Deteção de sinais de pulsos de radar através da transformada contínua da wavelets

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1 Deteção de inai de pulo de radar atravé da tranformada contínua da wavelet Ademilon Zanandrea, Oamu Saotome, Sérgio Viana de Freita Divião de Engenharia Eletrônica IEE, Intituto ecnológico da Aeronáutica-IA, 8-9, São Joé do Campo - SP ademil@ele.ita.br A tranformada contínua de wavelet é introduzida para detectar a caracterítica de ecala ou período de inai de pulo de radar intercalado. Dua wavelet mãe ão uada, a Retangular que tem uporte compacto no tempo e a de Morlet, a quai contém um número fixo, M, de ciclo de uma exponencial complexa, que provê uma reolução epectral de ( M ). A detecção por wavelet motrou-e robuta ao pulo perdido e enível para eqüência imple e complexa. O método apreenta melhore reultado em relação a outro á reportado, como o método da hitogramação e do periodograma. A análie de wavelet uprime a complicaçõe de múltiplo harmônico e o efeito de interferência cruzada entre eqüência de pulo intercalado ão minimizado. A análie em tempo-ecala uando a wavelet de Morlet apreenta melhor definição do pico da potência epectral para a eqüência wobulated e o procedimento de cálculo da tranformada no domínio de freqüência diminuiu conideravelmente o cuto computacional, em perda na eficiência de detecção. INRODUÇÃO Um itema de vigilância uado para detectar e identificar radare mede certa caracterítica da emiõe de radar para averiguar a natureza da fonte [7, 6, 8]. A maioria do radare que e encontra na prática emite energia numa eqüência de pulo predefinida. A ditribuição dete pulo egue padrõe imple ou complexo decrito por parâmetro menurávei, como intervalo de repetição de pulo. Com a finalidade de decobrir e identificar radare, coniderando-e eta uceõe de pulo como inai. O problema de determinar a preença de um emior epecífico é então um problema de detecção. A preença ou auência de um emior é uma função do trem de pulo de chegada. Um problema ignificante urge quando o inai de doi ou mai emiore e obrepõem no tempo. O pulo que chegam numa ordem natural tornam-e intercalado. Ito complica a tarefa de identificação da eqüência individuai. A veze é difícil, ou impoível determinar quai pulo pertencem para qual emior, ou até memo quanto emiore etão repreentado em um fluxo de pulo intercalado. Um método á conhecido para o proceamento de eqüência de pulo intercalado é baeado na hitogramação da diferença de tempo de chegada [, 3,, 7, 9]. A eência dete método é fazer uma procura groeira de período de repetição de pulo uando a hitogramação e removendo qualquer eqüência com o período detectado no fluxo de pulo intercalado e então repetir o proceo no dado retante. Outro método utilizado é a detecção da freqüência de repetição de pulo atravé do periodograma de Fourier [5, 5, ]. Conforme abordado por [3] vária complicaçõe comprometem a eficiência dete doi método. O método tradicional de hitogramação produz fala detecçõe para múltiplo intervalo de repetição de pulo, é enível à largura de caixa, não decobre uma eqüência de pulo complexo e é um procedimento computacional cutoo. Pior de tudo, o fluxo de pulo intercalado produz um fundo de falo buraco de pulo no hitograma, econdendo o verdadeiro intervalo de repetição de pulo. O periodograma produz fala detecçõe para múltiplo intervalo de repetição de pulo, não detecta pequena eqüência, falha na detecção de eqüência complexa e provê uma etratégia de procura ineficiente. Nete trabalho, nó decrevemo o método de análie de tempo-ecala chamada de tranformada de wavelet [, 6], para detectar eqüência de pulo de radar, analiando a érie temporal do fluxo de pulo intercalado. Similarmente a abordagem reportada por [, 3], a função de detecção contém um argumento que correponde a localização no tempo e o outro correponde a caracterítica de ecala ou período. Um único parâmetro autável M fixa a reolução da detecção. Na eção eguinte, apreentamo uma revião obre a teria de tranformada contínua de wavelet e a poibilidade de procear a convolução no domínio de freqüência, para otimizar o cuto computacional. Poteriomente, motramo a imulaçõe e análie realizada, onde introduzimo a wavelet de Morlet, como alternativa a Retangular, propota por Dricoll e Howard [3], para melhorar a eficiência na detecção de periodicidade e também apreentamo à concluõe relevante obtida nete etudo. MEODOLOGIA UILIZADA em ido demontrado que a análie de Fourier tradicional não é recomendável na invetigação de fenômeno não etacionário ou aquele em que o inal poui variaçõe bruca [4]. A ranformada em

2 wavelet, cua bae matemática foi contituída recentemente [,, 6), oferece uma alternativa vantaoa à análie de Fourier neta ituaçõe. Ela decompõe a informação contida na érie temporal tanto em tempo quanto em ecala (freqüência), como uma epécie de ranformada de Fourier evolutiva. Deta forma, a análie da variabilidade complexa do inai de pulo de radar atravé de tranformada contínua de wavelet, vi ando a detecção de período de repetição em função do tempo, apreenta-e como técnica de detecção e dicriminação de pulo intercalado. Uma da ferramenta mai conhecida na análie de inai é a tranformada de Fourier. Ela permite que analiemo um inal no domínio da freqüência atravé de uma tranformação linear, que leva o inal do domínio temporal para o de freqüência. A tranformada de Fourier de um inal f t é definida por: ( ) πfti F ( f ) = f ( t) e dt () onde F ( f ) repreenta o epectro do inal no domínio freqüência, atravé do qual e pode analiar a caracterítica de periodicidade dominante que o inal poui. A limitação da tranformada de Fourier e encontra na análie de inai nãoetacionário e de duração finita, poi ua bae de eno e co-eno tem duração infinita. Para uperar eta limitação foi criada a tranformada curta de Fourier que introduz uma anela reponável por uma varredura temporal. Sua definição envolve parâmetro de localização o inal no tempo e na freqüência, da eguinte forma: F ( f, t) = f ( τ ) g ( t τ ) dt () na qual g ( t τ ) é a função anela, e g (t) é o conugado de g (t). Como o comprimento da anela é fixo, a tranformada curta de Fourier não contitui uma ferramenta eficiente para a análie de inai que pouem baixa e alta freqüência. A tranformada de wavelet oferece uma olução para eta retrição da tranformada curta de Fourier. A duração da wavelet ψ (t), uma função com papel imilar ao da anela g (t), pode er autada em função do conteúdo de freqüência do inal a er analiado ou da ênfae que e deea atingir na análie da baixa e alta freqüência do inal. Conidere-e então uma função ψ ( t ) ocilatória e de curta duração. A tranformada contínua de wavelet é então definida pela eguinte expreão: (, u) t u W = f ( t) ψ ( ) dt (3) onde µ é o parâmetro reponável pelo delocamento de ψ (t) ao longo do eixo do tempo, enquanto que o parâmetro, denominado ecala, é reponável pela compreão ou dilatação. A tranformada de wavelet, exprea em função de doi parâmetro u e é imilar a tranformada curta de Fourier atravé do delocamento da função anela e da freqüência. Para a aplicação da tranformada neceitamo ecolher uma função que vai fazer um papel imilar ao da anela da tranformada curta de Fourier, conhecida como wavelet mãe. Algun critério principai devem er coniderado nea ecolha. Primeiramente, ea função deve atifazer a condição de admiibilidade: Ψ( ω) C = d ω < Ψ ω onde C Ψ é uma contante e Ψ (ω) é a tranformada de Fourier da wavelet mãe ψ (t). Outra condição é que ψ (t) deve er uma função finita no tempo, ou ea: (4) ψ (t)dx < (5) que motra que a wavelet mãe é limitada no domínio do tempo e de freqüência e é uma função ocilante de valor DC nulo. O valore de W (, u) exprimem então a decompoição do inal f ( t) numa poição u e numa ecala precia. O conunto de valore para ete parâmetro fornece aim, uma repreentação bidimenional do inal no tempo (epaço) e em ecala (freqüência ou número de onda). Segundo [4] pode-e definir uma denidade de potência epectral no tempoecala, como: S ( u) (, u) W, = (6) A ecolha da wavelet de invetigação ainda contitui quetão aberta na análie do inal e etá relacionada com a caracterítica do inal que e deea etudar. Aim, dede que eam conhecida a caracterítica gerai do inal a er analiado, pode-e ecolher a família de wavelet a er utilizada de tal forma que poua atributo imilare ao do inal, tai como aimetria, variabilidade temporal e reolução epectral. A análie de potência epectral erá aplicada para como função detectora do intervalo de repetição do pulo de radar em função do tempo. O teorema da convolução [4] motra que a

3 convolução no domínio do tempo converte-e em produto interno no domínio de freqüência, podendo er uado para otimizar o cuto computacional da tranformada de wavelet. Sabemo que a tranformada de wavelet é dada por: (, t) t' t W = ( t') ψ ( ) dt' (7) * t Se definirmo uma função por ψ ( t) = ψ ( ), a tranformada pode er reecrita como: de forma que: W (, t) = ( t' ) ψ ( t t' ) dt', (8) ( t) * ψ ( t)) W (, t) = (, (9) que no domínio de freqüência fica: ( ˆ( f ) ψˆ ( f )) W (, t) = I () Uando a equação () pode-e calcular a tranformada de wavelet para qualquer ecala, imultaneamente para todo o delocamento t, de forma eficiente e rápida. O algoritmo de convolução no domínio temporal tem um cuto computacional proporcional N, onde N é o tamanho do vetore a erem convolucionado, contra um cuto proporcional a N log(n) no domínio de freqüência. Como o inai de pulo de radar podem ter érie temporai com um número de ponto batante elevado, implementamo o algoritmo da tranformada de wavelet no domínio da freqüência. ANÁLISE E RESULADOS Conforme á mencionado a tranformada de wavelet poui grande vantagen na análie de inai não-etacionário, que apreentam variaçõe complexa no tempo e freqüência. Por ee fato, a tranformada de wavelet e aplica ao cao de detecção de pulo de radar, uma vez que ete têm de duração finita e podem ter diferente intervalo de repetição, para diferente tipo de radar. Uma eqüência de pulo recebido por um t que receptor de radar contitui um inal ( ) repreenta a uperpoição de N pulo retangulare de duração τ, delocado no tempo de acordo com o tempo de chegada t, que matematicamente repreentado por: ( t) t t rect = N = τ () A eqüência de pulo de radar podem er de trê tipo: a imple, na qual o intervalo de repetição é contante; a Stagger, que tem mai de um intervalo de repetição para uma mema emião; e Complexa que envolvem eqüência do tipo ittered e wobulated. Para uma eqüência imple, com intervalo de repetição igual a, o tempo de chegada do pulo ão: t = ( ) + tφ ; =,,3,..., N () onde t φ é uma contante que repreenta a fae e = t + t. Para uma eqüência tagger com M fae,,, 3,..., M que e repetem a cada M ciclo: t + M = t, o tempo de chegada dea eqüência ão: t = = tφ ; t = t + ;,3,..., N (3) Numa eqüência complexa do tipo wobulated, o valore do intervalo de repetição ão criado egundo a eguinte equação: = A co( B C) (4) + e o tempo de chegada eguem a equação (3). A Figura motra exemplo de inai de pulo de radar imulado atravé da eqüência imple, tagger e wobulated, de acordo com a equaçõe (, 3 e 4). Ete gráfico motram a caracterítica do inal de pulo de radar que chegam ao receptor e que devem er detectado. O inal imple ( contante) foi imulado com um = e com início no tempo igual a =. O inal tagger ( que e repete dentro de um conunto de valore) foi imulado com início no tempo = 5 e com um conunto de = 3,; 3,5; 4,; 4,5; 5,. O inal wobulated ( variando em torno de um valor central) foi imulado com início no zero ( = ) e com um período central = 7, com variação máxima de % em torno dee valor. odo o pulo têm uma largura unitária ( τ = ). O último gráfico motra a obrepoição do trê inai (interleaving), evidenciando a caracterítica de oma do inai individuai. A implementação da técnica de detecção e eparação do pulo intercalado é realizada uando a tranformada contínua de wavelet da equação (7) a um inal (t), na forma : (, t) t t' W = ( t' ) ψ ( ) dt', (5) onde é a ecala ou intervalo de repetição de pulo e φ φ φ

4 t é o delocamento no tempo. A função detectora é definida a partir da denidade epectral de wavelet (6), na eguinte forma: D (, t) = W (, t) (6) M A detecção repreenta, no plano tempo-ecala, a dicriminação do tren de pulo intercalado, que podem ter dife rente intervalo de repetição, que ocorre ao longo do tempo t. Devido a propriedade de uperpoição da Equação (5), o valor do intervalo de repetição caracterítico de cada emião pode er deduzido de D (, t), em er neceário deintercalar (deinterleaving) a eqüência de pulo, melhorando a robutez, velocidade e exatidão de algoritmo uado para procear eqüência de inai de radar pulado ren de Pulo PRI imple PRI tagger PRI wobulated Interleaving empo(m) Figura Sinai de eqüência de tren de pulo no domínio do tempo e o interleaving, que é a oma entre ele. ψ t para detectar o A procura da wavelet mãe ( ) período de repetição de pulo contido no inai de eqüência de pulo de radar, envolve a buca de uma função que tenha caracterítica emelhante ao inal no domínio do tempo e boa concentração de potência epectral, no domínio de freqüência. A wavelet mãe utilizada por [3] é: t πti ψ ( t) = M χ( ) e (7) M parâmetro M da wavelet Retangular e f o é o centro de freqüência. A Figura motra o gráfico da wavelet Retangular e de Morlet no domínio de tempo e de freqüência. Pode-e ver que a wavelet Retangular poui uporte compacto no domínio do tempo, enquanto que a de Morlet é infinita. Devido a ito, no domínio de freqüência, a wavelet de Morlet apreenta uma banda de energia epectral mai concentrada, em o lóbulo ecundário da wavelet Retangular. Mai adiante, na análie epectral, motraremo que eta diferença de caracterítica epectrai trará importante coneqüência para a detecção em tempo-ecala (ecalograma) (a) REAL (b) IMAGINARIA empo (m) empo (m) Modulo MODULO ESPECRO empo (m).5.5 Frequencia (KHz) Retangular Morlet Figura Wavelet Retangular e de Morlet no domínio do tempo (a, b, c) e de freqüência (d). A Figura 3 motra o reultado da aplicação da análie da tranformada contínua de wavelet, para cada eqüência de pulo de radar da Figura : imple, tagger e wobulated, repectivamente. A análie envolve a convolução da wavelet complexa de Morlet com o inal, de acordo com a equação (5), para detectar o período de repetição do pulo recebido pelo detector, atravé da função detectora da equação (6). Eta análie epectral de wavelet traz como reultado a potência epectral ( t) (c) (d) D, em função da ecala e do tempo t (ou ecalograma). No ecalograma, o eixo temporal varia linearmente ao longo do tempo do inal analiado (ver Figura ) e o eixo da ecala varia linearmente dede a ecala até 5. O valore de potência etão normalizado. onde χ (t) é uma anela retangular de comprimento unitário, e M é o menor comprimento do trem de pulo que eperamo receber ou deeamo detectar. Nete trabalho, introduzimo a wavelet de Morlet, para podermo comparar a caracterítica de detecção com wavelet retangular utilizada por [3]. A wavelet de Morlet [6] tem como equação: t πit ψ t e σ ( ) = e 4 ) / (8) ( σ π onde σ é o devio padrão (ligado a largura de banda epectral), que etá diretamente aociado ao Figura 3 Análie de wavelet em tempo-ecala ou ecalograma do

5 inai motrado na Figura. De cima para baixo ão motrado o ecalograma da eqüência imple, tagger e wobulated, repectivamente. Análie foi realizada utilizando a wavelet complexa de Morlet (equação 8). O ecalograma permitem aber a predominância de potência epectral em função do tempo e da ecala, permitindo-no decobrir o período de repetição do pulo recebido por um detector em função do tempo. O ecalograma do gráfico uperior motra a predominância de potência etável no tempo em torno do período igual, o que correponde fortemente à caracterítica atribuída ao inal imulado da eqüência imple motrado na Figura. O ecalograma intermediário correpondente análie do inal tagger, que motra claramente a predominância de potência em torno de 4 (período intermediário entre 5 e 3 ), dede o tempo até m, que etá em acordo com o atributo do inal tagger no domínio do tempo. Similarmente, o epectrograma inferior correponde a análie do inal wobulated, que motra uma curva co-enoidal de predominância de potência em torno do período igual 7 que e etende ao longo de todo o tempo. Eta caracterítica epectrai de detecção apreentam excelente concordância com ao período de repetição de pulo co-enoidal, com periodicidade central 7, atribuído ao inal no domínio do tempo. A função detectora, repreentada atravé da análie epectral de potência no domínio tempo-ecala, motra-e eficiente para a detecção da periodicidade complexa apreentada pela eqüência de pulo radar. A Figura 4 motra a análie de wavelet ou detecção do inal intercalado (interleaving), que é a oma da eqüência individuai. O doi ecalograma motram também a diferença de performance entre a wavelet Retangular (gráfico uperior) e de Morlet (gráfico inferior) para a detecção de inai complexo intercalado. Pode-e ver a predominância de potência do inai individuai motrado no ecalograma da Figura 3, motrando que a função detectora conegue ditinguir a eqüência imple, tagger e wobulated, evidenciando no domínio tempo-ecala a caracterítica atribuída ao inai no domínio do tempo (ver gráfico inferior da Figura ). A detecção da variação complexa de período da eqüência wobulated motrou grande eficiência, onde o epectrograma motra claramente a preença de pico de potência em período com variação coenoidal ao longo do tempo, como era eperado. A comparação do detalhe dete reultado apreentado no doi ecalograma, principalmente na regiõe do pico predominante de potência, evidencia a diferença de performance da wavelet Retangular e de Morlet para a detecção dete tipo de inal. Percebe-e o aparecimento de ombra no doi ecalograma, endo que o ecalograma da análie pela wavelet de Morlet (o inferior) motra maior concentração, ou menor vazamento, de potência em torno do pico principai. Ito e deve ao fato de que a wavelet de Morlet tem melhor concentração de potência, ou menor largura de banda epectral e em lóbulo ecundário no domínio de freqüência, em comparação com a wavelet Retangular. Ete reultado motram que a caracterítica epectrai da wavelet de Morlet a tornam mai robuta (melhor reolução) para a detecção de inai de pulo de radar em tempo-ecala. Figura 4 Epectrograma que repreentam a análie de tempo-ecala uando a tranformada de wavelet de Morlet (gráfico uperior) e Retangular (gráfico inferior). A Figura 5 motra a média de potência de cada ecala do epectrograma da Figura 4. A média de potência epectral em cada ecala de um ecalograma durante todo o intervalo de tempo é chamado de epectro global de wavelet [4]. O gráfico de potência em função da ecala oferece uma outra forma de ver a ecala predominante, que pode er alternativamente utilizado como parâmetro de detecção. Pode-e ver a curva ão batante emelhante, onde a wavelet de Morlet e Retangular motram o pico predominante de potência no período 4 (período intermediário tagger), entre 6 e 8 (wobulated) e centrado em (eqüência imple), conforme poderíamo eperar. Por pouir maior reolução de freqüência, a curva do epectro relacionado a wavelet de Morlet motra maior uavização em relação a Retangular. Potencia Epectro Global de Wavelet Morlet Retangular Ecala Figura 5 Epectro médio em função da ecala (epectro global de wavelet) para o epectrograma da Figura 4. A ombra na detecção epectral do inal, ou ruído epectrai em período que não exitem, torna

6 neceário o uo de um valor de threhold para a detecção. O epectro global de wavelet pode facilitar a identificação do threhold ideal, á que não exite um valor quantitativo pré-determinado. Com a potência normalizada, um valor de threhold razoável eria em torno de,4, com o qual o período de repetição de pulo da trê eqüência eriam detectado. CONCLUSÕES O reultado aqui obtido motram que a tranformada contínua de wavelet, baeada na wavelet de Morlet, motrou maior eficiência do que a wavelet Retangular utilizada por Dricoll e Howard [3] para detectar a caracterítica de ecala ou período de uma eqüência de pulo de radar. Ete método motrou melhor performance em relação a outro método, tai como o método de hitogramação e periodograma [3]. A tranformada de wavelet fornece uma eficácia bem uperior na detecção do período de repetição de pulo, que depende de um parâmetro adimenional M. Ete parâmetro controla a reolução do detector e configura uma duração de anela M adequada para toda a ecala. A análie de wavelet motrou er mai apropriada para a procura de grande ecala de, reolvendo o problema de eparação de pico fundamentai do eu harmônico e ub-múltiplo (Figura 3, 4 e 6). A função detectora uprime potência de fundo, é robuta na localização do pulo perdido e a interferência cruzada entre a eqüência de pulo intercalado. Sob o ponto de vita computacional, nete trabalho implementou-e o algoritmo da convolução rápida no domínio de freqüência, que permitiu uma diminuição ignificativa do tempo de proceamento da tranformada de wavelet, em nenhuma perda de detecção. Ee algoritmo via também uma futura implementação em proceadore de inai digitai para detecção em tempo real, uma vez que o uo do algoritmo FF á e encontra otimizado, facilitando a implementação da tranformada. Futuramente poderemo otimizar ainda mai o tempo computacional implementando o epectro analítico da tranformada de Fourier da wavelet de Morlet, evitando o cálculo da FF da wavelet em cada ecala e ainda otimizando o epaçamento entre a ecala (reolução) em perda de detecção. Outro etudo que poderá er feito refere-e a inferência etatítica de detecção, alarme falo, entre outro parâmetro etatítico que permitem melhorar a precião etatítica do método de detecção. AGRADECIMENOS Ademilon Zanandrea agradece a Fapep pelo apoio financeiro ao proeto ob proceo n. /43-9. Referência [] Daubechie, I. en lecture on wavelet. Philadelphia: SIAM, 99. [] Howard, S. and Dricoll., D, Pule train detection uing a continuou wavelet tranform. Proceeding of the Second Workhop on Signal Proceing Application, Bribane, Autralia, p.55 58, 997. [3] Dricoll, D. E. e Howard, S.D. he detection of Radar Pule Sequence by Mean of a Continuou Wavelet ranform, IEEE Proceeding on International Conference, Acoutic Speech and Signal Proceing, v.3, p , 999. [4] Farge, M. Wavelet tranform and their application to turbulence. Annual Review of Fluid Mechanic, Palo Alto, v.4, p , 99. [5] Fogel, E. and Gavih, M. Parameter etimation of quai-periodic equence. International Conference on Acoutic, Speech and Signal Proce ing, v. 4, p , 988. [6] Mallat, S. A Wavelet our of Signal Proceing, Academic Pre, New York,.ed., 998. [7] Mardia, H. K. Digital ignal proceing for radar recognition in dene radar environment. PhD thei, he Univerity of Leed, 987. [8] Mardia, H. K. Adaptive multi-dimenional clutering for ESM, IEE Colloquium on Signal proceing for ESM ytem, 988. [9] Mardia, H. K. New technique for the deinterleaving of repetitive equence, IEE Proceeding F (Radar and Signal Proceing), v. 36, p , 989. [] Meyer, Y. Ondelette et opérateur I, Pari:Hermannp, p.5, 99. [] Miloevic, D. J. and Popovic, B. M. Improved algorithm for the deinterleaving of radar pule, IEE Proceeding F(Radar and Signal Proceing), v.39, p.98 4,99. [] Ori, R. J., Moore, J. B., Mahony, R. E. Interleaved pule train pectrum etimation. Proceeding of he Fourth International Sympoium on Signal Proceing and it Application, v., p. 5 8, 996. [3] Staelin, D. H. Fat folding algorithm for detection of periodic pule train. Proceeding of the IEEE, v. 57, p. 74, 969. [4] orrence, C.; Compo, G. P. A Practical Guide to Wavelet Analyi. Bulletin of the American Meteorological Society, v.79, p.6-78, 998. [5] ui, J. B. Y. Spectral Propertie of Radar ime -of- Arrival Periodicitie. US Patent 5, 396,5, 995. [6] Whittall, N. J. Signal orting in ESM ytem. IEEE Proceeding F (Radar and Signal Proceing), v.3, p. 6 8, 985. [7] Wiley, R. G. Electronic Intelligence: he Interception of Radar Signal. Norwood, Maachuett: Artech Houe, 985.