UTILIZACÃO DA CURVA DE PARETO TRUNCADA PARA ESTIMAR RENDA TOTAL DE ESTRATOS

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1 R. de Ecnmetria Ri de Janeir v. VI n9 2 p nv 1986 UTILIZACÃO DA CURVA DE PARETO TRUNCADA PARA ESTIMAR RENDA TOTAL DE ESTRATOS A Rdlf Hffmann** RESUMO Freqüentemente é necessári estimar a renda ttal de cada estrat quand se dispõe de dads sbre númer de pessas distribuídas em estrats de renda. A btençã dessa estimativa é partic larmente difícil para estrat de rendas mais altas, sem limites perir finit. O us da curva de Paret cm dis parâmetrs muitas vezes leva a estimativas exageradamente altas da renda média nesse estrat. Este trabalh mstra cm a curva de Paret truncada pde ser utilizada para estimar a renda ttal ds estrats de rendas re lativamente elevadas. Em seguida métd prpst é utilizad para analisar a distribuiçã da renda entre as pessas ecnmicamente ativas na agrpecuária, n Brasil, em 1980, cnsiderand a cla sificaçã dessas pessas cm empregads, empregadres u autnôms. * Trabalh apresentad n V Encntr de Ecnmetria da Regiã Sudeste, em pira cicaba. SP, ns dias 22 e 23 de mai de ** Prfessr da ESALQ-USP, Piracicaba, SP.

2 84 REVISTA DE ECONOMETRIA ABSTRACT Frequently we need t estimate ttal incme fr each incme class frm data reprting the number f persns in each c!ass. This estimatin is particularly difficult fr the highest incme class, withut a finite upper limit In many cases the use f the tw-parameter Paret curve will verstimate the mean incme f this clas This paper shws hw the truncated Paret curve can be used t mre crrectly estirnate the ttal incme f the higher incme classes. The methd is applied in an analysis f the incrne distributin amng ecnrnically active per sns in brazilian agriculture in 1980, classified as emplyees, emplyers ar autnmus (self-empl yed)

3 NOVEI1BRD DE I NTROOUÇAQ Em trabalh recente, em c-autria cm Angela Kageyama, ana1l sams a distribuiçã da renda entre pessas ecnmicamente ativas (PEA) na agricultura brasileira, cnsiderand temp de trabalh semanal dessas pessas e sua "psiçã na cupaçã" I ist é, sua classificaçã cm empregads, empregadres u autônms (ver Hffmann e Kageyama, 198 5). Dispúnhams de dads, frnecids pel IBGE e rigináris d recenseament de 1980, em que as pessas ati vas sã distribuídas em 10 estrats de rendiment mensal. Cm nã dispúnhams d rendiment ttal.u médi pr estrat, esses valres médis fram fixads, tend pr base utrs cnjunts de dads, em que a renda média pr estrat era cnhecida. Huve, evide temente, um cert grau de arbitrariedade a fixar aqueles valres. O prblema é ruais grave quand se trata de fixar rendim nt médi das pessas ativas que ganham mais de 20 saláris mínims (S.M.l. Naquele trabalh esse rendiment médi fi fixad em 40 S.M. A fixar a média d últim estrat em 40 S.M., certamente estams subestimand a desigualdade entre as "psições na cupacã" pis s empregadres que ganham mais de 20 S.M. certamente têm um rendiment médi mair d que ds empregads n mesm estrat. Para superar esse prblema, é necessári um métd que permi_ ta estimar a renda média desse estrat a partir ds própris dads. O métd "clássic" cnsiste em utilizar a funcã de Paret cm dis parâmetrs: u _0_ x " ( 11

4 86 REVISTA DE ECONOMETRIA nde U é númer de pessas cm renda mair d que x. Os parâmetrs a e 0 pdem ser estimads a partir de infrmações sbre númer de pessas pr estrat de renda. A renda média das pessasm renda mair d que X é dada pr 1 " U ( x ) dx cm U 0 x Segue-se que x x a0 --- dx x. + 1 u ---a:-r- a X (2 ) Esse resultad só vale, evidentemente, para. > 1. Quand. é apenas ligeiramente mair d que um, valr da média 9 pde se trna exageradamente grande. Infelizmente, a estimar valr de a, nã é muit rar encn trar valres de. apenas ligeiramente maires d que um u mesm menres d que um. Opuams, entã, pel us da curva de Paret truncada, descrita a seguir.

5 NOVEMBRO DE A CURVA DE PARETO TRUNCADA Na curva de Pare t truncada númer de pessas cm rerrla. mair d que x é dad pr u x " (3 ) nde M representa, tericamente, a renda máxima. Fazend btems u - N (4) A renda média das pessas cm renda mair u igual a X é dada pr...@..\ dx ) dx, cm U Segue-se gue 1 u;;- dx

6 88 REVISTA DE ECONOMETRIA Integrand e simplificand btém-se, para O < a # 1.,, a=r- Ct.-1 X M a " ---ct::""1 -' - -' - a x M a (5) e, para a,, ln _M _ X " (6),, X " t fácil ver que cm M+CO a expressã (5) se transfrma em (2 ) us das expressã (5) u (6) para determinar a renda média exige a determinaçã prévia d valr de Ct.. 3. OETERMINAÇAO 00 VALOR DO PARAMETRO a DA CURVA DE PARETO TRUNCADA COM BASE EM DOIS PONTOS Vams cnsiderar apenas s dis estrats de rendas mais alta& Trata-se, n cas, ds estrats cujs limites inferires sã x j = 10 S.M. e x k = 20 S.M.. Seja U j númer de pessas ns dis estrats, ist é, númer de pessas cm renda mair d que x j = 10 S.M., e seja U númer de pessas n últim estrat. De k a crd cm (3) tems O(-+-7) x j 0(_' _ - ' ) a x k M a

7 NOVEMBRO DE Dividind membr-a-rnembrl btems _1 _ 1 - a u. x M a - -L j U _1_ 1 k a x M a k (7) Uma vez que s valres de x ' x ' U e U j k j k sã cnhecids, essa expressã permite determinar valr de a, tend_se previamente fixad valr de M. A esclha d valr de M será discutida adiante. Infelizmente dems escrever (7) é uma equaçã em a sem sluçã explícita. PO F(a) - a )=O t de F(a) Cnsiderand apenas s dis primeirs terms d desenvlvimen de acrd cm a série de Taylr, tems (8) nde a é uma estimativa preliminar de a e a De (8) segue-se que (9) d M A estimativa preliminar de a pde ser btida facilmente fazen. Entã

8 90 REVISTA DE ECONOMETRIA 109 U j U k 10g x k - 10g x j (101 Em seguida calcula-se valr de F(a l, de F' (a ) e de a. O nv valr de a será 0 = 1 a utilizand esse valr crrigid calcula-se F(a l, FI (a ) 1 1 e uma nva crreçã 6a. O prcess é repetid até que a crreçã pssa ser cnsiderada desprezível. imprtante assinalar que prcess iterativ fi cnvergente em tds s cass empírics analisads. N0 prgrama para cmputadr que fi elabrad, prcess iterativ só era interrmpid quand valr abslut da crreçã se trnava igual u menr d que Uma vez btid valr de a para s dis últims estrats, calcula-se valr de N = 0/M a Sejam X i e x i+1 s limites inferir e superir de um estrat anterir as dis últims, Seja U i númer de pessas cm renda mair d que X i e seja U i+1 númer de pessas cm renda mair d que x i+1 ' Entã, de acrd cm (4) tems que e Dividind membr-a-membr e aplicand lgaritms, btems lg (U i + N) - lg (U i+1 + N) lgx k+ 1 - lgx i ( 111 t clar que esse valr de a nã será, necessariamente, a valr btid para s dis últims estrats. igual 4. ESCOLHA DO VALOR DE M Quand valr de a é elevad, a renda média d últim estrat nã é mui t afetada pel valr de M. Cm X 2 O _e a = 2, de (5) btems = 36,4 para M = 200 e V = 38,1 para M = 400.

9 NOVEMBRO DE Entretant, quand valr de ex é pequen (a redr de 1), a renda média d últim estrat se mstra muit sensivel a valr de M. Cm X 20 e a = 1, de (6) btems 110 = 51,2 para M = 200 e 63,1 para M Inversamente, quant mais alt fr fixad valr de M, mair será a variaçã d valr da renda média d últim estrat em funçã de a. Se M = 200 valr da renda média d últim estrat para a = 51,2) é 41% mair d que valr para ct = 2 (110 = 36,4). N entant, se M = 400 valr da renda média d últim estrat p ra ct = 1 (ll = 63, 1) é 66% mair d que valr para ex = 2 (\l = 38,1). Assim, a fixar valr de M estaréms limitand a intensidade da variaçã d valr da renda média d últim estrat funçã d parâmetr a. em Após algumas experiências, fixams valr de M em 200 saláris mínims. Cabe ressaltar que iss nã significa que acreditems que esse seja limite superir para as rendas individuais em Trata-se apenas de limitar, de uma maneira que ns pareceu razável, a pssibilidade de variaçã d valr da renda média d últim estrat. Tds s cálculs fram refeits cm M = 400. As rendas médias sã um puc maires, crescem s índices de desigualdade, especialmente a desigualdade entre as três psições na cupaçã, mas s resultads gerais da análise nã sã alterads. A esclher valr de M levu-se em cnsideraçã a cerência na agregaçã ds resultads, u seja, verificu-se que cm M = 200 a renda ttal estimada para Brasil cm um td, era praticamente igual à renda ttal btida smand s resultads btids aplicand métd as dads de cada regiã d país u smand s resultads btids aplicand métd a cada categria de "psiçã na cupaçã". Nte-se que a pçã pel valr M = 200 fi feita cm base na análise de dads sbre a distribuiçã de renda entre a PEA na agr! cultura. pssível que um valr mair deva ser adtad a se apl! car métd para a PEA ds setres urbans (secundár e terciári).

10 92 REVISTA DE ECONOMETRIA 5. OUTRAS CARACTERTSTICAS DO MêvOOO Sabe-se que a curva de Paret só se ajusta bem para rendas r lativamente elevadas. Assim, a curva de Paret truncada sõ fi ut lizada para s estrats acima de 3 S.M. na distribuiçã das pessas ecnmicamente ativas de acrd cm seu rendiment mensal. Para s seis primeirs estrats, cujs limites inferires sã O, 0,25, 0,5, 1, 1,5 e 2 S. M., s rendiments médis fram fixads em 0,16, 0,4 1, 0,80, 1,25, 1,75 e2,5 S.M. Nte-se que ns três prirne rs estrats a média é fixada acima d pnt central e ns três es trats seguintes a média cincide cm pnt central. Nesses seis primeirs estrats a estimativa da desigualdade dentr ds estrats e a interplaçã de percentis fi feita cnsiderand, em cada estrat, uma distribuiçã cm funçã de densidade linear (ver Hffmann, 1979 e Hffmann, 1984). Ns estrats nde a renda média fi estimada pr mei da distribuiçã de Paret truncada, essa mesma distribuiçã é utilizada para estimar a desigualdade dentr d estrat e para interplar percentis. A seguir, apresentams as fórmulas necessárias. é A funçã de densidade de uma distribuiçã de paret truncada f(x) aa x cm a!;: x!;: b ' (12 ) A crrespndente funçã de distribuiçã é p F(X) (13) valr de 6 deve ser tal que

11 NOVEMBRO DE Segue_se que 8 (14 ) nde p ---"-- a A média da distribuiçã é aa a=r para O < Cl. f. 1 (1 5 ) e b -=r- In p para a (1 6) S clar que essas expressões sã equivalentes a (5) e (6), ba tand fazer X a e M = b. De (13) e (14) btems x = 1 - P (17) Essa expressã permite determinar qualquer percentil da distribuiçã. A crrespndente prprçã acumulada da renda (a rdena da da curva de Lrenz) é dada pr

12 94 REVISTA DE ECDNOMETRIA (x) b a - ( p a- -1 a O - x O - V para O < a # 1 (18) e (x) 1n (x/a) lnp para ct índice de Gini da distribuiçã de Paret truncada, cm a p sitiv e diferente de 1 e G a -1 2a=1 1/2, é p 2a-1 _ 1). U: P - (1 9) Finalmente, a redundância da distribuiçã, cm O < a F 1, é R 1 lnp --a::; P -1 (20) 6. ANALISE DA DISTRIBUIÇAO DA RENDA ENTRE PESSOAS ECONOMICAMENTE ATIVAS NA AGROPECUARIA, NO BRASIL, EM 1980 Para ilustrar a aplicaçã d métd prpst, apresentam ne ta seçã, resultads btids cm dads d Cens Demgráfic de 1980, em que as pessas ativa na agrpecuária, extraçã vegetal e pesca sã classificadas em 10 estrats de acrd cm rendiment de tdas as cupações. Fram excluídas as pessas ativas sem rendi ment. A Tabela 1 mstra s valres btids para algumas medidas de tendência central e de desigualdade n Brasil e em 6 regiões. Tra-

13 NDVE IBRD DE ta-se de mil pessas ativas na agricultura, recebend algum rendiment em suas cupações. Aplicand métd para s dads d Brasil cm um td, a renda ttal estimada fi milhares de S.M., a pass que a sma das rendas ttais estimadas para cada re giã fi milhares de S.M. O err de agregaçã é de apenas 0,05%. Tabela 1 RENDA l>fr:dia (\1) E RENDA MEDIANA (D). EH SALÁRIOS H1NIMOS, índice DE GINI (G). índice DE THEIL (T) E PORCENTAGENS DA RENDA TOTAL CORRESPONDENTES AOS 50% MAIS POBRES (50 - ). AOS 10% HAIS RICOS (10 + ) E AOS 5% ltais RICOS (5 + ) PARA A DISTRIBUIÇÃO DA RENDA ENTRE A PEA AGROPECUÁRIA, EXCLUSIVE OS 5EH RENDIHENTO, CONSIDERANDO OS RENDIMENTOS DE TODAS AS OCUPAÇÕES, NO BRASIL E SUAS REGIÕES, EM Regiã D G T 50 Nrte 1,66 1,20 0,410 0,325 24,1 33,8 24,0 Nrdeste 0,92 0,72 0,441 0,404 22,1 36,4 27,4 Sudeste excl. SP 1,71 0,93 0,544 0,559 18,4 49,1 39,1 sã Paul 2,24 1,17 0,560 0,589 17,7 51,3 41,7 Sul 2,24 1,13 0,574 0,554 15,6 49,1 38,0 C. Oeste 2,06 1,08 0,557 0,570 17,8 50,1 40,1 Brasil 1,54 0,90 0,542 0,547 17,9 47,4 37,3 Verifica-sei na Tabela 1, que as regiões cm mair renda média e mediana sã Sul e sã Paul. A regiã mais pbre é Nrdeste, cm 42,4% das pessas e apenas 25,4% da renda ttal. Nte-se que há uma crrelaçã psitiva entre s valres medidas de tendência central e grau de desigualdade. das Verifica-se que da redundância ttal da desigualdade n apenas 8,7% cr respndem à redundância entre as 6 regiões. país

14 96 REVISTA DE ECONOMETRIA A Tabela 2 mstra s resultads btids para as pessas classificadas em tr s psições na cupaçã principal: empregad, empr gadr e autônm. Tratam-se de mil pessas, das quais 46,1% sã empregads, 3,1% sã empregadres e 50,8% sã autônms. O ttal de pessas é menr d que cnsiderad na Tabela 1 prque fram excluidas as pessas nã classificadas em uma das três categrias. Tabela 2 RENDA H DIA (jl) E RENDA MEDIANA (D), EM SALÁRIOS MINIHOS, índice DE GINI (G). 1NDICE DE THEIL CT) E PORCENTAGENS DA RENDA TOTAL CORRESPONDENTES AOS 507. HAIS POBRES (50-). AOS 10% HAIS RICOS (10+) E AOS 5% HAIS RICOS (5+) PARA A DISTRIBUIÇÃO DA RENDA ENTRE A PEA AGROPECUÁRIA. EXCLUSIVE OS SEH RENDIHENTO, CONSIDERANDO OS RENDIMENTOS DE TODAS AS OCUPAÇÕES, NO BRASIL, EM 1980, CONFORME A POSIÇÃO NA OCUPAÇÃO PRINCIPAL Psiçã na cupaçã " D G T Empregad 0,99 0,86 0,349 0,233 27, 4 28, 2 19,2 Empregadr 9,48 3, 62 0,663 0,597 9,5 55, O 40,S Autônm 1,58 0,93 0,534 0,486 17,3 44,7 33. O Ttal 1,54 0,90 0,542 0,547 17,9 47,4 37, 3 Aplicand métd para númer ttal de pessas nas três c tegrias, a renda ttal estimada fi milhares de S.M., a pass que a sma das rendas ttais estimadas para fi milhares de S.M. O err de agregaçã é cada categria de 0,5%. Cm seria de se esperar, as rendas médias e medianas sã mais altas para a categria ds empregadres e mais baixas para a categria ds empregads. A categria ds empregadres certamente inclui, além ds empresáris agriclas prpriamente dits, pequens agricultres que

15 NOVEMBRO OE apesar de cntratarem assalariads em caráter eventual u cmplementar, declararam ser essa sua psiçã na cupaçã principal. A presença de empregadres relativamente pbres a lad de grandes empresáris capitalistas na mesma categria reflete-se n mair grau de desigualdade da distribuiçã de renda (G = 0,663), especialmente em cmparacã cm s empregads, que mstram mair hmgeneidade de nível de rendiments (G = 0,349). Apesar da frte desigualdade dentr da categria ds empregadres, a decmpsiçã da redundância mstra que a desigualdade entre categrias explica 26,8% da redundância ttal. Em utr trabalh mstrams que esse cmpnente é mais imprtante nas regiões de agricultura mais desenvlvida (ver Hffmann e Kageyama, 1986). Para a PEA agrícla de sã Paul a desigualdade entre as três categ rias crrespnde a 40,7% da redundância ttal.

16 98 REVISTA DE ECONOMETRIA BIBLIOGRAFIA CITADA HOFFMANN. R. Estimaçã da Desigualdade dentr ds Estrats n Cálcul d índice de Gini e da Redundância. Pe6quiha. e Planejament Ecnômic 9(3): , HOFFMANN, R. Estimatin f Inequality and Cncentratin Heasures Frm Gruped Observatins. Rev.w.ta. de EcnmetJúa 4(1) :5-21, HOFFMANN, R. & KAGEYAMA, A.A. Psiçã na Ocupaçã, Temp de Trabalh e Renda na Agricultura Brasileira em Trabalh apresentad a VII Encntlt Blta.6J.1.eJJw de. Ec.nmebúa., em Vitória, ES. dez. de 1985 (pp ds anais) e Uma nva versã d trabalh será publicada na Re.v.ta de. Ec.n_ m.ía p.e.1..:uc.a., 1986.