Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores de Coimbra Institute of Systems Engineering and Computers INESC - Coimbra

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1 Insuo de Engenhara de Ssemas e Compuadores de Combra Insue of Sysems Engneerng and Compuers INESC - Combra Joana Das, M. Eugéna Capvo e João Clímaco Problema de Localzação Dnâmca com Aberura, Fecho e Reaberura de Servços: Formulação e Heurísca Prmal-Dual No ISSN: Insuo de Engenhara de Ssemas e Compuadores de Combra INESC - Combra Rua Anero de Quenal, 199; Combra; Porugal 1

2 Problema de Localzação Dnâmca com Aberura, Fecho e Reaberura de Servços: Formulação e Heurísca Prmal-Dual JOANA DIAS (1), M. EUGÉNIA CAPIVO (2) E JOÃO CLÍMACO (1) (1) Faculdade de Economa e INESCC Unversdade de Combra Av. Das da Slva 000 Combra Porugal (2) DEIO e CIO Faculdade de Cêncas da Unversdade de Lsboa Campo Grande, Bloco C2, Pso Lsboa Porugal Sumáro: Nese relaóro remos apresenar a formulação em Programação Inera de um Problema de Localzação Dnâmca com Aberura, Fecho e Reaberura de Servços. Ese problema consdera a possbldade de, durane o horzone emporal consderado, ser possível abrr, fechar e reabrr servços. Aravés da bblografa consulada, pensamos poder afrmar ser a prmera vez que ese problema de localzação é esudado. endo como caso especal o problema de localzação smples, é medao conclur que se raa de um problema NP-dfícl. Fo desenvolvda uma heurísca, baseada nos rabalhos de Erlenkoer (1978) e Van Roy e Erlenkoer (1982), que garane o cálculo de soluções prmas e duas admssíves, e que ena forçar a complemenardade enre elas. Desa forma, mesmo que não se ana a solução ópma, conhece-se sempre um lme nferor e um lme superor para o valor da função obecvo prmal. Descreve-se anda um algormo de pesqusa em árvore em que esa heurísca é nserda, para que sea possível calcular a solução ópma do problema prmal. ABSRAC: In hs research repor we wll presen he formulaon of he dynamc locaon problem wh openng, closng and reopenng of servces. hs problem consders he possbly of openng, closng and reopenng servces durng he plannng horzon esablshed. he Smple Plan Locaon Problem s a specal case of he problem descrbed. We can herefore sae ha s a problem NP-Hard. We developed an heursc, based on he work of Erlenkoer (1978) and Van Roy and Erlenkoer (1982), ha guaranees he consrucon of admssble prmal and dual soluons, and res o force he complemenary beween hem. he 2

3 calculaon of a lower and upper bound o he obecve funcon opmum value s always guaraneed. I s also descrbed a ree search algorhm whch uses he heursc developed, and ha enables he calculaon of he opmum soluon. 1. Inrodução O problema que consse na escolha das localzações onde nsalar servços (as como armazéns, fábrcas, hospas, ec), de al forma que sea sasfea a procura de um deermnado produo por pare de um conuno de clenes, mnmzando os cusos oas envolvdos chamase problema de localzação smples (PLS). Geralmene são consderados cusos fxos de aberura dos servços e cusos varáves de afecação de clenes a servços. Como não se consderam capacdades assocadas aos servços aberos, cada clene será servdo por um e um só servço (aquele a que corresponde o menor cuso de afecação enre odos os servços aberos) (Cornueols e al, 1990). O problema de localzação dnâmca é uma generalzação do PLS, em que se consdera que a localzação dos servços pode ser fea ao longo de um horzone emporal deermnado. Em cada período emporal em de se garanr a afecação de cada clene a um servço abero. Duas caraceríscas prncpas obrgam à ulzação de um modelo dnâmco (Erlenkoer, 1981): alerações sgnfcavas ao longo do empo nos cusos de afecação de clenes a servços; cusos sgnfcavos de fecho e aberura em novas localzações de servços. Se a prmera caracerísca esver ausene, sgnfca que se podera ulzar um problema esáco. Se a segunda não exsr, sgnfca que se poderão consderar város problemas esácos e não relaconados enre s. Um dos prmeros argos a referr um problema de localzação dnâmca deve-se a Wesolowsky (197). Nese argo, o auor generalza o problema de Weber, consderando a exsênca de város períodos emporas. Wesolowsky e rusco(1975) descrevem um problema de localzação dscreo, em que se fxa, para cada período emporal, o número de servços aberos. Em cada período emporal um servço pode ser abero ou removdo de uma deermnada localzação. Apresenam um méodo de resolução em que ulzam programação dnâmca. Fong e Srnvasan (1981a,1981b) analsam o problema em que se preende crar um plano emporal de expansão de servços para uma deermnada empresa (e que consse na deermnação da localzação, amanho e mng de consrução de novos servços). Van Roy e Erlenkoer (1982) descrevem o problema de localzação dnâmca smples sem capacdades, em que se consdera a hpóese de se abrrem novos servços no níco de cada período emporal

4 ou se fecharem servços á exsenes no níco do prmero período emporal. Lapore e Deax (1989) descrevem um problema dnâmco em que consderam smulaneamene a localzação de servços e o problema de roas ópmas que lhe esá assocado. Shulman (1981) descreve um problema de localzação dnâmca em que os servços a localzar êm capacdade fna. Consdera-se um número lmado de capacdade possíves, e é possível localzar mas do que um servço na mesma localdade em dferenes períodos emporas (aumenando-se assm a capacdade numa deermnada localdade). Galvão e Sanbãnez-Gonzalez (1992) consderam a generalzação do problema da p-medana a város períodos emporas (os clenes deverão ser afecos a um conuno de K servços no período k, endo como obecvo a mnmzação de cusos de nsalação e de ranspore). Melachrnouds e al (1995) propõem um modelo dnâmco, mulobecvo de localzação de aerros sanáros com capacdades. Hnoosa e al (2000) ldam com um problema de localzação dnâmca, consderando a procura de mas do que um produo por pare dos clenes, e o ranspore dos város produos desde as localzações onde são produzdos aé armazéns e deses aé aos clenes. Anunes e Peeers (2001) apresenam um problema de localzação dnâmca baseado num problema real, cuas decsões se prendem com a aberura de novos servços e o fecho, a redução ou expansão de servços á exsenes. Na maor pare dos problemas de localzação dnâmca defndos na leraura, que êm em cona smulaneamene a hpóese de se abrrem e fecharem servços, consdera-se a possbldade de aberura de novos servços num período emporal, manendo-se eses servços aberos aé ao fm do horzone emporal consderado, e a possbldade de fecho de servços que á se enconravam aberos em =1, e que se manerão fechados aé ao fm do horzone emporal. Uma excepção é o argo de Wesolowsky e rusco(1975), mas nese argo os cusos fxos de aberura consderados não êm em cona se numa dada localzação á eseve ou não em funconameno anerormene um servço. Além dsso, não são consderados cusos fxos de funconameno dos servços durane os períodos emporas em que se enconram aberos, nem cusos de encerrameno de servços. O problema que remos formular consdera a possbldade de aberura, fecho e reaberura de servços. A dsnção enre a aberura de um servço e a sua reaberura numa mesma localdade perme que se dsngam os cusos fxos respecvos. Exsem dversas suações em que a reaberura de um deermnado servço numa localdade em assocado um cuso fxo dferene do cuso fxo de aberura (por exemplo, se á se verem adqurdo anerormene as nsalações, se á verem sdo feos anerormene esudos de mpaco ambenal no caso de nsalações de servços obnóxos). O modelo proposo perme anda a consderação de cusos 4

5 de funconameno e de encerrameno de servços (que na maor pare das suações não devem ser gnorados). É ambém possível consderar a suação da exsênca de servços aberos no níco do horzone emporal. Como o modelo descro é uma generalzação do PLS, é medao conclur que se raa de um problema NP-dfícl (Krarup e Pruzan, 198). Fo desenvolvda uma heurísca para a resolução dese problema, que consró soluções duas e prmas admssíves enando forçar a complemenardade enre elas. Mesmo nas suações em que a heurísca não consegue enconrar a solução ópma, consegue sempre enconrar uma solução prmal admssível e fornecer um lme nferor para o valor da função obecvo prmal (permndo aferr a qualdade da solução prmal enconrada). Na secção segune descreve-se um modelo maemáco que formula o problema descro. Na secção formula-se o problema dual lnear do problema prmal apresenado. Na secção 4 descreve-se a heurísca prmal-dual desenvolvda. Na secção 5 descreve-se um possível mecansmo de pesqusa em árvore que poderá ser ulzado sempre que a heurísca não consegur enconrar a solução ópma. Fnalmene, na secção 6 aponam-se algumas possbldades de desenvolvmeno de rabalho fuuro. 2. Formulação do problema e descrção do modelo Consdere-se: J = {1,...,n} conuno de índces correspondenes às localzações dos clenes; I = {1,...,m} conuno de índces correspondenes às possíves localzações dos servços; = número de períodos emporas a consderar; c = cuso de afecar o clene ao servço no período ; FA = cuso fxo de abrr um servço em no níco do período, manê-lo abero aé ao fm do período e encerrá-lo nessa alura; FR = cuso fxo de reabrr um servço em no níco do período, manê-lo abero aé ao fm do período e encerrá-lo nessa alura; a r 1 se o servço é abero no níco do período e se maném abero aé ao fm do período = 0 em caso conráro 1 se o servço é reabero no níco do período e se maném abero aé ao fm do período =, > 1 0 em caso conráro 5

6 x 1 se o clene esá afeco ao servço no período = 0 em caso conráro O problema de localzação dnâmca de servços consderando a possbldade de aberura, fecho e reaberura de servços ao longo do horzone emporal consderado pode ser formulado como PLDAFR: PLDAFR: Mn sueo a: c x FA a FR r ( 1 ) = = x = 1,, ( 2 ) τ = 1 = 1 1 τ = 1 = τ ( a r ) x 0 τ,,, ( ) τ a τ r 0,, ( 4 ) = a = 1 = 1, ( 5 ) τ = 1 = τ ( ) 1 a τ r τ,, ( 6 ) a r, x { 0,1},,,, { 0,1},, > 1, ( 7 ) O conuno de resrções (2) garane que, em cada período emporal, cada clene é servdo por exacamene um servço; o conuno de resrções () garane que, em cada período emporal, um clene só pode ser servdo por um servço que esea abero no período correspondene; o conuno de resrções (4) garane que um servço só poderá ser reabero no níco do período se á ver sdo abero anerormene e se enconre fechado; o conuno de resrções (5) garane que um servço só pode ser abero na localdade uma vez durane odo o 6

7 período emporal; o conuno de resrções (6) garane que, em cada período emporal, só pode esar em funconameno um únco servço na localdade. Se exsr um conuno I c I onde exsem servços aberos em =1, esa nformação poderá ser ncluída no modelo apresenado. Basará para al consderar r 1 =0, I c, 1, e consderar que o somaóro de odas as varáves a 1, I c, 1 enha de ser gual a um, adequando os cusos fxos de aberura no período = 1 à suação de á exsrem servços aberos (o que sgnfca que FA 1, para I c, represenará os cusos de maner o servço abero desde =1 aé ao fm do período e de encerrá-lo, não sendo necessáro nclur os cusos de aberura). As resrções (5) e (6) só precsam de ser consderadas explcamene quando se consdera a possbldade dos cusos fxos poderem omar valores não posvos. O conuno de resrções (6) podera ser subsuído por: r τ = 1 = τ τ 1,, ( 8 ) Como um servço só poderá ser abero uma vez, e só pode ser reabero se á não esver em funconameno após essa aberura, (8) em exacamene a mesma nerpreação de (6). No enano consderaram-se as resrções (6), pos esas faclam o desenvolvmeno da heurísca prmal-dual.. Formulação do problema dual.1. Problema Dual Na consrução do problema dual de PLDAFR consderaram-se as resrções (5 ) e (6 ) em vez de (5) e (6): = 1 = a 1,, ( 5 ) τ = 1 = τ ( ) 1 a τ r τ,, ( 6 ) Assocando às resrções (2) as varáves duas v, às resrções () as varáves duas w, às resrções (4) as varáves duas u, às resrções (5 ) as varáves duas ρ, e às resrções (6 ) as varáves duas π, o problema dual vrá: 7

8 D-PLDAFR: Max sueo a: v v ρ π ( 9 ) w c,,, ( 10 ) τ τ w u τ = τ = 1 ρ π τ = τ FA,,, =, L, ( 11 ) τ = w τ u τ = π τ FR,,, =, L, ( 12 ) w u,, ρ, π 0,,, Consderando w = max{, v c } 0, consró-se o dual condensado: DC-PLDAFR: Max sueo a: τ = τ = u ρ v τ τ τ {, v c } FA u ρ π max 0 π,,, =, L, ( 1 ) τ = 1 τ τ { v c } FR u τ = τ τ = max 0, π,,, =, L, ( 14 ), ρ, π 0,,, τ Consderar as resrções prmas (6) em vez de (8) faz com que a parcela π apareça smulaneamene em (1) e em (14), o que va faclar a consrução de soluções duas admssíves. τ τ = 8

9 .2. Condções de Complemenardade endo formulado os problemas prmal e dual, podem agora enuncar-se as condções de complemenardade que erão de ser sasfeas pelas soluções prmal e dual ópmas, na ausênca de gap de dualdade. Consdere-se: SA = FA τ u τ = 1 τ = τ ρ π max, τ = τ τ { 0 v c },,, =, L, ( 15 ) τ π τ = τ = τ τ { v c } SR = FR u max 0,,,, =, L, ( 16 ) { SA SR } S = mn,,,, =, L, ( 17 ) As condções de complemenardade podem ser enuncadas como: τ = 1 = ( ) a r x w = 0, τ τ ( 18 ),, 1 1 τ = 1 = τ a τ = r u = 0,, ( 19 ) = 1 = a 1 ρ = 0, ( 20 ) τ = 1 = τ ( ) 1 a π = 0, τ r τ, ( 21 ) a SA = 0,,, =,..., ( 22 ) r SR = 0,,, =,..., ( 2 ) 9

10 4. Heurísca Prmal-Dual 4.1. Descrção A heurísca prmal-dual que fo desenvolvda para resolver o problema PLDAFR consró soluções duas e prmas admssíves, enando forçar a sasfação de odas as condções de complemenardade (18)-(2). Se se consegur calcular uma solução prmal e uma solução dual admssíves e complemenares, enão conseguu-se descobrr a solução ópma do problema. Caso conráro a melhor solução dual enconrada fornece um lme nferor ao valor ópmo da função obecvo prmal, permndo aferr a qualdade da melhor solução prmal calculada pela heurísca. O funconameno da heurísca pode ser descro aravés do segune algormo: 1. Incalzação de odas as varáves duas; 2. Execução do Procedmeno Dual Ascendene para as varáves v ;. Execução do Procedmeno Prmal; 4. Execução do Procedmeno de Ause Dual para as varáves ρ. Se a solução dual for alerada r para. 5. Enquano a função obecvo do problema dual melhorar, execuar o Procedmeno de Ause Dual-Prmal para as varáves v ; 6. Execução do Procedmeno de Ause Dual para as varáves ρ. Se a solução dual for alerada r para. 7. Execução do Procedmeno Dual Ascendene para as varáves u ; Se a solução dual for alerada r para. 8. Execução do Procedmeno Dual Descendene para as varáves u ; Se a solução dual for alerada r para. 9. Execução do Procedmeno de Ause Dual para as varáves π. Se a solução dual for alerada r para. Senão Parar. Se em algum momeno o melhor valor da função obecvo dual gualar o melhor valor da função obecvo do prmal, o algormo será ermnado (sgnfca que fo enconrada a solução prmal ópma). A ncalzação das varáves duas poderá ser fea da segune forma: Incalzação das varáves duas 1. v mn{ c } u =,, ; = 0,, ; π = 0,, ; ρ = 0, 2. Se FR < 0, u = max 0, mn FR,, 10

11 . Se FA 0, max 0, mn τ < ρ = FA u,, 1 τ = Nas secções segunes descrevem-se odos os procedmenos referdos. Aravés da aplcação da heurísca a város problemas gerados aleaoramene fo possível verfcar que odos os procedmenos ndcados conrbuem para a melhora do valor da função obecvo dual ou prmal Procedmeno dual ascendene para as varáves duas v Nese procedmeno consdera-se um conuno J J e ena-se aumenar o valor das varáves duas v, J, consderando uma solução ncal { } v e odos os cusos rendexados como descro em Van Roy e Erlenkoer, Quando ese procedmeno é execuado no pono 2 da heurísca prmal-dual, o conuno J é exacamene gual ao conuno J. Sempre que ese procedmeno é execuado denro de ouros procedmenos (como aconece, por exemplo, com o procedmeno de ause dual para as varáves v ), o conuno J é defndo denro desses procedmenos. O valor das varáves duas v é, sempre que possível, aumenado para o menor cuso c maor do que v. Sempre que al não sea possível devdo ao valor de uma slack S τ, aumenase para o maor valor possível al que a solução dual connue admssível. Sempre que o valor de uma varável v aumena é necessáro acualzar o valor de odas as slacks SA τ e SR τ, as que τ, dmnundo o seu valor da mesma quandade de que v fo aumenada (no caso de v ser maor ou gual do que c ). odas as slacks êm de apresenar valores maores ou guas a zero. O procedmeno ermna quando á não for possível aumenar o valor de nenhuma varável v. c Procedmeno dual ascendene para v 1. Consdere-se uma qualquer solução admssível { v } al que 1 v c, (, ), S 0,,,. Para cada (, ) defna-se k(, ) = mn{ k : v c }. Se v c k (, ) = enão (, ) k(, ) 1 2. (, ) (, ) 1 ; q 1; δ = 0.. Se ( ) J k.,, enão r para 7. k 11

12 4. = mn{ S : v c eτ } τ 5. Se k(, ) > c v enão k (, ) v ; = 1; k(, ) k(, ) 1 = c δ 6. Para cada servço, se v c 0, enão S τ = Sτ, τ. 7. Se # J,(, ) (, ) 1 ; q q 1; q q Ir para. 8. Se δ = 1 r para 2. SOP. v = v. 4.. Consrução de Soluções Prmas Admssíves A heurísca prmal-dual preende consrur soluções admssíves para o problema PLDAFR, a parr de soluções duas admssíves, enando forçar a sasfação de odas as condções de complemenardade. Defnam-se os segunes conunos: I * = { (,,τ):s τ = 0} I * = { : (,τ, ) I * e τ } I = { : o servço esá abero no período } I A = { (,τ, ) : a τ = 1} I R = { (,τ, ) : r τ = 1} O conuno I * corresponde a odos os ros (,,τ) as que SA τ e/ou SR τ são guas a zero. É a parr dese conuno que se vão escolher as varáves que se rão colocar nos conunos I A e I R, consundo eses conunos a solução prmal consruída. I * ndca o conuno de servços que poderão esar aberos durane o período, e I o conuno de servços que efecvamene esão aberos no período. Eses conunos poderão não ser guas, pos ena sempre abrr-se o menor número de servços possíves al que se garana que odos os clenes são servdos por um servço abero. No procedmeno prmal começam por se nclur em I aqueles servços que perencem a I * e que são consderados essencas no período. Um servço é consderado essencal para o período se exse pelo menos um clene al que o valor da varável dual v é maor ou gual do que c apenas para esse servço I *. Cada clene nesas condções será afeco, no período, ao servço que lhe é essencal. Para odos os ouros clenes, verfca-se se poderão ser afecos a um servço perencene a I. No caso de al não ser possível coloca-se em I o servço I * a que corresponde o menor cuso de afecação c. Para enar evar que se abram mas servços do que os necessáros, volam a reper-se eses passos, mas agora consderando o conuno I * gual a I, ou sea, para os servços que foram consderados aberos no período, 12

13 va verfcar-se quas deses são essencas. Os servços essencas são os prmeros a serem consderados aberos. Os resanes servços só serão aberos se for necessáro. Procedmeno Prmal 1. I A = I R = 0. I = 0,. Consrur os conunos I * e I *. Vezes =0; * 2. Para =1 aé nclur em I odos os servços I : v c e v < c ', '. as que. Para cada clene al que < c I v,, nclur em I o servço al que c v c ' ' = mn c. Vezes = vezes1. Se vezes = 1 enão I A = I R = 0. I * = I e I = 0,, r para 2. Senão r para Consrur os conunos I A e I R. Acualzar I. Para =1 aé, afecar cada clene ao servço I com menor c. 5. Verfcar sasfação das condções de complemenardade (19)-(21). Nese procedmeno os passos 4 e 5 requerem especal aenção. De faco, a consrução dos conunos I A e I R é basane mas complexa do que a consrução do conuno I no algormo Dynaloc (Van Roy e Erlekoer, 1982), porque poderão er de se consderar períodos de aberura e reaberura para um mesmo servço que garanam a admssbldade da solução prmal consruída. Sempre que, para um deermnado servço e período se em I com S τ = 0, τ para mas do que um par (τ,), a escolha de qual varável nserr nos conunos I A ou I R pode ornar-se um problema combnaóro por s só. Os conunos I A e I R são consruídos endo em cona, para cada servço, quas os períodos emporas em que em de esar abero. Consderando: 1 = mn{τ : I τ } e 2 = max {τ : I τ } va verfcar-se se (, 1, 2 ) I *. Se (, 1, 2 ) I *, nclu-se a varável a 2 em I A. Caso conráro serão execuados dos procedmenos (fgura 1 e 2) que ncluem em I A e I R varáves que garanem que o servço esará abero em odos os períodos as que I. Eses dos procedmenos são muo semelhanes, resdndo a dferença enre eles no faco de num se começar a consrur os conunos I A e I R no que dz respeo ao servço desde =1 aé =, e no ouro se fazer o nverso. Desa forma execuam-se ambos os procedmenos, escolhendo-se depos a melhor solução enre ambas. 1 1

14 Os procedmenos de consrução da solução prmal enam, para cada servço I, nclur em I A ou I R o ro (,τ, ) I * e τ, que abrana o maor número de períodos emporas possível. O procedmeno 1 começa a consrur a solução consderando = 1, e va enar nserr em I A o ro (,τ, ), consderando τ = 1 e =. Se al não for possível porque (,τ, ) I *, enão va dmnur-se em uma undade, aé que (,τ, ) I * ou enão < 1. Se (,τ, ) I *, enão nsere-se (,τ,) em I A, avança-se τ para 1 (porque não podem exsr sobreposções nos períodos emporas devdo às resrções (6) ) e avança-se para o próxmo período emporal al que I, rependo-se o processo (odos os ouros ros (,τ, ) I * que forem consderados serão nserdos em I R ). Se < 1, sgnfca que não fo possível enconrar nenhum ro (,τ, ) I * que ncluísse o período, pelo que se ncremena o valor de τ em uma undade aé que sea enconrado (,τ, ) I * ou enão τ > 1. No prmero caso, procede-se como á descro. No segundo caso sgnfca que não va ser possível consrur a solução prmal recorrendo apenas a (,τ, ) I *. Va er de se nserr em I R uma varável al que S τ 0, o que provoca volação das condções de complemenardade. O procedmeno 2 consró a solução prmal de forma semelhane, mas começando por consderar = 2, ncremenando prmero o valor de τ e dmnundo depos o valor sempre que não se enconra (,τ, ) I *. Em ambos os procedmenos enam expermenar-se, para cada período, odas as possbldades (,τ, ) que ncluam ese período, endo em cona as varáves á ncluídas em I A e I R e respeando as resrções (6). A ulzação deses procedmenos para cada servço garane a consrução de uma solução admssível para PLDAFR, mas pode orgnar volações das condções de complemenardade (22) e (2). Opou-se por mnmzar o número de volações, garanndo-se que, para cada servço, haverá no máxmo uma volação de (22) ou (2). Noe-se que a consrução dos conunos I A e I R não em em cona ouras varáves duas para além das varáves v. Iso faz com que a solução prmal consruída possa volar algumas condções de complemenardade, nomeadamene (19), (20) e (21). Por ese movo consruuse um ouro procedmeno (fgura ) que será execuado no passo 5 do procedmeno prmal. Aqu va verfcar-se se exse ou não volação de alguma das condções de complemenardade ndcadas. Em caso afrmavo, ena alerar-se a solução prmal, forçando a sasfação das condções de complemenardade que esão a ser voladas. 14

15 Procedmeno 1 Iníco = 1;empo = 1; sop = false; aberura = rue; ENQUANO empo 2 SE I empo ENÃO τ = nco; = ; = empo; ENQUANO τ e não sop ENQUANO e não sop SE (, τ, ) I * ENÃO SE aberura ENÃO (, τ, ) I A aberura = false FIMSE SENÃO (, τ, ) I R FIMSENÃO empo = nco = 1 Sop = rue FIMSE SENÃO = -1 FIMSENÃO FIMENQUANO τ = τ 1; = FIMENQUANO SE não sop ENÃO SE aberura ENÃO (, nco, 2 ) I A aberura = false FIMSE SENÃO (, nco, 2 ) I R FIMSENÃO empo = 2 1 FIMSE FIMSE empo = empo 1 FIMENQUANO Fgura 1 As condções de complemenardade (19) a (21) obrgam a que: Se ρ 0, enão em de se abrr um servço em durane o horzone emporal consderado. Se π 0, enão em de esar abero um servço na localdade no período. Se u 0, enão, se ver sdo abero um servço na localdade anes de, al que esea fechado no período, enão esse servço erá de ser reabero em. No caso de se er smulaneamene ρ, π e u dferenes de zero, se as condções de complemenardade relavas a u esverem sasfeas, o mesmo aconecerá com as condções de complemenardade relavas às resanes varáves. Da mesma forma, se ρ e π forem 15

16 smulaneamene dferenes de zero e as condções de complemenardade (21) forem sasfeas, enão pode garanr-se que as condções (20) ambém são sasfeas. Procedmeno 2 fm = ;empo = 2 ; sop = false; ENQUANO empo 1 SE I empo ENÃO τ = 1; = fm; = empo; ENQUANO e não sop ENQUANO τ e não sop SE (, τ, ) I * ENÃO SE τ 1 ENÃO (, τ, ) I A FIMSE SENÃO (, τ, ) I R FIMSENÃO empo = fm =τ -1 Sop = rue FIMSE SENÃO τ = τ 1 FIMSENÃO FIMENQUANO = -1; τ =1 FIMENQUANO SE não sop ENÃO (, 1, fm ) I A empo = 1-1 FIMSE FIMSE empo = empo -1 FIMENQUANO Fgura 2 O procedmeno de verfcação das condções de complemenardade não garane que dexe de haver volações, pos para al podera er de se consrur soluções prmas não admssíves (poderam ser voladas as resrções (4) e (6)). O que o procedmeno de verfcação das condções de complemenardade faz é começar por verfcar se exse volação das condções (19). Se al aconecer, ena reabrr o servço no período, mas respeando as resrções (6) (verfcando se exse alguma varável r τ em I R o que, em caso afrmavo, faz com que só se possam consderar varáves de reaberura r ζ, com ζ < τ). Algo de semelhane aconece quando exse volação das condções de complemenardade (21). ena (re)abrr-se o servço de modo a que esea em funconameno no período, mas consderando apenas nervalos de empo que não ncluam períodos á abrangdos por varáves que perençam a I R ou I A. Quano às condções de complemenardade (20), se esas não forem sasfeas, sgnfca que não exse nenhum servço 16

17 abero em em nenhum dos períodos emporas consderados. Nese caso pode escolher-se uma qualquer varável cua slack sea gual a zero e colocá-la em I A (não exse o pergo de volação das resrções (6) ). Procedmeno de verfcação das condções de complemenardade = 1 ENQUANO #I ρsasfeo = false; πsasfeo =false; =1; ENQUANO SE u 0 e (, τ,) I A, < ENÃO SE (,,) I R ENÃO max = max = mn {max, mn {τ : (, τ,γ) I R e τ > } } SE (,,) I *, < max ENÃO (,,) I R ρsasfeo = rue ; πsasfeo =rue FIMSE FIMSE SENÃO ρsasfeo = rue; πsasfeo =rue FIMSENÃO FIMSE SE π = 0 e πsasfeo = false ENÃO SE I ENÃO SE (,τ, ) I A ENÃO mn = max { : (, τ, ) I A I R, < } max = mn { τ: (, τ, ) I A I R, τ > } FIMSE SENÃO mn = 1 ; max = FIMSENÃO SE (,τ, ) I * : τ mn e max ENÃO (,τ, ) I A ou I R ρsasfeo = false FIMSE FIMSE SENÃO ρsasfeo = rue FIMSENÃO FIMSE FIMENQUANO SE ρsasfeo = false e ρ 0 ENÃO Escolher (,τ, ) I * (,τ, ) I A FIMSE FIMENQUANO Fgura No fm da execução do procedmeno prmal enconra-se uma solução prmal admssível para PLDAFR. Esa solução poderá volar as condções de complemenardade (22) ou (2), 17

18 pos poder-se-á consrur uma solução em que (,τ, ) I A com SA τ 0 e SR τ =0, ou enão (,τ, ) I R com SR τ 0 e SA τ =0. Os procedmenos que a segur se descrevem rão ldar com esas suações Procedmeno de ause dual para as varáves r Se for possível dmnur o valor de uma varável ρ que sea dferene de zero, manendo-se a admssbldade da solução dual, esar-se-á a melhorar o valor da função obecvo de DC- PLDAFR. O valor de ρ poderá ser dmnuído sempre que SA τ 0, 1 τ. Ese procedmeno começa por verfcar se so aconece. Em caso afrmavo, dmnu o valor da varável dual, acualzando o valor de odas as slacks SA τ. Caso conráro, ena aumenar-se o valor da varável dual. Se se aumenar o valor de uma varável dual ρ, vão aumenar-se odas as slacks SA τ. O aumeno desas slacks poderá fazer com que sea possível aumenar o valor de varáves v que eseam mpeddas de crescer por alguma slack SA τ. No enano as varáves duas ρ enram na função obecvo do problema dual DC-PLDAFR com o coefcene 1, pelo que só deverão ser aumenadas se a correspondene dmnução do valor da função obecvo for compensada pelo aumeno das varáves v. Noe-se anda que só valerá a pena aumenar SA τ se a slack SR τ for maor do que zero. Caso conráro não se alerara o valor de S τ. Esa suação ocorre sempre que exse uma volação das condções de complemenardade descras na secção aneror: (, τ, ) I R com SR τ 0 e SA τ =0. Aumenar o valor da varável dual ρ é uma manera de enar evar esas volações das condções de complemenardade. Sempre que se aumena o valor de ρ conró-se o conuno J que rá corresponder a odas as varáves v cuo valor poderá aumenar. É enão execuado o procedmeno dual ascendene para as varáves v. No caso de o aumeno de ρ não er sdo oalmene aproveado pelo aumeno das varáves v, dmnu-se ρ, garanndo-se que a função obecvo dual nunca será porada. * { τ I e v c }. * Consdere-se I = : (, ) comτ (, τ, ) Procedmeno de ause dual para as varáves ρ 1. 1; τ 2. ρ mn{ SA } ;Se Δρ = 0 enão r para. Senão r para 7. τ 18

19 { : I com SA = 0 e SR 0}. ρ = SR (, τ, ) max. τ R τ τ SA τ 4. Se ρ 0 enão ρ ρ ρ ; SA ρ, τ, τ. Senão r para 8. { } * 5. J = (, ) : I = { }, J = τ. Execuar o Procedmeno Dual Ascendene para as varáves J. Execuar o Procedmeno Dual Ascendene para as varáves v v. 6. τ τ τ ρ = mn SA. mn ρ.se ρ 0 enão SA τ SA τ ρ, τ, τ ; ρ ρ ρ 7. ρ = { ρ, } 8. Se = # I enão parar. Senão 1; r para 2. Apresena-se em seguda a prova de que o algormo apresenado nunca poderá porar o valor da função obecvo de DC-PLDAFR. Hpóese: O procedmeno de ause dual para as varáves ρ obecvo dual de DC-PLDAFR. não pora o valor da função Prova: Ao dmnur o valor da varável ρ, manendo-se a solução dual admssível, esá a melhorar-se o valor da função obecvo dual, pos a varável ρ conrbu com o coefcene 1 para a função obecvo dual. Ao aumenar o valor de ρ, execua-se o procedmeno de ause dual para as varáves v. Sea v a varação ocorrda no valor da varável v. Sea 1 ρ o aumeno relavo ao pono 4, 2 ρ a dmnução relava ao pono 7 e ρ = 1 ρ - 2 ρ. Seam SA τ as slacks que se obêm após execução do procedmeno de ause dual. Noe-se que 1 ρ 2 ρ. Para verfcar esa desgualdade basa pensar na slack SA τ que era gual a zero e que fo aumenada em 1 ρ. Durane a execução do procedmeno dual ascendene para as varáves v, esa slack só poderá dmnur, pelo que 2 ρ SA τ 1 ρ. Após a execução do procedmeno, duas suações podem ocorrer: 19

20 1. Se exsr alguma slack SA τ que enha reomado o seu valor ncal, so sgnfca que ese aumeno fo oalmene aproveado pelo aumeno das varáves duas v, e por sso garanese que v τ τ 1 ρ (não se pora o valor da função obecvo). Com efeo: SA' = SA ρ v,logo se SA τ =SA τ enão ρ = 0. = τ v = τ 2. Se odas as slacks SA τ são maores do que eram anes de se alerar o valor de ρ, enão sgnfca que odas elas são maores do que zero, pelo que se rá dmnur o valor de ρ. Consdere-se a slack SA τ, com v c, que após a execução do pono 6 do procedmeno de ause dual fcou: τ τ SA' = SA ρ v. 1 = τ Como SA τ > SA τ, so sgnfca que: ρ, ou sea, ρ 1 v 0 = τ 1 v. = τ Se o valor de ρ se manvesse podera haver uma deeroração no valor da função obecvo dual. No enano, o valor desa varável rá ser dmnuído em 2 ρ calculado como em 7. Iso sgnfca que pelo menos uma slack rá omar o valor zero, o que sgnfca que odo o aumeno de ρ fo compensado pelo aumeno nas varáves duas v : τ SA Como SA 0 sgnfca que: ' τ = SA τ 1 2 = = τ 1 = τ ρ ρ v = τ ρ 2ρ v 0, ou sea, ρ 2 ρ v Na por das hpóeses, dmnu-se a varável ρ exacamene do mesmo valor que nha aumenado anes, e a função obecvo não erá porado nem melhorado Procedmeno de Ause dual-prmal para as varáves v O procedmeno de ause dual-prmal para as varáves v em como obecvo deecar volações das condções de complemenardade (18), dmnundo o valor de algumas varáves v, e permndo o aumeno de ouras varáves v. Desa forma preende-se forçar a sasfação 20

21 das condções (18) e, smulaneamene, melhorar o valor da função obecvo dual. O procedmeno desenvolvdo basea-se no rabalho de Erlenkoer(1978) e Van Roy e Erlenkoer (1982), com as obrgaóras alerações para o problema DC-PLDAFR. Consdere-se: I * = * { : ( τ, ) comτ (, τ, ) I e v c } { : I e v c } τ * * {(, τ ): I = { } e (, γ, ) I, γ τ < ou < τ γ } max { c : v c } I = > J = c = > O conuno varável v I ndca, para cada clene, odos os servços aberos no período as que a é maor do que o cuso de afecação c. Só exse volação das condções de complemenardade (18) se exsr pelo menos um par (, ) al que o cardnal de I sea maor do que um. Ao dmnur o valor de uma varável v al que o cardnal de I é maor do que um, sgnfca que se vão aumenar pelo menos as slacks S τ,τ, para dos servços dsnos. É so que perme que o valor da função obecvo dual possa melhorar. O conuno J represena odas as varáves v τ cuo valor poderá ser aumenado com o aumeno de uma slack S τ,τ. É a parr dese conuno que se conró J, sendo depos execuado o procedmeno dual ascendene para as varáves v. As varáves v esão organzadas numa sequênca de pares (, ). Procedmeno de ause dual-prmal para as varáves v 1. Incalzar (, ) (, ) 1 ; q 1; δ Se # I 1 r para 9. U c. Se J = 0/ enão r para 9. v 4. Para cada (,, ), τ e v > c τ fazer S τ = S τ v c ; = c v. 5. J = U J. Execuar o Procedmeno Dual Ascendene para as varáves v. v c 21

22 ( ) J = J,.Execuar o Procedmeno Dual Ascendene para as varáves v. J = J. Execuar o Procedmeno Dual Ascendene para as varávesv. 6. Se v ver sdo alerado, enão r para Execuar o procedmeno prmal. 8. Se ver havdo melhoras no valor da função obecvo prmal ou dual enão δ 0. Senão δ δ1. 9. Se o valor acual da função obecvo prmal for gual ao da função obecvo dual, ou δ =δ max ou q # J enão parar; senão q q 1; (, ) (, ) q, r para Procedmeno dual ascendene para u Ao aumenar o valor de uma varável u, aumenam-se as slacks SR,, mas dmnuem-se as slacks SA τ, τ <. Se se consegur aumenar slacks S τ que eseam a mpedr o aumeno de varáves v, dmnundo slacks S τ que não lmam o crescmeno de nenhuma varável v, será possível melhorar o valor da função obecvo de DC-PLDAFR. Só neressará aumenar o valor de uma varável u se exsr SR = 0 e SA 0. Esa suação ocorre, por exemplo, quando (,, ) I A com SA 0 e SR =0. Nese caso neressa aumenar SR no máxmo no valor de SA pos a parr daqu qualquer aumeno em SR não se va repercur em S. Por ouro lado, a varável u poderá ser aumenada, no máxmo, no valor mínmo de SA τ, τ <, para que se conserve a admssbldade da solução dual. Aumenar o valor da varável u pode audar a combaer a volação da resrção de complemenardade (22). O procedmeno começa por verfcar se é possível aumenar o valor de u, manendo-se a admssbldade da solução dual. Caso sea possível, aumena-se o valor da varável, acualzam-se as slacks, verfca-se quas as varáves v que poderão ser aumenadas (aquelas que esão mpeddas de crescer devdo, uncamene, a slacks que rão aumenar. Esas varáves consuem o conuno J ) e execua-se o procedmeno dual ascendene para as varáves v. Consdere-se que as varáves u esão organzadas numa sequênca de pares (,). Procedmeno Dual Ascendene para u 22

23 1. Incalzar (, ) (, ) 1 ; q ; u 0; δ 0.. Se SR = 0 e SA 0, enão u max { u, SA } e δ Se = r para 5, senão 1, r para. 5. Se δ = 0, r para 7. Senão γ u mn u, mn SAτ, SR SR u,. τ γ < SA τ SA τ - u, τ < e u u u. { } * 6. J = (, ) : I = { }, J =. Execuar o Procedmeno Dual Ascendene para as varáves v. J. Execuar o Procedmeno Dual Ascendene para as varáves v. 7. Se q =#I enão parar. Senão q q 1; (, ) (, ) q, r para Procedmeno dual descendene para u Ao dmnur o valor de uma varável dual u, dmnuem-se as slacks SR,, e aumenam-se as slacks SA τ,τ <. Para que sea garanda a admssbldade da solução dual, só se poderá dmnur u se SR > 0,. ambém nese caso será possível melhorar a função obecvo dual, desde que se consga aumenar slacks S τ que eseam a mpedr o aumeno de varáves v, dmnundo slacks S τ que não lmam o crescmeno de nenhuma varável v. Verfca-se quas as varáves v que podem aumenar o seu valor, e execua-se o procedmeno dual ascendene para as varáves v. Procedmeno Dual Descendene para u 1. Incalzar (, ) (, ) 1 ; q Se u =0 r para 6; Caso conráro, u 0; δ 0.. Se SR > 0,, enão u mn{ SR } e δ Se δ = 0 r para 6. Senão u mn { u, u }; SR SR - u,. SA τ SA τ u, τ < e u u - u. { } * 5. J = (, ) : I = { }, J =. Execuar o Procedmeno Dual Ascendene para v. J. Execuar o Procedmeno Dual Ascendene para v. 6. Se q =#I enão parar. Senão q q 1; (, ) (, ) q, r para 2. 2

24 4.8. Procedmeno de ause dual para as varáves p Ao aumenar o valor das varáves π aumena-se o valor das slacks S τ,τ. O aumeno desas slacks poderá permr que varáves v aumenem o seu valor. Alás, só compensa aumenar π se aqulo que se perde na função obecvo (porque esa varável conrbu com o coefcene 1) for compensado pelo que se ganha com o aumeno de varáves v. Se se dmnur o valor das varáves π, manendo-se a admssbldade da solução dual, melhora-se auomacamene o valor da função obecvo de DC-PLDAFR. O procedmeno que a segur se apresena ena dmnur ou aumenar o valor das varáves duas π, manendo a admssbldade da solução dual e garanndo que o valor da função obecvo dual não pora. Ome-se a prova, por ser semelhane à apresenada para o procedmeno de ause dual para as varáves ρ. Se odas as slacks S τ,τ forem maores do que zero, sgnfca que não vale a pena aumenar o valor da varável π. Se esa varável for maor do que zero, sgnfca que se pode descer o seu valor, acualzando-se as slacks S τ,τ. Se exsr alguma slack gual a zero, aumena-se o valor da varável π em M (um valor posvo e maor do que os cusos consderados no problema). Verfca-se quas as varáves duas que poderão aumenar o seu valor e execua-se o procedmeno dual ascendene para as varáves v. Se o aumeno de π não for aproveado na oaldade pelo aumeno das varáves v, sgnfca que odas as slacks S τ,τ serão maores do que zero, procedendo-se de seguda à dmnução de π. Procedmeno de ause dual para as varáves π 1. Incalzar (, ) (, ) 1 ; q τ τ π = mn S. Se π 0, enão r para 6. Senão π M.. S τ S τ π, τ ; π =π π. { } * 4. J = (, ) : I = { }, J =. Execuar o Procedmeno Dual Ascendene para as varáves v. J. Execuar o Procedmeno Dual Ascendene para as varáves v. 5. τ τ π = mn S. 6. π =mn { π, π }. Se π 0 enão S τ S τ - π, τ. π =π - π. 7. Se q =#I enão parar. Senão q q 1; (, ) (, ) q, r para 2. 24

25 4.9. Exemplos de Aplcação Exemplo 1 Consdere-se o segune problema, com rês períodos emporas, em que não se consdera a hpóese de reaberura no período 1: Cusos de afecação: = = = Cusos fxos de aberura e reaberura: FA 1 1 FA 1 2 FA 1 FA 2 2 FR 2 2 FA 2 FR 2 FA FR Após o Procedmeno Dual Ascendene para v fcamos com os segunes valores para as varáves duas:

26 E para as slacks: SA 1 1 SA 2 1 SA SA 2 SR 2 SA 2 SR 2 SA SR A função obecvo do dual em o valor 46. I * = {(,1,1),(,1,2),(2,1,),(,2,)} I * 1 ={2,}; I * 2 ={2,}; I * ={2,} I 1 ={}; I 2 ={2,}; I ={2,} O Procedmeno 1 dará orgem à solução: I A ={(,1,2),(2,1,)}; I R ={(,,)} que vola condções de complemenardade pos SR 0. O cuso oal desa solução é de 48. O Procedmeno 2 dará orgem à solução: I A ={(,1,1),(2,1,)}; I R ={(,2,)}. O cuso oal desa solução é de 47. Exse volação das condções de complemenardade porque v 1 2 >c 21 2 e v 1 2 >c 1 2. O Procedmeno de ause dual para as varáves ρ não alera a solução dual, pelo que ρ = 0,. J 2 2 ={(2,2),(2,)}; J 2 ={(,2),(,),(4,2),(4,)}. A solução dual resulane do procedmeno de ause dual-prmal será: As slacks não sofrem alerações. A função obecvo do dual fca com o valor 47, o que sgnfca que a melhor solução calculada anerormene é a solução ópma. 26

27 Exemplo 2 Consdere-se um exemplo com os mesmos cusos de afecação do exemplo 1, e com os segunes cusos fxos de aberura e reaberura: SA 1 1 SA 1 2 SA 1 SA 2 2 SR 2 2 SA 2 SR 2 SA SR Após o Procedmeno Dual Ascendene para v fcamos com os segunes valores para as varáves duas e para as slacks: SA 1 1 SA 1 2 SA 1 SA 2 2 SR 2 2 SA 2 SR 2 SA SR A esa solução dual corresponde o valor da função obecvo gual a 9. I * = {(,1,2),(2,1,),(,2,)} I * 1 ={2,}; I * 2 ={2,}; I * ={2,} I 1 ={}; I 2 ={2,}; I ={2,} O Procedmeno 1 dará orgem à solução: I A ={(,1,2),(2,1,)}; I R ={(,,)} que vola condções de complemenardade pos SR 0. O cuso oal desa solução é de 41. O Procedmeno 2 dará orgem à solução: I A ={(,1,1),(2,1,)}; I R ={(,2,)}. O cuso oal desa solução é de 47. A solução vola condções de complemenardade pos SA O Procedmeno de ause dual para as varáves ρ não alera a solução dual, pelo que ρ = 0,. O Procedmeno de Ause Dual-Prmal para as varáves v não alera a solução dual. Como SR 2 = 0 e SA 2 0, faz-se u 2 = 7 ( u 2 = mn{ SA 2, SA 1 1 }). 27

28 Alerando-se as slacks respecvas e execuando o procedmeno de ause dual, fcamos com a solução dual: SA 1 1 SA 1 2 SA 1 SA 2 2 SR 2 2 SA 2 SR 2 SA SR O valor da função obecvo dual é 41, o que mosra que á ínhamos calculado a solução ópma. Exemplo Consdere-se o segune problema, com rês períodos emporas, em que não se consdera a hpóese de reaberura no período 1: Cusos de afecação: = = =

29 Cusos fxos de aberura e reaberura: FA 1 1 FA 2 1 FA FA 2 FR 2 FA 2 FR 2 FA FR Após o Procedmeno Dual Ascendene para v fcamos com os segunes valores para as varáves duas: E para as slacks: SA 1 1 SA 2 1 SA 2 1 SA 2 SR 2 2 SA 2 SR 2 SA SR A função obecvo do dual em o valor 47. I * = {(1,1,1),(1,1,2),(,1,1),(,1,2),(2,2,),(,2,)} I * 1 ={1,}; I * 2 ={1,2,}; I * ={2,} I 1 ={1,}; I 2 ={,1}; I ={2,} O Procedmeno 1 dará orgem à solução: I A ={(1,1,2),(2,2,),(,1,2}; I R ={(,,)} que vola condções de complemenardade pos SR 0. O cuso oal desa solução é de 66. O Procedmeno 2 dará orgem à solução: I A ={(1,1,2),(2,2,),(,1,1)}; I R ={(,2,)}. O cuso oal desa solução é de 55. Como SA 2 = 0 e SR 2 0, eremos de alerar o valor de ρ, que rá passar a ser gual a 5. Alerando as slacks e volando a execuar o Procedmeno Dual Ascendene, fcamos com: 29

30 SA 1 1 SA 1 2 SA 1 SA 2 2 SR 2 2 SA 2 SR 2 SA SR Esa solução em como valor da função obecvo 49. I * = {(1,1,1),(2,1,1),(1,1,2),(2,1,2),(,1,2),(1,2,),(2,2,)} I * 1 ={1,2,}; I * 2 ={1,2,}; I * ={1,2} I 1 ={1}; I 2 ={1,}; I ={1,2} O Procedmeno 1 dará orgem à solução: I A ={(1,1,2),(2,2,),(,1,2)}; I R ={(1,,)}, que vola condções de complemenardade pos SR 1 0. O cuso oal desa solução é de 65. O Procedmeno 2 dará orgem à solução: I A ={(1,1,1),(2,2,),(,1,2)}; I R ={(1,2,)}. O cuso oal desa solução é de 54. Como SA 12 = 0 e SR 12 0, eremos de alerar o valor de ρ 1, que rá passar a ser gual a 5. Após a execução do procedmeno dual ascendene, o seu valor rá ser dmnuído para. A solução dual obda é: SA 1 1 SA 1 2 SA 1 SA 2 2 SR 2 2 SA 2 SR 2 SA SR Esa solução em como valor da função obecvo 50. I * = {(2,1,1),(1,1,2),(2,1,2),(,1,2),(1,2,),(2,2,),(,2,)} 0

31 I 1 * ={1,2,}; I 2 * ={1,2,}; I * ={1,2,} I 1 ={1}; I 2 ={2,}; I ={2} O Procedmeno 1 dará orgem à solução: I A ={(1,1,2),(2,2,),(,1,2)}. O cuso oal desa solução é de 50. Esa é a solução ópma para o problema. Como se pode verfcar o valor da função obecvo dual é gual ao valor da função obecvo prmal, logo não são voladas quasquer condções de complemenardade. 5. Cálculo da solução ópma aravés de pesqusa em árvore Sempre que a heurísca prmal-dual não consegue enconrar a solução ópma de PLDAFR, pode ncar-se um processo de pesqusa em árvore. Ese processo poderá ser ncado com a solução enconrada pela heurísca, escolhendo as varáves a fxar aravés das condções de complemenardade que esverem a ser voladas. Para se fxarem as varáves a zero ou a um podem ulzar-se os mecansmos descros em Erlenkoer, As condções de complemenardade que poderão ser voladas pela solução prmal calculada aravés da heurísca são: a τ =1 e SA τ 0. Nese caso escolher a varável r τ para fxar a zero e/ou a um. r τ =1 e SR τ 0. Nese caso escolher a varável a τ para fxar a zero e/ou a um. u 0 e r =0,. Escolher a varável r al que SR τ = 0 para fxar gual a zero e/ou a um. π 0 e a = r =0, τ. Escolher a varável a ou r al que S τ = 0 para fxar gual a zero e/ou a um. v > c, para mas do que um servço I. Nese caso escolher a varável a τ I A ou r τ I R,τ, para fxar gual a zero e/ou a um. 1

32 Fxam-se varáves a zero e a um, ulzando a heurísca prmal-dual em cada nó da árvore para enconrar soluções prmas admssíves. Só se poderá reroceder quando a heurísca enconrar a solução ópma de um nó da árvore. 6. Desenvolvmenos Fuuros Vamos efecuar eses compuaconas que nos permam rar conclusões fundamenadas sobre o desempenho desa heurísca: o número de vezes que consegue angr a solução ópma e, no caso de não a angr, qual a dsânca a que fca do melhor lme nferor conhecdo; quas as dmensões do problema (quer em relação ao nº de clenes e servços, quer em relação ao n.º de períodos emporas consderados) com que consegue ldar. Preendemos ambém comparar o desempenho do algormo de pesqusa em árvore descro com o desempenho de um general solver. Se a heurísca e o algormo de pesqusa em árvore verem, como se espera, um bom desempenho pode ambém pensar-se em generalzar o PLDAFR consderando capacdades máxmas assocadas aos servços. 7. Bblografa Anunes, A. e D. Peeers (2001), On solvng complex mul-perod locaon models usng smulaed annealng, European Journal of Operaonal Research,10, pp Cornueols, G., G. Nemhauser e L. Wolsey (1990), he Uncapacaed Facly Locaon Problem, n Dscree Locaon heory, Mrchandan e Francs Eds., Wley Inerscence, pp Erlenkoer, D. (1978), A Dual-Based Procedure for Uncapacaed Facly Locaon, Operaons Research, 26(6), pp Erlenkoer, D. (1981), A Comparave Sudy of Approaches o Dynamc Locaon Problems, European Journal of Operaonal Research, 6, pp 1-14 Fong, C. O. e V. Srnvasan (1981a), he Mulregon Dynamc Capacy Expanson Problem - Par I, Operaons Research, 29 (4), pp

33 Fong, C. O. e V. Srnvasan (1981b), he Mulregon Dynamc Capacy Expanson Problem - Par II,Operaons Research, 29 (4), pp Galvão, R. D. e E. del R. Sanbañez-Gonzalez (1992), A Lagrangean Heursc for he P-Medan Dynamc Locaon Problem,European Journal of Operaonal Research, 58, pp Hnoosa, Y., J. Puero e F.R. Fernández (2000), A Mulperod wo-echelon mulcommody capacaed plan locaon problem, European Journal of Operaonal Research, 12, pp Krarup, J. e P. Pruzan (198), he Smple Plan Locaon Problem: Survey and Synhess, European Journal of Operaonal Research, 12, pp 6-81 Lapore, G. e P. Deax (1989), Operaonal Research Socey, 40 (5), pp Dynamc Locaon-Roung Problems, Journal of he Melachrnouds, E., H. Mn, X. Wu (1995), A Mulobecve Model for he Dynamc Locaon of Landflls, Locaon Scence, (), pp Mn, H. (1988), he Dynamc Expanson and Relocaon of Capacaed Publc Facles: a Mul-Obecve Approach, Compuers and Operaons Research, 15(), pp Saldanha da Gama, F. e M. E. Capvo (1996), A Noe on Dual Based Procedure for Dynamc Facly Locaon,Workng Paper 11/96 - Cenro de Invesgação Operaconal - Faculdade de Cêncas da Unversdade de Lsboa Shulman, A. (1991), An Algorhm for Solvng Dynamc Capacaed Plan Locaon Problems wh Dscree Expanson Szes, Operaons Research, 9(), pp Sweeney, D. J. e R. aham (1976), An Improved Long-Run Model for Mulple Warehouse Locaon, Managemen Scence, 22 (7), pp

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