Geometria Plana. 4. (Fgv 2014) A figura abaixo representa a face superior de um recipiente em forma de cubo de lado igual a L.

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1 Geometria Plana 1. (Uerj 015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro R, conforme ilustra a imagem. 4. (Fgv 014) A figura abaixo representa a face superior de um recipiente em forma de cubo de lado igual a L. A área do setor equivale a: a) R R b) 4 R c) R d). (Upe 014) Um triângulo UPE é retângulo, as medidas de seus lados são expressas, em centímetros, por números naturais e formam uma progressão aritmética de razão 5. Quanto mede a área do triângulo UPE? a) 15 cm b) 5 cm c) 15 cm d) 150 cm e) 00 cm. (Upf 014) A figura a seguir representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os gráficos das funções reais f e g, com f(x) = x e g(x) = x. Esta face está parcialmente tampada por uma placa de metal (área em cinza) e parcialmente destampada (área em branco), sendo AE= AF= L /. João e Maria arremessam bolinhas de diâmetro desprezível sobre essa face. Considere que a probabilidade de a bolinha atingir qualquer região dessa face é proporcional à área da região e que os arremessos são realizados de forma independente. a) Dado que uma bolinha arremessada por João caia na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que passe diretamente pela parte branca (destampada)? b) Se João arremessar uma bolinha e Maria arremessar outra, dado que em ambos os lançamentos as bolinhas caiam na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca? c) Se João efetuar seis arremessos, e em todos eles a bolinha cair na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que em exatamente 4 desses arremessos a bolinha passe diretamente pela parte branca? 5. (Uece 014) No triângulo OYZ, os lados OY e OZ têm medidas iguais. Se W é um ponto do lado OZ tal que os segmentos YW, WO e YZ têm a mesma medida, então, a medida do ângulo YÔZ é a) 46. b) 4. c) 6. d) 0. Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 160, o número real c é: a) b) 1,5 c) d) 1 e) 0,5 6. (Ifsc 014) Durante uma queda de luz, Carla e Sabrina resolveram brincar fazendo desenhos com as sombras das mãos. Para isso, pegaram duas lanternas diferentes, apontando os feixes de luz para a parede BC. Márcio, que estava no andar superior, observou tudo. A figura a seguir mostra a visão que Márcio tinha da situação. Dados: o ângulo entre as duas paredes CD e BC é 90 e DC=BC, sendo D o ponto onde Carla está e A o ponto onde se encontra Sabrina. Também sabemos que BEC vale Página 1

2 b). c) 14. d) 148. e) 4. Com base nas informações, analise as proposições abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S). 01) O ângulo BDC vale 45. 0) O ângulo BAC vale ) O ângulo BCE vale ) O ângulo CED vale ) O ângulo ABE vale 80. ) O ângulo ECD vale (Ufsc 014) Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, estão nas margens retilíneas e opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a,5 km, e a distâncias de,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma estrada de A até B que, por razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma ponte de comprimento mínimo, ou seja, perpendicular às margens do rio. As regiões em cada lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis para a obra da estrada. Uma possível planta de tal estrada está esboçada na figura abaixo em linha pontilhada: 7. (Espcex (Aman) 014) As regras que normatizam as construções em um condomínio definem que a área construída não deve ser inferior a 40% da área do lote e nem superior a 60% desta. O proprietário de um lote retangular pretende construir um imóvel de formato trapezoidal, conforme indicado na figura. Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância HK ' = 18km. Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade B (ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a cidade B tenha comprimento mínimo. Para respeitar as normas acima definidas, assinale o intervalo que contém todos os possíveis valores de x. a) [6, 10] b) [8, 14] c) [10, 18] d) [16, 4] e) [1, 4] 10. (Espm 014) Um avião voava a uma altitude e velocidade constantes. Num certo instante, quando estava a 8 km de distância de um ponto P, no solo, ele podia ser visto sob um ângulo de elevação de 60 e, dois minutos mais tarde, esse ângulo passou a valer 0, conforme mostra a figura abaixo. 8. (G1 - utfpr 014) A medida de y na figura, em graus, é: a) 4. A velocidade desse avião era de: a) 180 km/h b) 40 km/h c) 10 km/h d) 150 km/h Página

3 e) 00 km/h 11. (Mackenzie 014) Na figura abaixo, a e b são retas paralelas. A afirmação correta a respeito do número que expressa, em graus, a medida do ângulo α é a) um número primo maior que. b) um número ímpar. c) um múltiplo de 4. d) um divisor de 60. e) um múltiplo comum entre 5 e (Cefet MG 014) A figura abaixo tem as seguintes características: - o ângulo Ê é reto; - o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD; - os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 e. Sabendo que o perímetro do polígono ABCDE é 456 cm e CD mede 68 cm, qual é a medida do lado BC? a) 118 cm b) 16 cm c) 10 cm d) 14 cm 14. (Uece 014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é a) 9. b) 11. c) 1. d) (G1 - ifsp 014) Considerando que as medidas de dois ângulos opostos de um losango são dadas, em graus, por x+ 60 e 15 x, a medida do menor ângulo desse losango é a) 75. b) 70. c) 65. d) 60. e) (G1 - cftrj 014) Quais são, respectivamente, as medidas dos ângulos X e Y na figura abaixo, sabendo que E é o ponto médio do segmento AD e que BCDE é um losango? O segmento AC, em unidades de comprimento, mede a) 8. b) 1. c) 1. d) 61. e) (G1 - cftrj 014) Na figura abaixo, ABCE é um retângulo e CDE é um triângulo equilátero. 17. (Upe 014) A figura a seguir mostra uma das peças do jogo Pentaminós. Cada peça é formada por cinco quadradinhos, e o lado de cada quadradinho mede 5cm. Com 10 dessas peças, Jorge montou uma faixa, encaixando perfeitamente as peças como mostra a figura a seguir: Página

4 Quanto mede o perímetro dessa faixa? a) 1 00 cm b) cm c) 000 cm d) 00 cm e) cm e BD. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de x. 18. (G1 - cftmg 014) Nessa figura, ABCD é um retângulo cujos lados medem b e b. O ponto R pertence aos segmentos AC e BD e, ARDS é um quadrilátero em que M é ponto médio do segmento RS. 1. (G1 - cftmg 014) Considere a figura em que r // s // t. O segmento MP, expresso em função de b, é a) b 5. 5 b) b 5. c) b 5. d) b 5. 5 O valor de x é a). b) 4. c) 5. d) 6.. (G1 - ifce 014) 19. (G1 - cftrj 014) Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo, as retas r e s são paralelas, D e E são pontos de s, F e G são pontos de r, F é um ponto de AD, ABC ˆ = 0 e CDE ˆ = 10. Quanto mede, em graus, o ângulo DFG? ˆ O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo, conforme o esboço mostrado na figura, é a) 10. b) 8. c) 6. d) 4. e). a) 10 b) 10 c) 140 d) 150. (Pucrs 014) Considere a imagem abaixo, que representa o fundo de uma piscina em forma de triângulo com a parte mais profunda destacada. 0. (Unesp 014) Em um plano horizontal encontramse representadas uma circunferência e as cordas AC Página 4

5 O valor em metros da medida x é a) b),5 c) d) 4 e) 6 4. (G1 - cftmg 014) Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar bandeira no alto do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador do desafio fincou, paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 5 dm e 15 dm. Portanto, a altura do pau de sebo, em metros, é a) 5,0. b) 5,5. c) 6,0. d) 6,5. 5. (Fgv 014) a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade de cruzá-lo, foram feitas várias medições como mostra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio. 6. (G1 - cftmg 014) A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um triângulo ABC cujo lado BC mede 40 cm e a altura AH, 4 cm. A medida do lado desse quadrado é um número a) par. b) primo. c) divisível por 4. d) múltiplo de (Upf 014) O triângulo ABC mostrado a seguir foi dividido em três figuras: I, II e III. b) Demonstre que a distância do vértice B ao baricentro M de um triângulo é o dobro da distância do ponto E ao baricentro M. Então, é correto afirmar que: a) A área da figura II é maior do que a área da figura I. b) A área da figura II é menor do que a área da figura I. c) A área da figura I é o dobro da área da figura III. d) A área da figura I é igual à área da figura II. e) A área da figura III é 1/ da área da figura I. 8. (Uem 014) Considere um triângulo ABC retângulo em A, a circunferência λ que passa pelos Página 5

6 pontos A, B e C e considere D o ponto de BC de modo que AD é uma altura do triângulo ABC. Sendo o ponto O o centro de λ, assinale o que for correto. 01) A mediana relativa ao lado BC mede metade do comprimento do lado BC. 0) O comprimento do lado BC é igual à soma dos comprimentos dos lados AB e AC. 04) Os triângulos ABC, DBA e DAC são semelhantes. 08) O segmento BC é um diâmetro da circunferência λ. 16) Se o triângulo ABC é isósceles, sua área corresponde a mais de um terço da área do círculo delimitado por λ. 9. (Uece 014) Sejam XY um segmento de reta cujo comprimento é 4 m e Z um ponto da mediatriz do segmento XY cuja distância ao segmento XY é 6 m. Se P é um ponto equidistante de X, Y e Z, então a distância, em metros, de P ao segmento XY é igual a a) 8. b) 7. c) 9. 4 d) (G1 - ifsp 014) Um restaurante foi representado em sua planta por um retângulo PQRS. Um arquiteto dividiu sua área em: cozinha (C), área de atendimento ao público (A) e estacionamento (E), como mostra a figura abaixo. a) b + c b) b - c c) b c d) c - b e) b /c. (Ita 014) Considere o triângulo ABC retângulo em A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à hipotenusa BC, respectivamente. Se a medida de BE é ( 1) cm e a medida de AD é 1 cm, então AC mede, em cm, a) 4 5. b). c) 6. d) ( 1 ). e) (Cefet MG 014) Nesta figura, ABCD é um retângulo e DH é um arco de circunferência cujo centro é o ponto M. Sabendo que P, H e R são colineares, que PH mede 9 m e que SH mede 1 m, a área total do restaurante, em metros quadrados, é a) 150. b) 00. c) 50. d) 00. e) (G1 - ifce 014) Na figura abaixo, o valor da área do quadrado de lado a, em função dos segmentos b e c, é O segmento EH, em unidades de comprimento, mede Página 6 a) b) + 5. c) 1.

7 d) 1. e) (Uema 014) A figura abaixo representa uma quadra de futebol de salão com a bola localizada no ponto P, conforme descrito na figura de vértice ABCD. No ponto C, há um jogador que receberá a bola chutada a partir de onde ele está. porém com 50 m de área, em quanto deve ser aumentado, em metros, o valor do parâmetro x? a) b) 5 c) 8 d) 9 e) (Ufsc 014) No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atropelada por um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a figura. Determine a distância x do jogador (ponto C) à bola (ponto P) em unidade de comprimento. 5. (G1 - ifsp 014) Ao ligar, por segmentos de retas, os pontos médios dos lados de um quadrado de lado 60 cm, obtém-se um quadrilátero, cujo perímetro é, em centímetros, a) 0. b) 60. c) 90. d) 10. e) (Uea 014) Caminhando 100 metros pelo contorno de uma praça circular, uma pessoa descreve um arco de 144. Desse modo, é correto afirmar que a medida, em metros, do raio da circunferência da praça é a) 15π b) 175 π c) 15 π d) 50 π e) 50π 7. (Ucs 014) As medidas dos lados de um terreno A, de 50 m, em forma de retângulo, são dadas, em metros, por x e x+ 1. Pretendendo-se comprar um terreno B com a mesma forma e a mesma relação entre as medidas dos lados, Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em arcos de mesmo comprimento e a área do triângulo ABC é igual a 7 cm, determine a medida do raio desta circunferência em centímetros. 9. (Ufg 014) Com o objetivo de prevenir assaltos, o dono de uma loja irá instalar uma câmera de segurança. A figura a seguir representa uma planta baixa da loja, sendo que a câmera será instalada no ponto C e as áreas hachuradas representam os locais não cobertos por essa câmera. De acordo com essas informações, a área a ser coberta pela câmera representa, aproximadamente, a) 90,90% da área total da loja. b) 91,54% da área total da loja. c) 95,45% da área total da loja. d) 96,14% da área total da loja. e) 97,% da área total da loja. Página 7

8 40. (Espm 014) Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo de área 4cm. M e N são pontos médios de BC e CD, respectivamente. A área do polígono AMND é igual a: a) 0 cm b) 16 cm c) 1 cm d) 15 cm e) 18 cm e) (XY)%. 4. (G1 - cftmg 014) Um paisagista deseja cercar um jardim quadrado de 5m. Sabendo-se que o metro linear da grade custa R$,5 e que foi pago um adicional de R$1,75 por metro linear de grade instalado, a despesa com a cerca, em reais, foi de a) 40,5. b) 450,00. c) 500,00. d) 506, (Upe 014) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo cm e um círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono. 41. (Ufrgs 014) A figura abaixo é formada por oito semicircunferências, cada uma com centro nos pontos médios dos lados de um octógono regular de lado. Considere: π e 1,7 A área da região sombreada é a) 4π b) 4π c) 4π d) 4π e) 4π (Insper 014) Um retângulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y números positivos menores do que 100. Se o comprimento do retângulo aumentar Y% e a largura aumentar X%, então a sua área aumentará XY a) X+ Y + %. 100 X+ Y b) XY + %. 100 X+ Y+ XY c) %. 100 d) (X+ Y)%. Nessas condições, quanto mede a área da superfície pintada? a),0 cm b),0 cm c) 7, cm d) 8,0 cm e) 10, cm 45. (Pucrj 014) Fabio tem um jardim ACDE com o lado AC medindo 15 m e o lado AE medindo 6 m, A distância entre A e B é 7 m. Fabio quer construir uma cerca do ponto A ao ponto D passando por B. Veja a figura abaixo. a) Se a cerca usada entre os pontos A e B custa 100 reais o metro e a cerca entre os pontos B e D custa 00 reais o metro, qual o custo total da cerca? b) Calcule a área da região hachurada ABDE. c) Considere o triângulo BCD, apresentado na figura abaixo. Sabendo-se que o triângulo BB D possui Página 8

9 cateto BB = BC, calcule a área do triângulo BB D. 46. (Uerj 014) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que DAE ˆ = 45 e BAC ˆ = 0, conforme ilustrado a seguir: decoração. A área, em metros quadrados, a ser decorada é igual a (use = 1,7). a) 10,0. b) 9,5. c) 8,5. d) 8,0. e) 7, (G1 - ifsp 014) Uma praça retangular é contornada por uma calçada de m de largura e possui uma parte interna retangular de dimensões 15 m por 0 m, conforme a figura. Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que = 1,7, a área, em cm, do triângulo CAE equivale a: a) 80 b) 100 c) 140 d) 180 Nessas condições, a área total da calçada é, em metros quadrados, igual a a) 148. b) 15. c) 156. d) 160. e) (G1 - cftmg 014) A figura 1 é uma representação plana da Rosa dos Ventos, composta pela justaposição de quatro quadriláteros equivalentes mostrados na figura. 47. (Fgv 014) Um triângulo ABC é retângulo em A. Sabendo que BC= 5 e ABC $ = 0, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC é: a),05 b),15 c),5 d),5 e), (Uema 014) Analise a situação a seguir: Um arquiteto foi contratado para decorar a entrada de um templo religioso, no formato de um triângulo equilátero, com uma porta de madeira, cujas dimensões medem 1,05m por,5m, inserida neste triângulo. Sabe-se ainda que a altura do triângulo mede 4,5m e que a área da porta não receberá Com base nesses dados, a área da parte sombreada da figura 1, em cm, é igual a a) 1. b) 18. c). d) 4. Página 9

10 Resolução das Questões Resposta da questão 1: A área do setor é dada por = = R AB R R R. Resposta da questão : c) Sendo o acerto de uma bolinha na parte branca considerado sucesso, tem-se que o resultado pedido é dado por ! 1 9 = !! = ,0%. Resposta da questão 5: Sejam l, l + 5 e l + 10 as medidas dos lados do triângulo UPE. Logo, pelo Teorema de Pitágoras, vem ( l+ 10) = l + ( l+ 5) l + 0l+ 100= l + l + 10l+ 5 l 10l 75= 0 l= 15cm. Em consequência, o resultado pedido é 15 0 = 150 cm. Resposta da questão : Temos f(c) = e c f(c) = 9c, com c > 0. Logo, sendo g a função identidade, vem 9c = g(9c ). c = g(c ) e Portanto, se a área do trapézio T vale 160, então 1 (9c c ) (9c c ) c 4 + = = 160 c =. Resposta da questão 4: a) A probabilidade pedida é dada por 1 L L 1 =. L 4 b) A probabilidade de que as duas bolinhas atinjam a parte tampada é igual a = Portanto, a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca é = No Δ YWO : x = q (ângulo externo) No Δ OYZ : q+ x = q= 180 q= 6 Logo, YÔZ : 6. Resposta da questão 6: = 1. O triângulo DCB é isósceles, logo os ângulos que conseguimos calcular são: CBD ˆ = BDC ˆ = 45 DEC ˆ = = 105 ECB ˆ = = 60 ECD= = 0 Portanto, as proposições [01], [04] e [08] são verdadeiras e [0], [16] e [] são falsas. Resposta da questão 7: [E] Área do lote: 0.(1 + 18) = 600m (x+ 1).0 Área construída: = 10x+ 10 De acordo com o enunciado, temos: Página 10

11 x+ 10 Portanto, x [1,4]. Resposta da questão 8: [B] 6x+ 4 = x x = 96 x = x x 40 1 x Logo, y = 180 ( ) =. Obs: O formato da figura apresentada não condiz com os cálculos obtidos acima. Resposta da questão 9: Considere a figura. 8 = 40km h. 60 Resposta da questão 11: Os ângulos (60 α+ 4 α) = (60 + α) e α+ 90 são alternos internos. Portanto, 60 + α = α+ 90 α = 0, que é um divisor de 60. Resposta da questão 1: [E] Desde que os triângulos ACE e BCD são semelhantes por AA, vem CD BD CD 4 = = CE AE CD+ 5 CD= 1. Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACE, encontramos O trajeto ACDB tem comprimento mínimo quando B, D e H são colineares. Com efeito, se D' é um ponto da reta DK suur e C' é o pé da perpendicular suuur baixada de D' sobre a reta HK ', então, pela Desigualdade Triangular, BD' + D'H= BD' + AC' > BD+ DH= BH. AC = AE + CE AC = AC= Resposta da questão 1: [B] Portanto, como os triângulos BDK e DHC são semelhantes por AA, segue-se que DK BK DK 5 = = CH CD 18 DK,5 DK = 1km. Resposta da questão 10: [B] Seja P' o pé da perpendicular baixada de P sobre a suuur reta AA'. É fácil ver que P'AP = 60. Daí, como P'AP é ângulo externo do triângulo AA'P segue-se que AA 'P= 0, o que implica em AA' = AP= 8km. Portanto, a velocidade do avião no trecho AA' era de AB = ED = CD = 68 e AE = BC = x Logo, x = 5 x = 5 x = 16, ou seja, BC = 16 cm. Resposta da questão 14: [A] Admitindo que n seja o número de lados de um polígono e de o número de diagonais, temos: Página 11

12 1 n (n ) n= d d n n n n 6n n 9 n 0 = = = = n= 0 (não convém) ou n= 9. Logo, o valor de n é 9. Resposta da questão 15: [A] Como M é ponto médio de SR, AMS = 90 e AR = AD, segue-se que ARDS é losango. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADC, encontramos AC= b 5. Logo, b 5 AR= DS =. Portanto, como o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura, do triângulo MSD, vem b 5 b DS MP= MS DM MP= b b 5 MP =. 5 x+ 60 = 15 x 5x= 75 x= 15 α = 180 α = 75. Resposta da questão 19: Resposta da questão 16: ADC ˆ = 0 (ângulos opostos do paralelogramo) GFD ˆ = = 150 (alternos internos) Resposta da questão 0: Utilizando a relação entre as cordas, temos: y = = 68 Logo, BED $ = 68. AE = EB, portanto, EBC ˆ = x. No triângulo AEB : x = 68 Portanto, x = 4. Resposta da questão 17: Cada duas peças formam um retângulo de dimensões 10cm 5cm. Portanto, o perímetro da faixa é dado por cm. + = Resposta da questão 18: [A] x (x+ ) = x (x 1) x + 6x = x x x + 7x = 0 Resolvendo a equação temos: x = 0 (não convém) ou x = 7. Resposta da questão 1: [B] Aplicando o teorema de Tales na figura, temos: x x+ 6 = x + 7x = x + 8x+ 1 x x 1= 0 x = 4 x+ x+ 7 ou x = (não convém) Portanto, x = 4. Resposta da questão : Página 1

13 Considere a figura. É fácil ver que os triângulos BFE e DGC são semelhantes por AA. Portanto, se l é a medida do lado do quadrado, temos l = l = l l = Resposta da questão : De fato, sabendo que D e E são pontos médios de AB e AC, respectivamente, tem-se que DE é base média do triângulo ABC e, portanto, 1 DE= BC e DE BC. Em consequência, os triângulos DEM e BCM são semelhantes por AA. Daí, BM BC BM BC = = ME DE ME 1 BC BM= ME. Resposta da questão 6: Seja l a medida do lado do quadrado DEFG. Os triângulos ABC e AEF são semelhantes por AA. Portanto, l 4 l = 10 5l= l 40 4 l= 15cm, que é um múltiplo de 5. O triângulo ADE é isósceles, logo AD = 8m. O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE, portanto: x = 8x = 4 x = m 8 1 Resposta da questão 7: Resposta da questão 4: [A] Sabendo que a altura é proporcional ao comprimento da sombra projetada, segue-se que a altura h do pau de sebo é dada por h 1 = h= 5 m Resposta da questão 5: a) Supondo que CAB BED $ = 90, é fácil ver que os triângulos ABC e EBD são semelhantes por AA. Desse modo, temos AC AB x 4 = = ED BE,5 x = 19, m. z x Δ I ~ Δ III = z = y y x Calculando a área de cada figura, temos: z x AI = = xy A = x y A II III x y = Portanto, a área da figura I é igual à área da figura II. b) Queremos mostrar que BM= ME. Resposta da questão 8: = 1. Página 1

14 1x = x = 8/ Resposta da questão 0: [01] Verdadeira, pois AO = BC/ (raio e diâmetro). [0] Falsa, pois BC = AB + AC. [04] Verdadeira. Observe que os ângulos são, respectivamente, congruentes. [08] Verdadeira. BÂC= 90, portanto, o arco ) (BPC) = 180, logo BC é diâmetro. [16] Falsa. Área máxima para o triângulo R R π R ABC : = R e R <. Resposta da questão 9: [A] No ΔPHS: PS = PS= 15m. 9 1 ΔPHS ΔPSR = SR= 0m. 15 SR Portanto, a área do terreno será: A = 0 15= 00m Resposta da questão 1: [A] A área A de um quadrado de lado a é dada por A = a. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo DFH, temos a = b + c. Portanto, A = a + b. Resposta da questão : Considerando x a distância do ponto P até o segmento XY, temos: PZ = PX = 6 x Aplicando, agora, o Teorema de Pitágoras no triângulo PMX: x + = (6 x) No triângulo ABC, temos: AD= BD= CD= 1 ( ) AB = 1 e x + 4 = 6 1x + x Página 14

15 AC + AB = AC= 4 ( 1) Resposta da questão 5: AC= 6 Resposta da questão : [A] Desde que AB EM e E é o ponto médio de AD, segue-se que EM é base média do triângulo ABD. AB 1 Assim, temos EM = =. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo DEM, vem 1 DM = EM + DE DM = DM =. Por conseguinte, dado que DH é um arco de circunferência com centro em M, encontramos 1+ 5 EH= HM EM =. Resposta da questão 4: Vamos supor que a locução: figura de vértice ABCD" signifique figura de vértices A, B, C e D. Considere a figura. x= x = 1800 x= 0 Logo, o perímetro P será dado por: P= 4 0 P= 10 cm. Resposta da questão 6: Admitindo R a medida do raio, temos: 4π = rad= R =. 5 R π Resposta da questão 7: [B] Sendo 50 m a área do terreno retangular de dimensões x e x+ 1, segue que (x )(x+ 1) = 50 x + x 5= 0 x= 4 m. Se x = x0 é o valor de x tal que (x0 )(x0 + 1) = 50, temos Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos APH, BPE, DPG e CPE, obtemos m + r = 5, n + r = 4, n + s = 16 e Somando, vem m + s = x. (m + s ) + (n + r ) = 45+ x x + 8= 45+ x x = 7 u.c. x0 + x0 5= 0 x0 = 9. Portanto, o parâmetro x deve ser aumentado em 9 4 = 5 metros. Resposta da questão 8: Como os arcos determinados por A, B e C têm mesmo comprimento, segue-se que o triângulo ABC é equilátero. Além disso, sabendo que a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r é dada por r, 4 temos Página 15

16 r 7 r 6cm. 4 = = Resposta da questão 9: (AMND) = (ABCD) (ABM) (MCN) 1 $ 1 = 4 AB BM senabc CM CN senbcd 1 AD 1 AD CD = 4 CD sen ADC sen(180 ADC) 1 1 = 4 AD CD senadc AD CD senadc 4 8 = 4 6 = 15cm. AB 1,5 0,68 1,5 ΔABD ~ ΔDEC : = AB= 0,68 e AΔABD = = 0,51 m,5 5,5 Resposta da questão 41: [A] FG 1 0,667 1 ΔFGH ~ ΔHIC : = FG= 0,667 e AΔFGH = = 0, m Área da loja: A = 4 7 1,5 1=,75 m Área não coberta pela câmera em porcentagem:,75 0,51 0, = 96,46%,75 Observação: O resultado apresentado não confere com o gabarito oficial, pois o gabarito oficial considerou que os ângulos BDA e FHG são congruentes. Resposta da questão 40: Sendo ABCD um paralelogramo, é imediato que AD = BC e AB= CD. Como a área de ABCD vale 4cm, tem-se 1 (ABCD) = AD CD senadc AD CD senadc = 4. Além disso, sabemos que ADC ABC $ e BCD = 180 ADC. Por conseguinte, o resultado pedido é dado por Cálculo da área do octógono regular: x + x = x = Portanto, a área A 1 do octógono regular será dada por: x A1= ( + x) 4 A1= ( + ) 4 = Cálculo da área A dos oito semicírculos: π 1 A = 8 = 4π Logo, a área da figura será dada por: A = A1+ A A = π (Alternativa [A]). Resposta da questão 4: [A] A área do retângulo, após os acréscimos no comprimento e na largura, é dada por Página 16

17 Y X X 1+ Y Logo, o resultado pedido é Y X X 1+ Y 1 X Y X Y XY 100% = % X Y XY = X+ Y + % (BB'D) = BB' B'D' 1 = 16 6 = 48 m. Resposta da questão 46: Do triângulo ABC, obtemos Resposta da questão 4: Lado do quadrado: 5m Perímetro do quadrado: = 0m Valor pedido: 0 (,5+ 1,75) = 0 5= R$500,00 Resposta da questão 44: O resultado pedido é dado por π 1 6 1,7 = 7,cm. Resposta da questão 45: a) Vamos supor que ACDE seja um retângulo. Temos BC= AC AB= 15 7= 8 m. Daí, sendo AE= CD= 6 m, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo BCD para encontrar BD= 10 m. Por conseguinte, o custo total da cerca é igual a = R$.700,00. b) Se ACDE é um retângulo, então AB+ DE (ABDE) = AE = 6 = 66 m. c) Como BB' = BC= 16 m e B'D' = CD= 6 m, segue que o resultado pedido é BC 1 senbac = BC= 40= 0cm AC e AB cosbac = AB= 40 4cm. AC Além disso, como AD= DE= BC= 0cm. DAE = 45, segue que Portanto, a área do triângulo ACE é dada por (ACE) = (ADC) (ADE) = = 140cm. Resposta da questão 47: [B] Tem-se que $ AB 5 cos ABC = AB= u.c. BC Portanto, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC é 1 (ABC) = AB BC senabc $ = 5 =,15 u.a. Resposta da questão 48: Sabendo que a área S de um triângulo equilátero de altura h é dada por h S =, tem-se que o resultado pedido é igual a Página 17

18 (4,5) 1,7 1,05,5 10,4,6 7,61m. Resposta da questão 49: Dimensões da praça: = 19m = 4m Portanto, sua área total será Área da parte interna será Logo, a área da calçada será Resposta da questão 50: A área pedida é dada por 19 4= 456 m = 00 m = 156 m = 4 6= 4cm. Página 18