A AVALIAÇÃO CRUZADA: UMA REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

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1 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO A AVALIAÇÃO CRUZADA: UMA REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL Lidia Angulo Meza Departaento de Ciência do Materiai Univeridade Federal Fluinene Av. do Trabalhadore 420, Volta Redonda, RJ lidia@etal.eeivr.uff.br Bruno Tonioni Cunha Departaento de Ciência do Materiai Univeridade Federal Fluinene Av. do Trabalhadore 420, Volta Redonda, RJ btonioni@yahoo.co.br RESUMO Ua dificuldade na Análie Envoltória de Dado (Data Envelopent Analyi DEA) no uo do odelo cláico é que, co freqüência, há vária DMU avaliada coo 00% eficiente. Ua fora de increentar a dicriinação e DEA e inforação previa do decior é utilizando a Avaliação Cruzada. A idéia principal dete étodo é a avaliação do conjunto de DMU, ai alé de calcular a própria eficiência, ela calcula a eficiência da outra DMU. Vário pequiadore já introduzira iplificaçõe ou odificaçõe para ete odelo. Nete trabalho apreenta-e ua pequia bibliográfica da variaçõe e iplificaçõe dete enfoque exitente na literatura. Para e fazer ua coparação do odelo analiae a caracterítica de cada propota teoricaente e uando u exeplo nuérico. Alé doai, coo o procediento para calcular eta eficiência pode er coputacionalente exautivo, apreenta-e ua ipleentação coputacional no oftware SIAD que facilita o uo da avaliação cruzada. PALAVRAS CHAVE: Análie Envoltória de Dado, Avaliação Cruzada, Software. ABSTRACT One drawback in uing Data Envelopent Analyi DEA odel i that there are everal DMU claified a 00% efficient. One way to iprove dicriination in DEA without a priori inforation fro the deciion aker i uing Cro Evaluation. The ain idea behind thi ethod i a peer-evaluation, in thi ene, beide calculating it own efficiency, the DMU calculate other DMU efficiency index. Several reearcher have already propoed iplification or odification of thi ethod. In thi paper we preent a bibliographic reearch of the different propoal for Cro Evaluation. To be able to copare thi odel, we analyze the characteritic of each approach theoretically and uing a nuerical exaple. More over, conidering that the procedure to calculate a cro efficiency index can be coputationally expenive, we preent a coputational ipleentation perfor in the oftware SIAD to facilitate the ue of Cro Evaluation. KEYWORDS. Data Envelopent Analyi, Cro Evaluation, Software. Área principal: Data Envelopent Analyi DEA [ 20 ]

2 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO. Introdução O objetivo da Análie Envoltória de Dado (Data Envelopent Analyi DEA) é avaliar a eficiência de unidade produtiva que realiza tarefa iilare, chaada de unidade de toada de decião (Deciion Making Unit DMU). Ea unidade ão coparada e ditingue-e pela quantidade de recuro (input) que conoe e de ben (output) que produze (Cooper et al., 2000; Etellita-Lin e Angulo-Meza, 2000). Para realizar eta avaliação, DEA utiliza problea de prograação linear (PPL) cujo objetivo é axiizar o índice de eficiência enquanto e cupre co deterinada retriçõe. Ai, o PPL perite que cada DMU apareça da elhor aneira poível, ito é, erão dado peo aiore a aquela variávei que tenha nívei de output aiore (nívei enore no cao do input) e outorgará peo enore ou nulo a aquela variávei que lhe eja defavorávei. Ito te coo coneqüência que o peo utilizado pela diferente DMU para cada variável varie aplaente (Angulo-Meza, 998). Eta ituação tabé perite que vária DMU atinja o 00% de eficiência, o que dificulta a ecolha da elhor DMU ou de ua ordenação dela. Ete tipo de ituação te ido a preocupação de uito pequiadore. Ua aneira de evitar a diferença no peo deterinado para cada DMU e do peo nulo, e a arbitrariedade da retriçõe e e o conheciento prévio da iportância relativa de cada variável, é utilizando a Avaliação Cruzada (Cro Evaluation). Eta é ua variação intereante de DEA inicialente deenvolvida e 986 por Sexton et al. e te coo idéia principal utilizar DEA e ua avaliação do conjunto o que ignifica que cada DMU é avaliada egundo o conjunto de peo ótio da outra DMU, endo a édia de toda a eficiência a eficiência cruzada. Dede o apareciento da avaliação cruzada, que é apreentada na eção 2, divera variante tê urgido, a quai tenta iplificar o étodo ou fornecer aior entido ao reultado. O objetivo dete artigo é apreentar o reultado da pequia bibliográfica realizada no tea e fazer ua coparação do divero enfoque apreentando a caracterítica de cada variação. Io é feito na eção 3. Utiliza-e u exeplo nuérico para ilutrar o uo de cada propota coparando o reultado para etabelecer diferença tanto de conceição quanto prático. Ua dicuão obre o reultado é apreentada na eção 4. Dado que o procediento para o cálculo do índice da avaliação cruzada pode er coputacionalente exautivo, poi trata-e de u procediento e dua etapa, apreenta-e ua ipleentação coputacional realizada no SIAD (Angulo-Meza et al, 2005) para facilitar e divulgar o uo de eta técnica a que é apreentada na eção 5. Finalente, na eção 6 ão apreentado a concluõe dete trabalho. 2. A Análie Envoltória de Dado e a Avaliação Cruzada A Análie Envoltória de Dado (Data Envelopent Analyi DEA) foi deenvolvida por Charne, Cooper e Rhode (978) e ua a prograação linear para avaliação de eficiência da DMU que utiliza o eo recuro (input) e gera o eo produto (output). Exite doi odelo DEA cláico: CCR e BCC. O odelo CCR (tabé conhecido por CRS ou contant return to cale), adota coo hipótee retorno contante de ecala (Charne, Cooper e Rhode, 978) e aue proporcionalidade entre input e output. Mateaticaente, o odelo DEA CCR axiiza o quociente entre a cobinação linear do output e a cobinação linear do input, co a retrição de que para qualquer DMU ee quociente não pode er aior que. Ee problea de prograação fracionária, ediante algun artifício ateático, pode er linearizado, tranforando-e no Problea de Prograação Linear (PPL). Conidera-e que cada DMU j, j =...n, é ua unidade de produção que utiliza input x ik, i =..., para produzir output y rj, r =...; x io e y ro ão o input e output da DMU o. E () apreentao a forulação linearizada do odelo CCR para deterinar a eficiência, h o, da DMU O; x io e y ro ão o input e output da DMU o; v i e u r ão o peo calculado pelo odelo para input e output, repectivaente. [ 2 ]

3 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO Max h ujeito a: i= vx i io = o r ro r= = u y v x 0, j =,...,n r rj i ij r= i= u y u,v r i 0 i,r Freqüenteente, dado que cada DMU te a liberdade de ecolher o próprio peo para deterinar eu índice de eficiência, o conjunto de peo ótio encontrado pode ignorar a variávei e que teve al deepenho, outorgando peo nulo àquela variável e coniderando oente aquela de bo deepenho, podendo chegar a ituação extrea de outorgar peo oente u input e u output. U conjunto de peo co ea caracterítica não é real, ne é deejável para a análie. Outro problea, tabé relacionado ao conjunto de peo, é a fraca dicriinação entre DMU, poi vária DMU pode er identificada coo eficiente. E geral, io acontece e cao e que a quantidade de DMU não é aior co relação à quantidade de variávei utilizada (recoenda-e que o núero de variávei eja pelo eno trê veze aior que o núero de variávei), a io não ipede que ea ituação ocorra na preença de pouca variávei. A avaliação Cruzada foi inicialente propota por Sexton et al (986) coo ua fora de reolver o doi problea encionado, já que ele encontra-e uito relacionado, e é aplicado e ituaçõe e que não exite coneno entre o deciore obre a iportância relativa da variávei para utilizar retriçõe ao peo e deeja-e increentar a dicriinação entre DMU (veja Angulo-Meza e Lin, 2002, para aiore detalhe). Eta técnica te coo idéia principal utilizar DEA para realizar ua avaliação feita por toda a DMU da análie ao invé de fazer a auto-avaliação, que é calculada pelo odelo DEA padrão (Doyle e Green, 994). Ai cada DMU é avaliada uando o conjunto de peo ótio obtido por cada ua da outra DMU, endo a édia de toda ea eficiência a eficiência cruzada da DMU e análie. Eta avaliação pode er vita coo ua édia da eficiência de ua DMU calculada ob o "ponto de vita" da outra DMU. Para realizar ete procediento precia-e do peo ótio obtido reolvendo o PPL para cada DMU. A eficiência cruzada poderia er facilente realizada utilizando ee peo, a coo já foi obervado, para a DMU eficiente ete conjunto de peo não é único (Cooper et al, 2000). Ito ignifica que exite últiplo conjunto de peo ótio (oluçõe ótia) que fornece o eo índice de eficiência para a DMU. Para que o conjunto de peo fornecido coo olução ótia não prejudique ou beneficie nenhua DMU, é utilizado u novo PPL co ua função objetivo ecundária. A idéia do novo PPL é ecolher u conjunto de peo que eja ótio no PPL inicial, ito é, obtenha a ea eficiência para a DMU e análie, a que tenha coo objetivo ecundário iniizar a eficiência cruzada da outra DMU. Sexton et al. (986) chaa a eta forulação de forulação agreiva, devido à iniização na função objetivo. Já coniderando a axiização da eficiência cruzada da outra DMU, te-e ua forulação benevolente. Para decrevero o étodo definio e (2) coo a eficiência cruzada da DMU O utilizando o conjunto de peo da DMU k. Definida deta fora, E kk eria a eficiência da DMU k utilizando o próprio peo, ito é, a eficiência calculada pelo odelo CCR que chaareo de eficiência padrão: E ko = r= i= u y rk v x ik ro io A propota original de Sexton et al (986) indica que a função objetivo do egundo PPL te a fora e (3) e que o objetivo é iniizar a oa da eficiência cruzada da outra DMU () (2) [ 22 ]

4 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO utilizando o peo da DMU k. Eta função objetivo no leva a u problea de prograação fracionária não linear que não pode er reolvido pelo étodo de olução padrão de prograação linear. Miniizar E = u y rk rj r= kj (3) j k j k vik xij i= O pequiadore Doyle e Green (994) apreentara dua propota para ubtituir a função objetivo anterior. Na prieira ubtituição, a função objetivo trata de iniizar a oa para toda a DMU diferente de k da oa ponderada do nuerador de cada fração eno a oa ponderada do denoinador da função objetivo anterior, endo que o conjunto de peo utilizado para calcular ea oa ponderada é o conjunto de peo da DMU k que tratao de encontrar. A função objetivo apreentada e (4) é chaada de B k. Miniizar B k= urkyrj vikx ij = urkyrj vik xij (4) j k r= i= r= j k i= j k A egunda propota do autore foi ubtituir a ubtração pela divião. Ai, obteo a função objetivo chaada de C k, apreentada e (5). urk yrj urkyrj j k r= r= j k Miniizar C k= = (5) v v ik xij ikxij j k i= i= j k Para o cao da forulaçõe benevolente de A k, B k e C k bata ubtituir a iniização da função objetivo pela axiização. Finalente, a forulação agreiva B k a er reolvida para e obter o conjunto de peo a er utilizado para a avaliação cruzada é apreentada e (6). Neta forulação, a prieira retrição garante que o peo a ere deterinado aplicado para avaliar outra DMU não forneça eficiência aiore do que (eta é ua retrição padrão e DEA). A egunda retrição garante que ee peo forneça a ea eficiência previaente encontrada para a DMU k. Já a terceira retrição não faz parte da forulação inicial no odelo CCR, a aparece na linearização da função objetivo do odelo. Na verdade não é precio utilizá-la, a acredita-e que ajuda a evitar degeneração (Doyle e Green, 994). Finalente, a últia retrição garante que o peo eja não negativo. Miniizar B k= urkyrj vikxij r= j k i= j k ujeito a: rk rj ik ij r= i= rk rk kk ik ik r= i= i= u y v x 0, j k u y E v x = 0 v x =, j k ik ik u rk,v ik 0 i,r Analogaente, para a função objetivo C k, linearizada fazendo o denoinador igual a, a forulação é apreentada e (7) na qual a prieira, a egunda e a últia retrição ão iguai à da forulação (6) e a últia retrição é o reultado da noralização da função objetivo C k. (6) [ 23 ]

5 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO Miniizar C = u y ujeito a: rk rj ik ij r= i= k rk rj r= j k u y v x 0, j k u y E v x = 0 rk rk kk ik ik r= i= v x ik ij i= j k = u rk,v ik 0 i,r Trabalho poteriore e o próprio trabalho de Doyle e Green (994) otra que o reultado da forulaçõe B k e C k ão uito parecido co relação ao peo (Angulo-Meza, 998), endo a ordenaçõe idêntica, por io uito analita utiliza oente ua da forulaçõe, geralente a forulação C k (Anderon et al, 998, e Anderon et al, 2002). Ua vez deterinado o conjunto de peo, a eficiência cruzada pode er organizada e ua atriz chaada de atriz de eficiência cruzada, otrada na tabela. Tabela. Matriz de eficiência cruzada. DMU n E E 2 E 3 E 4 E 5... E n 2 E 2 E 22 E 23 E 24 E E 2n 3 E 3 E 32 E 33 E 34 E E 3n 4 E 4 E 42 E 43 E 44 E E 4n 5 E 5 E 52 E 53 E 54 E E 5n n E n E n2 E n3 E n4 E n5... E nn e e 2 e 3 e 4 e 5... e n e e 2 e 3 e 4 e 5... e n Neta atriz a diagonal correponde a eficiência padrão calculada pelo odelo CCR, a coluna k correponde a eficiência da DMU k obtida uando o peo ou ponto de vita de toda a DMU da avaliação. Já a linha k correponde à avaliaçõe feita co o conjunto de peo da DMU k. Na últia linha da atriz calcula-e a eficiência cruzada édia da DMU k, e k, que é calculada coo a édia da coluna k incluindo a diagonal, E kk (peritindo a autoavaliação), ou não, e k. Para ilutrar elhor a aplicação da Avaliação Cruzada, que erá chaada de cláica, conidere o exeplo apreentado na tabela 2, e que apreenta-e tabé o peo e a eficiência padrão do odelo CCR ipleentado no oftware SIAD (Angulo-Meza et al, 2005). Tabela 2. Dado para a avaliação cruzada DMU Dado Peo Eficiência Input Input 2 Output Input Input 2 Output padrão A 2 8 0,5000 0,0000 0, % B ,0746 0,642 0, % C ,0373 0,082 0,000 00% D ,2000 0,0000 0,400 70% E ,0602 0,325 0,64 48,43% Na tabela 2 pode-e obervar que enquanto não houve peo zero para a dua DMU 00% eficiente, a DMU D forneceu peo zero ao input 2 para poder atingir 70% de eficiência. O eo acontece co a DMU A. Por outro lado, coparando o peo da variávei da DMU D e da E veo que a DMU D atingiu ua eficiência elhor do que a DMU E ignorando o input 2 da análie que a DMU E não ignorou. Ete reultado pode er coniderado injuto pela DMU E. (7) [ 24 ]

6 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO Ai, para evitar problea co o peo e obter ua ordenação final da DMU utilizao a Avaliação Cruzada, na ua forulaçõe agreiva da propota B k (6) e C k (7), cuja atrize de eficiência cruzada e encontra na tabela 4 e 6. O peo obtido pela repectiva forulaçõe pode er obervado na tabela 3 e 5. Tabela 3. Peo obtido uando a forulação agreiva de B k. DMU Peo Input Input 2 Output A 0,5000 0,0000 0,3500 B 0,0000 0,5000 0,2000 C 0,0746 0,64 0,2000 D 0,2000 0,0000 0,400 E 0,057 0,428 0,600 Tabela 4. Reultado da Avaliação Cruzada uando a forulação agreiva de B k. DMU A DMU B DMU C DMU D DMU E DMU A 0,3500 0,3889,0000 0,7000 0,200 DMU B 0,0500,0000 0,4444 0,2000 0,4000 DMU C 0,368,0000,0000 0,4965 0,4845 DMU D 0,3500 0,3889,0000 0,7000 0,200 DMU E 0,273,0006 0,9496 0,4669 0,4803 e k 0,2028 0,7558 0,8789 0,527 0,3570 e' k 0,734 0,6947 0,8485 0,4659 0,326 Tabela 5. Peo obtido uando a forulação agreiva de C k. DMU Peo Input Input 2 Output A 0,0322 0,0000 0,0225 B 0,0000 0,0333 0,033 C 0,0384 0,0000 0,0269 D 0,0357 0,0000 0,0250 E 0,004 0,026 0,0293 Tabela 6. Reultado da Avaliação Cruzada uando a forulação agreiva de C k. DMU A DMU B DMU C DMU D DMU E DMU A 0,3500 0,3889,0000 0,7000 0,200 DMU B 0,0500,0000 0,4444 0,2000 0,4000 DMU C 0,3500 0,3889,0000 0,7000 0,200 DMU D 0,3500 0,3889,0000 0,7000 0,200 DMU E 0,367,0000,0000 0,4963 0,4843 e k 0,2473 0,6333 0,8889 0,5593 0,3029 e' k 0,227 0,547 0,86 0,524 0,2575 Obervando a tabela 3 de peo da forulação B k verifica-e que fora encontrado conjunto diferente de peo para trê DMU, B, C e E. Tabé é curioo obervar que o conjunto de peo obervado para a DMU B na tabela 2, foi outorgado a DMU C na tabela 3. Para outro exeplo nuérico io não foi obervado (Angulo-Meza, 998). Já na tabela 5, peo da forulação C k, o conjunto de peo encontrado fora copletaente diferente àquele achado pela forulação padrão de DEA, tabela 2, e pela forulação B k, tabela 3. Soente co ete reultado pode-e verificar a ultiplicidade de peo para ua ea eficiência ainda na DMU ineficiente. Uando a eficiência cruzada édia, é feita ua ordenação egundo a eficiência cruzada, ai a ordenação egundo a forulação B k é de elhor para pior: C, B, D, E e A. Já para a forulação C k a ordenação e anteve. O que verifica epiricaente o reultado [ 25 ]

7 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO obervado por Doyle e Green (994) e Angulo-Meza (998) de ordenaçõe iguai. Ainda, não fora tetada a forulaçõe benevolente, a tal coo o pequiadore encionado já obervara, a ordenaçõe tabé fora eelhante ebora a eficiência édia achada fora aiore. 3. Pequia Bibliográfica Dede a propota de Sexton et al (986) e o trabalho de Doyle e Green (994) vário trabalho urgira propondo variaçõe de ipleentação da avaliação cruzada. Tal coo erá vito, eta propota etão centrada na iplificação deta técnica, ou ipleente na interpretação do reultado obtido na avaliação cruzada cláica. 3.. Média do peo Ua da prieira variaçõe propota foi a de Anderon et al. (998). Ele detacara que na avaliação cruzada não e te garantia de que todo o conjunto de peo poívei eja analiado, já que uito conjunto de peo poderia ignorar algua variávei, ai coo acontece no exeplo ilutrativo da tabela 2 e que tabé pode er obervado na tabela 3 e 5 do peo da avaliação cruzada cláica. Deta fora, ele propuera o cálculo do peo coo endo a édia do peo para a variável. Ua vez calculada a édia para todo a variávei, ela ão utilizada para calcular a eficiência cruzada da DMU. Ai, teo oente u conjunto de peo para o cálculo da eficiência cruzada final. Para ilutrar ete enfoque, utiliza-e o dado e o peo apreentado na tabela 2, obtendoe o peo da tabela 7. Tabela 7. Peo édio para a DMU DMU Peo Input Input 2 Output A 0,5000 0,0000 0,3500 B 0,0746 0,642 0,2000 C 0,0373 0,082 0,000 D 0,2000 0,0000 0,400 E 0,0602 0,325 0,64 Média 0,744 0,0758 0,903 Co ee peo ão calculada a eguinte eficiência cruzada (exprea e percentagen): DMU A, 9,93%; DMU B, 55,27%; DMU C, 00%; DMU D, 58,38% e DMU, E 28,95%. A ordenação final da DMU uando ee índice de eficiência cruzada é C, D, B, E e A. Pode-e notar que exite ua udança na orde da DMU B e D co relação a ordenação da avaliação cruzada cláica, no entanto, a diferença entre a eficiência é ínia pouco ai de 3%, io é devido a que a édia do peo forneceu u peo aior para o input do que para o input 2, ao contrário do que acontece quando B calculou eu próprio conjunto de peo, tabela 2, e na forulaçõe cruzada cláica, tabela 3 e 5, e que o peo do input 2 é aior do que o input. Dado que etá e privilegiando o input, o deepenho de B diinui. A DMU A continua endo a DMU de pior deepenho e a DMU C, a de elhor deepenho. Por outro lado, oberva-e que foi cuprida a eta que era ditribuir o peo não peritindo que nenhua variável foe ignorada da análie, alé de evitar o uo do egundo PPL para deterinar peo ótio para avaliação cruzada. É iportante detacar que ete enfoque tabé foi utilizado por Soare de Mello et al (2002) e que, alé de ó trabalhar co DMU eficiente, ela é utilizada no contexto de ua fronteira uavizada Média do Peo da DMU ineficiente Soare de Mello et al (2004) propuera ua variante do enfoque anterior que conite e reover a DMU eficiente uando o valore do peo da DMU ineficiente para o cálculo [ 26 ]

8 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO da édia do peo. O pequiadore detaca que a vantage deta propota é que eliina a iprecião devido à exitência de últipla oluçõe da DMU eficiente o que decarta o uo do egundo odelo para a deterinação do elhor conjunto de peo eficiente para a DMU, facilitando ai o cálculo da eficiência cruzada final da DMU. Na tabela 8 apreenta-e o peo édio finai egundo eta propota uando o dado apreentado na tabela 2. Tabela 8. Peo para a variávei egundo a propota do uo de peo de DMU ineficiente DMU Input Input 2 Output A 0,5000 0,0000 0,3500 D 0,2000 0,0000 0,400 E 0,0602 0,325 0,64 Média 0,2534 0,0442 0,27 A eficiência (exprea e percentagen) da DMU calculada co eta propota ão a eguinte: DMU A, 25,24%; DMU B, 45,83%; DMU C, 00%; DMU D, 63,54% e DMU E, 24,43%. Eta eficiência fornece a ordenação final eguinte: C, D, B, A e E. Uando eta propota oberva-e que exite ua inverão na ordenação de B e D igual que a propota anterior e pelo eo otivo (peo aior para o input do que para o input 2), ai coo ua inverão da poiçõe da DMU A e E, co ua diferença uito pequena de eno de %. Io acontece devido a que o peo para o input foi aior que para o input 2, co ua diferença ai acentuada que no enfoque anterior (tabela 7). Ai o deepenho da DMU A auenta, poi veo que eu conjunto de peo favorece a A (tabela 2, 3 e 5) Eficiência cruzada uando a DMU Eficiente Ua crítica a avaliação cruzada é o uo de conjunto de peo de DMU ineficiente para avaliação da DMU da análie, poi DMU ineficiente não deveria influenciar no cálculo da eficiência cruzada de DMU eficiente, tal coo acontece no cálculo da eficiência padrão DEA. Io já tinha ido notado e Angulo-Meza (998) e, tal coo já tinha ido encionado, ete enfoque foi uado e Soare de Mello et al (2002) e outro tipo de fronteira. A propota é utilizar oente o peo da DMU eficiente. Uando o dado e o peo apreentado na tabela 2, teo a atriz de eficiência cruzada apreentada na tabela 9. Tabela 9. Matriz de eficiência cruzada da propota de peo de DMU eficiente DMU A DMU B DMU C DMU D DMU E DMU B 0,367,0000,0000 0,4963 0,48434 DMU C 0,367,0000,0000 0,4963 0,48434 e k 0,367,0000,0000 0,4963 0,48434 Oberva-e que a eficiência da DMU ão iguai avaliada pela DMU B e C, o que ocaiona u epate entre a dua DMU eficiente. Eta ituação pode acontecer e outro cao, já que ete é u reultado epírico e não fora realizada deontraçõe ateática que garanta que eta ituação ocorra epre. Alé dio, etao utilizando o peo obtido pelo CCR. Deta fora, não é poível fazero ua ordenação. É intereante notar que tabé pode er utilizado o peo da forulaçõe B k (6) ou C k (7), que é u enfoque ai adequado. Ai utilizando o peo obtido pela forulação Ck te-e o reultado apreentado na tabela 0. Tabela 0. Matriz de eficiência cruzada uando o peo de DMU eficiente, forulação C k DMU A DMU B DMU C DMU D DMU E DMU B 0,0500,0000 0,4444 0,2000 0,4000 DMU C 0,3500 0,3889,0000 0,7000 0,200 e k 0,2000 0,6945 0,7222 0,4500 0,3050 [ 27 ]

9 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO Fazendo ua ordenação egundo a eficiência cruzada teo: C, B, D, E e A, ordenação idêntica à obtida pela propota B k e C k. Eta propota evita u problea na eficiência cruzada no que diz repeito à retirada de ua DMU ineficiente que influencia na eficiência cruzada final da outra DMU, que pode ocaionar ua udança na ordenação final. Dado que oente etão endo coniderada a DMU eficiente na prieira etapa, oente a retirada de ua DMU eficiente pode influenciar na eficiência cruzada da outra DMU, tal coo acontece no odelo DEA padrão. 3.4 Peo Fixo E Anderon et al (2002) foi otrado que no cao particular de u input e últiplo output, a avaliação cruzada não apreenta liberdade no peo, a trata-e de peo fixo para a DMU. Io pode contradizer a natureza da avaliação cruzada e que o conjunto de peo obtido para deterinar a eficiência de cada DMU é utilizado para avaliar toda a outra DMU, fazendo deta fora ua avaliação e conjunto ao invé de ua auto-avaliação. Alé dio, a avaliação cruzada anté a flexibilidade de DEA. Ele otrara que a eficiência cruzada co u input é últiplo output é dado por (8) e que pode-e notar que o tero entre colchete, que é o peo da variável, yrk, independe de k, a DMU que etá endo avaliada, o que otra que o peo ão fixo para a variávei. n u rj yrk r n = j= v j ek = (8) x k O reultado coputacionai apreentado pelo pequiadore corroborara a dedução ateática realizada. Ito ignifica que no cao epecifico de u input e últiplo output, a avaliação cruzada não apreenta flexibilidade no peo. Já o eo não acontece quando trabalha-e co u output e últiplo input, que é o noo cao. Uando ete reultado, Etellita Lin et al. (2003) avaliara peo coun para cada variável e, e eqüência, a eficiência de cada DMU co ete peo. Para u núero pequeno de DMU eficiente o efeito de exitência de oluçõe últipla caua ipacto pequeno no reultado finai, fato que já tinha ido obervado epiricaente por Angulo-Meza (998). Mai do que ua variação da avaliação cruzada, o trabalho de Anderon et al (2002) é ua obervação obre a inexitência da flexibilidade do peo e ua ituação epecífica. 4. Coparação do reultado Na tabela apreenta-e o índice de eficiência expreo e percentagen para a DMU coniderando todo a enfoque encionado na eção 3, ai coo a ordenaçõe decorrente. Tabela. Índice de eficiência cruzada para a diferente propota da Avaliação Cruzada. Propota DMU Média do Média do peo Uo do peo B k C k peo da ineficiente da Eficiente DMU A 20,28% 24,73% 9,93% 25,24% 20,00% DMU B 75,58% 63,33% 55,27% 45,83% 69,45% DMU C 87,89% 88,89% 00% 00% 72,22% DMU D 5,27% 55,93% 58,38% 63,54% 45,00% DMU E 35,70% 30,29% 28,95% 24,43% 30,50% Na quatro propota a DMU de elhor deepenho é a C e a DMU de pior deepenho é a DMU A, co exceção da propota do uo do peo da ineficiente, e que a DMU E é a pior. Ito pode acontecer devido a que ão privilegiado o peo da DMU ineficiente e a DMU A co o aior peo para o input influencia a édia final do peo a eu favor. [ 28 ]

10 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO Tabela 2. Ordenaçõe da DMU para a diferente propota da Avaliação Cruzada Propota Orde Média do Média do peo Média do peo B k C k peo da ineficiente da Eficiente º C C C C C 2º B B D D B 3º D D B B D 4º E E E A E 5º A A A E A Tabé é intereante notar que a DMU B que era 00% eficiente no odelo CCR agora é a egunda colocada, e ainda é a terceira colocada uando a propota da édia do peo e édia do peo ineficiente, tabela 2. Para trê propota a ordenaçõe da DMU ão idêntica, ela ão B k, C k e a édia do peo eficiente uando o peo da forulação C k. Io acontece devido a que e perite o uo de diferente conjunto de peo e e realiza ua édia final para o cálculo do índice. No outro cao, u conjunto de peo é uado e fornece u único índice de eficiência, o que prejudica DMU co tendência a favorecer ua ou ai variávei, tal coo acontece co a DMU B. Por outro lado, veo que a Avaliação Cruzada e qualquer da ua propota fornece ua ordenação e epate da DMU, tal coo era eu objetivo inicial. 5. Ipleentação Coputacional no SIAD Coo já foi encionado na eção 2, a Avaliação Cruzada é u proceo e dua etapa. Na prieira, o PPL correpondente ao odelo CCR ão executado para e obter a eficiência de cada DMU. Na egunda etapa, de poe da eficiência da prieira, ão executado o PPL ecundário para deterinar o peo eficiente. Ete proceo pode er tedioo, eo co u núero não uito grande de DMU, já que precia-e reolver o dobro de PPL do que no enfoque cláico. Alé dio, a egunda etapa depende do reultado da prieira, e io e coniderar o procediento do cálculo da atriz de eficiência cruzada. Pelo anteriorente expoto, faz-e neceária ua ipleentação coputacional que autoatize o procediento a ere realizado. O oftware SIAD (Angulo-Meza et al, 2005) urgiu coo ua alternativa e DEA para autoatizar o procediento de odelo já exitente e poibilitar a incorporação de odelo ai avançado. Deta fora, a Avaliação Cruzada foi incorporada dentro da nova verão do SIAD. Figura. Matriz de eficiência da avaliação cruzada. De toda a propota anteriorente decrita, foi ipleentada a forulação C k (7). Ai, apó a etapa de cálculo da eficiência da DMU uando o odelo CCR, ão executado o PPL da egunda etapa utilizando o algorito Siplex já ebutido no oftware. Todo o cálculo ão realizado internaente e, ao final, é apreentada ua tela co o reultado da avaliaçõe cruzada, tal coo otrado na figura. Nenhu eforço adicional é requerido ao uuário. [ 29 ]

11 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO Da ea fora quando utilizado outro odelo, todo o reultado da avaliação cruzada (eficiência da prieira etapa, atriz de eficiência cruzada e eficiência cruzada finai) pode er alvo e arquivo de reultado do tipo texto (txt). Ee arquivo de reultado facilita a interpretação e uo do reultado fora do abiente SIAD. 5. Concluõe A Avaliação Cruzada é u étodo para increentar a dicriinação e DEA que perite anular o efeito do peo nulo enquanto e anté flexibilidade e variedade no peo. Nete artigo fora apreentada trê variaçõe dete étodo, trê propota cujo objetivo ão iniizar o eforço coputacional, enquanto e anté flexibilidade. Na prieira propota, tenta-e obter ua reditribuição de peo atravé da édia do eo, o que evita ponderaçõe diferente da variávei. Já na egunda propota, tenta-e reduzir o eforço coputacional, no que diz repeito ao uo de u egundo PPL, evitando a incluão da ponderaçõe da DMU eficiente, na quai ocorre últipla oluçõe ótia, coniderando para a édia oente a ponderaçõe da DMU ineficiente. U grande problea obervado na édia de peo e a inexitência da flexibilidade do peo, o peo finai uado para calcular o índice de eficiência ão fixo, podendo beneficiar algua DMU enquanto prejudica outra. Ao coniderar a ponderaçõe da DMU ineficiente acontece que a ineficiente ão privilegiada e detriento da eficiente, o que pode er coniderada ua ituação aburda por uito. Alé dio, a jutificativa da eliinação do problea da ultiplicidade de oluçõe eficiente não é verdadeira, poi tal coo foi obervado no reultado do exeplo nuérico exite tabé oluçõe últipla para a DMU ineficiente. Pode-e dizer que ua vantage dete enfoque é que reduze o efeito da retirada de ua DMU da análie, a não anula ete problea. Ai, ua terceira propota conidera oente a ponderaçõe da DMU eficiente. Ete enfoque reduz a coplexidade coputacional, já que o núero de PPL calculado na egunda etapa da Avaliação Cruzada é igual ao nuero de DMU eficiente da prieira etapa. Alé dio, eliina-e o efeito da retirada de ua DMU ineficiente da análie. Ai oente a retirada de DMU eficiente altera o índice de eficiência final, tal coo acontece no odelo DEA padrão cláico. Ua propota não analiada no trabalho, foi a de Leta et al. (2005), e que havendo dua DMU eficiente não foi utilizada a avaliação cruzada cláica, a ua DMU avaliará a outra, e a que for elhor avaliada pela concorrente erá a elhor, endo que ete enfoque é válido no cao e que oente dua DMU ão eficiente. Ete procediento pode er vito coo ua variação da terceira propota uada oente para deepatar dua DMU. Alé dio, detaca-e que no trabalho de Etellita Lin et al (2003) e Soare de Mello et al (2004) a avaliação cruzada foi utilizada e conjunto co retriçõe ao peo (Allen et al, 997). Pelo obervado nete trabalho, a fora ai adequada para avaliação cruzada te a ver co a ua fora original, ito é, peritir flexibilidade de peo que pode er B k, C k ou a terceira variante, uo da eficiente. Ete enfoque ão agora ai fácei de utilizar co a ipleentação coputacional no SIAD. Eta ipleentação da Avaliação Cruzada facilita e autoatiza o proceo, e eliina a falha que poa acontecer quando e trabalha co u proceo anual, epecialente na avaliação cruzada que é u proceo de dua etapa. Alé dio, a facilidade no proceo e a poibilidade de guardar o reultado faze dele ua ferraenta uito útil e te ido uada ativaente não ó pelo autore dete artigo, a tabé por outro pequiadore intereado e DEA e ua extenõe. É iportante detacar que o tepo coputacional do proceo leva apena, no pior cao, algun egundo. Veo que e toda a ua variaçõe a Avaliação Cruzada fornece ua ordenação e epate da DMU, e tabé parece eliinar conjunto de peo não reai que poa er uado pela DMU. Cabe realtar que a avaliação cruzada oente pode er aplicada coniderando o odelo CCR, ito é, coniderando proporcionalidade. Fora realizada tentativa para propor ua avaliação cruzada coniderando o BCC, a a exitência da variável adicional no odelo [ 220 ]

12 Pequia Operacional na Sociedade: Educação, Meio Abiente e Deenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO ultiplicadore faz co que a eficiência calculada finai, quando uada a ponderaçõe de outra DMU, eja negativa, o que inviabiliza eta técnica. Alé dio, é iportante detacar que a diferença do odelo DEA padrão, a avaliação cruzada não pode er utilizada para etabelecer eta, ne benchark para a DMU ineficiente 6. Agradeciento Ao CNPq pelo apoio financeiro, por interédio do Edital CNPq 9/2004 Univeral, proceo n.º / Bibliografia Allen, R., Athanaopoulo, A., Dyon, R.G., Thanaouli, E. (997). Weight retriction and value judgeent in data envelopent analyi: evolution, developent and future direction, Annal of Operation Reearch, 73, Anderon, T. R., Ulu, A., Holingworth, K. B. (998). Reviiting Extenion in Efficiency Meaureent of Alternate Machine Coponent Grouping Solution via Data Envelopent Analyi, working paper. Anderon, T.R., Hollingworth, K., Inan, L. (2002). The Fixed Weighting Nature of A Cro- Evaluation Model, Journal of Productivity Analyi, 7 (3), Angulo-Meza, L. (998). Data Envelopent Analyi (DEA) na Deterinação da Eficiência do Prograa de Pó-Graduação da COPPE/UFRJ, Tee de etrado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro. Angulo-Meza, L.; Etellita Lin, M.P. (2002). Review of Method for Increaing Dicriination in Data Envelopent Analyi, Annal of Operation Reearch, 6, Angulo-Meza, L., Biondi Neto, L., Soare de Mello, J.C.C.B., Goe, E.G. (2005). ISYDS Integrated Syte for Deciion Support (SIAD Sitea Integrado de Apoio a Decião): A Software Package for Data Envelopent Analyi Model, Pequia Operacional, 25 (3), Banker, R.D., Charne, A., Cooper, W.W. (984). Soe odel for etiating technical cale inefficiencie in data envelopent analyi, Manageent Science, 30 (9), Charne, A., Cooper, W.W., Rhode, E. (978). Meauring the efficiency of deciion-aking unit, European Journal of Operational Reearch, 2, Cooper, W.W., Seiford, L.M., Tone, K. (2000). Data envelopent analyi: a coprehenive text with odel, application, reference and DEA-olver oftware. Boton: Kluwer Acadeic Publiher. Doyle, J., Green, R. (994). Efficiency and cro-efficiency in DEA derivation, eaning and ue, Journal of the Operational Reearch Society, 45, Etelita Lin, M. P., Angulo-Meza, L. A. (2000). Análie Envoltória de Dado: e perpectiva de integração no abiente do Apoio à Decião, Editora da COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro. Etellita Lin, M.P., Goe, E.G., Soare de Mello, J.C.C.B. ; Soare de Mello, A.J.R. (2003). Olypic ranking baed on a Zero Su Gain DEA odel, European Journal of Operational Reearch, 48(2), Leta, F.R., Soare de Mello, J.C.C.B., Goe, E.G., Angulo Meza, L. (2005). Método de elhora de ordenação e DEA aplicado à avaliação etática de torno ecânico, Invetigação Operacional, 25. Sexton, T.R. (986). The Methodology of DEA. In: Silkan, R.H. (ed) Meauring Efficiency: An Aeent of DEA Joey Ba Inc., Soare de Mello, J.C.C.B., Lin. M.P.E., Goe, E.G. (2002). Contruction of a oothed DEA frontier, Pequia Operacional, 22(2), Soare de Mello, J.C.C.B., Goe, E.G., Angulo-Meza, L., Biondi Neto, L., Coelho, P.H.G., (2004). A odified DEA odel for olypic evaluation. In: Meória del XII Congreo Latino- Iberoaericano de Invetigación Operativa CLAIO 2004, Havana, Cuba. [ 22 ]