... j = 1 j = 2 j = 3 j = N j = 1

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1 Revista Brasileira e Ensino e F sia, vol. 4, no., Junho, Introuο~ao a Teoria Qu^antia e Campos: o Osilaor Harm^onio ao Campo Esalar Livre Rorigo Gonοalves Pereira e Euaro Mirana Instituto e F sia Gleb Wataghin, Uniamp, C. P. 665, CEP Campinas, SP Reebio em 8 marοo, 00. Aeito em 8 e maio, 00. As teorias qu^antias e ampo s~ao funamentais em teoria e Matéria Conensaa e F sia e Altas Energias. Nesse artigo mostramos omo um formalismo t pio e teorias e ampos poe ser introuzio iatiamente, generalizano a soluο~ao o osilaor harm^onio para um grane número e graus e liberae. No limite ont nuo, esse métoo nos leva a quantizaο~ao o ampo e uma ora estiaa vibrante e a exist^enia os f^onons omo exitaο~oes elementares ( part ulas") esse ampo. O proeimento poe ser usao omo introuο~ao elementar as teorias qu^antias e ampo através e ferramentas ensinaas em um urso e grauaο~ao e Me^ania Qu^antia. Quantum fiel theories are entral to both Conense Matter an High-Energy Physis. In this artile, we show how a typial fiel theoretial formalism an be peagogially onstrute by generalizing the solution of a harmoni osillator to a large number of egrees of freeom. In the ontinuum limit, this metho leas to the quantization of the fiel of a vibrating strethe string as well as to the existene of phonons as elementary exitations ( partiles") of this fiel. The proeure an be use as an elementary introution to quantum fiel theory by means of tools taught at an unergrauate ourse in Quantum Mehanis. I Introuο~ao Entenemos por ampo uma funο~ao efinia em toos os pontos o espaοo. Por ser efinio sobre um onunto ont nuo e pontos, um únio ampo inorpora um número infinito e graus e liberae. O exemplo mais familiar é o ampo eletromagnétio, que é o entro as atenο~oes e too o Eletromagnetismo []. A proposta a Teoria Qu^antia e Campos é quantizar esses obetos matemátios, assim omo a Me^ania Qu^antia trata e quantizar as granezas f sias relaionaas ao movimento e um número finito e part ulas. A forma e fazer isso é esrever os observáveis em termos e operaores que aumentam ou iminuem o número e ertas quantiaes isretas no sistema, onheios omo quanta e exitaο~ao. Tais quantiaes s~ao ent~ao ientifiaas om part ulas elementares uas proprieaes (omo massa, arga elétria e spin) se refletem nas proprieaes o ampo. Por exemplo, as part ulas que resultam a quantizaο~ao o ampo eletromagnétio (mais propriamente, o quaripotenial A μ ) s~ao os fótons, que t^em massa e arga nulas e spin. Como toa a informaο~ao sobre o número e estao as part ulas poe ser resumia na esriο~ao o estao o ampo, o formalismo e teoria e ampos é onveniente para tratar sistemas e muitas part ulas. Mais o que isso: numa teoria relativ stia, om possibiliae e riaο~ao e aniquilaο~ao e part ulas, a funο~ao e ona e uma part ula pere o signifiao, e o formalismo e ampos é essenial e inevitável [, 3]. O obetivo este artigo é mostrar omo quantizar um ampo uniimensional, orresponente a uma ora vibrante, a maneira mais peagógia poss vel. Esse proeimento torna-se bastante simples quano omeοamos tratano um sistema isreto e osilaores aoplaos. Por isso, na seο~ao II, revisamos a soluο~ao qu^antia o osilaor harm^onio. Na seο~ao III, tratamos o problema e ois osilaores aoplaos. Na seο~ao IV, generalizamos a soluο~ao para N osilaores aoplaos, iagonalizano o Hamiltoniano através os moos normais e vibraο~ao. Por fim, na seο~ao V, tomamos o limite ont nuo (par^ametro e ree ino a zero) e enontramos o espetro o Hamiltoniano a nossa teoria e ampo. II Osilaor harm^onio O osilaor harm^onio uniimensional e massa m e onstante e mola C é regio pela Lagrangiana [4] L (x; _x) = m _x Cx ; ()

2 38 Rorigo Gonοalves Pereira e Euaro Mirana one x é a posiο~ao a part ula. O momento anoniamente onugao a x é p = m _x: _x O Hamiltoniano, que eve ser esrito omo funο~ao e x e p, é H (x; p) =p _x L = p m + Cx : (3) A quantizaο~ao o movimento a part ula é feita assoiano-se a x e p operaores Hermitianos que satisfazem a relaο~ao e omutaο~ao an^onia [x; p] =i~: (4) Um estao qualquer a part ula é esrito por um ket genério ψi. Na base e autoestaos e posiο~ao fxig, ψi é representao por uma funο~ao e ona ψ(x) =hx ψi, tal que ψ(x) = ψ Λ (x)ψ(x) representa a ensiae e probabiliae e enontrar a part ula entre x e x + x. Queremos enontrar as soluο~oes a equaο~ao e Shröinger inepenente o tempo H ψi = E ψi ; (5) one os valores e E s~ao as energias permitias o sistema. Para isso, efinem-se os operaores aimensionais r m! μx = x; (6) one! = q μp = C m, que satisfazem ~ p p; (7) m~! [μx; μp] =i: (8) O Hamiltoniano fia ent~ao H = ~! μp +μx : (9) Definem-se os operaores a e a y na forma a = p (μx + iμp) ; (0) a y = p (μx iμp) : () Inverteno essas relaο~oes, obtemos Da Eq. (8), temos μx = p a + a y ; () μp = i p a a y : (3) a; a y Λ =: (4) Substituino μx e μp na Eq. (9), obtemos H na forma H = ~! N + ; (5) one N a y a éhamao e operaor número. De (4), temos as relaο~oes e omutaο~ao entre H e os operaores a e a y [H; a] = ~!a; (6) H; a y Λ = ~!a y : (7) Deorre as Eq. (6)e(7)que,seψi é um autovetor e H om energia E, ent~ao a y ψi e a ψi s~ao autovetores e H om energias E + ~! e E ~!, respetivamente, pois H; a y Λ ψi = ~!a y ψi ) Ha y ψi =(E + ~!) a y ψi ; (8) [H; a] ψi = ~!a ψi ) Haψi =(E ~!) a ψi : (9) Logo, a aniquila um quantum e energia ~! e a y ria o mesmo quantum. Por isso, os operaores a e a y s~ao onheios omo operaor e aniquilaο~ao e operaor e riaο~ao. O espetro e N é formao por inteiros n~ao negativos n = 0; ; ;:::[4]. Conseqüentemente, os n veis e energia s~ao isretos e aos por E n = ~! n + (n =0; ; ;:::) : (0) A menor energia permitia é a hamaa energia e ponto zero E 0 = ~!: () O estao funamental, enotao por 0i, é tal que a 0i =0; () pois o operaor a n~ao poe riar n veis om energia menor o que E 0. O n-ésimo estao exitao é onstru o a partir o estao funamental, apliano-se o

3 Revista Brasileira e Ensino e F sia, vol. 4, no., Junho, operaor e riaο~ao n vezes sobre o estao funamental ni = p n! a y n 0i ; (3) one / p n! é a onstante e normalizaο~ao, tal que hn ni =. A atuaο~ao os operaores e riaο~ao e aniquilaο~ao sobre os auto-estaos o osilaor harm^onio é aa por a ni = p n n i ; (4) a y ni = p n +n +i : (5) Poe-se emonstrar que a funο~ao e ona o estao ni é ψ n (x) =hx ni = H n (x)e m! ~ x ; (6) one H n (x) é o polin^omio e Hermite e orem n. III Dois osilaores aoplaos Poemos tratar problemas que envolvem mais e uma part ula usano a equaο~ao e Shröinger inepenente o tempo (5), one ψ é agora uma funο~ao as N oorenaas que informam a posiο~ao e aa part ula e E é a energia o sistema. Denotaremos essas posiο~oes por u ;u ;:::;u N ; assim, ψ = ψ (u ;u ; :::; u N ) ψ (u ). Para quantizar esse sistema, preisamos onheer o Hamiltoniano lássio em funο~ao as quantiaes anoniamente onugaas e ent~ao assoiar operaores a essas quantiaes. Se a energia potenial epener apenas as oorenaas, a Lagrangiana será aa por [5] L [u ; _u ]= = m : u V (u ; :::; u N ) : (7) Se p : u = m _u é o momento anoniamente onugao a u, o Hamiltoniano lássio será H [u ;p ]= = p _u L = = p m + V (u ; :::; u N ) : (8) Assoiam-se as variáveis an^onias lássias operaores e posiο~ao u i e momento p i que satisfazem [u i ;u ] = [p i ;p ]=0; (9) [u i ;p ] = i~ffi i : (30) Comeοamos om o problema simples e uas part ulas, e massas m e m, ligaas pela energia potenial V (u ;u )= C (u u ) ; (3) que orrespone ao problema lássio e uas massas aoplaas por uma mola e onstante C: O Hamiltoniano o sistema é H = p m + p m + C (u u ) : (3) É onveniente reesrever a Eq. (3) em termos as novas oorenaas v = u u ; (33) w = m u + m u ; (34) M one M m + m : As oorenaas v e w s~ao failmente reonheias omo a oorenaa relativa entre m e m e a oorenaa o entro e massa o sistema, respetivamente. Os momentos onugaos a v e w s~ao p v = m p m p ; (35) M p w = p + p : (36) Com essa transformaο~ao, obtém-se H = p v μ + Cv + p w M ; (37) one μ m m =(m + m ) é a massa reuzia. O Hamiltoniano (37) é separável nas variáveis v e w; isso signifia que a funο~ao e ona e a energia os estaos estaionários poem ser esritas na forma A equaο~ao em w é ψ(v; w) = '(v)χ(w); (38) E = E v + E w : (39) p w M χ(w) =E wχ(w); (40) e orrespone ao movimento e uma part ula livre e massa M om energia inétia E w. Definino-se k tal que E w = ~ k M ; (4) a soluο~ao é uma ona plana o tipo χ(w) =e ikw : (4) Já a equaο~ao em v é p v μ + Cv '(v) =E v '(v): (43) Comparano-se om (3), v^e-se que essa é a equaο~ao e Shröinger e um osilaor harm^onio om massa μ e freqü^enia! = p C=μ. Da seο~ao 6, sabemos que os

4 40 Rorigo Gonοalves Pereira e Euaro Mirana n veis e energia s~ao quantizaos omo em (0) e ' n (v) é aa por (6). Logo, a energia total é E = ~ k n M + ~! + : (44) O métoo empregao aima sugere uma generalizaο~ao que permite tratar o aso e N orpos. O fato funamental é que a equaο~ao e Shröinger inepenente o tempo torna-se separável quano se esolhe um sistema e oorenaas onveniente. No aso onsierao, a oorenaa v orrespone a uma forma e movimento em que tanto m quanto m vibravam om a freqü^enia!; por sua vez, w orrespone a translaο~ao onunta e m e m o que poe ser enarao omo uma vibraο~ao om freqü^enia! = 0: Caa uma essas formas e movimento, em que toas as part ulas vibram om a mesma freqü^enia, é hamaa e um moo normal o sistema. Temos, ent~ao, uma estratégia para resolver o problema qu^antio e N osilaores aoplaos: enontrar os moos normais o sistema pela mesma ténia empregaa no aso lássio, separar a equaο~ao e Shröinger nas oorenaas os moos normais e reuzir o problema a N equaο~oes e osilaores harm^onios simples, ua soluο~ao á onheemos. Essa estratégia será seguia na próxima Seο~ao. IV N osilaores aoplaos IV. Diagonalizaο~ao o Hamiltoniano Vamos onsierar agora o problema e N massas aoplaas por N molas (Fig. ). Por simpliiae, assumimos que toas as massas s~ao iguais (m i = m) e toas as molas t^em a mesma onstante C. Assim, a aa mola está assoiaa uma energia potenial a forma V = C (u + u ) : (45) Além isso, impomos oniο~oes perióias e ontorno u +N (t) =u (t): (46) A relaο~ao (46) poe ser visualizaa omo a onstruο~ao e uma aeia e N part ulas aoplaas por molas em que se liga a última elas a primeira por outra mola, formano um rulo fehao om N molas. As oniο~oes e perióias e ontorno, embora n~ao esseniais ao esenvolvimento que se segue, failitam sobremaneira os álulos.... = = = 3 = N = Figura. N osilaores harm^onios aoplaos om oniο~oes perióias e ontorno. A Lagrangiana o sistema é L [u ; _u ] = = = m N = m _u C (u + u ) (47)» _u C u m + u u + + u : (48) O Hamiltoniano é one H [u ;p ]= = " p m C (u + u ) # ; (49) _q = m _u : (50) O termo a energia potenial poe ser simplifiao notano que aa u aparee uas vezes na soma. Temos, ent~ao, L [u ; _u ]= m N =» _u C u m u u + : (5)

5 Revista Brasileira e Ensino e F sia, vol. 4, no., Junho, 00 4 Definino o vetor e oorenaas u = 0 u u. u N C A ; (5) poemos esrever L [u ; _u ] na forma e um prouto e matrizes L = m _u t _u C m ut Au (53) one A é a matriz N N os oefiientes a i e u i u A = C A ; (54) e o super nie t enota a transposiο~ao a matriz. Como A é simétria, existe uma muanοa e oorenaas aa por uma matriz ortogonal G que iagonaliza A; isto é om G tal que u = Gq; (55) G t = G ; (56) G t AG = D; (57) i = ff i ffi i; (58) one i s~ao os elementos a matriz D. Os autovalores ff i e A s~ao toos n~ao negativos porque u =0éuma onfiguraο~ao e equil brio estável o sistema. Substituino (55) na Eq. (53) e usano (57), obtemos L [q ; _q ]= m _q t _q C m qt Dq = = m _q Cff q : (59) O Hamiltoniano assoiao é " Π H [q ; Π ]= m + Cff q = # ; (60) one Π = m _q. A transformaο~ao ortogonal assegura que q eπ s~ao também anoniamente onugaos, isto é, [q i ; Π ]=i~ffi i : (6) Notamos que o Hamiltoniano (60) é separável nas variáveis q, que esrevem os moos normais e vibraο~ao o sistema. Caa moo possui uma freqü^enia assoiaa! = ff r C m : (6) Logo, a equaο~ao e Shröinger amite soluο~oes a forma ψ = Q n (q )Q n (q ):::Q nn N (q n); (63) one aa Q n é aa por (6), om autovalor E = ~! n + : (64) Portanto, a energia total o sistema é quantizaa em termos as freqü^enias os moos normais E = E = ~! n + : (65) = A energia e ponto zero é E 0 = = = IV. A relaο~ao e ispers~ao ~! : (66) As freqü^enias!, as quais epenem os n veis e energia o sistema om N osilaores, s~ao as freqü^enias lássias os moos normais e vibraο~ao. Para enontrá-las, onsieramos as equaο~oes e movimento erivaas as equaο~oes e Euler-Lagrange que nos levam a =0; (67) m :: u = C(u + u ) C(u u ): (68) Na Eq. (68), aa u se aopla om os ois primeiros vizinhos. Quano o sistema está num moo normal, toas as part ulas osilam om a mesma freqü^enia.

6 4 Rorigo Gonοalves Pereira e Euaro Mirana u (t) =a e i(kh!t) ; (69) one a é uma amplitue omplexa e vibraο~ao, k = ß= éonúmero e ona e h é a separaο~ao e equil brio entre ois s tios vizinhos (par^ametro e ree). Logo, a posiο~ao e equil brio a massa e nie é x = h. Substituino (69) em (68), enontramos as freqü^enias normais e osilaο~ao, também onheia omo a relaο~ao e ispers~ao o sistema e N osilaores aoplaos r fi 4C fi fi!(k) = fi kh fififi m fi sin : (70) De Eq. (70), poemos ver que qualquer intervalo e kh e amplitue ß é apaz e forneer toos os valores e! poss veis. É ostume esolher o intervalo simétrio ß h» k» ß h ; (7) Além isso, a invari^ania a Lagrangiana por uma translaο~ao e! + assegura que exista uma soluο~ao o tipo ona plana (usano notaο~ao omplexa por onveni^enia) onheio omo primeira zona e Brillouin [6]. Observe que a exist^enia e um k máximo está ligaa ao fato a separaο~ao entre as massas ser finita (h > 0). Além isso, a Eq. (70) implia que há uma freqü^enia máxima que oorre ustamente para k = ß=h eé aa por r 4C! M = m : (7) A relaο~ao e ispers~ao (70) é mostraa na Fig.. ω(k)/ω M Para kh fi (omprimentos e ona muito maiores que o par^ametro e ree), a veloiae e fase é aproximaamente onstante k h! '! M (74) r C ) v ' ±h m : (75) As freqü^enias os N moos normais surgem quano exigimos que a soluο~ao (69) satisfaοa as oniο~oes perióias e ontorno, o que oorre se e ikh = e ikh(+n) : (76) Isso reuz os valores e k aqueles, tal que k = ß Nh = ß L ; (77) one = 0; ±; ±;::: e L = Nh é o omprimento total a ree. Os k s~ao separaos pela quantiae k = k + k = ß=L: Se quisermos limitar os valores e k a primeira zona e Brillouin (7), evemos tomar ρ N = +; ; 0; ; N N par; N+; ; 0; ; N (78) N impar: As freqü^enias! s~ao finalmente obtias substituino-se k na relaο~ao e ispers~ao fi fififi fi ß fififi! =! M sin : (79) N V^e-se que as freqü^enias os moos normais s~ao egeneraas, pois! =! : De fato, as soluο~oes om k e k = k orresponem a onas e mesma freqü^enia que se propagam pela ree em sentios opostos. O moo e freqü^enia! =0é o moo e translaο~ao livre o sistema, omo isutimos na seο~ao III. V O limite ont nuo kh/π Figura. Relaο~ao e ispers~ao e N osilaores harm^onios aoplaos. Aveloiae e fase a ona om vetor e ona k éaapor v(k) =!(k) k =! M k fi fi fi fi kh fififi fi sin : (73) V. Lagrangiana e Hamiltoniano a ora Um sistema ont nuo poe ser enarao omo o limite e um sistema e part ulas quano o número e graus e liberae tene a infinito. Toma-se, ent~ao, o uiao e fazer a orrespon^enia orreta entre as granezas arater stias o sistema isreto e suas análogas no ont nuo. No aso que temos tratao, o problema e N part ulas ligaas por molas reuz-se, quano N! e h! 0 (manteno L = Nh fixo), ao problema e uma ora ont nua que vibra longituinalmente. A in^amia a ora epene a ensiae linear e massa e e uma onstante relaionaa

7 Revista Brasileira e Ensino e F sia, vol. 4, no., Junho, a sua elastiiae. O nie em u (t) eve tornar-se ont nuo e relaionao a oorenaa x o ponto sobre a ora u (t)! u (x = h;t) : (80) A graneza u(x; t) efine, ent~ao, uma funο~ao ont nua no om nio 0» x» L, ou sea, u(x; t) é um ampo esalar uniimensional, que esreve o esloamento e aa ponto a ora em relaο~ao a sua posiο~ao e equi brio. A proprieae e inéria a ora é aa pela ensiae linear e massa ff = lim h = M L ; (8) one M é a massa total a ora. A energia inétia o sistema isreto em (48) poe ser reesrita na forma T [_u ]= h!0 m h m h _u (8) No limite ont nuo, substitu mos P h por R x e m=h por ff, obteno T [_u (x)] = x ff _u (x) : (83) one a integral é alulaa no intervalo L=» x» L=. Já a energia potenial em (48) fia Ientifiano u + u h V [_u ]= h Ch u+ u : (84) h Ch! fi; (85) u(x + h) u(x)! lim x u(x);(86) h!0 h enontramos que a energia potenial a ora é V [@ x u (x)] = x» fi (@ xu(x)) : (87) A Lagrangiana o sistema ont nuo é, ent~ao, L [u (x) ; _u (x) ;@ x u (x)] = = x ff _u (x) fi (@ xu(x)) (88) xl(x); (89) one L(x) = ff _u (x) fi (@ xu(x)) (90) é hamaa e ensiae e Lagrangiana. Note que a Lagrangiana, que era uma funο~ao e várias variáveis no aso isreto, torna-se agora um funional e u (x), _u (x) x u (x), ou sea, um novo tipo e funο~ao que, nesse aso, leva funο~oes reais pertenentes ao onunto F ao onunto os reais L [u (x) ; _u (x) ;@ x u (x)] : F! R: (9) O momento onugao a u(x) é ao pela erivaa parial [5] Π(x) = ff _u(x); _u(x) que é o análogo ont nuo e (50). O Hamiltoniano é, ent~ao, H [u; Π] = Π (x) x ff + fi (@ xu(x)) : (93) O análogo a equaο~ao e movimento (68) para a ora ont nua é a equaο~ao e ona, que eorre a equaο~ao e Euler-Lagrange para variáveis ont x Note a presenοa e um novo termo, evio a epen^enia e L x u. Obtemos, x u(x; t u(x; t) =0; (95) one = p fi=ff é a veloiae a ona, que é onstante. Esse é exatamente o limite h! 0 na relaο~ao e ispers~ao (70), que se reuz a! =!(k )= k : (96) V. Diagonalizaο~ao o Hamiltoniano a ora No limite ont nuo, a funο~ao e ona e N oorenaas ψ(u ) é substitu a por um funional e ona ψ = ψ [u(x)], que esreve o estao o sistema e é

8 44 Rorigo Gonοalves Pereira e Euaro Mirana soluο~ao a equaο~ao e Shröinger om o Hamiltoniano ao por (93). Para quantizar o Hamiltoniano em analogia om o aso isreto a Eq. (30), imp~oe-se que os operaores u(x) e Π(x) satisfazem as relaο~oes e omutaο~ao an^onias [u(x);u(x 0 )] = [Π(x); Π(x 0 )]=0; (97) [u(x); Π(x 0 )] = i~ffi(x x 0 ); (98) one ffi(x) é a funο~ao elta e Dira, que poe ser enaraa om o limite ont nuo o elta e Kroneker em (30). Como no aso isreto, a estratégia é esrever H em termos as oorenaas os moos normais para obter um onunto e osilaores harm^onios e energia quantizaa. Introuzimos q omo a amplitue o moo e número e ona k u(x) = e ikx q ; (99) one os k permitios s~ao k = ß=L. Multipliano os ois laos a Eq. (99) por e ik lx eintegrano sobre o omprimento a ora, obtemos a relaο~ao inversa q = L xe ik x u(x): (00) Como u(x) é real, segue a Eq. (00) que q n é, em geral, omplexo e qn Λ = q n: De (99), temos que x [_u(x)] = = L l l _q _q l xe i(k +k l)x (0) _q _q l ffi ; l = L _q _q : (0) Do mesmo moo, x (@ x u(x)) = L e a Lagrangiana poe ser esrita L = k q q (03) ρ M _q _q M! _q _q ff ; (04) one substitu mos M = ffl e fik = ff!. O momento onugao a q é _q = M _q ; (05) lembrano que aa q aparee uas vezes no somatório em (04). É fáil ver que Π se relaiona om Π(x) efinio na Eq. (9) através as relaο~oes Π(x) = L Π = e ik x Π ; (06) x e ik x Π(x): (07) Como no aso e q ; temos que Π Λ =Π porque Π(x) éreal. A relaο~ao e omutaο~ao entre os operaores q e Π poe ser obtia a partir a relaο~ao entre u(x) e Π(x 0 ) e as transformaο~oes (00) e (07) [q i ; Π ]= L x x 0 [u(x); Π(x 0 )] e i(k ki)x = i~ffi i ; (08) que tem também uma forma an^onia (porém isreta). O Hamiltoniano é ao por H = ρ Π Π M + M! q q ff : (09) Vamos onsierar o limite a ora infinita L! ( as vezes também hamao e limite termoin^amio). Uma vez que a separaο~ao entre os k permitios é k = ß=L, o limite L! faz k! 0, isto é, o onunto e k's permitios torna-se ont nuo, assim omo a variável x. Por isso, enotamos aa moo por q(k), k R. Esreveno a Eq. (99) na forma u(x) = p q p ; (0) ß ß=L ke ik x e supono que, no limite k! 0, a seguinte express~ao onvira obtemos a relaο~ao q L p ß! q(k); () u(x) = p + k e ikx q(k): () ß Logo, q(k) é a transformaa e Fourier e u(x). Analogamente, o momento Π(k) é tal que Π(x) = p k e ikx Π( k); (3) ß

9 Revista Brasileira e Ensino e F sia, vol. 4, no., Junho, e a relaο~ao e omutaο~ao para os operaores om nie ont nuo é [q(k); Π(k 0 )] = i~ffi(k k 0 ): (4) A Lagrangiana e o Hamiltoniano em funο~ao e q(k) fiam L = H = ρ ff k ff _q(k)_q( k) ff! (k)q(k)q( k) ; (5) ρ ff Π(k)Π( k) k + ff ff! (k)q(k)q( k) ; (6) om!(k) = k. V.3 F^onons Basta omparar om a Eq. (60) para pereber que o Hamiltoniano a Eq. (6) é um soma sobre toos os moos k e operaores n~ao-hermitianos q(k) e Π(k). Logo, o espetro e H eve ser ao pelo número e exitaο~oes em aa moo e freqü^enia!(k). Para mostrar isso, introuzem-se os operaores r ff!(k) ^q(k) = q(k); (7) ^Π(k) = ~ p Π(k); (8) ff~!(k) que satisfazem a relaο~ao e omutaο~ao h i ^q(k); ^Π(k 0 ) = iffi(k k 0 ): (9) Em analogia om (0) e (), efinimos a(k) = p ^q(k) +i ^Π( k) ; (0) a y (k) = p ^q( k) i ^Π(k) ; () que, por sua vez, satisfazem a(k);a y (k 0 ) Λ = ffi(k k 0 ): () O Hamiltoniano a ora poe ser oloao na forma ff H = k ~!(k) ρa y (k)a(k) + ffi(0) : (3) Verifia-se ent~ao que [H; a(k)] = ~!(k)a(k); (4) H; a y (k) Λ = ~!(k)a y (k): (5) A interpretaο~ao é a esperaa: os estaos exitaos s~ao prouzios pela aο~ao e operaores e riaο~ao e estruiο~ao e um número inteiro e quanta e energia ~!(k). A iferenοa é que, neste aso, o espetro e freqü^enias!(k) é ont nuo. O estao funamental 0i é obtio a oniο~ao a(k) 0i =0; (6) que eve ser vália para too k: De aoro om a Eq. (3), a energia o estao funamental a ora infinita é E 0 = k ~!(k)ffi(0): (7) A iverg^enia na energia o estao funamental é omum numa teoria e ampos (que lia om infinitos graus e liberae) e aparee aqui por ois motivos. Em primeiro lugar, a integral é feita sobre toos os moos om k e a+e, omo aa moo possui energia e ponto zero finita, o resultao eve ser infinito. Essa iverg^enia poe ser orrigia introuzino-se uma ist^ania m nima no sistema (omo um par^ametro e ree), que estabelee um k máximo; tal proeimento é onheio omo regularizaο~ao o ultravioleta, porque lia om pequenos omprimentos e ona. Em seguno lugar, os moos e vibraο~ao a ora infinita s~ao ont nuos; a a origem o fator ffi(0) em E 0. A soluο~ao para esse problema é ustamente introuzir um tamanho finito L para a ora, o que isretiza e imp~oe um valor m nimo para os k's. Essa é uma regularizaο~ao o infravermelho (granes omprimentos e ona). A interpretaο~ao f sia essas iverg^enias é lara: elas representam a energia neessária para a riaο~ao o número infinito e graus e liberae o sistema (energia e riaο~ao a ora). Mesmo sem qualquer regularizaο~ao, o que realmente interessa s~ao as iferenοas e energia entre os n veis, n~ao a energia total e riaο~ao o sistema. Essas energias e exitaο~ao s~ao aas pelos quanta ~!(k) es~ao finitas. O Hamiltoniano assoiao a energia meia a partir o estao funamental poe, ent~ao, ser esrito H = k ~ k a y (k)a(k): (8)

10 46 Rorigo Gonοalves Pereira e Euaro Mirana Os estaos exitaos om n r exitaο~oes e momento k r, n s exitaο~oes e momento k s, et, s~ao onstru os pela aο~ao os operaores a y n r n s :::n u i = a y r nr a y s ns ::: a y u nu p nr!n s!:::n u! 0i : (9) Esse resultao mostra que é poss vel esrever o estao o sistema, que é vinulao ao ampo esalar u(x), através a riaο~ao e estruiο~ao e quanta e vibraο~ao a ora. As transiο~oes entre estaos exitaos aonteem quano há absorο~ao ou emiss~ao essas quantiaes isretas e energia por parte o sistema. Poemos levar essa interpretaο~ao um pouo mais longe e ientifiar esses quanta om part ulas, usualmente hamaas f^onons, que s~ao araterizaas pela energia E(k) = ~!(k) e pelo momento p(k) = ~k (seguno as relaο~oes e Einstein-De Broglie). Para que um estao exitao fique bem araterizao, é sufiiente informar onúmero e f^onons e aa moo normal riaos sobre o estao funamental. Esses números s~ao ustamente o que se obtém apliano-se os operaores número N(k) a y (k)a(k) sobre os autovetores e H. Desse ponto e vista, o estao funamental 0i é um estao que n~ao ontém nenhum f^onon e, por isso, é freqüentemente hamao e váuo. Além e energia e momento, poese levar aiante a analogia om uma part ula material e se perguntar se um f^onon tem uma massa e repouso assoiaa. Dao que E = ~ k = p ; se onsierarmos a express~ao relativ stia para a energia total E = p (m 0 ) +(p) (30) onluiremos que m 0 = 0, ou sea, um f^onon tem massa e repouso nula. VI Conlus~oes O problema e quantizaο~ao a ora ont nua mostra que é viável introuzir uma teoria qu^antia e ampo usano-se um sistema me^anio familiar e intuitivo para alunos e grauaο~ao. A linha seguia foi a e generalizar, passo a passo, a soluο~ao o osilaor harm^onio e paran een para infinitos graus e liberae. Vimos que, nas oorenaas os moos normais, a ora equivale a um onunto e osilaores esaoplaos e energia quantizaa. Os quanta e vibraο~ao, aos quais se atribui ientiae e part ulas, s~ao os f^onons estuaos nos ursos e Estao Sólio. A teoria e ampo esenvolvia é uma teoria e ampo esalar livre, pois os moos (ou f^onons) s~ao n~ao interagentes. As interaο~oes s~ao introuzias através e termos n~ao quarátios nos ampos na express~ao a Lagrangiana ou a Hamiltoniana. Além isso, esse problema ilustra um proeimento omum a outras teorias e ampo que presinem e analogia me^ania. Em tais asos, onstrói-se uma Lagrangiana que fornee a equaο~ao apropriaa o que signifia inorporar as proprieaes as part ulas nas simetrias o ampo para ent~ao quantizar o sistema impono relaο~oes e omutaο~ao entre os operaores. Os autores agraeem a FAPESP pelo apoio finaneiro (00/0543-). Refer^enias [] L. Lanau e E. Lifshitz, The Classial Theory of Fiels, Aison-Wesley, Reaing, Mass (95). [] M. E. Peskin e D. V. Shroeer, An Introution to Quantum Fiel Theory, Aison Wesley, Reaing, Mass (995). [3] N. N. Bogoliubov, Quantum Fiels, Benamin/ Cumming, Reaing, Mass. (983). [4] Cohen-Tannoui, Quantum Mehanis, Volume I, John Wiley & Sons, New York (977). Chapter V. [5] H. Golstein, Classial Mehanis, Seon eition, Aison-Wesley, Reaing, Mass (980). [6] C. Kittel, Introution to Soli State Physis, Seventh eition, John Wiley & Sons, New York (996). Chapter 4.