Macrodinâmicas de Crescimento em uma Economia Solow-Swan com Migração: Uma Abordagem de Jogos

Transcrição

1 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração: Ua Abordage de Jogo Evoluionário Jaylon Jair da Silveira Reuo Introduz-e no odelo Solow-Swan a igração oo ua dinâia atifiing. A onluão geral etá de aordo o a abordage tradiional: a araterítia da eonoia doétia no etado etaionário depende do aldo igratório líquido. Entretanto, novo reultado ão obtido. E prieiro lugar, a eonoia doétia não pode trilhar ua trajetória de reiento equilibrado oo ua perpétua reeptora/forneedora líquida de ão-de-obra. E egundo lugar, ao ela apreente e eu etado etaionário u aldo igratório líquido nulo, o taanho de ua população depende da ondiçõe iniiai (path dependene). Finalente, deontra-e que a introdução de u efeito ongetionaento da iigração líquida abre a poibilidade de exitênia iultânea da eonoia doétia e do reto do undo. Palavra-have odelo Solow-Swan, igração, jogo evoluionário, dinâia de eleção, dinâia de atifiing Abtrat Migration a a atifiing dynai i introdued into the Solow-Swan odel. The general onluion i in agreeent with that of the traditional approah: the teady-tate feature of doeti eonoy depend on the net igration rate. However, there are new outoe. The doeti eonoy annot be a perpetual hot/upplier of igrant in it balaned growth path. If the doeti eonoy how a zero-net igration rate in the teady tate, then the population level will depend on the initial ondition (path dependene). A ongetion effet reulting fro net igration open the poibility of iultaneou exitene of the doeti eonoy and the ret of the world. Key Word Solow-Swan odel, igration, evolutionary gae, eletion dynai, atifiing dynai JEL Claifiation E32, J61, O15, C79 Agradeço o oentário feito pelo profeor Renato Peri Colitete, be o aquele feito, por oaião da apreentação de ua verão prévia dete trabalho no Prograa de Seinário Aadêio do IPE/USP, pelo profeore Gilberto Tadeu Lia, Gutavo Goe de Freita e Jorge Eduardo de Catro Soroenho. Naturalente, o erro reaneente ão de inha exluiva reponabilidade. Profeor do Departaento de Eonoia da FEA-RP/USP e ebro do grupo de pequia COMPLEX Eonoia e Coplexidade/USP. Eail: jaylon@up.br. End. para ontato: Av. Bandeirante, 3900 Monte Alegre CEP (16) Ribeirão Preto SP. (Reebido e abril de Aeito para publiação e agoto de 2006). Et. eon., São Paulo, v. 37, n. 2, p , ABRIL-JUNHO 2007

2 294 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração INTRODUÇÃO A igração é u proeo reultante de inúera deiõe, geralente deentralizada e não oordenada. Tai deiõe ão toada e abiente araterizado por heterogeneidade do agente o relação à preferênia de loalização, ao uto de igração, ao onheiento do rendiento e/ou aenidade da regiõe de orige e/ou detino, à apaidade de oletar e proear a inforaçõe diponívei para prever evento futuro et. Entretanto, o proeo igratório é ouente odelado oo reultante de deiõe de agente hoogêneo e u abiente de raionalidade plena. U exeplo deta abordage é enontrado e Barro e Sala-i-Martin (2001, ap. 9, e. 9.1), que analia a interação entre igração internaional e o reiento eonôio de ua eonoia naional. Ete autore odela a deião de igrar auindo hoogeneidade de uto de igração e de aenidade. Aue tabé que o indivíduo ão idêntio, otiizadore o horizonte infinito e, dado o abiente deterinítio, apaze de alular o valore preente do rendiento futuro aoiado a ada loalização poível (previão perfeita). O preente artigo tabé e propõe etudar a interação entre a igração internaional e o reiento eonôio de u paí, todavia relaxando a hipótee de hoogeneidade e previão perfeita. Supõe-e que o agente toa deiõe obre ua loalizaçõe ujeita a liite ognitivo, oo falta de pleno onheiento do rendiento e/ou aenidade do paíe de detino e de habilidade de prever perfeitaente o fluxo futuro de rendiento e/ou aenidade da regiõe de orige e detino. Para io, toa-e oo ponto de partida o odelo de reiento eonôio Solow-Swan e introduz-e e tal enário o proeo de igração que e deenrola e u abiente de raionalidade liitada. O proeo igratório erá odelado oo ua dinâia evoluionária do tipo atifiing. 1 Tal dinâia erá foralizada oo u jogo evoluionário deduzido a partir da hipótee de que quanto ai baixo for o alário efetivo e ua eonoia, aior a proporção de indivíduo inatifeito que igra para outra eonoia e bua de aiore alário. 2 Barro e Sala-i-Martin (2001, ap. 9, e. 9.1) analia o ipato do reiento endógeno da força de trabalho obre a propriedade da trajetória de reiento equilibrado e da dinâia de tranição e ua eonoia Solow-Swan aberta à i- 1 Segundo Sion (1987, p. 243), o próprio riador do tero,... A deiion aer who hooe the bet available alternative aording to oe riterion i aid to optiize; one who hooe an alternative that eet or exeed peified riteria, but that i not guaranteed to be either unique or in any ene the bet, i aid to atifie... 2 O preente artigo inere-e, do ponto de vita etodológio, nu onjunto de trabalho que trata de quetõe láia dentro da teoria eonôia utilizando-e de ua abordage da teoria do jogo evoluionário. Entre tai trabalho pode-e itar: Prado (1999); Prado (2001); Soroenho, Kadota e Prado (2001); Bonoo, Carrao e Moreira (2003); Prado, Kadota e Soroenho (2003); Silveira (2003) e Silveira e Sanon (2003). Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

3 Jaylon Jair da Silveira 295 gração. Tal análie é realizada a partir da preia de que a população e a força de trabalho de ua eonoia antê ua relação de proporionalidade etável e que a taxa naturai de reiento da populaçõe da eonoia doétia e do reto do undo ão dada e iguai. A onluão entral dete autore é que a araterítia da eonoia doétia no etado etaionário depende do aldo igratório líquido. O preente artigo bua otrar, toando oo referênia a verão de Barro e Sala-i-Martin, que o reultado ouente alançado relativo à propriedade do etado etaionário de ua eonoia Solow-Swan aberta à igração pode er obtido oo propriedade eergente da interação entre a dinâia de auulação de apital, oo foralizada na tradição Solow-Swan, e a dinâia igratória atifiing aqui propota. Alé dio, novo reultado ão obtido. E prieiro lugar, é deontrado que eonoia doétia não pode trilhar ua trajetória de reiento equilibrado oo ua perpétua reeptora/forneedora líquida de ão-de-obra. E egundo lugar, ao a eonoia doétia apreente e eu etado etaionário u aldo igratório líquido nulo, o taanho de ua população depende da ondiçõe iniiai (path dependene). Finalente, deontra-e que a introdução de u efeito ongetionaento da iigração líquida abre a poibilidade de exitênia iultânea da eonoia doétia e do reto do undo. Ete texto etá organizado oo egue. Na próxia eção apreenta-e u odelo de reiento Solow-Swan o igração, deenvolvido por Barro e Sala-i-Martin (2001, ap. 9, e. 1), o qual erá utilizado oo referênia na avaliação do reultado alançado no odelo propoto no preente artigo. Na egunda eção deriva-e ua dinâia de eleção que dereve o fluxo igratório entre a eonoia doétia e o reto do undo oo ua dinâia evoluionária do tipo atifiing. Na tereira eção etuda-e a araterítia qualitativa do proeo que eerge da interação entre a dinâia de eleção aoiada ao fluxo igratório e a equação fundaental de reiento Solow-Swan. Na quarta eção faz-e ua análie qualitativa da propriedade de onvergênia de ua extenão do odelo báio deenvolvido na eção anterior. E tal extenão é levado e onideração u efeito ongetionaento que pode er gerado pela igração, devido à exitênia de u fator de produção fixo na eonoia, que leva ao apareiento de ua epéie de retorno dereente de eala. Na onideraçõe finai ão reuido o prinipai reultado do artigo. Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

4 296 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração 1. MACRODINÂMICA DE CRESCIMENTO SOLOW-SWAN COM MIGRAÇÃO: O MODELO DE REFERÊNCIA Coo é be onheido, o odelo de reiento Solow-Swan é ontruído oo ua parábola de ua eonoia fehada que produz u únio be, que pode er utilizado tanto oo be de onuo quanto oo be de apital. E tal enário é upoto que a poupança S é ua fração ontante e exogenaente deterinada 0 < < 1 da renda Y, que toda a poupança é onvertida autoatiaente e invetiento, I = S, e que a população, upota igual à força de trabalho, ree a ua taxa exógena ontante n > 0. A poibilidade tenológia da eonoia ão intetizada e ua função de produção neoláia be oportada hoogênea de grau u o progreo ténio exógeno do tipo Harrod-neutro: 3 2 F F Y = F( K, Lˆ), o > 0, 0 K Lˆ > F, < 0 2 K 2 F e < 0 Lˆ2 (1.1) para todo K > 0 e Lˆ >0, endo ˆ xt L Le a quantidade de trabalho e unidade de efiiênia 4 e x > 0 a taxa de progreo ténio auentador de trabalho upota ontante e exogenaente deterinada. Alé dio, upõe-e que o etoque de apital apreenta ua taxa de depreiação exógena e ontante 0 < d < 1. A partir de tai preia pode-e deduzir a onheida equação fundaental de reiento Solow-Swan o progreo ténio Harrod-neutro: endo = f ( ) h (1.2) K / Lˆ a razão apital-trabalho efetivo, f ( ) F(,1) a função de produção na fora inteniva e unidade de efiiênia e h d + n + x a taxa de depreiação efetiva. Barro e Sala-i-Martin (2001, ap. 9, e. 9.1) inorpora a igração neta verão padrão do odelo Solow-Swan. No retante deta eção apreenta-e tal extenão, que erá utilizada no preente artigo oo u odelo de referênia. Supondo que a populaçõe da eonoia doétia L e do reto do undo ree à ea taxa on- 3 Será uada aqui baiaente a ea notação de Barro e Sala-i-Martin (2001). Ua exeção iportante diz repeito à razão apital-trabalho e unidade de efiiênia, a qual ete autore aoia o íbolo ˆ, e aqui, por onveniênia, erá utilizado ipleente. 4 Daqui e diante, onde for onveniente erá utilizado o tero efetivo oo inônio de unidade de efiiênia. Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

5 Jaylon Jair da Silveira 297 tante n > 0, a taxa de variação da população doétia pode er exprea oo egue: L = nl + M (1.3) na qual M é a igração líquida por unidade de tepo. Quando M > 0, a taxa de variação da força de trabalho doétia upera a do reto do undo, ou eja, a eonoia doétia é ua reeptora líquida de ão-de-obra. Quando M < 0, o opoto oorre, de aneira que a eonoia torna-e ua forneedora líquida de ão-de-obra. Geralente o igrante não arrega onigo grande quantidade de apital fíio, a leva ua quantidade oniderável de apital huano. Tal oo e Barro e Sala-i-Martin (2001, p ), trabalhar-e-á o u oneito aplo de apital que inorpore ete doi tipo. Seja l a quantidade de apital que ada igrante arrega onigo. A variação no etoque de apital agregado da eonoia doétia paa, portanto, a depender tabé do aldo igratório, ito é: K = F( K, Lˆ ) d K + l M (1.4) Utilizando (1.1), (1.3) e (1.4) a equação fundaental de reiento Solow-Swan o igração pode er erita oo egue: = f ( ) h ( l ) (1.5) na qual l é a quantidade de apital e unidade de efiiênia que ada igrante arrega onigo e M / L o fluxo igratório líquido e unidade de população doétia. Seguindo Barro e Sala-i-Martin (2001, p. 288), auir-e-á que o reto do undo enontra-e próxio ao etado etaionário, de aneira que l pode er oniderado ontante. Ete autore arguenta que o fluxo igratório líquido anté ua relação poitiva o o diferenial de alário reai efetivo entre a eonoia doétia e o reto do undo e potula a eguinte função igração (Barro e Sala-i-Martin, 2001, p. 288): = (), o ( ) > 0 para todo > 0 (1.6) Suponha-e ontante o alário do reto do undo e u nível ~ > 0. Ua elevação da razão apital-trabalho efetivo da eonoia doétia auenta o eu alário real Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

6 298 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração efetivo. Ito elhora, por ua vez, o diferenial de alário efetivo e favor da eonoia doétia e, oneqüenteente, auenta o aldo igratório líquido deta eonoia. Seja ~ o valor da razão apital-trabalho efetivo que torna nulo o aldo igratório líquido, ou eja, tal que ~ ~ ~ ( ) = 0. Para valore < ( > ), portanto, a eonoia é ua forneedora (reeptora) líquida de ão-de-obra. Coniderando a função igração (1.6) e a equação fundaental de reiento Solow-Swan o igração (1.5), a equação diferenial que paa a governar a tranição de etado da eonoia doétia é: = f ( ) h ( l ) ( ) (1.7) A exitênia e uniidade da trajetória de reiento equilibrado pode er deontrada, oo fizera Barro e Sala-i-Martin (2001, p ), o bae e u diagraa de reiento reproduzido na Figura 1. Figur a 1 Di agr a a de Cr ei ento do Modelo de Referênia Fonte: Barro e Sala-i-Martin (2001, p. 290). Adaptada pelo autor. A exitênia de tal valor é upota por Barro e Sala-i-Martin (2001, p. 288). Se ~ exite, ele é únio, poi ( ) > 0 para todo > 0. Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

7 Jaylon Jair da Silveira 299 Dete diagraa pode-e obter inforaçõe obre o oportaento da taxa de reiento da razão apital-trabalho efetivo, deterinada a partir de (1.7): f ( ) = h p ( ) (1.7a) na qual p( ) [1 ( l / )] ( ). A partir da hipótee obre tenologia (1.1) egue que o produto édio do apital f ( ) / é ua função etritaente dereente da razão apital-trabalho efetivo. 6 Coniderando a ondiçõe de Inada 7 fia garantido que: li f ( ) / = + e li f ( ) / = 0 (1.8) A taxa de depreiação efetiva, 8 h + p ( ), é ua função etritaente reente da razão apital-trabalho efetivo, poi Barro e Sala-i-Martin (2001, p. 289) upõe que > l e l l p ( ) = ( ) + 1 ( ) > 0 2 para qualquer () (1.9) Dede que ~ > l e ~ <, egue que: li[1 ( l / )] ( ) < 0 e li[1 ( l / )] ( ) > 0 (1.10) + l l A partir do liite (1.8) e (1.10) e da ontinuidade de (1.7a), infere-e, pelo teorea do valor interediário, que exite u valor > l, tal que a taxa de reiento da razão apital-trabalho efetivo é nula. Dado que a produtividade édia do apital é ua função etritaente dereente da razão apital-trabalho efetivo, a uniidade de é deorrênia direta da upoição (1.9). 9 d f ( ) [ f ( ) f ( )] F 6 = < 0, poi = f ( ) f ( ) > 0 por hipótee. 2 d Lˆ F F F F 7 Que ão li = li = + + K 0 K Lˆ 0 Lˆ e li = li = 0 K ˆ K L Lˆ. Eta ondiçõe iplia li f ( ) = + + e + 0 li f ( ) = 0 (f. Barro e Sala-i-Martin, 2001, p ). 8 Na qual já e enontra inorporado o efeito da igração obre o etoque de apital doétio. d [ f ( ) f ( )] 9 Poi, upondo (1.9), fia garantido que = p ( ) < 0 para todo > l. 2 d Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

8 300 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração Nota-e que, a priori, exite trê poívei onfiguraçõe do etado etaionário. Cao ~ <, ter-e-á ( ) < 0 e, portanto, a eonoia doétia erá perpetuaente ~ ua forneedora líquida de ão-de-obra. Se > (f. Figura 1), ter-e-á ( ) > 0 e, portanto, a eonoia doétia erá ua reeptora líquida de ão-de-obra e eu ~ etado etaionário. Finalente, ao =, a eonoia doétia apreentará u aldo igratório nulo e ua população reerá à ea taxa que o reto do undo. É iportante friar que nete odelo não e deterina a ditribuição da população undial entre a eonoia doétia e o reto do undo. A etabilidade aintótia da trajetória de reiento equilibrado pode er deontrada utilizando-e novaente o diagraa de reiento da Figura 1. Se < ( > ), a produtividade édia do apital upera a (é uperada pela) taxa de depreiação efetiva e, portanto, a razão apital-trabalho efetivo ree (deree). Enfi, e a razão apital-trabalho efetivo iniial difere da razão apital-trabalho efetivo do etado etaionário, a eonoia onverge aintotiaente para eta últia. Coo vito, o odelo expoto neta eção trata a deterinação do fluxo igratório o bae e ua função igração potulada. Há vária fora de prover irofundaento para tal função. O preente trabalho propõe derivá-la oo ua dinâia de eleção, deduzida a partir da hipótee de que quanto ai baixo é o alário efetivo nua eonoia, aior a proporção de indivíduo inatifeito que igra para outra eonoia e bua de aiore alário. Cabe alientar que a função igração a er derivada na próxia eção não terá oo arguento apena a razão apital-trabalho efetivo da eonoia doétia, a tabé a fração da população undial que pertene à eonoia doétia. Ito iplia a onideração explíita da influênia da ditribuição da população undial obre o proeo de auulação de apital da eonoia doétia. 2. A MIGRAÇÃO ENTRE A ECONOMIA DOMÉSTICA E O RESTO DO MUNDO COMO UMA DINÂMICA SATISFICING Neta eção deriva-e u odelo de jogo evoluionário que deterina o fluxo igratório líquido da eonoia doétia a ada período upondo livre obilidade de trabalho. Dividir-e-á, portanto, a população undial e dua parte: ua dela a proporção da população undial que trabalha na eonoia doétia e a outra a proporção retante, 1, que trabalha no reto do undo. Ebora poa haver heterogeneidade de alário efetivo entre a eonoia doétia e o reto do undo, upõe- Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

9 Jaylon Jair da Silveira 301 e que há uniforidade de alário efetivo na eonoia doétia, be oo no reto do undo. Conidera-e que u trabalhador i ao reeber eu alário efetivo f ( ) f ( ), e for da eonoia doétia, ou ~, e for do reto do undo, o opara o u nível alvo w que o atifaria, 10 daqui e diante intetiaente denoinado eta alarial. i Se o alário efetivo ganho pelo trabalhador i for igual ou uperior a ua eta alarial, ele não ogitaria igrar. Entretanto, ao a eta alarial não eja alançada, o trabalhador doétio torna-e u igrante e potenial. 11 A eta alarial de u indivíduo qualquer depende, entre outra oia, de araterítia idioinrátia oo, por exeplo, o grau o que deeja elhorar eu padrão de vida ou aender oialente. Auir-e-á que tal eta é deterinada aleatoriaente de aneira independente entre o indivíduo e no tepo. Mai preiaente, upõe-e que a eta alarial w é ua variável aleatória o função de ditribuição i auulada G : [0,1] ontinuaente difereniável. Ai, a probabilidade de R + + i eleionar aleatoriaente u indivíduo i uja eta alarial w i eja enor ou igual ao alário efetivo vigente neta eonoia, w é dada por Pr( w w ) = G( w ) e, portanto, a probabilidade de u indivíduo i, toado aleatoriaente, reeber u alário abaixo de ua eta alarial é ipleente: i i i Pr( w i < w ) = 1 G( w ) (2.1) i i E outra palavra, o eta probabilidade enontra-e aleatoriaente u indivíduo i não atifeito o eu alário e que etá reviando ua eolha relativa ao paí onde trabalhar. A probabilidade de u eigrante de qualquer parte do reto do undo eolher a eonoia doétia e análie é igual à freqüênia o que eta etratégia é adotada pela população undial, dada pela fração da população undial trabalhando na eonoia doétia. Logo, oniderando (2.1), a iigração etiada para a eonoia doétia e unidade de população undial é: [1 G( ~ )] (1 ) (2.2) 10 E Vega-Redondo (1996, p. 91) o nível de referênia do pay-off é denoinado target level of atifation. 11 A derivação de ua atifiing dynai aoiada ao fluxo igratório expota adiante egue a ea linha da derivação de ua atifiing dynai geral enontrada e Vega-Redondo (1996, p. 91). Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

10 302 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração Dede que a eonoia undial etá dividida e dua regiõe, a probabilidade do eigrante da eonoia doétia eolher qualquer outra eonoia para trabalhar oinide o a fração da população undial que etá trabalhando no reto do undo ( 1 ). Portanto, dada a probabilidade (2.1), a eigração da eonoia doétia e unidade de população undial é etiada e: [ 1 G ( f ( ) f ( ))](1 ) (2.3) O aldo igratório líquido da eonoia doétia,, etabeleido oo a diferença entre o influxo (2.2) e o efluxo (2.3), é expreo oo: 12 = (1 ) z ( ) (2.4) e que z ( ) G( f ( ) f ( )) G( ~ ). Ea equação diferenial é ua dinâia i de eleção ou dinâia evoluionária, 13 que apreenta a propriedade de onotoniidade no pay-off 14 e G ( w ) > 0. Ou eja, a proporção o que a etratégia trabalhar na eonoia doétia é adotada auenta (diinui) e, e oente e, o payoff deta etratégia (o alário efetivo da eonoia doétia) upera o (é uperado pelo) pay-off da etratégia trabalhar no reto do undo (o alário efetivo do reto do undo). Deduzida a dinâia de eleção aoiada ao proeo de igração, abe etabeleer expliitaente a relação entre tal dinâia e a função igração potulada e (1.6). Para u dado intante iniial t 0, a população undial enontra-e e u nível N 0 > 0. Coo a população undial ree a ua taxa ontante e exógena n > 0, a população undial e u dado intante t t0 erá: N n( t t 0 ) = N 0e (2.5) Lebrando que L denota a população da eonoia doétia no intante t, a fração da população undial trabalhando na eonoia doétia ou, equivalenteente, a população doétia e unidade de população undial no intante t é: 12 Seria poível apreentar ua derivação alternativa da dinâia de eleção (2.4) baeada e uto de udança aleatório, que inluiria não ó uto onetário explíito a tabé uto piológio gerado pela igração. Ua derivação neta linha pode er enontrada e Silveira e Sanon (2004, Apêndie 1). 13 Sobre tal dinâia onulte Ponti (2002), Vega-Redondo (1996, ap. 4) e Weibull (1995, ap. 4). 14 Tal propriedade deepenha u papel na odelage de proeo evoluionário e abiente oiai análogo ao eanio de eleção natural e abiente biológio. Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

11 Jaylon Jair da Silveira 303 L = (2.6) n( t t 0 ) N e 0 A partir de (2.6) infere-e que: L = L n (2.7) então, oniderando (1.3) e a definição M / L, onlui-e que a taxa de reiento da fração da população undial reidindo na eonoia doétia é igual ao fluxo igratório líquido e unidade de população doétia, ou eja: = (2.8) Coniderando a dinâia de eleção (2.4) e a relação (2.8), fia deontrado que a função igração (1.6) etá endo ubtituída por: = (1 ) φz() (2.4a) Ea função igração é ua expreão do proeo igratório o fundaento iroeonôio oriundo de diferença idioinrátia entre a eta alariai do trabalhadore. Tal oo na função igração potulada e (1.6), na função igração (2.4a) u auento da razão apital-trabalho efetivo doétia, ao elevar o alário real doétio, auenta o fluxo igratório líquido para ua dada ditribuição da população undial. Alé dio, oberva-e que o nível do aldo igratório líquido depende do taanho da população do reto do undo e do diferenial de alário efetivo entre a eonoia doétia e o reto do undo. O fluxo igratório líquido erá nulo ao toda a população undial eja opletaente aborvida pela eonoia doétia ( =1) ou a razão apital-trabalho efetivo atinja o nível, definido ipliitaente por: f ) f ( ) = ω~ (2.9) ( no qual o alário efetivo doétio iguala-e ao alário efetivo do reto do undo e, oneqüenteente, z ( ) = G( f ( ) f ( )) G( ~ ) = 0. Coo erá deontrado na dua próxia eçõe, o valor exere no odelo evoluionário aqui propoto o eo papel que o deepenhado pelo valor ~ no odelo de referênia apreentado Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

12 304 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração na eção anterior. Tal oo Barro e Sala-i-Martin (2001, p. 288) fizera o repeito ao valor ~, erá auido que o valor exite. Sua uniidade, oniderando (2.9), deorre da preia de produtividade arginal dereente do trabalho. Finalente, abe alientar que Barro e Sala-i-Martin (2001, p. 288, nota 4) adota a eguinte preia o repeito à função igração (1.6): auio que iigração e eigração não oorre iultaneaente, tal que igração líquida e bruta oinide. Geralente, a heterogeneidade do apital huano ou de outra variávei poderia fazer o que fluxo bruto exedee fluxo líquido. (Tradução e grifo eu). Na função igração (2.4a), entretanto, há iigração e eigração iultaneaente na eonoia doétia devido à heterogeneidade do indivíduo o relação à eta alarial. Ai, a equalização entre o alário efetivo da eonoia doétia e do reto do undo, que torna o aldo igratório líquido nulo, ignifia ipleente que influxo e efluxo de igrante na eonoia doétia e ontrabalança. Ou eja, eo o a igualação do alário efetivo entre a eonoia doétia e o reto do undo há indivíduo neta regiõe que etão inatifeito o eu alário e igra e bua de elhore reuneraçõe. De poe da dinâia de eleção (2.4) e da nova função igração (2.4a), paa-e à análie da ipliaçõe da interação entre o proeo igratório e a dinâia de reiento Solow-Swan. 3. A INTERAÇÃO ENTRE A DINÂMICA MIGRATÓRIA SATISFICING E A DINÂMICA DE CRESCIMENTO SOLOW-SWAN Introduzindo (2.4a) na equação fundaental de reiento o igração (1.7) reulta ua equação de reiento que juntaente o a dinâia de eleção (2.4) paa a deterinar a trajetória de reiento da eonoia doétia: = f ( ) h ( l)(1 ) z( ), = (1 ) z( ) O epaço de etado dete itea é o onjunto (3.1) Θ = R < > l >. 2 {(, ) + : 0 1 e 0} Se no etado etaionário houver u diferenial de alário efetivo entre a eonoia doétia e o reto do undo não nulo, oorre u tipo extreo de ditribuição da população undial. Nee últio a população do reto do undo é opletaente aborvida pela eonoia doétia ( = 1) e a razão apital-trabalho efetivo é igual Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

13 Jaylon Jair da Silveira 305 à razão apital-trabalho efetivo etaionária Solow-Swan pela onheida ondição:, definida ipliitaente f ( ) h = 0 (3.2) que torna a razão apital-trabalho efetivo doétia etaionária. 15 Do ponto de vita da teoria do jogo evoluionário, ee etado etaionário pode er araterizado oo u equilíbrio de etratégia pura, poi nele todo o indivíduo adota a etratégia trabalhar na eonoia doétia. Se no etado etaionário o alário reai efetivo da eonoia doétia e do reto do undo ão iguai, há u aldo igratório nulo e u únio valor da razão apitaltrabalho efetivo, definido ipliitaente por (2.9), tal que a eonoia doétia iguala o invetiento per apita e a depreiação líquida, independenteente da ditribuição da população undial. E outra palavra, há u ontinuu de ponto de 2 equilíbrio {(, ) Θ R : = = } e no etado etaionário o alário reai + efetivo da eonoia doétia e do reto do undo fore iguai. Co exeção do 2 ponto,1), o deai ponto do ontinuu {(, ) Θ R : = = } ão, do ( ponto de vita da teoria do jogo evoluionário, equilíbrio de etratégia ita, já que exite tanto indivíduo que adota a etratégia trabalhar na eonoia doétia quanto indivíduo que opta pela etratégia trabalhar no reto do undo. O reultado obre a exitênia de equilíbrio no itea (3.1) expoto no doi últio parágrafo ão intetizado na propoição adiante e deontrado foralente no Apêndie 1. Propoição 1. Seja e valore definido ipliitaente por (2.9) e (3.2), repetivaente. Se, então o itea (3.1) apreenta, upondo f ( l) hl > 0, u únio etado de equilíbrio iolado (,1) Θ. Se =, então exite u ontinuu de equilíbrio, ou eja, todo o ponto pertenente ao ubonjunto 2 {(, ) Θ R : = = } ão etado de equilíbrio do itea (3.1) Ete etado etaionário é paraetrizado pelo eo onjunto de variávei exógena que o etado etaionário do odelo Solow-Swan de ua eonoia fehada o progreo ténio Harrod-neutro. Alé dio, o efeito de tai variávei exógena obre o etado etaionário ão idêntio no doi ao. Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

14 306 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração Prova: Apêndie 1. A araterítia qualitativa da dinâia gerada pelo itea (3.1) enontra-e intetizada no diagraa de fae na Figura 2. Coniderando a dinâia de eleção (2.4), o fluxo igratório líquido é nulo e qualquer etado no qual a fração da população undial trabalhando na eonoia doétia eja igual a u. Alé dio, qualquer etado araterizado por ua razão apital-trabalho efetivo igual a gera tabé u fluxo igratório líquido nulo, poi o alário efetivo doétio e iguala ao alário efetivo do reto do undo. Portanto, no lou na fora de u T definido pelo onjunto {(, ) Θ : = 1} {(, ) Θ : = } te-e = 0. Para etado no quai >, o alário real efetivo doétio é uperior ao alário real efetivo do reto do undo havendo, oneqüenteente, u aldo igratório líquido para a eonoia doétia, ou eja, > 0. Se <, o opoto aontee, ito é, < 0. figura 2 arodinâia de reiento (a) Cao > Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

15 Jaylon Jair da Silveira 307 (b) Cao < () Cao = A partir da prieira equação e (3.1) obté-e a expreão que define a iolina = 0, daqui e diante denoinada urva de dearação : f ( ) h = 1 y (3.3) ( κ ) z ( ) definida e todo Θ tal que ( l) z ( ) 0 de dearação é definida para qualquer.. Coo, por hipótee, > l, a urva Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

16 308 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração Para grafar a urva de dearação deve-e etabeleer previaente a poiçõe relativa de e no eixo do plano de fae. Suponha que no etado etaionário Solow- Swan a eonoia doétia eja ua reeptora líquida de ão-de-obra, ou eja, > (f. Figura 2a). Coniderando (3.3), para = > te-e y ( ) = 0 e, portanto, = 1. A urva de dearação, oo deveria er, ruza a urva de dearação (iolina = 0 ) no etado etaionário o etratégia pura,1). Supondo 0 < 1, infere-e que a parte eonoiaente relevante da urva de dearação enontra-e na região {(, ) Θ : < }. Obervando a prieira equação diferenial do itea (3.1), vê-e que para qualquer ( l, ] o invetiento per apita upera a taxa de depreiação líquida, e oo o alário efetivo doétio é enor ou igual ao alário efetivo do reto do undo, o aldo igratório líquido negativo reforça ete efeito do invetiento, de odo que a razão apital-trabalho efetivo ree, ito é, > 0. Exataente o opoto aontee e (, ), ou eja, < 0. Enfi, o ubepaço de etado {(, ) Θ : < } é onde a eonoia doétia pode apreentar ua razão apital-trabalho efetivo etaionária ( = 0 ). A inlinação da urva de dearação no ubepaço {(, ) Θ : < } é obtida derivando a função (3.3) o relação à razão apital-trabalho efetivo: [ f ( ) h][ z( ) + ( l) z ( )] [ f ( ) h]( κ) z( ) } ( ) = (3.4) 2 [( l) z( )] No i nter va lo, ) te- e f ( ) h > 0, z( ) > 0, l>0 e ( ( z ( ) = G ( ) f ( ) > 0, poré a expreão f () h apreenta inal indeterinado. Logo, a função (3.4) pode não er onótona no intervalo, ). ( A função (3.4) apreenta o eguinte oportaento na fronteira do intervalo, ] : f ( ) h 1 f ( ) h li }( ) = 1 li = 1. = e + + l z( ) l li f ( ) h 0 li } ( ) = 1 = 1 = 1 ( l) l( ) ( l) z( ) (3.5) Então, pelo teorea do valor interediário, infere-e que exite u }( w) = 0. Suponha que w é únio. Coo ( w, tal que Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

17 Jaylon Jair da Silveira 309 h f ( ) } ( ) = > 0 (3.6) ( l) z( ) deve-e ter } ( ) > 0 e ua vizinhança e torno de w, poi do ontrário w não eria únio. Dea fora, oniderando (3.4), onlui-e que e ua vizinhança à direita de w a urva de dearação é poitivaente inlinada. Coniderando (3.6), e ua vizinhança ufiienteente pequena de a urva de dearação é tabé poitivaente inlinada. Portanto, a urva de dearação pode apreentar ua reverão de inlinação oente no interior do intervalo, ], oo ilutrado na ( w Figura 2a. Se io oorre ou não, dada a uniidade do ponto ( w,0), é irrelevante para a onluõe qualitativa obre a dinâia do itea que egue. Para e ter 0 < 1, a função } deve obedeer a retriçõe 0 < } ( ) 1. Dede que f ( ) h 0, κ l > 0 e z( ) > 0 no intervalo, ], a retrição anterior é atifeita e para todo, ] : ( ( f ( ) h < ( l) z ( ) (3.7) ondição ea upota válida daqui para frente. No intervalo, ) te-e: ( u = ( l) z( ) > 0 u (3.8) o que india que para ua dada razão apital-trabalho efetivo auento da fração de indivíduo reidindo na eonoia doétia gera ua expanão da taxa de variação da razão apital-trabalho efetivo. Então, ponto loalizado na região {(, ) Θ : < } e abaixo (aia) da urva de dearação, apreenta ua ( taxa de variação da razão apital-trabalho efetivo negativa (poitiva). Io opleta a ontrução do diagraa de fae da Figura 2a, do qual e onlui que o etado etaionário o etratégia pura,1) é u atrator e a eonoia doétia tende a aborver toda a população do reto do undo. Na hipótee de a eonoia doétia er ua forneedora líquida de ão-de-obra no etado etaionário Solow-Swan, ou eja, <, ua análie análoga à realizada anteriorente (f. Apêndie 2) perite onluir que o etado etaionário o etratégia pura,1) torna-e u repulor e a eonoia doétia tende à extinção. ( Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

18 310 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração Há ainda ua tereira poibilidade, a aber, a de que a eonoia doétia apreente u aldo igratório líquido nulo, ou eja, que =. Nete ao, a urva de dearação oinide o a urva de dearação, havendo, oo já deontrado, u ontinuu de equilíbrio que orreponde ao onjunto {(, ) Θ : = = }. Ai, para qualquer razão apital-trabalho efetivo enor que a razão apital-trabalho efetivo Solow-Swan, a eonoia doétia apreentará u aldo igratório líquido negativo ( < 0 ) e u invetiento per apita uperior à depreiação líquida ( > 0). O repetivo inai e inverte ao a razão apital-trabalho efetivo da eonoia doétia eja aior que a razão apital-trabalho efetivo Solow-Swan (f. Figura 2). E ua, e no etado etaionário Solow-Swan a eonoia doétia é ua reeptora líquida de força de trabalho, tal eonoia aborverá toda a população undial. Cao a eonoia doétia eja ua fonte líquida de força de trabalho no etado etaionário Solow-Swan, então ela tende à extinção. Finalente, e a eonoia doétia apreentar u aldo igratório líquido nulo no etado etaionário Solow- Swan a ditribuição da população undial no etado etaionário dependerá do etado iniial da eonoia doétia. A partir da análie qualitativa realizada anteriorente pode-e etabeleer a eguinte propoição onernente ao oportaento dinâio do odelo: Propoição 2. Se no etado etaionário o etratégia pura (,1) Θ te-e f ( ) f ( )] >~, então (,1) Θ é u atrator global. Se f ( ) f ( )] <~, então (,1) Θ é intável, ai preiaente, u ponto de ela ujo rao etável é o lou {(, ) Θ : e = 1}, e para qualquer ondição iniial (, 0 0 ) int Θ, te-e + 0. Se f ( ) f ( ) = ~, então a eonoia doétia onverge para u do etado etaionário o etratégia ita do ubepaço {(, ) Θ : < 1 e < }, a depender da ondição iniial, ) int Θ. Prova: Apêndie 2. ( 0 0 O reultado qualitativo relativo à dinâia do odelo enuniado na propoição anterior difere do reultado de livro-texto (f. Barro e Sala-i-Martin, 2001, ubeção 9.1.1). E prieiro lugar, no odelo aqui propoto não pode haver oexitênia da eonoia doétia o o reto do undo ao a prieira eja ua reeptora ou forneedora líquida de ão-de-obra, ito é, a eonoia doétia não pode er ua perpétua forneedora ou reeptora de ão-de-obra. E ontrate, no odelo apreentado na prieira eção não aparee ea retrição, a eonoia doétia pode er ua forneedora ou reeptora líquida de ão-de-obra ad infinitu. E egundo lugar, ao a eonoia doétia eja repreentativa do reto do undo, ito é, apre- Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

19 Jaylon Jair da Silveira 311 ente u aldo igratório líquido nulo devido à igualação do alário reai efetivo, o taanho relativo da eonoia doétia depende da ondiçõe iniiai deta eonoia. E outro tero, há u fenôeno de path dependene, ou eja, o taanho relativo da população doétia no etado etaionário depende da ditribuição iniial da população undial. No odelo de referênia não e extraiu qualquer onluão obre o taanho relativo da população doétia. E ua, o o odelo ontruído neta eção ão alançado o eo reultado relativo à etabilidade aintótia do etado etaionário Solow-Swan o igração e, alé dio, obtido reultado adiionai obre a ditribuição relativa da população undial. A onluão de que a eonoia doétia pode er indefinidaente ua forneedora ou reeptora líquida de ão-de-obra, no ao do odelo de referênia, e e extinguir ou aborver toda a população undial, no ao do odelo evoluionário aqui apreentado, não ão reultado epiriaente razoávei. Para reolver ete problea de predição, Barro e Sala-i-Martin (2001, ubeção 9.1.3), inpirado e Braun, introduze ua fora de retorno dereente de eala na eonoia doétia, upondo que u auento da população ongetiona u reuro diponível e quantidade fixa, tai oo reuro naturai ou oferta de ben públio. Co eta nova upoição, o reultado não ondizente o a evolução hitória da eonoia ão eliinado no odelo de referênia. Na próxia eção erá avaliada e tal hipótee de retorno dereente gerado pela igração é tabé apaz de eliinar a prediçõe irrealita do odelo evoluionário aqui deenvolvido. 4. a interação entre o proeo igratório e a dinâia de reiento na Preença de u Efeito Congetionaento Seguindo Braun (1993 apud Barro e Sala-i-Martin, 2001, p. 300), adite-e que a eonoia doétia é dotada de u dado etoque fixo e exogenaente deterinado de u fator de produção, oo, por exeplo, reuro naturai ou u be livre qualquer diponível ao reidente e ua quantidade fixa. Alé dio, upõe-e que a dotação per apita dete reuro fixo afeta o produtividade do fatore de produção utilizado pela fira da eonoia doétia. E tero forai, onidera-e que a fira doétia e defronta o ua função de produção do tipo: Y = F( K, Lˆ )( R / L) (4.1) na qual R > 0 é ua ontante exógena, que repreenta o etoque fixo de u fator de produção, é ua ontante exógena, tal que 0 < < 1, e F ( K, L ˆ ) a função de produção neoláia be oportada epeifiada e (1.1). Cada fira doétia Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

20 312 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração toa oo dada a população da eonoia 16 e, portanto, produz ujeita a ua função de produção o retorno ontante de eala. Todavia, a eonoia oo u todo apreenta retorno dereente de eala o relação ao etoque de apital e à população, poi o reiento da população gera u ongetionaento na utilização do fator fixo R. 17 A função (4.1) pode er exprea na fora inteniva e unidade de efiiênia oo egue: f ( )( R / ) (4.2) na qual f ( ) F(,1) e R R / N. Co bae nea nova função de produção (4.2), o itea (3.1) tranfora-e e: = f ( )( R / ) h (1 )( κ) {(, ) = (1 ) {(, ) (4.3) e que {(, ) G([ f ( ) f ( )]( R / ) ) G( ~ ). Ee novo itea ainda te oo epaço de etado Θ = R <. 2 {(, ) + : 0 1} Ea verão etendida do odelo apreenta apena u etado etaionário o etratégia pura. E tal etado a população do reto do undo é opletaente aborvida pela eonoia doétia ( = 1) e a razão apital-trabalho efetivo é igual à razão apital-trabalho efetivo etaionária Solow-Swan nova ondição: ~, agora definida ipliitaente pela f ( ) R h = 0 (4.4) que torna a razão apital-trabalho efetivo doétia etaionária. O itea (4.3) apreenta, tabé, u únio etado etaionário o etratégia ita. Nete etado etaionário exite tanto indivíduo optando pela etratégia trabalhar na eonoia doétia quanto indivíduo adotando a etratégia trabalhar 16 Ou eja, toa oo exógeno o tero ( R / L). 17 Faça H ( K, L) F( K, Lˆ )( R / L) 1. Logo, oniderando (1.1), H ( bk, bl) = b H ( K, L) para todo b > 0. Por hipótee, 0 < < 1, então 0 < 1 < 1. A função de produção (4.1), portanto, apreenta retorno dereente de eala o repeito a K e L. Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

21 Jaylon Jair da Silveira 313 no reto do undo. Tal equilíbrio, denotado por ( *, * ), é definido pelo eguinte onjunto de ondiçõe: 18 1 * * * * [ f ( ) f ( )] R = (4.5) ~ * * * * f ( ) f ( ) f ( ) h = 0 * ~ (4.6) A ondição (4.5), obtida da egunda equação e (4.3), fornee o valor da fração de indivíduo da população undial que etão adotando a etratégia trabalhar na eonoia doétia que gera u alário efetivo doétio igual ao alário efetivo do reto do undo. A ondição (4.6), obtida a partir de prieira equação e (4.3), define ipliitaente a razão apital-trabalho efetivo tal que o invetiento per apita iguala-e à taxa de depreiação efetiva quando o alário efetivo doétio é igual ao alário efetivo do reto do undo. A propoição adiante intetiza a arguentação apreentada no parágrafo anteriore, expliitando foralente a ondiçõe ufiiente para exitênia do etado etaionário de etratégia pura e ita. Propoição 3. Seja o valor definido ipliitaente por (2.9). Supondo ~ f ( l) R hl > 0, exite u únio equilíbrio de etratégia pura,1) Θ, endo ~ definido ipliitaente por (4.4). Alé dio, há u únio equilíbrio de et ratégia ita ( *, * ) Θ definido pela ondiçõe (4.5) e (4.6) e * * * [ f ( ) f ( )] R < ~. Prova: Apêndie 3. Dada a ondição (4.6), o ipato de variaçõe da propenão a poupar e da taxa de depreiação efetiva obre a razão apital-trabalho efetivo de equilíbrio ão: ( * * * u f ( ) 0 * * * * 3 * = ~ u ~ [ f ( ) f ( )] h( ) f ( ) > e * * 2 * * * u ( ) [ f ( ) f ( )] = < 0 (4.7) * * * * 3 * uh ~ [ f ( ) f ( )] h( ) f ( ) 18 A derivação deta ondiçõe aparee no tranorrer da deontração deenvolvida no Apêndie 3. Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

22 314 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração Alé dio, o bae e (4.5) te-e que: u * * * * * * * u ~ ~ (1 ) R f ( ) f ( ) f ( ) = > 0 (4.8) ou eja, o taanho relativo da eonoia doétia de equilíbrio varia diretaente o a razão apital-trabalho efetivo de equilíbrio. Logo, o efeito de variaçõe da propenão a poupar obre o etado etaionário trabalha no eo entido que na verão do odelo de Solow-Swan e igração, ou eja, u(a) auento (redução) peranente da propenão a poupar auenta (diinui) a razão apital-trabalho efetivo e, portanto, auenta (diinui) a renda per apita e o taanho relativo da eonoia doétia. Por ua vez, ua variação da taxa de depreiação efetiva, via variação da taxa de depreiação do etoque de apital e/ou da taxa natural de reiento da população e/ou da taxa de progreo ténio, gera ua variação no entido invero da razão apital-trabalho efetivo e, oneqüenteente, da renda per apita e do taanho relativo da eonoia doétia. Co repeito ao ipato do alário real efetivo do reto do undo infere-e de (4.5) e (4.6): 1 * * * * u 1 [ f ( ) f ( )] R = < 0 u ~ ~ ~ e * * 2 * * * u (1/ ~ )( ) h[ f ( ) f ( )] = > 0 * * * * 3 * u ~ ~ [ f ( ) f ( )] h( ) f ( ) (4.9) Portanto, u auento (diinuição) do alário real efetivo do reto do undo, ao induzir ua aior (enor) eigração da eonoia doétia, aaba diinuindo (auentando) o taanho relativo da eonoia doétia e elevando (diinuindo) a razão apital-trabalho efetivo e a renda per apita deta últia. Finalente, é iportante notar que a razão apital-trabalho efetivo do equilíbrio de etratégia ita não depende do grau de hoogeneidade da função de produção (4.1), deterinado pelo parâetro. Por ua vez, o taanho relativo da eonoia doétia é afetado pela intenidade do retorno dereente de eala gerado pelo efeito ongetionaento. A direção dete ipato é indeterinada, oo pode er ontatado pela eguinte derivada obtida de (4.5): * * * * 1 u 1 [ f ( ) f ( )] R ~ = ln 2 * * * u ~ f ( ) f ( ) (4.10) Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

23 Jaylon Jair da Silveira 315 E outro tero, o ipato do retorno dereente de eala devido ao fator eao depende fundaentalente do taanho relativo do alário real efetivo do reto * * * do undo. Se, por exeplo, tal alário for relativaente alto, ~ > f ( ) f ( ), então (4.10) apreenta inal negativo. Logo, u auento do efeito ongetionaento, ou eja, ua redução do grau de hoogeneidade da função de produção (4.1), via elevação de, geraria ua redução do taanho relativo da eonoia doétia. Co relação à propriedade de etabilidade da eonoia doétia, perebe-e que eta poderá aborver toda a população undial ao ela e enontre ufiienteente próxia do etado etaionário de etratégia pura e apreente u alário efetivo aior que o do reto do undo. E outra palavra, e a eonoia doétia for ua reeptora líquida de ão-de-obra no etado etaionário de etratégia pura, tal etado é u atrator loal do itea eonôio. Entretanto, ao a eonoia eja ua forneedora de ão-de-obra no etado etaionário de etratégia pura, por apreentar u alário efetivo inferior ao alário efetivo do reto do undo, eo que e enontre ufiienteente próxia a tal trajetória de reiento equilibrado o extinção do reto do undo, ela não onvergirá para eta últia. E outro tero, ob a hipótee de que a eonoia doétia eja ua forneedora líquida de eigrante no etado etaionário de etratégia pura, tal etado torna-e u repulor loal do itea eonôio. Independenteente da poição da eonoia doétia, no que diz repeito ao aldo igratório líquido, 19 o etado etaionário o etratégia ita erá u atrator loal do itea eonôio. Ou eja, e a eonoia doétia enontrar-e ufiienteente próxia da trajetória de reiento equilibrado o etratégia ita ela onvergirá para eta últia. Segue ua íntee do reultado de onvergênia diutido até aqui. Propoição 4. Se no etado etaionário o etratégia pura f ( ) f ( )] R > ~, ~ então o ponto de equilíbrio (,1) Θ erá u atrator loal. Se f ( ) f ( )] R < ~, ~ então o ponto de equilíbrio (,1) Θ erá loalente intável, ai preiaente u ponto de ela ujo rao etável erá o lou {(, ) Θ : e = 1}. O etado etaionário o etratégia ita ( *, * ) Θ é u atrator loal. Prova: Apêndie 4. Quando a eonoia doétia na vizinhança do etado etaionário o etratégia pura apreenta u alário efetivo aior que o alário efetivo do reto do undo, o 19 Forneedora ou reeptora líquida de ão-de-obra. Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

24 316 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração itea eonôio apreenta dua bae loai de atração: ua e torno do etado etaionário o etratégia pura e outra e torno do etado etaionário o etratégia ita. Mai ua vez aparee no odelo a propriedade de path dependene, ou eja, a depender do etado iniial da eonoia doétia ela poderá onvergir para ua ou outra deta trajetória de reiento equilibrado. CONSIDERAÇÕES FINAIS Nete trabalho apreentou-e u odelo de reiento eonôio do tipo Solow- Swan o igração. O fluxo igratório foi odelado oo u jogo evoluionário, ai preiaente oo ua dinâia de eleção, a partir da hipótee de que o trabalhadore apreenta diferença idioinrátia o repeito à ua eta alariai. O reultado alançado orrobora e parte o obtido na abordage tradiional. Ou eja, a araterítia de longo prazo da eonoia doétia depende fundaentalente do eu aldo igratório líquido no etado etaionário. Todavia, novo reultado fora obtido. Na verão e efeito ongetionaento do odelo evoluionário a eonoia doétia onverge para o etado etaionário e aborver opletaente a população do reto do undo, o que aontee e ela apreentar nee etado u alário efetivo uperior ao do reto do undo. Se a eonoia doétia e eu etado etaionário apreentar u alário efetivo inferior ao do reto do undo, toda a ua população aabará eigrando para ee últio. O odelo evoluionário e efeito ongetionaento, portanto, põe e evidênia a ipoibilidade de exitênia da eonoia doétia oo u itea ditinto do reto do undo, deduzida no odelo de referênia e efeito ongetionaento. E outra palavra, o odelo evoluionário e ongetionaento torna explíita, diferenteente do odelo de referênia e ongetionaento, a ipoibilidade de a eonoia doétia trilhar ua trajetória de reiento equilibrado oo ua perpétua reeptora ou forneedora líquida de ão-de-obra. No odelo de referênia e ongetionaento infere-e a oexitênia da eonoia doétia e do reto do undo oente e oorrer a hoogeneização do alário efetivo entre ea dua regiõe, quando a eonoia doétia enontrar-e e eu etado etaionário. Ea ea onluão é extraída do odelo evoluionário e ongetionaento. Todavia, do odelo evoluionário é inferido u reultado adiional, a aber, o taanho relativo da população da eonoia doétia depende da ondiçõe iniiai dea últia. Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

25 Jaylon Jair da Silveira 317 A poibilidade de extinção da eonoia doétia ou do reto do undo não é utentada pelo fato. Ua da aua deta predição é enontrada na hipótee iplíita de que o reiento (delínio) populaional aelerado pela iigração (eigração) líquida não aarreta u ongetionaento (deongetionaento) do fatore/reuro fixo da eonoia doétia. A inorporação do efeito ongetionaento ao odelo evoluionário não exlui a poibilidade de fuão da eonoia doétia e do reto do undo e ua únia eonoia, ao a eonoia doétia apreente u diferenial de alário efetivo atrativo e eu etado etaionário. Entretanto, a introdução do efeito ongetionaento trouxe à tona a poibilidade de onvergênia para u etado etaionário o a exitênia iultânea da eonoia doétia e do reto do undo. Para finalizar, abe detaar que ua oparação ai preia entre a prediçõe do odelo de referênia e a do odelo evoluionário poderia er alançada por eio da oparação da propriedade de onvergênia dee últio o a repetiva propriedade de onvergênia do odelo de referênia. APÊNDICE 1: PROVA DA PROPOSIÇÃO 1 U etado de equilíbrio do itea (3.1) é ua olução do eguinte itea: f ( ) h (1 )( l) z( ) = 0 (1 ) z( ) = 0 (A.1) Coniderando a egunda equação do itea (A.1) onlui-e que eta é atifeita e =1 ou z φ ( ) = 0. Na preente deontração parte-e da preia de que exite ua razão apital-trabalho efetivo, definida ipliitaente por (2.9), tal que o fluxo igratório líquido é nulo. Dada a exitênia de ua uniidade é oneqüênia do fato de que d [ f ( ) f ( )] = f ( ) > 0, devido à preia de rendiento fíio arginai dereente e erado de trabalho perfeitaente d opetitivo. Exitênia do ponto de equilíbrio (,1) Θ : Se = 1 então a prieira equação de (A.1) reduz-e a: f ( ) h = 0 (A.2) Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

26 318 Marodinâia de Creiento e ua Eonoia Solow-Swan o Migração a qual pode er tranforada para > l > 0 e: f ( ) h = 0 (A.2a) Portanto, bata provar que exite u valor > l > 0 tal que (A.2a) é atifeita. Uando a regra de L Hôpital e o fato de que li f ( ) = 0 (ua da ondiçõe de Inada) infere-e que li [ f ( ) / ] = 0 e, portanto: + f ( ) li 0 + = < h h (A.3) Coo, por hipótee: f ( l) h > 0 l (A.4) e f () é ontínua e qualquer 0, infere-e, o bae no teorea do valor interediário, que exite u > l > 0, tal que (A.2a) é atifeita. Uniidade do ponto de equilíbrio (,1) Θ : Dede que a produtividade fíia arginal do trabalho é etritaente poitiva, ito é, f ( ) f ( ) > 0, então: u f ( ) [ f ( ) f ( )] 0 2 h = < u (A.5) e, portanto, o lado equerdo de (A.2a) é ua função etritaente dereente de. Logo, é únio. Exitênia de u ontinuu de equilíbrio: =. Se zφ ( ) = 0, então a pri- Para que z( ) = 0 deve-e ter, oniderando (2.9), eira equação de (A.1) reduz-e a: f ( ) h = 0 (A.6) Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007

27 Jaylon Jair da Silveira 319 Eta últia equação é atifeita e, e oente e, aba a ondiçõe ere atifeita é ter-e = =. Logo, a únia aneira de. Se ito aonteer, a olução do itea (A.1) independe do valor que a variável aue e Θ. Portanto, todo o ponto pertenente ao onjunto {(, ) Θ : = = } ão ponto de equilíbrio do itea (3.1). APÊNDICE 2: PROVA DA PROPOSIÇÃO 2 Parte 1: O equilíbrio,1) é globalente aintotiaente etável e f ( ) f ( )] >~. ( A ontrução do diagraa de fae dete ao foi realizada na eção trê. A análie do autovalore da atriz Jaobiana da linearização e torno do etado etaionário,1) etá de aordo o a onluõe qualitativa globai obtida. A atriz ( Jaobiana da linearização e torno do etado etaionário,1) é dada por: ( f ( ) h ( l) z( ) J (,1) = 0 ( ) z ujo autovalore ão: (A.7) 1 = f ( ) h < 0 e 2 = z ( ) (A.8) O egundo autovalor é negativo e >. De (A.8) infere-e, então, que o etado etaionário,1) é u orvedouro da linearização e ua vizinhança quando > (, poi todo o autovalore aoiado poue parte reai negativa. Ai, o bae no teorea de Hartan-Groban, onlui-e que o etado etaionário (,1) é u atrator loal e > (f. Figura 2a). Parte 2: O equilíbrio ( 0 0, ) int Θ. (,1) Θ é intável e f ( ) f ( )] <~ e + 0 e Et. eon., São Paulo, 37(2): , abr-jun 2007