Gyorgy Doczi, O poder dos limites: harmonia e proporções na natureza, arte e arquitetura, 1986

Transcrição

1 PROPORÇÃO ÁUREA

2 O poder do segmento áureo de criar harmonia advém de sua capacidade singular de unir as diferentes partes de um todo, de tal forma que cada uma continua mantendo sua identidade, ao mesmo tempo que se integra ao padrão maior de um todo único. Gyorgy Doczi, O poder dos limites: harmonia e proporções na natureza, arte e arquitetura, 1986

3 Seqüência de Fibonacci Ao examinar o Triângulo Chinês (Triângulo de Pascal) dos anos 1300, Fibonacci observou que esta sequência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior. 0+0=0 0+1=1 1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8= = = =55 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...

4 Sequência de Fibonacci e o número de ouro De que forma ocorre esta conexão com a razão de ouro Phi? Na verdade a sequência de Fibonacci é dada por: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Se considerarmos a sequência de Fibonacci como um conjunto da forma {1,1,2,3,5,8,13,...) e a divisão de cada número pelo seu antecessor, obteremos outra sequência: 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3= , 8/5=1.6,... É fácil perceber o que ocorre quando colocamos estas razões sucessivas (alturas) em um gráfico em que o eixo horizontal indica os elementos da sequência de Fibonacci: As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como Número de Ouro (Número Áureo), que é frequentemente representado pela letra grega Phi Quando n tende a infinito, o limite é exatamente Phi, o número de ouro : = 1,61803

5 Segmento Áureo Temos então a proporção: =

6 Retângulo Áureo

7 Espiral logarítmica Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

8 Espiral logarítmica Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado. De acordo com o desenho ao lado, trace quartos de círculos nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.

9 Proporções áureas Retângulo áureo, método de construção com triangulo Este método pode resultar em uma série de círculos e quadrados que mantém entre si a proporção áurea.

10 Proporções áureas em círculos e quadrados O método de construção de seção áurea por meio do triangulo também produz uma série de círculos ou quadrados áureos.

11 Triângulos e elipses áureos Construção do triangulo áureo a partir do pentágono Construção do triangulo áureo secundário a partir do pentágono Construção do triangulo áureo a partir do decágono

12 Triângulos e elipses áureos Proporções áureas do pentagrama A estrela de cinco pontas criada a partir das diagonais de um pentágono regular é um pentagrama, cuja parte central é um outro pentágono. Criação de espiral áurea a partir do triangulo áureo Traçando um novo ângulo de 36 a partir de um ângulo da base. Para criar a espiral usa-se o comprimento dos lados dos triângulos das subdivisões como raio de um círculo.

13 Retângulos áureos dinâmicos

14 Retângulo de Raiz de 2 Espiral decrescente de Raiz de 2 Traça-se e conecta-se as diagonais nos retângulos recíprocos de raiz de 2 Prolongue os dois lados opostos do quadrado de modo que tangenciem o círculo. Relações proporcionais de raiz de 2 A subdivisão contínua de um retângulo raiz de 2 resulta em retângulos similares proporcionalmente menores.

15 Construção da Logomarca da Apple

16 Cadeira Barcelona, Mies van der Rohe, 1929 A cadeira se encaixa perfeitamente num cubo. As curvas principais tem o mesmo raio do quadrado. O outro circulo tem metade do raio dos maiores.

17 Cadeira Brno, Mies van der Rohe, 1929 Vista de cima a cadeira encaixa-se num quadrado. Na vista frontal e lateral a cadeira coincide com um retângulo áureo. O ângulo das pernas dianteiras e o do encosto da cadeira são simétricos, e os raios das curvas estão em proporção 1:3

18 Cadeira Plywood, Charles Eames, 1946 Encosto Enquadra-se perfeitamente em um retângulo áureo Proporções Na cadeira para sala de jantar as proporções são bem próximas da seção áurea. Os raios dos cantos do encosto e das pernas tubulares são proporcionais entre si, nas razões 1:4:6:8 A=1 B=4 C=6 D=8

19 Cadeira Tulipa, Eero Saarinen, 1957 Elipse áurea Vista lateral e frontal encaixam-se nas proporções áureas. As curvas principais do pedestal conformam-se às proporções da elipse áurea. O limite frontal da cadeira fica no ponto central do retângulo.

20 Processador de alimentos Braun, 1987 O comprimento do eixo longo do processador é de 1/3 da altura total. Os detalhes dos raios do botão e das superfícies se adéquam uns aos outros. Há simetria geral e até a posição da marca é rigidamente definida em função dos outros elementos.

21 Cafeteira Aromaster Braun A superfície da cafeteira pode ser divida em uma série de elementos regulares. A marca fica ligeiramente acima do centro. A trave diagonal da alça está alinhada com a ponta superior da cafeteira. A simetria dos elementos pode ser notada no botão inferior, alinhado com as marcas de medida e as aberturas de ventilação.

22 Chaleira II Conico, Aldo Rossi, A forma dominante é o cone derivado de um triangulo equilátero. A alça é um triangulo reto invertido, metade de um triangulo equilátero A chaleira pode ser analisada com um grid de 3x3. O terço superior compõe-se da tampa e da esfera no vértice, a porção intermediária abrange o bico e a alça e o terço inferior, a base.

23 New Beatle, Volkswagem 1997 A carroceria encaixa-se na parte superior da elipse áurea. Outra elipse áurea abrange as janelas laterais. Uma elipse tangencia o contorno do paralama dianteiro e da roda traseira. O eixo principal da elipse tangencia os contornos dos paralamas dianteiro e traseiro. A frente do carro é quase um quadrado com a marca no centro.

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25 Bibliografia ELAM, Kimberly. Geometria do design: estudos sobre proporção e composição. São Paulo: Cosac Naify, alegria/fibonacci/seqfib2.htm