Comparação dos modelos prognósticos de clutter e da função logística

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1 Pesqusa Florestal Braslera Brazlan Journal of Forestry Research ISSN: (onlne) Comparação dos modelos prognóstcos de clutter e da função logístca Julana Carnero Gonçalves *, Samuel de Padua Chaves e Carvalho, Antono Donzette de Olvera 3, Lucas Rezende Gomde 3 Amata S.A. (GPT), Rua Funchal 63, CEP , São Paulo, SP, Brasl Unversdade Federal do Mato Grosso, Faculdade de Engenhara Florestal, Av. Fernando Correa da Costa, 367, CEP , Cuabá, MT, Brasl 3 Unversdade Federal de Lavras, Departamento de Cêncas Florestas, C P 3037, CEP , Lavras, MG, Brasl * Autor correspondente: jujacarnero@gmal.com Termos para ndexação: Produção florestal Bometra florestal Modelos não-lneares Index terms: Forest Yeld Forests Bometrc Non-lnear Models Hstórco do artgo: Recebdo em 4/04/06 Aprovado em 9/08/06 Publcado em 30/09/06 do: /06.pfb Resumo - O objetvo deste estudo fo comparar o desempenho de dos modelos nãolneares e o sstema de equações smultâneas de Clutter na prognose do volume de madera em povoamentos clonas e superestocados de Eucalyptus spp. no Espírto Santo, Brasl. Para fns de avalação da qualdade dos ajustes e comparação dos modelos, fo utlzado o erro padrão da méda percentual, os crtéros de nformação de Akake e Bayesano, complementados pela análse gráfca dos resíduos padronzados. A nclusão das covaráves, síto e área basal nos sstemas não-lneares de projeção em volume garantram uma melhora expressva na acuráca das estmatvas para a função logístca com erros reduzdos em até quatro vezes. Verfcou-se anda que a função logístca com nclusão de varáves fo altamente superor a sua forma orgnal de ajuste e mas coerente, quando comparada ao sstema de equações smultâneas de Clutter. Os resultados permtram nferr anda sobre a superordade do sstema não-lnear de modelagem, ndcando valores de ncremento médo anual máxmos próxmos a 5 anos, o que o torna condzente com a realdade das plantações florestas de eucalpto para produção de bomassa no Brasl. Comparng logstc functon and clutter prognoss models Abstract - The am ths study was to compare the performance of two non-lnear models and the classc Clutter s system on volume prognoss n fully stockng Eucalyptus stands from Espírto Santo, Brazl. Mean standard error percentual, Akake and Bayesan crtera, supplemented by graphcal analyss were used to evaluate models ft. Models performance presented better results up to four tmes when covarables were ncluded n the adjustment process. It was observed that logstc functon wth covarables was superor than t s orgnal form and more approprate then Clutter s system. The results showed better results of non-lnear system to modelng forest growth and yeld ndcatng forest rotaton near fve years. These results are consstent wth Eucalyptus plantaton for bomass n Brazl. Introdução Para o planejamento florestal são essencas nformações realstas do crescmento e da produção dos povoamentos. Devdo à dnamcdade dos ecossstemas florestas, os modelos de crescmento e produção são necessáros para projetar as mudanças que ncdem sobre esses ecossstemas e fornecem nformações relevantes para auxlar nas tomadas de decsões (Zonete et al., 00). A utlzação de curvas de projeção na prevsão do crescmento da floresta serve smultaneamente para o planejamento da produção, slvcultural e ecológco (Berger et al., 00). A fm de tornar o manejo da floresta mas coerente, é necessáro que haja o conhecmento da forma e da taxa de crescmento dos povoamentos florestas e, quando possível, que os modelos matemátcos utlzados com este objetvo contemplem varáves ambentas. Como ferramenta de auxílo ao manejo são utlzadas classfcações de síto e/ou de capacdade produtva que são efetuadas com base em varáves dendrométrcas, como ncremento médo em volume e

2 3 J. C. Gonçalves et al. altura, área basal, volume, altura e, mas comumente, a altura domnante, por apresentar alta correlação com a produção volumétrca e massa da madera e também por sofrer pouca nfluênca de varáves, como densdade, e eventos, como desbaste (Hess & Schneder, 009). Assm, os modelos matemátcos de crescmento e produção permtem a smulação de alternatvas de manejo para dferentes sítos, dades e regmes de manejo. Além dsso, fornecem nformações mportantes para que os gerentes florestas possam dmensonar as áreas de planto, comercalzar madera, programar aqusção de áreas, entre outros (Berger et al.; 00). Segundo Carvalho et al. (0), o objetvo da modelagem é a descrção da realdade, o mas precsa possível. Neste contexto, são números os modelos de crescmento e produção empregados no meo florestal. Ferrar et al. (005) ctam o sucesso da utlzação do método de regressões sucessvas na prognose da produção de povoamentos de eucalpto e enfatzam as vantagens de se adotar modelos não lneares de prognose, como o modelo de Chapman-Rchards. Segundo os autores, este modelo tem aplcação nas mas dversas áreas onde se tem o objetvo de representar processos sgmodas. Dentre os modelos com forma sgmodal, destaca-se o modelo Logístco. Entretanto, mesmo que os modelos de forma sgmodal apresentem maor potencal de aplcação, Das et al. (005) afrmam que, anda hoje, o modelo de prognose da produção em nível de povoamento utlzado com maor frequênca na lteratura e no ambente empresaral é o modelo de Clutter (963). Segundo Olvera et al. (009) o modelo de Clutter (963), um dos mas dfunddos no país, fo orgnalmente ajustado para uma floresta de pnus nos Estados Undos, entretanto, é utlzado no Brasl com algumas alterações na forma orgnal, realzadas para uma determnada condção. O própro autor já afrmava que o modelo defndo naquele momento não sera adequado para todas as espéces e/ ou alternatvas de manejo. Sendo assm, os objetvos desse trabalho são comparar o ajuste e seleconar aquele com o melhor ajuste e melhor estmatva de produção entre três modelos de crescmento e produção: de Clutter, Logístco e uma varação do modelo Logístco. Materal e métodos Caracterzação da área de estudo Foram obtdos dados provenentes do Inventáro Florestal junto à empresa Fbra Celulose S.A., regonal Aracruz, com sede no muncípo de Aracruz, Espírto Santo, Brasl. A temperatura méda da regão é de 8 ºC e precptação anual méda de.00 mm. Os tpos de solo predomnantes na regão são o Latossolo Vermelho Amarelo Dstrófco e Podzólco Vermelho Amarelo (Prefetura Muncpal de Aracruz, 03). Foram utlzados dados de plantos de híbrdos de Eucalyptus grands x E. urophylla hstórcos e atvos que se encontravam a partr do segundo cclo, com referênca em dezembro de 0, contablzando um total de 6.39 parcelas dstrbuídas em 98 fazendas, consderando apenas áreas em prmera rotação. Preparação da base de dados Optou-se por trabalhar com base de atvos e hstórcos em nível de parcela para garantr robustez dos modelos ajustados. No entanto, para melhorar a qualdade do ajuste, fo feta uma preparação préva da base de dados, sendo excluídas as parcelas que não apresentavam remedções; parcelas de plantos efetuados antes de 00; parcelas com dade nferor a anos e/ou superor a 8 anos; parcelas que apresentavam altura domnante, volume e/ou área basal na dade menores que na dade ; parcelas com número de fustes menores que 900 e maores que.500, uma vez que o espaçamento de planto predomnante na área é de 3,0 m x 3,0 m; parcelas com número de árvores na segunda medção nferores a 30% e/ou superores a 0%. Carvalho & Lma (05) sugerem análses complementares no preparo de dados para projeção de povoamentos completamente estocados. Após a aplcação dos fltros, a base de dados resultantes fcou composta de.680 parcelas. Classfcação de síto Para construção das curvas de índce de síto, fo utlzado o modelo de Schumacher em sua forma lnear e o método de construção de curvas polmórfcas com dade de referênca de 5 anos. Optou-se pelo método das curvas polmórfcas, uma vez que estas tendem a retratar de manera mas efcaz os processos bológcos relatvos aos fatores crescmento. Maores detalhes sobre Pesq. flor. bras., Colombo, v. 36, n. 87, p. 3-37, jul./set. 06

3 Comparação dos modelos prognóstcos de Clutter e da função Logístca 33 os procedmentos abordados neste tópco podem ser encontrados em Gonçalves (04). As parcelas foram, portanto, classfcadas em 3 classes de síto (I = boa, II = méda e III = rum). Os dados foram trabalhados e analsados no software R, versão.5. (R Development Core Team, 0). Modelagem da projeção em área basal O passo que antecede a obtenção do volume prognostcado é a projeção em área basal para os modelos que apresentam, em sua estrutura, a área basal projetada como um nput. Sendo assm, foram testados dos dferentes modelos não-lneares para retratar as varações de crescmento e produção em área basal, propostos por Mendonça (00). Em ambos os modelos optou-se por nserr o síto, a fm de contemplar o efeto do potencal produtvo do local. A compatbldade dos modelos fo verfcada e confrmada por Mendonça (00), sendo os dos modelos desenvolvdos (equações e ) consderados compatíves. A qualdade dos ajuste dos modelos fo avalada por meo do erro padrão da méda em porcentagem (S xy% ), crtéros de nformação de Akake (AIC) e Bayesano (BIC), complementados pela análse gráfca dos resíduos em escala padronzada. ( β0 + βs) I ( β0 + βs) I ( e ( β0 + βs ) I e ) = + ( β00 + β0 ) G G S ( β + β S ) 0 Modelo I: () ( β0 + βs) I ( β0 + βs) I e ( β0 + βs ) I + e ( ) + + ε ( β + β S ) 0 ( ) ( ) ( β00 + β0s) I ( β00 + β0s) I ( β00 + β0s) I β00 + β0s Ie e + e β0 + βs G = G+ ( β00 + β0s ) Modelo II: () ( β00 + β0s) I ( 00 0 ) ( 00 0S) I β β S I β + β + ( β00 + β0s) Ie + e e ( β0 + βs ) + + ε β + β S ( ) 00 0 Em que: G = área basal na dade da -ésma parcela; G = área basal na dade da -ésma parcela; S = índce de síto da -ésma parcela; β n = parâmetros do modelo; ε = erro aleatóro; e = número de Euler (e=,788). Modelagem do crescmento e da produção em volume Os procedmentos para a modelagem do crescmento em volume, específcos para povoamentos superestocados, como os tpcamente plantados no Brasl para fns de produção de bomassa, estão descrtos a segur. Foram avalados três modelos: Logístco, Logístco adaptado e Clutter (Equações 3, 4 e 5, respectvamente). V V β = + ε 0 ( β I ) β + e β + β S = + ε 00 0 [( β0 + βg ) I ] β + e (3) (4) I I I (5) Ln( V ) = β0 + β 3 ( ) β + β Ln G + β + β S + ε S I I I I Em que: V = volume na dade de prognose da -ésma parcela; Ln = logartmo neperano; I = dade de medção da -ésma parcela; I = dade de projeção da -ésma parcela; β n = parâmetros do modelo; ε = erro aleatóro; e = número de Euler (e=,788). Pesq. flor. bras., Colombo, v. 36, n. 87, p. 3-37, jul./set. 06

4 34 J. C. Gonçalves et al. Segundo Carvalho et al. (0), o modelo Logístco além de descrever o comportamento bológco dos dados de crescmento em função da dade, dferentemente de modelos lneares, permte a obtenção dos parâmetros ncas do modelo por meo da nterpretação bológca dos mesmos, onde, o β 0 representa a assíntota horzontal superor, ou seja, o máxmo valor (V no tempo I ); β representa o ponto de nflexão da curva (volume x dade), ou seja, β 0 /; e β é a escala, ou seja, é a dferença entre as dades onde a produção atngr aproxmadamente 73% (73% de β 0 ) e a dade no ponto de nflexão (dade em β ou β 0 /). O segundo modelo ajustado fo descrto por Mendonça et al. (04). Os autores ncorporaram ao modelo Logístco as varáves índce de síto (S) e área basal do povoamento (G) segundo a hpótese de que a varabldade nos dados pode ser explcada pelas duas varáves e que por consequênca melhora a qualdade do ajuste, resultando na Equação 4. O sstema de equações smultâneas de Clutter (963) para prognose do crescmento e produção é consagrada na lteratura florestal (Equação 5). Este apresenta em sua estrutura varáves que refletem a produtvdade local, no caso o índce de síto, e uma função para a densdade, neste caso a área basal, todas estas em nível de povoamento total. Resultados e dscussão Classfcação de sto Todos os parâmetros obtdos a partr do ajuste do modelo de Schumacher lnearzado para projeção da altura domnante na dade de referênca de 5 anos foram sgnfcatvos ao nível de 5%. O erro padrão percentual fo de 9,6%. A ampltude de varação da altura domnante na dade de cnco anos possbltou a geração de três classes de síto, conforme apresentado na Tabela. Tabela. Lmtes nferores e superores das três classes de síto. Classes Lmte Inferor (m) Lmte Superor (m) Centro de classe (m) I 7,0 3,5 9,5 II,5 7,0 4,75 III 8,0,5 0,5 Segundo Soares et al. (004), o índce de síto é um mportante componente para o manejador florestal, pos permte avalar dferentes alternatvas de manejo quando assocadas a um modelo de crescmento e produção. Procedmentos de classfcação sítos compatíves aos apresentados neste estudo foram obtdos por Maestr et al. (003) e Calegaro et al. (004). Análse dos modelos ajustados para estmatva da projeção em área basal Verfcou-se que todos os parâmetros resultantes do ajuste dos dos modelos foram sgnfcatvos ao nível de 5% de sgnfcânca (tabela ). Segundo Mendonça (00), se for analsar apenas esse crtéro, os modelos podem ser consderados adequados para prognostcar a área basal dos povoamentos, pos os parâmetros dos dos modelos analsados explcam o comportamento dos dados de forma sgnfcatva. No entanto, esse autor afrma que apenas esse resultado não garante a qualdade da prevsão. Tabela. Análse da varânca para os parâmetros dos Modelos I e II de projeção em área basal. Parâmetros Estmatvas Erro padrão P valor Modelo I β 00 0,9956 0,00 < E-6 β 0 (S)* 0,000 0,000 0,046 β 0 0,49 0,063 < E-6 β (S)* -0,0070 0,0009 6,0E-4 Modelo II β 00-0,75 0,0400,33E-08 β 0 (S)* 0,03 0,004 < E-6 β 0 7,363,864 < E-6 β (S)* -,0475 0,0460 < E-6 * β 0 (S) e β (S) Covarante síto assocada às decomposções dos parâmetros β 0 e β respectvamente Na Tabela 3 são apresentados os resultados das análses estatístcas para avalação e seleção dos modelos de prognose da área basal. Observa-se que quando comparados os Modelos I e II, o segundo fo superor em todas as estatístcas sugerdas. Os crtéros de Informação de Akake e Bayesano demonstram que o ajuste do Modelo II proporconou redução sgnfcatva de seus valores, ndcando maor parcmôna, além da melhora explcatva do modelo fornecda pelo valor do erro padrão resdual (S yx% ) em quase 46%. Pesq. flor. bras., Colombo, v. 36, n. 87, p. 3-37, jul./set. 06

5 Comparação dos modelos prognóstcos de Clutter e da função Logístca 35 Tabela 3. Estatístcas apresentadas pelos modelos de crescmento e produção em área basal. Modelos S xy (%) AIC BIC Modelo I 8, , ,6 Modelo II 4, ,4 8.39,93 A dstrbução dos resíduos padronzados dos dos modelos avalados na projeção da área basal estão apresentados na fgura. Nota-se que os resíduos dos dos modelos em quase sua totaldade estão com desvos entre ± 5 e mas concentrados no valor zero, o que sugere baxa dscrepânca nos valores estmados. Quando comparado caso a caso, é perceptível uma melhor dstrbução para o modelo II (fgura ), com ampltude dos erros de estmatva entre 3 e 4 m² ha -, sendo, portanto, preferencal quando comparado ao Modelo I para projeções da área basal, em nível de povoamento, uma vez verfcada a superordade nas métrcas da Tabela 3, seguda pela análse gráfca corroboratva. Ao se comparar a varação dos valores estmados com os observados fo possível notar que ambos os modelos analsados conseguram representar a varação real dos valores observados, que estavam entre,59 e 3, m² ha -. Análse dos modelos ajustados para estmatva do crescmento e da produção em volume Na Tabela 4 são apresentados os resultados obtdos após os ajustes dos modelos de projeção do crescmento A e produção em volume dos povoamentos de Eucalyptus spp. Observa-se que todos os parâmetros dos modelos foram sgnfcatvos ao nível de 5%,ndcando, portanto, a nfluênca das varáves predtoras. Tabela 4. Parâmetros encontrados após o ajuste dos modelos. Parâmetros Estmatvas Erro padrão P valor Função Logístca β 0 5,7069,505 <E-6 β,9473 0,090 <E-6 β 0,900 0,067 <E-6 Função Logístca Modfcada β 00 38,6777 3,4360 <E-6 β 0 (S)* 6,7357 0,5 <E-6 β 0,768 0,673 <E-6 β (G)* -0,9399 0,050 <E-6 β 6,340 0,080 <E-6 Modelo de Clutter β 0,9380 0,038 <E-6 β -0,7709 0,45 <E-6 β -,685 0,09 <E-6 β 3,3 0,0066 <E-6 β 4 3,54 0,074 <E-6 β 5 0,049 0,005 <E-6 *Covarante assocada; B0S: parâmetro assntótco assocado a varável síto; BG: parâmetro de ponto de nflexão assocado a área basal projeta. Modelo A = Função logístca; B = Função logístca modfcada; C = modelo de Clutter. B Fgura. Dstrbução dos resíduos padronzados para os Modelos I (A) e II (B). A Tabela 5 apresenta os resultados das análses estatístcas dos modelos para comparação e seleção do modelo de prognose do crescmento e produção mas adequado. Segundo Ferrera & Trevsan (00) erros de até 0% são consderados admssíves para modelos de prognose da produção. Neste contexto, pôde-se Pesq. flor. bras., Colombo, v. 36, n. 87, p. 3-37, jul./set. 06

6 36 J. C. Gonçalves et al. consderar os modelos representados pela Função Logístca modfcada e do modelo de Clutter como adequados, pos a predção de ambos encontram-se no ntervalo sugerdo pelos autores, varando de 5,54% a 7,73%, respectvamente. O mesmo não acontece quando avalada a Função Logístca na sua forma orgnal uma vez que os desvos assocados às suas estmatvas são superores a 0%. Quando analsadas os valores de AIC e BIC, a Função Logístca modfcada proporconou reduções nos valores destas estatístcas, sendo, portanto, ndcado como o mas parcmonoso. A função Logístca modfcada fo consderada superor aos demas, quando consderados os valores das estatístcas sugerdas na seleção de modelos. Mendonça (00) e Carvalho et al. (0) observaram que a adção de covarantes no modelo logístco contrbuu sgnfcatvamente para a melhora do mesmo. Portanto, a nclusão das varáves síto e área basal contrbuu sgnfcatvamente para o aumento da precsão do modelo, que por consequênca favorecerá tomadas de decsões mas assertvas. esta tendênca ncal de superestmatva de menores valores de volumes, entretanto, apresenta tendênca de superestmação para volumes superores a 80 m³ ha -. Esta tendênca se confrma quando comparados os valores estmados pelos Modelos com a ampltude dos dados observados sendo de 4,45 e 384,9 m³ ha - respectvamente. A B Tabela 5. Estatístcas apresentadas pelos três modelos de crescmento e produção em volume. Modelos S xy (%) AIC BIC Função Logístca, , ,7 Função Logístca modfcada 5, , ,7 Modelo de Clutter 7,73 36., ,36 Sendo AIC = Crtéro de Informação de Akake; BIC = Crtéro de Informação Bayesano S yx (%) = Erro padrão resdual em escala percentual. O gráfco de dstrbução dos resíduos padronzados (Fgura ) evdencou que na Função Logístca na sua forma orgnal não representou a real ampltude de varação dos dados, com estmatvas mínmas e máxmas em 47,3 e 08,68 m³ ha -, respectvamente, e valores observados de 4,3 e 366,30 m³ ha -. Quando comparados os gráfcos resultantes dos ajustes da Função Logístca modfcada e o modelo de Clutter fo possível notar uma lgera superordade na dstrbução dos resíduos resultante do modelo de Clutter. O prmero apresenta tendênca de superestmação para valores de volumes nferores a 50 m³ ha - e/ou superores a 50 m³ ha -. Esta tendênca de subestmação se confrmou quando avalada analtcamente a ampltude de varação dos valores estmados, 6,5 e 306,35 m³ ha -. Por outro lado, o modelo de Clutter não apresenta Fgura. Dstrbução de resíduos padronzados dos três modelos ajustados para projeção do crescmento e produção volumétrca. A = função Logístca; B = função Logístca modfcada; C = modelo de Clutter. Entretanto, como observado no gráfco de dstrbução resdual padronzada (Fgura ), os modelos representados pela Função Logístca modfcada bem como pelo modelo de Clutter não apresentaram dferenças expressvas ou tendencosdade e devdo à superordade estatístca do Modelo, corroborando com o trabalho de Mendonça (00). Ao aplcar o modelo de projeção em volume representado pela Função Logístca modfcada, e avalando os seus valores de ncremento médo anual fo possível notar que o este é maxmzado aos 5 anos C Pesq. flor. bras., Colombo, v. 36, n. 87, p. 3-37, jul./set. 06

7 Comparação dos modelos prognóstcos de Clutter e da função Logístca 37 de dade, ndcando esta dade como a deal de corte para o síto mas produtvo, com produção esperada de 07,58 m³, e de 8 anos para o síto menos produtvo, com produção estmada em 69,3 m³. Os resultados aqu encontrados corroboram com Das et al. (005), que afrmam sobre a dade deal de corte estar assocada a dade de máxmo ncremento e anda que esta tende a ser atngda mas precocemente em sítos mas produtvos. Segundo Carvalho et al. (0), essa tendênca ndca que o modelo proposto é adequado, antecpando a dade de corte para sítos mas produtvos e refletndo em padrões bológcos de crescmento. Conclusões Os resultados apresentados no estudo contemplam a superordade do modelo não-lnear com a nclusão de covaráves. A nclusão das covarantes síto e área basal no modelo logístco gerou melhoras estatstcamente expressvas na estmatva do volume de madera quando comparado a sua forma orgnal, segudo pelo sstema de equações smultâneas de Clutter. Os valores de ncremento médo anual nferem sobre a rotação slvcultural destes plantos, sendo portanto condzentes e compatíves bologcamente com as les de crescmento, corroborando com os trabalhos já desenvolvdos com este tema na esfera naconal. Referêncas Berger, R. et al. Efeto do espaçamento e da adubação no crescmento de um clone de Eucalyptus salgna Smth. Cênca Florestal, v., n., p , 00. DOI: 0.590/ Calegaro, N. et al. Modelng domnant heght growth based on nonlnear mxed-efects model: a clonal eucalyptus plantaton case study. Forest Ecology and Management, v. 04, n., p. -, 004. Carvalho, S. P. C. et al. Modelos não lneares generalzados aplcados na predção da área basal e volume de Eucalyptus clonal. Cerne, v. 7, n. 4, p , 0. DOI: 0.590/S Carvalho, S. P. C. & Lma, M. P. Uma proposta para o preparo de bases de dados utlzadas nos ajustes de modelos de crescmento e produção florestal. Advances n Forestry Scence, v., n. 3, p. 69-7, 05. Clutter, J. L. Compatble growth and yeld models for loblolly pne. Forest Scence, v. 9, n. 3, p , 963. Das, A. N. et al. Emprego de um modelo de crescmento e produção em povoamentos desbastados de eucalpto. Revsta Árvore, v. 9, n. 5, p , 005. DOI: 0.590/S Ferrar, M. P. et al. Prognose do crescmento volumétrco ndvdual de árvores de Eucalyptus, em povoamentos na Regão Centro Sul. Boletm Pesqusa Florestal, n. 5, p. 5-6, 005. Ferrera, A. C. & Trevsan, R. Prognose do crescmento volumétrco de espéces de Eucalyptus para a Regão Centro Sul do Brasl. Boletm de Pesqusa Florestal, v. 4, p. 7-8, 00. Gonçalves, J. C. Análse de rsco aplcada à determnação da rotação econômca f. Dssertação (Mestrado em Engenhara Florestal) - Unversdade Federal de Lavras, Lavras. Hess, A. F. & Schneder, P. R. Crescmento em altura de Araucara angustfola (Bertol.) Kuntze em três locas do Ro Grande do Sul. Ambênca, v. 5, n., p. 3-3, 009. Maestr, R et al. Modelagem do crescmento de povoamentos de Eucalyptus grands através de processos de dfusão. Revsta Floresta, v. 33, n., p. 69-8, 003. Mendonça, A. R. et al. Modelagem da produção de sortmentos em povoamentos de eucalpto. Cerne, v. 0, n. 4, p , 04. DOI: 0.590/ Mendonça, A. R. Modelagem não lnear do crescmento e da produção de plantações florestas f. Tese (Doutorado em Engenhara Florestal) - Unversdade Federal de Lavras, Lavras. Olvera, M. L. R. et al. Modelagem e prognose em povoamentos não desbastados de clones de eucalpto. Revsta Árvore, v. 33, n. 5, p , 009. DOI: 0.590/S Prefetura Muncpal de Aracruz. Dsponível em: < es.gov.br/>. Acesso em: 0 fev. 03. R Development Core Team. R: a language and envronment for statstcal computng. Austra, 0. Soares, C. P. B. et al. Especfcação de um modelo de crescmento e produção florestal. Revsta Árvore, v. 8, n. 6, p , 004. DOI: 0.590/S Zonete, F. et al. Estmação de parâmetros bométrcos de plantos clonas de eucalpto no sul da Baha: uma aplcação da tecnologa laser aerotransportada. Scenta Forestals, v. 38, n., p. 5-35, 00. Pesq. flor. bras., Colombo, v. 36, n. 87, p. 3-37, jul./set. 06

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