POR MEIO DO PROCESSO DE DIFUSÃO. Rozane de Loyola Eisfeld 1, Carlos Roberto Sanquetta 2, Julio Eduardo Arce 3, Anabel Aparecida Mello 4

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1 Modelagem MODELAGEM do crescmento e da DO produção CRESCIMENTO de Pnus taeda L... E DA PRODUÇÃO DE Pnus taeda L. 67 POR MEIO DO PROCESSO DE DIFUSÃO Rozane de Loyola Esfeld, Carlos Roberto Sanquetta, Julo Eduardo Arce, Anabel Aparecda Mello 4 (recebdo: 6 de novembro de 004; aceto: 0 de mao de 005) RESUMO: Com o presente trabalho objetvou-se testar a metodologa do processo de dfusão para a estmatva do crescmento e da produção. O processo de dfusão anda é pouco utlzado em plantos comercas no Brasl e pode gerar estmatva comparável a outras metodologas, com resultados satsfatóros para smulação do crescmento e da produção. Para sso, foram utlzados dados de 5 parcelas permanentes de Pnus taeda L. sem desbaste, provenentes da empresa Internatonal Paper do Brasl. Para o desenvolvmento de tal metodologa fo ajustado o um modelo de crescmento e um modelo de mortaldade que rá ntegrar a equação de Kolmogorov. Foram sorteadas setenta parcelas para fazer a comparação entre os dados reas com os estmados. De modo geral, o processo de dfusão gerou resultados satsfatóros para estmatva do número de árvores, área basal e volume. Palavras-chave: Smulação, crescmento e produção, processo de dfusão, Pnus taeda. MODELLING GROWTH AND YIELD OF Pnus taeda L. USING DIFUSION PROCESS ABSTRACT: Ths work tested a methodology for growth and yeld modelng. The dffuson process s not yet wdely used n commercal plantatons n Brazl, but t can provde predctons comparable to others methodologes, producng satsfactory results to smulate growth and yeld. For ths purpose, 5 permanent samples establshed n unthnned Pnus taeda L. (loblolly pne) stands owned by the Internatonal Paper of Brazl Co were used. The dffuson process methodology conssts n connectng growth ncrement and mortalty models n Kolmogorov equaton. Seventy sample plots were randomly chosen n order to make the comparson among the observed and predcted values. In general, the dffuson process provded satsfactory estmates of number of trees, basal area per hectare and stem volume. Key words: smulaton, growth and yeld, dffuson process, Pnus taeda. INTRODUÇÃO O planto de florestas no Brasl é uma atvdade econômca mportante e com grande mpacto no campo socal. Conforme Caron Neto (00), o Estado do Paraná possu a maor área de florestas plantadas de Pnus, totalzando ha, ou seja, % da área plantada total do Brasl. É ndscutível a mportânca deste gênero neste Estado que representa 90% de toda a madera empregada na ndústra, atngndo cerca de de m³ consumdos anualmente. Em face dsso, é do nteresse de qualquer admnstrador lgado ao setor florestal consegur quantfcar e prognostcar, com confabldade, o estoque de suas florestas. A quantfcação do crescmento e da produção consste em uma condção essencal para defnr a utlzação dos bens advndos da floresta, além de fornecer nformações que subsdam a tomada de decsões para a maora das atvdades lgadas ao setor (ABREU, 000). O processo de dfusão é uma metodologa de crescmento e produção que pode proporconar bons resultados quando comparado com outras metodologas, porém anda é muto pouco empregado em plantos comercas no Brasl. M. Sc. em Cêncas Florestas, Engenhera de Inventáro Florestal Internatonal Paper do Brasl Rodova SP 40 km 7 Mog Guaçu, SP Rozane.Esfeld@paperbr.com Dr. em Cêncas Florestas, Prof. de Engenhara Florestal na UFPR Rua Lotháro Messner, 400 Jardm Botânco Curtba, PR sanquetta@floresta.ufpr.br Dr. em Cêncas Florestas, Prof. de Engenhara Florestal na UFPR Rua Lotháro Messner, 400 Jardm Botânco Curtba, PR jarce@floresta.ufpr.br 4 Dra. em Cêncas Florestas, Pesqusadora do Laboratóro de Inventáro Florestal/UFPR Rua Lotháro Messner, 400 Jardm Botânco Curtba, PR anabelmello@fyahoo.ufpr.br Cerne, Lavras, v., n., p , abr./jun. 005

2 68 EISFELD, R. de L. et al. Segundo Sanquetta (996), o processo de dfusão expressa a dnâmca das classes, tas como crescmento, mortaldade e recrutamento, smultaneamente em função do tempo e das própras dmensões das classes damétrcas, ntegrando esses componentes em equações dferencas. O modelo estocástco assm defndo, chamado de equação de dfusão ou processo de dfusão, é descrto pela equação forward de Kolmogorov ou equação de Fokker-Planck. Hara (984) testou a equação forward de Kolmogorov em um expermento puro com plantas coetâneas. Koyama (989) também utlzou essa equação para smular as mudanças no tamanho das classes damétrcas com dados de povoamentos secundáros com dferentes dades, em uma floresta no sul do Japão. Brannan & Reneke (984) utlzaram o processo de dfusão para descrever a evolução do dossel de uma floresta, durante o estágo ntermedáro para avançado na fase de sucessão secundára. O modelo dexou que a sucessão ocorresse através da reposção de uma árvore por outra, em que as aberturas do dossel são causadas através de perturbações endógenas. Como os parâmetros do modelo foram determnados pelos dados, fo possível seqüêncar a magntude das predções nos momentos de transção. E fnalmente, o modelo permtu uma caracterzação do estado clímax. Arce et al. (998) avalaram e smularam o crescmento de povoamentos jovens, coetâneos, monoespecífcos e homogêneos de Pnus taeda, utlzando a técnca de smulação Processos de Dfusão. Esses autores concluíram que a construção das equações de dfusão (Kolmogorov forward equaton), apesar de exgr estmatvas estatístcas prévas para obter a varável de crescmento relatvo, não apresentou maores dfculdades em ser mplementada para povoamentos jovens, coetâneos e homogêneos de Pnus taeda. A smulação com o processo de dfusão gerou dstrbuções damétrcas harmôncas e coerentes. O modelo de crescmento e mortaldade e o modo de competção de ses espéces que formam uma floresta clímax sub-boreal em Hokkado, norte do Japão, foram nvestgados baseando-se no modelo de dfusão (KUBOTA & HARA, 995). Cada árvore fo consderada ndvdualmente, utlzando apenas as árvores com mas de metros, em uma área de hectares. Em função desse modelo, os autores puderam conclur que o desenvolvmento da dnâmca de cada componente das espéces da floresta subboreal são, nfluencados prncpalmente pelos fatores estocástcos [D(t,x)] e pelas condções lmtes [R(t)], em comparação com a nteração de competção determnístca entre os componentes das espéces [G(t,x)]. Dentro desta vsão, o presente trabalho busca apresentar uma alternatva metodológca para a modelagem do crescmento e da produção para Pnus taeda, com potencal de uso também para outras espéces, tanto natvas quanto plantadas. MATERIAIS E MÉTODOS. Descrção da base de dados Os dados de Pnus taeda utlzados para este estudo são provenentes das propredades da empresa Internatonal Paper do Brasl, localzada no muncípo de Arapot, no Estado do Paraná. Foram utlzados dados de 5 parcelas permanentes, com dades varando entre 4 a 5 anos em condções varadas de síto. Dessas, 7 parcelas contnham duas medções e 5 contnham medções. Todas as parcelas são retangulares com dmensões de 0 m x 0 m, com 600 m² de área. Foram meddos todos as CAPs (crcunferênca com casca à altura do peto) e 0% das alturas totas. Além dsso, cada ndvíduo fo codfcado conforme o seu status (morta, torta, bfurcada, atacada por vespa). Os povoamentos utlzados neste trabalho foram mplantados em dos dferentes espaçamentos,,5 x,8 m e,0 x,0 m. Os mas jovens, com dades entre 4 a 8 anos, foram plantados com o espaçamento maor, com um número ncal de.667 árvores por hectare. Já os povoamentos mas antgos, entre e 4 anos, foram plantados com. árvores. Para a estmatva da altura fo utlzado o modelo modfcado de Prodan, com a segunte forma: DAP h,. DAP DAP DAP Id 0 () Cerne, Lavras, v., n., p , abr./jun. 005

3 Modelagem do crescmento e da produção de Pnus taeda L em que: h = altura total, em metros; DAP = dâmetro à altura do peto, em cm; Id = dade do povoamento, em anos;,,, = parâmetros do modelo; o = erro aleatóro. Para se estmar o volume de cada árvore fo utlzado o banco de cubagem fornecdo pela empresa. Ao total, foram utlzados dados de cubagem rgorosa de.404 árvores de Pnus taeda, com dades varando de a 4 anos, provenentes de todas as glebas da empresa. A cubagem rgorosa fo realzada tomandose meddas de dâmetro a 5%, 0%, 5%, 5%, 5%, 45%, 55%, 65%, 75%, 85% e 95% da altura total das árvores. O cálculo dos volumes das seções fo obtdo pela aplcação sucessva da fórmula de Smalan. A partr dessa base de dados, fo possível ajustar o polnômo do 5º grau para o cálculo do volume, que é assm representado: 4 5 d h h h h h DAP h h h h h () em que:,,,,, = parâmetros do modelo; o 4 5 d = dâmetro correspondente a uma altura h, em cm; DAP = dâmetro à altura do peto, em cm; h = altura total, em m; h = altura correspondente a um dâmetro d, em m; = erro aleatóro.. Desenvolvmento dos modelos para o processo de dfusão O modelo estocástco assm defndo, chamado de equação de dfusão ou processo de dfusão, é descrto pela equação forward de Kolmogorov ou equação de Fokker-Planck, e apresenta a segunte forma: f (t, x) [D(t, x)f (t, x)] [G(t, x)f (t, x)] M(t, x)f (t, x) t x x () em que: f(t, x) = dstrbução de densdade do tamanho x na dade t (HARA, 984); G(t, x) = crescmento nstantâneo médo do tamanho x na dade t por undade de tempo; D(t, x) = varânca nstantânea do crescmento do tamanho x na dade t por undade de tempo; M(t, x) = mortaldade nstantânea do tamanho x na dade t, por undade de tempo... Modelo do crescmento nstantâneo médo G(t,x) Incalmente foram testadas as varáves que possuíam maor correlação com o crescmento. Em seguda foram ajustados város modelos e verfcado se os resultados obtdos com a curva do modelo ajustado representavam satsfatoramente os dados. Os modelos testados estão relaconados a segur: Modelo : G(t, x) 0 exp D Id. Modelo : G(t,x) exp Id exp D. Modelo : G(t, x) / Id exp D. (6) Modelo 4: 0 0 (4) (5) G(t, x) 0 / B(t, x) Id exp D. (7) Cerne, Lavras, v., n., p , abr./jun. 005

4 70 EISFELD, R. de L. et al. Modelo 5: G(t, x) Id exp D B(t, x). (8) 0 Modelo 6: G(t, x) ln(d) / Id. (9) 0 Modelo 7: G(t, x) exp Id D. (0) 0 Modelo 8: G(t, x) 0 / Id exp D. () Modelo 9: G(t, x) / D 0 / B(t, x) Id exp D. () Modelo 0: G(t, x) / D 0 / Id exp D. () Modelo : G(t, x) / D D exp Id. (4) Modelo : 0 G(t, x) / D exp Id. (5) Modelo : 0 G(t, x) / D D exp Id. (6) 0 Modelo 4: G(t, x) / D exp Id D. (7) 0 Modelo 5: G(t, x) / D exp Id D. (8) 0 em que: D = dâmetro médo da classe, em cm; Id = dade do povoamento, em anos; B(t,x) = soma das áreas transversas das árvores pertencentes às classes damétrcas superores, em m²/ha;,,, = parâmetros do modelo; o = erro aleatóro... Modelo da varânca nstantânea do crescmento D(t,x) Fo mportante verfcar se a varânca possuía correlação com o crescmento e se hava alguma tendênca entre os valores de DAP, B(t,x) e Idade com a varânca. Se ela não possuísse nfluênca, o ajuste de equação para estmar esta varável sera desprezado. Então, a equação de Kolmogorov ou equação de Fokker-Planck apresentara a segunte forma: f (t, x) [G(t, x)f (t, x)] M(t, x)f (t, x) t x (9) Caso a varânca fosse ncluída no modelo, sera necessáro o ajuste de um modelo conforme a análse de dstrbução dos dados... Modelo da mortaldade nstantânea M(t,x) A mortaldade é uma varável fortemente nfluencada pelo dâmetro. Normalmente, a dsposção dos dados se dá de manera exponencal sendo que nas classes de dâmetros nferores ocorre uma maor mortaldade do que nas classes superores. Em função dsso, para estmar a mortaldade foram testados os seguntes modelos: Modelo : Modelo : Modelo : Modelo 4: M(t, x) exp 0 D. (0) M(t, x) exp 0 D Id. () M(t, x) exp 0 D B(t, x). () M(t, x) exp 0 D Id B(t, x). () Cerne, Lavras, v., n., p , abr./jun. 005

5 Modelagem do crescmento e da produção de Pnus taeda L... 7 em que: D = dâmetro médo da classe, em cm; Id = dade do povoamento, em anos; B(t,x) = soma das áreas transversas das árvores pertencentes às classes damétrcas superores, em m²/ha;,,, = parâmetros do modelo; o = erro aleatóro...4 Processo de Dfusão Após o desenvolvmento dos modelos de crescmento, varânca e mortaldade que resultam nas varáves ndependentes necessáras para a equação de Kolmogorov, deve-se segur os seguntes passos para se obter os resultados fnas do processo de dfusão: a) Multplcar o resultado de cada modelo pelo número ncal de árvores por classe de dâmetro; b) Ajustar o resultado dessa multplcação pelo ntervalo de tempo que se deseja smular, ou seja, se o resultado desejado for anual os valores deverão ser dvddos por, se o resultado desejado for de em anos os valores deverão ser multplcados por, gerando as varáves gf() (crescmento), df() para a varânca e mf() para a mortaldade, consderando as classes de dâmetro; c) Obtdo o gf(), mf() e vf() deve-se calcular o gf, mf, vf e dfdt conforme as fórmulas a segur: a. gf gf () gf ( ) (4) b. c. mf mf () vf vf ( ) vf () vf ( ) (5) (6) d. dfdt vf 0, 5 gf mf (7) d) O resultado desta equação é a perda ou ganho do número de árvores por classe de dâmetro. Esse valor (dfdt) fo somado ao número de árvores ncas em cada classe, resultando no número de árvores por classe no período desejado.. Crtéros de seleção dos modelos ajustados Para testar a qualdade dos ajustes dos modelos, foram utlzados três parâmetros de comparação, o coefcente de determnação (R²), o erro padrão da estmatva (Syx) e a análse gráfca dos resíduos..4 Precsão da prognose Para a avalação da precsão da prognose, foram confrontados dados de 70 parcelas escolhdas aleatoramente em dferentes dades, como a freqüênca, a área basal e o volume prognostcado a partr da metodologa do processo de dfusão, utlzando o erro padrão da estmatva e o coefcente de determnação como os crtéros quanttatvos para essa comparação. RESULTADOS E DISCUSSÃO. Modelo de Crescmento Instantâneo Médo G(t,x) O crescmento é muto nfluencado pelo dâmetro e pela dade, como demonstra a Fgura. O crescmento em dâmetro aumenta com o aumento das classes de DAP, prncpalmente nos povoamentos mas jovens. A partr dos 8 anos, o dâmetro já não possu tanta nfluênca sobre o crescmento, mantendo-se pratcamente constante. Em conseqüênca da dstrbução dos dados, fo necessáro ajustar um modelo que tanto obtvesse um resultado de ajuste estatístco satsfatóro, quanto representasse essa dstrbução. Foram testados qunze dferentes modelos, ajustados de forma não lnear, buscando estmar satsfatoramente o crescmento das árvores. As estatístcas utlzadas na escolha estão apresentadas na Tabela. Todos os modelos testados alcançaram erros acma de 6%, fcando evdencado a dfculdade em se ajustar um modelo de crescmento. Devdo a sso, o modelo 7, que apresentou as melhores meddas de dspersão, fo escolhdo para ser ajustado não mas a partr do banco de dados de crescmento por dade e classe de dâmetro, mas sm utlzando todos os valores de crescmento ndvduas das árvores, totalzando um banco de dados com aproxmadamente 4 ml dados, retrando as árvores mortas e os dados com valores muto superores ou nferores a méda da dspersão (outlers). Cerne, Lavras, v., n., p , abr./jun. 005

6 7 EISFELD, R. de L. et al. G(t,x) - cm/ano,50,00,50,00,50,00 4 anos 5 anos 6 anos 7 anos + anos 0,50 0, DAP(cm) Fgura Crescmento anual em função da dade e do dâmetro. Fgure Annual growth as functon of age and dameter. Tabela Estatístcas para comparar os modelos de crescmento G(t,x). Table Statstcs to compare the growth models G(t,x). Modelos Syx Syx (%) R² Modelo 0,87 7,75 79,5% Modelo 0,458 59,59 59,% Modelo 0,6866 6,6 54,9% Modelo 4 0,685 46,4 7,% Modelo 5 0,659 6,0 55,59% Modelo 6 0,759 9,8 77,98% Modelo 7 0,96 6,9 79,77% Modelo 8 0,66 40,79 76,78% Modelo 9 0,0904 5,4 65,67% Modelo 0 0,94 55,56 6,47% Modelo 0,47 8,67,57% Modelo 0,767 47,06 7,50% Modelo 0, ,74 5,7% Modelo 4 0, ,95 0,4% Modelo 5 0,477 8,5,65% Cerne, Lavras, v., n., p , abr./jun. 005

7 Modelagem do crescmento e da produção de Pnus taeda L... 7 A equação resultante do ajuste deste modelo apresentou um erro de 8,7% e um coefcente de determnação de 78,46%. A equação ajustada fo:, G(t, x) 7, 6546 exp 0,96769 Id DAP (8) O crescmento em dâmetro real e o crescmento estmado em função da classe de dâmetro estão demonstrados na Fgura. Crescmento (cm/ano),5,0,5,0,5,0 A dspersão dos resíduos absolutos em função do dâmetro está apresentada na Fgura. Real Estmado 0,5 0, DAP (cm) Fgura Crescmento anual real e estmado em função do dâmetro. Fgure Observed and predcted annual growth n functon of dameter. Real - Estmado,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -, DAP (cm) Fgura Gráfco de resíduos do crescmento em função do dâmetro. Fgure Graphc resdue growth n functon of dameter. Cerne, Lavras, v., n., p , abr./jun. 005

8 74 EISFELD, R. de L. et al. Nota-se, pela Fgura, que nos dâmetros superores há uma tendênca de sub-estmatva do crescmento. Porém, pela Fgura o modelo está representando bem o crescmento em função do dâmetro, além dsso, o crescmento é uma varável muto heterogênea e dfícl de ser modelada. Portanto, depos de dversas tentatvas de se modelar o crescmento, a equação (8) fo escolhda para ser empregada no processo de dfusão.. Modelo da Varânca Instantânea do Crescmento D(t,x) As dspersões dos dados de varânca com o dâmetro e com a dade estão demonstradas nas Fguras 4 e 5. D(t,x) - cm²,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, 0, DAP (cm) Fgura 4 Varânca do crescmento em função do dâmetro. Fgure 4 Growth varance n functon of dameter. D(t,x) - cm²,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, 0, Idade (anos) Fgura 5 Varânca do crescmento em função da dade. Fgure 5 Growth varance n functon of age. Cerne, Lavras, v., n., p , abr./jun. 005

9 Modelagem do crescmento e da produção de Pnus taeda L Nas Fguras 4 e 5 não se observa uma tendênca clara do comportamento da varânca do crescmento -D(t,x) em relação ao DAP, e nem em relação a dade. Além dsso, as correlações entre o dâmetro e a dade com a varânca são muto baxas, e não são sgnfcatvas para um nível de sgnfcânca de 5%. Sendo assm, o ajuste de equações para a estmatva dessa varável pode ser desprezado, desde que se utlze a equação forward de Kolmogorov modfcada, como demonstrado na equação (9).. Modelo de Mortaldade Instantânea M(t,x) Foram testados quatro modelos para estmar a mortaldade relatva das árvores. As meddas de precsão obtdas no ajuste das equações estão apresentadas na Tabela. O modelo fo utlzado para estmar a mortaldade pos possu um alto coefcente de determnação e um baxo erro padrão. Esse modelo é um pouco nferor ao modelo 4, porém a mortaldade é estmada apenas em função do dâmetro e da dade. A equação fcou assm ajustada: M(t, x) exp 0, , DAP 0, 96 Id (9) O crescmento real e o crescmento ajustado em função do dâmetro estão demonstrados na Fgura 6..4 Precsão da prognose O volume total, a área basal e o número de árvores foram calculados a partr da freqüênca real por classe damétrca e comparados com da freqüênca obtda no processo de dfusão, para 70 parcelas escolhdas aleatoramente. Esses resultados foram analsados e são exbdos nos tens a segur. A Tabela apresenta o erro padrão resdual e o coefcente de determnação obtdo por dade na prognose do número de árvores, área basal e volume com base nas 70 parcelas analsadas. Baseando-se na Tabela a metodologa empregada estmou bem o número de árvores total, na qual o maor erro de estmatva fo de,9% aos anos. Para todas as parcelas o erro obtdo fo de,59%, correspondendo a 6 árvores por hectare. O erro aumenta nas dades mas avançadas em que a mortaldade é pouco nfluencada pelo dâmetro e dfícl de ser modelada. Para a área basal o erro fo de,50 m²/ha. Houve uma dmnução com o aumento da dade. 0% 00% Real Estmada 80% Mortaldade 60% 40% 0% 0% DAP (cm) Fgura 6 Mortaldade relatva anual real e estmada em função do dâmetro. Fgure 6 Observed and predcted annual relatve mortalty n functon of dameter. Cerne, Lavras, v., n., p , abr./jun. 005

10 76 EISFELD, R. de L. et al. Tabela Estatístcas dos modelos de mortaldade M(t,x). Table Statstcs of mortalty models M(t,x). Modelos Syx Syx (%) R² Modelo 0,070 5,5 89,04% Modelo 0,00767,7 89,8% Modelo 0,0085 6,08 89,6% Modelo 4 0,0070 0,8 89,8% Tabela Estatístcas na prognose do número de árvores, área basal e volume. Table Statstcs n the smulaton of number of tress, basal area and stem volume. Idade Número de árvores Área basal Volume Syx R² Syx R² Syx R² Todas,59% 98,08% 7,% 9,6%,4% 99,67% 4,00% 84,4% 47,08% 7,8% 6,09% 5,47% 5 0,96% 98,0%,% 44,69% 5,46% 9,68% 6,86% 9,4% 6,85% 88,49% 8,% 88,75%,%,79%,8%,79%,89%,79% 8,89% 86,00%,69% 88,8%,5% 9,0% 9,78% 9,90%,67% 94,7%,85% 95,90% 0,6% 86,6%,7% 88,46%,5% 90,7%,90% 95,6%,88% 9,5%,6% 94,85% Na estmatva do volume o erro obtdo fo de,4% na smulação pelo processo de dfusão, o que corresponde a 5,5 m³/ha. Houve uma dmnução no erro a medda em que se aumentam as dades. Os povoamentos mas jovens possuem uma grande varabldade de crescmento, o que vem a prejudcar as estmatvas e aumentar o erro padrão. Já povoamentos um pouco mas velhos, com 9 ou 0 anos, por exemplo, possuem erros bem nferores, projetando o volume com mas precsão. 4 CONCLUSÕES Com base na análse dos resultados, chegou-se às seguntes conclusões: a) Com os dados do presente trabalho a varável crescmento, empregada no processo de dfusão, fo muto dfícl de ser modelada; b) A mortaldade possu uma forte relação com o dâmetro e, por conseqüênca, pode ser mas faclmente modelada; c) A metodologa utlzada se mostrou efcente na estmatva do crescmento e da produção; d) O processo de dfusão é pouco utlzado, mas possu a vantagem de ter uma maor facldade em smular desbastes, apenas mexendo na área basal (B(t,x)), um trabalho que acrescentara muto à área florestal se fosse testado para as espéces comercas do País; e) O processo de dfusão anda é pouco utlzado em plantos comercas no Brasl e pode gerar Cerne, Lavras, v., n., p , abr./jun. 005

11 Modelagem do crescmento e da produção de Pnus taeda L estmatva comparável a outras metodologas mas utlzadas para smulação do crescmento e da produção. 5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABREU, E. C. R. Modelagem para prognose precoce do volume por classe damétrca para Eucalyptus grands p. Dssertação (Mestrado em Cêncas Florestas) - Unversdade Federal de Lavras, Lavras, 000. ARCE, J. E.; GOMES, F. S.; SANQUETTA, C. R.; CRUZ, E. C. Utlzação dos processos de dfusão na avalação e smulação precoces do crescmento de povoamentos de Pnus taeda L. Revsta Cerne, Lavras, v. 4, n., p , 998. BRANNAN, J. R.; RENEKE, J. A. A dffuson model of forest successon. Mathematcal Boscences, New York, v. 69, p. -49, 984. CARON NETO, M. Pnus conqusta espaço na regão Sul. Revsta da Madera, Curtba, v. 58, n. 0, p. 4-8, 00. HARA, T. Dynamcs of stand structure n plant monocultures. Journal of Theoretcal Bology, London, v. 0, p. -9, 984. KOHYAMA, T. Smulaton of the structural development of warm-temperated ran forests stands. Annals of Botany, London, v. 6, n. 6, p , June 989. KUBOTA, Y.; HARA, T. Tree competton and speces coexstence n a sub-boreal forest, northern Japan. Annals of Botany, London, v. 76, p. 50-5, July 995. SANQUETTA, C. R. Fundamentos bométrcos dos modelos de smulação florestal. Curtba: FUPEF, p. Cerne, Lavras, v., n., p , abr./jun. 005