Conjuntos numéricos. Prof.ª: Aline Figueirêdo Nascimento

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1 Conjuntos numéricos Prof.ª: Aline Figueirêdo Nascimento

2 Introdução É indiscutível que os números exercem influência marcante no dia a dia dos seres humanos. Na economia global, por exemplo, os indicadores de índices e porcentagens nos permitem fazer a leitura e a análise dos resultados alcançados e, consequentemente, prever possíveis mudanças econômicas e sociais em nosso planeta.

3 Retomando os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais(pág. 4)

4 Os conjuntos numéricos já estudados são...

5

6 Relações aplicadas aos conjuntos numéricos Relação de pertinência Relação de inclusão

7 Conjuntos numéricos

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9

10 Fração geratriz de uma dízima periódica São chamados de dízimas periódicas os números decimais não exatos que apresentam, na parte decimal, algarismos que se repetem periodicamente e infinitamente. Por exemplo:

11 Fração geratriz de uma dízima periódica Denomina-se fração geratriz a fração que gera ou dá origem a uma dízima periódica. Exemplos:

12 Exemplo:

13 Nem sempre a parte decimal apresenta apenas os algarismos do período. Então, o que deve ser feito quando a dízima apresentar outros algarismos que não os do período na parte decimal? É fácil! Basta estabelecer uma equação e resolvê-la, conforme os exemplos:

14 Exemplos: a) 0, Algarismo do período: 5 Algarismo não periódico: 1 Fração geratriz procurada: x x= 0, Procedimentos:

15 Exemplos: b) 3, Algarismo do período:1 Algarismo não periódico: 2 Fração geratriz procurada: x x= 3, Procedimentos:

16 Exemplos: c) 0, Algarismo do período:3 Algarismo não periódico: 1 e 2 Fração geratriz procurada: x x= 0, Procedimentos:

17 O número de ouro: curiosidade ou coincidência?

18 Durante anos o homem procurou a beleza perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram então o retângulo de ouro. Era um retângulo, com proporções: o lado maior dividido pelo lado menor e a partir dessa proporção tudo era construído. Assim eles fizeram o Parthenon. A proporção do retângulo que forma a face central e lateral, a profundidade dividida pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma proporção ideal de 1,618.

19 Os Egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides: cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que a da 3.ª fileira e assim por diante. Durante milénios, a arquitetura clássica grega prevaleceu. O retângulo de ouro era padrão, mas depois de muito tempo - veio a construção gótica com formas arredondadas, que não utilizavam o retângulo de ouro grego.

20 Mas no ano 1200, Leonardo Fibonacci um matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos, criou aquela que é provavelmente a mais famosa sequência matemática, a série Fibonacci. A partir de 2 coelhos, Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequência, onde um número é igual à soma dos dois números anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

21 Aí entra a 1.ª "coincidência": a proporção de crescimento média da série é 1,618. Os números variam, um pouco acima às vezes, em outras um pouco abaixo, mas a média é 1,618 - exatamente a proporção das pirâmides do Egito e do retângulo de ouro dos gregos. Então, essa descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal proporção, a ponto de os cientistas começaram a estudar a natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas.

22 Por exemplo: - A proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas machos numa colmeia é de 1, A proporção que aumenta o tamanho das espirais de um caracol é de 1, A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol é de 1, A proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore a medida que subimos de altura é de 1,618.

23 E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas galáxias, as estrelas se distribuem em torno de um astro principal numa espiral obedecendo à proporção de 1,618. Por isso, o número phi ficou conhecido como a divina proporção.

24 Por que é que os historiadores religiosos descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria escolhido para fazer o mundo? Por volta de 1500, com o retorno do Renascentismo, a cultura clássica voltou à moda.

25 Michelangelo e, principalmente Leonardo da Vinci, grandes amantes da cultura pagã, colocaram esta proporção natural em suas obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe: ele, como cientista, usava cadáveres para medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece tanto a divina proporção do que o corpo humano, obra prima de Deus.

26 Por exemplo: - Meça a sua altura e depois divida pela altura do seu umbigo até o chão: o resultado é 1, Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho do seu cotovelo até o dedo: o resultado é 1, Meça seus dedos, ele inteiro dividido pela dobra central até a ponta ou da dobra central até a ponta dividido pela segunda dobra: o resultado é 1, Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do seu joelho até o chão. O resultado é 1, A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua mandíbula até o alto da cabeça dá 1, Da sua cintura até a cabeça e depois divida só pelo altura do tórax: o resultado é 1,618. Considere sempre erros de medida da régua ou fita métrica, que não são objetos acurados de medição.

27 Tudo, cada osso do corpo humano é regido pela divina proporção. Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis, árvores, arte e o homem, coisas teoricamente diferentes, são todas ligadas numa proporção em comum. Encontramos ainda o número phi em famosas sinfonias como a 9.ª de Beethoven, e em outras diversas obras. Então, tudo isto, seria uma mera coincidência?"

28 O número de ouro: curiosidade ou coincidência?

29 O número de ouro é representado pela letra fi (ϕ) e é um número irracional. Todo número cuja representação decimal é infinita e não periódica é chamada de número irracional.

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31 O número de ouro: φ

32 O número de ouro: φ

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34 Um número irracional especial

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37 Um número é denominado de irracional e pertencerá ao conjunto dos números irracionais, quando não for possível representálo como quociente entre dois números inteiros a e b, com b 0. Exemplo: Todas as raízes quadradas de números naturais que não são quadrados perfeitos: 7; 3; 21; 32. Algumas raízes cúbicas, quartas, entre outras: ; 2; 7; 5; 4 7.

38

39 Um número irracional especial: π

40 Dentre os números irracionais, o mais famoso é o pi, representado pela letra grega π, que tem o seu valor expresso por 3,

41 Números reais A reunião entre os elementos do conjunto dos números racionais ( Q ) e os elementos do conjunto dos números irracionais (I) resulta em um novo conjunto: o conjunto dos números reais, representado por R.

42 Números reais Simbolicamente: R = Q I.

43 Referências BONJORNO. AYRTON. Matemática Fazendo a Diferença, 7ª Série. Editora FTD, GIOVANNI. CASTRUCI. GIOVANNI JR. A Conquista da Matemática, 7ª Série. São Paulo; ed. FTD, IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade, 7ª série. São Paulo; ed. Atual, 2010.

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