UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL DEPARTAMENTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

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1 UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL DEPARTAMENTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA JULIANE DONADEL MODELAGEM MATEMÁTICA E CONTROLE DOS SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES DE TEMPO DISCRETO Ijuí (RS) Março de 2008.

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3 JULIANE DONADEL MODELAGEM MATEMÁTICA E CONTROLE DOS SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES DE TEMPO DISCRETO Disseração apresenada ao Programa de Pós- Graduação em Maemáica Área de concenração da Universidade Regional do Noroese do Esado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), como requisio parcial para a obenção do íulo de Mesre em Modelagem Maemáica. Orienador: Prof. Dr. Mara Rafikov Ijuí (RS) Março de 2008

4 UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL DeFEM DEPARTAMENTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA DeTEC DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Disseração MODELAGEM MATEMÁTICA E CONTROLE DOS SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES DE TEMPO DISCRETO Elaborada por JULIANE DONADEL Como requisio para a obenção do grau de Mesre em Modelagem Maemáica Comissão Examinadora: Prof. Dr. Mara Rafikov DeFEM (Orienador) Profª. Dra. Diomar Crisina Misro - UFSM Prof. Dr. Luis Albero Díaz Rodrigues UFSM Ijuí, RS, 10 de março de 2008.

5 Aos meus pais, Pedro e Loreni, e ao mano Rogério, pelo apoio incondicional e pela força nos momenos difíceis.

6 Agradecimenos A Deus, pela conquisas alcançadas e principalmene pela vida. Aos meus pais, Pedro e Loreni, pela confiança, incansável apoio e incenivo nos momenos difíceis. Ao mano Rogério, pela amizade e companheirismo. Ao professor Orienador Dr. Mara Rafikov, pela amizade, dedicação e confiança que deposiase em mim e nese rabalho. Aos professores do Mesrado pelos conhecimenos ransmiidos, pelas amizades formadas, em especial ao professor Dr. Anonio Carlos Valdiero, pelo ineresse e empenho fora da sala de aula. Aos colegas e amigos pelos momenos de que comparilhamos ao longo deses dois anos. À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoameno de Pessoal de Nível Superior), pelo apoio financeiro aravés da Bolsa de Mesrado. Às funcionárias do DeFEM, principalmene a Geni, pela disponibilidade e carinho com que exercem seu rabalho. E a odos que de alguma maneira conribuíram para que hoje eu esivesse aqui.

7 RESUMO Esa disseração em como objeivo o esudo dos sisemas dinâmicos não-lineares de empo discreo e a aplicação do conrole óimo linear feedback nesses modelos. Para a formulação da eoria de conrole óimo demonsra-se um eorema que garane, denro das suposições feias, a esabilidade do sisema. A vanagem desse esudo é que os mapas são, em geral, mais simples de se analisar, devido à facilidade e agilidade para a implemenação dos mesmos, além de reproduzirem de maneira mais realísica a dinâmica de populações. Os modelos populacionais esudados são: o Mapa Logísico, o Mapa de Ricker e o Modelo de Nicholson-Bailey. Ouro modelo caóico que ambém é esudado é o Mapa de Henon. Aravés das simulações, verifica-se o comporameno caóico dos mapas, e ambém a eficiência do conrole que esabiliza os modelos em uma rajeória desejada. Assim, mosra-se que o conrole linear feedback pode ser aplicado em sisemas não-lineares de empo discreo para quaisquer valores dos parâmeros, e ainda, pode-se concluir que o Mapa de Ricker é um bom modelo para descrever e conrolar o crescimeno de aguapés para uma melhor eficiência nas lagoas poluídas.

8 ABSTRACT This disseraion has as objecive he sudy of discree-ime nonlinear dynamical sysems and feedback opimal conrol applicaion in hese models. For he formulaion of he heory of opimal conrol a heorem is demonsraed ha guaranees, wih supposiions made, he sabiliy of he sysem. The advanage of his sudy is ha in general he maps are simpler o analyze, due o faciliy and agiliy for is implemenaion, beyond o reproduce in he more realisic way he populaions dynamic. The populaions models sudied are: he logisic map, he Ricker map and he Nicholson-Bailey Model. Anoher chaoic model also sudied is he Henon map. By simulaions verify he maps chaoic behavior, and also he efficien conrol ha sabilize he models in a desired rajecory. In his way, i shows ha he linear feedback conrol can be applied in discree ime nonlinear sysems o any parameers values. Is possible o conclude ha Ricker map is a good model o describe and o conrol he waer hyacinh for a beer efficiency in he pollued lakes.

9 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Diagramas Teia de Aranha para o Mapa Logísico...20 Figura 2.2 Diagrama Teia de Aranha para o Mapa Logísico: caso caóico...21 Figura 2.3 Diagrama de bifurcação...21 Figura 2.4 Diagramas Teia de Aranha para o Mapa de Ricker...23 Figura 2.5 Diagrama Teia de Aranha para o Mapa de Ricker: caso caóico...23 Figura 2.6 Diagrama de Bifurcação para modelo de Ricker...24 Figura 2.7 Trajeória Temporal do Modelo de Nicholson-Bailey...29 Figura 2.8 Araor Esranho do Mapa de Henon...32 Figura 2.9 Diagrama de bifurcação para o Mapa de Henon...33 Figura 2.10 Trajeória Temporal do Mapa de Henon sem conrole...34 Figura 4.1 Trajeória Temporal do Mapa de Logísico (a) com pono fixo esável sem conrole, (b) conrolado Figura 4.2 Trajeória Temporal do Mapa de Logísico. (a) Com ciclo limie sem conrole, (b) conrolado Figura 4.3 Trajeória Temporal do Mapa de Logísico (a) com comporameno caóico, (b) conrolado...57 Figura 4.4 Trajeória Temporal do Mapa de Ricker (a) com pono fixo esável sem conrole, (b) conrolado Figura 4.5 Trajeória Temporal do Mapa de Ricker (a)com ciclo de período-2, (b) conrolado...59

10 Figura 4.6 Trajeória Temporal do Mapa de Rciker (a) com comporameno caóico, (b) conrolado...60 Figura 4.7 Trajeória Temporal do modelo (a) sem conrole e (b) com aplicação do conrole óimo...65 Figura 4.8 Modelo de Nicholson-Bailey conrolado...69 Figura 4.9 Trajeórias Temporais do Mapa de Henon conrolado...71

11 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1 Valores de r para os quais nascem órbias periódicas...19

12 SUMÁRIO INTRODUÇÃO SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO EQUAÇÕES A DIFERENÇAS NÃO-LINEARES Solução de Equilíbrio Esabilidade SISTEMAS DE EQUAÇÕES A DIFERENÇAS NÃO-LINEARES Solução de Equilíbrio Esabilidade MODELOS CLÁSSICOS DE TEMPO DISCRETO MODELOS POPULACIONAIS Mapa Logísico Mapa de Ricker Modelo de Nicholson-Bailey MAPA DE HENON CONTROLE ÓTIMO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES DE TEMPO DISCRETO CONTROLE ÓTIMO DE SISTEMAS LINEARES DE TEMPO DISCRETO Sisema Linear Regulador de Esado de Tempo Discreo Sisema Regulador de Esado CONTROLE ÓTIMO LINEAR PARA SISTEMAS NÃO-LINEARES DE TEMPO DISCRETO APLICAÇÕES DO CONTROLE LINEAR PARA SISTEMAS NÃO-LINEARES DE TEMPO DISCRETO CONTROLE ÓTIMO DE SISTEMAS POPULACIONAIS Conrole Óimo do Mapa Logísico Conrole Óimo do Mapa de Ricker Conrole do crescimeno de Aguapés aravés do Mapa de Ricker...60

13 4.1.4 Conrole Óimo do Modelo de Nicholson-Bailey CONTROLE ÓTIMO DO MAPA DE HENON...69 CONCLUSÕES...73 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...76

14 1 INTRODUÇÃO Ese rabalho raa do problema de conrole óimo linear feedback aplicado em sisemas não-lineares de empo discreo. Exisem várias razões para se esudar esses sisemas do pono de visa do seu comporameno dinâmico. A simplicidade para a sua análise e a variabilidade de seu comporameno são algumas dessas razões, pois, com uma pequena mudança no valor dos parâmeros ou na condição inicial, o mapa pode mudar compleamene seu desempenho e, além disso, em muios casos, os modelos de empo discreo modelam de maneira mais realísica o comporameno dos sisemas populacionais. Os mapas populacionais uilizados são: o Mapa Logísico, o Mapa de Ricker e o modelo de Nicholson-Bailey, sendo que o Mapa de Ricker foi aplicado na modelagem de crescimeno de aguapés nas lagoas de esabilização para o raameno de águas residuárias produzidas pela criação de suínos no Brasil e o modelo de Nicholson-Bailey no conrole biológico de pragas. Além dos modelos populacionais, o conrole óimo ambém foi aplicado no Mapa de Henon, um dos exemplos de sisemas dinâmicos que exibe comporameno caóico mais esudado. Exisem fenômenos biológicos, onde a modelagem é mais apropriada quando feia aravés de modelos discreos. Eses modelos são aplicados em espécies que não êm sobreposição de gerações, ou seja, os adulos morrem e são subsiuídos por seus descendenes em inervalos fixos de empo. Organismos que sofrem mudanças abrupas ou êm eságios discreos de ciclo de vida ambém podem ser descrios por equações a diferenças. (EDELSTEIN-KESHET, 1988). Modelos populacionais com gerações discreas são ineressanes para os maemáicos, pois um caso simples pode conduzir a modelos maemáicos desafiadores, enre eles os que apresenam comporameno caóico. Esses modelos populacionais reproduzem os padrões dinâmicos complexos observados com freqüência em populações de inseos, na propagação anual de planas e em populações de verebrados e mamíferos. A formulação de modelos de empo discreo é feia uilizando equações a diferenças. (EDELSTEIN-KESHET, 1988). Segundo Ferrara e Prado (1995), um modelo de empo discreo, ambém conhecido como mapa, é um sisema dinâmico que evolui no empo de forma discrea. Os mapas considerados são os composos por uma equação ou um sisema de equações a diferenças nãolineares de empo discreo. Em geral, os mapas são originados de um fluxo conínuo aravés

15 2 da uilização de seções de Poincaré. Uma seção de Poincaré é um disposiivo invenado por Poincaré cuja finalidade é reduzir o esudo de um fluxo conínuo num espaço de fases de dimensão n para o esudo de um mapa num espaço de fases de dimensão n- 1 (MONTEIRO, 2006). Os mapas são, em geral, mais simples para se analisar do que sisemas de equações diferenciais que lhes deram origem, além de reproduzirem de maneira mais realísica a dinâmica de populações. Oura vanagem do esudo de modelos discreos é a facilidade e a agilidade em implemená-los e, desse modo, reproduzir o comporameno dos modelos conínuos para vários parâmeros e condições iniciais. Por isso a imporância da análise do comporameno desses modelos (SEIDEL E RODRIGUES, 2005). Um mapa geralmene depende de um ou mais coeficienes, chamados parâmeros de conrole. À medida que esses parâmeros são variados, os ponos fixos ou órbias periódicas descrevem rajeórias no espaço de fases. Uma mudança quaniaiva dos parâmeros que leva a mudança qualiaiva das propriedades do sisema é chamada de bifurcação. Nese caso, novos ponos esacionários podem aparecer e ouros, aneriormene esáveis, podem se ornar insáveis e vice-versa. A ocorrência de bifurcações pode conduzir ao caos. Não exise uma definição de consenso para o caos. Porém, o caos deerminísico esá essencialmene ligado à dependência sensiiva às condições iniciais, ou seja, sisemas deerminísicos cuja evolução emporal conduz assinoicamene a araores esranhos apresenam dinâmica caóica. A dependência acima mencionada resula das não-linearidades presenes no sisema, as quais amplificam pequenas diferenças nas condições iniciais. Segundo Moneriro, (2006), um conjuno fechado de ponos A, no espaço de fases de um sisema dinâmico, é definido como araor se: A é um conjuno invariane, ou seja, qualquer rajeória x( ) que começa em A, permanece em A por odo o empo; A arai um conjuno abero de condições iniciais, iso é, há um hipervolume B, que coném A, al que para qualquer condição inicial x (0) perencene a B, enão a disância enre a rajeória x( ) e A ende a zero, quando. O maior conjuno de condições iniciais que saisfaz essa propriedade é chamado bacia de aração de A ;

16 3 A é mínimo, ou seja, não há subconjuno de A que saisfaça as duas condições aneriores. Um araor ambém pode ser definido inuiivamene como um conjuno invariane para o qual órbias próximas convergem depois de um empo suficienemene longo. Um araor coném uma órbia densa, que se orna arbirariamene fechada para cada pono do araor (ALLIGOOD e al. 1997). No caso de um araor esranho, ambém denominado araor caóico, rajeórias que parem de condições iniciais vizinhas, além de permanecerem confinadas numa cera região do espaço de fases, devem ainda se disanciar exponencialmene com o passar do empo. O mecanismo responsável por isso envolve repeidos esicamenos e dobras das rajeórias (FERRARA E PRADO, 1995). O fluxo responsável pela geração de um araor esranho normalmene conrai um volume de condições iniciais numa direção e esica-o na oura, levando a sensibilidade às condições iniciais (MONTEIRO, 2006). Caos pode exisir em sisemas clássicos, que são os modelos maemáicos, ou sisemas da vida real. É difícil definir precisamene o que é caos. Na verdade, exisem várias definições, sendo mais fácil lisar as propriedades de um sisema que apresena comporameno caóico. Banks e al. (1992) apresena a definição de Devaney sobre caos. Segundo ele, em-se que considerar X um espaço mérico. Um mapa conínuo f : X X é dio caóico em X se: f é ransiiva, ou seja, escolhendo dois ponos quaisquer do domínio de f, exise uma órbia que passa ão próximo quano se queira desses dois ponos; os ponos periódicos de f são densos em X e f em uma dependência sensiiva às condições iniciais. A sensibilidade às condições iniciais é avaliada aravés do cálculo dos expoenes de Lyapunov, o que caraceriza os sisemas caóicos. Diz-se que um sisema é sensível às condições iniciais se um expoene de Lyapunov for posiivo (MONTEIRO, 2006). O expoene de Lyapunov é usado para avaliar a evolução da disância de órbias vizinhas que, no caso unidimensional, é obido da seguine maneira. Sejam x 0 e x0+ d0 duas condições iniciais vizinhas, separadas por uma pequena disância d 0. Após N ierações do mapa x = + 1 f ( x ), com N, a disância enre esses dois ponos é d N. Se d N relaciona-se

17 4 LN com d 0 por: d N ; d0 e enão L é o expoene de Lyapunov procurado e, após algumas considerações pode ser escrio como (MONTEIRO, 2006): N-1 1 df ( x) L= lim å ln. N N dx = 0 x= x O comporameno caóico dos sisemas populacionais nem sempre é bem-vindo na naureza, pois uma explosão de deerminada praga pode causar danos irreparáveis em uma lavoura ou uma floresa, por exemplo. Isso conduz a uma perguna: é possível esabilizar esses sisemas em orno de uma rajeória desejada? A resposa esá na eoria de conrole óimo, que será esudada nese rabalho. O ermo conrole de caos é usado para denoar as relações enre a eoria do conrole e a eoria de sisemas dinâmicos não-lineares que esuda o comporameno irregular caóico de sisemas deerminísicos (RAFIKOV E BALTHAZAR, 2004). Segundo Naidu (2000), o principal objeivo do conrole óimo é deerminar funções de conrole que causem um processo para saisfazer algumas condições físicas e que, ao mesmo empo, exremize (maximize ou minimize) um criério de desempenho escolhido (funcional de cuso ou índice de desempenho). A formulação do problema de conrole óimo requer: 1) uma descrição maemáica (ou modelo) do processo a ser conrolado (geralmene em forma de variável de esado); 2) uma especificação do índice de desempenho; e 3) uma declaração das condições de froneira e das condições físicas dos esados e/ou conroles. A principal razão para a modelagem de dinâmica populacional é enender o princípio que conrola as caracerísicas da população e ser capaz de predizer o provável padrão de desenvolvimeno conseqüene de uma mudança nos parâmeros ambienais (MURRAY, 1993).

18 5 As meas da biologia de população são enender e predizer a dinâmica populacional (HASTINGS, 1997). Para enender, explicar e predizer as dinâmicas populacionais biológicas faz-se necessário o uso de modelos maemáicos que expressam em linguagem maemáica o que aconece na realidade. Esses modelos devem avaliar de maneira equilibrada a absração e a formalização, não perdendo de visa a fone que originou al processo. Conforme Ferreira apud Rafikov (2005), dinâmica de Populações é uma poderosa sínese maemáica que permie idenificar, ransferir e inerferilizar diversas eorias da Biologia Teórica, desde o nível molecular em processos físico-químicos, passando pelo nível celular em fisiologia, e chegando aé a Epidemiologia e a Sociobiologia de organismos superiores, o que inclui nauralmene as sociedades humanas. Nese caso, o modelo maemáico em como finalidade descrever a evolução emporal do sisema a parir de cada dado inicial, onde as informações biológicas são ransformadas em hipóeses básicas que alimenam o modelo. O objeivo final da Dinâmica de Populações é a descrição do número de indivíduos ao longo do empo, sendo que ese pode ser uma variável discrea ou conínua (FERREIRA apud RAFIKOV, 2005). A formulação de modelos maemáicos para represenar fenômenos da naureza é uma arefa muio complexa, especialmene quando a modelagem diz respeio à dinâmica de populações. Nese caso, para o sisema descrever de forma mais realísica o comporameno de uma população, deve levar em consideração as suilezas e complexidades dos modelos ecológicos. Para ano, uilizam-se sisemas dinâmicos de empo discreo, que são represenados por equações a diferenças. Essas equações são esudadas com profundidade em diversos campos da maemáica, mosrando-se uma área fascinane pela riqueza de comporamenos que seus modelos apresenam (MURRAY, 1993). Ese rabalho esá organizado da seguine forma: no capíulo 1 é apresenada a eoria de sisemas de empo discreo, incluindo a solução de equilíbrio e as condições de esabilidade dos mesmos. No capíulo 2 apresenam-se os modelos clássicos de empo discreo, dividindose em dois grupos: os modelos populacionais, composos pelo mapa Logísico, Mapa de Ricker e modelo do Nicholson-Bailey; e, fora desse grupo, o Mapa de Henon. No capíulo 3 apresena-se a eoria de conrole óimo linear e não-linear de empo discreo. A aplicação do conrole óimo linear em sisemas não-lineares de empo discreo enconra-se no capíulo 4.

19 6 Além disso, ese capíulo apresena o conrole do crescimeno de aguapés aravés do mapa de Ricker. E, no capíulo 5, as conclusões e sugesões para rabalhos fuuros.

20 7 1 SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO Nese capíulo é apresenada a eoria de sisemas de empo discreo, incluindo a solução de equilíbrio e condições de esabilidade dos mesmos, além da jusificaiva do uso dos modelos discreos. Uma razão para esse ineresse em modelos de empo discreo é que eles podem modelar represenações realísicas dos ecossisemas, quando equações diferenciais falham nesa quesão. Um exemplo disso ocorre na modelagem de populações adulas de uma única espécie, sem sobreposição de gerações, em que a dinâmica apresena um ciclo limie de período dois. A equação diferencial análoga não poderia er um comporameno oscilaório. (GOH, 1980). Um modelo de empo discreo deve esabelecer uma dinâmica que relacione a população no empo + 1, denoada por N + 1, com a população na geração, (EDELSTEIN-KESHET, 1988). Ese cenário de variações discreas leva à consrução de modelos governados por equações a diferenças da forma N N = + 1 f ( N ). (1.1) A solução pode ser sempre obida recursivamene, dependendo da condição inicial N 0, ou seja, N1 f N0 N2 f N1 = ( ), = ( ) e assim sucessivamene. A equação a diferenças linear mais simples ocorre quando ( ) f N = ln. Assim, N = + 1 ln, l > 0 (1.2) O parâmero l pode ser inerpreado como o faor de reprodução da população. obém-se: Supondo inicialmene que uma população em N 0 indivíduos, da equação (1.2),

21 8 N 1 0 ( ) ( ) = ln N = ln = l ln = l N N = ln = l l N = l N M N = l N 0 Assim, na geração, em-se: N = l N0. (1.3) Porano, a solução da equação (1.2) é dada pela expressão (1.3), indicando que a população cresce ou decai geomericamene. Iso depende do valor de l ; se l> 1 a população cresce geomericamene. Se 0< l< 1 a população decresce com as gerações sucessivas, e ainda, se l= 1, a população permanece consane nas gerações seguines. 1.1 EQUAÇÕES A DIFERENÇAS NÃO-LINEARES As considerações acima são válidas para equações a diferenças lineares de primeira ordem. Uma equação a diferença não-linear apresena a função recursiva f, que depende de combinações não-lineares de seus argumenos. Uma equação a diferenças não-linear é escria da forma: ( ) N+ 1 = f ( N ) = NF N. (1.4) Esa forma é frequenemene usada para enfaizar a exisência de um esado de equilíbrio igual a zero, ou seja, a exisência de um pono fixo rivial. A habilidade para modelar a dinâmica de crescimeno de uma população específica depende da deerminação apropriada de f ( N ) para refleir observações conhecidas ou faos sobre a espécie em quesão. Para fazer isso com confiança, é preciso enender os efeios nas

22 9 soluções, das mudanças da forma de f ( N ) e seus parâmeros, além dos resulados práicos (MURRAY, 1993). A imporância de se esudar equações a diferenças não lineares se deve, principalmene, ao fao de que os processos biológicos são realmene não lineares. Exemplos que ilusram essa não linearidade são: o crescimeno auo-regulado de uma população ou as inerações enre espécies. Em geral, não é possível ober soluções analíicas para equações a diferenças nãolineares. Enreano, é possível ober informações sobre o comporameno qualiaivo das soluções com o auxílio de méodos compuacionais Solução de Equilíbrio Segundo Edelsein-Keshe, (1988) no conexo de equações a diferenças, uma solução de equilíbrio, ou pono fixo * N, é dada pelo valor que saisfaz a relação: N N N = = *. (1.5) + 1 Ou seja, não ocorrem mudanças no sisema com relação ao empo e a equação (1.1) pode ser escria da seguine maneira: ( ) * * N = f N (1.6) Esas soluções são paricularmene imporanes no modelo, porque se nas gerações sucessivas a população aproxima-se de um limie, enão al limie deve ser uma solução de equilíbrio. Conhecidos os ponos de equilíbrio do sisema, analisa-se o comporameno qualiaivo dessas soluções, ou seja, avalia-se a esabilidade da solução, que é deerminada pelo comporameno das soluções cujas condições iniciais perencem a sua vizinhança. Define-se pono de equilíbrio assinoicamene esável se odas as rajeórias N, cujas condições iniciais esão conidas numa esfera de raio d com cenro em * N, endem para

23 10 * N conforme o empo passa. Assim, para qualquer perurbação na condição inicial N(0) * = N que não reire o sisema de denro dessa esfera, em-se que a rajeória quando (MONTEIRO, 2006). N( ) = N * Define-se * N como um pono de equilíbrio insável se não exise esfera de raio d cenrada em * N al que odas as rajeórias, cujas condições iniciais perencem a essa esfera, ficariam confinadas no inerior de uma segunda esfera de raio e com cenro em * N. Os méodos para avaliação da esabilidade de um pono de equilíbrio são apresenados na próxima seção. Definição: Um pono fixo p é chamado pono periódico de período k para um mapa k f, se f ( p) = p, onde k é o menor ineiro posiivo. A órbia O( p ) é chamada de órbia de período- k e consise de k ponos. Uma órbia caóica é uma órbia não periódica que exibe dependência sensiiva às condições iniciais (ALLIGOOD e al ) Esabilidade Em algumas siuações biológicas muias vezes é significaivo avaliar a esabilidade dos ponos fixos, pois quando eses são insáveis, grandes fluuações populacionais podem aconecer, podendo, por exemplo, levar uma população à exinção. Deerminado o pono fixo, é imporane analisar qual será o comporameno, em relação ao empo, de uma solução próxima a um pono fixo, ou seja, é preciso avaliar a sua esabilidade. Um pono fixo pode ser esável, assinoicamene esável ou insável. Para esudar a esabilidade, considera-se uma pequena perurbação d em orno da solução. Assim em-se, * N N d = +. (1.7)

24 11 em-se É preciso deerminar se a perurbação d cresce ou decresce. Das equações (1.6) e (1.7) d ( ) ( d ) = N - N = f N - N = f N + - N. (1.8) * * * * Considerando que expansão em série de Taylor d é quanidade pequena, o valor de f será aproximado por 2 Onde ( ) df f N f N ç O N è dn ø ( * ) ( * æ ö + d ) * ( 2 = + d + d ). (1.9) O d represena os ermos de ordem superior, os quais são desprezados. Esa aproximação resula no cancelameno de ermos em (1.8), que pode ser escrio da seguine maneira d + 1 * * æ df ö ; f ( N )- N + ç * d N. (1.10) è dn ø Podendo reescrevê-la como d = + 1 ad (1.11) æ df ö onde a= ç * N è dn ø. Porano, pode-se concluir que, se a < 1, a solução de (1.11) ende a zero e, enão, o pono de equilíbrio é dio esável. Assim, em-se a condição de esabilidade para equações a diferenças não lineares: df dn * N é esável se * 1 N <.

25 12 E ainda, se 0< a< 1, a disância enre as sucessivas ieradas diminui monoonicamene. Se - 1< a< 0, essa disância diminui, mas de maneira oscilane; nese caso, o processo de aproximação ao pono fixo chama-se flip (FERRARA e PRADO, 1995). A esabilidade dos ponos fixos pode ser analisada uilizando o méodo gráfico, ambém conhecido como Diagrama de Lamerey ou Teia de Aranha. Consroem-se no mesmo plano, o gráfico de N + 1 como uma função de N e o gráfico da rea bisseriz N = + 1 N. As inersecções do gráfico da função f com a diagonal são as soluções de equilíbrio da equação N = + 1 f ( N ). A parir do valor inicial N 0 é raçada uma rea verical aé inercepar o gráfico da função f, obendo-se N1 = f ( N0). Ese pono é refleido no eixo das abscissas aravés da rea bisseriz e, em seguida, uilizado de maneira análoga para deerminar N 2. A evolução do sisema pode ser acompanhada pela repeição sucessiva dese procedimeno (MURRAY, 1993). 1.2 Sisemas de equações a diferenças não-lineares As inerações enre duas espécies podem ser modeladas por inermédio de um sisema de equações a diferenças. A dinâmica de um sisema não-linear de equações a diferenças apresena algumas propriedades: o sisema não segue o princípio de superposição de gerações, pode er múliplos ponos de equilíbrio isolados e pode exibir propriedades como ciclos limies, bifurcações e caos. Em geral, a ineração enre duas espécies N e oura P pode ser descria por um sisema de equações a diferenças do ipo: N P = f ( N, P ) + 1 = g( N, P ), + 1 (1.12) onde f e g são funções não-lineares que dependem de N e P Solução de Equilíbrio

26 13 As soluções de equilíbrio saisfazem a relação * * * N = f ( N, P ) * * * P = g( N, P ) (1.13) Esabilidade Igualmene à seção 1.1, os méodos desenvolvidos para uma equação a diferenças podem ser esendidos a sisemas de duas equações não-lineares. Sendo assim, analisa-se a esabilidade explorando o que aconece com pequenas perurbações em orno da solução de equilíbrio. Dese modo, consideram-se soluções próximas às soluções de equilíbrio: N P * = N + * = P + d e, (1.14) onde d e e são pequenas perurbações. Subsiuindo no sisema (1.12), obém-se: d = f ( N + d, P + d )- N * * * + 1 ( ) e = g N + e, P + e - P. * * * + 1 (1.15) Para se ober uma aproximação linear, deve-se usar séries de Taylor para as funções de duas variáveis, f e g. * * * * f f f ( N + d, P + e ) = f ( N, P ) + d + e + O(...) * * * * ( N, P ) ( N, P N P ) * * * * g g g( N + d, P + e ) = g( N, P ) + d + e + O(...), * * * * ( N, P ) ( N, P N P ) (1.16) onde O (...) represena os ermos de ordem superior.

27 14 Subsiuindo esas expressões em (1.15), obém-se o seguine sisema linear para as perurbações d e e : d = a d + a e = a + a, e d e (1.17) onde a a f f =, a =, * * * * ( N, P ) ( N, P N P ) g g =, a = * * * * ( N, P ) ( N, P N P ) (1.18) em noação maricial: X = AX, (1.19) + 1 onde A æ a a ö =ç a a è ø é denominada mariz Jacobiana do sisema de equações (1.19) e X æd ö. è ø =ç e O problema esá reduzido a um sisema de equações lineares próximo da solução de equilíbrio. As soluções desse sisema são da forma (EDELSTEIN-KESHET, 1988): X = l v. (1.20) Subsiuindo esa expressão na equação (1.19), em-se: + 1 l v= Al v, Av= lv, ( A l ) - I v= 0. (1.21)

28 15 Para que exisa solução não-rivial, é necessário que o deerminane da mariz dos coeficienes ( A li) - seja igual a zero: æ a -l a ö ç = è a a -l ø de 0 (1.22) Daí segue a equação: 2 l l b - + = 0, (1.23) onde = a + a a a, b = a a - (1.24) sendo, o raço da mariz A e b, o deerminane da mariz A. A equação quadráica é conhecida como equação caracerísica, que deermina os auovalores da mariz A, que são as raízes dessa equação, ou seja, l 1,2 2 ± - 4b = (1.25) 2 são os auovalores de A. Para deerminar a esabilidade de sisemas de equações a diferenças, inicialmene é preciso deerminar se os auovalores da mariz A êm magniude menor do que 1, ou seja, l < 1 e l < 1. (1.26) 1 2 Observa-se que as raízes da equação (1.25) são eqüidisanes do valor 2. Assim, é necessário que ese pono médio eseja no inervalo (- 1,1) :

29 16-1< < 1Û < 1. (1.27) 2 2 Além disso, é necessário que a disância de 2 às raízes seja menor que a disância ao pono exremo do inervalo. Iso implica que 2-4b 1- >. (1.28) 2 2 Elevando ao quadrado ambos os lados da equação (1.28) e efeuando as simplificações necessárias, obém-se a seguine desigualdade: 1+ b >. (1.29) Para raízes reais, 2 b <. Mas 2 < 1, logo b < Porano, o criério de esabilidade para as soluções de equilíbrio de sisemas de equações a diferenças de primeira ordem é dado pela inequação: 2> 1+ b >. (1.30) Nese caso, pode-se concluir que pequenas perurbações do esado de equilíbrio decaem, iso é, o equilíbrio é esável.

30 17 2 MODELOS CLÁSSICOS DE TEMPO DISCRETO Nese capíulo é feia a análise dos seguines modelos populacionais discreos: o Mapa Logísico, o Mapa de Ricker e o modelo de Nicholson-Bailey. Eses modelos serão aplicados em problemas de conrole nos próximos capíulos. 2.1 MODELOS POPULACIONAIS O primeiro modelo de crescimeno populacional foi proposo por Thomas Malhus em Ele observou que, na ausência de resrições ambienais, a população humana aumenaria numa proporção fixa. O crescimeno populacional previso pelo modelo é explosivo, ou seja, a população cresce exponencialmene com o empo. No enano, a axa de crescimeno populacional não é consane, como supôs Malhus, mais cedo ou mais arde o esgoameno dos recursos disponíveis imporá limies à expansão. O maemáico Pierre Verhuls propôs, em 1838, uma generalização do modelo de Malhus que leva em cona essas resrições ambienais. No modelo de Verhuls, ou ambém chamado modelo Logísico, a axa relaiva de crescimeno populacional diminui com o aumeno da população, chegando a zero se uma dada população-limie for alcançada. Essa populaçãolimie pode ser deerminada pelos recursos disponíveis no ambiene ou ouras resrições Mapa Logísico O mapa Logísico foi amplamene esudado, devido à riqueza do comporameno que ele exibe, conforme varia o valor do parâmero r. Em 1976, um arigo publicado por Rober May ornou esse mapa amplamene conhecido. O íulo do arigo sineiza o caráer desse rabalho: Simple mahemaical models wih very complicaed dynamics (MAY,1976). Porém, o modelo Logísico foi originalmene inroduzido como um modelo demográfico por Pierre François Verhuls. A equação Logísica de empo discreo é dada da forma

31 18 N æ N ö = rn ç - è k ø, (2.1) onde r > 0 represena a axa de crescimeno inrínseco, k é a capacidade de supore do ambiene, 0< N < k e 1 r 4, pois para r> 4, obém-se, em alguma ieração, um valor negaivo para N, o que é biologicamene inviável. O inervalo 0< r 4 é onde comporamenos ineressanes ocorrem, quando se deermina a evolução das sucessivas ierações desse mapa. Admie-se que a axa de reprodução diminua quando a população orna-se grande. Com efeio, efeuando-se a muliplicação na equação (2.1), em-se uma equação com dois ermos: o primeiro ermo ( rn ), corresponde à Lei Malusiana, e o segundo, 2 æ rn ö ç - è k ø para valores grandes de N, conribui para a redução relaiva da população. que é dominane Os ponos fixos para o Mapa Logísico são: k = = -. (2.2) r * * N 0 e N k A complexidade do mapa Logísico é percebida quando se varia o parâmero de conrole, nese caso, o parâmero r. O pono fixo * N 1 = 0 represena ausência de população, sendo assim, a esabilidade é analisada somene para o segundo pono. Da condição de esabilidade mosrada aneriormene, em-se que o pono * 2 N * 2 k = k- é esável para 1 < r < 3. A convergência para r N é monóona para 1< r< 2, e oscilaória para 2< r< 3, (MONTEIRO, 2006). Porano, para r 3 qualquer população inicial evolui em direção a um único pono de æ equilíbrio esável, que se enconra na inersecção da bisseriz com ( ) 1 N ö f N = rnç - è k ø, conforme mosra o diagrama eia de aranha na figura 2.1. Em r= 3, a derivada de f no pono fixo vale - 1, o que implica ocorrência de uma bifurcação flip, ou seja, o equilíbrio

32 19 bifurca por uma duplicação de período, resulando num ciclo limie de período-2 (FERRARA E PRADO, 1995). Para valores de r enre 3 e 3,5699, aproximadamene, a população pode oscilar enre 2 valores, 4, 8, 16, 32, e assim sucessivamene, formando uma cascaa de duplicações. Iso quer dizer que o ciclo se bifurca coninuamene aé adquirir comporameno caóico. Para r = 3, , a dinâmica caóica enrelaça-se com janelas de periodicidade, que podem ser visas em diagramas de bifurcação (HILKER AND WESTERHOFF, 2005; EDELSTEIN- KESHET, 1988). 1. Os valores de r para os quais nascem órbias de período 2 k podem ser viso na abela Tabela 2.1 Valores de r para os quais nascem órbias periódicas k r k Nasce o período 2 k , , , , , , , M M M 3, Fone: Moneiro (2006) A figura 2.1 mosra, aravés do méodo gráfico, a convergência oscilaória para r= 2,8 e órbias de período 4 para r= 3, 4495.

33 N(+1) 0.5 N(+1) N() N() Figura 2.1 Diagramas Teia de Aranha para o Mapa Logísico O diagrama à esquerda da Figura 2.1, ilusra o caso em que o Mapa Logísico é esável, ou seja, nese caso, r= 2,8. Para o diagrama à direia, o valor do parâmero é r= 3, 4495, o qual resula no comporameno oscilaório de período-4. Os diagramas são consruídos considerando a condição inicial, N 0 = 0, 2 e a capacidade supore k = 1. Exise um valor críico do parâmero, insabilidades, ou seja, para esranhos. c r, para o qual aparece um conjuno de c r> r ciclos araores que eram periódicos ornam-se araores Ese valor críico r c aconece quando uma solução de período-3 é possível. Nese caso, a parir de r» 3,5699 aproximadamene, exisem soluções não periódicas ou caóicas, ou c seja, para 3, 56< r< 4 aproximadamene, o sisema apresena comporameno caóico enremeado por janelas de periodicidade, viso na figura 2.3.

34 N(+1) N() Figura 2.2 Diagrama Teia de Aranha para o Mapa Logísico: caso caóico O valor de r escolhido para o diagrama é de r= 3,9, o que significa que depois de duplicar, as soluções periódicas formam uma cascaa de duplicações e adquirem comporameno caóico. Como o mapa muda coninuamene o comporameno qualiaivo, ocorrem várias bifurcações, e iso pode ser visualizado no diagrama de bifurcações. Para cada valor do parâmero r, a densidade populacional é simulada para 400 gerações, eliminando-se as 200 primeiras porque a população pode não er alcançado o comporameno assinóico. Nese diagrama são ploados o veor de esado versus a variação do parâmero, nese caso, N em função de r. As bifurcações do mapa Logísico são mosradas na figura 2.3. Figura 2.3 Diagrama de bifurcação

35 22 No próximo capíulo será aplicada a eoria de conrole óimo para esabilizar as rajeórias caóicas do Mapa Logísico Mapa de Ricker O mapa de Ricker é freqüenemene usado em adminisração de pescas e foi inroduzido em 1954 por W. Ricker (MAHAFFY, 2001). Traa-se de um modelo populacional discreo que expressa o número de indivíduos N na geração + 1 como uma função do número de indivíduos da geração anerior: +1 é æ N öù N+ 1= N expêrç 1- k ú, (2.3) ë è øû onde r> 0 é a axa de crescimeno inrínseca e k é a capacidade supore do ambiene. Os ponos fixos do modelo são: N = 0 e N = k. (2.4) * * 1 2 Analisando a esabilidade segundo as condições apresenadas no capíulo 1, pode-se afirmar que o pono de equilíbrio rivial é esável para r< 0, o que conradiz a condição de que r> 0. Logo, o pono * N 1 é insável. Da condição de esabilidade, o pono * N2 = k é assinoicamene esável para 0 < r < 2. Em r= 2, o sisema sofre uma duplicação de período, chamada de bifurcação flip, para uma órbia de período-2, para r= 2,5 dobra novamene para uma órbia de período-4, e assim sucessivamene, formando uma cascaa de duplicações. A seqüência de valores de r converge para r c = 2, 6924, o que provoca o comporameno caóico. Para r> 2, 7, exisem algumas regiões onde a dinâmica reorna para um ciclo limie, por exemplo, para r= 3,15 surge uma órbia de período-3. (SHAROV, 2001).

36 23 O diagrama Teia de Aranha na figura 2.4 mosra alguns dos comporamenos mencionados acima N(+1) 1.5 N(+1) N() N() Figura 2.4 Diagramas Teia de Aranha para o Mapa de Ricker Os diagramas são consruídos considerando a condição inicial N 0 = 0, 2 e k = 1. O gráfico à esquerda mosra o comporameno esável do mapa de Ricker para r= 1, 5. A convergência para N é monóona para 0< r< 1 e oscilaória para 1< r< 2. O diagrama à * 2 direia exibe uma órbia periódica de período-2 para r= 2, 2. O comporameno caóico pode ser viso pelo diagrama Teia de Aranha abaixo, onde o parâmero usado é r= 2,9 : N(+1) N() Figura 2.5 Diagrama Teia de Aranha para o Mapa de Ricker: caso caóico. Os sucessivos valores de bifurcação para a duplicação de período se ornam progressivamene mais próximos, o que resula em uma grande sensibilidade da solução para pequenas variações no valor de r.

37 24 As bifurcações do modelo de Ricker, bem como o comporameno caóico, podem ser visos no diagrama de bifurcação na figura 2.6: Figura 2.6 Diagrama de Bifurcação para modelo de Ricker O diagrama de bifurcação é ploado para ajudar a visualizar odas as dinâmicas geradas pelo modelo de Ricker. Para cada valor do parâmero r, a densidade populacional é simulada para 200 gerações, eliminando-se as 125 primeiras porque a população pode não er alcançado o comporameno assinóico (SHAROV, 2001) Modelo de Nicholson-Bailey O modelo de Nicholson-Bailey foi desenvolvido em 1930 para descrever a dinâmica populacional de um sisema parasióiode-hospedeiro, usando equações a diferenças para descrever o crescimeno populacional de ambas as espécies. Os parasióides são espécies de inseos cuja larva se desenvolve como parasia em oura espécie de inseo. Esses inimigos naurais são geralmene inseos que colocam seus ovos sobre ou denro de larvas de (em geral) inseos-praga. A larva do parasióide normalmene maa seu hospedeiro, considerando que os parasióides adulos são inseos livres. A maioria das espécies de parasióides é vespa ou mosca.

38 25 Os parasióides e seus hospedeiros freqüenemene êm seus ciclos de vida sincronizados, ou seja, ambos êm uma geração por ano. Os parasióides são usados como agenes de conrole biológico. Um modelo que descreve a ineração enre parasióides e hospedeiros em as seguines hipóeses: (EDELSTEIN-KESHET, 1988). 1. Hospedeiros parasiados vão aumenar a próxima geração de parasióides. 2. Hospedeiros não parasiados vão aumenar a população de sua própria espécie. 3. A fração de hospedeiros que é parasiada depende da axa de enconro das duas espécies, em geral essa fração deve depender da densidade de uma ou de ambas as espécies. Para formulação do modelo, são definidas as seguines variáveis e parâmeros: N = número de hospedeiros na geração ; P = números de parasióides na geração ; f ( N, P ) = fração de hospedeiros que não foram parasiados; l = axa de reprodução de hospedeiros; c = número médio de ovos deposiados pelo parasióide em um único hospedeiro. Pelas hipóeses em-se: N + = número de hospedeiros na geração anerior x fração de hospedeiros não parasiados x 1 axa de reprodução ( l ). P + = número de hospedeiros parasiados na geração anerior x fecundidade do parasióide ( c ). 1 Noa-se que 1- f é a fração de hospedeiros que são parasiados, assim obém-se N = ln f ( N, P ) + 1 P = cn [1- f ( N, P )], + 1 (2.5) o modelo hospedeiro-parasióide de empo discreo na forma geral. Nicholson e Bailey (1935) apresenaram mais duas hipóeses, além das já apresenadas, para o número de enconros e a axa de parasiismo do hospedeiro:

39 26 1. Os enconros dos parasióides e hospedeiros são aleaórios. O crescimeno da população de parasióides não esá relacionado esriamene à habilidade com que eles põem seus ovos, mas à axa de enconro com seus hospedeiros. O número de enconros N e é proporcional às suas densidades. N = an P, (2.6) e onde a é uma consane que represena a eficiência de pesquisa do parasióide. 2. Apenas o primeiro enconro enre parasióide e hospedeiro é significane. Quando o hospedeiro é parasiado, ele dá origem a uma nova geração de parasióides. O modelo considera que o parasióide não consegue disinguir se o hospedeiro esá ou não parasiado. A disribuição mais adequada para ese modelo é a de Poisson. Considerando a probabilidade de r evenos ocorrerem, em-se: r e -m m p( r) =, (2.7) r! onde m é o número médio de evenos no inervalo de empo considerado, ou seja: N N e m=. (2.8) Subsiuindo (2.8) em (2.6), em-se: m= ap. (2.9) Hospedeiros não parasiados durane oda vida equivale a zero enconro, ou seja, p (0), enão, em-se: e = = = (2.10) 0! -ap 0 -ap f ( N, P ) p(0) ( ap ) e

40 27 que represena a fração que escapa do parasiismo. Considerando odas as hipóeses, obém-se o modelo de Nicholson-Bailey: N + 1 = ln e -ap -ap P + 1 = cn (1- e ), (2.11) * * Uma solução de equilíbrio (, ) N P, segundo a eoria do capíulo 2, é obido fazendo N = ln e * * * * -ap P = cn (1- e ). * -ap * (2.12) Tem-se dois ponos de equilíbrio, o rivial * * ( N, P ) = (0,0) (2.13) onde há ausência de população ou ambas as espécies foram para exinção e o equilíbrio não rivial * * æ l lnl lnlö ( N, P ) = ç,. (2.14) è ac( l-1) a ø Observa-se que l> 1, caso conrário as populações no pono de equilíbrio não rivial seriam negaivas. A esabilidade nos ponos de equilíbrio é analisada com o auxílio da mariz Jacobiana. J ap ap é le - -alne - ù =ê. -ap -ap ú ëc(1 - e ) acne û (2.15) Para o pono fixo não rivial, em-se

41 28 J é 1 ê c(1 - ) êë l = * ê 1 can ú * -an ù ú. (2.16) l úû A equação caracerísica do sisema linearizado em a seguine forma: 2 l -l + b = 0 (2.17) onde lnl = a11+ a22 = 1+ (2.18) l - 1 e l lnl b = a11a22 - a12a21 = l- 1. (2.19) Para que a esabilidade seja saisfeia, em-se: l 1,2 < 1. l 1 (2.20) 1,2 < Iso é possível quando: 2> 1+ b >. (2.21) Para o modelo de Nicholson-Bailey, b > 1. Para mosrar isso é necessário verificar que l( ln l) /( l-1) > 1ou S ( l) º l-1 -l lnl < 0. Observa-se que ( 1 ) = 0 S '( l) = 1- lnl-l( 1/ l) = -lnl. Porano, '( l) < 0 decrescene de l e conseqüenemene ( l) < 0 S para ³ 1 l. Logo, ( l) S, S é uma função S para l ³ 1. Assim, verifica-se que b > 1, o que viola a condição de esabilidade. Enão o esado de equilíbrio * * ( N, P ) é insável.

42 29 Pequenas perurbações das duas espécies conduzem a oscilações que aumenam rapidamene sua ampliude. O modelo de Nicholson-Bailey é usado para descrever a ineração enre duas espécies: o parasióide Encarsia formosa, usado como agene de conrole biológico conra o Trialeurodes vaporariorum, o hospedeiro. (JOHNSON, 2000) A rajeória emporal desse sisema pode ser observada na figura abaixo: Figura 2.7 Trajeória Temporal do Modelo de Nicholson-Bailey A figura 2.7 mosra os resulados observados e calculados aravés do modelo de Nicholson-Bailey na ineração enre hospedeiros e parasióides, mosrada nas linhas mais escuras e os dados observados, conforme as linhas mais claras, respecivamene. Os parâmeros usados são a= 0, 068, l= 2 e c= 1. A condição inicial para a densidade de hospedeiros é N = 25 e para os parasióides é P = 11, dados obidos em laboraório. 0 0 (JOHNSON, 2000).

43 Mapa de Henon O mapa de Henon foi inroduzido por Michel Henon como um modelo simplificado da seção de Poincaré do modelo de Lorenz. Assim, é composo por propriedades similares às obidas por Lorenz, porém de forma simplificada e de compuação numérica mais precisa e dealhada. Para ano, é feia a redução da dimensão do sisema (de 3 para 2), a parir da inrodução de uma seção de Poincaré. É enão definido, já em duas dimensões, um mapa que apresena uma evolução com empo discreo que deve reproduzir muias das propriedades do sisema original. Ese mapa chamado T ( A ), é ambém conhecido como mapa de Poincaré. (HENON, 1976). Para a consrução desse mapa Henon (1976) procedeu da seguine maneira: ao invés de se considerar as rajeórias no espaço ridimensional, são consideradas sucessivas inersecções com uma superfície bidimensional de secção S. Define-se um mapa T de S como segue: dado um pono A de S, segue-se a rajeória originada em A aé inercepar S novamene. Ese novo pono é T ( A ). A consrução das equações de T ( A ) se baseou em algumas propriedades cenrais do sisema de Lorenz. As principais são: Exisência de um araor para onde as diferenes condições iniciais convergem; Divergene consane e negaivo; Processo de esirameno e dobra. Henon define, enão, as seguines ransformações que, quando aplicadas a um conjuno de ponos próximos da origem, resulam nas propriedades desejadas T : x = x, y = y+ - ax 2 1, (2.22) o que provoca um esirameno em orno dos ponos do eixo y. O processo de dobra é descrio por:

44 31 T : x = bx, y = y, (2.23) com b< 1. Define-se, ainda, um erceiro mapa que reorna a orienação ao longo do eixo x T : x = y, y = x. (2.24) O mapa T do modelo desejado deve coner odas essas propriedades e é definido como ( ) o produo T T T ( T ) =. Obém-se, enão, o mapa de Henon x = y + 1- ax y + 1 = bx. (2.25) O mapa de Henon em dois parâmeros a, bî com a> 0 e b < 1. Ao longo dese capíulo, b é fixo sendo b= 0,3 e a é o parâmero com valor a= 1,4. Para esses valores dos parâmeros em-se o mapa de Henon canônico, onde um pono inicial do plano se aproximará a um conjuno de ponos conhecidos como o araor esranho de Henon, ou divergene para o infinio. O araor de Henon é um fracal. Além de ser gerado pela repeição de um mesmo processo recursivo, os fracais apresenam auo-semelhança, ou seja, a simeria aravés das escalas, onde cada pequena porção do fracal pode ser visa como uma réplica do odo, e complexidade infinia. Calculando o Jacobiano desse mapa, verifica-se que de J =- b, que confirma que o sisema é dissipaivo, ou seja, se considerar um deerminado volume de condições iniciais num espaço de fases e esse volume se conrai com o passar do empo, enão o sisema é dissipaivo (MONTEIRO, 2006; SOLORIO e al. 2002). Essas ransformações descrias aé o momeno represenam, porano, cada uma das propriedades desejadas e que resulam no mapa de Henon. Calculando os ponos fixos do mapa de Henon, obém-se:

45 32 ( ) ( ) - 1- b + 1- b + 4a x =, y = bx 2a * * * ( ) ( ) - 1- b - 1- b + 4a x =, y = bx 2a * * * (2.26) Esses ponos são reais para a ( b) 2 > 1 - / 4. Nese caso, o pono ( x, y ) é insável para * * 2 2 ( b) 2 a>- 1 - / 4 e o pono ( b) a ( b) 2 2 ( x, y ) é assinoicamene esável para * * / 4< < / 4 (MONTEIRO, 2006). O mapa depende de dois parâmeros a e b. Conforme a variação desses parâmeros, o mapa de Henon pode ser caóico, inermiene ou convergene para uma órbia periódica. Para b= 0,3, uma órbia de período-2 nasce em a; 0,3675. Há um único pono fixo para a= 0,3, um ciclo-2 para a= 0, 7, um ciclo-4 para a= 1,0 e assim sucessivamene aé o pono de acumulação onde a ; 1, 058. Fixam-se os valores dos parâmeros a= 1,4 e b= 0,3, a parir dos quais o mapa apresena comporameno caóico. Para esses valores o mapa de Henon apresena um araor esranho, como é mosrado na figura 2.8 (VOCKE, 2001): y x Figura 2.8 Araor Esranho do Mapa de Henon

46 33 Um araor, em casos mais simples, pode ser um pono, quando se raa de um pono de equilíbrio esável ou uma curva fechada, conhecida como ciclo limie. Mas, em alguns casos, um araor pode er uma esruura mais complexa, onde as rajeórias vagam de maneira irregular, e ainda, é alamene sensível as condições iniciais. Nese caso, em-se um araor esranho. Segundo Moneiro (2006), num araor esranho, além de ocupar um volume finio no espaço de fases, rajeórias que parem de condições iniciais vizinhas devem se disanciar exponencialmene com o passar do empo. O mecanismo responsável por essas duas condições envolve repeidos esicamenos e dobras das rajeórias. Esse processo indica a possibilidade de comporameno caóico. Figura 2.9 Diagrama de bifurcação para o Mapa de Henon A figura 2.9 é obida da lieraura (WIKIPEDIA, 2007). A complexidade do comporameno do Mapa de Henon esá explícia no diagrama de bifurcação, onde se fixa o parâmero b= 0, 3 e ploa-se x em função de a. A pare mais densa do gráfico indica o crescimeno da probabilidade da variável x adquirir ouro valor para um dado parâmero a. O comporameno caóico do mapa pode ser viso pelas rajeórias emporais, as quais são apresenadas na figura 2.10:

47 x y 0.5 x, y empo Figura 2.10 Trajeória Temporal do Mapa de Henon sem conrole Os parâmeros usados para a rajeória emporal da figura 2.10 são: a=1,4 e b=0,3. Os expoenes de Lyapunov para o araor de Henon são: L = 0, 42 e L =- 1,62 o que confirma 1 1 a ocorrência de caos no modelo.

48 35 3 CONTROLE ÓTIMO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES DE TEMPO DISCRETO Nese capíulo, primeiramene faz-se uma explanação da eoria de conrole linear feedback para sisemas lineares de empo discreo, conforme proposo por Naidu (2000). Em seguida, demonsra-se um eorema que afirma que o conrole linear feedback, sob as condições esipuladas, é óimo para sisemas não-lineares de empo discreo. 3.1 Conrole Óimo de Sisemas Lineares de Tempo Discreo (2000): Considera-se um sisema linear de empo discreo com conrole descrio por Naidu x( + 1) = A( ) x( ) + B( ) u( ), (3.1) onde = 0, 1,..., f - 1, x é um veor de esado de enésima ordem, u é o veor de conrole de r-ésima ordem e A( ) e B( ) são marizes de dimensão n n e n r, respecivamene, com a seguine condição inicial: x ( 0) x0 = (3.2) O funcional de cuso é dado por ( ( ), ( ), ) J = J x u = f -1 T T T f f f + é + = x ( ) F( ) x( ) å x ( ) Q( ) x( ) u ( ) R( ) u( ) ù, 2 2 ë û (3.3) onde F( f ) e Q( ) são marizes siméricas semi-definidas posiivas, e R( ) é mariz simérica definida posiiva de ordem r r.