SÉRGIO HENRIQUES SARAIVA MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS DE CROMATOGRAFIA PREPARATIVA

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1 SÉRGIO HENRIQUES SARAIVA MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS DE CROMATOGRAFIA PREPARATIVA Tese aresentada à Unversdade Federal de Vçosa, omo arte das exgênas do Programa de Pós-Graduação em Cêna e Tenologa de Almentos, ara obtenção do título de Dotor Sentae. VIÇOSA MINAS GERAIS BRASIL 003

2 SÉRGIO HENRIQUES SARAIVA MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS DE CROMATOGRAFIA PREPARATIVA Tese aresentada à Unversdade Federal de Vçosa, omo arte das exgênas do Programa de Pós-Graduação em Cêna e Tenologa de Almentos, ara obtenção do título de Dotor Sentae. APROVADA: 30 de mao de 003. Prof. José Antono Marques Perera (Conselhero) Prof a. Jane Séla dos Res Combra (Conselhera) Prof. Fáo Yamashta Prof. Lus Henrque Mendes Slva Lus Antono Mnm (Orentador)

3 À mnha mãe, mnha esosa e todos os famlares.

4 AGRADECIMENTO À Unversdade Federal de Vçosa e ao Deartamento de Tenologa de Almentos, ela oortundade ofereda. À Unversdade Estadual do Sudoeste da Baha elo aoo na realzação deste trabalho. À EMBRAPA, ela mnha lberação ara a onlusão deste trabalho. À CAPES e à FAPEMIG, elo auxílo fnanero. Ao rofessor Lus Antono Mnm, ela orentação, elo aoo, elos ensnamentos, ela amzade e aêna. Aos rofessores José Antôno Marques Perera e Jane Séla dos Res Combra, elas valosas ontrbuções omo onselheros, elos ensnamentos, elo aoo e amzade. Aos amgos e omanheros de urso Renata Crstna Ferrera e Edwn Elard Gara Roas ela amzade e ontrbução na realzação deste trabalho. Aos amgos Abraham, Rafael, Wllam, Paulo, Jane, André, Luana, Carol e Eduardo, elo onvívo harmonoso e omanhersmo. A todos aqueles que de alguma outra forma ontrbuíram ara a realzação deste trabalho.

5 CONTEÚDO Resumo... v Abstrat... v Introdução Geral... 1 Modelagem e Smulação do Proesso de Adsorção das Proteínas do Soro, α-latoalbumna e β-latoglobulna, em Coluna de Troa Iôna... Resumo... Summary... Introdução... 3 Modelo matemáto... 5 Estratéga de solução numéra do modelo... 9 Determnação dos arâmetros de transferêna de massa Coefente de dsersão axal Coefente de transferêna de massa... 1 Coefente de dfusão... 1 Materal e métodos Resultados e dsussão Efeto do número de Pelet Efeto do número de Bot Efeto do arâmetro η Comaração de urvas smuladas om urvas exermentas. 17 Conlusões... 4 Símbolos usados... 5 Referênas blográfas... 7 Modelagem e Smulação do Proesso de Cromatografa de Exlusão Moleular ara Purfação das Proteínas α-latoalbumna e β- Latoglobulna... 9 v

6 Resumo... 9 Summary... 9 Introdução Modelo matemáto... 3 Estratéga de solução numéra do modelo Determnação dos arâmetros de transferêna de massa Coefente de dsersão axal Coefente de transferêna de massa Coefente de dfusão Materal e métodos Resultados e dsussão Efeto dos arâmetros de transferêna de massa na formação dos os Efeto do número de Pelet Efeto do número de Bot Efeto do arâmetro η Comaração om dados exermentas Avalação dos desvos na estmatva dos arâmetros de transferêna de massa Conlusões Símbolos usados... 5 Referênas blográfas Modelagem e Smulação do Proesso de Adsorção das Proteínas do Soro, α-latoalbumna e β-latoglobulna, em Tanques Agtados Resumo Summary Soro de queo Alfa-latoalbumna Beta-latoglobulna Cromatografa rearatva Adsorção v

7 Modelo de transferêna de massa ara adsorção em tanques agtados Isoterma de adsorção Estratéga de solução numéra do modelo Smulações Influêna do oefente de dfusão Influêna do oefente de transferêna de massa Conlusões Símbolos usados Referênas blográfas SmuCromWn: Um Programa Comutaonal Para a Smulação de Proessos Cromatográfos Resumo Summary Introdução Modelos Adsorção Isotermas de equlíbro Modelo de transferêna de massa ara adsorção em tanques agtados Estratéga de solução numéra do modelo ara tanque agtado Modelo de transferêna de massa ara adsorção em leto fxo Estratéga de solução numéra do modelo de adsorção em leto fxo Cromatografa de exlusão moleular Estratéga de solução numéra do modelo de CEM Parâmetros de transferêna de massa A nterfae do usuáro Exemlos v

8 Conlusões Símbolos usados Referênas blográfas Conlusões Geras v

9 RESUMO SARAIVA, Sérgo Henrques, D.S., Unversdade Federal de Vçosa, mao de 003. Modelagem e Smulação de Proessos de Cromatografa Prearatva. Orentador: Lus Antono Mnm. Conselheros: Jane Séla dos Res Combra e José Antôno Marques Perera. Neste trabalho fo desenvolvdo um rograma omutaonal, om nterfae amgável ao usuáro, que smula os roessos romatográfos de adsorção em tanque agtado, adsorção em oluna de leto fxo e exlusão moleular em oluna de leto fxo. O rograma utlza modelos de transferêna de massa que onsderam resstêna à transferêna de massa no flme, dfusão dentro da artíula e, no aso de roessos em oluna, dsersão axal. Nos roessos de adsorção, o modelo utlzado elo rograma onsdera equlíbro nstantâneo entre a artíula e o líqudo dentro da artíula. O modelo de equlíbro usado é o modelo de Langmur não omettvo. O rograma fo utlzado ara o estudo do roesso de adsorção das roteínas do soro, α- latoalbumna e β-latoglobulna, or uma resna de troa ôna emaotada em uma oluna de leto fxo, e mostrou-se efente na smulação desse roesso. Por meo do rograma também fo ossível smular, om boa resão, o roesso de urfação dessas roteínas or romatografa de exlusão moleular aós estas terem sdo fraonadas or sstemas aquosos fásos. Além dsso, o rograma ossltou a smulação da néta de transferêna de massa do roesso de adsorção dessas mesmas roteínas or uma resna de troa ôna utlzando o modelo de adsorção em tanque agtado. A nterfae gráfa e a vsualzação do roesso de searação ou de adsorção são araterístas que tornam o rograma esealmente atratvo ara rofssonas que trabalham om romatografa rearatva. v

10 ABSTRACT SARAIVA, Sérgo Henrques, D.S., Unversdade Federal de Vçosa, May 003. Modelng and Smulaton of Prearatve Chromatograh Proesses. Advsor: Lus Antono Mnm. Commttee members: Jane Séla dos Res Combra and José Antôno Marques Perera. In ths work was develoed a omutatonal rogram wth a frendly user nterfae that smulates the hromatograh roesses of adsorton n strred tank, adsorton n fxed bed olumn and sze exluson n fxed bed olumn. The software uses mass transfer models that onsder mass transfer resstane n the flm, dffuson nsde of the artle and, n the ase of roesses n olumn, axal dserson. The models used for the software n the adsorton roesses onsder nstantaneous equlbrum between the artle and the lqud nsde of the artle. It was used the nonomettve equlbrum model of Langmur. The software was used for the study of the adsorton roess of whey rotens, α- latalbumn and β-latoglobuln, by an on exhange resn aked n a fxed bed olumn, and the model revealed effent n the smulaton of ths roess. By means of the software also t was ossble to smulate aurately the urfaton roess of these rotens by sze exluson hromatograhy after these to have been fratonate by aqueous two-hase systems. Moreover, t was ossble to smulate the mass transfer knet of the adsorton roess of these same rotens by an on exhange resn usng the adsorton model to strred tank. The grahal nterfae and the vsualzaton of the adsorton or searaton roesses are haratersts that beome the software eseally attratve to rofessonals who work wth rearatve hromatograhy. x

11 Introdução geral Cromatografa é um roesso de searação bastante utlzado elas ndústras químa, farmaêuta, etrolífera e de almentos. É a téna de urfação mas emregada na ndústra otenológa. Cromatografa tem sdo amlamente utlzada na urfação de antótos, amnoádos, etídeos, roteínas, hormônos, antoros monolonas, vanas e outros materas ologamente atvos. O roesso de romatografa tem enontrado alação na área de almentos tas omo o tratamento de suos de frutas, vnhos e óleos vegetas. Cromatografa tem sdo usada na urfação de rodutos omo vtamnas e ádo ítro. O roesso de romatografa deve ser modelado om boa resão, obetvando uma melhor omreensão da dnâma do roesso, ara otmzação e aumento de esala. O ntervalo de valdade do modelo deve ser amlo o sufente ara a alação eseífa. Estudos exermentas utlzando romatografa em esala rearatva são aros e omlexos. A smulação desses sstemas usando rogramas omutaonas ode ser um método efente e eonômo ara otmzação e aumento de esala. Embora alguns exermentos seam requerdos, o uso da modelagem omutaonal e da smulação numéra ode reduzr bastante o número de exermentos neessáros, ontrbundo assm ara a eonoma de temo e dnhero. Neste trabalho fo desenvolvdo um rograma omutaonal om nterfae gráfa amgável ao usuáro que smula os roessos romatográfos de adsorção em tanques agtados, adsorção em leto fxo e romatografa de exlusão moleular em leto fxo. Avalou-se o roesso de adsorção das roteínas do soro, α-latoalbumna e β-latoglobulna, or uma resna de troa ôna em uma oluna de leto fxo. Estudou-se também o roesso de urfação destas roteínas or romatografa de exlusão moleular. Além dsso, estudou-se a néta de adsorção dessas roteínas em uma resna de troa ôna or meo da smulação de um roesso de adsorção em tanques agtados. 1

12 Modelagem e Smulação do Proesso de Adsorção das Proteínas do Soro, α-latoalbumna e β-latoglobulna, em Coluna de Troa Iôna Resumo Imlementou-se um rograma omutaonal om um roedmento numéro ara a solução do modelo de adsorção or troa ôna em leto fxo. O modelo fo aaz de smular, om um temo de smulação varando de 30 segundos a ouo mas de três mnutos, a adsorção smultânea das roteínas do soro α-latoalbumna (α-la) e β-latoglobulna (β-lg) em uma resna de troa ôna. A smulação de urvas de rutura ara dferentes valores de vazão da fase móvel e de onentração dos solutos na almentação mostrou que o modelo fo aaz de redzer de forma adequada o roesso de adsorção, quando omarado om as urvas de rutura exermentas. Correlações emíras foram utlzadas ara estmar os arâmetros de transferêna de massa envolvdos no modelo. Uma análse aramétra mostrou que uma estmação aurada do oefente de dfusão e do oefente de transferêna de massa é mortante ara uma efente smulação do sstema romatográfo estudado. Summary A omutatonal rogram wth a numeral roedure to obtan the soluton of the on exhange adsorton model n fxed bed was mlemented. The model was aable to smulate, wth a smulaton tme varyng of 30 seonds to few more than three mnutes, the smultaneous adsorton of whey rotens α- latalbumn (α-la) and β-latoglobuln (β-lg) n an on exhange resn. The smulaton of breakthrough urves for dfferent values of flow rate of the mole hase and volues of onentraton of the solutes n the feedng showed that the model was aable to redt adequately the adsorton roess, when omared wth the exermental breakthrough urves. Emral orrelatons were used to estmate mass transfer arameters nvolved n the model. A arametr analyss showed that a aurate estmaton of the dffuson oeffent and of the mass transfer oeffent s mortant for an effent smulaton of the studed hromatograh system.

13 Introdução O soro de queo é um roduto ológo rovenente das ndústras de latínos e ossu em sua omosção substânas omo etídeos, amnoádos, latose, ádo láto, roteínas, resíduos de aseínas e de gordura do lete e mneras. A rnal alação ara o soro do lete tem sdo na almentação anmal, no entanto, alguns trabalhos têm sdo dedados na reueração de mortantes omonentes do soro, omo as roteínas, que uma vez searados e urfados adequadamente, odem ser utlzados nas ndústras de almentos e farmaêuta (Carrére, 1993). As ndústras de almentos exloram as roredades funonas e físo-químas das roteínas tas omo absorção e lgação de água, aadade de formação de gel, elastdade, emulsfação entre outras, na rodução de almentos roessados omo arnes, ães, sotos, ereas matnas, massas, rodutos de onfetara, queos, ogurtes e sorvetes (Cayot e Lorent, 1997). A Tabela 1 aresenta a omosção rotéa do soro bovno. As roteínas que oorrem em maor quantdade são a α-latoalbumna (α-la) e a β- latoglobulna (β-lg). Elas reresentam aroxmadamente 70% da quantdade de roteínas no soro e são resonsáves elas roredades de hdratação, formação de gel e roredades relaonadas a atvdades suerfas (roredade emulsfante e esumante) (Cayot e Lorent, 1997). Tabela 1 Comosção rotéa do soro de lete bovno Proteína Conentração méda no soro (g/l) Massa Molar (kda) Ponto soelétro β-latoglobulna ,4 5, α-latoalbumna 1,5 14, 4,7-5,1 Albumna do soro 0,3-0,6 69 4,9 Imunoglobulnas 0,6-0, ,8-7,3 Latoeroxdase 0, ,6 Latoferrna 0, ,0 Protease-etona 0,5 4-0 Fonte: MKenzey (1970). 3

14 Indústras em todo o mundo roessam anualmente mlhões de toneladas de rodutos rotéos gerando uma grande quantdade de resíduos ros em roteínas que, or aresentarem alto valor ológo, têm desertado uma resente neessdade de arovetá-los ara fns de nutrção humana ou anmal. Além dsso, a rodução de roteínas om funções teraêutas, entre outras, revela a neessdade de se desenvolver, a ustos ada vez menores, roessos otenológos efentes ara a reueração, searação e urfação dessas roteínas a artr do meo onde foram roduzdas (Atknson e Santer, 198). A grande maora dos roessos de urfação de roteínas envolve elo menos um asso romatográfo. Geralmente, romatografa é a etaa have ara o suesso de um roesso de urfação (Smson, 1994). O grande suesso das searações romatográfas de roteínas é a sua haldade de atngr elevado grau de ureza a artr de msturas om reduzdas onentrações dos omostos de nteresse (Boshett e Coffman, 1994). O desenvolvmento de métodos e ténas ara a searação e urfação de maromoléulas ológas, omo as roteínas, tem sdo um ré-requsto mortante ara mutos dos avanços fetos ela oêna e ela otenologa nos últmos anos (Ersson et al., 1998). Cromatografa é uma téna de urfação bastante utlzada elas ndústras químa, farmaêuta, etrolífera e de almentos. É a téna de urfação mas emregada na ndústra otenológa (Ghose e Cramer, 001). Essa téna tem sdo muto utlzada na urfação de antótos, amnoádos, etídeos, roteínas, hormônos, antoros, vanas e outros materas ologamente atvos. O roesso de romatografa tem enontrado alação na área de almentos tas omo o tratamento de suos de frutas, vnhos e óleos vegetas e na urfação de xaroe de frutose obtdo do amdo de mlho or tratamento enzmáto. Ela tem sdo usada na urfação de rodutos omo vtamnas, ádo ítro e rodutos agríolas (Shuey, 1990; Seker et al., 1998). Város métodos de romatografa rearatva ara o fraonamento de roteínas do soro têm sdo relatados. Cromatografa de troa anôna em QMA- Sherosl fo usada ara onentrar as roteínas do soro e seará-las da latose, or meo da elução das roteínas adsorvdas usando ádo lorídro (Skudder, 1985). Hahn et al. (1997) fraonaram as roteínas do soro utlzando 4

15 romatografa de troa atôna. Ye et al. (000) solaram latoferrna, latoeroxdase, α-la e β-lg do soro bovno usando um troador atôno e um troador anôno em seqüêna. Quando se ala uma oeração romatográfa ara um novo sstema ou quando se desea aumentar a esala do roesso, é omum a realzação de numerosos exermentos. Como geralmente os rodutos são valosos e dsoníves somente em equenas quantdades, os exermentos são aros ara serem onduzdos. Isto é esealmente verdadero ara a searação de roteínas. Dessa forma, torna-se neessáro redzer o desemenho do roesso or meo da modelagem matemáta e da smulação omutaonal ara mnmzar o número de exermentos requerdos (Keme et al., 1999). Estudos exermentas usando solutos ológos são aros e omlexos. A smulação desses sstemas usando modelos omutaonas ode ser uma alternatva efente e eonôma ara roostas de otmzação e de aumento de esala. Embora alguns exermentos anda seam neessáros, a modelagem omutaonal e a smulação numéra odem reduzr amlamente o número de exermentos (Seker et al., 1998). O obetvo desse trabalho é modelar o roesso de adsorção das roteínas do soro, α-la e β-lg, ela resna de troa anôna Ael Plus QMA emaotada em uma oluna de leto fxo. Modelo matemáto O roesso de romatografa envolve uma ntrada omnação de fenômenos omlexos de orgens hdrodnâma, termodnâma e néta, que freqüentemente nteragem entre s. O modelo da taxa geral onsdera smultaneamente todas as ossíves ontrbuções à néta de transferêna de massa, que são a dsersão axal, a resstêna à transferêna de massa no flme externo, a dfusão ntraartíula e a taxa de adsorção-dessorção (Guohon et al., 1994). De aordo om Gu et al. (1993), um modelo de taxa geral multomonente onsste de um sstema de equações dferenas aras aoladas om dos onuntos de equações de balanço de massa na fase móvel e na artíula ara ada omonente, resetvamente. O sstema transente de 5

16 equações dferenas aras torna-se não lnear se qualquer soterma não lnear ou néta não lnear estver envolvda nele. As seguntes onsderações são neessáras ara a formulação do modelo: 1) O roesso multomonente em leto fxo é sotérmo. ) O leto é emaotado om adsorventes orosos que são esféros e de tamanho unforme. 3) Os gradentes de onentração na dreção radal do leto são desrezados. 4) Exste equlíbro loal ara ada omonente entre a suerfíe dos oros e o fludo estagnado nos marooros. 5) O oefente de transferêna de massa e o oefente de dfusão são onstantes e ndeendentes dos efetos de mstura dos omonentes. Com essas onsderações, as seguntes equações odem ser formuladas a artr do balanço de massa dferenal ara ada omonente na fase móvel e na artíula, resetvamente: ( C C ) = 0 C C C 3k (1 b ) D + v + +, R= R Z Z t R (1) b s C C 1 C (1 ) + D = 0 R () t t R R R om as seguntes ondções nas e de ontorno: t = 0 C C (0, Z) (3) = t = 0 C C (0, R, Z) (4) = C v Z = 0 = ( C C f ( t)) (5) Z D 6

17 Z = L C Z = 0 (6) C R = 0 = 0 R (7) C k = R = ( C C, R R ) (8) R D R = As Equações (1) e () são aoladas va C R =, que é a onentração do R omonente na suerfíe da artíula. Na Eq. (), s C é a onentração do omonente na fase sólda do adsorvente om base na undade de volume do sóldo, exlundo os oros. Ela está dretamente assoada om as sotermas de adsorção que estão aoladas ao sstema de equações dferenas aras om base na onsderação (4). As onentrações de volume da fase móvel. Utlzando os termos admensonas: C e C são baseadas na undade s C C C s R Z = ; = ; = ; r = ; z = ; τ C C C R L = L vt ; vl k R PeL = ; B = ; η = D D R v D L ; ξ 3Bη (1 = b b ) O sstema de equações dferenas aras ode ser transformado nas seguntes formas admensonas: ( ) = ξ, r= 1 PeL z z τ (9) 7

18 τ 1 s [(1 ) + ] η r 0 = (10) r r r Com as seguntes ondções nas e de ontorno admensonalzadas: τ = 0 (0, z) (11) = τ = 0 (0, r, z) (1) = C f ( τ) z = 0 = Pe L (13) z C0 z = 1 = 0 z (14) r = 0 = 0 r (15) r = 1 = B (, r= 1) (16) r A ondção de ontorno na entrada da oluna (equação 13) deende do modo de oeração da oluna. Para adsorção frontal: C f ( τ) = 1 C 0 (17) Para elução: 8

19 C f C ( τ) 0 1, = 0 se 0 τ τ m em aso ontráro (18) frontal): Para desloamento, aós a ntrodução da amostra (na forma de adsorção C f ( τ) 0, = C 1, se é um omonente da amostra se 0 é um desloador (19) Todas as onentrações admensonas são baseadas em ao valor máxmo do erfl de almentação C (τ). f C 0, que é gual Estratéga de solução numéra do modelo A Equação (9) fo dsretzada, em relação à oordenada esaal z, utlzando a téna de dferenças fntas entras om n nós ao longo de z. A equação (10) fo dsretzada, em relação à oordenada esaal r, elo método da oloação ortogonal, utlzando os olnômos smétros defndos or Fnlayson (1980), om dos ontos de oloação nteror. Essas dsretzações geraram as seguntes equações dferenas ordnáras: Para a fase móvel: Nó na entrada da oluna: τ 1 = Pe L z + ξ Pe z L PeL z + ξ + + Pe z L 1 (0) Nós nterores da oluna ( = ; 3;...; n - 1): 9

20 τ 1 = Pe L z Pe L z z 1 + ξ Pe L z 1 + z 1 + ξ 3 (1) Nó na saída da oluna: τ n = Pe L z + ξ 3 n 1 n PeL z + ξ n () Para a artíula: Prmero onto de oloação nteror ( r 0,5385) : 1 s 1 3 η η η + ( 1 ) = 13,6 + 0,433 6,833 (3) τ τ Segundo onto de oloação nteror ( r 0,906) : s 1 3 η η η + ( 1 ) = 14,57 91,4 + 76,83 (4) τ τ O valor de 3 C (onentração na suerfíe da artíula) é obtdo a artr da ondção de ontorno em r = 1: C 3 B 0, ,9483 = + (5) 14 + B 14 + B 14 + B O índe subsrto aós as barras nda o nó ao longo de z e o índe sobresrto o onto de oloação ortogonal (1 e são ontos nterores e 3 é a suerfíe da artíula, ou sea, r = 1). Nas Equações (3) a (5), deve varar de 10

21 1 a n. Assm, foram geradas n equações dferenas ordnáras ara a fase móvel e n equações ara a artíula, ou sea, 3n equações dferenas ordnáras ara ada soluto, totalzando número de solutos. As onentrações de equlíbro. As 3 nn s equações dferenas ordnáras, sendo N s o s C e C estão relaonadas ela soterma 3 nn s equações dferenas ordnáras resultantes foram resolvdas smultaneamente utlzando o método de Euler. Para evtar roblemas relaonados a nstaldade e onvergêna, adotou-se o rtéro de dmnur o nremento no temo ( τ ) e/ou aumentar o número de nós em z (n) semre que algum valor de onentração C estvesse fora do seu domíno om uma determnada tolerâna. Neste trabalho sso fo feto semre que C estvesse fora do ntervalo [-0,001; 1,001]. Além dsso, o erfl de onentração na fase móvel ao longo da oluna fo aomanhado vsualmente de forma gráfa durante todo o temo da smulação, de forma a montorar quasquer oslações que orventura oorressem. Isso fo mlementado em um rograma desenvolvdo em Vsual Bas 6.0. Todas as smulações foram realzadas em um AMD Athlon 750 MHz. O temo gasto nessas smulações varou de 30 segundos a ouo mas de 3 mnutos. Determnação dos arâmetros de transferêna de massa Correlações emíras são dsoníves ara estmar arâmetros desonhedos desrevendo dfusão, dsersão axal e resstêna à transferêna de massa. Essas orrelações são normalmente exressas usando números admensonas. Coefente de dsersão axal Os város efetos omlexos que levam à mstura axal são omnados dentro de um úno oefente de dsersão axal. Esse oefente de dsersão axal ode ser determnado a artr de exermentos ou ser estmado usando orrelações emíras, omo a aresentada or Chung e Wen (1968). Essa orrelação tem sdo amlamente utlzada e é alável tanto ara leto fxo 11

22 quanto ara leto fludzado (Seker, 1998). Ela orrelaona o número de Pelet omo: vl L Pe L = + D b R B 0,48 ( 0, 0,011Re ) (6) Sendo o número de Reynolds, Re, defndo omo: R B vρ Re = (7) µ Coefente de transferêna de massa A resstêna à transferêna de massa reresentada or um flme hotéto em torno da artíula neessta do oefente de transferêna de massa no flme, k, ara ada omonente. Usualmente, as orrelações dão uma exressão ara o oefente k ou o número de Sherwood, Sh, omo na equação usada or True et al. (199): k R Sh = = + 1,45 Re D 1 S 1 3 (8) sendo o número de Shmdt, S, defndo omo: µ S = (9) ρd Coefente de dfusão Para modelos que onsderam dfusão na matrz romatográfa, omo o modelo da taxa geral, é neessáro um oefente de dfusão ara ada omonente. Coefentes de dfusão ara a dfusão lvre em líqudos são da ordem de 10-5 m s -1. Coefentes de dfusão de roteínas em matrzes 1

23 romatográfas são da ordem de 10-7 m s -1. A redção dos oefentes de dfusão ara sstemas multomonente é dfíl, esealmente ara soluções onentradas não deas. Young et al. (1980) aresentaram a segunte orrelação ara roteínas: D 8,31 10 T 8 = 1/ 3 (30) µ M D em m s -1, M é a massa molar da roteína em g, T é a temeratura em K e µ é a vsosdade do solvente em P. Essa orrelação aresenta bons resultados ara roóstos de engenhara, os 75% das 301 roteínas estudadas têm um oefente de dfusão dentro de um ntervalo de 0% dos valores redtos or ela (Young et al., 1980). Materal e Métodos Os exermentos foram onduzdos em uma oluna de 0,5 m de dâmetros nterno or 3 m de omrmento, emaotada om a resna Ael Plus QMA (dâmetro médo das artíulas de 46 µm e densdade da artíula sea de,3 mg/ml). As roteínas α-la e a β-lg foram utlzadas a artr de um solado rotéo de soro (Davso ). Os exermentos de adsorção foram realzados no sstema de romatografa ÄKTA Purfer (Pharmaa ). Para a fase móvel fo utlzada uma solução tamão om H 7,6 e força ôna 0,05M elaborada a artr de uma solução de Trs (Trs-hdroxmetl-amnometano; Merk - Massa Molar = 11,14 g) e HCl. A quantfação das roteínas α-la e β-lg fo feta onforme Ferrera (001). As orosdades do leto e da artíula foram determnadas or Ferrera (001) e seus valores são 0,53 e 0,63, resetvamente. Para desrever o equlíbro fo usada a soterma de adsorção do to Langmur (1916). Essa soterma ode ser esrta na forma: 13

24 C S qmc = (31) k + C d Os arâmetros das sotermas ara as roteínas α-la e β-lg adsorvdas na resna Ael Plus QMA foram obtdos or Ferrera (001) e são aresentados na Tabela. Tabela - Parâmetros da soterma de Langmur Proteína Parâmetro α-latoalbumna β-latoglobulna q m (mg/g) 71,48 179,3 k d (mg/ml) 1,08 3,71 Resultados e Dsussão Efetos dos arâmetros de transferêna de massa nas urvas de rutura Uma análse de sensldade dos arâmetros no modelo ode ndar quas arâmetros são relatvamente mortantes e que devem ser estmados om maor resão e quas arâmetros não requerem uma estmação tão rígda Efeto do número de Pelet O número de Pelet está relaonado om a dsersão axal. Quando Pe L tende a nfnto, a dsersão axal torna-se desrezível, ndando a exstêna de um esoamento do to emstonado. A nfluêna do número de Pelet nas urvas de rutura da β-lg e da α-la é mostrada na Fgura 1 e na Fgura, resetvamente. Nessas smulações os arâmetros B e η foram fxos e guas a 5. Pode-se observar que ara valores equenos de Pe L, a rutura oorre de forma mas suave que ara valores maores de Pe L. Observa-se anda que a urva de rutura ara Pe L gual a 00 é muto semelhante à urva ara Pe L gual a 1500, ndando que ara valores maores que 00, uma varação no Pe L ratamente não altera o resultado da smulação. 14

25 C / C o 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 Pe L = 50 Pe L = 00 Pe L = 500 Pe L = τ Fgura 1 Efeto do número de Pelet sobre as urvas de rutura da β-lg. C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 Pe L = 50 Pe L = 00 Pe L = 500 Pe L = τ Fgura Efeto do número de Pelet sobre as urvas de rutura da α-la. Efeto do número de Bot O número de Bot está relaonado om a razão entre a resstêna à transferêna de massa no flme e o oefente de dfusão ntraartíula. Valores altos de Bot ndam que o roesso de transferêna de massa é lmtado ela dfusão ntraartíula. A nfluêna do número de Bot nas urvas de rutura da β-lg e da α-la é mostrada nas Fguras 3 e 4, resetvamente. Nessas smulações os arâmetros Pe L e η foram fxos e guas a 50 e 5, resetvamente. Observase que ara valores menores de B, a rutura na-se mas radamente que ara valores maores. Nota-se anda que a nfluêna de B sobre a rutura da β-lg e da α-la torna-se ratamente nsgnfante quando B é maor que 0. 15

26 C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 B = 1 B = 5 B = 0 B = τ Fgura 3 Efeto do número de Bot sobre as urvas de rutura da β-lg. C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 B = 1 B = 5 B = 0 B = τ Fgura 4 Efeto do número de Bot sobre as urvas de rutura da α-la. Efeto do arâmetro η A nfluêna do arâmetro η nas urvas de rutura da β-lg e da α-la é mostrada nas Fgura 5 e 6, resetvamente. Nessas smulações os arâmetros Pe L e B foram fxos e guas a 500 e 5, resetvamente. Pode-se observar que ara valores equenos de η (menores que 5), a rutura na-se muto radamente, stuação essa que é ndeseável do onto de vsta ráto, uma vez que o roesso sera nterromdo quando a oluna anda estvesse longe da saturação. Observa-se anda que a rutura ratamente não deende de η quando este é maor que 0. 16

27 C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 η = 1,0 η = 5 η = 0 η = τ Fgura 5 Efeto do arâmetro η sobre as urvas de rutura da β-lg. C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 η = 1 η = 5 η = 0 η = τ Fgura 6 Efeto do arâmetro η sobre as urvas de rutura da α-la. Em todas as smulações ara avalar os efetos de Pe L, B e η, os valores de C 0 ara a β-lg e ara a α-la foram de 6 mg/ml e 3 mg/ml, resetvamente. Comaração de urvas smuladas om urvas exermentas Exermentos foram onduzdos varando a onentração dos solutos na almentação e a vazão da fase móvel. Os arâmetros de transferêna de massa foram estmados elas orrelações emíras á aresentadas. As Fguras 7 e 8 aresentam as urvas de rutura exermentas e smuladas ara dferentes valores de vazão da fase móvel ara a β-lg e ara a α-la, resetvamente. Observa-se que o modelo onseguu redzer de forma adequada as urvas de 17

28 rutura, ndando que ele é adequado ara a smulação do roesso. A nfluêna da vazão da fase móvel sobre a aadade relatva da oluna (quantdade adsorvda no onto de rutura em relação à aadade de adsorção) em relação às roteínas β-lg e α-la ode ser observada nas Fgura 9 e 10, resetvamente. As ondções de adsorção foram mas favoráves ara a vazão de 0,5 ml/mn, os, no onto de rutura (C/C 0 = 0,1) uma maor orção da oluna estava saturada. Os arâmetros utlzados ara essas smulações são aresentados na Tabela 3. Os valores de C 0 ara a β-lg e a α-la foram de 8,0 mg/ml e de 3,5 mg/ml, resetvamente. Tabela 3 Parâmetros estmados or orrelações emíras β-lg α-la F (ml/mn) D b (x10 3 ) k (x10 3 ) D (x10 6 ) D b (x10 3 ) k (x10 3 ) D (x10 6 ) 0,5 0,97 m /s 1,3 m/s 0,94 m /s 0,97 m /s 1,4 m/s 1,03 m /s 1,0 1,93 m /s 1,70 m/s 0,94 m /s 1,93 m /s 1,8 m/s 1,03 m /s 1,5,89 m /s 1,99 m/s 0,94 m /s,89 m /s,13 m/s 1,03 m /s C / C 0 1,0 0,9 0,8 F = 0,5 F = 1,0 0,7 F = 1,5 0,6 F = 0,5 0,5 F = 1,0 0,4 F = 1,5 0,3 0, 0,1 0, Temo (mn) Fgura 7 Curvas de rutura ara a β-lg ara dferentes valores de vazão da fase móvel; As lnhas reresentam os dados smulados elo modelo e os símbolos, os dados exermentas. 18

29 C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0, Temo (mn) F = 0,5 F = 1,0 F = 1,5 F = 0,5 F = 1,0 F = 1,5 Fgura 8 Curvas de rutura ara a α-la ara dferentes valores de vazão da fase móvel. C / C 0 1,0 0,9 0,8 F = 0,5 0,7 F = 1,0 0,6 F = 1,5 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Z / L Fgura 9 Perfs de onentração admensonal da β-lg na fase móvel ao longo da oluna quando a onentração na saída da oluna orresonde a 10% da onentração na almentação. 19

30 C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 F = 0,5 F = 1,0 F = 1,5 0,0 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Z / L Fgura 10 Perfs de onentração admensonal da α-la na fase móvel ao longo da oluna quando a onentração na saída da oluna orresonde a 10% da onentração na almentação. As Fguras 11 e 1 aresentam as urvas de rutura exermentas e smuladas elo modelo ara dferentes valores de onentração do soluto na almentação das roteínas β-lg e α-la, resetvamente. O modelo roosto onseguu redzer adequadamente as urvas de rutura tanto ara a β-lg quanto ara a α-la. Para essas smulações fo utlzada uma vazão da fase móvel de 1 ml/mn, ortanto, os arâmetros de transferêna de massa são os mesmos aresentados na Tabela 3 ara essa vazão. Observando as Fguras 13 e 14, notase que as ondções de adsorção é mas favorável ara valores maores de onentração. Além dsso, deve-se observar que ara valores maores de onentração a fração de sítos ouados do adsorvente é maor quando se aumenta a onentração na almentação, até um erto lmte, os a onentração adsorvda é uma função resente da onentração na fase móvel e tende a Qm quando a onentração na fase móvel tende a nfnto (soterma de Langmur). 0

31 C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 C 0 =,0 C 0 = 3,7 C 0 = 7,4 C 0 =,0 C 0 = 3,7 C 0 = 7, Temo (mn) Fgura 11 - Curvas de rutura ara a β-lg ara dferentes valores de onentração na almentação. Os valores de C 0 estão em mg/ml. C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 C 0 = 1,0 C 0 =,0 C 0 = 3,0 C 0 = 1,0 C 0 =,0 C 0 = 3, Temo (mn) Fgura 1 - Curvas de rutura ara a α-la ara dferentes valores de onentração na almentação. 1

32 C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 C 0 = 1,0 C 0 =,0 C 0 = 3,0 0,0 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Z / L Fgura 13 Perfs de onentração admensonal da β-lg na fase móvel ao longo da oluna quando a onentração na saída da oluna orresonde a 10% da onentração na almentação. C / C 0 1,0 0,9 0,8 C 0 = 1,0 0,7 C 0 =,0 0,6 C 0 = 3,0 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Z / L Fgura 14 Perfs de onentração admensonal da α-la na fase móvel ao longo da oluna quando a onentração na saída da oluna orresonde a 10% da onentração na almentação. As Fguras 15, 16 e 17 mostram a nfluêna dos arâmetros de transferêna de massa D, k e D b, resetvamente, na urva de rutura da β-lg (F = 1 ml/mn; C 0 = mg/ml), quando se altera o valor desses arâmetros ara a metade e ara o dobro do valor estmado elas orrelações emíras. Observase que, dentro desse ntervalo, uma varação no D b ratamente não altera a urva de rutura. Já uma varação nos valores de D e de k alteram a urva de rutura, sendo que D é o arâmetro mas ríto.

33 C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 0,5 D Temo (mn) D,0 D Fgura 15 Influêna do oefente de dfusão na urva de rutura. C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 0,5 k k,0 k Temo (mn) Fgura 16 Influêna do oefente de transferêna de massa na urva de rutura. C / C 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0, Temo (mn) 3 0,5 D b D b,0 D b Fgura 17 Influêna do oefente de dsersão axal na urva de rutura.

34 Conlusões O roedmento numéro ara a solução do modelo da taxa geral que onsdera equlíbro nstantâneo na suerfíe da artíula fo efente ara a smulação de um roesso de adsorção em troa ôna sendo aaz de smular radamente, a adsorção smultânea das roteínas do soro α-la e β-lg ela resna Ael Plus QMA. A onordâna dos erfs smulados om os dados exermentas demonstra que o modelo roosto é adequado ara a smulação do sstema em estudo, mesmo utlzando aenas orrelações emíras ara estmar os arâmetros de transferêna de massa. A análse aramétra mostrou que o oefente de dfusão e o oefente de transferêna de massa são os arâmetros mas rítos a serem estmados, quando omarados om o oefente de dsersão axal, ara que a urva de rutura smulada sea anda mas aurada. 4

35 Símbolos usados Símbolo Desrção B número de Bot de transferêna de massa ara o omonente C onentração do omonente na fase móvel C f onentração do omonente na almentação C 0 onentração usada ara admensonalzação, max{ f (t)} C onentração do omonente na fase líquda da fase estaonára s C onentração do omonente na fase sólda da fase estaonára onentração admensonal do omonente na fase móvel f onentração admensonal do omonente na almentação onentração admensonal do omonente na fase líquda da fase estaonára s onentração admensonal do omonente na fase sólda da fase estaonára D oefente de dsersão axal do omonente D oefente de dfusão do omonente F vazão da fase móvel k d onstante na soterma de Langmur k oefente de transferêna de massa ara o omonente L omrmento do leto de artíulas n número de nós em z Pe L número de Pelet ara o omonente q m onstante na soterma de Langmur R oordenada radal ara a artíula Re número de Reynolds R rao da artíula r oordenada radal admensonal ara a artíula S número de Shmdt Sh número de Sherwood t Temo v velodade nterstal da fase móvel Z oordenada axal z oordenada axal admensonal z nremento na dreção axal Letras gregas b fração de volume vazo do leto ρ densdade da fase móvel µ vsosdade da fase móvel orosdade da artíula η ξ número admensonal ara o omonente número admensonal ara o omonente 5

36 τ temo admensonal τ nremento de temo admensonal τ temo de duração admensonal ara um ulso retangular da amostra m 6

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39 Modelagem e Smulação do Proesso de Cromatografa de Exlusão Moleular ara Purfação das Proteínas α- Latoalbumna e β-latoglobulna Resumo Um roedmento numéro ara a solução do modelo de transferêna de massa ara romatografa de exlusão moleular (CEM) que onsdera dsersão axal, dfusão dentro da artíula, resstêna à transferêna de massa no flme e orosdade aessível da artíula fo desenvolvdo. O modelo fo aaz de smular, om um temo de smulação varando de 30 segundos a 1 mnuto, o roesso de CEM das fases salna e olméra rovenentes do fraonamento das roteínas do soro or sstemas aquosos fásos (SAB). A omaração dos romatogramas obtdos exermentalmente om os smulados mostrou que o modelo é adequado ara o estudo desses sstemas. Correlações emíras foram utlzadas ara estmar os arâmetros de transferêna de massa envolvdos no modelo. Os efetos de arâmetros físos no desemenho da CEM fo nvestgada usando smulação omutaonal baseada no modelo roosto. Summary A numeral roedure for the soluton of the mass transfer model to sze exluson hromatograhy that onsders axal dserson, ntraartle dffuson, mass transfer resstane n the flm and aessble artle orosty was develoed. The model was aable to smulate, wth a smulaton tme varyng of 30 seonds to 1 mnute, the roess of sze exluson hromatograhy of salne and olymer hases roeedng from the fratonaton of whey rotens by aqueous two-hase systems. The omarson of exermental and smulated hromatograms showed that the model s adequate for the study of these systems. Emral orrelatons were used to estmate mass transfer arameters nvolved n the model. The effet of hysal arameters n the erformane of the sze exluson hromatograhy was nvestgated usng omutatonal smulaton wth base n the onsdered model. 9

40 Introdução O soro de queo é um subroduto da ndústra de latínos e ontém aroxmadamente 0 % da omosção rotéa orgnal do lete. Dervados de lete roessados tas omo soro de lete em ó om dferentes graus de onentração de roteínas são omeralzados no merado, mas são rodutos que ossuem relatvamente baxo valor agregado e que não ossuem todo o otenal em relação às roredades funonas das roteínas do soro (MIntosh et al., 1998). O soro ontém uma ra e varada mstura de roteínas om váras roredades físo-químas e funonas (Smthers et al., 1996). Segundo Morr e Há (1993), as roteínas do soro de queo são de elevado valor funonal e odem ser emregadas omo esumantes e emulsfantes e ossuem aadade ara substtur outros ngredentes mas dsendosos nas ndústras de almentos. Elas onsttuem uma fonte exeonalmente ra e balaneada de amnoádos (Regester et al., 1996). A Tabela 1 aresenta a omosção rotéa do soro de lete bovno. As roteínas mas abundantes são a α-latoalbumna (α-la) e a β-latoglobulna (βlg). Elas reresentam aroxmadamente 70% da quantdade de roteínas no soro e são resonsáves elas roredades de hdratação, gelatnzação e roredades relaonadas a atvdades suerfas (roredade emulsfante e esumante) (Cayot e Lorent, 1997). A searação de roteínas geralmente envolve váras etaas e exstem numerosas ténas que mutas vezes devem ser utlzadas em omnação quando se quer obter um roduto fnal om alto teor de ureza (Aseno, 1990). Um sstema aquoso fáso omosto or 18% de oletlenoglol (PEG) 1500 e 18% de fosfato de otásso fo usado om suesso na searação das roteínas do soro em duas frações, a fase olméra, ra em α-la, e a fase salna, ra em β-lg (Zuñga, 000). É neessára uma etaa osteror ara urfação da α-la e da β-lg dessas fases. 30

41 Tabela 1 Comosção rotéa do soro bovno Proteína Conentração méda no soro (g/l) Massa Moleular (kda) β-latoglobulna α-latoalbumna Albumna do soro Imunoglobulnas Latoeroxdase Latoferrna Protease-etona Fonte: MKenzey (1970). Cromatografa or exlusão moleular (CEM) seara roteínas e etídeos om base em seus tamanhos moleulares. Searações odem ser obtdas em um ntervalo de 10 Da a 10 7 Da (Smson,1994). Desde que esse roesso fo ntroduzdo or Moore (1964), ele tem se mostrado uma ferramenta efente ara análse e searação de maromoléulas omo roteínas e olímeros (L et al., 1998). Essa téna tem sdo muto usada ara searação e urfação de maromoléulas em roessos ndustras (Burnouf, 1991; Yamamoto, 1991). Mutos roessos omeras de searação utlzam um ou mas assos de CEM (Wheelwrght, 1991). CEM é um método efente ara a urfação de roteínas do lasma humano (Kaersgaard e Barngton, 1998). É um método reomendado rnalmente ara a fase fnal de um roesso de searação, a hamada etaa de olmento (Jos et al., 1998). Uma narração detalhada das ténas laboratoras de CEM fo ublada or Fsher (1980). Uma extensa desrção do roesso de CEM fo aresentada or Yau e olaboradores (1979). No desenvolvmento de roessos romatográfos em grande esala, é mortante não somente obter um bom sstema de searação, mas também reduzr os ustos e aumentar a onfaldade do roesso. Estudos exermentas em romatografa rearatva usando solutos ológos são demorados e têm usto elevado. Assm, a modelagem desses roessos torna-se uma etaa mortante os osslta o aumento de esala, a otmzação e o ontrole do 31

42 roesso. O uso da smulação omutaonal reduz substanalmente o número de exermentos, dmnundo os ustos e o temo de obtenção dos resultados (Seker, 1998). O obetvo deste trabalho fo modelar e smular o roesso de CEM ara a urfação das roteínas α-la e β-lg resentes, resetvamente, nas fases olméra e salna do sstema aquoso fáso omosto or 18% PEG 1500 e 18% de fosfato de otásso. Modelo matemáto Km e Johnson (1984) ntroduzram um modelo que onsdera uma fração de volume de oro ara levar em onta o efeto da exlusão moleular das artíulas. Gu (1995) roôs o uso de uma orosdade aessível da artíula, sto é, fração do volume do oro aessível ara uma maromoléula, ara desrever o efeto da exlusão moleular em um modelo de transferêna de massa que onsdera dsersão axal, transferêna de massa no flme e dfusão dentro das artíulas. As seguntes onsderações são neessáras ara formular o modelo: 1) A oluna é sotérma; ) Não há nteração entre os solutos; 3) Os oefentes de dfusão e de transferêna de massa ermaneem onstantes; 4) As artíulas são esféras e de tamanho unforme; 5) A densdade de emaotamento é a mesma ao longo da oluna; 6) A dfusão na dreção radal é desrezível. Com essas onsderações, as seguntes equações odem ser formuladas a artr do balanço de massa dferenal ara um soluto na fase móvel e na fase estaonára, resetvamente. ( C C ) = 0 C C C 3k (1 b ) D + v + + (1), R= R Z Z t R b 3

43 C t D R R C 1 R = R 0 () om as seguntes ondções nas e de ontorno t = 0 C C (0, Z) (3) = t = 0 C C (0, R, Z) (4) = Z C v = 0 = ( C C f ( t)) (5) Z D Z = L C Z = 0 (6) C R = 0 = 0 R (7) C k = R = ( C C, R R ) a (8) R D R = Utlzando os termos admensonas: C C Z ; L = ; = ; r = ; z = τ = C0 C0 R L R vt ; k R a vl Pe L = ; B = ; η a = D D R v D L ; ξ 3Bη (1 = b b ) O sstema de equações dferenas aras ode ser transformado nas seguntes formas admensonas: 33

44 ( ) = ξ, r= 1 PeL z z τ (9) τ η a r r 1 r = r 0 (10) Com as seguntes ondções nas e de ontorno admensonalzadas: τ = 0 (0, z) (11) = τ = 0 (0, r, z) (1) = C f ( τ) z = 0 = Pe L (13) z C0 z = 1 = 0 z (14) r = 0 = 0 r (15) r = 1 = B (, r= 1) (16) r A ondção de ontorno na almentação (eq. 13) utlza a segunte função: C f ( τ) 1 se 0 τ τm = C0 0 em aso ontráro (17) 34

45 Estratéga de solução numéra do modelo A Equação (9) fo dsretzada, em relação à oordenada esaal z, utlzando a téna de dferenças fntas entras om n nós ao longo de z. A equação (10) fo dsretzada, em relação à oordenada esaal r, elo método da oloação ortogonal, utlzando os olnômos smétros defndos or Fnlayson (1980), om dos ontos de oloação nteror. Essas dsretzações geraram as seguntes equações dferenas ordnáras: Para a fase móvel: Nó na entrada da oluna: τ 1 = Pe L z + ξ Pe z L PeL z + ξ + + Pe z L 1 (0) Nós nterores da oluna ( = ; 3;...; n - 1): τ 1 = PeL z PeL z z 1 + ξ PeL z 1 + z 1 + ξ 3 (1) Nó na saída da oluna: τ n = PeL z + ξ 3 n 1 n PeL z + ξ n () Para a artíula: Prmero onto de oloação nteror ( r 0,5385) : τ 1 η = 13,6 a 1 η + 0,433 a η 6,833 a 3 (3) 35

46 Segundo onto de oloação nteror ( r 0,906) : τ η = 14,57 a 1 η 91,4 a η + 76,83 a 3 (4) O valor de 3 C (onentração na suerfíe da artíula) é obtdo a artr da ondção de ontorno em r = 1: C 3 B 0, ,9483 = + (5) 14 + B 14 + B 14 + B O índe subsrto aós as barras nda o nó ao longo de z e o índe sobresrto o onto de oloação ortogonal (1 e são ontos nterores e 3 é a suerfíe da artíula, ou sea, r = 1). Nas Equações (3) a (5), deve varar de 1 a n. Assm, foram geradas n equações dferenas ordnáras ara a fase móvel e n equações ara a artíula, ou sea, 3n equações dferenas ordnáras ara ada soluto, totalzando número de solutos. As 3 nn s equações dferenas ordnáras, sendo N s o 3 nn s equações dferenas ordnáras resultantes foram resolvdas smultaneamente utlzando o método de Euler. Para evtar roblemas relaonados a estaldade e onvergêna, adotou-se o rtéro de dmnur o nremento no temo ( τ ) e/ou aumentar o número de nós em z (n) semre que algum valor de onentração C estvesse fora do seu domíno om uma determnada tolerâna. Neste trabalho sso fo feto semre que C estvesse fora do ntervalo [-0,001; 1,001]. Além dsso, o erfl de onentração na fase móvel ao longo da oluna fo aomanhado vsualmente de forma gráfa durante todo o temo da smulação, de forma a montorar quasquer oslações que orventura oorressem. Isso fo mlementado em um rograma desenvolvdo no Vsual Bas 6.0. Todas as smulações foram realzadas em um AMD Athlon 750 MHz. O temo gasto nessas smulações varou de 10 segundos a ouo mas de 1 mnuto. 36

47 Determnação dos arâmetros de transferêna de massa Correlações emíras são dsoníves ara estmar arâmetros desonhedos desrevendo dfusão, dsersão axal e resstêna à transferêna de massa. Coefente de dsersão axal Os város efetos omlexos que levam à mstura axal são omnados dentro de um úno oefente de dsersão axal. Esse oefente de dsersão axal tem que ser determnado a artr de exermentos ou ode ser estmado usando orrelações emíras, omo a aresentada or Chung e Wen (1968). Essa orrelação tem sdo amlamente utlzada ara leto fxo (Seker, 1998). Ela orrelaona o número de Pelet omo: vl L Pe L = + D b R B 0,48 ( 0, 0,011Re ) (6) Sendo o número de Reynolds, Re, defndo omo: R B vρ Re = (7) µ Coefente de transferêna de massa A resstêna à transferêna de massa reresentada or um flme hotéto em torno da artíula neessta do oefente de transferêna de massa no flme, k, ara ada omonente. Usualmente, as orrelações dão uma exressão ara o oefente k ou o número de Sherwood, Sh, omo na equação usada or True et al. (199): k R Sh = = + 1,45 Re D 1 S 1 3 (8) 37

48 sendo o número de Shmdt, S, defndo omo: µ S = (9) ρd Coefente de dfusão A redção dos oefentes de dfusão ara sstemas multomonente é dfíl, esealmente ara soluções onentradas não deas. Young et al. (1980) aresentaram a segunte orrelação ara roteínas: D 8,31 10 T 8 = 1/ 3 (30) µ M D em m s -1, M é a massa molar da roteína em g, T é a temeratura em K e µ é a vsosdade do solvente em P. Essa orrelação aresenta bons resultados ara roóstos de engenhara, os 75% das 301 roteínas estudadas têm um oefente de dfusão dentro de um ntervalo de 0% dos valores redtos or ela (Young et al., 1980). Materal e Métodos O fraonamento das roteínas do soro or SAB fo realzado or Roas (00). Os exermentos de CEM foram onduzdos em uma oluna de 1 m x 10 m, emaotada om o gel Sehadex G-5 médo (dâmetro médo de artíula de 100 µm; lmte de exlusão moleular de 5000 Da), aolada ao sstema romatográfo ÄKTA Purfer (Pharmaa ). As roteínas α-la e a β-lg foram utlzadas a artr de um solado rotéo de soro (Davso ). A quantfação das roteínas α-la e β-lg fo feta onforme Roas (00). As orosdades do leto e da artíula e os valores de orosdade aessível da artíula ara os dferentes solutos foram determnados or Roas (00). Os valores das orosdades do leto e da artíula são de 0,4034 e de 0,80, 38