de um tempo entre chegadas:.9956 Tempos Próxima chegada (c4) = = Registos deste cliente: 56 28

29 Um exemplo para simular (9) 4: 4.3 Uma nova chegada (c4). O cliente fica em fila de espera: Geração aleatória de um tempo entre chegadas: Tempos Próxima chegada (c5) = = Registos deste cliente: 57 Um exemplo para simular () 2: 4.43 Um serviço concluído (2). O primeiro cliente da fila começa a ser servido: Geração aleatória de um tempo de serviço: Tempos Próxima conlusão de serviço = = 5.97 Registos deste cliente: Tempo de espera excluíndo serviço: =.295 Tempo de espera incluíndo o serviço: =

30 Um exemplo para simular () 59 Um exemplo para simular (2) 6 3

31 Um exemplo para simular (3) 6 Um exemplo para simular (4) 62 3

32 Aplicações típicas da simulação oncepção e operação de sistemas de fila de espera Gestão de inventário Estimar a probabilidade de não atraso num projecto oncepção e operação de sistemas de produção oncepção e operação de sistemas distribuidos Análise de risco financeiro istema de saúde 63 32

Simulação Estocástica

Simulação Estocástica Simulação Estocástica O que é Simulação Estocástica? Simulação: ato ou efeito de simular Disfarce, fingimento,... Experiência ou ensaio realizado com o auxílio de modelos. Aleatório: dependente de circunstâncias

Leia mais

Modelos de Filas de Espera

Modelos de Filas de Espera Departamento de Informática Modelos de Filas de Espera Métodos Quantitativos LEI 2006/2007 Susana Nascimento (snt@di.fct.unl.pt) Advertência Autor João Moura Pires (jmp@di.fct.unl.pt) Este material pode

Leia mais

Processo de chegada: o Chegadas em grupo ocorrem segundo um processo Poisson com taxa. O tamanho do grupo é uma variável aleatória discreta

Processo de chegada: o Chegadas em grupo ocorrem segundo um processo Poisson com taxa. O tamanho do grupo é uma variável aleatória discreta Aula 5 Como gerar amostras de uma distribuição qualquer a partir de sua CDF e de um gerador de números aleatórios? Processo de chegada: o Chegadas em grupo ocorrem segundo um processo Poisson com taxa.

Leia mais

Avaliação de Desempenho

Avaliação de Desempenho Avaliação de Desempenho Aulas passadas Modelagem de sistemas via cadeias de Markov Aula de hoje Introdução à simulação Gerando números pseudo-aleatórios 1 O Ciclo de Modelagem Sistema real Criação do Modelo

Leia mais

Modelos de Filas de Espera

Modelos de Filas de Espera Departamento de Informática Modelos de Filas de Espera Métodos Quantitativos LEI 2006/2007 Susana Nascimento (snt@di.fct.unl.pt) Advertência Autores João Moura Pires (jmp@di.fct.unl.pt) Susana Nascimento

Leia mais

Introdução à Simulação

Introdução à Simulação Introdução à Simulação O que é simulação? Wikipedia: Simulação é a imitação de alguma coisa real ou processo. O ato de simular algo geralmente consiste em representar certas características e/ou comportamentos

Leia mais

2 Modelo Clássico de Cramér-Lundberg

2 Modelo Clássico de Cramér-Lundberg 2 Modelo Clássico de Cramér-Lundberg 2.1 Conceitos fundamentais Nesta sessão introduziremos alguns conceitos fundamentais que serão utilizados na descrição do modelo de ruína. A lei de probabilidade que

Leia mais

2. Método de Monte Carlo

2. Método de Monte Carlo 2. Método de Monte Carlo O método de Monte Carlo é uma denominação genérica tendo em comum o uso de variáveis aleatórias para resolver, via simulação numérica, uma variada gama de problemas matemáticos.

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA Pesquisa Operacional Tópico 4 Simulação Rosana Cavalcante de Oliveira, Msc rosanacavalcante@gmail.com

Leia mais

Geração de variáveis aleatórias

Geração de variáveis aleatórias Geração de variáveis aleatórias Danilo Oliveira, Matheus Torquato Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco 5 de setembro de 2012 Danilo Oliveira, Matheus Torquato () 5 de setembro de 2012

Leia mais

Aula 11 Esperança e variância de variáveis aleatórias discretas

Aula 11 Esperança e variância de variáveis aleatórias discretas Aula 11 Esperança e variância de variáveis aleatórias discretas Nesta aula você estudará os conceitos de média e variância de variáveis aleatórias discretas, que são, respectivamente, medidas de posição

Leia mais

PE-MEEC 1S 09/10 118. Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e. 4.1 Variáveis. densidade de probabilidade 4.2 Valor esperado,

PE-MEEC 1S 09/10 118. Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e. 4.1 Variáveis. densidade de probabilidade 4.2 Valor esperado, Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e distribuições contínuas 4.1 Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade 4.2 Valor esperado, variância e algumas das suas propriedades. Moda e quantis

Leia mais

Probabilidade. Distribuição Exponencial

Probabilidade. Distribuição Exponencial Probabilidade Distribuição Exponencial Aplicação Aplicada nos casos onde queremos analisar o espaço ou intervalo de acontecimento de um evento; Na distribuição de Poisson estimativa da quantidade de eventos

Leia mais

Probabilidade. Distribuição Exponencial

Probabilidade. Distribuição Exponencial Probabilidade Distribuição Exponencial Aplicação Aplicada nos casos onde queremos analisar o espaço ou intervalo de acontecimento de um evento; Na distribuição de Poisson estimativa da quantidade de eventos

Leia mais

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática Reconhecimento de Padrões Revisão de Probabilidade e Estatística Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D. http://lesoliveira.net Conceitos Básicos Estamos

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte IV 2012/02 Distribuição Exponencial Vamos relembrar a definição de uma variável com Distribuição Poisson. Número de falhas ao longo

Leia mais

Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.

Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. Professor: Leandro Zvirtes UDESC/CCT Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. Há dois tipos de

Leia mais

3 Método de Monte Carlo

3 Método de Monte Carlo 25 3 Método de Monte Carlo 3.1 Definição Em 1946 o matemático Stanislaw Ulam durante um jogo de paciência tentou calcular as probabilidades de sucesso de uma determinada jogada utilizando a tradicional

Leia mais

Métodos de Monte Carlo

Métodos de Monte Carlo Departamento de Estatística - UFJF Outubro e Novembro de 2014 são métodos de simulação São utilizados quando não temos uma forma fechada para resolver o problema Muito populares em Estatística, Matemática,

Leia mais

Departamento de Informática. Análise de Decisão. Métodos Quantitativos LEI 2006/2007. Susana Nascimento snt@di.fct.unl.pt.

Departamento de Informática. Análise de Decisão. Métodos Quantitativos LEI 2006/2007. Susana Nascimento snt@di.fct.unl.pt. Departamento de Informática Análise de Decisão Métodos Quantitativos LEI 26/27 Susana Nascimento snt@di.fct.unl.pt Advertência Autores João Moura Pires (jmp@di.fct.unl.pt) Susana Nascimento (snt@di.fct.unl.pt)

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE i1 Introdução Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. Há dois tipos

Leia mais

Universidade da Beira Interior Departamento de Informática (6619, 11543, 11552) Programação I

Universidade da Beira Interior Departamento de Informática (6619, 11543, 11552) Programação I Universidade da Beira Interior Departamento de Informática (6619, 11543, 11552) Programação I Ficha prática 4 Ano letivo 2014-15 Exercícios 1. Escreva um programa que mostre no ecrã a parte da tabela ASCII

Leia mais

Bioestatística Aula 3

Bioestatística Aula 3 Aula 3 Castro Soares de Oliveira Probabilidade Probabilidade é o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios. Probabilidade é uma medida que quantifica a sua incerteza frente a um possível acontecimento

Leia mais

Avaliando o que foi Aprendido

Avaliando o que foi Aprendido Avaliando o que foi Aprendido Treinamento, teste, validação Predição da performance: Limites de confiança Holdout, cross-validation, bootstrap Comparando algoritmos: o teste-t Predecindo probabilidades:função

Leia mais

Empresa de Pesquisa Energética (EPE) 2014. Analista de Projetos da Geração de Energia

Empresa de Pesquisa Energética (EPE) 2014. Analista de Projetos da Geração de Energia Empresa de Pesquisa Energética (EPE) 2014 Analista de Projetos da Geração de Energia Oi, pessoal! Vou resolver as quatro questões de Estatística (53 a 56) da prova elaborada pela banca Cesgranrio para

Leia mais

PROBABILIDADE, VARIÁVEIS ALEATÓRIAS, DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES E GERAÇÃO ALEATÓRIA

PROBABILIDADE, VARIÁVEIS ALEATÓRIAS, DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES E GERAÇÃO ALEATÓRIA PROBABILIDADE, VARIÁVEIS ALEATÓRIAS, DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES E GERAÇÃO ALEATÓRIA Conceitos sob a ótica de Avaliação de Desempenho de Sistemas Marcos Portnoi Edição 26.6.2010 Universidade Salvador

Leia mais

BC-0005 Bases Computacionais da Ciência. Modelagem e simulação

BC-0005 Bases Computacionais da Ciência. Modelagem e simulação BC-0005 Bases Computacionais da Ciência Aula 8 Modelagem e simulação Santo André, julho de 2010 Roteiro da Aula Modelagem O que é um modelo? Tipos de modelos Simulação O que é? Como pode ser feita? Exercício:

Leia mais

6 Construção de Cenários

6 Construção de Cenários 6 Construção de Cenários Neste capítulo será mostrada a metodologia utilizada para mensuração dos parâmetros estocásticos (ou incertos) e construção dos cenários com respectivas probabilidades de ocorrência.

Leia mais

Cláudio Tadeu Cristino 1. Julho, 2014

Cláudio Tadeu Cristino 1. Julho, 2014 Inferência Estatística Estimação Cláudio Tadeu Cristino 1 1 Universidade Federal de Pernambuco, Recife, Brasil Mestrado em Nutrição, Atividade Física e Plasticidade Fenotípica Julho, 2014 C.T.Cristino

Leia mais

MODELAGEM E SIMULAÇÃO

MODELAGEM E SIMULAÇÃO MODELAGEM E SIMULAÇÃO Professor: Dr. Edwin B. Mitacc Meza edwin@engenharia-puro.com.br www.engenharia-puro.com.br/edwin Como Funciona a Simulação Introdução Assim como qualquer programa de computador,

Leia mais

Distribuição Uniforme Discreta. Modelos de distribuições discretas. Distribuição de Bernoulli. Distribuição Uniforme Discreta

Distribuição Uniforme Discreta. Modelos de distribuições discretas. Distribuição de Bernoulli. Distribuição Uniforme Discreta Distribuição Uniforme Discreta Modelos de distribuições discretas Notas de Aula da Profa. Verónica González-López e do Prof. Jesús Enrique García, digitadas por Beatriz Cuyabano. Acréscimos e modicações:

Leia mais

Balanceamento de uma Linha de Produção

Balanceamento de uma Linha de Produção Balanceamento de uma Linha de Produção Uma linha de produção consiste num conjunto de Postos de Trabalho (PT) cuja posição é fixa e cuja sequência é ditada pela lógica das sucessivas operações a realizar

Leia mais

Análise de Sensibilidade

Análise de Sensibilidade Análise de Risco de Projetos Análise de Risco Prof. Luiz Brandão Métodos de Avaliação de Risco Análise de Cenário Esta metodologia amplia os horizontes do FCD obrigando o analista a pensar em diversos

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de variável discreta BERNOULLI E BINOMIAL

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de variável discreta BERNOULLI E BINOMIAL DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de variável discreta BERNOULLI E BINOMIAL Introdução Variável aleatória Discreta: assume um número finito ou infinito numerável de valores Contínua: assume todos os valores

Leia mais

Simulação de Evento Discreto

Simulação de Evento Discreto Simulação de Evento Discreto Simulação de evento discreto As variáveis de estado modificam-se apenas pela ocorrência de eventos Os eventos ocorrem instantaneamente em pontos separados no tempo São simulados

Leia mais

'DGRVGH(QWUDGD SDUD D6LPXODomR

'DGRVGH(QWUDGD SDUD D6LPXODomR 6LPXODomR GH6LVWHPDV 'DGRVGH(QWUDGD SDUD D6LPXODomR,1387 'DGRVGH(QWUDGD SDUD D6LPXODomR 3URSyVLWRReproduzir o comportamento aleatório / estocástico do sistema real dentro do modelo de simulação. *$5%$*(,1*$5%$*(287

Leia mais

Avaliação de Desempenho de Sistemas Discretos

Avaliação de Desempenho de Sistemas Discretos Avaliação de Desempenho de Sistemas Discretos Parte IV: Simulação Professor: Reinaldo Gomes reinaldo@dsc.ufcg.edu.br Parte 4 Simulação P A R T E Etapas básicas em um estudo de simulação Geração de números

Leia mais

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Faculdade de Arquitetura e Urbanismo

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Faculdade de Arquitetura e Urbanismo UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Arquitetura e Urbanismo DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL ESTIMAÇÃO AUT 516 Estatística Aplicada a Arquitetura e Urbanismo 2 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL Na aula anterior analisamos

Leia mais

Planeamento de um Posto de Abastecimento de Combustível

Planeamento de um Posto de Abastecimento de Combustível Introdução aos Computadores e à Programação 2007/2008, 2º Semestre 1º Trabalho de OCTAVE Planeamento de um Posto de Abastecimento de Combustível 1. Introdução Pretende-se instalar um posto de abastecimento

Leia mais

O trabalho pioneiro nesta área remonta a Ulam, que o teria inventado em 1946 ao estudar as possibilidades de ganhar no jogo de cartas Solitário.

O trabalho pioneiro nesta área remonta a Ulam, que o teria inventado em 1946 ao estudar as possibilidades de ganhar no jogo de cartas Solitário. Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.ufrgs.br/~viali/ Números aleatórios (NA) são elementos básicos necessários na simulação de quase todos os sistemas discretos. Eles podem ser utilizados

Leia mais

Processos Estocásticos

Processos Estocásticos Processos Estocásticos Segunda Lista de Exercícios 01 de julho de 2013 1 Uma indústria fabrica peças, das quais 1 5 são defeituosas. Dois compradores, A e B, classificam os lotes de peças adquiridos em

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

LISTA DE EXERCÍCIOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS LISTA DE EXERCÍCIOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. Construir um quadro e o gráfico de uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória X: número de coroas obtidas no lançamento de duas moedas. 2. Fazer

Leia mais

DISTRIBUIÇÃO NORMAL 1

DISTRIBUIÇÃO NORMAL 1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 1 D ensid ade Introdução Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população. O histograma por densidade é o seguinte: 0.04 0.03 0.02

Leia mais

Descreve de uma forma adequada o

Descreve de uma forma adequada o EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 8 - Variáveis Aleatórias Contínuas Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF 1 Variável Aleatória Normal Caraterização: Descreve de uma forma adequada

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 19 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 3 1 Probabilidade Discreta: Exemplos

Leia mais

DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL CONCEITOS BÁSICOS APLICAÇÕES

DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL CONCEITOS BÁSICOS APLICAÇÕES LUIZ CLAUDIO BENCK KEVIN WONG TAMARA CANDIDO DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL CONCEITOS BÁSICOS APLICAÇÕES Trabalho apresentado para avaliação na disciplina de Estatística e Métodos Numéricos do Curso de Administração

Leia mais

Exercícios. Exercício 1

Exercícios. Exercício 1 Exercícios Exercício 1 Considere um sistema de processamento com os seguintes tempos entre chegadas de tarefas: Tempo entre Chegadas (horas) Probabilidade 0 0.23 1 0.37 2 0.28 3 0.12 Os tempos de processamento

Leia mais

Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Principais Distribuições.

Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Principais Distribuições. Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Principais Distribuições. Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 14 de Março de 2012 Tipos

Leia mais

Value at Risk (VaR) Introdução. Introdução. Prf. José Fajardo FGV-EBAPE

Value at Risk (VaR) Introdução. Introdução. Prf. José Fajardo FGV-EBAPE Value at Risk (VaR) Prf. José Fajardo FGV-EBAPE Introdução Quando estamos usando VaR, o administrador de uma carteira de instrumentos financeiros esta interessado em fazer uma afirmação da seguinte forma:

Leia mais

Logo, para estar entre os 1% mais caros, o preço do carro deve ser IGUAL OU SUPERIOR A:

Logo, para estar entre os 1% mais caros, o preço do carro deve ser IGUAL OU SUPERIOR A: MQI 00 ESTATÍSTICA PARA METROLOGIA - SEMESTRE 008.0 Teste 6/05/008 GABARITO PROBLEMA O preço de um certo carro usado é uma variável Normal com média R$ 5 mil e desvio padrão R$ 400,00. a) Você está interessado

Leia mais

2 Avaliação de desempenho de uma rede de telecomunicações

2 Avaliação de desempenho de uma rede de telecomunicações 2 Avaliação de desempenho de uma rede de telecomunicações Ao longo do presente capítulo são introduzidos os principais elementos qualitativos e quantitativos capazes de permitir a avaliação do desempenho

Leia mais

Exercícios Sugeridos Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas

Exercícios Sugeridos Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas Exercícios Sugeridos Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 1. (Paulino e Branco, 2005) Num depósito estão armazenadas 500 embalagens de um produto, das quais 50 estão deterioradas. Inspeciona-se uma

Leia mais

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento.

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento. Probabilidade A probabilidade estuda o risco e a ocorrência de eventos futuros determinando se existe condição de acontecimento ou não. O olhar da probabilidade iniciou-se em jogos de azar (dados, moedas,

Leia mais

AULAS 13, 14 E 15 Correlação e Regressão

AULAS 13, 14 E 15 Correlação e Regressão 1 AULAS 13, 14 E 15 Correlação e Regressão Ernesto F. L. Amaral 23, 28 e 30 de setembro de 2010 Metodologia de Pesquisa (DCP 854B) Fonte: Triola, Mario F. 2008. Introdução à estatística. 10 ª ed. Rio de

Leia mais

NECESSIDADES DE PREVISÃO DA CADEIA DE SUPRIMENTOS. Mayara Condé Rocha Murça TRA-53 Logística e Transportes

NECESSIDADES DE PREVISÃO DA CADEIA DE SUPRIMENTOS. Mayara Condé Rocha Murça TRA-53 Logística e Transportes NECESSIDADES DE PREVISÃO DA CADEIA DE SUPRIMENTOS Mayara Condé Rocha Murça TRA-53 Logística e Transportes Setembro/2013 Introdução Estimativas acuradas do volume de produtos e serviços processados pela

Leia mais

Versão 1.0 09/Set/2013. www.wedocenter.com.br. WeDo Soluções para Contact Center Consultorias

Versão 1.0 09/Set/2013. www.wedocenter.com.br. WeDo Soluções para Contact Center Consultorias Verificação do Modelo de Erlang Ponto de Análise: Processo de chegada de contatos Operações de Contact Center Receptivo Por: Daniel Lima e Juliano Nascimento Versão 1.0 09/Set/2013 Ponto de Análise Processo

Leia mais

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados

Leia mais

Modelo de distribuição de probabilidade para o número de bolas chamadas até que alguém bata em um bingo Convencional

Modelo de distribuição de probabilidade para o número de bolas chamadas até que alguém bata em um bingo Convencional Modelo de distribuição de probabilidade para o número de bolas chamadas até que alguém bata em um bingo Convencional Pedro Ferreira de Lima 1 Cícero Carlos Felix de Oliveira 2 Dr. Cláudio Tadeu Cristiano

Leia mais

TEORIA DO RISCO. LUIZ SANTOS / MAICKEL BATISTA economia.prof.luiz@hotmail.com maickel_ewerson@hotmail.com

TEORIA DO RISCO. LUIZ SANTOS / MAICKEL BATISTA economia.prof.luiz@hotmail.com maickel_ewerson@hotmail.com TEORIA DO RISCO LUIZ SANTOS / MAICKEL BATISTA economia.prof.luiz@hotmail.com maickel_ewerson@hotmail.com 1 TARIFAÇÃO (FERREIRA, 2002) Diversos conceitos e metodologias envolvidos no cálculo do preço pago

Leia mais

Opções Reais. Processos Estocásticos. Processos Estocásticos. Modelando Incerteza. Processos Estocásticos

Opções Reais. Processos Estocásticos. Processos Estocásticos. Modelando Incerteza. Processos Estocásticos Modelando Incerteza Opções Reais A incerteza em um projeto pode ter mais do que apenas dois estados. Na prática, o número de incertezas pode ser infinito Prof. Luiz Brandão brandao@iag.puc-rio.br IAG PUC-Rio

Leia mais

Filas de Espera. Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira FEUP

Filas de Espera. Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira FEUP Filas de Espera Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 1 c 1998 Filas de Espera 1 Introdução Fenómeno corrente no dia-a-dia Slide 2 clientes pessoas, veículos ou outras

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Introdução a Probabilidade Existem dois tipos

Leia mais

Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística:

Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística: Probabilidade 3-1 Aspectos Gerais 3-2 Fundamentos 3-3 Regra da Adição 3-4 Regra da Multiplicação: 3-5 Probabilidades por Meio de Simulações 3-6 Contagem 1 3-1 Aspectos Gerais Objetivos firmar um conhecimento

Leia mais

Vamos denominar 1/µ o tempo médio de atendimento de um cliente. Tem-se, então que:

Vamos denominar 1/µ o tempo médio de atendimento de um cliente. Tem-se, então que: Vamos admitir que o tempo de atendimento (tempo de serviço) de clientes diferentes são variáveis aleatórias independentes e que o atendimento de cada consumidor é dado por uma variável S tendo função densidade

Leia mais

Momentos de uma variável aleatória

Momentos de uma variável aleatória Momentos de uma variável aleatória O cálculo de E[X] (valor médio de X) e E[X 2 ] (que intervém na variância), pode ser generalizado pensando em E[X k ] com k IN. Definição: Dada uma v.a. X, chama-se momento

Leia mais

MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Definições Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória representa um valor numérico possível de um evento incerto. Variáveis aleatórias

Leia mais

COMENTÁRIO AFRM/RS 2012 ESTATÍSTICA Prof. Sérgio Altenfelder

COMENTÁRIO AFRM/RS 2012 ESTATÍSTICA Prof. Sérgio Altenfelder Comentário Geral: Prova muito difícil, muito fora dos padrões das provas do TCE administração e Economia, praticamente só caiu teoria. Existem três questões (4, 45 e 47) que devem ser anuladas, por tratarem

Leia mais

Inferência Estatística

Inferência Estatística Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Inferência Estatística Ana Maria Lima de Farias Departamento de Estatística Conteúdo 1 Inferência estatística Conceitos básicos 1 1.1

Leia mais

CAPÍTULO 5 - Exercícios

CAPÍTULO 5 - Exercícios CAPÍTULO 5 - Exercícios Distibuições de variáveis aleatórias discretas: Binomial 1. Se 20% dos parafusos produzidos por uma máquina são defeituosos, determinar a probabilidade de, entre 4 parafusos escolhidos

Leia mais

Método Monte-Carlo. Alexandre Rosas. 23 de Março de 2009. Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba

Método Monte-Carlo. Alexandre Rosas. 23 de Março de 2009. Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba 23 de Março de 2009 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos)

Leia mais

O que é a estatística?

O que é a estatística? Elementos de Estatística Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira Departamento de Estatística - UFJF O que é a estatística? Para muitos, a estatística não passa de conjuntos de tabelas de dados numéricos. Os

Leia mais

Distribuições de Probabilidade Distribuição Normal

Distribuições de Probabilidade Distribuição Normal PROBABILIDADES Distribuições de Probabilidade Distribuição Normal BERTOLO PRELIMINARES Quando aplicamos a Estatística na resolução de situações-problema, verificamos que muitas delas apresentam as mesmas

Leia mais

Simulação Industrial

Simulação Industrial Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Simulação Industrial Enunciados de Exercícios Para as Aulas Práticas Acácio M. de O. Porta Nova Departamento de Engenharia e Gestão Instituto Superior Técnico

Leia mais

Simulação Transiente

Simulação Transiente Tópicos Avançados em Avaliação de Desempenho de Sistemas Professores: Paulo Maciel Ricardo Massa Alunos: Jackson Nunes Marco Eugênio Araújo Dezembro de 2014 1 Sumário O que é Simulação? Áreas de Aplicação

Leia mais

A MATEMÁTICA NO ENSINO SUPERIOR POLICIAL 1

A MATEMÁTICA NO ENSINO SUPERIOR POLICIAL 1 A MATEMÁTICA NO ENSINO SUPERIOR POLICIAL 1 A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA O desenvolvimento das sociedades tem sido também materializado por um progresso acentuado no plano científico e nos diversos domínios

Leia mais

Módulo VIII. Probabilidade: Espaço Amostral e Evento

Módulo VIII. Probabilidade: Espaço Amostral e Evento 1 Módulo VIII Probabilidade: Espaço Amostral e Evento Suponha que em uma urna existam cinco bolas vermelhas e uma branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, é mais provável que esta seja vermelha.

Leia mais

Ferramentas de Modelação e Análise de Sistemas baseadas em Redes de Petri (RdP)

Ferramentas de Modelação e Análise de Sistemas baseadas em Redes de Petri (RdP) Ferramentas de Modelação e Análise de Sistemas baseadas em Redes de Petri (RdP) Existem inúmeras ferramentas (software) baseadas em RdP que permitem desenvolver modelar e analisar sistema de RdP. Algumas

Leia mais

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1 INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1. Origem histórica É possível quantificar o acaso? Para iniciar,

Leia mais

Exercícios Resolvidos da Distribuição de Poisson

Exercícios Resolvidos da Distribuição de Poisson . a. Qual é a diferença entre as distribuições de Poisson e inomial? b. Dê alguns exemplos de quando podemos aplicar a distribuição de Poisson. c. Dê a fórmula da distribuição de Poisson e o significado

Leia mais

6 Sistemas Terminais e Não-Terminais

6 Sistemas Terminais e Não-Terminais 6 Sistemas Terminais e Não-Terminais 1 A fim de poder realizar uma análise mais precisa dos resultados de simulação, é preciso saber classificar o sistema modelado como sendo terminal ou não-terminal.

Leia mais

Teorema Central do Limite e Intervalo de Confiança

Teorema Central do Limite e Intervalo de Confiança Probabilidade e Estatística Teorema Central do Limite e Intervalo de Confiança Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Um variável aleatória pode ter uma distribuição qualquer (normal, uniforme,...),

Leia mais

Estatística Aplicada

Estatística Aplicada INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA Estatística Aplicada Ano Lectivo 2006/2007 Ficha n.º1 1. O director comercial de uma cadeia de lojas pretende comparar duas técnicas

Leia mais

Teorema do Limite Central e Intervalo de Confiança

Teorema do Limite Central e Intervalo de Confiança Probabilidade e Estatística Teorema do Limite Central e Intervalo de Confiança Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Um variável aleatória pode ter uma distribuição qualquer (normal, uniforme,...),

Leia mais

CAP4: Distribuições Contínuas Parte 1 Distribuição Normal

CAP4: Distribuições Contínuas Parte 1 Distribuição Normal CAP4: Distribuições Contínuas Parte 1 Distribuição Normal Quando a variável sendo medida é expressa em uma escala contínua, sua distribuição de probabilidade é chamada distribuição contínua. Exemplo 4.1

Leia mais

ALGUNS TóPICOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE

ALGUNS TóPICOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE ALGUNS TóPICOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE MAT30 200/ O objetivo destas notas é ilustrar como a ideia de fazer aproximações permite uma compreensão melhor de diversos problemas de combinatória e probabilidade..

Leia mais

O estudo de um indicador de comportamento do segurado brasileiro Francisco Galiza, Mestre em Economia (FGV)

O estudo de um indicador de comportamento do segurado brasileiro Francisco Galiza, Mestre em Economia (FGV) O estudo de um indicador de comportamento do segurado brasileiro Francisco Galiza, Mestre em Economia (FGV) Este artigo tem por objetivo analisar as taxas de aversão ao risco em alguns ramos do mercado

Leia mais

Estatística stica para Metrologia

Estatística stica para Metrologia Aula 5 Estatística stica para Metrologia Aula 5 Variáveis Contínuas Uniforme Exponencial Normal Lognormal Mônica Barros, D.Sc. Maio de 008 1 Distribuição Uniforme A probabilidade de ocorrência em dois

Leia mais

Modelos Estocásticos. Resolução de alguns exercícios da Colectânea de Exercícios 2005/06 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E FILAS DE ESPERA LEGI

Modelos Estocásticos. Resolução de alguns exercícios da Colectânea de Exercícios 2005/06 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E FILAS DE ESPERA LEGI Modelos Estocásticos Resolução de alguns exercícios da Colectânea de Exercícios 2005/06 LEGI Capítulo 7 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E FILAS DE ESPERA Nota: neste capítulo ilustram-se alguns dos conceitos de

Leia mais

, podemos afirmar que:

, podemos afirmar que: PROOFMATH WWW.PROOFMATH.WORDPRESS.COM MAIS UM BLOG DE MATEMÁTICA FOLHA DE TRABALHO º ANO DE ESCOLARIDADE PREPARAR EXAME NACIONAL. Considere as seguintes sucessões a n, b n Sendo a lim an, b limbn e c lim

Leia mais

2 Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (Q, R)

2 Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (Q, R) Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (, ) Neste capítulo é apresentado um modelo para o sistema de controle de estoque (,). Considera-se que a revisão dos estoques é continua e uma encomenda de

Leia mais

Teste de Hipótese para uma Amostra Única

Teste de Hipótese para uma Amostra Única Teste de Hipótese para uma Amostra Única OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Depois de um cuidadoso estudo deste capítulo, você deve ser capaz de: 1.Estruturar problemas de engenharia de tomada de decisão, como

Leia mais

Aula 04 Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas. Aula 04 Prof. Valner Brusamarello

Aula 04 Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas. Aula 04 Prof. Valner Brusamarello Aula 04 Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas Aula 04 Prof. Valner Brusamarello Incerteza - GUM O Guia para a Expressão da Incerteza de Medição (GUM) estabelece regras gerais para avaliar

Leia mais

Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal

Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória:

Leia mais

Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE

Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias 1 Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias Nos programas de simulação existe um GNA e inúmeras outras funções matemáticas descritas como Funções Geradoras de

Leia mais

Aula 1: Introdução à Probabilidade

Aula 1: Introdução à Probabilidade Aula 1: Introdução à Probabilidade Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 07 de Março de 2012 Experimento Aleatório Um experimento é qualquer processo

Leia mais

AV2 - MA 12-2012. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos?

AV2 - MA 12-2012. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos? Questão 1. Num porta-cds, cabem 10 CDs colocados um sobre o outro, formando uma pilha vertical. Tenho 3 CDs de MPB, 5 de rock e 2 de música clássica. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de

Leia mais

Introdução ao Método de Galerkin Estocástico

Introdução ao Método de Galerkin Estocástico Introdução ao Método de Galerkin Estocástico Americo Barbosa da Cunha Junior Departamento de Engenharia Mecânica Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 1 Introdução A dinâmica de um sistema

Leia mais

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Computabilidade 2012/2013 Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Capítulo 1 Computabilidade 1.1 A noção de computabilidade Um processo de computação

Leia mais

CAPÍTULO 9 Exercícios Resolvidos

CAPÍTULO 9 Exercícios Resolvidos CAPÍTULO 9 Exercícios Resolvidos R9.1) Diâmetro de esferas de rolamento Os dados a seguir correspondem ao diâmetro, em mm, de 30 esferas de rolamento produzidas por uma máquina. 137 154 159 155 167 159

Leia mais

Introdução a Avaliação de Desempenho

Introdução a Avaliação de Desempenho Introdução a Avaliação de Desempenho Avaliar é pronunciar-se sobre as características de um certo sistema. Dado um sistema real qualquer, uma avaliação deste sistema pode ser caracterizada por toda e qualquer

Leia mais