homem: unidade de medida 1.(NEUFERT, Ernest. A arte de Projetar em Arquitetura. 5ª. ed. São Paulo, Gustavo Gili, 1976)

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1 homem: unidade de medida 1.(NEUFERT, Ernest. A arte de Projetar em Arquitetura. 5ª. ed. São Paulo, Gustavo Gili, 1976) Tudo o que o homem cria é destinado ao seu uso pessoal. As dimensões do que fabrica devem, por isso, estar intimamente relacionadas com as do seu corpo. Assim, escolheram-se durante muito tempo os membros do corpo humano para unidade de medida. Quando queremos dar a idéia das dimensões de um objeto, servimo-nos de frases como estas: tem a altura de um homem, tem o comprimento de tantas braças, tem tantos pés de largura, etc. São conceitos que não necessitam de definição para serem perfeitamente compreendidos, visto que, no fundo, fazem parte de nós mesmos. A adoção do metro acabou com todas estas unidades e hoje temos que comparar a nova unidade com o nosso corpo para obtermos uma noção viva das dimensões. É o mesmo que faz um cliente que encomenda uma nova habitação e que para ter a noção das suas necessidades mede os compartimentos da habitação atual. Todos os que pretendem dominar a Construção devem começar por praticar para adquirir a noção da escala e proporções do que tenham que projetar; sejam móveis, salas, edifícios, etc. Obtemos uma idéia mais correta da escala de qualquer coisa quando vemos junto dela um homem, ou uma imagem que represente a suas dimensões. Nas revistas profissionais atuais é vulgar representar edifícios ou salas sem lhes justapor a mancha de uma pessoa. Dessas representações resulta que se adquire uma noção errada da escala e perante a realidade verificamos que são geralmente mais pequenas do que tínhamos imaginado. A isto pode atribuir-se também a falta de unidade entre vários edifícios, por terem sido projetados partindo de escalas de comparação arbitrária e não da única que é correta, o corpo humano. Para evitar estas anomalias, todos os que projetam devem conhecer a razão por que se adotam certas medidas, que parecem escolhidaas ao acaso. Devem saber as relações entre os membros de um homem normal a qual é o espaço que necessita para se deslocar, para trabalhar, para descansar em várias posições. Devem conhecer o espaço que o homem necessita entre os vários móveis, na cozinha, na sala de jantar, no escritório, para trabalhar com comodidade e sem espaços desperdiçados. Devem conhecer a melhor colocação desses móveis, para permitir que o homem, tanto em casa como no escritório ou oficina, trabalhe com gosto e eficiência ou repouse convenientemente. Finalmente, devem conhecer as dimensões dos espaços mínimos que o homem utiliza diariamente, sejam trens, ônibus, etc, visto que a sua compreensão contribui para criar uma noção correta de escala e auxiliar para criar conscientemente, a encontrar as dimensões convenientes para muitos casos. Além disto, o homem não é apenas um corpo vivo que ocupa e utiliza um espaço; a parte afetiva não tem menos importância. Seja qual for o critério ao dimensionar, pintar, iluminar ou mobiliar um local, é fundamental considerar a emoção que ele cria em quem o ocupa. 1.

2 proporções do corpo humano Segundo Adolf Zeising (1810/ 1876) em suas pesquisas sobre a proporção da natureza e da arte, descreve em seu livro (1854): Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Korpers, a lei da proporcionalidade: A divisão do todo sobre a desigualdade de peças parece proporcional quandoa proporção de partes do todo entre si é o mesmo que a relação delas com o todo, isto é, a relação, o que dá a seção dourada. Sabemos que pelo menos desde então até hoje o estudo das relações métricas do corpo humano tem interessado tanto artistas como cientistas. Conhecemos o cânon do império faraônico, o da époda de Ptolomeu, o dos gregos e dos romanos, o cérebre cânon de Policleto (que foi durante muitos tempo considerado como modelo), os trabalhos de Alberti, de Leonardo da Vinci, de Michelangelo e dos homens da Idade Média, e principalmente a conhecida obra de Dürer. O principio de todos os trabalhos citados consistem em medir o corpo humano com comprimentos iguais aos da cabeça, da face ou do pé, que posteriormente subdivididos e comparados entre si chegaram a constituir unidades aceites na vida corrente. Ainda hoje é corrente entre nós exprimir comprimentos em pés ou braças. Os princípios mais usados foram os do cânon de Dürer que escolheu como unidade fundamental a altura do homem que depois de subdividiu em frações pelo processo seguinte processo: 1/ 2 h = altura da cabeça e do tronco (até a púbis) 1/ 4 h = comprimento da perna do joelho ao tornozelo e distancia do queixo ao umbigo 1/ 6 h = comprimento do pé 1/ 8 h = altura da cabeça do topo ao bordo inferior do queixo, e distancia entre mamilos 1/ 10 h = altura e largura (incluindo orelhas) da face, comprimento da mão até o punho 1/ 12 h = largura do rosto ao nível do bordo inferior do nariz, etc. As subdivisões atingem 1/ 40 h. 1. No século passado, A. Zeising, entre outros, dedicou-se ao estudo das proporções do corpo humano e estabeleceu relações muito claras e rigorosas baseadas na proporção harmônica ou divisão em relação média e extrema. Infelizmente até há pouco tempo não se prestou a devida atenção ao trabalho do autor, e foi o investigador E. Moesel quem fez ver a sua importância ao basearse nele para os seus pormenorizados estudos. O arquiteto Le Corbusier utilizou desde 1945, para todos os seus projetos, um cânon baseado na divisão harmônica a que chamou Le Modulor

3 Leonardo da Vinci (1451/ 1519), cientista, engenheiro, arquiteto, pintor, escultor, musico, matemático, anatomista, astrônomo, geólogo, biólogo, filósofo durante o Renascimento valeu-se de seu senso intuitivo das leis da natureza, podendo contribuir de forma ímpar à razão, à ciência e a tecnologia. Voltou-se para a ciência na busca de melhorar o seu trabalho artístico através do estudo da anatomia, dissecação do corpo, estudou as proporções físicas de homens, mulheres e crianças e para a utilização desses estudos para determinar o "ideal" figura humana. Ao contrário de muitos de seus contemporâneos - Michelangelo, por exemplo -, não podemos estar eufóricos e pintar ridiculamente o muscular de organismos, que se referiu como "saco de nozes" - acreditava que o artista devesse conhecer não apenas a regras de perspectiva, mas todas as leis da natureza. O olho, que ele acreditava, era o instrumento perfeito para aprender estas leis, e do artista a pessoa perfeita para ilustrá-las.... nenhum homem pode ser chamado investigador da ciência, a menos que prossiga o seu caminho através de exposição e demonstração matemática". Leonardo da Vinci Como Pitágoras, fez um estudo aprofundado da figura humana demonstrando como todas as suas diferentes partes foram relacionadas por seção áurea. Baseado na divisibilidade do corpo humano em proporções harmônicas, o arquiteto Le Corbusier desenvolveu a sua teoria de proporções. A partir da altura máxima de ocupação de espaço pelo corpo humano (distância do chão às pontas dos dedos com o braço levantado) e da metade dessa altura (até o plexo solar) criou duas séris de valores em relação áurea, obtidas a partir da divisão harmônica desses comprimentos, que constituem uma gama de medidas humanas suficientemente variada para que não se justifique recorrer na prática a quaisquer outros valores. Na série estabelecida a partir da altura do plexo solar (a que chamou série vermelha) o termo que lhe sucede imediatamente coincide com a altura do homem. O termo principal da série azul (altura do homem com o braço levantado) coincide com a adição dos três termos principais da série vermelha. Pela combinação dos termos principais das duas séries obtem-se os valores de ocupação do corpo humano.

4 O princípio de Le Corbusier partiu da estatura média do homem da Europa, 1,75m, para determinação dos valores numéricos dos vários comprimentos. Os valores inferiores assim encontrados foram, para a série vermelha: 108,2 66,8 41,45 25,4 cm Como este último valor concorda sensivelmente com 10 polegadas, julgou ter encontrado uma ponte entre o sistema decimal e o sistema inglês. Porém, nos valores superiores não se encontravam as mesmas coincidências. Nessa procura de uma gama de valores comum ao sistema decimal e ao pé-polegada, acabou por obter em 1947 as coincidências suficientes tomando, desta vez, para a altura do homem um valor inteiro em medidas inglesas: 6 pés = 1828,8 mm. Obteve assim os valores definitivos para as séries vermelha e azul.

5 Os valores exatos obtidos pela divisão harmônica foram depois arrendodados a centímetros inteiros com um erro inferior a 7mm tendo-se obtido assim os chamados valores de aplicação. Procedeu-se ao mesmo arredondamento para o sistema inglês. Os arredondamento são feitos de forma a obter sempre séries de Fibonacci, por isso nem sempre os valores exatos são arredondados com o menor erro a fim de evitar desacertos entre os termos da mesma série, como por exemplo: Valores exatos: 7,8 + 12,6 = 20,4 Valores arredondados com o menor erro: = 20 É porém impossível evitar os desacertos entre as duas séries: 2 x 16 = 33; 2x 26 = 53; etc. Devendo, na prática, arredondar-se os valores em uso de forma a coincidirem exatamente. Embora Le Corbusier tenha partido da altura de 6 pés em vez de 1,75, é interessante notar a aproximação entre os termos principais das duas séries e os valores do sistema octamétrico (altura total 226 cm; valor do sistema octamétrico 225 cm). Se Le Corbusier tivesse essa preocupação ao formular a sua teoria das proporções baseada na divisão harmônica, certamente teria obtido também a síntese octamétrica decimal com a sua gama da relação harmônica. 1

6 apêndices: A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI (lê-se: fibonati) {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...} Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro broto. Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com o descrito aqui. A planta "Achillea ptarmica" possui estas características. Os números de Fibonacci também são encontrados em arranjos de folhas ("Filotaxia"). Consideremos que exista um padrão helicoidal (para a esquerda ou para a direita) para as folhas em torno do caule. Cada conjunto de 3 folhas consecutivas (1,2,3) nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3, mantendo uma certa distância ao longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. Admitimos o mesmo padrão para todas as folhas restantes. Neste exemplo, temos 5 folhas e 2 voltas. Cada volta é entendida como uma rotação de 360 o para que uma folha possa se sobrepor à outra. Para que isto ocorra cada ângulo deverá ser igual a 2x360 o 5=144 o. Identificamos o período p como o número de voltas necessárias até nascer uma nova folha se sobrepondo à primeira e m indicará o número de folhas por período, neste caso, p=2 e m=5. Muitas experiências com plantas mostram que p e m assumem mais comumente valores como 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., que são os números da sequência de Fibonacci. Existem também exceções, mas os números de Fibonacci ocorrem tão frequentamente que não podem ser explicados como casuais. Os biólogos tentaram explicar a predominância dos números de Fibonacci na Filotaxia.

7 RETÂNGULO ÁUREO E O NAUTILUS Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci. Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado. De acordo com o desenho ao lado, trace quartos de círculos nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1. Com as concordâncias dessas curvas, obtemos uma espiral como a do "Nautilus marinho". TRIÂNGULO DE PASCAL Ao examinar o Triângulo Chinês (nosso conhecido Triângulo de Pascal) dos anos 1300, Fibonacci observou que a sequência (de Fibonacci) aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados (em diagonal) acima e ao lado direito do número anterior. Observe que: =

8 SEGMENTO ÁUREO Quando temos um segmento de reta com extremidades A e B, podemos determinar um ponto D neste segmento, dividindo-o em média e extrema razão. Isto significa que é possível obter um ponto D e permite obter um segmento áureo neste segmento AB. O objetivo é encontrar um ponto D entre A e B tal que a razão entre o segmento AB e o segmento AD seja =(1, ). Isto significa que o maior segmento AD é 1, vezes a medida do menor segmento DB. Obteremos o ponto médio do segmento AB. Coloque a ponta seca do compasso em um extremo, abra-o até o outro extremo e trace um arco para cima e para baixo do segmento de reta AB. Repita este procedimento com o outro extremo da reta, sem alterar a abertura do compasso. Os pontos onde os arcos se cruzam devem ser unidos por um segmento de reta (em vermelho) e o ponto onde este segmento cruza o primeiro segmento AB, é o ponto médio de AB; Agora traçaremos uma reta perpendicular a AB passando por B com a metade do comprimento de AB; Primeiro trace a reta perpendicular a AB usando um jogo de esquadros; Com a ponta seca do compasso em B, abra-o até o ponto médio M e trace um arco até que este cruze a reta perpendicular a AB; Temos agora uma nova reta BC perpendicular a AB com exatamente a metade do comprimento de AB; Una este ponto que acabou de encontrar com o ponto A da primeira reta para formar um triângulo ABC;

9 Coloque a ponta seca do compasso no vértice C do triângulo e abra-o até o ponto B. Use este raio para marcar o ponto E na hipotenusa do triângulo; Finalmente, com a ponta seca do compasso no vértice A, abra-o até o novo ponto E marcado na hipotenusa, e use este raio para marcar o ponto D na primeira reta AB. Este ponto é o ponto que divide o segmento AB em duas partes, onde o maior segmento é 1, vezes o menor. Obtivemos assim o ponto D que estávamos procurando. Para justificar este procedimento do ponto de vista matemático: Se o lado AB do triângulo mede 1 unidade de comprimento, então o lado BC mede a metade e obtemos a medida da hipotenusa com o teorema de Pitágoras. AC² = AB² + BC² = 1 + 1/4 = 5/4 Usando R[5] como a raiz quadrada de 5, podemos escrever que AC = R[5]/2 O ponto E na hipotenusa é marcado de forma que CE tenha o mesmo comprimento que o lado CB, isto é 1/2, então; AE=(R[5] - 1)/2 O ponto D é marcado a mesma distância de A, assim AD = AE = ½(R[5] -1) Temos então a proporção:

10 PROPORÇÃO ÁUREA DIVINA PROPORÇÃO Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci a chamava: "Divina Proporção" e a usou em muitos de seus trabalhos. Na Mona Lisa observa-se a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, ao construir um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e ter de novo a proporção Áurea. Podemos contínuar a explorar tal proporção em várias outras partes do corpo. Artistas têm usado a razão de ouro (medida de Ouro) em trabalhos de pintura e arte. Os trabalhos de Seurat e Mondrian mostram estas relações matemáticas. Anatomia: Leonardo da Vinci, em seus estudos de Anatomia, trabalhou com um modelo padrão (O "canon") para a forma de um ser humano, utilizando Vitrúvio como modelo. Tais dimensões aparecem na gravura abaixo. A notação a:b=c:d é uma proporção. RETÂNGULO AÚREO Há vários exemplos sobre o modo como o retângulo áureo se ajusta à construção do Parthenon. O Parthenon, agora em ruínas, é um dos templos que foi construído em Athenas por volta dos anos a.c. e nele podemos observar a proporção Áurea. A planta do Parthenon mostra que o templo foi construído tendo por base um retângulo com comprimento igual a raiz quadrada de 5 e largura igual a 1.