INTRODUÇÃO...3 ONDAS SENOIDAIS, FASORES E ÁLGEBRA FASORIAL...4 MÉTODOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME SENOIDAL...10

Transcrição

1 Cderno Universitário º semestre de 8 Análise de Circuitos em Corrente Alternd Por João Crlos ernetti dos Sntos Curso de Engenhri Elétric (ULBRA/Cnos)

2 ÍNDCE NTRODUÇÃO...3 ONDAS SENODAS, FASORES E ÁLGEBRA FASORAL...4 MÉTODOS DE ANÁLSE DE CRCUTOS EM REGME SENODAL...1 LES DE KRCHHOFF...1 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES...1 MÉTODO DE MALHAS...15 MÉTODO DE NÓS...18 MPEDÂNCA DE ACESSO EM FUNÇÃO DA FREQÜÊNCA...1 DAGRAMAS FASORAS...5 DAGRAMAS DE LOC (LUGAR GEOMÉTRCO DAS RAÍZES)...6 MÁXMA TRANSFERÊNCA DE POTÊNCA E TEOREMAS DE THÉENN E NORTON...3 PRNCÍPO DA SUPERPOSÇÃO...34 POTÊNCA COMPLEXA E FATOR DE POTÊNCA...35 NDUTÂNCA MÚTUA E TRANSFORMADORES...39 POLARDADE DA TENSÃO NDUZDA (REGRA DO PONTO)...39 TRANSFORMADOR LNEAR (COM NÚCLEO DE AR)...4 TRANSFORMADOR DEAL (COM NÚCLEO DE FERRO) E CASAMENTO DE MPEDÂNCAS...46 AUTOTRANSFORMADOR...5 CRCUTOS POLFÁSCOS...5 CARGAS EQULBRADAS CONECTADAS EM Y E EM...5 CARGAS DESEQULBRADAS CONECTADAS EM Y E EM...56 MEDÇÃO DE POTÊNCA TRFÁSCA...57 PRÁTCAS DE LABORATÓRO...58 LABORATÓRO GRANDEZAS FASORAS...58 LABORATÓRO FATOR DE POTÊNCA LABORATÓRO SOLUÇÃO DE SSTEMAS DE EQUAÇÕES LNEARES COM O MATLAB...6 CONSDERAÇÕES FNAS...63 REFERÊNCAS BBLOGRÁFCAS...64

3 ntrodução 3 Este cderno universitário present lists de exercícios, lortórios e questões de provs plicds n disciplin de Análise de Circuitos em Corrente Alternd. Este mteril ojetiv complementr o conteúdo d disciplin presentdo em ul, em como indicr iliogrfis recomendds. O cderno universitário contém exercícios, resposts de exercícios seleciondos e lgums soluções comentds. Porém, pr o om desempenho nest disciplin, recomendse lém d resolução dos exercícios qui propostos, o compnhmento ds uls teórics e de lortório, em como o imprescindível estudo do conteúdo dos livros indicdos ns referêncis iliográfics.

4 Onds senoidis, fsores e álger fsoril 4 1. Pr s dus tensões ixo, determinr o ângulo de fse entre v 1 (t) e v (t): v 1 (t) = sen (377t 1 ) v (t) = 13 sen (377t 85 ). Expressr s seguintes onds n form cosenoidl. () 5 sen( ω t 3 ) () 5 sen( ω t 13 ) (c) 5 sen( ω t 6 ) 5 sen ω t 3 (d) ( ) Resp.: () 5cos(ωt 1 ); () 5cos(ωt 14 ); (c) 5cos(ωt 3 ); (d) 5sen(ωt 13 ). 3. Trnsformr s seguintes expressões pr form fsoril. () sen ( 377t 3 ) () 6 sen ( 7t 13 ) 1 sen 4π t 6 (c) ( ) (d) 5 cos( π 1 3 t 3 ) Resp.: () 3 ; () 6 13 ; (c) 1 6 ; (d) Determinr mplitude, o período, freqüênci cíclic e freqüênci ngulr ds onds do prolem nterior. Resp.: (), π/377, 377/π, 377 () 6, π/7, 7/π, 7 (c) 1, π/4π, 4π/π, 4π (d) 5, 1, 1, π 5. Efetur s seguintes operções no domínio d freqüênci e oter respost no domínio do tempo. Ddos: v t) = 7 cos t v ( t) = 5sen(t 49 ) v ( t) = 14sen(t 69 ) v ( t) = 1sen(3t 78 ) 1 ( 3 4 () v 1 v () v 1 v 3 (c) v v 3 (d) v 1 v v 3 (e) v v 4

5 5 Resp.: () 11,6sen(t 73,1 ); () 7,875sen(t 5,4 ); (c) 1,461sen(t 48,3 ); (d) 8,61sen(t 15,5 ); (e) 5sen(t 49 ) 1sen(3t 78 ) 6. Clculr os seguintes vlores instntâneos prtir ds expressões dds no prolem nterior, sendo que T é o período d ond senoidl: () v 1 (3s); () v 3 (4,7ms); (c) v 1 (T/3). Resp.: () 6,71 () 13, (c) 3,5 7. Trnsformr os números ixo pr form polr: () 3 j4 () 1 j 3 (c),48 j, 3 (d) 5 j8, 66 (e) 5 j1, 34 (f) 9 j9 (g) 9 j9 (h) 9 j9 (i) 9 j9 (j) 4 j36 (k) 5 j9 (l) 15 j6 (m) j (n) j Resp.: () 5 53, 13 () 6 (c),498 6, 9 (d) 1 6 (e) 5, (f) 17,8 45 (g) 17,8 45 (h) 17,8 135 (i) 17,8 135 (j) 436,66 13,7 (k) 1,9 6,9 (l) 61,85 14,4 (m),83 45 (n), Trnsformr os números ixo d form polr pr form retngulr: () 1,96 6, 95 () 3 45 (c) 7 (d),7 17 (e) (h) 3 9 (i) 3 9 (j) 3 (k) 3 18 (l) 5 36, 87

6 6 (f) (g) (m) 436,66 13, 69 (n) 61,85 14, 4 Resp.: () 5j9 (),1j,1 (c) 17,8j9,8 (d) 1,65j,156 (e) 357,3j43,87 (f) 15,53j1,3 (g) 3761,81j3761,81 (h) j3 (i) j3 (j) 3 (k) 3 (l) 4j3 (m) 4j36 (n) 15j6 9. Fzer um esoço no plno complexo dos números complexos dos dois prolems nteriores. 1. Expressr os fsores ixo, representdos no plno complexo, n form retngulr e n form polr. m m B = 5 B = 5 35 o Re 35 o Re () m () m Re 5 Re (c) (d)

7 m m 7 15 o 355 o Re Re B = 5 B = 5 (e) m (f) m 5 4 Re 4 5 Re (g) (h) Resp.: () 4,96j,868; () 4,96j,868; 5 35 (c) 5j4; 6,43 141,34 (d) 5j4; 6,43 38,66 (e) 4,96j,868; 5 15 (f) 4,98j,436; (g) 5j4; 6,43 141,34 (h) 5j4; 6,43 38, Considerndo os fsores lgérics ixo: A & = 3 j4, B & = 1 j 3 e C & = 6, efetur s operções () A & B & () A & B & (c) A & B& C& (d) ( A & ) * A& B& (e) C& A& B& (f) 3 C& A& ( A& ) * (g) B& C& & & (h) A ( A) * & A& A& & (i) A ( A) * (j) ( ) * (k) ( A & B& ) C& ( C& ) A ( ) (l) & B& C& ( B& ) * * [ ] (m) A & 3 B& C& (n) A & / B& C& / 4

8 8 Resp.: () 4j5,73 () j,68 (c) 3j4 (d) 3j4 (e) j8 (f) 5 (g),8j,96 (h) 3,48j,99 (i),113j,94 (j) 6/ = (k) 8j11,464 (l) 9,98j1,196 (m) 4j5,73 (n) 3,5j5,31 1. Efetur s operções ixo e oter respost n form retngulr. () ( 4, j 6,8) ( 7,6 j,) 6 7 () ( 4 1 j76) ( 7 1 j5) (c) ( 36 j78) ( 4 j68) (d) (e) Resp.: () 11,8j7 () 4,7.1 6 j81 (c) 3j146 (d) 7,7j9,931 (e) 95,698j, Efetur s operções ixo e oter respost n form polr. () ( 65 8 ) ( 8 36 ) () ( 8 j 8) ( j3) (c) ( 8 j 16) ( 5 45 ) (d) ( 5 j 5) ( 5 9 ) 4 5 (e) 6 6 6,5 j,5 (f) 8 j6 5 j5 (g) j5, 1 (h) 3 Resp.: () 5 5 o () 4,79 11,3 (c) 89,44 18,4 (d) 35, (e) 61,98 59,97 (f),9 18,97 (g) 3 4

9 9 (h) 66, Determinr x, sendo que Resp.: x = Determinr θ, sendo que ( 1 ) ( x 6 ) = 3,64 j5, 7 8 = 3,464 θ j Resp.: θ = 3º 16. Trnsformr s expressões ixo pr o domínio d freqüênci. () 1sen( ω t 3 ) () 5sen ( 157t 4 ) 6 (c) 6 1 cos( ω t ) (d) 3 cos3t Resp.: () 1 3 () 5 4 (c) 6.16 (d) Trnsformr s expressões ixo pr o domínio do tempo, sendo que f = 6Hz. () & = 4 A () & = 8 1 ma (c) & = 1 (d) & = 5 9 Resp.: () 4sen(377t )A; () 8sen(377t 1 )ma; (c) 1sen(377t ); (d) 5sen(377t 9 )

10 Métodos de Análise de Circuitos em Regime Senoidl 1 Leis de Kirchhoff 18. Pr o circuito ixo, plicr LKT pr oter v (t), sendo que v F (t) = 6sen(377t º) e v (t) = sen377t. v F v v Resp.: 41,77sen(377t 9,43 ) 19. Pr o circuito ixo, oter i(t), sendo que i 1 (t) =.1 6 sen(377t 9º) e i (t) = sen(377t 6 o ). i i 1 i Resp.: 15,15 78,54 A. Pr cd um dos circuitos ixo, determinr respost solicitd em regime permnente, tnto no domínio d freqüênci como no domínio do tempo. sen4ta v( t) sent i( t) H () () cos5ta 5H v( t) o 1 cos(5 t 6 ) 5Ω i( t) 1/5F (c) (d)

11 11 o 5 cos(3 t 5 ) 5Ω i( t) 1/9F 5cos4tA 1/H 1/8F v( t) (e) (f) 1/5F 1cos1tA vf( t) vc( t) vl( t) vr( t) 1Ω 1sen1t,1µ F v( t) 6mH 5Ω (g) 1/H (h) Resp.: () 4 ; 4sen(4t) () 5 89,97 ma; 5sen(t 89,97 )ma (c) 3,987 4,57 ; 3,987cos(5t 4,57 ) (d), 6,11 A;,cos(5t 6,11 )A (e) 1, A; 1,667cos(3t 14 )A (f) 1 ; 1cos(4t) (g) C =5 9 ; 5cos(1t9 ); R =1 ; 1cos(1t); L =5 9 ; 5cos(1t9 ); F =1 ; 1cos(1t) (h) 3,936 18,8 ; 3,936sen(1t 18,8 ) 1. A qued de tensão n retânci j do circuito ixo é Prov PAG.sem.4) = 13,4 15. Determinr Z.( 9 Ω j Ω 1 1 Z Resp.: (4,1 j15,1)ω. Pr o circuito ixo, clculr o fsor corrente indicdo. 5 Ω Ω j4 Ω Ω j1 Ω j4 Ω Ω

12 3. No circuito ixo, há um rede desconhecid de impedânci Z x. Pr determinr su nturez, form efetuds dus medições, resultndo ns leiturs indicds o ldo. Determinr Z x, sendose que o fsor 1 está trsdo em relção o fsor x. (Prov G1A1.sem.8) Ω Resp.: (5,56 j9,48) Ω 1 1 x Z x Leiturs: x = 9 1 = 3 4. No circuito ixo, há um rede desconhecid de impedânci Zx. Pr determinr su nturez, form efetuds dus medições, resultndo ns leiturs indicds o ldo. Determinr Zx, sendose que o fsor 1 está dintdo em relção o fsor x. (Prov G1B1.sem.8). 1 1 Ω Resp.: (5,56 j9,48) Ω 1 1 x Z x Leiturs: x = 9 1 = 3 Trnsformção de fontes 5. Pr o circuito ixo, converter seção à esquerd dos terminis em um outro com um fonte de corrente. Resp. j5ω Z L 3,5 69 A j5ω Z L 6. Pr o circuito ixo, converter seção à esquerd dos terminis em um outro com um fonte de tensão.

13 13 4Ω 3 3 A j3ω Z L 7. Determinr tensão no circuito ixo, convertendo fonte de tensão em fonte de corrente e simplificndo o circuito. 1Ω j3ω 1Ω j j4ω SOLUÇÃO: O cpcitor não pode ser envolvido ns trnsformções de fontes, já que tensão seri lterd. O prolem pode ser resolvido em qutro etps. Primeiro, fonte de tensão é trnsformd em fonte de corrente, ou sej, (4 j1)a 1Ω j3ω 1Ω j j4ω Segundo, os dois rmos de impedâncis são ssocidos em prlelo. (4 j1)a 1,4Ω j,7ω j4ω Terceiro, fonte de corrente é convertid em fonte de tensão. 1,4Ω j, 7Ω 33,74 13,3 j4ω Finlmente, tensão pode ser otid plicndo regr do divisor de tensão, ou sej,

14 14 ( 33,74 13,3 ) ( j4) ( 1,4 j,7 j4) = = 6,6 5, 8. Atrvés de trnsformções e sustituições proprids de fontes, determinr s tensões e correntes em cd elemento pssivo do circuito ixo. 1A 1Ω 1 5Ω 3Ω SOLUÇÃO: Como s polriddes ds tensões e os sentidos ds correntes não são menciondos no enuncido, eles devem ser ritrdos, como por exemplo, no circuito ixo. 1A d v1 i1 i 1Ω v 5Ω v5 1 3Ω i5 v3 c i3 Aplicndo técnic de sustituição de fontes à fonte de corrente (nós dc) e à fonte de tensão (nós cd), otémse o circuito ixo, o qul permnece inlterdo em relção os elementos pssivos (correntes e tensões nestes elementos não são lterds). Apens o rmo d foi lterdo, ms isso não é prolem, já que não há elemento pssivo de interesse neste rmo. 1A v1 d i1 i 1Ω v 1 5Ω v5 1A 3Ω i5 1 v3 i3 c O prolem gor pode ser resolvido plicndo trnsformção ds fontes de corrente ou de tensão. Trnsformndo s fontes de corrente em fontes de tensão, por exemplo, result o circuito ixo.

15 15 1 Alterdo d i 1Ω v 5Ω 1 5 3Ω 1 v3 i3 c É importnte oservr que s trnsformções ds fontes de corrente provocrm lterção de configurção dos resistores de 1Ω e 5Ω, os quis são de interesse n nálise. Como est prte d rede foi lterd, nd pode ser firmdo sore i 1, i 5, v 1 e v 5. Por outro ldo, o cminho d indic que i =, de cordo com LKT. O cminho cd indic que i 3 = 6/8 = 7,5A. Anlisndo rede originl com i = e i 3 = 7,5A, concluise por LKC que i 1 = 1A e i 5 =,5A. Finlmente, plicndo lei de Ohm, otémse tensão em cd elemento pssivo conforme s polriddes ritrds, ou sej, v 1 = 1, v =, v 3 =,5 e v 5 = 1,5. 9. Reduzir o circuito ixo pr um fonte de corrente em prlelo com um impedânci. j4ω j3ω o 4 5Ω Resp.: 5,954 11,64 A e 3,777 8,36 Ω Método de Mlhs 3. Pr o circuito ixo, determinr s correntes de mlh. j8ω 1 o 1 j j3ω 6Ω 31. Pr o circuito ixo, determinr tensão v plicndo o método de mlhs.

16 16 j5ω j 4Ω o o v j9ω 5Ω 3. Pr o circuito ixo, determinr tensão v(t) sore o resistor usndo o método de mlhs.,h,4h cos3t,3h v 33. Pr o circuito ixo, determinr corre3nte trvés o resistor de 6 Ω usndo o método de mlhs. 1 4Ω o j6ω j8ω 1 j 6Ω o Pr o circuito ixo, determinr tensão sore o resistor de 4 Ω. 4Ω 8Ω 1 o 5 4Ω 35. Pr o circuito ixo, determinr tensão 1. 1 j5ω 1,41 j6ω

17 36. Determinr máxim potênci médi que pode ser solicitd de um gerdor de corrente lternd, cuj impedânci intern é 15 6 Ω e tensão de circuito erto é 1,5k. 37. Pr rede ixo, determinr (Prov PAG.sem.4): () o vlor de Z que consome máxim potênci; () com o vlor de Z otido no item (), determinr tensão em regime permnente v(t). 17,H,4H cos3t v Z Resp.: () (,165 j1,75)ω; () v(t) = 1,5.cos(3t 11,3º) 38. Pr o circuito ixo, determinr (Prov G1A1.sem.8): ) O circuito equivlente de Thévenin visto dos terminis ; ) A impedânci em que consome máxim potênci; c) A potênci médi consumid n situção do item (). j4 Ω 1 1 Ω 1 Ω x 6 Ω 1 x Equiv. Thévenin Resp.: (784 j88); (6,688 j41,4)ω; (6,688 j41,4)ω; 6,77kW 39. Pr o circuito ixo, clculr corrente x usndo o método de mlhs. 3Ω j5ω 1 x j1 4. Pr o circuito ixo, determinr o fsor corrente que flui trvés do resistor de 8Ω.

18 18 4Ω 6Ω 1 o 4 8Ω j15ω j1 Resp.: 7,616 68,8 A 41. Pr o circuito ixo, determinr os fsores correntes de mlh 1 e, em como os fsores x, 1, e Ω j5ω j4ω o 1 3 1Ω x j1 15x Resp.: 1 = 1,611 97,5 A; = 19,189 99,6 A; x = 6,6 76,5 A; 1 = 73,53 38,45 ; = 85,8 36,1 ; 3 = 13,17 6,3 Método de Nós 4. Pr o circuito ixo, clculr corrente x usndo o método de nós. 3Ω j5ω x j1 43. Pr o circuito ixo, determinr o fsor corrente x usndo o método de nós.

19 19 3Ω j5ω j4ω 15 o 1Ω x 15x j1 44. Pr o circuito ixo, determinr o fsor tensão sore os terminis d impedânci Z = (,5 j15)ω, usndo o método dos nós. 3 o 5 A 1,5Ω j15ω o 3 A 4Ω 18 o 5 A 45. Pr o circuito ixo, determinr s correntes 1,, 3 e x plicndo o método de nós. 1 o A j x c 1Ω j4ω 4Ω 35x 46. Pr o circuito ixo, clculr tensão usndo o método de nós. 1 1Ω 1Ω j j4ω Resp.: 13,57 36.º 47. Clculr 1 e usndo o método de nós.

20 A j4 Ω 5 Ω j4 Ω 48. Clculr 1 e usndo o método de nós A 3 Ω j4 Ω Clculr usndo o método de nós. 1 x 6 Ω 3 j1 Ω 4 Ω x j4 Ω Ω 5. Pr o circuito ixo, plicr o método de nós pr determinr: () corrente fornecid pel fonte de tensão; () tensão sore fonte de corrente. j 4Ω 6Ω 1rms j4ω 1Arms 1Ω

21 1 mpedânci de cesso em função d freqüênci 51. Pr o circuito ixo, clculr impedânci Z. Ω 3 Ω 7 Ω j1 Ω j4 Ω 5. Pr o circuito ixo, clculr Z(jω) pr f = 6 Hz. Ω 3 Ω 1mH 4µ F 53. Pr o circuito ixo, determinr Z ns forms polr e retngulr. j6ω 6Ω j 18Ω 1Ω 3Ω j1ω j9ω 54. Pr o circuito ixo, determinr Z e Y. 3Ω j6ω 4Ω 18Ω 4Ω j j1 55. Pr o circuito ixo, determinr Z n freqüênci de 4kHz.

22 mh 3v,1µ F v 1Ω 56. Pr o circuito ixo, determinr freqüênci ω n qul impedânci Z é purmente resistiv. 1nF 1Ω,5mH 57. Pr o circuito ixo, clculr impedânci de cesso Z. 1 Ω 1 Ω 1 Ω j1 Ω j1 Ω Resp.: 58. Clculr o vlor d indutânci L pr que impedânci de cesso d rede ixo sej purmente resistiv n freqüênci de 6 Hz. 1Ω L 1mF Resp.: 73.6 µh 59. Determinr s condições em que s redes () e () ixo presentm mesm impedânci.

23 3 R1 C1 R C Rede () Rede () 6. Determinr os vlores de R 1 e C 1 pr que s dus redes ixo presentem mesm impedânci n freqüênci de 5krd/s. R1 C1 4Ω 1nF Rede () Rede () 61. Determinr os vlores de R e C pr que s dus redes ixo presentem mesm impedânci n freqüênci de krd/s. 5Ω 15nF R C Rede () Rede () 6. Determinr s condições em que s redes () e () ixo presentm mesm impedânci. R1 L1 R L Rede () Rede () 63. Determinr os vlores de R 1 e L 1 pr que s dus redes ixo presentem mesm impedânci n freqüênci de 1krd/s. R1 L1 4kΩ,H Rede () Rede ()

24 4 64. Determinr os vlores de R e L pr que s dus redes ixo presentem mesm impedânci n freqüênci de 5krd/s. 1kΩ,4H R L Rede () Rede () 65. Pr rede ixo, determinr impedânci vist dos terminis. (Prov PBG.sem.3) 3Ω j4ω 1Ω 3Ω j j3ω 66. Pr o circuito o ldo, determinr impedânci de entrd nos terminis, pr ω = 1 krd/s (Prov G1A1.sem.8): ) ; ) c; c), se os terminis c e d forem ligdos em comum. 5mH 1µ F µ F 5mH c d Resp.: j5 Ω; j75 Ω; j5 Ω 67. Pr o circuito o ldo, determinr impedânci de entrd nos terminis (Prov G1B 1.sem.8): () cd; () c; (c) cd, se os terminis e forem ligdos em comum.

25 5 5mH 1µ F µ F 5mH c d Resp.: j5 Ω; j75 Ω; j5 Ω Digrms Fsoriis 68. Pr o circuito ixo, fzer um esoço do digrm fsoril do fsor pr s seguintes condições: () ωl > 1/ωC; () ωl = 1/ωC e (c) ωl < 1/ωC. v( t) R L i( t) C Resp.: L C R () L C = R R () = MAX L C R (c) 69. Pr o circuito ixo, fzer um esoço do digrm fsoril do fsor pr s seguintes condições: () ωl > 1/ωC; () ωl = 1/ωC e (c) ωl < 1/ωC. v( t) i( t) i1( t) i( t) i 3( t) R L C Resp.: C L R () C L = R R () = MN C L R (c)

26 6 Digrms de Loci (lugr geométrico ds rízes) 7. Considerndo o circuito ixo, fzer um esoço do digrm de loci do fsor, qundo ω vri de té. v( t) R L i( t) C Resp.: Lugr ds rízes ω 8 L C R ω 71. Considerndo o circuito ixo, fzer um esoço do digrm de loci do fsor, qundo ω vri de té. i( t) i1( t) i( t) i 3( t) v ( t ) R L C Resp.: Lugr ds rízes ω 8 C L R ω 7. Pr o circuito ixo, fzer um esoço do digrm de loci do fsor, qundo L vri de té. v( t) R L

27 7 Resp.: Pr L =, = /R; pr L =, =. Pr L vrindo entre e, vle expressão ( R jωl) ( R jωl) R jωl = ( R jωl) R ( ωl) = = x jy Assim, R ωl x = e y = R ( ωl) R ( ωl) Ests equções stisfzem equção que descreve um semicircunferênci, ou sej, x y = ωl ωl Portnto, o lugr geométrico de é um semicircunferênci com diâmetro igul /R, como indic o esoço ixo L L 8 R R R Lugr ds rízes 73. Pr o circuito ixo, fzer um esoço do digrm de loci do fsor, qundo R vri de té. v( t) R L Resp.: Pr R =, = j/ωl; pr R =, =. Como no exercício nterior, expressão pr o fsor corrente é ( R jωl) ( R jωl) R jωl = ( R jωl) R ( ωl) = = x jy qul represent equção de um semicircunferênci. Portnto, o lugr geométrico de é um semicircunferênci com diâmetro igul /ωl, como indic o esoço ixo: R 8 ωl Lugr ds rízes ωl ωl R

28 8 74. Pr o circuito ixo, fzer um esoço do digrm de loci do fsor, qundo R vri de té. v( t) i( t) R C Resp.: O fsor corrente é ddo pel seguinte equção: ( R jx C ) R jx C = ( R jx ) R ( X ) = ( R jx C ) C C = x jy Pr R =, =. Pr R =, o fsor corrente tornse jx = C = C X ( X ) C j Portnto, o lugr geométrico de é um semicircunferênci com diâmetro igul /X C, como indic o esoço ixo: R X C X C X C Lugr ds rízes R Pr o circuito ixo, fzer um esoço do digrm de loci do fsor, qundo X C vri de té. v( t) i( t) R C Resp.: O fsor corrente é ddo pel seguinte equção: ( R jx C ) R jx C = ( R jx ) R ( X ) = ( R jx C ) C C = x jy Pr X C =, =. Pr X C =, o fsor corrente tornse

29 9 = R Portnto, o lugr geométrico de é um semicircunferênci com diâmetro igul /R, como indic o esoço ixo: Lugr ds rízes X C X C 8 R R R 76. Pr o circuito ixo, fzer um esoço do digrm de loci do fsor, qundo freqüênci ω vri de té. v( t) i( t) R 1 i1( t) i ( t) R C Resp.: No circuito ddo, vrir ω equivle vrir C ou X C. Como os três rmos estão em prlelo, tensão é mesm em todos. Assim, o fsor corrente é = ( R jx ) C ( R jx C ) R jx C = ( R jx ) ( ) C R X C Pr X C = (ou sej, ω = ), =. Pr X C = (ou sej, ω = ), o fsor corrente tornse = R Portnto, o lugr geométrico de é um semicircunferênci com diâmetro igul /R, como indic o esoço ixo: ω Lugr ds rízes ω 8 R R R O fsor corrente 1 é constnte e está em fse com tensão d fonte. Como corrente fornecid pel fonte de tensão é som ds correntes nos dois rmos, o lugr geométrico do fsor é como indic o esoço ixo:

30 3 ω Lugr ds rízes ω 8 1 R R R 77. Pr o circuito ixo, fzer um esoço do digrm de loci do fsor, qundo R vri de té. v( t) i( t) R 1 i1( t) i ( t) R C 78. Fzer um esoço do digrm de lócus d impedânci Z e d dmitânci Y d rede ixo, qundo X vrindo de té. R 1 Resp.: Como o vlor de R 1 e constnte, o digrm de lócus de Z é união dos pontos que formm um linh verticl, como indicdo no plno Z ixo. X Z jx Lugr ds rízes R 1 R Plno Z A dmitânci d rede tem seguinte expressão pr X vrindo de té : Y 1 R1 m jx = R ± jx R X = 1 1 = Gm jb De modo nálogo o digrm de loci d corrente, dmitânci represent um semicircunferênci qundo lgum de seus elementos vri. Se X = ±, Y =. Se X =, 1 dmitânci tornse Y =. R 1

31 O digrm de loci de Y pr X vrindo de té. é indicdo no plno Y ixo, o qul 1 represent um círculo centrdo em 1, com rio de R 1 R. 1 B 31 X = 8 ument X C Lugr ds rízes X = 1 1 R 1 R 1 G ument X L Plno Y 79. Fzer um esoço do digrm de lócus d impedânci Z e d dmitânci Y d rede ixo pr R vrindo de té. R jx 1 8. Fzer um esoço do digrm de lócus d impedânci Z e d dmitânci Y d rede ixo pr R vrindo de té. R jx Fzer um esoço o lugr geométrico d dmitânci Y d rede ixo pr X vrindo de té. 1 R 1 R jx 1 jx 8. Considerndo o circuito ixo, mostrr que = ½ 1, ms que pode ser forçdo ficr trsdo de 1 de um ângulo entre e 18 trvés d vrição de R 1.

32 3 F v1( t) R B R v( t) R 1 C vr1( t) D vc( t) A Máxim Trnsferênci de Potênci e Teorems de Thévenin e Norton 83. Pr o circuito ixo, determinr o circuito equivlente de Thévenin do ponto de vist dos terminis de R e impedânci pr qul o circuito fornece máxim potênci. j8ω 1 o j R 84. Pr o circuito ixo, determinr o circuito equivlente de Thévenin do ponto de vist dos terminis. j5ω j 4Ω o o j9ω 5Ω 85. Pr o circuito ixo, determinr tensão v(t) sore o resistor usndo o teorem de Thévenin no domínio d freqüênci.,h,4h cos3t,3h v 86. Pr o circuito ixo, determinr o circuito equivlente de Norton do ponto de vist dos terminis.

33 33 8Ω 1 o j8ω j 8Ω 87. Pr o circuito ixo, determinr o circuito equivlente de Norton do ponto de vist dos terminis. 4Ω 8Ω 1 o Pr o circuito ixo, determinr impedânci vist dos terminis usndo o teorem de Norton. 1 j5ω 1,41 j6ω 89. Determinr máxim potênci médi que pode ser solicitd de um gerdor de corrente lternd, cuj impedânci intern é 15 6 Ω e tensão de circuito erto é 1,5k. 9. Pr rede ixo, determinr (Prov PAG.sem.4): () o vlor de Z que consome máxim potênci; () com o vlor de Z otido no item (), determinr tensão em regime permnente v(t).,h,4h cos3t v Z Resp.: () (,165 j1,75)ω; () v(t) = 1,5.cos(3t 11,3º) 91. Pr o circuito ixo, determinr (Prov G1A1.sem.8): d) O circuito equivlente de Thévenin visto dos terminis ; e) A impedânci em que consome máxim potênci; f) A potênci médi consumid n situção do item ().

34 34 j4 Ω 1 1 Ω 1 Ω x 6 Ω 1 x Equiv. Thévenin Resp.: (784j88); (6,688j41,4)Ω;6,77kW 9. Pr o circuito ixo, determinr (Prov G1A1.sem.8): g) O circuito equivlente de Thévenin visto dos terminis ; h) A impedânci em que consome máxim potênci; i) A potênci médi consumid n situção do item (). j4 Ω 1 Ω 1 Ω x 6 Ω 1 x Equiv. Thévenin Princípio d superposição 93. Pr o circuito ixo, determinr corrente i(t) plicndo superposição. 5 sen( t ) A 6Ω 6mH i o cos(3 t 3 ) 94. Pr o circuito ixo, determinr o fsor corrente plicndo superposição. j8ω j4ω j8ω o o Pr o circuito ixo, determinr o fsor corrente plicndo superposição.

35 35 j8ω 8Ω o 16 o 8 A j4ω 96. Clculr n rede ixo usndo () nálise de mlhs, () superposição e (c) teorem de Thévenin. Resp.: 5,4 4,57º j1ω j 1 A 4Ω Potênci complex e ftor de potênci 97. Pr o circuito ixo, determinr (Prov PBG.sem.3): () O ftor de potênci tul d crg totl; () O módulo d corrente tul solicitd pel crg totl; (c) Os vlores tuis ds potêncis tiv, retiv e prente; (d) A potênci retiv que deve ser crescentd o circuito pr corrigir o ftor de potênci pr,9; (e) O módulo d nov corrente. rms 96,8Ω 6Ω j6ω 98. Pr o circuito ixo, determinr: () corrente; () o fsor potênci complex; (c) o ftor de potênci d rede; (d) potênci tiv; (e) potênci retiv; (f) potênci prente. 14Ω 5mH /6Hz Resp.: (5,31 j7,43) A; (1167,64 j1635,16) A;,58; 1167,64 W; 1635,16 r; 9,6 A 99. Um rede limentd com tensão de 1 possui impedânci Z = 3 Ω. Determinr: () corrente; () o fsor potênci complex; (c) o ftor de potênci d rede; (d) potênci tiv;

36 (e) potênci retiv; (f) potênci prente; (g) potênci retiv que deve ser crescentd em prlelo à crg pr elevr o ftor de potênci pr,9; (h) cpcitânci d crg retiv crescentd o circuito. 1. Um motor de 1HP, com ftor de potênci igul,63 trsdo e com eficiênci de 93% é limentdo por um fonte de /6Hz. Determinr: () o triângulo de potêncis pr crg; () cpcitânci requerid pr tornr o ftor de potênci unitário; (c) redução de corrente otid com correção do ftor de potênci do item (); (d) cpcitânci requerid pr elevr o ftor de potênci pr,9; (e) redução de corrente otid com correção do ftor de potênci do item (d); (f) esoçr os circuitos equivlentes pr s qutro situções descrits. 11. Pr o circuito ixo, considere todos os fsores de tensão e corrente como vlores eficzes e = rms. Dds s dus crgs, determinr (Prov G1A1.sem.8): ) O ftor de potênci e potênci prente do grupo de crgs; ) O módulo d corrente de linh; c) A potênci médi dissipd n linh, ou sej, em (,5j,5) Ω; d) A potênci retiv requerid pr corrigir o fp do grupo pr,9; e) A potênci médi dissipd n linh com o fp do grupo corrigido pr,9 ind. 36,5 Ω j,5 Ω 8kW,7 ind. ka,6 ind. 1. Pr o circuito o ldo, considere todos os fsores de tensão e corrente como vlores eficzes e = rms. Dds s dus crgs, determinr (Prov G1B1.sem.8): ) O ftor de potênci e potênci prente do grupo de crgs ) O módulo d corrente de linh c) A potênci médi dissipd n linh, ou sej, em (,5j,5) Ω; d) A potênci retiv requerid pr corrigir o fp do grupo pr,9 ind.; e) A potênci médi dissipd n linh com o fp do grupo corrigido pr,9 ind.,5 Ω j,5 Ω 8kW,6 ind. ka,7 ind. 13. Pr o circuito ixo, determinr: () o fsor corrente e potênci complex fornecid pel fonte de tensão; () o fsor tensão sore fonte de corrente.

37 37 j 4Ω 6Ω 1 j4ω 1 A 1Ω 14. No circuito ixo, clculr potênci medi fornecid por cd fonte. j1ω 1 j1ω 1Ω 3 A Resp.: 8,66 W e 5 W 15. Pr o circuito ixo, clculr impedânci que sorve máxim potênci e o vlor d potênci máxim. 1Ω j1ω 1Ω 1 6 Z L Resp.: (,5 j,5)ω e 9 W 16. Pr figur ixo, clculr o vlor eficz d form de ond. Resp.: 3.87 rms 17. No circuito ixo, clculr tensão d fonte. F,1Ω j,5ω 6 kw fp =,85 trsd o 4 rms 4 kw fp =,78 trsdo

38 38 Resp.: 46,17 3, rms. 18. Um unidde fril limentd por um linh de 4rms, 6 Hz, consome 75 kw com um ftor de potênci de,7 em trso. Clculr o vlor do cpcitor que colocdo em prlelo com crg lter o ftor de potênci pr,9 em trso. Resp.: µf

39 ndutânci Mútu e Trnsformdores 39 Polridde d tensão induzid (regr do ponto) 19. ndicr o sentido do fluxo mgnético produzido por um corrente senoidl entrndo em cd um dos terminis ssinldos (,, c e d) do circuito ixo. () φ( t ) () φ( t) (c) φ( t) i i i 11. No circuito mgnético ixo, determinr o sentido do fluxo mgnético produzido por um corrente vriável i(t) entrndo no () terminl 1, () terminl, (c) terminl 3 e (d) terminl 4. φ( t) Colocr os pontos que estão fltndo nos circuitos mgnéticos ixo: 4 () () (c) φ( t) φ( t) φ( t)

40 4 11. Pr o circuito ixo, escrever expressão de v (t). i1( t) M i1( t) M v1( t) _ L1 L v( t) _ v1( t) _ L1 L v( t) _ () () i1( t) M i1( t) M v1( t) _ L1 L v( t) _ v1( t) _ L1 L v( t) _ (c) (d) M i( t) M i( t) v1 ( t) _ L1 L v( t) _ v1 ( t) _ L1 L v( t) _ Resp.: () (e) di1 v ( t) = M ; (c) v dt di1 ( t = M ; (e) dt ) v ( t = M 1 ) di dt (f) 113. Determinr expressão d tensão induzid v (t) considerndo polridde indicd pr cd um dos circuitos ixo. i1( t) M i( t) i1( t) M i( t) v1( t) _ v ( t) _ L1 L ZL v1( t) _ v ( t) _ L1 L ZL Resp.: () () di v ( t) = L M dt di1 dt () Trnsformdor Liner (com núcleo de r) 114. A corrente no primário de um trnsformdor com núcleo de r é, A e no secundário,,1 A. Ests correntes produzem os seguintes fluxos mgnéticos: φ L1 = 4 µw, φ L = 3 µw, φ m = 1 µw. Clculr φ m1, L 1, L, M e k, sendo que N 1 = 3 e N = 5. Resp.: 1 µw, 7,8 µh, µh, 3 µh e,4.

41 Clculr mior indutânci mútu possível pr um trnsformdor liner que tem utoindutâncis de 18 mh e 8 mh. Resp.:, Pr cd um dos seguintes itens, determinr quntidde que está fltndo, ou sej, L 1, L, M ou k: () L 1 = 13 mh, L = mh, M = 64,5 mh () L 1 =,6 µh, L = 3 µh, k =,4 (c) L 1 = 35 mh, M = 1 mh, k =,3 Resp.:,4, 1,1 µh, 317 mh 117. Um tensão de 7 é induzid no enrolmento secundário em circuito erto de um trnsformdor liner qundo circul um corrente de,3 A no enrolmento primário, o qul é limentdo com um tensão de 1, 6 Hz. Determinr indutânci mútu e utoindutânci do primário. Resp.: 61,9 mh, 16 mh 118. O secundário em curto circuito de um trnsformdor liner tem um corrente de 9 ma, qundo um tensão de 5, 4 Hz, plicd no enrolmento primário produz neste um corrente de 15 ma. Determinr s utoindutâncis, sendo que indutânci mútu é 11 mh. Resp.: 199 mh, 183 mh 119. Um trnsformdor liner com secundário em curtocircuito tem indutâncis de L1 =,6 H, L =,4 H e M =, H. Determinr s coprrentes do primário e secundário qundo um tensão de 5, 6 Hz, é plicd o primário. Resp.: 65 ma, 133 ma 1. Um trnsformdor tem utoindutâncis de 1 H e,6 H. Um conexão em série dos enrolmentos result em um indutânci totl de 1 H. Determinr o coeficiente de coplmento. Resp.:, Clculr n rede ixo. 1 A 1Ω j j1ω j j1ω Solução: O primeiro psso n solução deste prolem é plicr trnsformção de fontes n seção de rede que contém fonte de corrente de 1 A em prlelo com o resistor de 1Ω pr um fonte de tensão de 1 em série com o resistor de 1Ω, como mostr figur ixo, já com os resistores de 1Ω e ssocidos em série. 1 3Ω j1ω j1ω 1 1 j j 1Ω 1Ω

42 4 As equções pr est rede são = (1 j1) = As tensões induzids 1 e incluem os efeitos dos cmpos mgnéticos produzidos por 1 e trvés ds indutâncis própris de j e d indutânci mútu de j1ω. Explicitndo estes efeitos de indução mgnétic, s equções cim tornmse (3 j) 1 j1 = 1 j1 1 (1 j3) = Resolvendo o sistem de equções, otémse corrente, qul é necessári pr clculr tensão, ou sej, =,894 1,3º A E, finlmente, = 1 =,894 1,3º 1. Determinr impedânci vist pel fonte no circuito ixo. j1ω 1Ω 1 3Ω j1ω j4ω j j 1Ω j Solução: A impedânci totl d seção de rede do ldo direito é determind prtir d figur ixo: Z L j 1Ω j Assim, Z L ( 1 j) //( j) = ( 6 )Ω = j A rede originl é redesenhd, ficndo como mostr figur ixo:

43 43 1Ω 1 j1ω j1ω 1 j4ω j 3Ω 6Ω j Aplicndo LK, otêmse s seguintes equções: (4 j3) 1 j1 = 1 j1 1 6 = solndo n segund equção e sustituindo o resultdo n primeir equção, otémse 1 4 j 3 1 = 1 6 Portnto, impedânci vist pel fonte, Z F, pode ser clculd como segue: Z F 1 = = ( 4,167 j3)ω Pr o circuito ixo, clculr i(t) pr ω = 1 rd/s. j1 1 j3ω j4ω (4j1) Ω Resp.: 13 sen(1t 73,1 ) 14. Pr o circuito ixo, clculr i(t) pr ω = rd/s. 3 Ω j4 Ω j3 Ω 1 5 j4 Ω j1 Ω Resp.: 4 sen(t 76,6 ) A 6 Ω 15. Pr o circuito ixo, pedese: () o fsor tensão ; () trocr o ponto de um dos enrolmentos e clculr o fsor novmente; (c) colocr um curtocircuito nos terminis e determinr corrente de curtocircuito com sentido de pr ;

44 44 (d) determinr impedânci que consome máxim potênci; (e) o vlor d potênci máxim consumid pel impedânci do item (d) Ω j4 Ω Resp.: () (61,7 j78,69); () (37, j47,); (c) (1,84 j,14)a; (d) (3, j45,1)ω; (e) 83,3 W j1 Ω j5 Ω 16. Pr o circuito ixo, determinr s correntes do primário e do secundário. j8ω _ rms j j9ω j7ω j4ω 5Ω j3ω 17. Pr o circuito ixo, clculr s correntes do primário e do secundário. j8ω j j4ω 1 j9ω j7ω Pr o circuito ixo, determinr s potêncis prente, tiv e retiv e o ftor de potênci d crg Z L. j8ω 3Ω rms j3ω j j9ω j7ω j 5Ω j3ω ZL 19. Um trnsformdor liner tem indutânci mútu de 8 mh e um utoindutânci do secundário de mh. Um resistor de kω e um indutor de 1 mh são conectdos em série com o enrolmento do secundário. Determinr impedânci do secundário refletid pr o primário pr ω = 1 krd/s. Resp.: (98,76 j148,88) Ω

45 13. Pr o circuito ixo, determinr: () utoimpedânci do primário; () utoimpedânci do secundário; (c) impedânci refletid pr o primário; (d) impedânci vist dos terminis ; (e) o fsor corrente do primário; (f) o fsor corrente do secundário; (g) o fsor tensão ; (h) potênci tiv fornecid à crg Z = ( 6 j15)ω ; (i) potênci médi fornecid pel fonte de tensão; (j) o rendimento do sistem de suprimento d crg Z. j 45 rms 8Ω j1ω 13Ω c 1 j4ω j5ω d j46ω 131. Pr o circuito ixo, determinr (Prov PBG.sem.3): () O fsor ; () O ftor de coplmento; (c) A impedânci Z;. (d) A impedânci Z L que sorve máxim potênci do restnte do circuito; (e) A máxim potênci fornecid à crg Z L otid no item nterior. j18ω 1rms j4ω j18ω j7 4Ω j6ω ZL j8ω 13. Pr o circuito ixo, determinr os seguintes ddos referentes à crg Z: () potênci complex; () potênci prente; (c) potênci tiv; (d) potênci retiv; (e) o ftor de potênci. j rms 8Ω j1ω 13Ω j4ω j5ω Z = (5 j46)ω c d 133. Pr o circuito ixo, determinr impedânci Z pr qul o circuito restnte fornece máxim potênci. j rms 8Ω j1ω 13Ω j4ω j5ω c d Z

46 Pr o circuito ixo, determinr impedânci Z L pr qul o circuito restnte fornece máxim potênci e o vlor d máxim potênci. j8ω 3Ω j1ω j5ω rms j9ω j7ω ZL Trnsformdor del (com núcleo de ferro) e csmento de impedâncis 135. Clculr relção de trnsformção de um trnsformdor com 689 espirs no enrolmento primário e 36 espirs no secundário Clculr relção de trnsformção de um trnsformdor com um corrente de 6,5 A no enrolmento primário e 5 A no secundário Clculr relção de trnsformção de um trnsformdor com tensão de 147 no enrolmento primário e 4 espirs no secundário Clculr corrente máxim no enrolmento primário e no enrolmento secundário de um trnsformdor com tensões nominis no primário e secundário de 5/4, respectivmente, com potênci nominl de 5 ka Clculr corrente máxim no enrolmento primário e no enrolmento secundário de um trnsformdor com tensões nominis no primário e secundário de 7/1, respectivmente, com potênci nominl de 5 ka. 14. Clculr potênci nominl (em ka) e corrente no secundário de um trnsformdor de 15/4, cuj corrente no enrolmento primário é 5 A Clculr potênci nominl (em ka) e corrente no secundário de um trnsformdor de 13/48, cuj corrente no enrolmento primário é 15 A. 14. Um trnsformdor com núcleo de ferro tem 4 espirs no enrolmento primário e 1 espirs no secundário. Se tensão do primário é 4 rms, 6 Hz, clculr tensão no secundário e o vlor de pico do fluxo mgnético Um trnsformdor com núcleo de ferro tem 389 espirs no enrolmento primário e 6 espirs no secundário. Se tensão do primário é 138 rms, 6 Hz, clculr tensão no secundário e o vlor de pico do fluxo mgnético Se um enrolmento de um trnsformdor com núcleo de ferro tem 7 espirs, tensão eficz de 1 e vlor de pico do fluxo mgnético de mw, clculr freqüênci d fonte de limentção. Clculr freqüênci d fonte de limentção se houvessem 5 espirs no enrolmento.

47 145. O trnsformdor de núcleo de ferro possui 16 volts no enrolmento primário e 54 espirs no secundário. Clculr qued de tensão em um resistênci R ligd no secundário qundo corrente vriável no primário tingir o vlor de,1 A O trnsformdor de núcleo de ferro possui 15 volts no enrolmento primário e 5 espirs no secundário. Clculr qued de tensão em um resistênci R ligd no secundário qundo corrente vriável no primário tingir o vlor de 5 A O estágio de síd de um sistem de áudio tem resistênci de síd de kω. Um trnsformdor fz o csmento de resistêncis com um microfone de 6 Ω. Clculr o número de espirs do enrolmento secundário, se o enrolmento primário deverá ter 4 volts Clculr relção de trnsformção de um trnsformdor que conect um microfone de 4 Ω em um sistem de áudio com resistênci de síd de 16 Ω Determinr 1,, 1 e no circuito ixo. 1Ω 1: 3Ω del Solução: Aplicndo LKT, otêmse s seguintes equções: 1 ( 1) 1 = 1 ( 3) = Como se trt de um trnsformdor idel, relção de trnsformção produz s seguintes equções: 1 1 = 1 É importnte oservr que tensão 1 é o produto d relção de trnsformção e d tensão com sinl negtivo porque os pontos estão em terminis opostos. Como s dus correntes estão sindo dos pontos, é o produto d relção de trnsformção e d corrente 1 com sinl negtivo. Cominndo os dois conjuntos de equções, otémse o seguinte sistem de equções: Resolvendo ests equções otémse 1 = 1.14 ºA 1 = = 1 = = 47

48 48 Portnto, =, A = Considerndo o circuito ixo, determinr s dus redes otids sustituindo () o primário e o trnsformdor idel por um circuito equivlente e () o trnsformdor idel e o secundário por um circuito equivlente. 1Ω 1: 3Ω del Solução: As equções do trnsformdor idel são 1 1 = = 1 1 A equção pr impedânci refletid pr o secundário é Z P N = N 1 Z S = 1 Z 4 S As três equções são necessáris pr desenvolver os circuitos equivlentes. () Cd impedânci refletid é (1/) vezes impedânci originl. A tensão d fonte é refletid pr o secundário multiplicndo por 1/ e invertendo polridde, já que os pontos estão colocdos em terminis opostos. Assim, Z SR = 4(1) = 4Ω e R = (1 ) = 18 Portnto, o circuito equivlente neste cso é mostrdo n figur ixo. 4Ω 3Ω () Novmente, usndo s equções do trnsformdor idel refletids pr o secundário otém o seguinte circuito equivlente (o estudnte deve conferir s polriddes):

49 49 1Ω 3/4Ω Pr o circuito ixo, clculr s correntes i 1 (t), i (t) e i 3 (t). 5 Ω 3:1 1: 3 Ω sen( t) i1 i i3 8 Ω Resp.: 4 sen(t) A, 1 sen(t) A, 6 sen(t) A 15. Pr o circuito ixo, clculr s correntes i 1 (t), i (t) e i 3 (t). 4 Ω :1 3:1 6 H 48 sen(3 t) i1 i i3 Ω Resp.: 4 sen(3t 36,9 ) A, 8 sen(3t 36,9 ) A, 4 sen(3t 36,9 ) A 153. Pr o circuito ixo, clculr: () o vlor de R pr o consumo máximo de potênci; () o vlor de pr R igul 3 Ω; (c) Determinr se conexão de um condutor entre os terminis e d irá lterr estes resultdos. 6:3 3 Ω c _ 1 R Núcleo de ferro d 154. Pr o circuito ixo, clculr o vlor de e d retânci indutiv X pr que impedânci de crg consum máxim potênci e o vlor d potênci máxim. 5 53,13 Ω :1 1,44 53,13 Ω jx

50 155. Pr o circuito ixo, clculr o vlor de e d retânci cpcitiv X pr que impedânci de crg consum máxim potênci e o vlor d potênci máxim. :1 5 4 Ω jx 4 Ω 5 Autotrnsformdor 156. Comprr s correntes dos enrolmentos de um trnsformdor de dois enrolmentos, 77/1, 5 ka, plen crg e um utotrnsformdor de mesm potênci. Resp.: A figur ixo mostr situção do trnsformdor convencionl. O enrolmento de mior tensão pode conduzir 5/77=18,55A (~181A) e o enrolmento de menor tensão, 5/1=416,67A (~417A). Um enrolmento conduz corrente d fonte e o outro d crg. 77 _ 181A 1 417A ZL No utotrnsformdor, prte do enrolmento deve conduzir pens diferenç entre corrente d fonte e d crg (417181=36A), como mostr figur ixo. Conseqüentemente, condutores menores podem ser usdos no utotrnsformdor, resultndo em menor volume, mis leve e economi de core. A crg solicit 5 ka, os quis são fornecidos pel fonte. 77 _ 181A 181A 36A 157 _ 417A 1 417A _ ZL 157. Um trnsformdor convencionl de 14/77, 5 ka, é conectdo como um utotrnsformdor conforme figur ixo. Determinr tx de potênci que pode ser fornecid pr crg. Resp. 3 ka 1747 _ 18,5A 77 _ 184,51A 4,1A 147 ZL 18,5A 184,51A _

51 158. O mesmo trnsformdor convencionl do prolem nterior, de 14/77, 5 ka, é conectdo como um utotrnsformdor conforme figur ixo. Determinr tx de potênci que pode ser fornecid pr crg _ 4, 1A 18,5A 4, 1A 147 _ 184,51A ,51A _ ZL Resp. 51,1 ka 159. Clculr 1, e 3 pr o circuito ixo _ 1 _ 1 Ω Resp.: 1, A,,5 A e,68 A 16. Determinr relção de trnsformção de um trnsformdor de núcleo de ferro de dois enrolmentos que pode ser conectdo como um utotrnsformdor de 77/1. Resp.: 1,31 ou,764

52 Circuitos polifásicos 5 Crgs equilirds conectds em Y e em 161. Em um sistem trifásico YY lncedo, tensão de fse d fonte é n = 1 4 o rms com seqüênci de fse c. A impedânci por fse é (1 j8)ω. Se impedânci de linh por fse é (,6 j,4)ω, clculr s correntes de linh e s tensões d crg. Solução: Como se trt de um sistem lncedo, pode se considerr pens um fse do sistem. As outrs dus correntes terão mesm mgnitude, porém, estrão defsds de 1 o e 4 o, respectivmente. O circuito d fse é mostrdo n figur ixo.,6ω j,4ω A 1 4 rms n A 1Ω j8ω N A corrente de linh pr fse é clculd como segue: 1 4 n A = = = 8,87 1, 6 Zlinh Z L 1,6 j8,4 A rms Então, tensão d crg pr est fse é AN A L ( 8,87 1,6 ) ( 1 j8) = 113,59 4, rms = Z = 6 Os resultdos pr s fses restntes são B = A rms,e BN = rms cc = A rms e CN = rms. 16. Um sistem YY liment um crg trifásic equilird com seqüênci de fse c. Se tensão de fse do gerdor é n = 44 4 rms, tensão de fse d crg é AN = rms e impedânci n linh é (1,5 j1,)ω, clculr impedânci d crg. Solução: O circuito monofásico equivlente é mostrdo ixo: 1,5Ω j1ω A A n n Z L N AN

53 Empregndo, por exemplo, regr do divisor de tensão, tensão de fse d crg pode ser escrit como 53 AN = n Z L Z L Z linh solndo Z L, otémse Z L Z = n AN linh 1 Outr possiilidde seri clculr Z L usndo corrente de linh, ou sej, AN Z L = A A corrente de linh pode ser clculd como segue: 1,5 j1 n AN A = = 17,15 19, 6 A rms Assim, otémse o vlor de Z L : Z L = 3,91 19,4ºΩ 163. Em um sistem trifásico Y, tensão de fse d fonte é n = 1 3 rms com seqüênci de fse c. As impedâncis por fse d linh e d crg são, respectivmente, (,6 j,4)ω e (4 j1)ω. Clculr s correntes de fse n crg trifásic. Solução: Como o sistem todo é equilirdo, um circuito equivlente monofásico pode ser utilizdo. Pr isso, crg em ligção deve ser convertid pr ligção Y, ou sej, Z Y Z = = (8 j4) Ω 3 O circuito equivlente é mostrdo n figur ixo.,6ω j,4ω A 1 3 rms A corrente de linh pr este circuito é n A 8Ω j4ω N

54 = = 1,4, 9 8,6 j4,4 A A rms Est é corrente de linh n fse d crg Y equivlente. Est corrente deve ser convertid pr corrente n fse AB d ligção em d seguinte form: ( θ 3 ) = 7,17 3, Arms A AB = 9 A 3 As correntes ns fses restntes (n crg Z ) são BC = 7,17 87,1ºA rms e CA = 7,17 7,1ºA rms Um fonte de tensão trifásic liment dus crgs trifásics: crg 1 possui 3 ka com ftor de potênci de, 85 trsdo e crg, ka com ftor de potênci de,6 trsdo. A tensão de linh é 8 rms 6Hz. Determinr corrente de linh e o ftor de potênci comindo (totl) d crg. Solução: Os ângulos de fse ds dus crgs trifásics são φ = rccos(,85) = 31, 79 e φ = rccos(,6) = 53, 13 L1 A potênci complex trifásic n crg é L ( 3 31,79 53,13 ) k = 51,15 39, ka S L 3φ = S L3φ 1 S L3φ = 97 Totl Como mgnitude d potênci trifásic é 51,15k = = 141, L A rms S L3φ = 3 L L, corrente de linh é O ftor de potênci totl d crg é fp LTotl = cos(39.97º) =,766 trsdo 165. Um fonte de tensão trifásic em Y com tensão de fse n = º rms com seqüênci de fse positiv supre potênci pr um crg conectd em Y, qul consome 36 kw de potênci com ftor de potênci de,75 trsdo em cd fse. Três cpcitores, cd um com um impedânci de j,ω, são conectdos em prlelo com crg originl em um configurção em Y. Determinr o ftor de potênci totl visto pel fonte. Solução: A situção originl, ntes de dicionr os cpcitores, é P ntes = 36 kw θ ntes = rccos(,75) = 41,41º Q ntes = P ntes tn(θ ntes ) = 36. tn(41,41º) = Ar Portnto, potênci complex em cd fse é S ntes = (36 j31.749) ka Adicionndo os cpcitores, potênci tiv permnence inlterd, ou sej,

55 55 P depois = P ntes = 36 kw A potênci retiv nterior recee dição d potênci retiv do cpcitor (Q C ), ou sej, Q depois = Q ntes Q C A potênci retiv fornecid pelo cpcitor é clculd como segue, em que ~e o vlor eficz d tensão: Q = Z ( ) = = 4, C C Portnto, kar Q depois = (31,79 4,)kAr = 7,59 kar Assim, S depois = P depois jq depois = (36 j7,59)ka = 36,79 11,9º ka e fp depois = cos(θ depois ) = cos(11,9º) =,98 trsdo 166. Um crg trifásic equilird, com ligção em Y, é limentd por um gerdor trifásico em Y com neutro. A tensão de linh é com seqüênci de fse CBA e crg é Z = 5 5 Ω. Determinr s correntes de linh e corrente no neutro Um crg trifásic equilird, com ligção em, é limentd por um gerdor trifásico em Y sem neutro. A tensão de linh é 117 com seqüênci de fse ABC e crg é Z = Ω. Determinr s correntes de linh Pr um sistem equilirdo com gerdor trifásico conectdo em estrel e crg conectd tmém em estrel, com tensão de linh de 44 e três crgs resistivs iguis de 1 Ω, determinr os módulos () d tensão de fse, () d corrente de fse e (c) d corrente de linh. Resp.: 54,,54A e,54a 169. Pr um sistem equilirdo com gerdor trifásico e crg conectdos em triângulo, com tensão de linh de 44 e três crgs resistivs iguis de 1 Ω, determinr os módulos () d tensão de fse, () d corrente de fse e (c) d corrente de linh. Resp.: 44, 4,4A e 7,6A 17. Um gerdor trifásico conectdo em estrel com um tensão de fse de 8 é conectdo um crg equilird conectd em triângulo, consistindo de três resistores de 1 Ω. Determinr: () tensão de linh, () tensão sore o resistor de crg e (c) corrente trvés de um resistor de crg. Resp.: 138,6, 138,6 e 1,16A 171. Clculr potênci consumid por um crg conectd em estrel formd por três resistores de 1 Ω, qundo tensão de linh d limentção trifásic é 44.

56 56 Resp.: 1936W 17. Clculr potênci consumid por um crg equilird conectd em triângulo, limentd por um fonte trifásic equilird com tensão de linh de 44. A crg possui um impedânci de 5 Ω por fse e um ftor de potênci de,8 indutivo. Resp.: 993W 173. Um motor trifásico é limentdo por um fonte trifásic com tensão de linh de 415 e corrente de linh de 3,A. O motor represent um crg equilird com ftor de potênci igul,8 indutivo. Resp.: 175W 174. Um motor trifãsico com um síd de 1, kw é conectdo um limentção trifásic com tensão de linh de 415 e corrente de linh de,5a. O motor é um crg equilird com ftor de potênci igul,8 indutivo. Clculr eficiênci do motor so ests condições opercionis Um motor trifásico com um síd de 3 kw e um eficiênci de 95% represent um crg equilird conectd em triângulo com um ftor de potênci de,9 indutivo. Clculr corrente em cd enrolmento do motor pr um limentção com tensão de linh de 415. Crgs desequilirds conectds em Y e em 176. Um crg trifásic 4 fios (com ligção em Y), não equilird, é limentd por um gerdor trifásico em Y com neutro. A tensão de linh é com seqüênci de fse CBA e s crgs são Z = 5 ºΩ, Z = 46 5ºΩ e Zc = 5 65ºΩ. Determinr s correntes de linh e corrente no neutro Um gerdor trifásico em Y três condutores liment um crg em Y desequilird, com impedâncis Z = 5 ºΩ, Z = 46 5ºΩ e Zc = 5 65ºΩ. A tensão de linh é com seqüênci de fse CBA. Determinr tensão de deslocmento do neutro Um gerdor trifásico em Y três condutores liment um crg em desequilird, com impedâncis Z = 5 ºΩ, Z = 46 5ºΩ e Zc = 5 65ºΩ. A tensão de linh é com seqüênci de fse CBA. Determinr s correntes de linh e de fse n crg Um crg trifásic qutro fios (conectd em estrel) possui s seguintes impedâncis: Z = 1 3ºΩ, Z = 15 6ºΩ e Zc = 45ºΩ. Sendo que tensão de linh é 415, clculr: () corrente no condutor neutro, () potênci tiv trifásic, (c) potênci retiv trifásic, (d) potênci prente trifásic e (e) o ftor de potênci d crg trifásic. Resp.: () 11, 17ºA, () 8944W 18. Um crg trifásic conectd em triângulo possui s seguintes impedâncis: Z = 3ºΩ, Zc = 1 6ºΩ e Zc = 3ºΩ. Sendo que tensão de linh é 4, clculr: () s correntes de linh, () s correntes de fse, (c) potênci médi em cd fse, (d) potênci retiv em cd fse, (e) potênci prente em cd fse, (f) o ftor de potênci d crg trifásic e (g) o fsor potênci complex trifásic. Resp.: () 3ºA, 4 18ºA e 7ºA, () 34,6 6ºA, 58, 17ºA e 44,7 6,6ºA 181. Um crg trifásic qutro fios (conectd em estrel) possui s seguintes impedâncis: Z = 1 3ºΩ, Z = 15 45ºΩ e Zc = 6ºΩ. Sendo que tensão de linh é 44, clculr: ()

57 corrente no condutor neutro, () potênci tiv trifásic, (c) potênci retiv trifásic, (d) potênci prente trifásic e (e) o ftor de potênci d crg trifásic. 18. Um crg trifásic conectd em triângulo possui s seguintes impedâncis: Z = 1 45ºΩ, Zc = 15 ºΩ e Zc = 1 3ºΩ. Sendo que tensão de linh é 3, clculr: () s correntes de linh, () s correntes de fse, (c) potênci médi em cd fse, (d) potênci retiv em cd fse, (e) potênci prente em cd fse, (f) o ftor de potênci d crg trifásic e (g) o fsor potênci complex trifásic. 57 Medição de potênci trifásic 183. A medição de potêncis trifásics pelo método dos dois Wttímetros indicou os seguintes vlores: P 1 = 6W e P = 7W. Determinr potênci tiv trifásic e o ftor de potênci Dois wttímetros são utilizdos pr medir potênci consumid por um sistem de crgs equilirds três fios (conexão em Y). Os instrumentos indicm leiturs de 5 kw e 3 kw. Clculr potênci totl consumid e o ftor de potênci. Resp.: kw e, Dois wttímetros são utilizdos pr medir potênci consumid por um sistem de crgs equilirds três fios (conexão em Y). Os instrumentos indicm leiturs de 8 kw e 3 kw. Clculr potênci totl consumid e o ftor de potênci A medição de potêncis trifásics pelo método dos dois Wttímetros indicou os seguintes vlores: P 1 = 669W e P = 3693W. Determinr potênci tiv trifásic e o ftor de potênci. Resp.: 1383 W 187. A medição de potêncis trifásics pelo método dos dois Wttímetros indicou os seguintes vlores: P 1 = 5185W e P = 33W. Determinr potênci tiv trifásic e o ftor de potênci. Resp.: 7488 W 188. Em um sistem Y em equilírio, dois wttímetros estão conectdos pr medir potênci totl. A leitur dos wttímetros indicou os seguintes vlores: P 1 = 1W e P = 48W. Determinr potênci tiv trifásic, o ftor de potênci e impedânci d crg delt, sendo que tensão de linh é 8 rms. Resp.: 168 W,,8 em trso e (49,63 j36,84)ω 189. Dois wttímetros são usdos pr medir potênci totl n crg de um sistem YY em equilírio, em que tensão de linh é 8 rms. A leitur dos wttímetros indicou os seguintes vlores: P 1 = 16W e P = 84W. Determinr impedânci por fse d crg. Resp.: (13,71 j7,4)ω 19. Dois wttímetros são usdos pr medir potênci totl n crg de um sistem YY em equilírio, em que tensão de linh é 8 rms. A leitur dos wttímetros indicou os seguintes vlores: P 1 = 18W e P = 54W. Determinr o ftor de potênci d crg e impedânci por fse d crg. Resp.:,3 trsdo e (3,7 j13,7)ω

58 PRÁTCAS DE LABORATÓRO 58 Lortório Grndezs fsoriis. EXPERMENTO 1 Montr o circuito ixo. 1sen377t 1Ω 1,H ZL () Supondo que crg Z L sej desconhecid, medir tensão sore o resistor de 1Ω e sore os terminis d crg Z L. () Sendo que crg Z L é de nturez indutiv, clculr os vlores de R L e de X L. MATERAL Trnsformdor 11v;1 (7) Multímetro (7) Protoord (7) lictes (7) fios Resistores Ω ±5% (7) 1 Ω ±5% (7) Cpcitores 1, µf (7), µf (7) ndutor 1, H (7)

59 59 Lortório Ftor de potênci. EXPERMENTO 1 Montr o circuito ixo. 1sen377t 1Ω 1,H ZL () Supondo que crg ZL represent um motor elétrico operndo plen crg e que resistênci de 1Ω sej resistênci d linh, clculr o ftor de potênci do motor elétrico. () Determinr potenci retiv e o vlor do cpcitor requerido pr corrigir o ftor de potênci de Z L pr,9. (c) Selecionr cpcitores de modo formr cpcitânci clculd no item nterior e ligr o rrnjo de cpcitores em prlelo com Z L. Determinr o módulo d nov corrente trvés d medição d tensão sore o resistor de 1Ω. MATERAL Trnsformdor 11v;1 (7) Multímetro (7) Protoord (7) lictes (7) fios Resistores Ω ±5% (7) 1 Ω ±5% (7) Cpcitores 1, µf (7), µf (7) ndutor 1, H (7)

60 6 Lortório Solução de sistems de equções lineres com o MATLAB Teori O MATLAB ceit o uso direto de números complexos n form retngulr, reconhecendo i e j como número imginário. Por exemplo, se for digitdo z=3j seguido de ENTER, ocorre o seguinte ( versão qui utilizd é MATLAB Student 5.3 ): EDU» z=3j z =. 3.i EDU» Outro exemplo consiste em digitr z1=34i seguido de ENTER, ou sej: EDU» z1=34i z1 = 3. 4.i EDU» O MATLAB trlh com ângulo em rdinos. Assim, pr escrever o número complexo z = 3 n form retngulr, procedese como segue: EDU» %conversão do ângulo em grus pr rdinos: EDU» r=3*pi/18 r =.536 EDU» %definir o módulo: EDU» M= M = EDU» %prte rel: EDU» =M*cos(r) = EDU» %prte imginári: EDU» =M*sin(r) = 1. EDU» %o número n form i: EDU» z=*j z = i EDU» Pr oterse s prtes rel () e imginári () do número complexo z = (17,35 j1,) = ( j), fzse o seguinte (qui, supõese que z ind estej n memóri do progrm):

61 61 EDU» %prte rel de z: EDU» =rel(z) = EDU» %prte imginári de z: EDU» =img(z) = 1. EDU» Pr clculr o módulo de z e o seu rgumento (ângulo), fzse o seguinte: EDU» %cálculo do módulo de z: EDU» m=s(z) m = EDU» %cálculo do ângulo de z em rdinos: EDU» r=ngle(z) r =.536 EDU» %cálculo do ângulo r em grus: EDU» r=r*18/pi r = 3. EDU» EXEMPLO DE APLCAÇÃO Como exemplo de plicção, o circuito ixo será nlisdo empregndo o método de mlhs e o sistem de equções resultnte será resolvido no MATLAB. j8ω j j4ω 1 1 j9ω j7ω 7 3 As equções de mlh n form mtricil são: Z * = j( 9) j8 j8 * j(7 4) 1 = 7 3 No MATLAB, ests equções são resolvids como segue: