por José Adonai Pereira Seixas

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1 Cálculo 1 l Q l Q l Q l Q l Q l Q l Q t = f(a + ) Q t b γ Q Q Q Q Q P l f(a) γ : = f() P f(a + ) f(a) l θ θ Q a s θ θ Q a s = a + por José Adonai Pereira Seias Maceió-010

2 Conteúdo 4 Aplicações da Derivada Taa de Variação Cinemática Variação das Funções Teoremas Fundamentais Funções Monótonas Máimos e Mínimos Regras de L Hospital Sugestões & Respostas Referências Bibliográficas 55 1 Funções e Gráficos Funções Trigonométricas Sugestões & Respostas Limite e Continuidade 11.1 Limite Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito Funções Contínuas Operações com Funções Contínuas Limites Trigonométricos Fundamentais Sugestões & Respostas Derivadas A Derivada A Função Derivada Regras de Derivação Derivadas de Funções Elementares A Regra da Cadeia Derivadas de Ordem Superior Derivação Implícita Sugestões & Respostas

3 UFAL EAD Cálculo 1 J. Adonai Parte 1: Funções e Gráficos Objetivos Específicos Definir Função Real de Uma Variável Real Visualizar o Gráfico de uma Função Construir as Funções Trigonométricas Objetivo Geral Construir as Bases para o Estudo do Cálculo Diferencial Maceió-010

4 Funções e Gráficos (J. Adonai) - Um dos mais importantes conceitos matemáticos do ensino básico é o conceito de função, pois, praticamente, todos os demais temas do Ensino Médio podem ser tratados a partir desse conceito. É frequente encontrarmos na natureza duas grandezas uma dependendo da outra: uma dela é a variável independente e a outra é a variável dependente. Sempre que isto ocorre, estamos diante de fatos que podem ser representados por uma função. Se indicamos por a variável independente e por, a dependente, dizemos que é função de, o que será posto assim: = f(). O que falta, agora, é determinar onde, e como, e variam, isto é, devemos definir o domínio e contradomínio da função f. A título de eemplo, vejamos algumas situações: O espaço percorrido por um automóvel (ou partícula) depende do tempo t decorrido. Esta dependência é indicada por = S(t), e é dada por: = S (t) = S 0 + v 0 t + 1 at, onde a posição inicial S 0 e a velocidade inicial v 0 são conhecidas. Neste caso, a variável independente é o tempo t, pode ser medido em segundos e pode assumir valores maiores ou iguais a zero. A diagonal d de um quadrado depende do lado l desse quadrado: d (l) = l. A altura h de um triângulo equilátero depende do seu lado l: h (l) = l 3. O Volume V de um cubo depende de sua aresta a: V (a) = a 3. Formalizando, temos a seguinte definição. Definição 1.1. Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma lei de correspondência que a cada elemento de A associa um único elemento de B determina uma função f. O conjunto A é chamado de domínio de função f. O conjunto B é chamado de contra-domínio de função f. Se um elemento de B está associada a um elemento de A, dizemos que é o valor da função f no ponto e indicamos = f(). O subconjunto de B dado por I(f) = { B : = f(), A} é a imagem de f. Usaremos o diagrama f : A B = f() para indicar uma função f com domínio A e contra-domínio B. Ligado a uma função f está um subconjunto muito especial do produto cartesiano A B, que chamamos de gráfico de f, e que definido por G(f) = {(, ) A B; = f()}. A importância deste conjunto reside no fato de que o seu conhecimento determina completamente f. No caso em que A e B são subconjuntos de R, a 0 Figura 1: Curva = f(), [a, b] (em geral, intervalos) G(f) é, também, chamado curva = f(). Note que a projeção desta curva sobre o eio- coincide com o domínio de f, e sua projeção sobre eio- é eatamente a imagem da função. Deve ser observado, também, que as retas perpendiculares ao domínio de f tocam a curva em um ponto apenas: isto é a definição de função. Em muitos caso, é importante saber se a função cresce ou decresce, e isto é facilmente obtido a partir do conhecimento da curva = f(). f() b

5 Funções e Gráficos (J. Adonai) - 3 Por eemplo, na figura 1, vemos que f é crescente no intervalo [ 0, b]. É possível desenvolver ferramentas que permitem esboçar G(f) com precisão. Uma delas é a derivada de uma função, que estudaremos em aulas futuras. Por enquanto, nos itaremos a esboçar, em alguns casos grosseiramente, alguns gráficos de funções relativamente simples. Eemplo 1.. [Função Afim] Dadas as constantes a, b R, considere a função f () = a + b, variando em R. Em outras palavras, f : R R = f() = a + b. Funções deste tipo são chamadas funções afins. No caso, b = 0, ficamos com f() = a, que são as funções lineares de R em R. Assim G(f) = {(, ) R ; = a + b}. Portanto, esboçar o gráfico de f, significa desenhar todas as duplas da forma (, ), onde = a + b e percorrendo os números reais. Vimos, em Geometria Analítica, que as soluções de a b = 0 é uma reta. Portanto, o gráfico procurado é esta reta. Posto isto, basta dois pontos para desenhar o gráfico de f. Um modo simples de fazer isto é fazer = 0, que dá = b e = 1, que produz = a + b. Assim, traçando a reta que passa por P = (0, b) e Q = (1, a + b), temos a figura desejada. Abaio vemos o gráfico de f, representando o caso geral, e o caso particular, linear, =, variando em todo R. a + b b Q 1 Figura : O gráfco de = a + b 1 1 Figura 3: O gráfco de = Vale observar que uma lei do tipo = c, onde c é uma constante, também representa uma função afim. Seu gráfico é uma reta horizontal, paralela ao eio- e passando por = c. A imagem dessa função é o conjunto {c}. Uma equação do tipo = c representa uma reta vertical, passando por = c, mas não representa uma função ( = f()). Por quê? 1-1 Eercício Resposta Esboce os gráficos das funções afins abaio, destacando os pontos onde elas furam os eios coordenados. (a) = + 1, R. (b) =, R. (c) =, R. (d) = +, [, ]. Eemplo 1.3. [Função quadrática] Seja f () = a + b + c, onde a, b, c R, a 0, são constantes. No nosso curso de Geometria Analítica, vimos que = a + b + c descreve uma parábola com reta diretriz paralela ao eio- e eio paralelo ao eio-. Assim, podemos esboçar o gráfico de f a partir de três pontos escolhidos com certo cuidado. A escolha destes pontos depende essencialmente do discriminante, = b 4ac. Inicialmente, calculamos o ponto do gráfico que é o vértice da parábola, que é dado por V = ( b a, f( b )) = ( b a a, 4a ). Os outros dois pontos, digamos Q 1 e Q, podem ser escolhidos com abscissas 1 e simétricas com relação à abscisa de V. Quando > 0,

6 Funções e Gráficos (J. Adonai) e podem ser as raízes de f, isto é, Q 1 = ( 1, 0) e Q = (, 0), onde < 0 1 = b a e = b +. a 4 prévio da forma do gráfico de uma função? Bem, o que fazemos é escolher alguns valores para a variável, calcular o valor de f nestes pontos, marcar as duplas (, f()) obtidas e a seguir construir uma poligonal ligando tais duplas, obtendo assim uma grosseira aproimação para a curva = f(). À medida que escolhemos mais pontos melhoramos a aproimação poligonal e, portanto, nos aproimamos cada vez mais da forma correta da curva. 4a > a Figura 4: = a + b + c, a > 0 Figura 5: = Observe que, quando a > 0, a função quadrática é decrescente antes de b e cresce a partir daí. Em outras palavras, se a > 0, f() = a a +b+c decresce no intervalo (, b b ] e cresce no intervalo [, ). Você seria a a capaz de descrever o que acontece se a < 0? A figura 5 mostra o caso f() =. 1- Eercício Resposta Esboce os gráficos e descreva as imagens das seguintes funções quadráticas. Indique os intervalos onde as funções crescem e decrescem. (Atente para o domínio, em cada caso.) (a) =, 1. (b) = + 1,. (c) = + 3, R. (d) = 3 +, R. Para o esboço dos gráficos, nos eemplos acima, tivemos o auílio de alguns conhecimentos obtidos em Geometria Analítica quando estudamos retas e cônicas. O que fazer quando não temos um conhecimento a Figura 6: Aproimação Poligonal para = f(), [a, b] Eemplo 1.4. Considere a função f : R R, dada por f() = 3. Como não conhecemos esta função, para desenhar o seu gráfico tabelamos alguns valores e, a partir deles, obtemos um primeiro esboço. Depois, deiamos a intuição trabalhar Ao lado, vemos parte da curva = 3, que corresponde ao intervalo [ 1, 1]. b

7 Funções e Gráficos (J. Adonai) - 5 Observe que a imagem desta função coincidem com conjunto dos números reais, isto é, I(f) = R. Outra observação que podemos fazer é que f assume valores negativos para negativo, valores positivos para positivo e, finalmente, que ela é uma função crescente. Eemplo 1.5. Indicando por R o conjunto dos números reais diferentes de zero, definimos a função recíproco, f : R R, dada por = f() = 1. Tabelando alguns valores e em seguida localizando os pontos no plano cartesiano, obtemos um esboço do gráfico de f Convém observar neste ponto que a curva acima é uma hipérbole. De fato, os argumento que usamos ao girar uma cônica (veja o eercício 4.1 do curso de Geometria Analítica), mostram facilmente que a rotação de 45 o no sentido anti-horário em torno da origem da hipérbole equilátera = 1 produz a hipérbole = 1, que é eatamente a curva = 1. Eemplo 1.6. [Valor Absoluto] Considere f : R [0, + ), definida por f() =, onde é o valor absoluto de {, se 0 =, se < 0. Este é outro eemplo que podemos desenhar a curva = f() a partir do nosso conhecimento de retas, pois para 0, temos = e para < 0, temos =. A seguir vemos a curva = e uma tabela com alguns valores de f Eemplo 1.7. Podemos construir novas funções a partir da colagem de outras funções conhecidas. No que segue, usaremos uma função quadrática e uma afim para construir uma nova, cujo gráfico é um arco de parábola colado a um segmento de reta. De fato, defina f : R R por { f() = +, se 1, se >. Portanto, para abaio de, temos = f() é um arco da parábola = + e para maior do que, obtemos a reta = 1. Como sabemos esboçar parábolas e retas, fica fácil desenhar = f().

8 Funções e Gráficos (J. Adonai) - 6 Eemplo 1.8. A função maior inteiro, indicada por [ ] : R R, é definida por [] = maior inteiro. Vejamos alguns valores desta função. Se = 1/, então [] = 0, pois o zero é o maior inteiro menor ou igual a 1/. De modo análogo, vemos que [] = 0, se [0, 1) e, claro, [1] = 1. Mais geralmente, se m Z, então [] = m, para [m, m + 1) e [m + 1] = m + 1. Note que o seu gráfico é constituído por segmentos de retas formando uma escada. Por esta razão, muitas vezes, chamamos [ ] de função escada. Uma família de funções que desempenha papel de grande relevância no Cálculo é a das funções trigonométricas que introduziremos agora. 1.1 Funções Trigonométricas Na figura ao lado, temos o círculo unitário S 1, cuja equação cartesiana é + = 1 e, como sabemos, tem comprimento π. As funções trigonométricas básicas, a saber, o seno, indicada por sen e a função cosseno, cos, serão definidas usando este círculo. O domínio destas funções será R. Vejamos suas construções. Seja t R um número real do intervalo [0, π], isto é, 0 t π. Agora construímos, a partir do ponto A = (1, 0), um arco de comprimento t, traçado no sentido anti-horário, se t > 0 ou no sentido horário, B sen t t > 0 O cos t A = (1, 0) t < Eercício Resposta Esboce os gráficos das funções abaio, destacando os pontos onde elas furam os eios coordenados. (a) = 1, 1. 1 { (b) f() =, se 0 + 1, se > 0. Figura 1: Círculo Trigonmétrico se t < 0. O arco termina no ponto B cujas coordenadas, por sua vez, determinam o que chamaremos de cos t e sen t, como vemos na figura. Portanto, a abscissa de B é o cos t e a ordenada de B é o sen t. Em outras palavras, { cos t = projeção de OB no eio-, sen t = projeção de OB no eio, o que pode ser reescrito como B = (cos t, sen t). Note que cos t 0, para t [0, π] [ 3π, π] e cos t < 0, para t ( π, 3π ). Observe, também, que se t = π/, o arco correspondente a

9 Funções e Gráficos (J. Adonai) - 7 t tem comprimento π/, que é um quarto do comprimento de S 1. Logo, B = (0, 1) e, portanto, cos π = 0 e sen π = 1. Discussão semelhante pode ser feita para o sen, obtendo sen t 0, para t [0, π] e sen t < 0, para t (π, π). Agora, dado t R, t > 0, contamos quantas vezes π cabe em t, no caso t > 0, ou quantas vezes π cabe em t, se t < 0, isto é, procuramos o inteiro m tal que t = mπ + t 0, onde t 0 [ π, π] e definimos cos t = cos t 0 e sen t = sen t 0. Convém observar que isto equivale a pensar num cordão de comprimento t, prendê-lo por uma etremidade ao ponto A e enrolá-lo sobre S 1, no sentido anti-horário, se t > 0 ou no sentido horário, no caso em que t < 0. No final deste processo a outra etremidade atingirá o final do arco AB que mede t 0. t cos t sen t π 6 π 3 π π 0 1 π 1 0 3π 0 1 π 1 0 O 45 B B t = π 4 A = (1, 0) A seguir, mostraremos como calcular o seno e o cosseno de π/4 e π/6. Na figura acima, vemos desenhado o arco de comprimento π/4, que divide o primeiro quadrante do círculo S 1 em dois arcos de comprimento π/4. Portanto, o ângulo BOB deve medir 45. Donde concluímos que o triângulo OB B é retângulo e isósceles, e seus catetos são cos t e sen t, com cos t = sen t. Como a hipotenusa mede 1, segue-se que cos t = 1 e, portanto, cos π 4 = sen π 4 = /. Na figura a seguir, vemos desenhado o arco de comprimento π/6, que divide o primeiro quadrante do círculo S 1 em três arcos de comprimento π/6. Portanto, o ângulo BOB deve medir 30. Donde con- B 1 t = π 30 6 O 3 B A = (1, 0) cluímos que o triângulo OB B é retângulo e o ângulo OBB mede 60. Logo, cos π e sen π são, respectivamente, a altura e a metade o lado de 6 6 um triângulo equilátero de aresta 1. Portanto, cos π 6 = 3 e sen π 6 = 1. O leitor atento, agora, deve observar que, da mesma figura, decorre que cos π 3 = 1 e sen π 3 = 3. A partir da definição, obtemos a seguinte identidade fundamental. Proposição 1.9. Dado t R, então (cos t) + (sen t) = 1. Demonstração. De fato, temos que B = (cos t, sen t) e B S 1, que tem equação + = 1. Logo, cos t + sen t = 1. Agora enunciamos algumas propriedades notáveis das funções sen e cos. Proposição Dados s, t R e m Z, valem as seguintes propriedades.

10 Funções e Gráficos (J. Adonai) - 8 (i) cos( s) = cos s. (ii) cos(s + mπ) = cos s. (iii) cos(s + t) = cos s cos t sen s sen t. (iv) cos(s t) = cos s cos t + sen s sen t. (v) cos s = cos s sen s. (vi) cos( π s) = sen s. (vii) sen( s) = sen s. (viii) sen(s + mπ) = sen s. (i) sen( π s) = cos s. () sen(s + t) = sen s cos t + sen t cos s. (i) sen(s t) = sen s cos t sen t cos s. (ii) sen s = sen s cos s. Demonstração. Começamos observando que (i), (ii), (vii) e (viii) seguem da definição de sen e cos. Vamos admitir por um instante que (iii) é verdadeira, e veremos que, a partir dela obtemos todas as outras. Com efeito, cos(s t) = cos(s + ( t)) = cos s cos( t) sen s sen( t) = cos s cos t sen s sen t, onde usamos (i), (vii) e (iii). Portanto, temos (iv). Agora, cos(s) = cos(s + s) = cos s cos s sen s sen s = cos s sen s, o que dá (v). Para (vi), usamos (iv) juntamente com cos( π ) = 0 e sen( π ) = 1: cos( π s) = cos(π ) cos s + sen(π ) sen s = sen s. Para (i), simplesmente escrevemos cos s = cos((s π ) + π ) = cos(s π ) cos(π ) sen(s π ) sen(π ) = sen(π s). Com o mesmo tipo de idéia, obtemos (). As identidades (i) e (ii), serão deiadas como eercício para o leitor. Provaremos, agora, (iii). A figura abaio mostra os arcos s, t e t, juntamente com os pontos A = (1, 0), B = (cos s, sen s), C = (cos(s + t), sen(s + t)), D = (cos( t), sen( t)) = (cos t, sen t). C = (cos(s + t), sen(s + t)) t B = (cos t, sen t) O A = (1, 0) s t D = (cos t, sen t) A distância de A a C, que indicamos por d(a, C), obtemos d(a, C) = (cos(s + t) 1) + sen (s + t) = cos(s + t).

11 Funções e Gráficos (J. Adonai) - 9 Donde, (d(a, C)) = cos(s + t). Agora, a distância de B a D é d(b, D) = (cos s cos t) + (sen s + sen t) = cos s cos t + sen s sen t. Portanto, d(b, D) = cos s cos t + sen s sen t. De d(a, B) = d(b, D), segue-se que cos(s + t) = cos s cos t sen s sen t, o que prova (iii) e termina a demonstração. Vejamos, agora, os gráficos do sen e do cos. Notamos que o sen cresce no intervalo [0, π ], onde seus valores variam de sen 0 = 0 até sen π = 1. Então começa a decrescer em [ π, 3π ], onde atinge 0 em π e começa a atingir valores negativos no intervalo aberto (π, π). Final- Figura 16-(a): = sen Figura 16-(b): = cos 1-4 Eercício Resposta (a) (cos + sen ) = 1 + sen. (b) (cos sen ) = 1 sen. (c) (cos ) 4 (sen ) 4 = cos. 1-5 Eercício Resposta Verifique as seguintes identidades trigonométricas. Sabendo que cos a + sen a = 1 e cos b + sen b = 0, determine todos os valores possíveis para a e b. 1-6 Eercício Resposta 1. cos (a) Mostre que 1 + (tg ) = (sec ). (b) Se ( π, π ), mostre que tg = 4 4 Dado ( π, π ), definimos a tangente de por tg = sen e a secante de por sec = cos tg 1 (tg ) mente, atinge 0 em π. Para fazer o esboço total de = sen, usamos a propriedade sen( + mπ) = sen, conhecida como periodicidade da função sen (também dizemos que sen tem período π), que permite repetir o esboço em [0, π] nos intervalos da [π, 4π], [4π, 6π], [6π, 8π], [8π, 10π],.... O mesmo fato vale para os intervalos [ π, 4π], [ 4π, 6π], [ 6π, 8π], [ 8π, 10π]... A propriedade cos = sen( + π) mostra que a curva = cos pode ser obtida a partir de = sen por uma translação de π ao longo do eio OX. Convém observar que a função cos também é periódica de período π.

12 Sugestões & Respostas (J. Adonai) - 10 Parte 1 Sugestões & Respostas v 1 1 u 1-1 Voltar (a) É a reta que passa por P = (0, 1) e Q = (1, ). (b) É a reta que passa por P = (0, 0) e Q = (1, 1). Ela perpendicular à reta =. é (d) Deve ser considerado, apenas, o segmento da reta = + que se projeta sobre o intervalo [, ]. 1- Voltar (a) O domínio é o intervalo [1, ]. Portanto, o gráfico de f é o arco da parábola = que se projeta sobre este intervalo. A imagem é o intervalo [1, 4] e a função é crescente. (b) Observe que, em = 0, f dá um salto ao mudar da parábola para a reta. 1-4 Voltar (a) Use (ii) da proposição Voltar Use o eercício 1-4 -(a) para concluir que sen a = 0. Logo a = kπ, onde k Z. 1-6 Voltar (a) Divida a relação fundamental (cos ) +(sen ) = 1 por (cos ). (b) Use (v) e (ii) da proposição Voltar (a) Hipérbole. Faça u = 1 e v = 1. Assim, v = 1/u. Portanto, nos novos eios, de coordenadas u e v, temos a mesma hipérbole do eemplo 1.5.

13 UFAL EAD Cálculo 1 J. Adonai Parte : Limite e Continuidade Objetivos Específicos Estabelecer da Noção de Limite, a Partir de Eemplos Visualizar o Limite no Gráfico Calcular de Limites Objetivo Geral Estabelecer Condições para o Cálculo de um Limite Especial: a Derivada Maceió-010

14 Limite e Continuidade (J. Adonai) - 1 A noção de ite de funções constitui a base do Cálculo Diferencial. Neste parte, estudaremos este conceito, aproveitando, inicialmente, o lado intuitivo e culminando com uma definição de ite mais elaborada. Já que falamos em intuição, considere um objeto móvel que se desloca, ao longo de uma reta, no sentido de um ponto P fiado à sua frente, distante, digamos metros. Suponha que, por alguma razão, a cada segundo, contado a partir de agora, o objeto percorre a metade da distância entre ele e o ponto P. Para ser mais claro, por eemplo, no primeiro segundo ele percorre 500 metros, no segundo segundo ele percorre 50 metros, no terceiro segundo ele percorre mais 15 metros, t = 0 s t = 1 s t = s P absoluto da diferença entre eles, isto é, dados s, t R, a distância entre eles é d(s, t) = s t. Portanto, antes de estudarmo ite, é conveniente estalecermos logo as propriedades básicas do valor absoluto. Proposição.1. Dados s, t, u R e ɛ > 0, temos que (i) s 0, e s = 0 se, e somente se, s = 0; (ii) st = s t ; (iii) s + t s + t ; (iv) s t s t ; 500 m 50 m (v) s t < ɛ t ɛ < s < t + ɛ s (t ɛ, t + ɛ), onde (t ɛ, t + ɛ) é o intervalo aberto centrado em t de raio ɛ; 1000 m e assim sucessivamente. O leitor atento certamente já deduziu que no n-ésimo segundo, a distância entre o objeto e o ponto P é D = n metros. Em que tempo o objeto móvel atingirá o ponto P? A resposta é simples: nunca! Sempre haverá entre o objeto e P, pelo menos a metade da distância entre eles, atingida no segundo anterior. Mais formalmente, D = > 0, para todo valor de n. Entretanto, algo n notável deve ser dito: qualquer ponto X P situado entre o objeto móvel e o ponto P será deiado para trás pelo nosso objeto. Portanto, mesmo não atingindo P, com o passar do tempo, o objeto estará cada vez mais próimo deste ponto. Em outras palavras, o ite do ponto móvel é P. Em se tratando de funções reais, estaremos interessados em estudar o comportamento de seus valores, quando estes se aproimam de um certo valor ite, desde que sua variável independente esteja suficientemente próima de um número real a, mesmo que a função não esteja definida aí. Em outras palavras, iremos estudar o ite de uma função f, que depende de, quando se aproima de a. A distância entre dois números reais é medida usando o valor (vi) d(s, t) d(s, u) + d(u, t). ɛ t Demonstração. Vejamos a prova de (iii), onde usaremos (ii).temos que Logo, (s + t) = s + st + t s + st + t = s + s t + t. (s + t) ( s + t ). Etraindo a raiz quadrada de ambos os membros, a desigualdade segue-se. Assim, fica provado (iii). Para (vi) observe que d(s, t) = s t = (s u)+(u s) s u + u s = d(s, u)+d(u, t), onde usamos (iii). ɛ

15 Limite e Continuidade (J. Adonai) - 13 Eemplo.. Vamos considerar a função f : R R definida por = f() = 1. Podemos obter valores de tão próimos de 3 quanto quisermos, bastando para isso tomarmos valores de suficientemente próimos de. Vamos descobrir para que valores de, perto de, vale: Temos: Logo, ou seja,, 9 < < 3, 1., 9 < < 3, 1, 9 < 1 < 3, 1 1, 95 < <, , 1 < < 3 + 0, 1 para 0, 05 < < + 0, 05, 0, 1 < f() 3 < 0, 1 quando 0, 05 < < + 0, 05. Usando o valor absoluto, isto é o mesmo que, f() 3 < 0, 1 quando < 0, 05. Portanto, a distância de f() a 3 fica menor do que 0, 1, se consideramos os que distam de menos de Agora vamos ver se é possível tornar os valores de f um pouco mais próimos de 3. Vamos fazer suas distâncias a 3 menores do que 0.001, isto é, ( 1) 3 < 0.001, ou, 99 < 1 < 3, 01. Um cálculo simples mostra que isto é possível, se 0, 005 < < + 0, 005, ou < 0, 005. Portanto, < 0, 005 f() 3 < 0, 01. É claro que se =, f() = 3, mas isto não importa agora. O que importa, isto sim, é que valores próimos de produzem para f valores próimos de 3. Generalizando os argumentos acima, imagine que queremos fazer as distâncias dos valores de f() a 3 bem pequenas. Já fizemos menores do que 0.1 e 0.001, considerando em um intervalo adequado. Agora vamos fazê-las menores que ɛ > 0, uma distâcia arbitrária, que imaginamos bem pequena. O problema é então: determinar um número real δ > 0 tal que ou Partindo de deduzimos que < δ f() 3 < ɛ. δ < < + δ 3 ɛ < f() = 1 < 3 + ɛ. 3 ɛ < 1 < 3 + ɛ, ɛ/ < < + ɛ/. Podemos, portanto, escolher δ = ɛ/. De fato, ɛ/ < < + ɛ/ 4 ɛ < < 4 + ɛ 3 ɛ < f() < 3 + ɛ. Logo, para cada ɛ > 0 dado, eiste por eemplo δ = ɛ δ < < + δ = 3 ɛ < f() < 3 + ɛ. ou, usando o valor absoluto, < δ = f() 3 < ɛ. de modo que: Este resultado pode ser escrito assim: f() = 3, o ite de f quando tende a 1 é 3.

16 Limite e Continuidade (J. Adonai) Eercício Resposta Considere f como no eemplo anterior. Ache δ > 0 de modo que 1 < δ = f() 1 < ɛ. Qual o ite de f quando tende a 1? Eemplo.3. Considere a função g definida em R {} por g() = ( 1)( ). Como = 1, sempre que, vemos que g coincide com f, do eemplo anterior, em seu domínio R {}. Portanto, seu te em = eiste e deve ser 3, isto é: g() = 3. Note, agora, que, g() = 1, g() = 1, e 0 1 g() = 0. 1 E quando se aproima de, o que ocorre com os correspondentes valores de f()? Quando se aproima de, ou por valores menores que (pela esquerda) ou por valores maiores que (pela direita), mantendose diferente de, notamos que f() toma valores tão próimos de 3 quanto quisermos. Então, f() = 3 embora não eista f(). Eemplo.4. Consideremos h : R R definida por ( 1)( ), se h() = 5, se = Note que a diferença entre h e g, do eemplo anterior, é que conhecemos o valor de h em =. Temos h() = 3, mas h() = 5, e, portanto, h() f(). Observando os eemplos anteriores, notamos que a frase tende a a, a, quer dizer: se aproima de a por valores maiores que a ou por valores menores que a, mantendo-se diferente de a. Portanto, quando calculamos a f() não precisamos considerar o valor que f possa atingir em = 0, caso este eista.

17 Limite e Continuidade (J. Adonai) Limite Agora, vamos formalizar a noção de ite. Definição.5. Dada a função f definida num intervalo I R, eceto possivelmente, em a, dizemos que o ite de f() quando tende a a é L, e escreveremos f() = L, a se para cada número real ɛ > 0 dado arbitrariamente, eiste um número δ > 0, que pode depender de ɛ, tal que para I com (a δ < < a + δ e a) = L ɛ < f() < L + ɛ. Em outras palavras, ɛ > 0, δ > 0 tal que I e 0 < a < δ = f() L < ɛ. Convém observar que a definição de ite permite provar que a f() = L, mas não indica como obter L. Além disso, são grandes as dificuldades que surgem ao aplicá-la para funções um pouco mais elaboradas. Veremos agora algumas propriedades que einam parte dessas dificuldades. Teorema.6. [Propriedades dos Limites] Consideremos duas funções f, g : I R tendo ite em um certo ponto a I, digamos a f() = L e a g() = S. Então, valem os seguintes resultados: (i) [Limite da soma] Quando tende a a, a função soma de f com g,f() + g(), tende a L + S, ou seja, (f() + g()) = L + S, a isto é, o ite da soma é a soma dos ites, desde que as parcelas tenham ite. (ii) [Limite do produto] Quando tende a a, a função produto de f por g, f()g() tende a LS, ou seja, (f()g()) = LS, a isto é, o ite do produto é o produto dos ites, desde que os fatores tenham ite. (iii) [Limite do quociente] Quando tende a a, se S 0, a função quociente de f por g f tende a L, ou seja, g S f() a g() = L S, isto é, o ite do quociente é o quociente dos ites, desde que o numerador e o denominador tenham ite, e este último seja não-nulo. Demonstração. Vejamos a prova de (i). Seja ɛ > 0. Temos que eistem δ 1 > 0 e δ > 0 tais que e I, 0 < a < δ 1 = f() L < ɛ, I, 0 < a < δ = g() S < ɛ. (Note que aplicamos simplesmente a definição de ite para f e g, obtendo δ 1 e δ, a partir de ɛ/.) Tomando δ = min{δ 1, δ } as duas implicações obtidas ocorrem simultaneamente, isto é, I, 0 < a < δ = f() L < ɛ e g() S < ɛ. Logo, se I, 0 < a < δ, então f() + g() (L + S) f() L + g() S < ɛ + ɛ = ɛ. Isto significa que a (f() + g()) = L + S.

18 Limite e Continuidade (J. Adonai) - 16 Eemplo.7. Eemplo.8. (3) = 3 = 3 ( ) = 6. 3 = ( ) = Eemplo.9. ( ) ( ) ( ) = 3 = 8. 1 ( 3 + 3) = + ( 3) + 3 = + ( 3) + 3 = Eemplo.10. Se m e b são constantes quaisquer, então (m + b) = ma + b. a Eemplo.11. Se f é dada pelo polinômio temos a f() = f(a). f() = a n n + a n 1 n a 1 + a 0, + 1 ( + 1) Eemplo = 5 ( 1) = 6 4 = 3. 5 Eemplo = ( 1)( + 1) = ( + 1) =. 1 ( 1) 1 Eemplo.14. Dada { 1, se < 1 f() =, se 1, temos que f() = 0 0 ( 1) = 1 e f() = 0 = 1 Eemplo.15. Consideremos { 1,, se < 1 f() =, se 1 Temos que: f() = 0 0 ( 1) = 1 e f() = = 1. - Eercício Resposta (a) (b) 4. (c) 3 8. (d) (e) n a n a, onde n N. a Calcule os seguintes ites. Notamos que, quando se aproima de 1 pela direita, f() se aproima de 1/ e quando se aproima de 1 pela esquerda, f() se aproima de zero. Neste caso, dizemos que não eiste 1 f(). Entretanto, podemos falar nos ites laterais:

19 Limite e Continuidade (J. Adonai) - 17 (i) 1 + f() = 1, onde 1 +, e diremos que o ite à direita de f em = 1 é 1/; (ii) 1 f() = 0, e diremos que o ite à esquerda de f em = 1 é 0. = 4 Notamos que, quando se aproima de 1 pela direita, f() se aproima de 1/ e quando se aproima de 1 pela esquerda, f() se aproima de zero, dizemos que não eiste 1 f().. Limites Laterais Nesta seção, abordaremos as noção de ite lateral com um pouco mais de rigor. Definição.16. Seja f definida em um intervalo aberto (a, c), para algum c > a. Diremos que L R é o ite à direita de f em = a, o que será denotado por, a + f() = L, se ɛ > 0, δ > 0 tal que a < < a + δ = f() L < ɛ. Eemplo.19. Se 1, se > 0 f() = 0, se = 0 1, se < 0, então 0 f() = 1, 0 + f() = 1. Em particular, observe que f não tem ite em a = 0. Definição.17. Seja f definida em um intervalo aberto (b, a), para algum b < a. Diremos que L R é o ite à esquerda de f em = a, o que será denotado por, a f() = L, se ɛ > 0, δ > 0 tal que a δ < < a = f() L < ɛ. Eemplo.18. Defina f() = 4 que, claro, está definida para 4. Temos que 4 + f() = 0. Entretanto, não faz sentido se falar no ite à esquerda em a = 4, posto que f não está definida para valores de menores do que 4, e próimos a 4. O gráfico de f vem a seguir. O seguinte teorema relaciona as noções de ite e ites laterais, e sua prova será deiada como eercício. Teorema.0. a f() = L a a f() = f() = L. +

20 Limite e Continuidade (J. Adonai) Limites Infinitos e no Infinito Consideremos f() = 1 ( 0), 0, cujo gráfico mostramos abaio. De modo análogo, podemos também escrever: f() =. 0 Vejamos agora outro eemplo. Vamos estudar g() = 1 ( 1)( ), que, claro, está bem definida para 1 e. O seu gráfico é Observamos que à medida que cresce, atingindo cada vez mais valores positivos, os valores de f se aproimam, e se mantêm próimos de zero. Este fato será indicado por f() = 0, + o que leremos: o ite de f() quando tende a mais infinito é zero. Analogamente, à medida que decresce, assumindo valores negativos, os valores de f se aproimam, e se mantêm próimos de zero. Este fato será indicado por f() = 0, o que leremos: o ite de f() quando tende a menos infinito é zero. Ainda olhando para o gráfico de f, agora para valores de perto de zero com > 0, notamos que f atinge valores cada vez maiores. Representaremos isto, escrevendo: f() = Observe que (i) + g() = 0. (ii) g() = 0. (iii) 1 g() = +. (iv) 1 + g() =. (v) g() = +. (vi) + g() = +. = 1 ( 1)( )

21 Limite e Continuidade (J. Adonai) - 19 Os resultados em (v) e (vi) permitem escrever g() = +, significando que os ites laterais são infinitos e iguais a +. Agora, formalizaremos as noções de ites infinitos. Definição.1. Seja f definida em algum conjunto D contendo um intervalo aberto (a, c), para algum c > a. Diremos que o ite à direita de f em = a é mais infinito, o que será denotado por, a + f() = +, se M > 0, δ > 0 tal que a < < a + δ = f() > M. Definição.. Seja f definida em algum conjunto D contendo um intervalo aberto (b, a), para algum b < a. Diremos que o ite à esquerda de f em = a é mais infinito, o que será denotado por, a + f() = +, se Definição.5. Dada a função f, definida num conjunto D contendo intervalos (b, a) e (a, b), para alguns b < a < c, dizemos que o ite de f() quando tende a a é +, e escreveremos f() = +, a se para cada número real M > 0 dado arbitrariamente, eiste um número δ > 0, que pode depender de M, tal que para I com Em outras palavras a δ < < a + δ e a = f() > M. M > 0, δ > 0 tal que I e 0 < a < δ = f() > M. Para os ites no infinito, nós temos as definições. M > 0, δ > 0 tal que a δ < < a = f() > M. Definição.3. Seja f definida em algum conjunto D contendo um intervalo aberto (a, c), para algum c > a. Diremos que o ite à direita de f em = a é menos infinito, o que será denotado por, a + f() =, se M > 0, δ > 0 tal que a < < a + δ = f() < M. Definição.4. Seja f definida em algum conjunto D contendo um intervalo aberto (b, a), para algum b < a. Diremos que o ite à esquerda de f em = a é menos infinito, o que será denotado por, a + f() = +, se M > 0, δ > 0 tal que a δ < < a = f() < M. Definição.6. Dada a função f definida num conjunto D contendo um intervalo do tipo [a, + ) dizemos que o ite de f() quando tende a + é L, e escreveremos f() = L, + se para cada número real ɛ > 0 dado arbitrariamente, eiste um número N > 0, que pode depender de ɛ, tal que para D com Em outras palavras N < = L ɛ < f() < L + ɛ. ɛ > 0, N > 0 tal que D e N < = f() L < ɛ.

22 Limite e Continuidade (J. Adonai) - 0 Definição.7. Dada a função f definida num conjunto D contendo um intervalo do tipo (, a] dizemos que o ite de f() quando tende a é L, e escreveremos f() = L, se para cada número real ɛ > 0 dado arbitrariamente, eiste um número N > 0, que pode depender de ɛ, tal que para D com Em outras palavras < N = L ɛ < f() < L + ɛ. ɛ > 0, N > 0 tal que D e < N = f() L < ɛ. Agora, convidamos o leitor para definir ±+ f() = ±. Eemplo.8. Para a função f() = f() = e { 1, se < 1, se > 1, temos f() = Eercício Resposta (a) (b) (c) + p() q(), onde e Calcule os seguintes ites no infinito. p() = a n n + a n 1 n 1 + a n n + + a 0 q() = b n n + b n 1 n 1 + b n n + + b 0 são dois polinômios de grau n..4 Funções Contínuas Comecemos eaminando os dois gráficos abaio. consideremos o gráfico de { f() = 3 1, se , se < 4 Inicialmente,

23 Limite e Continuidade (J. Adonai) - 1 Agora vejamos o gráfico de g() = 3. (ii) g() =, R. (iii) r() =, 0. (iv) h() =, R. (v) l() = cos, R. (vi) s() = sen, R. Vejamos os gráficos de r e h. Podemos observar que a curva = f() dá um salto em =. Em geral, se o gráfico de uma função é uma curva que não apresenta saltos ou furos, como no caso da curva = g(), dizemos que a função é contínua em todos os pontos de seu domínio. = Definição.9. Uma função f : I R definida no intervalo I é dita contínua em = a I, se eiste a f() e este ite coincide com o valor da função em a, ou seja: a f() = f(a). f é contínua em I, ou simplesmente contínua, se ela é contínua em todos pontos de I. Isto significa que f é contínua num ponto a somente quando se verificam as três condições seguintes: = Eemplo.31. A função f() =, R, é contínua. Entretanto, se quisermos estendê-la a todo R, deveremos defini-la em = 0. A nova função obtida assim nunca será contínua em = 0. Por quê? (i) Eiste f(a). (ii) Eiste a f(). (iii) a f() = f(a). Eemplo.30. São contínuas as seguintes funções: (i) f() = a n n + a n 1 n a 1 + a 0, R.

24 Limite e Continuidade (J. Adonai) - -4 Eercício Resposta isto, esboce o gráfico de f. { (a) f() =, se 1 + a, se > 1. { sen, se π (b) f() = π + a, se > π. Em cada caso, determine o valor da constante a para que f seja uma função contínua. Feito.5 Operações com Funções Contínuas Enunciaremos, agora, alguns resultados sobre as operações com funções contínuas. Teorema.3. Seja I R, um intervalo. Se f, g : I R são funções contínuas no ponto a I, então as seguintes aplicações são contínuas em a. (i) [Soma] (ii) [Produto] (iii) f + g : D R (f + g)() = f() + g(); fg : D R (fg)() = f()g(); 1 f : D R se f() 0, para todo I. 1 f () = 1 f(), Demonstração. Vejamos a prova de (i). Como f e g são contínuas em a, vem que a f() = f(a) e a g() = g(a). Usando o item (i) do teorema.6, obtemos que (f + g)() = f() + g() = f(a) + g(a) = (f + g)(a). a a a Logo, obtemos a continuidade de f + g em a. Vejamos mais uma peça útil para a verificação da continuidade de certas funções, a partir do conhecimento da continuidade de outras. Teorema.33. Considere f : I R R, g : J R R, com f(i) J, a I e b = f(a) J. Se f é contínua em a e g é contínua em b, então g f é contínua em a. Demonstração. Seja ɛ > 0. Como g é contínua em b = f(a), eiste δ 1 > 0 tal que E, b < δ 1 = g() g(b) < ɛ. Já a continuidade de f em a produz δ > 0 tal que D, a < δ = f() f(a) = f() b < δ 1. Logo, se = f(), para D e a < δ, vale a qual implica que b = f() f(a) < δ 1, g() g(b) = g(f()) g(f(a)) = (g f)() (g f)(a) < ɛ. Em resumo, temos que D, a < δ = (g f)() (g f)(a) < ɛ, isto é, g f é contínua em a.

25 Limite e Continuidade (J. Adonai) - 3 Eemplo.34. A função h() = (g f)() = g(f()) = cos é continua porque é a composta de g() = com f() = cos que são contínuas. Em particular, 0 h() =. De fato, Também temos -5 Eercício Sugestão (a) h() = 1. (b) h() = 1. h() = h(0) = 0 cos 0 =. h() = h( π π ) = π cos = 0 = 1. Em cada caso, ache D, o maior domínio de h e justifique sua continuidade aí. posto que f é o quociente de funções contínuas, e, nos pontos onde os ites foram avaliados,o denominador não se anula. Mas, e em = 0, tem ite? Consideremos a seguinte a tabela. sen sen sen 0, 10 0, , , 09 0, , , 08 0, , , 07 0, , , 06 0, , , 05 0, , , 04 0, , , 03 0, , , 0 0, , , 01 0, , Limites Trigonométricos Fundamentais Nesta seção, estudaremos dois ites especiais que desempenharam papel importante nos capítulos seguintes. Vamos considerar a função f() = sen, definida em R {0}. Não chegaria a ser um problema o cálculo de ites como: = sen = 1 π sen f() = π sen = 0, sen f() = = π 4 f() = π π π 4 f() = 1 1 sen = 1 π π 4 = sen 1, = π, = π, É isso mesmo que ocorre, ou seja, temos o seguinte teorema. Teorema.35. sen 0 = 1.

26 Limite e Continuidade (J. Adonai) - 4 Demonstração. Na figura ao lado, vemos o arco, seu seno e sua tangente. Notamos inicialmente que para 0 < < π, temos sen < < tan. Dividindo por sen (sen > 0), obtemos 1 < sen < 1 cos. Como 0 1 = 1 e 0 concluímos que 1 cos = 1, 0 + sen = 1 sen e, portanto, sen = Para concluir, observe que para < 0, temos sen Portanto, pondo u =, o que prova o teorema. sen 0 sen = = = u 0 + sen u u sen. = 1, Outro ite importante, e que pode ser obtido do ite anterior, aparece no teorema abaio. Teorema.36. cos 1 0 = 0. tg Demonstração. Começamos observando que cos 1 Logo, podemos escrever onde u =. Portanto, cos 1 0 = cos( + ) 1 = sen ( ) cos 1 = u 0 sen u sen u u = -6 Eercício Sugestão cos 1 (a) 0 tg = 1. (b) 0 (cos 1) sen = 0. = cos ( ) sen ( ) 1 = sen ( ) = sen u sen u u, sen u = sen u u 0 u 0 u = 1 = 0 1 = 0. Use os resultados desta seção para verificar os seguintes ites.

27 Sugestões & Respostas (J. Adonai) Voltar (a) a = 0. (b) a = 1. Parte Sugestões & Respostas -5 Voltar (a) Observe que D é determinado por 1 0. Logo, D = (, 1] [1, ). h = g f, onde f() = 1 e g() =. (b) D = [ 1, 1]. h = g f, onde f() = 1 e g() =. -6 Voltar (a) Escreva tg = 1 sen. cos -1 Voltar δ = ɛ/ e f() = 1. - Voltar (a) 1. (b) 4. Use o fato que 4 = ( )( + ), e que, para o cálculo do ite, deve-se supor que. (c) 1. Use o fato que 3 8 = ( )( + + 4), e que, para o cálculo do ite, deve-se supor que. (d) Use o fato que = ( 10)( ), e que, para o cálculo do ite, deve-se supor que 10. (e) na n 1. Fatore n a n. e passe ao ite obser- -3 Voltar ( (a) +. Escreva ) = vando que + = 0, se k N. k ( (b) 1/. Escreva = 1 +1 ) + 1 e passe ao ite observando 1 que + = 0, se k N. k (c) an b n. Ponha n em evidência no numerador e no denominador de p(). q()

28 UFAL EAD Cálculo 1 J. Adonai Parte 3: Derivadas Objetivos Específicos Interpretar Reta Tangente a uma Curva como Limite se Retas Secantes Introduzir Derivada de uma Função como Inclinação da Reta Tangente ao seu Gráfico Calcular Derivadas Calcular Máimo e Mínimo de Funções Reais Objetivo Geral Identificar Funções Deriváveis Maceió-010

29 Derivadas (J. Adonai) - 7 A derivada é um conceito matemático, que teve origem nos problemas geométricos clássicos de tangência, que se aplica sempre que queremos medir a rapidez com que um certo fenômeno acontece. Portanto, ele é aplicável na Física, quando queremos medir a velocidade de um partícula; na Biologia, quando queremos medir o crescimento de uma determinada população; na Química, quando queremos medir a velocidade numa reação química; em Engenharia, quando queremos estudar deformações; em Economia e Finanças, ela aparece como o custo marginal. Podemos motivar a construção da derivada, a partir da noção intuitiva que temos de reta tangente a uma curva em um ponto. É eatamente isto que faremos. Dada uma curva γ e um ponto P nela, a reta tangente em P é a reta que contém P sobre a qual a curva tende a deitar-se. Claro que esta é uma forma carinhosa de se falar da tangente. A formalização desta reta pode ser feita assim: considere um ponto móvel Q, ao longo de γ, aproimando-se cada vez mais de P. Agora olhe para as retas secantes l Q, que passam por P e Q. Estas retas, quando Q se aproima de P, se aproimam do que chamamos reta tangente à curva γ em P. Portanto, só nos resta achar uma maneira l Q l Q l Q l Q l Q l Q ângulo θ Q que ela faz com o eio-, isto é, i Q = tg θ Q = t b s a. Agora é só fazer Q caminhar para P, ou, equivalentemente, fazer s tender para a e t tender para b, e esperar que o ite t b s a i n = t b s a tg θ Q = t b s a t b s a eista, caso no qual deve coincindir com a inclinação da tangente l, a saber tg θ, onde θ é o ângulo que l faz com eio-. Agora, vamos adaptar tudo isto ao caso em que γ é um gráfico, isto é, uma curva = f(), para variando em um intervalo I. Neste t = f(a + ) f(a) γ : = f() P Q f(a + ) f(a) l l Q t b γ Q Q Q Q Q P l θ θ Q a s = a + caso, P = (a, b) = (a, f(a)) e o ponto móvel Q é dado por Q = (s, t) = (a +, f(a + )), θ θ Q de obter o ite destas secantes. A estratégia será usar as inclinações (coeficientes angulares, declividades) das retas secantes. Se P = (a, b) e Q = (s, t), a inclinação de l Q, que indicaremos por i Q, é a tangente do a s onde, que chamaremos de acréscimo, tende para zero, o que faz com que Q tenda para P. Portanto, a declividade da reta tangente l, tg θ, deve ser o ite, caso eista, f(s) f(a) tg θ = tg θ Q = Q P 0 s a = 0 f(a + ) f(a). (E 1 )

30 Derivadas (J. Adonai) - 8 Vejamos alguns eemplos de retas tangentes. Eemplo 3.1. Consideremos a parábola =, R. Vamos obter a reta tangente a esta curva no ponto P = (1, 1). Neste caso, a = 1 e f(1 + ) Q 1 + l Q l : = 1 b = f(a) = 1. Logo, a inclinação da reta procurada é dada por e, portanto, f(1 + ) f(1) tg θ = 0 = 0 + ( ) (1 + ) f(1) = 0 = ( + ) = 0 1 = ( 1), ou = 1 é a equação da reta tangente procurada. Note que a inclinação da reta tangente em (1, 1) mostra que a função f() = é crescente perto de = 1. Em outras palavras, f herda, para pontos próimos de 1, a propriedade de ser crescente de = 1. Mais geralmente, num ponto arbitrário da parábola, P = (a, a ), a inclinação da reta tangente aí, é dada por (a + ) f(a) 0 a + ( ) = 0 = (a + ) = a. 0 Isto implica que a reta tangente tem equação a = a( a). 3-1 Eercício Resposta Considere f() = 3 + 1, R. Esboce o gráfico de f, isto é, a curva = e calcule a sua reta tangente no ponto P = ( 1, 0). 3.1 A Derivada Bem, agora chegou o momento mais esperado: vamos definir derivada de f() no ponto a. É simples. Ela é a inclinação da reta tangente à curva = f() no ponto (a, f(a)), isto é, ela é o ite dado na equação (E 1 ), página 7. Mais precisamente, temos a seguinte definição. Definição 3.. Seja f : I R uma função definida no intervalo I. Seja a um ponto de I. A derivada de f em a, indicada por f (a), ou (a), é definida por d d f (a) = d f(a + ) f(a) (a) = d 0 f() f(a) =, a a caso o ite eista. Quando a derivada de f em a eiste, dizemos que f é derivável em a. Quando a derivada de f eiste em todo ponto de I, dizemos que f é derivável em I, ou, simplesmente, que f é derivável. Observação 3.3. Na definição acima, se o ponto a é uma etremidade de I, o ite é computado como o ite lateral que faz sentido. Por eemplo, se I = [a, b] ou I = [a, b), então f (a) = d d (a) = f(a + ) f(a) 0 + f() f(a) =, a + a que em alguns tetos é indicada por f (a + ), e é chamada derivada à direita de f em a.

31 Derivadas (J. Adonai) - 9 Observação 3.4. Escrevendo = f(a + ) f(a), podemos escrever f (a) = d (a) = d 0. Observação 3.5. Devido à sua importância dentro do Cálculo, o quociente usado na definição de derivada = f(a + ) f(a) = f() f(a), a definido para 0 (ou para a), recebe um nome especial: quociente de Newton de f em torno de = a. Eemplo 3.6. Retomemos f() =, como no eemplo 3.1. Naquele eemplo vimos que f(a + ) f(a) 0 = a f() f(a) a = a. Portanto, f (a) = a, em qualquer a. Portanto, podemos dizer que f() = é uma função derivável em R. Observe que, em particular, f (1) =, f ( 1) =, f (3) = 6, f (5) = 10 e f ( ) =. Eemplo 3.7. Seja {, se 0 = f() = =, se < 0, cujo gráfico, vemos ao lado. Como vemos na figura, o ponto P = (0, 0) da curva =, não pode admitir uma reta tangente bem definida. Isto revela que a derivada de não eiste em = 0. De fato, o quociente de Newton de em torno de = 0 é dado por f() f(0) = { 1, se > 0 0 = 1, se < 0. Este quociente não tem ite quando tende a zero, porque o seu ite à direita é 1, e o seu ite à esquerda é 1. Logo, a função = não tem derivada no ponto a = 0, como já havíamos previsto. Tudo se passa como se tivéssemos duas tangentes em (0, 0): uma pela direita, a reta =, e a outra pela direita, a rteta =. Entretanto, em todo ponto = a 0, a derivada de = eiste e e dada por { 1, se a > 0 f (a) = 1, se a < 0, como o leitor pode verificar facilmente. Observação 3.8. Se uma função admite derivada num ponto a, então seu gráfico admite uma reta tangente no ponto (a, f(a)) e, portanto, deve ser suave próimo desse ponto, Um gráfico anguloso em um ponto implica a não eistência da reta tangente e, portanto, da derivada da função na abscissa do ponto correspondente. A eistência da reta tangente em um ponto da curva também mostra que a curva não pode ter salto aí: ela deve ser contínua. Este é o conteúdo do próimo teorema. Teorema 3.9. Se f : I R tem derivada em = a, então ela é contínua aí. Demonstração. Temos que f f() f(a) (a) =. a a Mostremos, agora, que a (f() f(a)) = 0. Com efeito, de vem que como queríamos. f() f(a) = f() f(a) a ( a) (f() f(a)) = f (a) 0 = 0, a

32 Derivadas (J. Adonai) - 30 Observação A recíproca dessa proposição é falsa. No eemplo 3.7, vimos que a função f() = não tem derivada em = 0. Entretanto, f é continua em todos os pontos. 3. A Função Derivada Seja = f() uma função definida num intervalo aberto I. Se a derivada eiste para todo I, dizemos que f é derivável em I, e denotamos por f () é a função derivada da função f(). Assim, que é a equação da reta procurada. = 1 16 f : I R = f () = 0 f( + ) f() Eemplo Seja a função f() =, definida em R. Como vimos no eemplo 3.6, para cada a, f (a) = a. Logo, podemos escrever f () = que é a função derivada de f() =. Eemplo 3.1. Seja a função f() = 3, definida em R. Calculemos a derivada de f() num ponto qualquer. Temos f f( + ) f() () = 0 ( + ) 3 3 = 0 = ( ) + ( ) 3 3 = 0 [ ( ) ] = 3. Portanto, f () = 3, R, é a função derivada de f() = 3. Em particular, se queremos obter a reta tangente da curva = 3 no ponto A = (, 8), basta calcular f () = 3() = 1, e escrever = 8 + 1( ) = 1 16,. = Regras de Derivação Esta seção comporá um teorema que estabelece as propriedades operatórias da derivada. Teorema [Operações com Derivadas] Se f, g : I R R n são funções deriváveis em I, enta valem as seguintes propriedades: (iv) (f + g) () = f () + g (). (v) (fg) () = f ()g() + f()g (). (vi) ( f g ) () = f ()g() + f()g () (g()). Demonstração. Vejamos a prova de (i). Notemos, inicialmente, que eistem os ites e f f( + ) f() () = 0 g () = 0 g( + ) g().

33 Derivadas (J. Adonai) - 31 Logo, (f + g)( + ) (f + g)() f( + ) f() = g( + ) g() + 0 = f () + g (). Para (ii), escrevemos o quociente de Newton (fg)( + ) (fg)() = f( + )g( + ) f()g() ao qual adicionamos e subtraimos f( + )g() e obtemos (fg)( + ) (fg)() Portanto, (fg) () = 0 = f( + ) f() g() + + f( + ) f( + ) f() g() + g( + ) g(). + ) g() + f( + )g( 0 = f ()g() + f()g (), já que 0 f(+ ) = f() e 0 g(+ ) = g(), pois f e g são contínuas em. Para finalizar, vejamos (iii). Vamos, inicialmente, estudar a função 1. Temos que g 1 1 = g( + ) g() Portanto, ( ) () = g 0 g( + ) g() g( + ) g() g( + ) g(). A passagem para o caso geral segue-se agora de (ii). De fato, ( f g ) () = ( f 1 e está concluído o teorema. g) () = f 1 () g() + f() = f () g() f() g () (g()) ( ) 1 () g = g () (g()). = ( f g ) () = f ()g() + f()g () (g()), 3.4 Derivadas de Funções Elementares Inicialmente, veremos algumas identidades algébricas que serão úteis nesta seção. Lema Sejam r, a, b R. Dado n N, valem: (i) 1 r n = (1 r)(1 + r + r + + r n 1 ). (ii) b n a n = (b a)(b n 1 + b n a + b n 1 a + + ba n + a n 1 ). ( 1 g )( + ) ( 1 g )() = 1 1 g(+ ) g() (iii) n b n b a a = ( n b) n 1 +( n b) n n a+( n b) n 3 ( n. Aqui, b) + +( n a) n 1 estamos supondo a, b > 0.

34 Derivadas (J. Adonai) - 3 Demonstração. Seja Logo, e, portanto, S n = 1 + r + r + + r n 1. rs n = r + r + r r n S n rs n = 1 + r + r + + r n 1 r r r 3 r n = 1 r n. Donde, 1 r n = (1 r)s n = (1 r)(1 + r + r + + r n 1 ), o que prova (i). Para provar (ii), vamos supor b 0, definir r = a/b e usar (i). Assim ( a ) n) a (1 = (1 b b )(1 + a ( a ) ( a ) n 1). b b b Multiplicando ambos os membros por b n, segue-se (ii). Agora, usando (ii), vem que ( ) n n ( b a = b n ) ( n a = o que prova (iii) e termina o lema. n ) ( ( ) b n n n 1 a b + ( ) ) n n + b n ( a + n ) n 1 a, Proposição [Derivada de uma função constante] Dado um número real c, a função constante = f() = c, R, tem derivada nula em todo R. Demonstração. Temos que o numerador do quociente de Newton é = f( + ) f() = c c = 0. Logo, como queríamos. = 0, e isto implica que f () = 0 = 0 = 0, 0 Proposição [Derivadas de n e n ] (i) Se n N, então dn d = nn 1, R. (ii) Se n N, então d n d = n n 1, 0. (iii) d n = 1 ou, equivalentemente, d n( n ) d 1 n = 1 1 n 1 n 1. d n Demonstração. Escrevendo f() = n, temos que f( + ) f() = ( + ) n n = (( + ) n + ( + ) n n 1 ), onde usamos o item (ii) do lema Logo, Daí vem que = ( + )n + ( + ) n n 1. f () = 0 = nn 1, ou, dn d = nn 1, o que prova (i). Para (ii), notamos que n = 1 n. Logo, usando o item (iii) do teorema 3.13, d n d = d ( 1 ) n d = nn 1 ( n ) = nn 1 n = n n 1. Agora, escrevendo r() = n, tomando > 0 e de modo que + > 0, temos que, usando o item (iii) do lema 3.14,

35 Derivadas (J. Adonai) - 33 r( + ) r() = e, portanto, ( n + ) n 1 + ( n + ) n n + + ( n ) n 1 r 1 () = ( 0 n ) n 1 ( + + n ) n + n + + ( n ) n 1 = 1 n ( n ) n 1, e está terminada a proposição. Observação Quando n é um número ímpar, a função n está n definida, também, para < 0: = n. Portanto, a fórmula que obtivemos na proposição anterior funciona para < 0, também, isto é: se n é ímpar e 0, então d n = 1. d n( n ) n 1 Observação Os itens (i), (ii) e (iii) da proposição 3.16 mostram que para derivar uma potência de, basta baiar esta potência d e substituí-la por ela menos um: r = d rr 1, onde r é um inteiro ou uma fração do tipo 1/n. Veremos oportunamente que esta regra se estende para qualquer potência racional (proposição 3.30 ), ou mesmo irracional. Eemplo (i) f() = 7 = f () = 0. (ii) f() = = f () =. (iii) f() = 5 = f () = 5 4. (iv) f() = 4 = f () = d 1 4 = = 1 d = 1 4 (v) f() = = f () = (vi) f() = 4 = f () = = = ( 4 ) 3 3- Eercício Resposta Faça figuras. 3-3 Eercício Sugestão (a) Calcule f (0) e f (). Calcular derivada de = 3 em = 8. Ache, também, a reta tangente da curva em (8, ). Considere = f() = (b) Determine a onde a reta tangente de = f() em (a, f(a)) é paralela ao eio-. Proposição 3.0. [Derivada da função e seno] d sen d = cos. Demonstração. Seja = f() = sen. Temos que Logo, f( + ) f() = sen( + ) sen = sen cos + sen cos sen = sen (cos( ) 1) + sen( ) cos(). sen (cos 1) + sen cos cos 1 sen = = sen + cos. Como sen 0 cos 1 = 1 e 0 (veja os teoremas.35 e.36 ), segue-se que f () = 0 = cos. = 0