Verificação de Propriedades de Filtros Digitais Implementados com Aritmética de Ponto Fixo

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1 XXXI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUICAÇÕES - SBrT2013, 1-4 DE SETEMBRO DE 2013, FORTALEZA, CE Vrificação d Propridads d Filtros Digitais Implmntados com Aritmética d Ponto Fixo Mauro L. d Fritas, Mikhail Y. R. Gadlha, Lucas Cordiro, Waldir S. S. Júnior Eddi B. L. Filho Rsumo a ára d procssamnto digital d sinais, uma das principais tarfas xcutadas é o projto d filtros digitais. Atualmnt, tal procdimnto é ralizado com a ajuda d frramntas computacionais, qu gralmnt supõm coficints d filtros rprsntados com aritmética m ponto flutuant. Entrtanto, durant a fas d implmntação, qu gralmnt ocorr m procssadors digitais d sinais ou matrizs d portas d campo programávis, a rprsntação dos coficints obtidos pod sr ralizada m aritmética d ponto fixo ou intira, o qu muitas vzs rsulta m comportamntos insprados ou até msmo m filtros instávis. O prsnt trabalho aborda ss problma propõ uma mtodologia d avaliação basada m vrificadors do tipo fficint SMT-basd contxt-boundd modl chckr [2], [3], com o objtivo d analisar s a quantidad d bits utilizada, na rprsntação dos coficints, rsultará m um filtro com as msmas caractrísticas spcificadas na tapa d projto. Simulaçõs mostram qu rros rlativos à rsposta m frquência ovrflow são passívis d idntificação com a mtodologia proposta, o qu proporciona maior confiabilidad ao projto. Palavras-Chav ESBMC, Modl chcking, Filtros digitais, Rsposta m frquência, ovrflow. Abstract In th digital signal procssing ara, on of th most important tasks is th digital filtr dsign. Currntly, this procdur is prformd with th aid of computational tools, which gnrally assum filtr coficints rprsntd with floating-point arithmtic. Howvr, during th implmntation phas, which is oftn don in digital signal procssors or fild programmabl gat arrays, th rprsntation of th obtaind cofficints can b carrid out through intgr or fixd-point arithmtic, which oftn rsults in unxpctd bhavior or vn unstabl filtrs. Th prsnt work addrsss this issu and proposs an valuation mthodology basd on th fficint SMT-basd contxt-boundd modl chckr approach [2], [3], in ordr to analyz if th numbr of bits usd in th coficints rprsntation will rsult in a filtr with th sam faturs spcifid in th dsign phas. Simulations show that rrors rgarding frquncy rspons and ovrflow ar likly to b idntifid with th proposd mthodology, which provids gratr rliability to th projct. Kywords ESBMC, Modl chcking, Digital Filtrs, Frquncy Rspons, ovrflow. I. ITRODUÇÃO Filtros digitais com rsposta ao impulso finita (Finit Impuls Rspons - FIR) ou infinita (Infit Impuls Rspons - IIR) são utilizados m difrnts áras, como procssamnto digital d sinais (PDS), sistmas d control, tlcomunicaçõs, instrumntação médica ltrônica d consumo. Em Mauro L. d Fritas, Mikhail Y. R. Gadlha, Lucas Cordiro, Waldir S. da Silva Júnior Eddi B. L. Filho. Univrsidad Fdral do Amazonas - UFAM, Av. Gn. Rodrigo Octávio Jordão Ramos, 3000, Manaus - AM, , Brasil. Cntro d Ciência, Tcnologia Inovação do Pólo Industrial d Manaus, Rua Salvador, 391, Adrianópolis, Manaus-AM, , Brasil. s: mauroknny@gmail.com, mikhail@ufam.du.br, lucascordiro@ufam.du.br, waldirsabino@gmail.com, ddi@ctpim.org.br. gral, tais aplicaçõs variam d simpls filtros sltors d frquência filtros adaptativos até qualizadors bancos d filtros, cujo objtivo é modificar as caractrísticas d um dado sinal, d acordo com rquisitos prstablcidos. O projto d filtros digitais sgu uma rica toria matmática, tanto no domínio da frquência quanto no domínio do tmpo, é gralmnt ralizado através d frramntas como o MATLAB [1], qu normalmnt assumm prcisão m ponto flutuant. Entrtanto, pod havr uma grand disparidad ntr o projto d filtros a sua implmntação prática. Por xmplo, muitos projtos são implmntados m procssadors digitais d sinais (Digital Signal Procssor - DSP) ou matrizs d portas d campo programávis (Fild Programmabl Gat Arrays - FPGA), qu podm aprsntar prcisão finita, basada m aritmética d ponto fixo (com custo complxidad mais baixos), ao passo qu o projto gralmnt utiliza prcisão m ponto flutuant. Essa difrnça tm o potncial d grar fitos indsjados na rsposta m frquência do filtro, tanto m magnitud quanto m fas, além d problmas como ovrflow instabilidad, qu são indsjados. Tal comportamnto é dvido a rros d quantização causados pla prcisão finita, o qu rsulta m coficints difrnts dos projtados. Como rsultado, surgm dúvidas, na fas d implmntação, quanto à ficácia do filtro digital a quantidad d bits ncssária para a sua rprsntação, d modo qu os parâmtros d projto ainda sjam satisfitos. O prsnt artigo aprsnta uma mtodologia d vrificação d filtros digitais com implmntação m ponto fixo, basada m Efficint SMT-Basd Contxt-Boundd Modl Chckr (ESBMC), qu utiliza técnicas d Boundd Modl Chcking (BMC) as torias do módulo da satisfabilidad (Satisfability Modulo Thoris - SMT) [2], [3]. Tal abordagm indica, d acordo com parâmtros d projto d filtro prviamnt dtrminados, s a quantidad d bits utilizada na prcisão finita é suficint não ocasionará rros ou comportamntos insprados. A principal vantagm dsta abordagm, sobr outras técnicas d anális d filtros [4], [5], é qu as frramntas d vrificação formal podm forncr informaçõs prcisas d como rproduzir um rro (por xmplo, valors das ntradas do sistma). Um vrificador basado na mtodologia proposta foi implmntado m ASI-C utilizado na vrificação d divrsos filtros digitais práticos, com o objtivo d validá-lo frnt a projtos rais. Como rsultado, tal vrificador, m conjunto com as frramntas d projto tradicionais, proporcionou um squma complto d sinttização d filtros, d acordo com as condiçõs d aplicação. Est artigo stá organizado da sguint forma. A sção II aprsnta os squmas d vrificação disponívis na litratura,

2 XXXI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUICAÇÕES - SBrT2013, 1-4 DE SETEMBRO DE 2013, FORTALEZA, CE dstacando suas principais caractrísticas. a sção III, a técnica BMC é aprsntada. Em sguida, na sção IV, o método proposto é dscrito, a sção V aprsnta os rsultados d simulaçõs. Finalmnt, as conclusõs são xpostas na sção VI. II. TRABALHOS RELACIOADOS A aplicação d frramntas qu implmntam a técnica BMC, para vrificação d softwar, stão s tornando bastant populars, principalmnt dvido ao advnto d solucionadors SMT sofisticados, qu são construídos com bas m solucionadors d satisfabilidad (SAT) [6] ficints. Trabalhos antriors, rlacionados a BMC basado m SMT, para softwar, tratam o problma d vrificar programas ASI- C qu usam opraçõs d bit, aritmética d ponto fixo ponto flutuant, comparaçõs aritmética d pontiros [2], [7]. o ntanto, xist pouca vidência d trabalhos qu abordam a vrificação d propridads (.g., d sgurança vivacidad) rlacionadas à implmntação d filtros digitais, m ASI-C, principalmnt quando s considram palavras com comprimntos arbitrários. Akbarpour Tahar [8], [9] aprsntam uma abordagm mcânica para a dtcção d rros m projtos d filtros digitais, qu é basada m um provador d tormas d lógica d mais alta ordm (High Ordr Logic - HOL). Os autors dscrvm funçõs d avaliação qu ncontram os valors rais das saídas do filtro digital, através d rprsntaçõs m ponto fixo ponto flutuant, com o intuito d dfinir um rro. Tal rro rprsnta a difrnça ntr os valors ncontrados, através dsta função d avaliação, a saída corrspondnt à spcificação d projto. Akbarpour Tahar considram a implmntação d filtros digitais usando as três formas canônicas d ralização: dirta, paralla cascata. o ntanto, grand part do procsso d vrificação é fito d forma manual, o qu dificulta a aplicação dssa abordagm. Rcntmnt, Cox, Sankaranarayanan Chang [10] introduziram uma nova abordagm qu utiliza anális d bit prcisa para a vrificação d implmntaçõs d filtros digitais, m ponto fixo. Essa abordagm é basada na técnica d BMC utiliza solucionadors SMT para chcar condiçõs d vrificação, qu são gradas a partir do projto do filtro digital. Os autors mostram qu tal abordagm é mais ficint produz mnos alarms falsos, quando comparada às qu utilizam solucionadors d aritmética ral. Entrtanto, os trabalhos mncionados não abordam caractrísticas intrínscas dos filtros, como rros ou modificaçõs rlativas a pólo zros rsposta m frquência. As constataçõs aprsntadas nos parágrafos antriors srviram d inspiração para o prsnt artigo, qu tm como objtivo stndr a abordagm proposta por Cox, Sankaranarayanan Chang [10]. Em rsumo, novas propridads d filtros digitais a srm chcadas, tais como as rspostas m magnitud fas, foram adicionadas, o qu confr uma anális mais mbasada na toria d PDS prnch as lacunas aprsntadas pla litratura xistnt. III. A TÉCICA BMC o ESBMC, o programa qu stá sndo analisado é modlado por um sistma d transição d stados, qu é grado a partir do grafo d fluxo d control do programa (Control-Flow Graph - CFG) [11]. O grafo d fluxo d control do programa é grado automaticamnt, durant o procsso d vrificação. Um nó no CFG rprsnta um atribuição (dtrminística ou não-dtrminística) ou uma xprssão condicional, nquanto qu uma arsta rprsnta uma mudança no fluxo do programa. Um sistma d transição d stados M = (S, T, S 0 ) é uma máquina abstrata, qu consist m um conjunto d stados S, ond S 0 S rprsnta um conjunto d stados iniciais T S S é a rlação d transição. Um stado s S consist no valor do contador d programa pc também nos valors d todas as variávis do aplicativo. Um stado inicial s 0 atribui a localização inicial do programa no CFG. As transiçõs são idntificadas como γ = (s i, s i+1 ) T ntr dois stados s i s i+1, com uma fórmula lógica γ(s i, s i+1 ) qu contém as rstriçõs dos valors do contador d programa das variávis do aplicativo. Dada um sistma d transição M, uma propridad φ um limit k, o ESBMC dsdobra o sistma k vzs transforma o rsultado m uma condição d vrificação (vrification condition - VC) ψ, d tal forma qu ψ é satisfita s, somnt s, φ possuir um contraxmplo d comprimnto mnor ou igual a k [2]. O problma da técnica d BMC é ntão formulado como ψ k = I(s 0 ) k i 1 i=o j=0 γ(s j, s j+1 ) φ(s i ), (1) ond φ é uma propridad, I é o conjunto d stados iniciais d M γ(s j, s j+1 ) é a rlação d transição d M ntr os passos j j+1. Logo, I(s 0 ) i 1 j=0 γ(s j, s j+1 ) rprsnta a xcução d M, i vzs, (1) só podrá sr satisfita s, somnt s, para um i k, xista um stado alcançávl no passo m qu φ é violada. S (1) é satisfita, ntão o ESBMC mostra um contra-xmplo, dfinindo quais os valors das variávis ncssárias para rproduzir o rro. O contraxmplo para uma propridad φ é uma squência d stados s 0, s 1,, s k com s 0 S 0, γ(s i, s i+1 ) com 0 i < k. S (1) não for satisfita, pod-s concluir qu nnhum stado com rro é alcançávl m k passos ou mnos. IV. A OVA METODOLOGIA DE VERIFICAÇÃO D manira gral, a implmntação m ponto fixo utiliza rgistradors padrõs para armaznar as ntradas as saídas, ao longo dos somadors, multiplicadors atrasos. Entrtanto, os rsultados dsss lmntos podm xcdr os limits das variávis alocadas, ou grar valors difrnts do sprado, dvido à prcisão dos coficints ou ao númro d bits associado. Como rsultado, é possívl qu o rsultado difira do spcificado no projto ou até msmo qu um filtro s torn instávl, msmo qu o su projto não sja. Tndo isso m foco, a mtodologia d vrificação proposta foi sparada m três parts principais: vrificação d magnitud fas, stabilidad m pólos zros vrificação d ovrflow. A. Vrificação d magnitud fas Mudanças nos coficints, dvido à quantização m ponto fixo, altram a rsposta m magnitud fas [9]. Um xmplo disso pod sr visto na Fig. 1.

3 XXXI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUICAÇÕES - SBrT2013, 1-4 DE SETEMBRO DE 2013, FORTALEZA, CE sta primira abordagm, a ntrada do sistma proposto é composta plos coficints do filtro, m ponto flutuant, plas propridads d projto, qu dvm sr analisadas d acordo com as condiçõs adotadas, tais como banda d passagm, frquência d cort, banda d rjição os ganhos m cada rgião, pla quantidad d bits utilizada na rprsntação, m ponto fixo. Fig. 1. Rsposta m magnitud para um filtro IIR Chbyshv, d ordm 12. A curva m azul é a projtada a m vrmlho é o rsultado obtido após a sua implmntação m ponto-fixo, com um bit d sinal, st para a part intira sis para a fracionária. Dado qu é o númro d pontos a srm vrificados na Transformada d Fourir d Tmpo Discrto (Discrt-Tim Fourir Transform - DTFT) [12], h[n] é a rsposta ao impulso do filtro H(k) o su quivalnt, no domínio da frquência, ntão H(k) = 1 n=0 h(n) j(2π/)kn. (2) Além disso, supondo ω p, ω r ω c como as frquências digitais das bandas d passagm, d rjiçao d cort, rspctivamnt, A p, A r A c como os sus ganhos a srm vrificados, as xprssõs d assrtivas qu vrificam as propridads d magnitud fas, d filtros passa-baixas passa-altas, foram criadas como I pb_mag (( H(k) < A p ) (0 2πk (( H(k) > A c ) ( 2πk (( H(k) > A r ) (ω r 2πk I pa_mag (( H(k) > A r ) (0 2πk (( H(k) < A c ) ( 2πk (( H(k) < A p ) (ω p 2πk ω p)) = ω c)) π)), (3) ω r)) = ω c)) π)) (4) I pb_fas, I pa_fas H(k) H fixd (k) > limiar. (5) Caso as xprssõs sjam violadas, um rro é grado, o qu indica qu a quantidad d bits é insuficint para a rprsntação dssas rspostas, dadas as rstriçõs iniciais d projto. B. Vrificação d pólos zros A stabilidad, com bas nos pólos zros do sistma, também dv sr vrificada. O procsso nvolv ncontrar os pólos o zros do sistma, a partir da função d transfrência dos filtros, chcar s o módulo d cada pólo é mnor qu 1. Para tal tarfa, um algoritmo d dcomposição QR [13], da matriz companhira do polinômio formado plos pólos, foi utilizado. Dado um polinômio p(t) = t n + a n 1 t n 1 + +a 1 t+a 0, a matriz companhira é dfinida como A = a 0 a 1 a 2 a n 1 Em sguida, a Matriz A é fatorada através da dcomposição QR, d tal forma qu A = Q R, ond A é uma matrix d dimnsõs, Q é uma matriz quadrada ortogonal (ond Q T Q = I), d dimnsõs, R é uma matriz triangular suprior, também d dimnsõs. Em rsumo, o Algoritimo é dado por [14]: 1) Sndo A m = Q m R m a fatoração d A m, criar A m+1 = R m Q m ; 2) Rptir o passo 1, até qu os valors abaixo da diagonal principal d A m sjam suficintmnt pqunos ou não haja possibilidad d convrsão dos valors. Os valors das raízs do polinômio starão na diagonal principal da matriz A m. a implmntação ralizada para st trabalho, utilizous um limit máximo d 60 itraçõs, pois ssa prcisão foi suficint para a rprsntação das raízs. Tal procsso é ralizado para os polinômios formados plos pólos zros do sistma, a fim d s rtirar pólos zros com msmo valor (stávis). Por fim, há uma chcagm para s vrificar s cada pólo possui módulo mnor qu 1, o qu dtrmina o sistma como stávl; caso contrário, st é instávl [4]. C. Vrificação d ovrflow A trcira part consist na vrificação d ovrflow após a quantização d coficints, o qu, sm uma frramnta computacional, é considrado uma tarfa árdua. As opraçõs d adição, subtração, multiplicação divisão podm sr ralizadas com uma rprsntação m ponto fixo, d modo aproximado, para qu sss valors prmançam dntro dos intrvalos impostos pla quantidad d bits. Caso ssa condição sja violada, ocorr um ovrflow. Um dos rros, chamado d saturação, ocorr quando valors fora da faixa d bits são rprsntados plos limits máximos ou mínimos. É possívl computar o limitant do módulo d ntrada para a vrificação d ovrflow, mas não s sab qual ntrada ocasionará st fito. O wrapping around ocorr quando, ao s ultrapassar o limit, o valor máximo é atribuido a um valor mínimo vic-vrsa [10]. A vrificação possui, como ntrada, númros rais não dtrminísticos x[n], além dos coficints h[n] do filtro a sr vrificado o númro d ntradas.

4 XXXI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUICAÇÕES - SBrT2013, 1-4 DE SETEMBRO DE 2013, FORTALEZA, CE Todas as itraçõs ralizadas para s obtr a rsposta da filtragm são vrificadas, através da busca por violaçõs d ovrflow, como m I ovrflow (( x[n]h[0] > V max ) ( x[n 1]h[1] > V max )... ( x[n 1]h[ 1] > V max )) (6) I undrflow (( x[n]h[0] < V min ) ( x[n 1]h[1] < V min )... ( x[n 1]h[ 1] < V min )). (7) Ao s dtctar um rro, um contraxmplo é grado. Tal contraxmplo consist na lista d stados até a violação ncontrada, o qu prmit sabr quais foram as ntradas qu ocasionaram os rros, m uma ordm spcífica, o valor d saída. Esta abordagm prmit ao projtista sabr, xatamnt, m quais condiçõs ocorrram rros d ovrflow undrflow, o qu possibilita um mlhor tratamnto dstas condiçõs, a partir das novas informaçõs obtidas. V. EXPERIMETOS Esta sção é composta por duas parts. A configuração d sistma stá dscrita na sção V-A, nquanto qu a sção V-B dscrv os rsultados obtidos através da frramnta ESBMC 1 [2], [3], com as modificaçõs propostas nst artigo. A. Configuração d sistma prparação para os xprimntos O conjunto d tsts d vrificação d magnitud fas foram sparados m dois grupos principais: um d filtros IIR outro d filtros FIR 2. Cada conjunto, por sua vz, stá dividido m duas catgorias: passa-baixas passa-altas, sndo três filtros d ordm pquna (ordm dois ou quatro) três d ordm maior (doz ou trinta), m cada conjunto para difrnts frquências d cort. Três tipos d filtros IIR foram utilizados: Buttrworth, Chbyshv Elíptico. Já para os filtros FIR projtados, os tipos utilizados foram Equirippl, Janla d Hann Maximally Flat. Ao todo foram criados 36 filtros stávis durant a tapa d projto, sndo 18 FIR 18 IIR, com frquência d amostragm m 48 khz. Todos os filtros foram grados a partir da frramnta MATLAB [1], utilizando-s a toolbox d Procssamnto d Sinais. D modo a s xplorar difrnts torias utilizadas nos solucionadors SMT [2], númros não intiros foram codificados d duas formas difrnts: m binário (quando a aritmética d vtors d bits é utilizada) também m ral (ao s trabalhar com aritmética racional). A rprsntação m ponto fixo foi ralizada dividindo-s o númro a sr rprsntado m suas parts intira I, com m bits, fracionária F, com n bits [15]. Essa abordagm é rprsntada através da tupla I, F, qu pod sr codificada tanto m vtors d bits quanto aritmética racional é intrprtada como I + F/2 n. Sndo assim, os bnchmarks podm sr acssados m valors rprsntados dvm star ntr os valors máximo mínimo sprados, ou sja, V max = 2 m 1/2 n, (8) V min = 2 m (9) V min v fixd V max. (10) Todos os xprimntos foram conduzidos m um PC Intl Cor i7-2600, d 3.40Ghz d clock, com 24GB d RAM sistma opracional Ubuntu d 64-bits. Para todos os casos d tst, o tmpo limit o limit d mmória foram ajustados para 1200 sgundos 24GB (22GB d RAM 2GB d mmória virtual), rspctivamnt 3. B. Rsultados obtidos Esta subsção dscrv os rsultados obtidos ao s xcutarm os casos d tsts com o ESBMC modificado, proposto nst trabalho, para a vrificação dos filtros digitais. A Tabla I rsum os rsultados da vrificação d magnitud fas, para filtros IIR. O é a ordm do filtro, FC é a Frquência d Cort, m Hrtz, TVM SM são tmpo d xcução, m sgundos, o status para a magnitud, rspctivamnt. Como rsultado do status, pod ocorrr Sucsso (S), rro na Faixa d Passagm (FP), rro na Faixa d Rjição (FR) rro na Frquência d Cort (FC). TVF SF são o tmpo d xcução o status para frquência, rspctivamnt, qu possum como rsultado Sucsso (S) ou Falha (F). PF é a quantidad d bits utilizada na rprsntação m ponto fixo. Os parâmtros d projto para filtros passa-baixas, no qu diz rspito às frquências d passagm, cort rjição digitais, foram fixados m 0, 3, 0, 4 0, 5 rad, rspctivamnt. O ganho mínimo, na banda d passagm, foi fixado m 0, 9 db; já as atnuaçõs mínimas, nas bandas d cort rjição, foram fixadas m 3, 0 6, 0 db, rspctivamnt. Com rlação aos filtros passa-altas, parâmtros quivalnts foram adotados. A Tabla II sinttiza os rsultados obtidos para filtros FIR. A vrificação d pólos zros ocorru no conjunto d tsts d filtros IIR o rsultado stá rsumido na Tabla III. TV é o tmpo d vrificação, m sgundos, SPZ é o status da vrificação d pólos zros. Val a pna dstacar os rsultados para filtros com frquências d cort m 100 Hz, pois foram ncontrados rros d magnitud m todos os casos. Além disso, filtros IIR aprsntaram maior quantidad d rros d fas, dvidos principalmnt às condiçõs d projto rstritas também à sua caractrística d não linaridad [16]. Todos os rsultados foram vrificados m comparativo com simulaçõs no MATLAB d forma individual, para qu os rros apontados pla frramnta fossm chcados. A Tabla IV indica os rsultados da vrificação d ovrflow, na qual é possívl visualizar a ficácia na dtcção dss tipo d rro. Todos os filtros tstados foram do tipo IIR, qu também foram utilizados nos tsts da Tabla I. O valor máximo d todos foi ajustado para 1, 96, com rros d ovrflow qu variaram d ±0.1 a ± sbmc --unwind B timout 20m fixdbv mmlimit 24g

5 XXXI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUICAÇÕES - SBrT2013, 1-4 DE SETEMBRO DE 2013, FORTALEZA, CE TABELA I RESULTADOS DA VERIFICAÇÃO DE MAGITUDE E FASE DOS FILTROS IIR. Filtros IIR O FC TVM SM TVF SF PF lp S F <1,5> hp S F <1,5> lp2est FP F <1,5> lp S F <4,10> hp S F <4,10> lp12est FP F <4,10> lp4c FP F <4,10> hp4c FP F <4,10> lp4estc FR F <4,10> lp12c S F <4,10> hp12c S F <4,10> lp12estc FP F <4,10> lp4e S F <4,10> hp4e FP F <4,10> lp4este FP F <4,10> lp12e FP F <4,10> hp12e FP F <4,10> lp12este FP F <4,10> TABELA II RESULTADOS DA VERIFICAÇÃO DE MAGITUDE E FASE DOS FILTROS FIR. Filtros FIR O FC TVM SM TVF SF PF fhp S S <4,10> fhp10equi FR S <4,10> fhp10hann FP S <4,10> fhp S S <4,10> fhp30equi FP S <4,10> fhp30hann S F <4,10> flp S S <4,10> flp10equi FP S <4,10> flp10est FP S <4,10> flp10estequi FP F <4,10> flp10esthann FP F <4,10> flp10hann FP F <4,10> flp S S <4,10> flp30equi FP S <4,10> flp30est FP S <4,10> flp30estequi FP F <4,10> flp30esthann FP F <4,10> flp30hann S F <4,10> TABELA III RESULTADOS DA VERIFICAÇÃO DE MAGITUDE E FASE DOS FILTROS IIR. Filtro FIR O FC (Hz) TV (s) SPZ PF hp F <4,10> hp12c S <4,10> hp12e F <4,10> hp S <1,5> hp4e S <4,10> lp F <4,10> lp12c F <4,10> lp12e F <4,10> lp12estc F <4,10> lp12este F <4,10> lp S <1,5> lp4e S <4,10> TABELA IV RESULTADOS DA VERIFICAÇÃO DE OVERFLOW PARA FILTROS IIR. nhum caso d tst xcdu o tmpo limit stipulado d 1200 sgundos não ocorrram casos com stouro d mmória, durant os tsts. VI. COCLUSÕES O prsnt trabalho propôs uma mtodologia para a vrificação d parâmtros d projto d filtros digitais, através da técnica BMC, qu indica s a quantidad d bits utilizada na rprsntação d coficints amostras altra as caractrísticas prviamnt spcificadas. Durant as simulaçõs, tanto filtros IIR quanto FIR foram abordados, d modo a s garantir o rsultado d projtos rais, m difrnts ralizaçõs aplicaçõs. Os rsultados mostram qu é possívl s dtctar falhas m filtros d baixa média ordm, com um tmpo d vrificação modrado. A principal contribuição dst trabalho rsid na incorporação d parâmtros mais rlacionados às torias d projto d filtros, como as rspostas d magnitud fas a localização d pólos zros, o qu complmnta os tsts d caractrísticas mais computacionais, com ovrflow. Para trabalhos futuros, vislumbra-s a incorporação d outros parâmtros a obtnção automática do númro mínimo d bits para validação do projto d filtros, m ponto fixo. AGRADECIMETOS Os autors gostariam d agradcr ao CPq a CAPES, plo auxílio financiro. REFERÊCIAS [1] Mathworks, Inc., Matlab Gtting Startd Guid R2011b, USA, [2] L. Cordiro, B. Fischr J. M. Silva, SMT-Basd Boundd Modl Chcking for Embddd ASI-C Softwar, In IEEE Transactions on Softwar Enginring (TSE), v. 38, pp , IEEE, [3] L. Cordiro B. Fischr, Vrifying Multi-thradd Softwar using SMT-basd Contxt-Boundd Modl Chcking. In Intl. Conf. on Softwar Enginring (ICSE), pp , IEEE/ACM, [4] A. Oppnhim, R. Schafr J. Buck, Discrt-tim signal procssing, Prntic-Hall, Inc., Edição 2, [5] W. T. Padgtt and D. V. Andrson, Fixd-point signal procssing, Synthsis Lcturs on Signal Procssing, vol. 4, no. 1, pp , [6] L. d Moura. Bjørnr, Z3: An fficint SMT solvr, In TACAS, LCS 4963, pp , [7] E. Clark, D. Kroning, F. Lrda, A tool for chcking ASI-C programs, In TACAS, LCS 2988, pp , [8] B. Akbarpour S. Tahar: Error Analysis of Digital Filtrs Using Thorm Proving. In TPHOLs, pp. 1 17, [9] B. Akbarpour S. Tahar. Error analysis of digital filtrs using HOL thorm proving. In J. Applid Logic 5(4): pp , [10] A. Cox, S. Sankaranarayanan, Bor-Yuh E. Chang, A bit too prcis? Boundd vrification of quantizd digital filtrs, In TACAS, LCS 7214, pp , [11] S. S. Muchnick, Advancd compilr dsign and implmntation., Morgan Kaufmann Publishrs Inc., [12] P. Diniz, E. Silva S. tto, Procssamnto Digital d Sinais - Projto Anális d Sistmas, Bookman Editora, [13] S. Chandraskaran, M. Gu, J. Xia J. Zhu. A Fast QR Algorithm for Companion Matrics. Oprator Thory: Advancs and Applications, vol 179, pp [14] D. C. Lay. Linar Algbra: Cas Studis and Applications. [15] D. Kroning O. Strichman, Dcision Procdurs: An Algorithmic Point of Viw. Springr, [16] M. Hraschan M. Virtlr, FIR vs IIR Filtr, (última visita 25/04/2013) Filtro Ordm Tmpo (s) PF Status lp <1,5> S hp <1,5> F lp4e <1,5> F hp4e <1,5> F