UTILIZAÇÃO DO PROGRAMA MATHEMATICA TM NO ENSINO DE ANTENAS DE MICROFITA

Transcrição

1 UTILIZAÇÃO DO PROGRAMA MATHEMATICA TM NO ENSINO DE ANTENAS DE MICROFITA D.C.M. Mciel Instituto Tecnológico de Aeronáutic Lbortório de Antens e Propgção Prç Mrechl Edurdo Gomes, São José dos Cmpos SP Delx C. Lunrdi delx@it.br I. Binchi ibinchi@it.br J.C. d S. Lcv lcv@it.br Resumo: Este trblho descreve spectos relciondos o ensino de ntens de microfit tl como implementdo no Instituto Tecnológico de Aeronáutic. Em prticulr, discute utilição do progrm Mthemtic TM como importnte ferrment de uxílio didático. São presentdos resultdos pr ntens retngulres e circulres. Plvrs Chves: Antens de microfit, Modelo d cvidde ressonnte, Domínio espectrl, Técnics de ensino. 1 INTRODUÇÃO Anten de microfit é, indubitvelmente, um tópico relevnte e tul d teori de ntens. Vários livros bordndo esse tópico têm sido publicdos o longo d últim décd, como BHARTIA et l. (1991), POZAR e SCHAUBERT (1995) e GARG et l. (1). A despeito do estágio lcnçdo pelo ensino de ntens em importntes centros brsileiros de excelênci em engenhri elétric, ement de um curso dedicdo exclusivmente o estudo de ntens de microfit, se existente, é reltivmente nov. Pr nálise desss ntens são imprescindíveis bons conhecimentos em eletromgnetismo, onds guids, dispositivos pssivos e, nturlmente, em teori de ntens. Dess form, propost de um ement pr o primeiro curso de ntens de microfit, ser ministrdo em pós-grdução, não é um tref simples. Principlmente pelo fto dos tópicos cim menciondos não serem borddos com mplitude e profundidde dequds ns diverss escols de engenhri elétric do pís, sem mencionr os cursos de nálise vetoril e de cálculos diferencil e integrl, ferrments primordiis pr quem pretende se especilir n áre em questão. Por outro ldo, pr fcultr o ingresso de lunos oriundos de diferentes centros educcionis que, por um motivo ou outro, presentm deficiêncis nesses tópicos, porém possum elevdo potencil de prendigem, é impertivo estbelecer um form de conduir disciplin, sem necessidde de submetê-los um esforço dicionl de cursr mtéris de nivelmento. Normlmente, este preceito só deve ser plicdo lunos com elevd qulificção.

2 Neste trblho são presentdos spectos ligdos o curso de Antens de Microfit que vem sendo ministrdo no Instituto Tecnológico de Aeronáutic - ITA. Em prticulr, enfoc-se utilição do Mthemtic TM como ferrment de uxílio o curso em questão, ressltndo su cpcidde de relição de cálculos elbordos, computção simbólic e tmbém de seus recursos gráficos. Este progrm é de uso gerl e, por isso, cessível à miori ds instituições de ensino brsileirs, principlmente pelo seu custo reduido frente os progrms comerciis específicos pr nálise de estruturs plns com múltipls cmds, como, por exemplo, o Ensemble TM, o IE3D TM e o HFSS TM. MODELOS PARA ANÁLISE DE ANTENAS DE MICROFITA N su form mis simples, nten de microfit é constituíd por um plno de terr sobre o qul se pói um cmd dielétric de espessur constnte, denomind substrto. Est cmd tem finlidde de sustentr um superfície metálic (o elemento irrdidor) loclid n interfce substrto-vácuo d estrutur em questão. N Figur 1 é presentd topologi típic de um nten de microfit com elemento irrdidor circulr. Elemento irrdidor y Substrto r o x h Plno de terr Figur 1 - Geometri típic d nten de microfit com elemento irrdidor circulr. A nálise deste tipo de estrutur pode ser relid trvés de modelos clssificdos como empíricos, semi-empíricos e de ond complet (BHARTIA 1991). O último destes modelos é certmente o mis sofisticdo e, conseqüentemente, o de mior complexidde. Utili função de Green d estrutur que, em gerl, é determind no domínio espectrl, em conjunto com técnics numérics como, por exemplo, do método dos momentos. Certmente não é o mis dequdo pr ser utilido em um primeiro curso n áre. Progrms comerciis como o Ensemble TM e o IE3D TM empregm est técnic, com excelentes resultdos. Entretnto, como menciondo nteriormente, tis progrms são de custo elevdo, estimulndo ssim busc por soluções lterntivs. Já o modelo empírico, de plicção restrit ntens com geometris simples, porém dequdo pr o início do curso em questão, está bsedo em observções tmbém simplificds de seus mecnismos de operção. Apresentm desempenhos stisftórios té freqüêncis típics d fix bix de microonds e seu exemplr mis relevnte é o d cvidde ressonnte. Por outro ldo, o modelo semi-empírico é um pouco mis complexo, pois é um híbrido entre o empírico e o de ond complet. Dus etps distints são necessáris pr plicção desse modelo: o cálculo proximdo d densidde de corrente sobre o elemento irrdidor que, em gerl, pode ser relido com uxílio do método d cvidde ressonnte, e determinção d expressão ext pr função de Green d estrutur. Est últim tem sido relid com ssistênci d conhecid cpcidde de computção simbólic do progrm Mthemtic, diminuindo considervelmente o tempo normlmente utilido ness etp. Além disso, fcilidde de presentção dos resultdos n form gráfic do referido progrm é muito útil no estudo do comportmento desss funções, de fundmentl importânci pr montgem eficiente de métodos numéricos, como o método dos momentos, em preprção pr disciplins

3 mis vnçds. Em resumo, o curso de Antens de Microfit ministrdo tulmente no ITA utili, no seu início, o modelo empírico pr nlisr o denomindo problem interno e o semiempírico pr estbelecer s crcterístics ssocids os cmpos distntes. 3 ANÁLISE DA ANTENA CIRCULAR Neste item é presentd seqüênci estbelecid pr o início do curso, escolhid com o objetivo de propicir tmbém um revisão supervisiond de conceitos importntes do eletromgnetismo, imprescindíveis o mdurecimento do luno n áre. É est revisão que possibilit vnçr n disciplin sem necessidde de cursos de nivelmento. A escolh d geometri circulr pr o elemento irrdidor, logo n primeir nálise, tmbém se deve pouc mturidde dos estudntes com soluções em coordends cilíndrics. 3.1 Impedânci de entrd A geometri d estrutur irrdinte em considerção é presentd n Figur 1. O plno de terr d nten está posiciondo em = h de um sistem de coordends retngulres. Este plno sustent um cmd dielétric de permissividde ε d, permebilidde mgnétic reltiv µ r = 1, espessur h e tngente de perds δ d. O elemento irrdidor de rio situ-se no plno =, ou sej, n interfce que sepr o substrto do vácuo ( > ). O modelo d cvidde ressonnte é, n tulidde, bem documentdo, o que fcilit sobremneir o estudo inicil. De vlidde comprovd pr ntens fins (h << λ), permite determinção de expressões simples, de fácil implementção computcionl, lid um bo descrição dos fenômenos eletromgnéticos inerentes à nten. Outr crcterístic interessnte é o tempo computcionl reduido, em comprção com progrms comerciis mis complexos, sendo, portnto, indicdo pr CAD s simples, de bixo custo e com potencil pr serem empregdos em tividdes de ensino. Nesse modelo, região entre o irrdidor e o plno de terr é trtd como um cvidde ressonnte limitd por predes elétrics perfeits loclids em = e = h e predes lteris mgnétics tmbém perfeits. A excitção d nten é relid por um pont de prov coxil loclid em (r = r, φ = π), modeld por um fit de lrgur efetiv r e densidde superficil de corrente definid por: r J = ˆ A δ ( r r ), pr π < φ < π +, (1) r onde A é um constnte que tem o mpère como unidde e δ (r r ) é função Delt de Dirc loclid em r = r. No cso d nten circulr, expressão pr o cmpo elétrico no interior d cvidde equivlente, excitd por um fonte de corrente elétric, é dd por: E = + J ( km r ) J ( k iω µ A π k = π ( k k ) ( m m J k + m m n 4( 1) sen ( n ) J n ( knm r ) J n ( knm r) knm n= 1m= 1 nπ ( k knm ) ( knm n ) J n ( knm r) ) cos ( nφ), () ) com k = ω µ ε d, (3)

4 onde ω é freqüênci ngulr, µ é permebilidde mgnétic do vácuo, J n (x) é função de Bessel de primeir espécie e ordem n, k nm = χ nm /, sendo χ nm m-ésim ri de J n (x), primeir derivd de J n (x) em relção o rgumento x. Note que estes primeiros cálculos permitem revisão de conceitos como, equção de ond, condições de contorno, modos de ressonânci, método d seprção de vriáveis e representção de cmpos vi modos de ressonânci. A impedânci nos terminis de entrd d cvidde que model nten pode ser clculd por: onde Z = V / I, (4) in cvidde e V = h E é tensão nesses terminis, I = A é corrente de limentção d E E o vlor médio de 1 = r π + E ( φ, r = r ) r π E, ddo por: dφ. (5) Efetundo os cálculos, encontr-se seguinte expressão pr impedânci de entrd: Z in = 1 + iω µ h π k m = π + ( k J ( k k m m J n ( knm r ) knm ( k k ) ( ) ( n= 1 m= 1 nm knm n J n knm π ) r ) J ) ( k m ) sen ( n n ). (6) Est expressão, sendo obtid n condição de cvidde sem perds, indic que su impedânci de entrd é purmente retiv. Um form inteligente de incorporr s perds à estrutur foi propost em RICHARDS et l. (1981), trvés do conceito d tngente de perds efetiv (δ ef ), que inclui s perds no dielétrico, no condutor, vi ond de superfície e relciond com irrdição. Observe que este conceito, neste ponto do curso, possibilit rever o teorem de Poynting complexo, o procedimento pr o cálculo d energi rmend nos cmpos eletromgnéticos d cvidde, o efeito peliculr (de fundmentl importânci no cálculo de perds metálics), os modos guidos no substrto d nten, o princípio d equivlênci, s proximções pr os cmpos distntes, entre outros. Resolvendo pr o modo de ressonânci (N, M), encontr-se que: e 1 h k µ f NM TN δ ef = δ d + +, (7) h π f µ σ 1( k ) T N π / = NM c NM N {[ J p J p θ J p J p } N 1( ) N + 1( )] + cos ( )[ N + 1( ) + N 1( )] sen ( θ ) dθ, (8)

5 onde p = k sen (θ), f NM é freqüênci de ressonânci do modo (N, M), k é o número de ond do vácuo e σ c é condutividde ds predes metálics d cvidde equivlente. Pr ntens fins, eficiênci de excitção de onds de superfície é muito bix, de form que perd ssocid esse fenômeno não está incorpord à Equção (7). Como resultdo, o prâmetro k n Equção (6) é substituído pelo número de ond efetivo k ef, clculdo por: k ef = ( 1 iδ ef ) k. (9) 3. Cmpo elétrico irrdido Embor o cmpo eletromgnético distnte irrdido pel nten poss ser determindo, de form proximd, vi correntes mgnétics loclids o longo d bord do elemento irrdidor, nest etp do curso empreg-se o modelo semi-empírico com o objetivo de preprr os lunos pr trefs mis complexs. Primeirmente, determin-se função de Green espectrl pr estrutur d Figur 1. Os cálculos são relidos com uxílio d cpcidde simbólic do progrm Mthemtic conforme BIANCHI t l. () e MOREANO et l. (3). Em seguid, densidde de corrente superficil sobre o elemento irrdidor é determind trvés d condição de contorno do cmpo mgnético estbelecido pelo método d cvidde ressonnte segundo LACAVA e CIVIDANES (1988). Neste ponto são trblhdos conceitos ssocidos às onds de superfície, d trnsformd dupl de Fourier e do método d fse estcionári. Pr nten circulr operndo no modo seguintes expressões pr s componentes do cmpo elétrico distnte: E θ ik r TM 11 são obtids s e cos( θ ) cos( φ) C ε rd [ J ( p) J ( p) ] r ε rd sen ( θ ) A1 sen ( A ) A sen ( A ) i ε rd cos( θ ) cos( A ), (1) 1 E φ C e ikr r cos ( θ ) sen ( φ) [ J ( p) + J ( p) ] sen ( A ) cos ( θ ) sen( A ) i A 1 cos ( A, (11) ) com E J1( k ) C =, (1) A ε sen ( ), (13) 1 = rd θ A = A1 k h, (14) onde E é mplitude do cmpo elétrico e ε rd é permissividde reltiv do substrto. 4 ANÁLISE DA ANTENA RETANGULAR Após presentção do procedimento de cálculo d impedânci de entrd d nten circulr, vi cvidde ressonnte equivlente, os lunos são incentivdos plicá-lo em um

6 nten com geometri mis simples. Em gerl, utili-se nten retngulr pr este exercício (Figur ). x` y` y x h b Figur - Geometri típic d nten de microfit retngulr. A expressão ser obtid pelos lunos pr impedânci de entrd d nten, neste cso, é presentd seguir conforme ESTEVES (1997): Z in iω µ h = b ( mπ L / ) ξm ξn sen k = = / m n mn kef mπ L mπ nπ cos x' cos y', (15) b onde ξ q = 1 se q = e ξ q = se q, e ( x ', y' ) é loclição d pont de prov coxil modeld por um fit de corrente uniforme de lrgur efetiv L. Pr o modo de ressonânci (M, N), tngente de perds efetiv é dd por: onde 1 ξ h M ξ N δ ef = δ d + + ( I I ) θ + MN φ, (16) MN h π f µ σ 4π bη ε ω MN c d MN I I θ φ MN MN ππ/ = i k sen ( θ ) cos( φ ) k sen ( θ ) sen ( φ) cos( φ)[cos( M π ) e 1] i k bsen( θ ) sen( φ ) { 1 [ k sen ( θ ) cos ( φ) ( M π / ) ] [cos ( N π ) e 1] 1 } [ + k sen ( θ ) sen ( φ ) ( N π / b) ] sen ( θ ) dθ dφ, (17) ππ/ = i k sen ( θ ) cos( φ ) k sen ( θ ) cos ( θ ) [cos ( M π ) e 1] i k bsen ( ) sen ( ) { [cos ( ) θ φ N π e 1] cos ( φ) [ k sen ( θ ) cos ( φ) ( Mπ / ) / ]

7 [ } sen ( φ) / k sen ( θ ) sen ( φ) ( N π / b) ] sen ( θ ) dθ dφ, (18) ω MN é freqüênci ngulr de ressonânci e η é impedânci intrínsec do vácuo. 5 PROGRAMA DE ANÁLISE Um ve estbelecid bse pr o estudo de ntens de microfit, neste ponto do curso os lunos têm cesso um progrm desenvolvido no Lbortório de Antens e Propgção - LAP do Deprtmento de Telecomunicções do ITA e escrito no Mthemtic, com o objetivo de verificr os cálculos por eles relidos, lém de permitir um estudo profunddo dos efeitos ds vrições de prâmetros d nten sobre sus crcterístics elétrics. Este procedimento é essencil pr o luno sedimentr os conceitos estuddos, de fundmentl importânci qundo projetos mis complexos forem desenvolvidos. Slient-se neste ponto que os progrms comerciis nteriormente citdos só possuem cpcidde de nlisr s estruturs eles fornecids, cbendo o usuário s correções necessáris pr tingir s especificções de projeto. Com o progrm concebido no LAP, lém d nálise, síntese de ntens simples tmbém é contempld. N Figur 3 é presentd jnel utilid no estudo de ntens retngulres. São nlisdos prâmetros como impedânci de entrd (com síds gráfics n form retngulr e sobre crt de Smith), digrm de irrdição, diretividde e coeficiente de ond estcionári. Pr nten circulr, dicion-se o digrm trçdo com uxílio de um dipolo girnte. Figur 3 - Jnel do progrm desenvolvido no Mthemtic. Ns Figurs 4 e 5 são presentds simulções comprndo eficiênci desse progrm frente o progrm comercil IE3D TM. Pr tnto foi utilido como substrto o dielétrico CuCld 5 GX d Arlon TM, com s seguintes crcterístics: 1,54 mm de espessur, permissividde reltiv igul,55 e, de tngente de perds. Dus ntens, um

8 retngulr e outr circulr, form projetds pr operrem n freqüênci de GH. A retngulr, operndo no modo TM 1, possui s seguintes dimensões teórics pr cvidde que model nten: = 59,5 mm e b = 46,97 mm. Pr nten circulr operndo no modo TM 11, o rio d cvidde que model é d ordem de 7,5 mm. Impedânci de entrd [Ω] Resistênci Mthemtic IE3D Medid Retânci Mthemtic IE3D Medid - 1,95 1,975,,5,5 Freqüênci [GH] Figur 4 - Curvs pr impedânci de entrd d nten retngulr. Inicilmente, n Figur 4 são comprdos resultdos simuldos e experimentis pr impedânci de entrd d nten retngulr. Observ-se um bo concordânci entre s curvs teórics e experimentis. Este fto dá mior segurnç o luno nos cálculos por ele relidos, lém de mostrr o potencil d teori frente outrs formulções mis complexs. É importnte slientr que, estndo muito próximo o experimento d previsão teóric, um simples reesclonmento ns dimensões d nten poderá fer com que mesm opere n freqüênci desejd. Comportmento semelhnte pode ser observdo nos gráficos d Figur 5 pr nten circulr. Impedânci de entrd [Ω] Resistênci Mthemtic IE3D Medid Retânci Mthemtic IE3D Medid - 1,95 1,975,,5,5 Freqüênci [GH] Figur 5 - Curvs pr impedânci de entrd d nten circulr.

9 Como menciondo nteriormente, o progrm possibilit trçr curv d impedânci de entrd sobre crt de Smith, como mostrdo n Figur 3. Os lunos podem lterr tnto s dimensões físics qunto s crcterístics do substrto d estrutur irrdinte e vlir seus efeitos sobre os prâmetros d nten. Isso pode ser obtido com grnde rpide, sem necessidde de se recorrer um progrm comercil que, mesmo pr estruturs simples, necessit um tempo bem mior, pois, inicilmente, é preciso desenhr estrutur ser nlisd em um plnilh dequd, relir os cálculos e, somente um tempo depois, verificr os resultdos obtidos. Os digrms de irrdição tmbém são contempldos e podem ser visulidos, n versão tul, em plnos φ = constnte. Ns Figurs 6 e 7 são mostrdos os digrms de irrdição ds componentes θ e φ do cmpo elétrico d nten circulr. Observ-se um excelente concordânci com os digrms simuldos no IE3D TM. Os vlores obtidos trvés dos progrms do LAP e do IE3D TM pr diretividde d nten circulr form 7, db e 7,3 db, respectivmente. 3º º 3º Cmpo elétrico normlido [db] -1-6º IE3D Mthemtic 6º -3 9º 9º Figur 6 - Digrms de irrdição d componente E θ trçdos no plno φ = º. 3º º 3º Cmpo elétrico normlido [db] -1-6º IE3D Mthemtic 6º -3 9º 9º Figur 7 - Digrms de irrdição d componente E φ trçdos no plno φ = 9º. Um ds grndes vntgens d utilição do progrm Mthemtic é su síd gráfic. A prtir del, s presentções ds crcterístics de irrdição d estrutur, principlmente os digrms 3D, são fcilmente implementds. A Figur 8 mostr como exemplo dest síd o digrm 3D d nten circulr. O ângulo de observção desse digrm tmbém pode ser modificdo. Pr ntens circulrmente polrids, rão xil, definid como o quociente entre o eixo mior e o eixo menor d elipse de polrição d ond irrdid, é um importnte prâmetro de projeto. A técnic do dipolo girnte é, em gerl, utilid como form de medil. Do ponto de vist teórico, este prto pode ser simuldo de form simples pel seguinte equção, conforme HECKLER (3):

10 Ed = Eθ ( θ, φ) cos ( ωdt) + Eφ ( θ, φ) cos ( ωdt + ψ ), (19) Figur 8 - Digrm de irrdição 3D d nten circulr. onde θ = ω t, ω é velocidde ngulr com que gir nten em teste, ω d é velocidde ngulr de rotção do dipolo girnte, ψ é defsgem entre s componentes de cmpo elétrico E θ e E φ irrdids pel nten em teste. Neste trblho, o estudo do dipolo girnte é relido pr nten de microfit com elemento irrdidor circulr (Figur 1). A polrição circulr é obtid limentndo simultnemente nten em dois pontos deslocdos de 9º, tnto n posição como no tempo. Isto feito são obtids s seguintes expressões pr s componentes normlids do cmpo elétrico irrdido: e θ [ J ( p) J ( p) ] = iφ A1 ε rd cos( θ ) sen ( A ) e, () [ A1 sen ( A ) i ε rd cos( θ ) cos( A )][ ε rd sen ( θ )] [ J ( p) + J ( p) ] iφ sen ( A ) cos ( θ ) eφ = i e. (1) cos ( θ ) sen ( A ) i A1 cos ( A ) O digrm trçdo pelo progrm com técnic do dipolo girnte, pr um nten circulr projetd pr operr em 8, GH, é mostrdo n Figur 9, juntmente com os digrms ds componentes e θ (contorno externo) e e φ (contorno interno) do cmpo elétrico distnte normlido. Neste exemplo, os cálculos form relidos pr um substrto com permissividde reltiv igul 6 e o plno escolhido foi o x. A grnde vntgem deste tipo de gráfico é permitir o luno identificção visul imedit d rão xil d nten pr diferentes ângulos. A Figur 9 mostr que o digrm trçdo com técnic do dipolo girnte extrpol os dois contornos devido o fto d defsgem ψ fstr-se de 9º n medid em que o vlor de θ ument. Fixndo-se ψ = 9º em todo o domínio de θ, o digrm gor tngenci os trçdos pr s componentes θ e φ (Figur 1). Isto contece porque neste

11 último cso (ψ = 9º) os eixos principis d elipse de polrição são coincidentes com s direções θ e φ. º Cmpo elétrico normlido 1,,75,5,5, 9º 6º 3º Figur 9 - Digrm de irrdição d nten de microfit circulr trçdo com técnic do dipolo girnte. e θ e φ 3º 6º 9º Cmpo elétrico normlido 1,,75,5,5, 9º 6º 3º º e θ e φ 3º 6º 9º Figur 1 - Digrm de irrdição trçdo com técnic do dipolo girnte pr nten de microfit circulr com ψ = 9º. Admitindo um vlor máximo permitido pr rão xil d nten em nálise, o progrm indic o ângulo θ máximo prtir do qul rão xil ultrpss o vlor estipuldo. Tl prâmetro é de grnde importânci no dimensionmento de um rdioenlce. 6 CONCLUSÕES Neste trblho form nlisdos spectos relciondos o ensino, em nível de pós-grdução, de ntens de microfit tl como implementdo no Instituto Tecnológico de Aeronáutic. Em prticulr, discutiu-se utilição do progrm Mthemtic TM como importnte ferrment de uxílio didático. Os lunos que cursm disciplin em preço estão vinculdos o Lbortório de Antens e Propgção (LAP) do ITA e o progrm de pós-grdução n áre de Telecomunicções. São oriundos de diverss universiddes do pís, tis como: UFES, UFRGS, UFRJ, UFSM, UNIFEI, UNITAU, entre outrs. Os resultdos lcnçdos pelos lunos confirmm eficáci do procedimento implntdo, tendo em vist complexidde dos projetos desenvolvidos pelo LAP, os tems ds teses defendids e os trblhos publicdos. Outro specto importnte que dever ser considerdo está relciondo os softwres de grnde porte, como o Ensemble, o HFSS e o IE3D, imprescindíveis no desenvolvimento de estruturs irrdintes complexs. Estes, entretnto, são podeross ferrments de nálise, ms não

12 de síntese. Dess form, sólidos conhecimentos n áre de ntens e, principlmente, n de ntens de microfit, são indispensáveis os seus operdores. Além deste fto, softwres mis leves, em gerl bsedos em fundmentdos físicos, como o presentdo neste trblho, têm grnde utilidde. Estes uxilim o projetist ns modificções serem introduids n estrutur irrdinte, té que o resultdo d nálise relid com o softwre de grnde porte se enqudre ns especificções de projeto. Pr finlir, considermos muito bom o nível lcnçdo pelos lunos do LAP o término de sus tividdes no ITA. Alguns ex-lunos estão hoje trblhndo n indústri eronáutic, em universiddes, em centros de pesquiss ncionis, como o INPE, e no exterior, como o Centro Aeroespcil Alemão (Deutschen Zentrum für Luft- und Rumfhrt - DLR). Agrdecimentos Os utores grdecem Fundção de Ampro à Pesquis do Estdo de São Pulo FAPESP, Coordenção de Aperfeiçomento de Pessol de Nível Superior CAPES, Finncidor de Estudos e Projetos FINEP e o projeto CNS-ATM que propicirm relição deste trblho. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BHARTIA, P. et l. Millimeter-wve microstrip nd printed circuit ntenns. Norwood: Artech House, BIANCHI, I.; LACAVA, J. C. S.; CIVIDANES, L. Análise de ntens de microfit relid com uxílio do progrm Mthemtic. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE ELETROMAGNETISMO, 5,, Grmdo, RS. Anis em CD. Ensemble TM, Ansoft Corportion. ESTEVES, J. G. Rede de ntens de microfit circulrmente polrid Trblho de Grdução / Divisão de Engenhri Eletrônic, Instituto Tecnológico de Aeronáutic, São José dos Cmpos. GARG, P. R. et l. Microstrip ntenn design hndbook. Norwood: Artech House, 1. HECKLER, M. V. T. Redes de ntens de microfit circulrmente polrids moldds sobre superfícies cilíndrics. 3. Tese (Mestrdo) / Divisão de Engenhri Eletrônic, Instituto Tecnológico de Aeronáutic, São José dos Cmpos. HFSS TM, Ansoft Corportion. IE3D TM, Zelnd Corportion. LACAVA, J. C. S.; CIVIDANES, L. Um novo método pr nálise de ntens de microlinh. In: SIMPÓSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS, 3, 1988, Ntl, RN. Anis: Mthemtic TM, Wolfrm Reserch Corportion. MOREANO, R.; BONADIMAN, M.; LACAVA, J. C. S. Um ferrment pr nálise de ntens impresss em estruturs multicmds, In: SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES,, 3, Rio de Jneiro, RJ, Anis em CD. POZAR, D. M.; SCHAUBER, D. H. (Eds), Microstrip ntenns: nlysis nd design of microstrip ntenns nd rrys. Pisctwy: IEEE Press, RICHARDS, W. F. et l. An improved theory for microstrip ntenns nd pplictions. IEEE Trnsction on Antenns nd Propgtion, v. 9, p , 1981.

13 USING THE MATHEMATICA TM PACKAGE IN MICROSTRIP ANTENNA EDUCATION Abstrct: This pper discusses how the MthemticTM pckge hs been used s n uxiliry tool in the first discipline of grduted courses on microstrip ntenns t Technologicl Institute of Aeronutics. Key words: Microstrip ntenns, resonnt cvity model, spectrl domin, ntenn eduction.