SERVOCONTROLE PREDITIVO DE ROBÔS GUIADOS POR SENSORES. A. Bauchspiess

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1 SERVOCONROLE PREDIIVO DE ROBÔS GUIADOS POR SENSORES A Bauchpie GRACO - Grupo de Autoação e Controle UnB - Depto de Engenharia Elétrica Braília / DF - BRASIL e-ail: bauchpie@eneunbbr Reuo: Ete artigo apreenta u algorito para a otiização do ratreaento de trajetória para anipuladore robótico guiado por enore e apreenta reultado experientai da aplicação à u anipulador hidráulico guiado por câera CCD O critério de otiização é baeado e u odelo gerador de trajetória levando a u controlador FMP (Folloing Model Predictive Controller que perite pex obter erro de ratreaento nulo para trajetória do tipo pline Outro tipo de trajetória ão aproxiada por egento pline que o robô pode de fato eguir Palavra chave: Controle Preditivo Robótica Senore Ratreaento Ótio de rajetória Abtract: hi paper preent an algorith for tracking optiization of robotic anipulator guided ith enor and ho experiental reult of the ipleentation on a CCD-caera guided hdraulic robot he optiization criteria i baed on a trajector generator odel reulting in a Folloing Model Predictive (FMP controller deign ich give zero tracking error for pline trajectorie Other trajectorie are approxiated ith pline egent that the robot can indeed follo Ke ord: Predictive Control Robotic Senor racking Optiization 1 INRODUÇÃO A área de autoação indutrial etá endo repenada e função do grande deenvolviento experientando pela técnica digitai U aparato ateático adequado aliado a recuro digitai extreaente poderoo etá peritindo pex controlar anipuladore robótico acionado hidraulicaente co a precião exigida e proceo de anufatura Ete que por uito tepo era coniderado uito difícei de ere controlado devido ao eu caráter extreaente não linear paara novaente a er alvo de pequia A grande denidade de potência do acionaento hidráulico perite ua relação uito ai vantajoa entre peo próprio e carga útil (tipicaente 1:5 enquanto robô acionado eletricaente apreenta ua relação de aprox 1:1 [1] écnica de controle não linear [] [3] [4] perite o deacoplaento e a linearização da junta de anipuladore robótico Deta fora cada junta pode er coniderada coo u itea linear SISO Partindo-e dete odelo o problea de ratreaento guiado por enore pode er tratado linearente E particular a forulação coo problea de controle ótio co u critério apropriado de otiização perite incluive ua olução analítica para o cao dicreto Ete novo cainho dipena a típica olução recuriva do controlador de Riccati O critério de otiização aqui adotado é baeado e u odelo gerador de trajetória levando a u controlador denoinado FMP (Folloing Model Predictive Controller [5] Manipuladore robótico equipado co enore perite autoatizar aplicaçõe indutriai de ua fora inteligente Ete endo o objeto de intena pequia e Inteligência Artificial (IA: contruir áquina que conidere de aneira adequada (inteligente inforaçõe captada do abiente de produção e que o robô etá inerido É preupoto que co o auxílio de enore a trajetória de trabalho do robô é obtida dentro de u certo capo de vião que é aqui utilizado coo o horizonte de iniização do erro de trajetória O ervocontrolador propoto foi ipleentado e u anipulador hidráulico guiado por ua câera CCD onde foi otrado que a etodologia FMP peritiu praticaente eliinar o erro de ratreaento dinâico RASREAMENO DINÂMICO De acordo co a caracterítica do ratreaento de itea dinâico é uual a eguinte claificação de problea: [6]: O Problea de Ratreaento ( tracking : A rajetória de referência é ua deterinada função (arbitrária do tepo para < t < O Problea Servo: O itea deve er controlado de tal fora que a variável controlada iga u inal de referência do qual ó é conhecido o fato que pertence a ua certa clae de inai coo p ex eqüência de degrau ou polinôio até ua certa orde O Problea do Seguidor de Modelo:

2 A aída do itea ervocontrolado deve eguir a aída de u odelo gerador de trajetória Para anipuladore robótico guiado por enore o problea a er reolvido é o do ratreaento já que não e pode a priori liitar o tipo de trajetória captada pelo enor Para o problea do eguidor de odelo é poível obter-e o ratreaento ideal ié erro de ratreaento nulo e todo o intante de tepo [7] Apear de ratreaento ideal não er poível para anipuladore guiado por enore ua idéia báica erá aqui aproveitada: iniizar o erro entre a variávei de etado do itea ervocontrolado e a variávei de etado de u odelo gerador de trajetória U odelo gerador de trajetória adequado a anipuladore robótico é ua cadeia de integradore que gera o tão utilizado polinôio pline [7] É intereante obervar que e a trajetória apreentada à planta ervocontrolada coo aqui deenvolvido for de fato u pline então o erro de trajetória teórico erá nulo 3 O SERVOCONROLADOR PREDIIVO BASEADO EM MODELO GERADOR DE RAJEÓRIAS (CONROLADOR FMP Seja o itea ecalar dicreto controlável e obervável decrito por: x( k + 1 Ax( k + bu ( k ; x( x ( k c x( k (1 onde x(k é o vetor de etado nx1 no intante tk ( - período de aotrage u (k é a entrada e (k é a aída do itea O odelo (1 erá aqui utilizado para decrever cada junta de anipuladore robótico co u controle de junta ubjacente que garanta a linearização e o deacoplaento do itea não linear ultivariávei A cadeia de integradore que é obtida pex pelo controlador não linear baeado no itea invero [] [3] ou pelo controlador da ai alta derivada [4] é tranforada e u itea P- n atravé de u controlador linear de variávei de etado [1] Finalente o odelo dicreto (1 é obtido por ua ranforação Invariante ao Degrau [8] O odelo (1 erá aqui denoinado de odelo preditor por peritir a predição do coportaento dinâico do robô para ua certa trajetória de referência 31 Forulação do Problea: Seja o itea de orde n decrito por (1 A trajetória de referência (k ( k ( k é conhe- cida nu horizonte futuro que e extende de t(k+1 até t (k+ O atual etado do itea é x(k A poição (k velocidade ( k aceleração ( k e derivada de orde ai alta da variável controlada correponde ao etado do itea para o particular c [ 1 ] ( k + ν ( k + ν e ( k + ν ão etado correpondente predito por (1 para o intante futuro k + νo problea conite e calcular a eqüência de controle u (k u (k+1 u (k+-1 de tal fora a iniizar o eguinte Critério de Otiização: J ε i Q i ε i + β R β ( Onde a atrize de ponderação Q i e R ão iétrica poitiva definida No cao ai geral eta atrize pode er dependente do tepo O tero de erro ão ai definido: i Erro de Poição: ( k: ( k ( k (3 ( k + 1 ( k + 1 ( k ( k ( k : + ( k : + ( k + ( k + Erro de Velocidade: 1( k: ( k ( k (4 ( k + 1 ( k + 1 ( k ( k ( k: + + ( k: ( k + ( k + Erro na derivada n-1: ( ( ( k: ( k ( k (5 ( ( n k + 1 ( 1 ( k + 1 ( ( ( k + ( n k k ( 1 k ( + ( : ( : ( ( k + ( ( k + O tero β( k a aplitude do inal de entrada e relação ao inal de referência é definido por: β( k: u ( k ( k (6 u u( k u( k ( k + 1 u( k + 1 A eqüência de controle procurada é portanto decrita pelo vetor u (k Cada tero do critério

3 G abrange ua oa ponderada de erro quadrático obre o horizonte de aotra O parâetro Q i e R perite projetar a dinâica do itea e alha fechada O tero β(k a aplitude do inal de controle e torno do atual ponto de trabalho conidera a liitação da energia Aue-e que o ganho do itea a er ervocontrolado eja unitário (etacionariaente u (k(k Na literatura [9] a liitação do inal do atuador tabé é feita utilizando-e β ( k: u ( k para planta co caráter integrativo e para o outro cao por eio de β ( k : u ( k + 1 u ( k O critério de otiização ( não iniiza oente o devio édio entre a variável controlada (k e o inal de referência (k coniderando a liitação de energia coo uual na aioria do algorito preditivo [9] [1] poré tabé conidera tero adicionai (variávei de etado que perite u dienionaento ai flexível do ervocontrolador Ete grau de liberdade adicionai é que perite projetar u ervocontrolador que egue u odelo gerador de trajetória 3 Cálculo da eqüência ótia de controle Partindo-e da decrição canônica controlável do itea no doínio do epaço de etado (1 co ( k 1 x( k c x( k c x( k ( k 1 x( k c1 x ( k (7 ( ( k 1 x ( k c x ( k é poível predizer a eqüência de aída do itea: ( abrangendo o intervalo de k+1 até k+ A eguinte relaçõe pode er dada: ( k G x( k + H u ( k ( k G1x( k + H1 u ( k ( ( k G x( k + H u ( k onde a atrize G H co 1 n-1 e co c coo indicado e (7 ão dada por c c c A c b A c Ab c b H 1 A c A b c A b c b Utilizando-e a eq (3 até (6 é então poível exprear-e o critério J e função de ( k ( k ( ( k x( k e u ( k : ( i J [ Gix( k + Hiu( k ( k ] ( i Q i[ Gix( k + Hiu( k ( k ] [ u( k ( k ] R[ u( k ( k ] + Neta igualdade aparece co exceção da eqüência de controle procurada oente variávei conhecida Pode-e ai calcular a eqüência u (k que iniiza o critério ( Igualando-e o vetor da derivada parciai J u ( k a zero obté-e a eguinte equação vetorial: n Hi QiHi + Ru k + 1 ( Hi QiGix( k H Q ( i i i ( k + R( k De onde e obté a eqüência de controle procurada: 1 u ( k Hi QiHi + R H Q ( i i i ( k + R( k Hi QiG i x( k (8 Co exceção do cao não adiívei Q i R exite a atriz invera Co Q i tabé H i Q i H i é poitiva definida i 1 n-1 e ai co R endo poitiva definida a oa a er invertida é poitiva definida Ua atriz poitiva definida é tabé regular Derivando-e a eq ( ai ua vez e relação a u (k obté-e: J Hi QiHi + R u ( k (9 Coo eta atriz é poitiva definida J(u (k poui u único ínio (aboluto dado pela eq 8 Para a aplicação do ervocontrolador e robótica erá coniderado que a dinâica de cada junta (eq (1 é de 3ª orde (o que contepla a dinâica do acionaento co ua e a do ecanio co dua variávei de etado A eqüência de controle (8 pode er interpretada coo ua pré-filtrage linear periódica (co período variante no tepo do vetor de referência

4 ' % ( k ( k e ( k co ua realientação de etado linear tabé variante no tepo Ito pode er vito ai claraente co a eguinte reforulação da eq (8 para u itea de 3ª orde: u ( k M ( k + M ( k + M ( k M x( k x (1 onde M M und M ão atrize de orde x e M x é x 3 Ecrevendo-e cada linha deta equação vetorial obté-e: u( k u ( k + 1 u( k + ν u ( k + 1 ν + ( k + 1 ( k + + ( k + ν ( k + 1 ν ν ( k ( k ( k + ν ( k + ( k + 1 ( k + ( k + ν ( k + x1 x xν x x 1( k x ( k x3( k Neta equação λi repreenta a i-éia linha da atriz M λ λ x A variávei de etado do itea fora aqui ecrita explicitaente coo x 1 x e x 3 Ai é aparente que o inal de controle u (k+! ie o inal no intante de tepo! dentro do horizonte de iniização kk+-1 é dependente apena do etado no início do horizonte de iniização x(k e de todo o valore da trajetória de referência ( k " ( k e " " ( k nete horizonte de iniização ( ( k " ( k e " " ( k O cálculo da eqüência de controle atravé da eq (1 não é conveniente A uperpoição do horizonte de iniização o chaado horizonte flutuante reduz o erro no ponto de tranição entre egento e te a vantage iportante e tero de controle de que perturbaçõe ão reconhecida ai cedo e pode ai er copenada já na próxia iniização A lei de controle para ua nova iniização a cada pao pode er obtida utilizando-e o prieiro valor da iniização obre pao: u ( k 1 # u ( k (11 Ete inal de controle correponde à utilização da prieira linha da igualdade vetorial (1: u ( k ( k + % $ ( k + % % $ $ ( k x( k x1 ou ai explicitaente: u ( k ( ν ( k + ν + ( ν & ( k + ν + ν 1 ν % % ( ν & & ( k + ν ( ν x ( k ν 1 x1 ν 1 33 Velocidade e Aceleração de Referência Geralente ao guiar-e anipuladore co enore onde oente a referência de poição etá diponível (é capturada a velocidade e a aceleração de referência que ão aqui neceária precia er calculada a partir de aotra da referência de poição Ua poibilidade é a utilização de coeficiente de polinôio regreore [5] Ua outra poibilidade é a utilização da aproxiação nuérica Ua aproxiação conveniente para a velocidade e a aceleração de referência é dada por [11] ( k 8( k 1 + 8( k + 1 ( k + ( k e 1 ' ' ( k ( k ( k ( k ( k ( k co u erro reidual de O{ 5 } e O{ 6 } repectivaente Eta equaçõe garante ua boa aproxiação quando (5 (6 ão pequena Erro aiore pode ocorrer oente e ponto e que a trajetória apreenta decontinuidade A diferenciação nuérica pode er incorporada ao filtro de entrada do ervocontrolador de onde reulta a eguinte fora copacta para a lei de controle: u ( k a ( k + ν ( ν x ( k + 3 ν ν 1 ν 1 x1 ν ν (1 U diagraa de bloco do Servocontrolador FMP (Folloing Model Predictive Controller pode er vito na Figura 1 Figura 1 Servocontrolador preditivo FMP co a incorporação da diferenciação nuérica

5 34 Siulação para ua trajetória típica A iulação do ervocontrolador FMP para ua trajetória típica é otrada na figura O inal de referência e a aída da planta praticaente e confunde na fig -a O pequeno erro reidual pode er vito na fig -d Coo eperado e ponto de decontinuidade da referência ocorre u erro u pouco aior a Perforance ratreaento preditivo b Referência & Sinal de controle preditivo c Perforance do regulador 4-1 -> t/[] -> t/[] 5-1 u -> t/[] d Erro de ratreaento c/ controle preditivo > t/[] A utilização da derivada de (t e (t no algorito FMP pode tabé er vita coo cao particular de filtro polinoiai diferenciadore Ua filtrage de (t não é poré previta e [9] Segundo [9] o filtro polinoial P(q -1 para (t é introduzido co o objetivo de etabilizar a alha de realientação Na aioria do exeplo lá abordado não é utilizado nenhu polinôio ou quando então u de prieira orde No preente artigo a utilização de ( e ( no critério ( iplica a incluão de u odelo gerador de trajetória pline de orde n que deve er eguido pelo itea coniderando aotra futura da trajetória de referência 4 RESULADOS EXPERIMENAIS Para a verificação experiental do reultado teórico foi utilizado u anipulador hidráulico [1] guiado por ua câera de vídeo CCD [5] [1] coo otrado equeaticaente na fig 3: Figura Siulação do ervocontrolador preditivo FMP A utilização apena do controlador não linear de junta para o anipulador robótico (co ua dinâica típica gera u nítido erro de ratreaento fig -c A fig -b otra que o ervocontrolador FMP produz na realidade u inal que antevê a dinâica da planta poibilitando ai a iniização do erro de trajetória Eta ignificativa redução do erro de trajetória ó é poível porque inforaçõe futura da trajetória (via enor ão utilizada pelo controlador FMP Controladore convencionai (eg PID ó utiliza inforaçõe preente e paada 35 Coparação do Controlador FMP co o UPC Para peritir ua avaliação ai objetiva o ervocontrolador FMP erá aqui coparado co o Unified Predictive Controller -UPC que repreenta já ua generalização de divero algorito preditivo [9] Para o deenvolviento do UPC é utilizado u critério que prevê filtro na fora de polinôio P (q -1 para o inal (t A neceidade dete filtro no projeto de u controlador preditivo pode facilente er verificada Se ete o projeto do controlador forneceria coo lei de controle a invera da função de tranferência da planta E eta é intável para itea dicreto a partir de terceira orde e a freqüência de aotrage uuai devido ao zero fora do círculo unitário da função de tranferência dicreta Figura 3 Manipulador hidráulico guiado por câera CCD Para a ipleentação do controle não linear de junta foi utilizado u proceador de inai DSP3C e u hot PC-486 O proceaento de iagen planejaento de trajetória e ervocontrole preditvo FMP foi ipleentado e u outro PC-486 co u DSP16A e u DSP3C 41 ete de Fora do Círculo Para a caracterização da precião de poicionaento e da repetibilidade e áquina ferraenta e anipuladore indutriai utiliza-e freqüenteente o ete de Fora do Círculo [13] Co ete tete o eixo ão ovientado de tal fora que acoplaento e efeito oriundo de atrito e particular para pequena velocidade pode er realtado A figura 4 apreenta a edida para o ete de Fora do Círculo para o robô hidráulico guiado por

6 câera CCD A velocidade de referência aqui olicitada foi de v ref 4 / a Poição/[]: (_ ( x-8 Figura 4 b Velocidade/[/]: (_ ( Manipulador guiado por enor ;ete de Fora do Círculo v ref 4 / 1 O repectivo ângulo e inai de erro pode er vito na figura 5-a a 5-d a Ângulo Junta1/[grau]: ( u1(-- b Erro Angular/[grau]: Junta1( Junta( t/[] c Ângulo Junta/[grau]: ( u(-- Figura 5 t/[] - Manipulador guiado por enor; d Erro Carteiano/[] 1 t/[] t/[] t/[] ete de Fora do Círculo Junta 1 Junta -- 5 CONCLUSÃO O ervocontrolador FMP repreenta pela incluão de u odelo gerador de trajetória e da conideração do intante futuro da trajetória de referência ua extenão do algorito preditivo convencionai Para robô guiado por enore onde a junta robótica co controle não linear ubjacente pode er coniderada coo itea de 3ª orde foi utilizado u odelo gerador de trajetória pline Se a trajetória capturada pelo enor for de fato do tipo pline teoricaente o erro de ratreaento erá nulo poi ete é o tipo de trajetória que robô controlado digitalente pode eguir idealente Para trajetória genérica que deve er coniderada e célula de anufatura robotizada a abordage apreentada repreenta ua iniização do erro de trajetória A ipleentação do ervocontrolador propoto a u anipulador hidráulico guiado por ua câera CCD deontrou a relevância prática do ervocontrolador FMP O erro de ratreaento dinâico que cotua er u fator liitante na qualidade do proceo de anufatura autoatizado co robô foi draticaete reduzido O erro reidual que e obervou na edida e laboratório deve-e principalente ao atrito obervado no cilindro hidráulico Ete é u apecto tecnológico dete tipo de acionaento que ipôe edida contrutiva para a ua redução 6 BIBLIOGRAFIA [1] Erhard N: Sobre a contrução de u anipulador hidráulico flexível e o eu controle utilizando étodo de linearização exata (e aleão ee de Doutorado Univerität Erlangen-Nürnberg 1995 [] Freund E: Decoupling and Pole Aignent in nonlinear Ste Electronic Letter 9 pp [3] Iidori A: Nonlinear Control Ste nd Edition Springer Verlag 1989 [4] Sartchea O; Neuann R: Controle da ai alta derivada da variável controlada (e aleão Meen Steuern Regeln (r-9 pp Berlin 1986 [5] Bauchpie A: Guiage preditiva por enore de anipuladore robótico (e aleão ee de Doutorado Univerität Erlangen-Nürnberg 1995 [6] Anderon B; Moore J: Optial Control-Linear Quadratic Method Prentice-Hall Canberra1989 [7] Wurthaler Ch: Modelo de proceo coo bae para conceito oderno e controle (e aleão ee de Livre-Docência Univerität Erlangen- Nürnberg 1994 [8] Hippe P; Wurthaler Ch: Controle no epaço de etado (e aleão Springer-Verlag Berlin 1985 [9] Soeterboek R: Predictive Control - A Unified Approach Prentiche Hall London 199 [1] Keer R: Baic Principle of Model Predictive Control European Control Conference Grenoble pp [11] Brontein I N; Seendjaje K A: Manual de Mateática (e aleão 5a Edição 1991 [1] Lebender J: Ipleentação do ratreaento de borda para u robô hidráulico co câera CCD (e aleão Projeto Final orientado pelo autor Univerität Erlangen-Nürnberg 1994 [13] Piechottka U; Gri W M; Berlin F; Becker N: Utilização de odelo de perturbação e controle (e aleão Parte 1 at 11/94 pp Parte at 1/94 pp AGRADECIMENOS Ao CNPq pelo apoio financeiro na fora de ua bola de doutorado no exterior À Univerität Erlangen-Nürnberg pela utilização da intalaçõe e e particular ao Prof Dr-Ing W Bär pela orientação