Seu pé direito nas melhores faculdades

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1 Seu pé direito nas melhores faculdades IBMEC - 05/novembro/006 ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA OBJETIVA 4. Uma conhecida rede de restaurantes fast food afirma que eistem 04 maneiras de se montar o principal sanduíche que comercializa. Das alternativas abaio, a que apresenta uma eplicação compatível com a afirmação apresentada é: a) além do pão e da carne, o sanduíche admite dez ingredientes opcionais, cada um podendo ser incluído ou não no sanduíche de um cliente. b) o sanduíche é montado com dez ingredientes, que podem ser empilhados em qualquer ordem que um cliente solicite. c) a carne pode ser grelhada de três maneiras distintas, o pão pode ser aquecido ou não e a salada pode vir com um, dois ou três tomates. d) o sanduíche pode ser vendido nas opções simples, duplo ou triplo, cada opção com três maneiras de grelhar as carnes, sendo que podem ser incluídas uma, duas ou três fatias de queijo etra, assim como um, dois ou três pedaços de bacon. e) trata-se apenas de uma força de epressão, pois é impossível ter 04 maneiras de montar um sanduíche, por mais variações ou opcionais que se ofereçam aos clientes. ingredientes Pão Carne = 0 ibmecnov Considere a circunferência de equação + y =. Sejam P o ponto de coordenadas (; 0) e Q o ponto do primeiro quadrante dado pela intersecção da reta y = com esta circunferência, no plano cartesiano. A equação de uma reta paralela ao segmento PQ que é tangente à circunferência é a) y = +. b) y = +. c) y = +. d) y = +. e) y = +. Temos que Q = e y Q = m QP = 0 = 0 Q ; y = Portanto, a equação da reta paralela a PQ é y = + n. Como a reta deve ser tangente à circunferência, o sistema + y = deve admitir uma única solução, isto é, = 0 y = + n + ( + n) = 4 n + n = 0 então = ( n) 4 (4) (n ) = 0 n 6 n + 6 = 0 4 n = 6 n = ± y = + ou y = Alternativa D 4. Considere um número inteiro m e uma função de variável + 6 m real f, dada pela lei f() =. 4 + m Se o domínio da função f é o conjunto dos números reais (IR), então: a) m = ou m = 4. b) m = 4 ou m = 5. c) m =. d) m = 4. e) m = 5. Para que D = IR, devemos ter I. + 6 m 0 II. 4 + m > 0 I. Para que + 6 m 0 0, isto é, ( ) 4 (6 m) 0 m 5 II. Para que 4 + m > 0 < 0, isto é, ( 4) 4() m < 0 m > 4 Portanto, m = 5 Alternativa E y Q Q )60º P Q (, 0)

2 IBMEC - 05//006 Seu pé direito nas melhores Faculdades 44. No triângulo da figura abaio, inicialmente a base mede a centímetros e a altura mede b centímetros. Considere que sejam adicionados centímetros à base e subtraídos centímetros da altura, sendo a < < b. O valor de para o qual a área do novo triângulo formado é a maior possível é a) a. b) b. a + b c) a b d) b a e) O novo triângulo terá as seguintes medidas: a b 46. Um famoso edifício na moderna Xangai tem a forma de um cilindro chanfrado (ou seja, a base superior não é paralela à base do chão). O diâmetro do edifício é de aproimadamente 48 metros, a altura do lado mais alto mede 5 metros e a altura do lado mais baio mede 85 metros. Toda a lateral do edifício é recoberta de vidro. Desconsiderando eventuais perdas ou quebras durante a construção, foram necessários aproimadamente se necessário, utilize π 5 8 a) m de vidro para recobrir o edifício. b) m de vidro para recobrir o edifício. c) m de vidro para recobrir o edifício. d) m de vidro para recobrir o edifício. e) m de vidro para recobrir o edifício. 40 m b 85 m 5 m A nova área é A = ( a + )( b ). As raízes de A são a e b, portanto o valor de para A máimo será M = b-a. Alternativa E 45. Seja θ a medida, em graus, de um ângulo agudo. Se 4 sen (θ) = cos θ, então pode-se concluir que: a) 0 < θ < 5. b) 5 < θ < 0. c) 0 < θ < 45. d) 45 < θ < 60. e) 60 < θ < 90. a + 4 sen (θ) = cos θ 4. sen θ. cos θ = cos θ 8 sen θ. cos θ cos θ = 0 cos θ (8 sen θ cos θ) = 0 cos θ = 0 (não convém) 8 sen θ cos θ = 0 Para conhecer a área de vidro necessária para recobrir o edifício, calculamos a área do cilindro baseada em sua altura maior e subtraímos metade da área da parte chanfrada: A L = π π A L = = m Alternativa E 47. No quadrilátero ABCD representado abaio, os ângulos BÂD e BĈD são retos, AB = BC = 5 cm e AD = DC = 0 cm. C B 4 m sen θ 8 sen θ = cos θ = cosθ 8 tg θ = 8 tg θ =,65 Como tg 45º = e tg 60º =,7 resulta 45º < θ < 60º. Alternativa D A P D ibmecnov006

3 Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC - 05//006 Se CP é perpendicular a AD, então as áreas do quadrilátero ABCP e do triângulo CDP, em cm, valem, respectivamente, a) e 8. b) 4 e 6. c) 5 e 5. d) 6 e 4. e) 8 e. B Aplicamos o Teorema de Pitágoras nos triângulos: BRC 5 = + h CDP 00 = (h + 5) + (0 ) de onde obtemos = 4 e h =. Substituindo os valores, resulta S ABCP = ( ) = 6 e S CDP = 8. 6 = 4 Alternativa D litros de água foram distribuídos entre três recipientes cúbicos, que ficaram totalmente cheios. As capacidades desses recipientes, em litros, formam uma progressão aritmética. Se cada aresta do menor recipiente mede dm, então as arestas do maior recipiente medem, em decímetros, a). b) 5. c). d) 7. e). A dm V = dm = L V + V + V = 4L + + r = + r = 4 r = 7L V = 5L = 5 dm y = 5 5 C P h R V = + r 0 0 D y V = + r y = 5 dm Alternativa B 49. Uma mercadoria sofreu um aumento de ()%, sendo um número positivo. Algum tempo depois, em uma promoção, ela foi vendida com desconto de %. Se o total pago pelo cliente nessa ocasião foi igual ao preço da mercadoria praticado antes do aumento, o valor de é aproimadamente a),. b) 4, 4. c) 50, 0. d) 66, 7. e) 00, 0. Se P é o preço inicial da mercadoria, então: P + ()% % + P P = P P + = = 0 de onde obtemos = 50 e = 0 (não convém) Alternativa C 50. Se z é o elemento da matriz dada pela multiplicação de 4 7 matrizes a seguir ( y) 5 9 y, para cada par de valores reais (; y), então o menor valor que z pode assumir é a) 476 b) 8 c) 0 d) 8 e) 476 ( y) = (z) 5 9 y [4 + 5y 7 + 9y]. y = [z] [(4 + 5y). + (7 + 9y). y] = [z] z = 4 + y + 9y z = ( + y) z 0 Portanto o valor mínimo de z = 0. Alternativa C ibmecnov006

4 4 IBMEC - 05//006 Seu pé direito nas melhores Faculdades 5. Quando sai de casa até as 6h0min, Rui gasta 0 minutos para chegar ao seu trabalho. Ele percebeu também que, para cada minutos que o horário de saída ultrapassa as 6h0min, o tempo de percurso aumenta minuto, devido ao trânsito. De acordo com esses dados, se num dia Rui chegou ao trabalho às 7h9min, pode-se concluir que ele saiu de casa às: a) 7h09min. b) 7h0min. c) 6h56min. d) 6h50min. e) 6h4min. Tempo de atraso na chegada: 7h9min 7h00min = 9min 9 = 9min 6min de atraso na saída min de adicional de trânsito 6h0min + 6min = 6h56min = horário de saída Alternativa C 5. Se R > 0, sabe-se que, no plano cartesiano, a relação ( a) + (y b) R representa um círculo de centro (a, b) e raio R. De modo análogo, no espaço euclidiano tridimensional, a relação ( a) + (y b) + (z c) R representa uma esfera de centro (a, b, c) e raio R. Dado um sistema de coordenadas (Oyz) no espaço, considere a esfera (ε) dada pela relação ( ) + (y ) + (z 4) 6. A interseção de ε com o plano que contém os eios O e Oy é um círculo de área: a) 0 π. b) 6 π. c) 0 π. d) 4 π. e) 6 π. No espaço, o plano que contém os eios O e Oy é o plano Z = 0. ( ) + (y ) + (z 4) 6 z = 0 ( ) + (y ) + (0 4) 6 ( ) + (y ) ( ) + (y ) 0 círculo de raio r = 0 S = π r S = π. ( ) 0 S = 0 π Alternativa C 5. Dois primos que sempre brincam juntos, Artur e Beto, inventaram uma nova maneira de solucionar os conflitos entre eles. Cada um lança um dado comum não viciado (numerado de a 6), eles observam os valores das faces que ficam voltadas para cima, e fazem a soma destes dois números. Se o resultado for um número primo, Artur ganha a disputa, se for um número composto, Beto vence. É correto afirmar que a) a probabilidade de Beto ganhar ecede em 6 a probabilidade de Artur ganhar. b) a probabilidade de Beto ganhar ecede em a probabilidade de Artur ganhar. c) a probabilidade de Beto ganhar é igual à probabilidade de Artur ganhar. d) a probabilidade de Artur ganhar ecede em a probabilidade de Beto ganhar. e) a probabilidade de Artur ganhar ecede em 6 a probabilidade de Beto ganhar. Soma: {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, } Primos: {,, 5, 7, } Compostos: {4, 6, 8, 9, 0, } Primos e Compostos são complementares P(A) + P(B) = Possibilidades da soma ser um número primo: soma possibilidades dos dados (, ) (, ); (, ) 5 (, 4); (, ); (, ); (4, ) 7 (, 6); (, 5); (, 4); (4, ); (5, ); (6, ) (5, 6); (6, 5) Possibilidades: 5 P(A) = 5 6 P(B) P(A) = P(B) = = = ibmecnov006

5 Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC - 05// A figura abaio mostra uma parte do gráfico da função y = log. A medida de AC é igual a a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9. F B 5 m A n h C A partir do gráfico, pode-se concluir que uma das soluções reais da equação. = vale aproimadamente 8 a) 6,. b) 5,4. c) 4,6. d),8. e),0.. = 8 log. = log 8 log + log = log log = y = Pelo gráfico, temos 0 < < ou 5 < < 6. Alternativa B 55. Na figura abaio: AB e AD são lados de dois quadrados; os quatro quadriláteros menores são quadrados de mesmo lado; o arco BCD é uma semi-circunferência; a área do retângulo BDEF é igual a 80. E Área = 4. 5 = 80 0 = 80 = 4 D m = n = h = m. n h =. h = Sejam α, β e γ as três raízes da equação 4 = 0. Então, α + β + γ é igual a a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9. Alternativa B 4 = = 0 ( ) 4( ) = 0 ( 4). ( ) = 0 ( ). ( + ). ( ) = 0 α = β = γ = α + β + γ = + + = 5 ibmecnov006

6 6 IBMEC - 05//006 Seu pé direito nas melhores Faculdades 57. Os cinco filhos da família Silva foram colocados em fila para tirar uma foto. A fila foi organizada em ordem crescente de idades, com o mais novo ocupando o primeiro lugar e o mais velho ocupando o último. Sabe-se que: () Guilherme ocupou a posição imediatamente anterior à posição de Marcelo na fila. () Marcelo é mais velho do que Lucas, mas é mais novo do que Gabriel. () Gabriel NÃO é o filho mais velho. Se um dos filhos chama-se Gustavo, pode-se concluir que a segunda e a quarta posições da fila foram ocupadas, respectivamente, por: a) Guilherme e Gabriel. b) Guilherme e Gustavo. c) Gustavo e Marcelo. d) Lucas e Marcelo. e) Lucas e Gabriel. Vamos representar cada um dos três conjuntos em um diagrama de intersecções: M = médicos; RB = pessoas que usam roupas brancas; H = pessoas que trabalham em hospitais RB M H Vamos posicionar cada um dos elementos numa seta ordenada, crescente da esquerda para a direita: o LUC GUI MAR GAB GUS 5 o formam um bloco contíguo, nessa ordem (informação ) M H Lucas é mais novo que Marcelo (informação ) Gabriel é mais velho que Marcelo (informação ) a Gustavo, resta a primeira posição, de modo que Gabriel não seja o mais velho (informação ) Assim, a segunda e quarta posições devem ser ocupadas, respectivamente, por Guilherme e Gabriel, validando a alternativa A. 58. Em certo país, sabe-se que: todo médico usa roupa branca; nem todas as pessoas que usam roupa branca trabalham em hospitais. Uma pessoa faz as afirmações seguintes, referindo-se a esse país: I. Somente médicos trabalham em hospitais. II. Eistem médicos que não trabalham em hospitais. III. Algumas pessoas que trabalham em hospitais não usam roupa branca. Pode-se concluir que é(são) necessariamente verdadeira(s) a) as afirmações II e III. b) a afirmação III. c) a afirmação II. d) a afirmação I. e) nenhuma das três afirmações. RB A região hachurada indica que não há elementos ali (todos os médicos usam roupas brancas, trabalhando em hospitais ou não). O indica que eiste ao menos um elemento que não trabalha em hospitais, mas veste roupa branca (seja médico ou não). Analisando as informações apresentadas, temos: I. Somente médicos trabalham em hospitais: NÃO-INFERÍVEL, pois pode haver elementos eclusivos ao conjunto H que não pertençam ao conjunto M. II. Eistem médicos que não trabalham em hospitais: NÃO-INFERÍVEL; o pode localizar-se na intersecção entre M e RB, fora do conjunto H, mas também na região eclusiva do conjunto RB; nessas condições, não há garantias de que haja elementos de M fora do conjunto H. III. Algumas pessoas que trabalham em hospitais não usam roupa branca: NÃO-INFERÍVEL, pois nada impede que haja elementos do conjunto H eclusivos dele (isto é, eternos ao conjunto RB). Logo, nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira. Alternativa E U ibmecnov006

7 Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC - 05// Considere a afirmação abaio, feita a respeito de um número natural n: Se n é múltiplo de 8 e n é quadrado perfeito, então n é menor do que 0. Dependendo do valor que se atribui a n, essa afirmação pode se tornar verdadeira ou falsa. Dentre os valores apresentados abaio para n, o único que torna a afirmação FALSA é: a) 8. b) 64. c) 4. d) 6. e) 9. Para que um condicional simples do tipo A B seja falso, é necessário que a condição A seja verdadeira e, simultaneamente, que o efeito B seja falso. Assim, de acordo com o enunciado do problema, n precisa atender a três condições: ser múltiplo de 8; e ser quadrado perfeito; e não ser menor que 0. O único valor nessas condições é 64. Alternativa B 60. Das três afirmações abaio, apenas uma é verdadeira. I. Se há mais homens do que ratos na cidade, então a cidade vencerá a guerra. II. A cidade vencerá a guerra ou construirá uma igreja, ou as duas coisas. III. A cidade não construirá uma igreja e não há mais homens do que ratos na cidade. É correto concluir que a) não há mais homens do que ratos na cidade, mas a cidade vencerá a guerra e construirá uma igreja. b) não há mais homens do que ratos na cidade, a cidade não vencerá a guerra, mas construirá uma igreja. c) não há mais homens do que ratos na cidade, a cidade não vencerá a guerra e não construirá uma igreja. d) há mais homens do que ratos na cidade, mas a cidade não vencerá a guerra, entretanto construirá uma igreja. e) há mais homens do que ratos na cidade, a cidade vencerá a guerra, mas não construirá uma igreja. Inicialmente, vamos associar cada uma das situações a uma letra neutra: p há mais homens do que ratos na cidade q a cidade vencerá a guerra r a cidade construirá uma igreja Assim, organizamos os dados numa tabela de hipóteses, prevendo 8 possibilidades de acordo com a veracidade ou falsidade de p, q e r: Hipótese p q r p q q v r nr ^ np V V V V V F V V F V V F V F V F V F 4 F V V (não inferível) V F 5 F F V V V F 6 F V F (não inferível) V V 7 V F F F F F 8 F F F V F V Note que a única simulação em que uma sentença é seguramente verdadeira e duas são seguramente falsas é a a hipótese. Assim, temos como verdadeiro que: Há mais homens do que ratos na cidade (p), a cidade não vencerá a guerra (nq) e a cidade construirá uma igreja (r), o que nos remete à alternativa D. COMENTÁRIO DA PROVA A prova de Análise Quantitativa e Lógica Objetiva do IBMEC foi, sem dúvida, uma das melhores dos últimos semestres. Teve enunciados claros, mas que eigiram do candidato uma leitura atenta, no que se refere à interpretação dos tetos (questões n o 4, 46, 5, 5, 5, 57, 58, 59 e 60). Por ser uma prova bastante conceitual, o que é louvável, cobrou do aluno muito mais do que decorar as fórmulas. Acreditamos que a prova cumpriu com a sua finalidade, de premiar os candidatos mais bem preparados para ingresso no IBMEC. DISTRIBUIÇÃO DAS QUESTÕES Geometria Analítica 0% Trigonometria Geometria Plana Geometria Espacial Lógica 0% Combinatória e Probabilidades 0% Equações Funções 0% Progressões Porcentagem Matrizes e Determinantes 0% ibmecnov006