Concreto Protendido. Perdas de Protensão. Gustavo de Souza Veríssimo Professor Assistente M. Sc. Eng. de Estruturas, UFMG/1996

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Conreto Protendido Perdas de Protensão Gustavo de Souza Veríssimo Professor Assistente M. S. Eng. de Estruturas, UFMG/1996 Kléos M Lenz César Jr Professor Assistente M. S. Eng. Civil, UFF/1995 4a. Edição: julho/1998

2 CONTEÚDO 1. PERDAS DE PROTENSÃO 1.1 INTRODUÇÃO PERDAS INSTANTÂNEAS Perdas por deformação imediata do onreto Caso de pré-tensão da armadura Perdas por atrito nos abos Perda por atrito em urva Perda por atrito parasita Perdas por aomodação da anoragem PERDAS PROGRESSIVAS Efeito da retração e da fluênia do onreto Perdas devido à retração Idade fitíia do onreto Espessura fitíia da peça Perdas devido à fluênia do onreto Perdas por relaxação do aço PROGRAMA PARA O CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE RETRAÇÃO E FLUÊNCIA DO CONCRETO 2.1 COMENTÁRIOS LISTAGENS FLUXOGRAMAS Entrada de dados Fluxograma para o álulo da idade fitíia do onreto Fluxograma para o álulo da retração do onreto Fluxograma para o álulo do oefiiente de fluênia do onreto... 34

3 APRESENTAÇÃO O objetivo primeiro desta publiação é dar suporte bibliográfio à disiplina CIV Conreto Protendido, do Curso de Engenharia Civil da UFV, omplementando o esopo abordado nas apostilas Conreto Protendido - Fundamentos Básios e Conreto Protendido - Estados Limites. A estimativa das perdas de protensão é de fundamental importânia para o projeto e dimensionamento eonômio de estruturas protendidas. Neste trabalho, o estudo das perdas é abordado de maneira didátia, visando demonstrar o efeito isolado de diversos fenômenos físios e químios que afetam a protensão nas estruturas de onreto. A formulação apresentada segue as prerições da norma brasileira para projeto de estruturas de onreto protendido, a NBR 7197 (ABNT, 1989). Prouramos oleionar e avaliar, dentre a literatura existente, as proposições mais interessantes e onsistentes, e disorrer sobre o tema de uma forma adequada à evolução da disiplina. Dessa forma intenionamos dar uma boa visão do omportamento do Conreto Protendido, seus meanismos de resistênia, bem omo propiiar ao aluno o domínio dos métodos de verifiação das estruturas. Agradeemos anteipadamente quaisquer rítias, sugestões e omentários dos leitores, para que a partir deles possamos melhorar sempre este trabalho, no sentido de atender ada vez melhor aos alunos. Gustavo de Souza Veríssimo Julho de 1997

4 Capítulo 1 PERDAS DE PROTENSÃO 1.1 INTRODUÇÃO A protensão introduz na peça uma força iniial P o que está diretamente relaionada om o alongamento oorrido na armadura ativa. O aionamento dos maaos, a liberação dos abos e a transferênia da força de protensão, entre outros fatores, originam uma série de efeitos que onduzem a uma diminuição da força de protensão. Dessa forma, tem-se as hamadas perdas de protensão. Durante o álulo de uma peça protendida, pode-se estimar as perdas de protensão. De posse dessa estimativa das perdas é possível determinar uma sobretensão que deve ser apliada à peça, tal que, após as perdas, a força de protensão efetivamente atuante seja a força alulada, sufiiente para neutralizar, em parte ou no todo, os esforços de tração provoados pelas argas de utilização. Dentre os diversos fatores que influem na força de protensão iniialmente apliada, alguns são responsáveis por perdas de protensão imediatas e outros por perdas progressivas que se desenvolvem ao longo da vida útil da estrutura. Sob ondições normais, as perdas tendem a se estabilizar ao abo de um período de 2 a 3 anos. A partir desse período as perdas são onsideradas desprezíveis. Os fatores que provoam perdas instantâneas, isto é, que oorrem durante a operação de protensão e imediatamente após a anoragem no abo são: deformação imediata (ou elástia) do onreto; atrito do abo om a bainha; aomodação da anoragem. Os fatores que provoam perdas progressivas, isto é, os que oorrem ao longo do tempo, após o término da operação de protensão, om o abo já anorado no onreto são: retração do onreto; fluênia do onreto; relaxação do aço de protensão. A experiênia adquirida om a produção de peças protendidas geralmente onduz a estimativas muito boas das perdas de protensão. Todavia, na ausênia de informações experimentais onfiáveis, pode-se utilizar alguns proessos aproximados para estimar as perdas. Nos próximos tópios são forneidas algumas reomendações para estimativas das perdas. Ressalta-se que os proedimentos para estimativa das perdas de protensão apresentados neste trabalho são genérios e aproximados. Na prátia, qualquer estrutura

5 Conreto Protendido protendida deve ser uidadosamente analisada, a fim de se determinar se as reomendações sugeridas aqui são válidas para o aso em questão. Segundo Hurst (1998), raramente se justifia a determinação das perdas om grande auráia. Uma preisão de ±10 % é sufiiente para a maioria das apliações. A resistênia última de uma peça de onreto protendido é pouo afetada pela força de protensão iniial. Há que se onsiderar também que a probabilidade de o arregamento de projeto oorrer om seu valor total é pequena, além dos oefiientes de segurança embutidos no proedimento de dimensionamento. Esses fatores indiam laramente que uma peça de onreto protendido é apaz de tolerar pequenas variações da força de protensão. 1.2 PERDAS INSTANTÂNEAS Perdas por deformação imediata do onreto Ao reeber a ação da força de protensão, a peça de onreto sofre uma deformação elástia imediata, enurtando-se. Conomitantemente oorre um enurtamento da armadura de protensão. A este enurtamento da armadura protendida orresponde um alívio de tensão nos abos, oorrendo uma perda de protensão. As perdas por deformação imediata do onreto são pequenas, às vezes desprezadas no álulo. Uma desrição de proessos para avaliar essas perdas é apresentada nos tópios subsequentes. σ p = E p ε p omo o módulo de deformação longitudinal do aço é onstante, para uma diminuição do alongamento tem-se uma diminuição da tensão de protensão Caso de pré-tensão da armadura No aso de protensão om aderênia iniial, quando a armadura é liberada dos maiços de anoragem, após a onretagem, a força de protensão é transferida para o onreto que se deforma (FIGURAS 1.1 e 1.3). abeeira da pista L forma da peça força de protensão P o P o anoragem pista de protensão abo de protensão L = omprimento original da peça e da armadura ativa aderida ao onreto FIGURA Peça pré-moldada de onreto protendida, antes da liberação dos abos traionados. 2

6 Conreto Protendido FIGURA Plaa de anoragem dos abos na abeeira de uma pista de protensão (Hurst, 1998). P o ' P o ' L L' L FIGURA Peça pré-moldada de onreto protendida, após a liberação dos abos protendidos A força existente P será absorvida pela seção de onreto e pela seção da armadura homogeneizadas Caso de protensão entrada na seção de onreto Admitindo a hipótese de que a armadura não esorrega em relação ao onreto, tem-se que a deformação do onreto é igual à do aço: Desenvolvendo a eq. (1-1) hegamos a ε = ε p (1-1) σ σ p = (1-2) E E p 3

7 Conreto Protendido A perda de protensão é portanto E p σ p = σ = α e σ (1-3) E onde α e é a relação entre os módulos de elastiidade do aço e do onreto. Após as perdas imediatas, a força resistente equilibrará a força apliada, donde podemos esrever que: P o - P o = σ (A - A p ) (1-4) temos porém que P o = σ p. A p, portanto: P o = σ (A - A p ) + σ p A p = σ (A - A p ) + α e σ A p (1-5) finalmente: P o = σ (A - A p + α e A p ) = σ A h (1-6) onde A h é a área da seção homogeneizada: A h = A + (α e - 1) A p (1-7) A parela α e.a p orresponde à deformação no aço de protensão, que implia na diminuição da força P. Em outras palavras, é a forma através da qual o derésimo da força P é onsiderado. Ignorar a parela α e.a p equivale a admitir que a força P, ausadora do enurtamento da peça, é onstante durante todo o proesso de deformação elástia imediata do onreto. E na realidade não é. À medida que o onreto se deforma, devido ao efeito da força de protensão, oorre o enurtamento onomitante do abo de protensão e onsequente diminuição da força P. Como os dois materiais, aço e onreto, possuem módulos de elastiidade diferentes, transforma-se a área de aço numa área fitíia de onreto equivalente (A h ), denominada área homogeneizada. A tensão no onreto devido à protensão é dada por Po Po σ = = (1-8) Ah A + ( α e 1) Ap A perda de protensão será, portanto: α P α σ P A o p (1-9) A o σ p = α σ = = Ah h 4

8 Conreto Protendido Aproximadamente, pode-se desprezar a influênia da armadura no álulo da área de onreto, fazendo A h = A. No álulo de onreto armado essa simplifiação é geralmente utilizada porque a área de aço é muito pequena em relação à área de onreto. Quando a área de aço numa seção omposta por aço e onreto é signifiativa, a onsideração da área da seção homogeneizada onduz a resultados mais preisos. É o que se verifia nas seções mistas de estruturas metálias e em muitas situações para peças de onreto protendido Caso de protensão exêntria na seção de onreto No aso de protensão entrada, a peça trabalha à ompressão simples de forma que a tensão num ponto genério da seção é dada por: σ = P o A (1-10) Com protensão exêntria, tem-se um aso de flexo-ompressão, ou seja, além do esforço normal atuante existe uma parela de tensão oriunda do momento produzido pela resultante P o exêntria. Portanto, para essa situação: σ P A o o p = y (1-11) P e I As araterístias da seção omposta de onreto e aço são aluladas onsiderando a seção homogeneizada, obtendo-se a área A h, o momento de inéria I h e as distânias y 1 e y 2 do entro de gravidade (FIGURA 1.4). y 1 CG h y y 2 P o e p FIGURA 1.4 Protensão exêntria na seção de onreto Assumindo que e p é a exentriidade da força de protensão P o em relação ao entro de gravidade da seção homogeneizada, a tensão no onreto devido à protensão no nível y de uma armadura é dada pela equação (1-11). 5

9 Conreto Protendido Substituindo a eq. (1-11) na eq. (1-9) obtém-se a seguinte equação para a perda de protensão por deformação elástia imediata do onreto: P P e o o p σ p = α e y (1-12) A I Caso de pós-tensão da armadura No aso de protensão om aderênia posterior, normalmente o maao de protensão trabalha apoiado na própria peça a ser protendida. Assim, à medida que se traiona a armadura, o onreto é omprimido simultaneamente. Ao final da protensão, o onreto já sofreu a deformação elástia, não havendo portanto queda de tensão por deformação imediata do onreto quando se tem apenas um abo de protensão. Outrossim, quando existem vários abos na mesma peça, se eles forem traionados um de ada vez, omo é usual, a deformação do onreto provoada pela força no abo que está sendo traionado aarreta perda de tensão nos abos já anorados. Neste aso deve-se alular um valor médio para o alongamento dos abos ou então sobretensioná-los de modo que, após todas as operações de distensão, todos eles fiquem om a mesma força de protensão. Na pós-tensão, após a protensão os abos são anorados mas não injetados, ou seja, não existe aderênia iniial om o onreto. Sendo assim, não temos a igualdade: ε = ε p (1-1) É neessário então alular o enurtamento do onreto L e igualá-lo a L p, uma vez que não há deslizamento do abo na anoragem. Para uma peça de onreto de omprimento L, o enurtamento L pode ser obtido fazendo onde e σ L L = ε dl = ε L P ε 0 (1-13) σ = (1-14) E P e M o o p g = ep + ep (1-15) A I I sendo M g o momento devido ao peso próprio soliitado pela protensão. Considerando, porém, que iniialmente a peça está sobre um esoramento, o peso próprio pode não ser mobilizado totalmente. Assim, não haverá influênia dos momentos M p = P o. e p e M g na deformação da peça, que fiará sob o efeito da força normal P o. 6

10 Conreto Protendido Nesta fase, o enurtamento elástio do onreto será função somente da tensão no entro de gravidade da seção, dada por Po σ P = (1-16) o A Uma vez soliitado todo o peso próprio, o enurtamento do onreto será alulado pela eq. (1-13). Para a obtenção de uma expressão mais simples da perda de protensão devido à deformação elástia do onreto, adota-se algumas hipóteses simplifiadoras: a) o efeito do atrito abo-bainha é desprezado e o valor da força de protensão ao longo do abo é onsiderado onstante; b) onsidera-se o efeito da deformação imediata do onreto omo proveniente somente da força normal P o apliada no entro de gravidade da seção. Isto equivale a admitir que o enurtamento do abo é igual ao do eixo neutro da peça; ) admite-se que todos os abos tenham o omprimento L da peça de onreto. Estabeleidas as hipóteses, suponha-se que existam n abos om omprimento L e força de protensão p o individual, de tal modo que P o = n. p o (1-17) Admitindo que os abos serão protendidos, um de ada vez, a seqüênia de eventos é a seguinte: o primeiro abo é anorado após se obter o alongamento do mesmo ompatível om a força p 0,1, e este abo não sofre o efeito da deformação imediata do onreto; o segundo abo, ao ser anorado, produz uma deformação imediata no onreto e, portanto, um enurtamento no abo anterior, já anorado, sem ontudo sofrer ele mesmo este efeito. E assim suessivamente. Então, de aordo om as hipóteses simplifiadoras aima, após a anoragem do abo 1, os n-1 abos restantes serão protendidos e anorados produzindo n-1 enurtamentos no abo 1. Logo: abo 1: sofre o enurtamento ( n 1 ) abo 2: sofre o enurtamento ( n 2 ) et., até abo (n-1): sofre o enurtamento o abo n não sofre enurtamento. po L A E po L A E po L A E 7

11 O enurtamento total da peça será, então, a soma das parelas aima, ou seja: Conreto Protendido n 1 i= 1 n 1 po L ( n i) = n A E 1 n 1 i= 1 i= 1 po L i = A E = ( ) nn 1 nn ( 1) 2 po L A E (1-18) L = n ( n 1) 2 σp L 0 E (1-19) sendo σ po a tensão no onreto, no entro de gravidade da seção, produzida por um abo. O enurtamento total da peça de onreto será igual à soma dos enurtamentos produzidos por ada um dos abos de protensão. L = L p (1-20) A perda média de alongamento por abo será obtida dividindo-se o enurtamento total do onreto pelo número de abos, ou seja: L n L 1 σp Lpm, = = 0 (1-21) n 2 E Como P o = n. p o e σ Po = n. σ po, pode-se multipliar ambos os membros por n obtendo: n 1 σp L Lpm, = 0 (1-22) 2n E onde σ Po é a tensão no entro de gravidade da seção devido ao onjunto de n abos. A perda de protensão é dada então por ou L, E (1-23) L σ p pm p = n 1 σ p = α e σ P (1-24) 0 2n A NBR 7197 reomenda que a perda de protensão devido à deformação imediata do onreto na pós-tração seja alulada através da expressão onde: ( σ + σ ) n 1 σ p = α e p g (1-25) 2n σ p = tensão no onreto ao nível do barientro da armadura de protensão, devido à protensão simultânea dos n abos. σ g = tensão no mesmo ponto anterior, devido à arga permanente mobilizada pela protensão ou simultaneamente apliada om a protensão. 8

12 Conreto Protendido Perdas por atrito nos abos As perdas por atrito oorrem apenas em peças protendidas om pós-tensão, e variam ao longo do omprimento da peça. Assim, a força de protensão resultante numa peça protendida om pós-tensão varia não só om o tempo mas também om a posição onsiderada. As perdas por atrito oorrem devido ao fato de os abos roçarem ontra as bainhas ao ser apliada a força de protensão. Essas perdas podem atingir valores elevados prinipalmente em abos de grande omprimento, e, muitas vezes exigem que sejam tomadas medidas onstrutivas espeiais om o objetivo de atenuá-las. Num abo tensionado, surge atrito interno entre os fios ou ordoalhas que onstituem o abo, bem omo entre os fios ou ordoalhas que fiam em ontato om as paredes da bainha (FIGURA 1.5). Esse atrito é maior nos trehos urvos onde surgem elevadas pressões de ontato devido ao desvio da trajetória dos abos. Entretanto a bainha apresenta ligeiras ondulações, mesmo nos trehos virtualmente retilíneos, que oasionam tensões de ontato entre o abo e a bainha produzindo atrito. bainha metália pontos de atrito dos fios, ou ordoalhas, entre si pontos de atrito entre o abo e a bainha FIGURA Atrito nos abos dentro da bainha. Na pós-tração, a armadura dentro da bainha metália sofre uma perda de tensão devido ao atrito abo-bainha, onsequênia da sinuosidade inevitável do duto em todos os planos, mesmo em trehos retilíneos do abo, e da urvatura própria do traçado do abo (FIGURA 1.6). A sinuosidade da bainha é hamada ondulação parasita, oorrendo tanto nos trehos urvos do abo omo nos retilíneos, e deve-se: à sua rigidez insufiiente; a defeitos de montagem da armadura de protensão; à insufiiênia de pontos de amarração do abo; ao empuxo do onreto durante a onretagem. 9

13 Conreto Protendido pontos onde oorre atrito entre os fios e a bainha devido às ondulações parasitas FIGURA 1.6 Ondulações parasitas da bainha Nas peças pré-traionadas só existe perda por atrito nos pontos de desvio da armadura poligonal antes da apliação da protensão ao onreto. A orrespondente variação da força na armadura de protensão deve ser determinada experimentalmente em função do tipo de aparelho de desvio empregado. As perdas por atrito podem atingir valores elevados para abos de grande omprimento e om muitas mudanças de direção. Pode-se atenuá-las, utilizando-se alguns artifíios na apliação da protensão. O método mais omum onsiste em apliar a força de protensão a partir dos dois extremos do abo. Neste aso, as anoragens em ambas as extremidades são ativas (FIGURA 1.7b). A força no abo ai linearmente a partir do ponto de sua apliação. A FIGURA 1.7 representa a variação da força em função da distânia x, sendo P i o valor iniial da força de protensão na anoragem esquerda. P (a) Protensão apliada na extremidade esquerda. A anoragem direita é passiva. P i P x P x 0 x P (b) Protensão apliada nos dois extremos. Ambas as anoragens são ativas. P i P x /2 P x P x 0 x FIGURA Variação da força de protensão devido às perdas por atrito. 10

14 Conreto Protendido Com as perdas devido ao atrito, o valor mínimo da força é atingido na outra anoragem om uma perda P x. Por outro lado, apliando a força de protensão a partir de ambos os extremos, a perda máxima será metade de P x na seção média, entre ambas as anoragens, onforme mostra a FIGURA 1.7b. Um abo traionado pelas duas extremidades apresenta um ponto M do seu traçado, que não se desloa. Nesse ponto as perdas por atrito provenientes das extremidades A e B se igualam (FIGURA 1.8). P o (A) P o (M) P o (B) Diagrama da variação de P o ao longo do abo FIGURA Variação da força de protensão num abo protendido pelas duas extremidades. De aordo om o exposto aima, pode-se dizer que oorre uma perda devido ao atrito em urva, e outra devido às ondulações parasitas, tanto nos trehos urvos omo nos retilíneos Perda por atrito em urva Suponha-se um treho urvo AB de um abo e duas seções S e S' infinitamente próximas (FIGURA 1.9). dn P' B P S S' dα P dn A α dα P' FIGURA Forças de atrito num abo urvo. Na seção S atua a força P. Na seção S' atua a força P' que é a força P menos a força de atrito dp entre S e S'. Matematiamemte pode-se esrever: P' = P - dp (1-26) onde µ é o oefiiente de atrito abo-bainha. dp = µ dn (1-27) 11

15 Conreto Protendido O abo traionado om a força P exere sobre a bainha a força dn que produz o atrito. Sabe-se que para ângulos muito pequenos, a tangente pode ser onfundida om o próprio ângulo. Como dα é um ângulo muito pequeno, do triângulo de forças vem que dn = P. dα (1-28) e da equação de equilíbrio do abo se obtém o valor da parela dp, que é dado por dp = -P µ dα (1-29) e, dp P = µ dα (1-30) Integrando a eq. (1-30): dp = µ d P α (1-31) ln(p) = - µ α + ln(c) (1-32) ln(p) - ln(c) = - µ α (1-33) Usando propriedade de logaritmos: ln P C = µα (1-34) Tirando o exponenial dos dois termos obtém-se: e ln( PC / ) = µα (1-35) e donde: P C = e P = C. e µα µα Para α = 0, P = P A. Daí: P A = C. e 0 = C (1-36) Logo, P = P A. e -µα ou seja, P B = P A. e -µα é a expressão geral que dá a força na seção B do abo, em função da força na seção A e do ângulo de desvio do abo entre A e B. 12

16 Conreto Protendido Considere-se agora o abo da FIGURA α 1 90 o α 2 α 4 A B C D α 1 α 2 α 3 FIGURA Ângulos de urvatura num abo sinuoso. P = P. e B A µα 1 P = P. e = P. e. e µα 2 µα 1 µα 2 C B A P = P. e = P. e. e. e µα 3 µα 1 µα 2 µα 3 D C A ou seja, P = P. e D A µ ( α + α + α ) A força numa abissa x do abo só depende da força na origem e do somatório dos ângulos de desvio do abo entre a origem e a abissa x. P = P. e N A µ. α i (1-37) sendo Σα i a somatória aritmétia dos valores absolutos dos desvios do abo entre A ( x = 0 ) e N. γ 2 γ 4 A γ 1 γ 3 B A' γ 1 γ 2 γ 4 B' γ 3 γ 5 FIGURA Curvaturas em abos retos e em abos urvos. 13

17 Conreto Protendido Perda por atrito parasita Fazendo uma analogia, a perda por atrito parasita pode ser analisada omo uma suessão de perdas em urva, tanto nos trehos retos de um abo omo nos urvos. Utilizando a fórmula obtida no item anterior e admitindo que no treho AB do abo mostrado na FIGURA 1.11 existe uma ondulação de ângulo médio γ, tem-se que: P = P. e B A µ. γ (1-38) Superpondo os dois efeitos, tem-se: P = P. e B A µ ( α + γ ) (1-39) γ Fazendo β =, ou seja, a ondulação média (em radianos) por unidade de AB omprimento em reta ou em urva, tem-se que: P B µ ( α + β. L ) = PA. e (1-40) onde L = AB (distânia entre dois pontos onsiderados do abo). A perda de protensão por atrito será: B A ( ) ( α β 1. L e µ + ) P = P P (1-41) β = ondulação média por metro. Na falta de dados experimentais pode ser adotado o valor 0,017 rad/m = 1 grau por metro. De aordo om a NBR 7197, a perda da força protensão no abo na seção de abissa x deve ser determinada pela expressão: P( x) = P i e ( ( µ α + k x 1 ) ) (1-42) onde: P i = força máxima apliada à armadura de protensão pelo equipamento de tração; Σα = soma dos ângulos de desvio previstos, no treho ompreendido entre as abissas 0 e x; µ = oefiiente de atrito aparente entre abo e bainha. Na falta de dados experimentais pode ser estimado omo segue: µ = 0,50 entre abo e onreto (sem bainha); µ = 0,30 entre barras ou fios om mossas ou saliênias e bainha metália; µ = 0,20 entre fios lisos paralelos ou trançados e bainha metália; µ = 0,10 entre fios lisos paralelos ou trançados e bainha metália lubrifiada; 14

18 Conreto Protendido k = oefiiente de perda por metro provoada por urvaturas não intenionais do abo; na falta de dados experimentais pode ser adotado o valor 0,01µ. Quando elementos dentro da mesma bainha são protendidos individualmente, os valores de µ aima devem ser aresidos de 0, Perdas por aomodação da anoragem Dependendo do dispositivo de anoragem utilizado, no momento da liberação dos abos dos maaos e onsequente transferênia dos esforços de protensão para a peça de onreto oorre uma aomodação das peças de anoragem. Os desloamentos que oorrem originam as hamadas perdas nas anoragens. Essas perdas são mais signifiativas nos sistemas que utilizam unhas, sendo, inlusive, usual o termo perda por enunhamento. A unha sempre penetra na anoragem quando entra em arga. Em outros sistemas, a transferênia do esforço se faz sem perda de alongamento do abo. De aordo om a NBR 7197, as perdas por aomodação da anoragem devem ser determinadas experimentalmente ou adotados os valores indiados pelos fabriantes dos dispositivos de anoragem. A penetração da unha pode ser medida em ensaios que onsistem em traionar um abo anorado na outra extremidade por meio de unhas. Mede-se o esforço P apliado no abo e a penetração δ da unha na anoragem, traçando-se um diagrama P-δ, para valores resentes de P. Geralmente as firmas de protensão forneem esses valores, determinados após a exeução de muitas operações de protensão. No sistema Freyssinet, de unha entral, os ensaios revelam os seguintes valores médios de penetração da unha, para a protensão máxima (Pfeil, 1983a): QUADRO Penetração da unha de anoragem no sistema Freyssinet. Tipo de abo (unha entral) Esforços de protensão P máx ( tf ) Penetração da unha δ ( mm ) 12 φ 5 mm φ 7 mm φ 8 mm φ 1/2" φ ½" Nos sistemas que utilizam unha individual para ada fio ou ordoalha, observamse os seguintes valores médios de perdas por enunhamento, para arga máxima (P máx ): fio φ 7 mm ordoalha φ 1/2" δ = 5 mm δ = 6 mm δ = 4 mm (unha ravada om maao) 15

19 Conreto Protendido 1.3 PERDAS PROGRESSIVAS Efeito da retração e da fluênia do onreto Além da deformação imediata sofrida quando da apliação de uma arga, o onreto sofre outras deformações ao longo do tempo relaionadas om suas araterístias físio-químias. A retração é um fenômeno que oorre em função do equilíbrio higrotérmio do onreto om o meio ambiente. O onreto perde parte da água de amassamento nas primeiras idades, gradativamente, até atingir uma umidade relativamente estável. Essa perda produz uma diminuição de volume e um onseqüente enurtamento da peça que se manifesta ao longo do tempo. A fluênia, também hamada deformação lenta, é outro fenômeno que oorre ao longo do tempo, deorrente da atuação de argas de longa duração. Como a protensão introduz esforços de ompressão na peça logo nas primeiras idades, estes esforços produzirão um enurtamento do onreto que se manifestará gradativamente. Se a peça de onreto enurta, os abos protendidos em seu interior também enurtam e onsequentemente a força de protensão diminui. Ambos os fenômenos, retração e fluênia, tendem a se estabilizar após um erto período Perdas devido à retração A protensão só é apliada à peça depois que o onreto já adquiriu resistênia sufiiente para suportar as tensões deorrentes da protensão e do peso próprio. Nessa époa, uma parte da retração do onreto já oorreu. A protensão deve ser adiada tanto quanto possível, om o objetivo de diminuir as perdas de protensão, pois a retração é mais intensa nas primeiras idades do onreto. Admite-se também na pós-tensão, para simplifiação, que a deformação do onreto é igual à do aço, ε s = ε p (1-43) mesmo que os abos não sejam injetados. Dessa forma, onsiderando t o a idade do onreto quando se aplia a protensão, a retração oorre ao longo do tempo, tendendo a um valor onstante, onforme mostrado no gráfio da FIGURA ε s ε s t o 0 t t FIGURA Comportamento da retração do onreto ao longo do tempo. 16

20 No instante t a retração do onreto no intervalo de tempo t - t o é dada por: onde: ε = ε1 ε2 s s s [ ] ( tt) = () t ( t) Conreto Protendido εs, 0 εs β s β s 0 (1-44) = valor final da retração ε 1s = oefiiente que depende da umidade relativa do ambiente e da onsistênia do onreto. Para o aso partiular de onsistênia orrespondente a abatimentos entre 5 m e 9 m, e U 90 % : 2 U U. 10 = 6, 16 + (1-45) ε 1 s em que U, umidade relativa do ambiente, é expressa em perentagem. Os valores para U 90 % e abatimentos de 0 a 4 m são 25 % menores e para abatimentos de 10 a 15 m são 25 % maiores. Para U > 90 %, ε 1s = +1,0. ε 2s = oefiiente dependente da espessura fitíia da peça, dado por: 033, + 2h ε 2 s = 0, h fi fi (1-46) em que h fi é a espessura fitíia em metros. β s (t) ou β s (t o ) = oefiiente relativo à retração no instante t ou t o. t = idade fitíia do onreto no instante onsiderado, em dias. t o = idade fitíia do onreto no instante em que o efeito da retração omeça a ser onsiderado, em dias. β s () t = 3 2 t t t A B t C t 2 D t (1-47) E onde: A = 40 B = 116 h h h - 4,8 C = 2,5 h 3-8,8 h + 40,7 D = -75 h h h - 6,8 E = -169 h h h 2-39 h + 0,8 t = tempo em dias ( t 3 ) h = espessura fitíia em metros ( 0,05 m h 1,6 m ) ( para valores de h fora deste intervalo, adotam-se os extremos orrespondentes) 17

21 Conreto Protendido Idade fitíia do onreto A idade a onsiderar (NBR item 7.3.1) é a idade fitíia α.t ef em dias, quando o endureimento se faz à temperatura ambiente de 20 C, e nos demais asos, quando não houver ura a vapor, a idade a onsiderar é a idade fitíia dada por: onde: t = idade fitíia em dias. t = α i Ti t, (1-48) α = oefiiente dependente da veloidade de endureimento do imento; na falta de dados experimentais permite-se empregar os valores do QUADRO 1.2. T i = temperatura média diária do ambiente ( C) ef i t ef,i = período em dias, durante o qual a temperatura média diária do ambiente, T i pode ser admitida onstante. QUADRO Valores de α para fluênia e retração em função da veloidade de endureimento do imento. α Cimento Fluênia Retração De endureimento lento AF250, AF320, POZ250, POZ320, MRS, ARS 1 1 De endureimento normal CP250, CP320, CP De endureimento rápido ARI 3 1 Simbologia para os imentos: AF - alto forno ARI - alta resistênia iniial ARS - alta resistênia a sulfatos CP - imento portland MRS - moderada resistênia aos sulfatos POZ - pozolânio Espessura fitíia da peça De aordo om a NBR 7197, item 7.3.2, a espessura fitíia da peça é dada por onde: γ h fi = γ 2 A u = oefiiente dependente da umidade relativa do ambiente. para U 90 %, γ = 1 + exp( - 7,8 + 0,1 U ) para U > 90 %, γ = 30 ar (1-49) 18

22 Conreto Protendido A = área da seção transversal da peça. u ar = parte do perímetro externo da seção transversal da peça em ontato om o ar. A perda de protensão, no instante t, devido à retração no onreto será: σ = E ε ( t t ) = E ε β ( t ) β ( t ) 0 0 (1-50) ps p s p s s s Perdas devido à fluênia do onreto Generiamente, a deformação devida à fluênia do onreto é dada por ε = σ E 28 φ ( tt, ) (1-51) 0 em que em que φ(t,t o ) é o oefiiente de fluênia. A deformação lenta pode atingir até 3 vezes a deformação imediata do onreto. Ao longo da vida útil da peça os abos vão se enurtando gradativamente à medida que o onreto se deforma, devido à tensão de protensão. Consequentemente, a força de protensão, que é uma das ausas da fluênia, está diminuindo. Ou seja, a deformação lenta influenia a força de protensão e esta, por sua vez, influenia a deformação lenta; uma atua sobre a outra. Para formular uma expressão que traduza este fenômeno, admite-se a hipótese simplifiadora de que a tensão na armadura de protensão ai linearmente durante o período no qual a fluênia oorre (FIGURA 1.13). σ σ Po σ Pφ σ Po - σ φ P 0 φ φ σ Po = tensão devido à força P o σ Pφ = tensão perdida devido à deformação lenta φ = oefiiente de fluênia no tempo infinito FIGURA Deaimento da tensão na armadura ativa devido a deformação lenta. 19

23 Conreto Protendido Admitindo que as deformações finais do aço e do onreto, devido à fluênia, são iguais, tem-se que: ε = ε p (1-52) Partindo da eq. (1-52) e do diagrama de tensões da FIGURA 1.14, pode-se hegar a uma equação para o álulo da perda de protensão devido à deformação lenta do onreto de aordo om a hipótese simplifiadora adotada. LN A P σg σ Po σ Po tensões devido a (g) tensões devido à protensão FIGURA Diagrama de tensões na seção protendida. Na região da armadura de protensão, oorre que: a) O peso próprio provoa um alongamento do onreto ao longo do tempo que pode ser expresso assim: σg ε = φ (1-53) g E 28 b) Como a tensão na armadura de protensão varia linearmente ao longo do tempo, utilizase uma tensão média para alular a deformação devido à fluênia: ε P = σ Po σ σ Po 2 Pφ σ Po E φ (1-54) ) Na fase final do proesso de deformação lenta, a tensão de protensão é menor que a tensão média utilizada no item b). Sendo assim, desonta-se uma parela da deformação devida à protensão om a expressão: ε Po = σ σ Pφ Po σ Po E (1-55) 20

24 Conreto Protendido Fazendo um balanço das deformações hega-se à seguinte equação: ε g φ σ Po σ σ Po 2 Pφ ε Po σ Pφ φ + εp = o σ Po σ σ Pφ Po ε Po (1-56) o primeiro termo representa a deformação lenta (alongamento) do onreto devido ao peso próprio; o segundo termo representa a deformação lenta (enurtamento) do onreto devido à tensão de protensão variável linearmente na armadura; o tereiro termo representa a deformação elástia (alongamento) do onreto devido à variação de tensão na armadura de protensão. Trata-se de uma deformação restituída; o quarto termo representa a deformação (enurtamento) na armadura de protensão devido à variação de tensão na mesma. Esta variação é a perda de protensão por fluênia do onreto. Fazendo α = E p E ; ε σ = ; ε E p = σ p E p e desenvolvendo a eq. (1-56), obtém-se uma equação para a perda de protensão pela deformação lenta. ( σ σ ) α φ g Po p = (1-57) σ Po φ 1 α 1 + σ 2 σ φ No instante t a deformação devido à fluênia é dada por: ε Po σ (, tt0) = φ (, tt0) (1-58) E 28 om E 28 seante, permitindo-se adotar para este módulo o valor igual a 0,9 do E definido na NBR 6118 om j = 28 dias. O oefiiente de fluênia φ(t,t o ) é dado por: onde: t = t o = [ ] ( tt) ( t) ( t) φ, 0 = φa + φf β f β f 0 + φd β d (1-59) idade fitíia do onreto no instante onsiderado, em dias. idade fitíia do onreto ao ser feito o arregamento, em dias. φ a = oefiiente de fluênia rápida dado pela expressão: φ a = 08, 1 f f ( t0 ) ( t ) (1-60) 21

25 Conreto Protendido f ( t ) f ( t ) 9t ( t + 42) ( 9t + 40)( t + 61) = 0 0 φ f = φ 1 = φ 2 = φ 1 φ 2 = valor final do oefiiente de deformação lenta reversível: oefiiente que depende da umidade relativa do ambiente e da onsistênia do onreto. Para o aso partiular de onsistênia orrespondente a abatimentos entre 5 m e 9 m: para U 90 %, φ 1 = 4,45-0,035 U para U > 90 %, φ 1 = 0,8 em que U, umidade relativa do ambiente, é expressa em perentagem. Os valores para abatimentos de 0 a 4 m são 25 % menores e, para abatimentos entre 10 e 15 m, 25 % maiores. oefiiente dependente da espessura fitíia da peça. h fi é a espessura fitíia em metros : 042, + hfi φ 2 = (1-61) 0, 20 + h fi β f (t) ou β f (t o ) = oefiiente relativo à deformação lenta irreversível, função da idade do onreto. t = tempo em dias ( t 3 ) β f () t = 2 t + A t + B (1-62) 2 t + Ct + D A = 42 h h h B = 768 h h h - 23 C = -200 h h h D = 7579 h h h h = espessura fitíia em metros (0,05 m h 1,6 m) ( para valores de h fora deste intervalo, adotam-se os extremos orrespondentes.) φ d = valor final do oefiiente de deformação lenta reversível onsiderado igual a 0,4. β d = oefiiente relativo à deformação lenta reversível, função do tempo (t,t o ) deorrido após o arregamento. t t0 + β d = t t (1-63) 22

26 Conreto Protendido Perdas por relaxação do aço A armadura de protensão estirada e mantida om omprimento onstante sofre um alívio de tensão ao longo do tempo. Este fenômeno é hamado de relaxação do aço. A intensidade de relaxação do aço é determinada pelo oefiiente ψ(t,t o ) definido por: onde: σ (, tt) = ψ(, tt) σ (1-64) pri 0 0 σ pri (t,t o ) = perda de tensão por relaxação pura (om omprimento onstante) desde o instante t o do estiramento da armadura até o instante t onsiderado. σ pi = tensão na armadura de protensão no instante de seu estiramento. pi O oefiiente ψ(t,t o ) depende de se tratar de pré-tração ou pós-tração, sendo afetado pelas perdas imediatas de tensão do aço na seção onsiderada da peça. Os valores da relaxação são fixados nas espeifiações orrespondentes aos aços de protensão empregados. As espeifiações NBR 7482 e NBR 7483 estabeleem valores médios, medidos após 1000 horas à temperatura onstante de 20 C, para as perdas de tensão referidas a três valores básios da tensão iniial: 60 %, 70 % e 80 % da resistênia araterístia f ptk. Esses valores designados respetivamente por ψ 60, ψ 70 e ψ 80, dependem da lasse de relaxação do aço e são reproduzidos no QUADRO 1.3. QUADRO Valores de ψ 60, ψ 70 e ψ 80 (para 1000 horas e 20 C) Classe de relaxação Tensão iniial ψ Relaxação normal Relaxação baixa σ pi = 0,60 f ptk ψ 60 4,5 % 1,5 % σ pi = 0,70 f ptk ψ 70 7,0 % 2,5 % σ pi = 0,80 f ptk ψ 80 12,0 % 3,5 % Os valores orrespondentes a tempos diferentes de 1000 horas, sempre a 20 C, podem ser determinados a partir da seguinte expressão: ψ(, tt) = ψ t t , (1-65) Para tensões inferiores a 0,5 f ptk, admite-se não haver perda de tensão por relaxação. Para tensões intermediárias entre os valores fixados na Tabela 1.2, permite-se a interpolação linear. Para tensões superiores a 0,80 f ptk, na falta de dados experimentais, permite-se a extrapolação a partir dos valores do QUADRO

27 Conreto Protendido A relaxação do aço de protensão numa peça em serviço não se dá da mesma maneira que a relaxação pura medida no laboratório, sob temperatura e tensão onstantes. Na obra, a relaxação do aço se proessa sob temperatura e tensão variáveis, devido às variações térmias do meio ambiente e às deformações do onreto sob o efeito da retração, fluênia e argas aidentais. Para avaliar a relaxação do aço nessas ondições, pode-se empregar a expressão: σ pr = σ pri 1 σ σ ps, + φ pi (1-66) onde: σ pr = perda de tensão por relaxação onsiderando a queda de tensão no aço devido à retração e fluênia do onreto σ pri = perda por relaxação pura do aço para a tensão σ pi σ p,s+φ = perda de protensão devido à retração e fluênia do onreto σ pi = tensão iniial de protensão no instante do estiramento da armadura 24

28 Capítulo 2 PROGRAMA PARA O CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE RETRAÇÃO E FLUÊNCIA DO CONCRETO 2.1 COMENTÁRIOS Os oefiientes de retração e fluênia do onreto são importantes para o álulo das perdas de protensão. O álulo manual desses oefiientes pode ser bastante trabalhoso. Não obstante, a implementação das expressões de álulo num omputador é tarefa relativamente simples para quem tem algum onheimento de programação. Neste apítulo são forneidos os fluxogramas e uma listagem de um programa para o álulo dos referidos oefiientes. Os fluxogramas representam grafiamente o fluxo do proessamento permitindo que as expressões sejam programadas em qualquer linguagem de programação. A listagem é de um programa esrito em Borland Delphi 1.0. FIGURA Tela de apresentação do programa

29 Conreto Protendido FIGURA Tela prinipal do programa 2.2 LISTAGENS Arquivo: RETRACAO.DPR program Retraao; uses Forms, Mainform in 'MAINFORM.PAS' {Form1}, About in 'ABOUT.PAS' {AboutBox}; {$R *.RES} begin Appliation.CreateForm(TForm1, Form1); Appliation.CreateForm(TAboutBox, AboutBox); AboutBox.ShowModal; AboutBox.Update ; { Proess any pending Windows paint messages } Appliation.Run; end. 26

30 Conreto Protendido Arquivo: RETRACAO.DPR unit Mainform; interfae uses SysUtils, WinTypes, WinPros, Messages, Classes, Graphis, Controls,Forms, Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, OvBase, OvEF, OvPB, OvNF, Menus; type TForm1 = lass(tform) Panel1: TPanel; MainMenu1: TMainMenu; Arquivo: TMenuItem; Sair1: TMenuItem; Ajuda1: TMenuItem; AboutRetraao1: TMenuItem; Panel2: TPanel; Label1: TLabel; GroupBox1: TGroupBox; GroupBox2: TGroupBox; Label2: TLabel; Label3: TLabel; Label4: TLabel; Label5: TLabel; Label6: TLabel; Label7: TLabel; AT: TOvNumeriField; OvController1: TOvController; uart: TOvNumeriField; UT: TOvNumeriField; TT: TOvNumeriField; SlumpT: TOvNumeriField; t0t: TOvNumeriField; tft: TOvNumeriField; Label8: TLabel; Label9: TLabel; Label10: TLabel; imt: TComboBox; Label11: TLabel; Label12: TLabel; Label13: TLabel; Label14: TLabel; est: TEdit; FiT: TEdit; Label15: TLabel; Label16: TLabel; Label17: TLabel; Label18: TLabel; Label19: TLabel; Label20: TLabel; Label21: TLabel; N1: TMenuItem; ndie1: TMenuItem; Pesquisaportpio1: TMenuItem; proedure Sair1Clik(Sender: TObjet); proedure AboutRetraao1Clik(Sender: TObjet); proedure ATExit(Sender: TObjet); private { Private delarations } publi { Publi delarations } end; var Form1: TForm1; implementation {$R *.DFM} 27

31 Conreto Protendido uses About; Var A : double; { Area da seao de onreto em m2 } uar : double; { Parte do perimetro da seao em ontato direto om o ar em m } U : double; { Umidade relativa do ambiente em % } slump : double; { Abatimento trono-onio em m } Temp : double; { temperatura media do ambiente em graus C } t0 : double; { tempo em dias no iniio da retraao } tf : double; { tempo em dias no final da retraao } t0f : double; { idade fitia do onreto no iniio da retraao tff : double; { idade fitia do onreto no final da retraao } Gama : double; { oefiiente funao da umidade relativa } hf : double; { altura fitiia da pea } e1s,e2s : double; { oefiientes de retraao } A,B,C,D,E : double; { oefiientes de alulo de Beta } h2,h3 : double; { potenias da altura fitiia } es : double; { es = e1s * e2s } Fia : double; { oefiiente de fluenia rapida } Fi1,Fi2 : double; { oefiientes de fluenia } Fid : double; { oef. de deform. lenta reversivel } Betad : double; { oef. relativo a deform. lenta reversivel f(t)} Fi : double; { valor final do oef. de fluenia } im : string[3]; { tipo do imento } alfa : integer; { oef. depend. do tipo do imento } proedure TForm1.Sair1Clik(Sender: TObjet); begin if MessageDlg('Terminar o programa?', mtinformation,[mbyes,mbno],0) = mryes then Close; end; proedure TForm1.AboutRetraao1Clik(Sender: TObjet); begin AboutBox.ShowModal; end; Funtion BETAs(t:double):double; Var x,x2,x3 : double; begin x := t / 100; x2 := x * x; x3 := x2 * x; BETAs := (x3 + A * x2 + B * x) / (x3 + C * x2 + D * x + E); end; {BETAs} Funtion BETAf(t:real):real; var Betax : double; begin h2 := hf * hf; h3 := h2 * hf; A := 42 * h3-350 * h * hf + 113; B := 768 * h * h * hf - 23; C := -200 * h * h * hf + 183; D := 7579 * h * h * hf ; Betax := (1.0 * t * t + A * t + B)/(t * t + C * t + D); BETAf := Betax; end; {BETAf} proedure ProessaDados; var s : string[60]; begin { Calulo da idade fitiia do onreto para a retração } t0f := (Temp + 10) / 30 * t0 ; tff := (Temp + 10) / 30 * tf ; { Calulo da altura fitiia e dos oefiientes E1s e E2s } if U<=90 then begin Gama := 1 + exp( * U) ; e1s := ( U/484 + U*U/1590)/1e4 ; 28

32 Conreto Protendido if slump < 5 then e1s := e1s * 0.75 ; if slump > 9 then e1s := e1s * 1.25 ; end else begin Gama := 30 ; e1s := 1e-4 ; end; if uar>0 then hf := Gama * 2 * A / uar else hf:=0; e2s := ( * hf) / ( * hf) ; { alulo dos oefiientes Betast e Betast0 } if t0f < 3 then t0f := 3 ; if hf < 5 then hf := 5 ; if hf > 160 then hf := 160 ; hf := hf / 100 ; h2 := hf * hf ; h3 := h2 * hf ; A := 40 ; B := 116 * h3-282 * h * hf ; C := 2.5 * h3-8.8 * hf ; D := -75 * h * h * hf ; E := -169 * h3 * hf + 88 * h * h2-39 * hf ; es := e1s * e2s * (BETAs(tff) - BETAs(t0f)) ; Str(es,S) ; Delete(S,Length(S)-3,2); Form1.esT.Text := ' '+opy(s,1,7)+opy(s,length(s)-4,5) ; { Calulo da idade fitiia do onreto para a fluenia } if (im='af') or (im='poz') or (im='mrs') or (im='ars') then alfa := 1 else if im ='CP' then alfa := 2 else if im ='ARI' then alfa := 3 else alfa := 1 ; t0f := alfa * t0f ; tff := alfa * tff ; { alulo dos oefiientes Fia, Fi1, Fi2 } Fia := 0.8 * (1-9*t0f*(t0f + 42)/(9*t0f + 40)/(t0f + 61)) ; if U<=90 then begin Fi1 := * U; end else begin Fi1 := 0.8; end; if slump < 5 then Fi1 := Fi1 * 0.75 ; if slump > 9 then Fi1 := Fi1 * 1.25 ; Fi2 := ( hf)/( hf) ; { alulo dos oefiientes Betaf(t) e Betaf(t0) } Fid := 0.4; Betad := (tff - t0f + 20)/(tff - t0f + 70); { alulo do valor final da fluenia } Fi := Fia + Fi1 * Fi2 * (BETAF(tff) - BETAF(t0f)) + Fid * Betad; Str(Fi:7:3,S); Form1.FiT.Text := S ; end; {ProessaDados} proedure TForm1.ATExit(Sender: TObjet); begin AT.GetValue(A); uart.getvalue(uar); UT.GetValue(U); TT.GetValue(Temp); SlumpT.GetValue(slump); im := imt.text; t0t.getvalue(t0); tft.getvalue(tf); ProessaDados; end; end. 29

33 Conreto Protendido 2.3 FLUXOGRAMAS Entrada de dados 1 iníio umidade relativa do ar em % (U) área da seção de onreto em m 2 (A) parte do perímetro externo em ontato om o ar em m (Uar) slump em m temperatura média do loal em oc ( T ) área da seção de onreto em m 2 (A) fim 30

34 Conreto Protendido Fluxograma para o álulo da idade fitíia do onreto 2 iníio α = 1 retração aso fluênia tipo imento tipo imento CP ARI α = 2 α = 3 # períodos i = 1 i > # períodos sim não tef(i) Temp(i) t = t + ( Temp[i] + 10 ) / 30 * tef[i] i = i + 1 t = α * t fim 31

35 Conreto Protendido Fluxograma para o álulo da retração do onreto RETRAÇÃO iníio 1 Entrada de dados 2 Cálulo da idade fitíia sim U <= 90 não gama = 1 + EXP( -7,8 + 0,1*U ) gama = 30 e1s = (-6,16-U/484+U*U/1590)/10000 e1s = 1,0 slump < 5 > 9 e1s = e1s * 0,75 e1s = e1s * 1,25 hf = gama * 2 * A / Uar / 100 e2s = ( 0, * hf ) / ( 0, * hf ) não to < 3 sim to = 3 hf < 0,05 não sim hf = 0,05 sim hf > 1,6 hf = 1,6 não 3 Nota: EXP = função exponenial 32

36 Conreto Protendido 3 A = 40 B = 116 * hf^3-282 * hf^ * hf - 4,8 C = 2,5 * hf^3-8,8 * hf + 40,7 D = -75 * hf^ * hf^ * hf - 6,8 E = -169 * hf^ * hf^ * hf^2-39 * hf + 0,8 Betasto = BETA_S(to) Betast = BETA_S(t) es = e1s * e2s * ( Betasto - Betast ) fim Função βs para o álulo da retração BETA_S função X = t / 100 X2 = X * X X3 = X2 * X BETA_S = ( X3 + A * X2 + B * X ) / ( X3 + C * X2 + D * X + E ) retorna Nota: t = idade fitíia do onreto no instante onsiderado 33

37 2.3.3 Fluxograma para o álulo do oefiiente de fluênia do onreto Conreto Protendido FLUÊNCIA iníio 1 Entrada de dados 2 Cálulo da idade fitíia Fia = 0,8 * ( 1-9*to * (to+42) / (9*to+40) / (to+61)) sim U <= 90 não gama = 1 + EXP( -7,8 + 0,1*U ) gama = 30 Fi1 = 4,45-0,035 * U Fi1 = 0,8 slump < 5 > 9 Fi1 = Fi1 * 0,75 Fi1 = Fi1 * 1,25 hf = gama * 2 * A / Uar / 100 Fi2 = ( 0,42 * hf ) / ( 0,20 * hf ) não to < 3 sim to = 3 hf < 0,05 não sim hf = 0,05 sim hf > 1,6 hf = 1,6 não 4 34

38 Conreto Protendido 4 A = 42 * hf^3-350 * hf^ * hf B = 768 * hf^ * hf^ * hf - 23 C = * hf^ * hf^ * hf D = 7579 * hf^ * hf^ * hf Betafto = BETA_F(to) Betaft = BETA_F(t) Fid = 0,4 Betad = ( t - to + 20 ) / ( t - to + 70 ) Fi = Fia + Fi1 * Fi2 * ( Betaft - Betafto ) + Fid * Betad fim Função β f para o álulo do oefiiente de fluênia BETA_F função BETA_F = ( t * t + A * t + B ) / ( t * t + C * t + D ) retorna Nota: t = idade fitíia do onreto no instante onsiderado 35

39 Conreto Protendido Bibliografia 1. ABNT (1978) Assoiação Brasileira de Normas Ténias, "Projeto e Exeução de Obras em Conreto Armado", NBR 6118/78, Rio de Janeiro. 2. ABNT (1989) Assoiação Brasileira de Normas Ténias, "Projeto de Estruturas de Conreto Protendido", NBR 7197/89, Rio de Janeiro. 3. C.E.B. (1990); Código Modelo do CEB/FIP 4. Hanai, João Bento de (1988); "Fundamentos do Conreto Protendido", Notas de aula, EESC-USP, São Carlos. 5. Hurst, M.K.(1998); Prestressed Conrete Design, 2 a. edição, Routledge, Londres. 6. Leonhardt, Fritz (1979); "Construções de Conreto", Editora Interiênia, Vol. 5, Rio de Janeiro. 7. Mahado, Carlos Freire (1992); Notas de aula, Belo Horizonte. 8. Mason, Jayme (1976); "Conreto Armado e Protendido: Prinípios e Apliações", Livros Ténios e Científios Editora S/A, Rio de Janeiro. 9. Pfeil, Walter (1984); "Conreto Protendido Vol. 1 - Introdução", LTC Editora, Rio de Janeiro. 10. Pfeil, Walter (1983a); "Conreto Protendido Vol. 2 - Proessos Construtivos/Perdas de Protensão", 2a. ed., Livros Ténios e Científios Editora S/A, Rio de Janeiro. 11. Pfeil, Walter (1983b); "Conreto Protendido Vol. 3 - Dimensionamento à Flexão", Livros Ténios e Científios Editora S/A, Rio de Janeiro. 12. Süssekind, José Carlos (1985); "Curso de Conreto", Vol. 01, 4a. edição. Editora Globo, Rio de Janeiro. 36