MODELOS DEA COM VARIÁVEIS LIMITADAS OU SOMA CONSTANTE

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1 verão iprea ISSN / verão online ISSN MODELOS DEA COM VARIÁVEIS LIMITADAS OU SOMA CONSTANTE Joé Virgílio Guede de Avellar * Intituto Tecnológico de Aeronáutica São Joé do Capo SP avellar@ita.br Arando Zeferino Milioni Intituto Tecnológico de Aeronáutica São Joé do Capo SP ilioni@ita.br Tania Nune Rabello Intituto Tecnológico de Aeronáutica São Joé do Capo SP tania@ita.br * Correponding author / autor para que a correpondência deve er encainhada Recebido e 07/2004; aceito e 02/2005 Received July 2004; accepted February 2005 Reuo Nete trabalho ão propoto doi odelo tipo DEA (Data Envelopent Analyi) e que u novo input (ou u novo output) deve er ditribuído de aneira uta para toda a unidade (DMU Deciion Making Unit) de ua corporação. Ua caracterítica intereante do odelo propoto é que a fora dea ditribuição é influenciada pelo valore do input á epregado e do output á gerado e cada DMU. O odelo fora contruído de acordo co o perfil geoétrico da fronteira CCR, podendo ter fora côncava ou convexa confore a natureza da variável que e quer ditribuir. Motrao que, ob ea hipótee de u forato geoétrico epecífico para a fronteira, torna-e iple a ditribuição do novo input (ou output) entre a vária DMU, poi cada ua dela receberá a fração do novo input (ou output) que a torne eficiente, forçando ua poição obre a fronteira pré-deterinada. Palavra-chave: análie envoltória de dado; oa contante de variávei; fronteira eficiente. Abtract In thi work we preent two DEA (Data Envelopent Analyi) odel in which a new input (or output) i to be fairly aigned to all unit (DMU Deciion Making Unit) of a corporation. An intereting characteritic of thoe propoed odel i that the way thi ditribution i influenced by both input and output ued in each DMU. The odel were built in accordance with the geoetric hape of CCR frontier and they can be convex or concave, depending on the nature of the variable we intend to hare. We how that, under thi auption, it becoe relatively eay the ditribution of a new input (or output) aong everal DMU, conidering that each DMU will receive the new input (or output) fraction in order to becoe efficient, forcing it poition on the pecific frontier. Keyword: data envelopent analyi; contant u of variable; efficient frontier. Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de

2 . Introdução A Análie Envoltória de Dado (DEA da igla e inglê, Data Envelopent Analyi) é ua ferraenta da etatítica não-paraétrica que avalia a eficiência de unidade toadora de decião (DMU, da igla e inglê Deciion Making Unit), coparando entidade que realiza tarefa iilare e e diferencia pela quantidade de recuro utilizado (input) e de ben produzido (output). DEA é ua ferraenta adequada tanto para avaliar a eficiência relativa da DMU quanto para o etabeleciento de eta para DMU coniderada ineficiente. A DMU ão coparada de acordo co o conceito de eficiência de Farrel (Farrel & Fieldhoue, 962), que conite na razão entre a oa ponderada do output y e a oa ponderada do input x de cada DMU. A variávei de decião ão o vetor u, que repreenta o peo relacionado ao output y, e o vetor v, que repreenta o peo relacionado ao input x. A prieira forulação DEA (Charne et al., 978), que ficou conhecida coo odelo CCR (iniciai do trê autore), upõe retorno de ecala contante, enquanto que a forulação denoinada BCC, ai recente (Banker et al., 984) upõe retorno de ecala variável. Enquanto o odelo cláico de DEA baeia-e e liberdade na utilização de input e na produção de output, há cao e que ea liberdade não exite (Goe et al., 200). Suponhao, por exeplo, u banco que pretende lançar u novo produto (output) no ercado e deea ditribuir para ua agência, da aneira ai uta poível, eta individuai que oa o valor contante etabelecido para toda a corporação. Alternativaente, uponhao u recuro diponível (input), coo u orçaento ou cuto fixo aociado a u certo núero total de aeronave, por exeplo, que ua força aérea pretende ditribuir para eu divero equadrõe. É ee o foco de atenção dete trabalho. E relação à liitação na produção de output, Soare de Mello et al. (200-b) e Lin et al. (2003) propuera odelo ilutrado co o cao do ogo olípico, onde o output edalha conquitada é repreentado por u índice que contitui ua variável liitada por ter ua oa contante para toda a DMU. Nete enfoque, a elhora da poição de qualquer copetidor iplica neceariaente a piora do deepenho de algun do eu adverário. O odelo de Lin et al. (2003) erá breveente revito na eção 2, a eguir. A pequia tabé é recente quando o problea etá voltado para a liitação ou oa contante do valore de input. O artigo ecrito por Cook & Kre (999) foi o prieiro a relacionar u problea de alocação de recuro (orçaento fixo, ou cuto fixo, vito coo input) co a etodologia DEA. A abordage de Cook e Kre é baeada na idéia da eficiência e antere contante. Sob ea hipótee, o autore conclue que no cao de u problea e que há apena u input e u output, o recuro deve er alocado a cada DMU na ea proporção do valor do input daquela DMU e relação à oa do input de toda a DMU. A óbvia liitação deta abordage é que a alocação e faz baeada apena na quantidade de input. Dea fora, DMU co a ea quantidade de input receberão a ea fração de recuro, independenteente de produzire quantidade diferente de output. Na ea linha de alocação eficiente de variávei, Wei et al. (2000) enfoca doi tipo diferente de aplicação do problea de otiização invero, utilizando DEA para etiação de input e output. No prieiro, chaado de problea de previão, e u conunto de unidade de toada de decião o input ão auentado até u valor qualquer, auindoe que a repectiva DMU anté a eficiência anterior. Dea fora, o que e quer aber é quanta unidade de output deve er produzida para tero a ea eficiência. No egundo tipo de problea, chaado de problea de alocação de recuro, o output precia er auentado a u nível previaente ecolhido e a eficiência da DMU e 36 Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de 2005

3 anté contante. Deta fora, deea-e aber quanto input deve er acrecentado a ea DMU de odo que e antenha a ea eficiência. Já Yan et al. (2002) utiliza o odelo DEA invero para proporcionar ao toadore de decião a poibilidade de incorporar ua preferência obre o input/output viando a alocação de recuro e análie de produção. Bealey (2003) foi outro autor que e preocupou e etudar DEA co oa contante de recuro ou cuto fixo ou deignação de alvo. O odelo de Bealey (2003) erá breveente revito na eção 2, a eguir. Nete trabalho propoo doi odelo tipo DEA baeado e variávei liitada ou de oa contante no quai a ditribuição de u valor fixo de input ou de output epecífico para toda a DMU pode er influenciada pelo valore de input e de output de cada DMU. O odelo fora contruído de acordo co a ecolha do lugar geoétrico do ponto que fora a fronteira CCR. Não afirao que noa ecolha de lugare geoétrico ea neceariaente a ideai, a garantio que ela repeita a propriedade de concavidade ou convexidade (confore o cao) dea fronteira etabelecida na literatura (Cooper et al., 2000). Motrao que a adoção de u forato epecífico da fronteira torna relativaente iple o problea de ditribuir de aneira uta, entre toda a DMU, u input ou u output que tenha ua eta global pré-etabelecida. A hipótee principal é a de que a ditribuição uta é coneguida utaente quando toda a DMU ão iultaneaente colocada na fronteira etabelecida, i.e., toda ela e torna eficiente. Auio ua certa failiaridade do leitor co a etodologia DEA. Iniciante nete aunto ão direcionado para Charne & Cooper (985) e Bouofiane et al. (99). O artigo etá organizado coo otrado a eguir. Na eção 2 apreentao algun do principai odelo de variávei liitada ou de oa contante exitente na literatura. Na eção 3 apreentao a noa forulaçõe e ua principai caracterítica. Na eção 4 apreentao algua coparaçõe de reultado da aplicação do noo odelo co odelo da literatura. Concluõe e propota futura ão apreentada na eção Revião Bibliográfica Baeado na idéia da oa do reultado contante que envolve a copetiçõe olípica etudada por Soare de Mello et al. (200-b), ou ea, o núero de edalha de ua copetição é finito, contante e pré-deterinado, Lin et al. (2003) ugerira u odelo e que a diinuição de output de DMU eficiente, e o coneqüente delocaento da fronteira de eficiência, iplica u auento da eficiência de ua DMU 0, não eficiente, endo que a quantidade de output dea DMU 0 anté-e contante. Seguindo ee enfoque, o autore criara o Modelo de Ganho de Soa Zero (GSZ), que egue a forulação cláica do odelo do envelope DEA-BCC co orientação a output repreentada a eguir: Max h a : R0 0 R0 0 λ x x h y λ y' λ = λ 0 () Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de

4 Coo o odelo repreentado é orientado a output, a nova eficiência da DMU 0 erá /h R0, endo y 0 e x 0 o repectivo valore de output e input para a DMU 0 e y o novo output da DMU retante coniderando-e a perda de output devido ao ganho da DMU 0. Nete odelo, o ganho da DMU 0 não e deve a u auento de output e relação à fronteira eficiente, e i à aior aproxiação da fronteira e relação ao ponto e quetão. Ou ea, a DMU 0 peranece a ea, endo que o output que pertence à fronteira ão reduzido de aneira a aproxiar ai a fronteira da DMU 0, diinuindo a ditância (chaada de alvo) neceária para que a DMU 0 torne-e eficiente. O autore elaborara dua etratégia para a redução do output. A prieira upõe ua igual redução para toda a DMU, o que pode ocaionar DMU co output negativo, o que não é deeável. Na egunda etratégia, a redução do output é proporcional ao nível inicial de output da DMU. Ee procediento evita que ua DMU pae a ter output negativo, poi que te eno output perde eno e ai uceivaente, coo otra a Figura, a eguir, que repreenta a nova fronteira gerada a partir deta etratégia. A linha uperior repreenta a fronteira do odelo cláico; á a linha inferior ilutra a nova fronteira, coniderando-e redução proporcional de output de toda a DMU, excetuando-e a DMU 0, que ganha a oa da perda para e tornar eficiente. Co ete odelo, o autore verificara que o valore da eficiência por ele calculada ão epre aiore e o alvo epre enore do que o encontrado no odelo DEA BCC cláico. Dea fora, epre vão exitir alvo, ou ea, o odelo nunca vai diinuir a fronteira de odo à DMU 0 tornar-e eficiente. Io por que o valore de λ utilizado na forulação () ão o eo do odelo cláico, tornando-e retriçõe para u auento ai ignificativo no índice de eficiência e ua coneqüente diinuição do valore do alvo. h o y o h royo =ALVO Figura Repreentação gráfica da redução proporcional de output. Ua retrição dete odelo é que toda a ua forulação etá baeada na fronteira BCC co apena u output, não endo poível aplicá-lo a problea co ai de u output. Bealey (2003) enfatizou a pouca quantidade de trabalho publicado e DEA voltado à alocação de recuro (tabé chaado por ele de cuto fixo, ou ainda, deignação de alvo). Ua prieira obervação intereante de Bealey é a de que quando o interee do decior etá voltado para a eficiência global da eprea, e não para a eficiência individuai de etore, há ua econoia coputacional uito grande na axiização iultânea da eficiência édia da DMU coo alternativa à axiização ua a ua, coo é feito no 38 Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de 2005

5 odelo DEA cláico. Bealey otra que o reultado é o eo na dua fora de análie. Ee novo enfoque de DEA é otrado na forulação a eguir, onde: r = nº de output; i = nº de input; = nº de DMU avaliada; y r = valor do output r e relação à DMU ; x i = valor do input i e relação à DMU ; u r = peo do output r e relação à DMU ; v i = peo do input i e relação à DMU ; e = Eficiência Relativa da DMU co o peo da DMU ; e q = Eficiência Relativa da DMU q co o peo da DMU ; ε = contante de valor uito pequeno. Max n = e / n a eq = uryrq vixiq r= i= q =,...,n; =,...,n (2) i =,..., ; r =,..., 0 e ; 0 e ; u ε; v ε q r i A contribuição ai relevante de Bealey (2003), entretanto, no contexto do preente trabalho, foi a criação de u odelo tipo DEA de alocação de cuto fixo que ofre influência tanto do input quanto do output, uprindo a deficiência do odelo de Cook & Kre (999). No odelo Alocação de Cuto Fixo (ACF) de Bealey, há ua quantidade fixa de cuto repreentada por F, que deve er ditribuída entre a q DMU, endo que a parte do cuto relativo a cada DMU é repreentada por f q. E ua concepção, Bealey coniderou que, para ua ditribuição de cuto er uta, eria neceário haver u conunto único de peo, repreentado por α e β, repectivaente para output e input, que faria co que toda a DMU atingie eficiência. A forulação inicial é otrada a eguir: Onde: F = quantidade total de cuto fixo; f q = cuto de cada DMU q; α r = peo único para o output r; β i = peo único para o input i. r r q i i r= i= n fq = F (3) q= q r α y (f + β x ) = f 0; q =,..., n α, β 0; r =,...,; i =,..., i Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de

6 Coo na forulação há n+ retriçõe e n++ incógnita, foi neceário u artifício para aegurar a olução do problea. A olução encontrada foi a de inicialente iniizar, u a u, todo o f q, encontrando-e ai o valor ínio dito f qin para cada DMU. E eguida adotou-e o procediento invero, ou ea, axiização do f q a fi de e obter, u a u, o f qax. E eguida iniizou-e p ax p in (interpretado a eguir) confore o odelo repreentado abaixo: Min p p a : ax in ( ) ( ) ( ) ( ) p f f f f ax q qin qax qin p f f f f in q qin qax qin p,p 0 ax in i i q r r i= r= n q= q i α x (f + β y ) = f q = F f 0; q =,..., n r α e β 0; i =,..., ; r =,..., Dea fora, e o valor da função obetivo na olução dee problea de prograação linear for igual a zero, tereo p ax = p in, que iplica (f q -f qin )/(f qax -f qin ) = (f -f in )/(f ax -f in ), para todo q e. O cao p ax p in, ignifica não er poível que aba a condiçõe do cao anterior aconteça de fora iultânea, endo neceário que e abra ão de ua dela. (4) 3. O Modelo Propoto O odelo que agora apreentao, alé de ditribuíre output e input liitado (co oa contante) de fora eficiente, conidera toda a variávei (output e input) atuante no problea. 3. Hipótee A literatura (Cooper et al., 2000) contata que no cao de tero u problea co input e apena u output, a fronteira DEA-CCR te forato convexo. Coerenteente co ea propriedade da fronteira, utilizao coo hipótee a exitência de u lugar geoétrico e forato hiperbólico, aegurando ea convexidade. A partir dee preupoto, teo a intenção de averiguar quai eria a coneqüência da adoção dea repreentação geoétrica e a preocupação de provar que a ea ea a ótia. Analogaente, para a ditribuição de input propoo u odelo co a fronteira DEA e forato eférico, aegurando a concavidade da fronteira contatada para cao e que participa do problea output e apena u input (Cooper et al., 2000). Ante de enunciaro o odelo propriaente dito, cabe algua conideraçõe acerca da hipótee que norteara o etudo: O forato geoétrico da fronteira foi baeado na 40 Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de 2005

7 repreentaçõe CCR tridienionai para doi input e u output (Soare de Mello et al., 200-a) e (Cooper et al., 2000) e para doi output e u input (Cooper et al., 2000). É abido que e ua unidade é eficiente quando epregao u odelo CCR tabé o é quando epregao u odelo BCC (Charne et al., 994). Apear dio, a utilização do odelo CCR propoto e cao e que u odelo BCC talvez foe ai recoendável pode penalizar a DMU localizada na extreidade da fronteira, co o etabeleciento de eta uperiore à eta que eria razoávei para ea ea DMU. Ai, pelo fato do forato da fronteira propota nete trabalho repreentare u odelo CCR, a DMU analiada deve pouir valore de input ou output co orden de grandeza eelhante. Cao contrário, a ditribuição da variávei poderá acarretar ua ditorção inerente ao cao e que talvez foe ai recoendável a utilização de u odelo co retorno de ecala variável. Finalente, não coniderao a poibilidade de retrição no peo (Allen et al., 997), endo peritido para cada DMU ecolher, e copleta liberdade, o peo para cada input ou output. 3.2 O Modelo de Fronteira Hiperbólica (MFH) A fronteira de eficiência CCR nete odelo é, por hipótee, de forato hiperbólico, poi etao relacionando input co u output contante M T a er ditribuído a toda a DMU. Nee cao, a fronteira é abidaente convexa e a hipérbole repreenta ea convexidade. No MFH procurao, dentre ua faília de hipérbole que repreenta diferente poívei fronteira de eficiência, aquela que irá atifazer a condição de poicionar toda a DMU obre a ea hipérbole, aegurando, iultaneaente, que a oa do valore de M ea igual à eta total M T. A Figura 2 ilutra o conceito para o cao e que há apena doi input. Nela etão repreentada a radiai ou reta cainho obre a quai a DMU (que ão repreentada pelo ponto) e ovienta confore varie o valore do output M a er ditribuído a cada DMU. Na figura, o input reai de cada DMU etão ecalonado, i.e., dividido pelo aior valor de input exitente e cada u do eixo. A razão dee ecalonaento erá dicutida adiante. O que bucao ão o valore de output M que fore u lugar geoétrico correpondente a ua hipérbole e que oado reulte na eta total M T, préetabelecida, que e deea ditribuir. O dado da Figura 2, de caráter eraente ilutrativo, fora retirado de Kozyreff (2002).,0 INPUT 2 ESCALONADO 0,8 0,6 0,4 RADIAIS (RETAS CAMINHO) 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8,0 INPUT ESCALONADO Figura 2 Repreentação da radiai no MFH. Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de

8 Coo vereo na forulaçõe a eguir, alé de alocar para a DMU u output total baeado no input exitente, o MFH tabé pode levar e conta a influência de outro output eventualente gerado e cada DMU. O princípio é o eo, i.e., bucao, dentre ua faília de hipérbole, aquela que irá atifazer a condição de poicionar toda a DMU obre a fronteira de eficiência, de aneira que a oa da M ea igual à eta total M T. Iniciao a forulação coniderando o cao e que cada DMU te apena doi input, output e há u novo output a er ditribuído entre ela cua oa é igual a M T. São definida a eguinte variávei: x é o valor do input da DMU ; x 2 é o valor do input 2 da DMU ; a é o valor áxio do input ; a 2 é o valor áxio do input 2; M T é a eta total para o grupo de DMU; M é o valor de output de cada DMU, a er calculado; y k é o valor do output k da DMU,,2,...,; b k é o aior valor de cada output k. O denoinador da coordenada de cada eixo terá o valor da eta M ai o oatório de todo o output ecalonado relativo à DMU. O ecalonaento aegura a adienionalização e perite que haa u critério de proporção quando lidao co variávei de diferente dienõe. Coo vito, no MFH apena u output é ditribuído (M ), endo que o deai output ão dado e influencia na ditribuição dete. Para doi input, teo: γ ' = yk a (M + ) bk γ 2' = + x. é o valor da coordenada do eixo (abcia) da DMU ; x 2. é o valor da coordenada do eixo 2 (ordenada) da DMU ; yk a2 (M ) bk A hipérbole caracterizada pela contante C, centrada no ponto (0,0), á que zero é coniderado o valor ínio de input/output a er repreentado, conterá todo o ponto γ i (i=,2) co a condição de que: γ γ = = = / 2 x x2 x.x2 yk '. 2 '.. C M. /2 yk a y k a 2 C a.a2 (M ) (M ) bk + + bk bk n /2 n (x.x 2) n = yk T = T = /2 /2 = C (a.a 2) = bk M M M. (5) (6) 42 Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de 2005

9 C n k /2 (M T + ).(a.a 2) = bk = /2 n /2 (x.x 2) = y (7) De (5) e (7), teo que: M = y (M ).(x.x ) n k /2 T + 2 = bk yk n /2 bk (x.x 2) = (8) A repreentação da fronteira CCR do odelo MFH para doi input e ( + ) output etá repreentada na Figura 3. O ( + ) output equivale ao output que influencia na ditribuição de M T ai a eta M, incógnita do problea. O dado da figura, de caráter eraente ilutrativo, fora retirado de Kozyreff (2002). INPUT 2 ESC / (META + SOMA DE OUTPUTS ESC) 0,050 FRONTEIRA CCR - 2 INPUTS E (+) OUTPUTS 0,045 0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,05 0,00 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 INPUT ESC / (META + SOMA DE OUTPUTS ESC) Figura 3 Repreentação gráfica da fronteira hiperbólica do MFH. Avellar (2004) generalizou o problea de ditribuição de eta M e preença de output e input, obtendo: M n / yk (M T + ). xi k b = = k i= = n / = i= x i y b k k, =,..., n (9) Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de

10 3.3 O Modelo de Fronteira Eférica (MFE) Da ea fora que deenvolveo o odelo hiperbólico para ditribuição de ua eta de output, podeo deenvolver, utilizando o étodo invero, u odelo para ditribuição de input. Nee cao o forato da fronteira CCR é abidaente côncavo (Cooper et al., 2000). No MFE procurao, dentre ua faília de egento de circunferência centrada na orige, aquela que irá atifazer a condição de poicionar todo o cuto ou input f de aneira que ua oa ea igual ao cuto total F. No MFE o denoinador da coordenada de cada eixo terá o valor do cuto f ai o oatório de todo o input ecalonado relativo àquela DMU. Iniciao a forulação coniderando o cao e que cada DMU te apena doi output, input e há u novo input a er ditribuído entre ela cua oa é igual a F. Para encontraro o valor do raio R que caracteriza ea fronteira, definio a eguinte variávei: y é o valor do output da DMU ; y 2 é o valor do output 2 da DMU ; b é o valor áxio do output ; b 2 é o valor áxio do output 2; x k é o valor do input k na unidade,,2,...,; a k é o aior valor de cada input k; F é o cuto fixo total para o grupo de DMU; f é o valor do cuto fixo de cada DMU a er calculado. Teo que: ϕ ' = f + x a k k. y b é o valor da coordenada do eixo (abcia) da DMU ; 2 ϕ 2' =. xk b2 f + a k y é o valor da coordenada do eixo 2 (ordenada) da DMU ; A circunferência de raio R conterá todo o ponto ϕ i co a condição de que: R = ( ϕ ') + ( ϕ ') y y2 y y2 xk k b b2 R b b2 ak R =. + f = + x (f + ) a k F= = + n n 2 2 y y2 xk f = = R b b2 ak (0) () 44 Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de 2005

11 OUTPUT 2 ESC / (CUSTO + SOMA INPUTS ESC) 0,07 FRONTEIRA CCR PARA 2 OUTPUTS E (+) INPUTS 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 OUTPUT ESC / (CUSTO + SOMA INPUTS ESC) Figura 4 Ilutração da fronteira eférica do MFE. A repreentação da fronteira CCR do odelo para doi output e ( + ) input etá repreentada na Figura 4. Deveo obervar que o ( + ) input equivale ao input que influencia na ditribuição de F ai o cuto f, incógnita do problea. O dado repreentado na figura a eguir, de caráter eraente ilutrativo, fora retirado de Cooper et al. (2000). A generalização do odelo para output e input para a ditribuição de f entre a n DMU, obtida por Avellar (2004), é a eguinte: R n xk (F + ) = a k = n 2 yr = r= br ; n x k yr (F + ). a b f = = k r= r k n 2 y k r b = r= r 2 x a (2) 4. Reultado Envolvendo Modelo co Soa Contante de Variávei 4. Ua ilutração de alocação de u output A eficiência e o reultado apreentado a eguir fora calculada pelo oftware LINDO/PC releae 6., de 09/0/2000 e EMS verão.3, de 5/08/2000. Coniderao u problea de ditribuição de output co oa contante, levando e conta a exitência de doi input. Utilizando prieiraente o Modelo DEA Cláico para, e eguida, coparar o reultado obtido co o reultado do odelo GSZ e MFH. Coo ireo anter o input contante, variando o output e buca de ua aior eficiência, utilizareo a forulação DEA orientada a output, utilizando-e forulaçõe BCC para o odelo GSZ e CCR para o odelo MFH. O dado nuérico a ere iulado fora retirado de (Goe et al., 200) e etão apreentado na Tabela. Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de

12 Tabela Dado para coparação entre o odelo GSZ e MFH. DMU Input Input 2 Output Eficiência DEA Cláico A 63,7 039,0 738,0,0% B 8,3 362,0 4244,6 00,0% C 27,8 7783,0 7405,4 00,0% D 47,7 63, ,0% E 9,9 4,0 07,6 4,8% F 0,3 5,0 69,2 00,0% G, 22,0 2237,8 00,0% H 0,3 4,4 53,8 00,0% SOMA DOS OUTPUTS 2600,4 Na Tabela 2 otrao o reultado de eficiência obtida co o uo do odelo GSZ e MFH. O valore do output GSZ da DMU A e E ão antido contante e relação ao output originai do problea poré, coo pelo étodo GSZ a fronteira recua (Goe et al., 200), a perda do output da DMU B,C,D,F e G co ee recuo é copenada co a oa do valore 442,4 e 20,0 ao output da DMU A e E, repectivaente, coo e vê na Tabela 2. Analiando o dado da ea tabela obervao que o odelo MFH, que poiciona a DMU e ua fronteira de forato forçoaente hiperbólico, garante eficiência áxia para toda a DMU, ao contrário do odelo GSZ e DEA Cláico (Tabela ). Io acontece eo utilizando-e a forulação CCR, lebrando que ua vez que ua unidade é eficiente no odelo CCR, obrigatoriaente ela o erá no odelo BCC (Cooper et al., 2000). Há que e coniderar, todavia, que o dado de input dete problea apreenta ua variação uito grande, poivelente aconelhando a utilização de u odelo BCC, e não CCR, para ee conunto epecífico de ponto. DMU Tabela 2 Reultado da coparação entre o odelo GSZ e MFH. Output Original Output GSZ Eficiência BCC GSZ Output MFH Eficiência CCR MFH A 738,0 (738,0+442,4) 4,0% 3858,2 00,0% B 4244,6 404,4 00,0% 76,4 00,0% C 7405,4 735,2 00,0% 3606,8 00,0% D ,8 00,0% 2856,0 00,0% E 07,6 (07,6+20,0) 5,3% 349,5 00,0% F 69,2 63,8 00,0%,5 00,0% G 2237,8 282,4 00,0% 46,2 00,0% H 53,8 53,8 00,0% 0,7 00,0% 46 Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de 2005

13 O gráfico da Figura 5, a eguir, ilutra a ditribuição do ponto pelo odelo MFH, que utiliza por hipótee o lugar geoétrico de forato hiperbólico. MODELO MFH INPUT 2 ESC / OUTPUT 0, , , , , , , , ,000 0,0002 0,0003 INPUT ESC / OUTPUT Figura 5 Repreentação da fronteira hiperbólica do odelo MFH. 4.2 Ua ilutração de alocação de u input Já no cao de u problea de alocação de input, que chaareo de cuto, no qual ão levado e conta tanto output quanto input na ditribuição, fizeo ua iulação coparando o odelo MFE, ACF e o odelo de Cook & Kre (999). Deveo obervar que o odelo MFE upõe coo hipótee, a exeplo do odelo hiperbólico, que a aa de dado tenha orden de grandeza aproxiada a fi de que a etodologia DEA-CCR (que upõe retorno de ecala contante) ea corretaente utilizada. O dado nuérico a ere iulado fora retirado de Bealey (2003) e etão ilutrado na Tabela 3. Pela caracterítica da aa de dado dea iulação, obervao que a utilização de u odelo DEA-CCR nee cao é adequada. Obervando na Tabela 3 o dado referente ao pare de DMU 9 e e 0 e 2, podeo notar que o eo e diferencia oente e relação ao output, endo eu input exataente o eo. Coo coentao anteriorente, tanto o MFE quanto o ACF de Bealey (2003) ão enívei a eta diferença. Logo, é de e eperar que o cuto alocado para ea DMU ea influenciado pelo valore ditinto de output. Já o odelo propoto por Cook & Kre (999) não reponde da ea aneira, poi ditribui cuto influenciado oente pelo input envolvido. Dea fora, para Cook & Kre (999), a ditribuição é idêntica, tanto para a DMU 9 e, quanto para 0 e 2. O reultado obtido para a doze DMU avaliada, utilizando-e o odelo MFE, ACF de Bealey (2003) e o propoto por Cook & Kre (999), etão repreentado na Tabela 4. Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de

14 Tabela 3 Dado para coparação entre o odelo de alocação de cuto. DMU OUTPUT OUTPUT 2 INPUT INPUT 2 INPUT Tabela 4 Reultado da coparação entre o odelo de alocação de cuto. DADOS OBTIDOS MFE ACF Bealey (2003) Cook e Kre (999) f 7,79 6,78 4,52 f 2 7,84 7,2 6,74 f 3 7,62 6,83 9,32 f 4 8,02 8,47 5,60 f 5 7,35 7,08 5,79 f 6 0,46 0,06 8,5 f 7 6,45 5,09 8,86 f 8 8,26 7,74 6,26 f 9 0,78 5, 7,3 f 0 9,8 0,08 0,08 f 2,69,58 7,3 f 2 2,93 3,97 0,08 TOTAL 00,0 00,0 00,0 Analiando agora apena o odelo MFE e ACF, para ua ditribuição de cuto co atribuição de peo única para o input e output, podeo reparar na Tabela 4 que o valore obtido pelo doi odelo etão eelhante, apear da forulação utilizada no odelo er be ditinta. U fato a ai a er obervado é a ditribuição única de peo obtida pelo doi odelo. Coo enfatizado por Bealey (2003), para ua ditribuição de cuto er uta, egundo o autor, eria neceário haver u conunto único de peo (repreentado por α e β, repectivaente para output e input) que faria co que toda a DMU atingie eficiência (ou 00%). 48 Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de 2005

15 Tabela 5 Coparação da ditribuição do peo no odelo ACF e MFE. Peo ACF MFE α 0, , α 2 0, , β 0, ,00755 β 2 0,5608 0,05385 β 3 0, , O que ocorre é que na ditribuição de peo otrada na Tabela 5 o peo β, referente ao output, te valor zero no odelo ACF, ou ea, o output não te influência na ditribuição de cuto. Alé da inconveniência óbvia dea alocação, poi io iplica a deconideração dea variável, io contraria a arguentação inicial que utifica a adoção de u peo único para toda a DMU poi, a partir do oento e que ua variável é excluída, a ditribuição paa a não er ai uta. Já o odelo MFE otrou aior coerência co a idéia de adoção de u peo único, poi todo o α e β apreenta valore diferente de zero, coo era de e eperar, dada a natureza do odelo. 5. Conideraçõe Finai Ete trabalho propô a utilização de odelo CCR de oa contante para a ditribuição de input e output de odo a tornar a DMU e quetão DEA-eficiente. O odelo propoto tivera ua forulação baeada no perfil geoétrico da fronteira DEA-CCR exitente na literatura, podendo er de forato hiperbólico ou eférico, dependendo da natureza da variávei que e deea ditribuir. Fora realizada coparaçõe co odelo de oa contante á exitente na literatura, chegando-e à concluão que o odelo aqui deenvolvido ão conitente e aplicado a DMU co orden de grandeza de input/output eelhante. E contra-partida, o eo ão liitado quando utilizado e problea no quai o uo de ua forulação co caracterítica de retorno de ecala variável é ai adequada, poi nee cao ocorre u uper(ub)dienionaento do output (input) da unidade extrea, endo que uita veze ee valore pode etar fora da realidade da DMU envolvida. Quando da forulação do doi odelo não foi coniderada a poibilidade de retrição no peo, endo peritido para cada DMU ecolher, e copleta liberdade, o peo para cada input/output, eguindo o forato original de DEA. Ai, trabalho futuro pode er deenvolvido focalizando ua ditribuição de input ou output co oa contante e co retriçõe de peo ativa. Pequia tabé erão neceária co o obetivo de e criar odelo BCC, que odele DMU co caracterítica de retorno de ecala variável, uprindo a liitaçõe do odelo até aqui deenvolvido. Cabe realtar ainda, que nete trabalho fora preupoto, coo hipótee, lugare geoétrico á conhecido, na tentativa de iulação de fronteira de forato côncavo e convexo á exitente na literatura. Pequia pode er realizada no entido de e etudar a propriedade dea fora funcionai ai adequada à contatação teórica exitente. Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de

16 Referência Bibliográfica () Allen, R.; Athanaopoulo, A.; Dyon, R.G. & Thanaouli, E. (997). Weight retriction and value udgeent in Data Envelopent Analyi. Annal of Operation Reearch, 73, (2) Avellar, J.V.G. (2004). Modelo DEA co oa contante de input/output. Tee de Metrado, Intituto Teconógico de Aeronáutica, São Joé do Capo, SP. (3) Banker, R.D.; Charne, A. & Cooper, W.W. (984). Soe Model for Etiating Technical and Scale Inefficiencie in Data Envelopent Analyi. Manageent Science, 30, (4) Bealey, J.E. (2003). Allocating fixed cot and reource via data envelopent analyi. European Journal of Operational Reearch, 47, (5) Bouofiane, A.; Dyon, R.G. & Thanaouli, E. (99). Applied data envelopent analyi. European Journal of Operational Reearch, 5, -5. (6) Charne, A.; Cooper, W.W. & Rhode, E. (978). Meauring the efficiency of deciion aking unit. European Journal of Operational Reearch, 2, (7) Charne, A. & Cooper, W.W. (985). Preface to topic in data envelopent analyi. Annal of Operation Reearch, 2, (8) Cook, W.D. & Kre, M. (999). Characterizing an equitable allocation of hared cot: A DEA approach. European Journal of Operational Reearch, 9, (9) Cooper, W.W.; Seiford, L.M. & Tone, K. (2000). Data Envelopent Analyi: A coprehenive Text with Model, Application, Reference and DEA Solver Software. Kluwer Acadeic Publiher, Boton. (0) Farrel, M.J. & Fieldhoue, M. (962). Etiating efficient production function under increaing return to cale. Journal of the Royal Statitical Society, Serie A, () Goe, E.G.; Soare de Mello, J.C.C.B. & Lin, M.P.E. (200). Modelo DEA co oa de output contante. XXXIII Sipóio Braileiro de Pequia Operacional, Capo do Jordão, SP. (2) Kozyreff, E. (2002). U étodo para etiativa de eta DEA-eficiente. Trabalho de Graduação, Intituto Tecnológico de Aeronáutica, São Joé do Capo, SP. (3) Lin, M.P.E.; Goe, E.G.; Soare de Mello, J.C.C.B. & Soare de Mello, A.J.R. (2003). Olypic ranking baed on a zero u gain DEA odel. European Journal of Operational Reearch, 48, (4) Soare de Mello, J.C.B.C.; Lin, M.P.E. & Goe, E.G. (200-a). Etiativa de plano tangente à fronteira DEA e DMU extreo-eficiente. Apreentado no XXXIII Sipóio Braileiro de Pequia Operacional, Capo do Jordão, SP. (5) Soare de Mello, J.C.C.B.; Goe, E.G.; Lin, M.P.E. & Soare de Mello, A.J.R. (200-b). Uo da Pequia Operacional e eporte: o cao da Olipíada, Boleti da SOBRAPO Sociedade Braileira de Pequia Operacional, Maio, 9, 5-6. (6) Wei, Q.; Zhang, J. & Zhang, X. (2000). An invere DEA odel for input/output etiate. European Journal of Operational Reearch, 2, (7) Yan, H.; Wei, Q. & Hao, G. (2002). DEA odel for reource reallocation and production input/output etiation. European Journal of Operational Reearch, 36, Pequia Operacional, v.25, n., p.35-50, Janeiro a Abril de 2005