PROJETO DE CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO COM FALHAS NOS SENSORES

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1 PROJETO DE CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO COM FALHAS NOS SENSORES Arie Starke Buzetti, Diogo Ramaho de Oiveira, Marceo Carvaho Minhoto Teixeira, Waysonn Aves de Souza, Edvado Assunção, Rodrigo Cardim UNESP - Univ Estadua Pauista, Facudade de Engenharia de Iha Soteira Departamento de Engenharia Eétrica, Lab. de Pesquisa em Controe Av. José Caros Rossi, 137, , Iha Soteira, São Pauo, Brasi IFTO - Instituto Federa de Educação, Ciência e Tecnoogia do Tocantins Coordenação de Ciências Matemáticas e Naturais, , Pamas, Tocantins, Brasi. Emais: ariesb@hotmai.com, diogo_oiveira6@hotmai.com, marceo@dee.feis.unesp.br, waysonn@yahoo.com.br, edvado@dee.feis.unesp.br, rcardim@dee.feis.unesp.br Abstract This paper addresses a recurrent subject in practica impementations which is the sensor measurement faiure. Thus, the state vector avaiabe for feedback, denominated x M (t), presents poytopic uncertainties. The contribution of this work is the state space representation of a inear time-invariant system using x M (t) and the switched contro project that ensures the stabiity of the system. The switched contro design is based on Linear Matrix Inequaities (LMIs) and uses a quadratic Lyapunov function. A practica impementation of a D ba baancer system confirms the efficiency of the method. Keywords Sensor Faut; Reiabe Contro; Switched Contro; Linear Matrix Inequaities. Resumo Este trabaho aborda um tema recorrente em impementações práticas que é a faha de medição do sensor. Considerou-se que o vetor de estado disponíve para a reaimentação, denominado x M (t), apresenta incertezas poitópicas. A contribuição do trabaho é a representação em espaço de estados de um sistema inear e invariante no tempo utiizando x M (t) e o projeto de controe chaveado que garante a estabiidade desse sistema. O projeto de controe chaveado é baseado em desiguadades matriciais ineares (do ingês, Linear Matrix Inequaities - LMIs) e utiiza uma função de Lyapunov do tipo quadrática. Uma impementação prática de um sistema D ba baancer confirmam a eficiência do método. Keywords Faha do Sensor; Controe Confiáve; Controe Chaveado; Desiguadades Matriciais Lineares. 1 Introdução Em muitas apicações em engenharia, o sistema de controe é obrigado a ter uma ata confiabiidade, especiamente em sistemas críticos para a segurança humana, tais como sistemas de aeronaves e sistemas médicos (Dong and Yang, 15). Em gera, o controe de quaquer sistema depende da disponibiidade e quaidade das medições dos sensores. Em agumas apicações de controe com reaimentação, condições ambientais desfavoráveis, comunicação ruim ou mau funcionamento de agum hardware ou software, muitas vezes prejudicam as medições dos sensores. Dessa forma, as características dos sensores podem mudar ao ongo do tempo de modo que possa haver uma faha parcia ou tota (Liu et a., 13), o que pode degradar o desempenho ou até mesmo destruir a estabiidade dos sistemas controados. Portanto, para aumentar a confiabiidade do sistema de controe, é preciso considerar possíveis fahas nos sensores e/ou atuadores. Um sistema de controe projetado para toerar fahas de atuadores ou sensores dentro de um subconjunto préespecificado de todos os atuadores ou sensores, mantendo as propriedades do sistema de controe desejadas, será chamado de sistema de controe confiáve (Veiette et a., 199; Minqing, 9). Uma revisão bibiográfica recente sobre sistemas de controe toerantes à fahas é apresentada em (Zhang and Jiang, 8). Em diversos trabahos foram desenvovidas técnicas de controe confiáve, modeando as incertezas dos sensores como funções incertas parametrizáveis (Yang et a., ; Yang et a., 1; Minqing, 9; Wang et a., 11; Dong and Yang, 15). Nesses trabahos é reaizada a reaimentação do vetor de estado ou da saída da panta, sendo que este vetor possui incertezas. A representação do sistema reaimentado é o ponto de destaque desses trabahos, pois é feita através de espaço de estados, utiizando a dinâmica do vetor de estado que não possui incertezas, x(t). Por esse motivo, diversas manipuações agébricas são necessárias para propor condições que estabiizem o sistema reaimentado. Motivado por esse probema, o trabaho tem como objetivo propor uma representação em espaço de estados do sistema inear e invariante no tempo que descreva a dinâmica do vetor de estado medido, denominado x M (t). Então, o sistema resutante será representado como um sistema com incertezas poitópicas. Dessa forma, LMIs bastante estudadas na iteratura podem ser utiizadas para garantir a estabiidade do sistema reaimentado e projetar o sistema de controe. Nesse trabaho optou-se em reaizar o projeto de controe chaveado através da reaimentação de x M (t). Pois, como visto em (Souza et a., 13; Oiveira et a., 14; Souza et a., 14a), as LMIs utiizadas no controe chaveado para encontrar os ganhos são menos conservadoras do que as cássi-

2 cas que utiizam apenas um ganho de reaimentação do vetor de estado (Boyd et a., 1994). O trabaho ainda apresenta uma apicação em bancada, do controe de um sistema D ba baancer (Quanser, 8), considerando faha na eitura do ânguo θ(t), e consequentemente na estimação de θ(t), para demonstrar a eficácia do método. Utiizou-se o software MatLab/Simuink R para a apicação da ei de controe durante a impementação prática e a inguagem do YALMIP, com o sover SeDuMi, para resover as LMIs. Por conveniência, serão estabeecidas agumas notações que serão utiizadas no trabaho: K r = {1,,...,r}, r N, x(t) = x, V(x) = V, ρ k, λ, α i, i,j K s, k, K r, p K n, ρ k = 1 e ρ T =[ρ 1 ρ...ρ r ], k=1 λ = 1 e λ T =[λ 1 λ...λ r ], =1 α i = 1 e α T =[α 1 α...α s ], α 1 = ρ 1 λ 1, α = ρ 1 λ,...,α r = ρ 1 λ r, α r+1 = ρ λ 1, α r+ = ρ λ,...,α r = ρ λ r, α r(r 1)+1 = ρ r λ 1,...,α s = ρ r λ r, Γ z = ρ k Γ k = = k=1 ρ k diag[γ 1 (a 1 ) γ (a )...γ n (a n )], k=1 Γ 1 z = =1 λ Γ 1 λ diag [ γ 1 (b 1 ) 1 γ (b ) 1...γ n (b n ) 1], =1 (a 1 a... a n ) = decbin(k 1), a p {,1}, (b 1 b... b n ) = decbin( 1), b p {,1}, < γ p () γ p γ p (1), A z = γ p () 1 e γ p (1) 1, α i A i = ρ k λ Γ k AΓ 1, B z = α i B i = k=1 =1 k=1 =1 ρ k λ Γ k B, (1) sendor = n, s = n enéadimensãodovetorde estado x(t). Os eementos ρ k e λ são constantes e incertos. A função decbin representa a mudança da base decima para binária. A Tabea 1 exempifica o uso da função decbin para n =. Note que de (1), os vaores máximos e mínimos dos parâmetros incertos γ p, p K n, formam a diagona da matriz Γ k, k K r. Por sua vez a matriz Γ k representa cada um dos vértices do poitopo, formados através de todas as combinação possíveis dos vaores máximos e mínimos de γ p, p K n. Tabea 1: Exempo da Função decbin. k k 1 decbin(k 1) a 1 a γ 1(a 1) γ (a ) 1 min min min max max min max max Definição 1 Considere o conjunto Ω H (t) definido abaixo: Ω H (t) = argmin i K s x T M(t)H i x M (t) ={j K s : x T M(t)H j x M (t)= min i K s x T M(t)H i x M (t)}, sendo H i R n n, i K s, e x M (t) R n. O menor índice j Ω H (t) será denotado por arg min i K s {x M (t) T H i x M (t)} = min j Ω H(t) j. Definição do Probema Considere o sistema inear e invariante no tempo descrito por: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) () sendo x(t) R n o vetor de estado, u(t) R m a entrada de controe, A R n n e B R n m. Suponha que exista uma faha na medição das variáveis de estado x(t), sendo que uma faha do sensor pode se manifestar na forma de dois efeitos, de modo mútuo ou independente (Ackermann, 1984): um efeito mutipicativo. O ganho do sensor pode ser reduzido, variando a partir do seu vaor nomina até zero; um efeito aditivo. A saída do sensor pode conter um desequiíbrio ou ruído após a faha. Nesse trabaho será considerada apenas a existência do efeito mutipicativo, com o ganho do sensor incerto, porém maior do que zero. Dessa forma, o vetor de estado x(t) não está disponíve para a reaimentação. Então, o vetor de estado medido será denominado x M (t), sendo que x M (t) possui incertezas poitópicas representadas através da matriz Γ z, definida em (1), ta que x M (t) = Γ z x(t). (3) Observação 1 No modeo de faha de sensores considerado, quando γ p () = γ p (1) = 1, para todo p K n, então x M (t) = x(t) o que corresponde ao caso norma, sem possibiidade de fahas. Quando γ p () < γ p (1), pode-se ter uma faha parcia no sensor que mede a variáve de estado x p (t), também considerado como a degradação do sensor (Yang et a., ).

3 A ei de controe chaveada utiizada é dada por: u(t) = K σ x M (t), (4) sendo que o ganho K σ será definido posteriormente. Então o sistema reaimentado dado em ()-(4) pode ser representado por: ẋ(t) = Ax(t) BK σ x M (t). (5) Observe que o sistema dado em (5) representa ẋ(t) em função de x(t) e x M (t). Esse probema motivou a eaboração desse trabaho e uma soução é apresentada no Teorema 1. Teorema 1 O sistema inear e invariante no tempo descrito em (), com a ei de controe dada em (4), pode ser representado por: ẋ M (t) = (A z B z K σ )x M (t). (6) Prova: Considere o sistema dado em (), a ei de controe dada em (4) e a matriz de incerteza Γ z, ta que ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) = AΓ 1 z Γ z x(t) BK σ x M (t) = ( AΓ 1 z BK σ ) xm (t), (7) pois x M (t) = Γ z x(t) Mutipicando (7) por Γ z à esquerda, temos Γ z ẋ(t) = ( Γ z AΓ 1 z Γ z BK σ ) xm (t), (8) então a partir de (1), para x M (t) = Γ z x(t) e sendo Γ z constante, o sistema (8) pode ser reescrito como ẋ M (t) = ( Γ z AΓ 1 ) z Γ z BK σ xm (t), ( = ρ k λ Γk AΓ 1 ) Γ k BK σ xm (t) = k=1 =1 α i (A i B i K σ )x M (t) = (A z B z K σ )x M (t) (9) então a prova está concuída. 3 Controe Chaveado Nesta seção, baseado em (Souza et a., 14a), é proposto o projeto de um controador chaveado para o sistema inear e invariante no tempo com incertezas no vetor de estado medido x M (t). A função de Lyapunov do tipo quadrática é dada por V(x M (t)) = x T MPx M. (1) A ideia básica da ei de controe chaveada é a minimização da derivada tempora da função de Lyapunov, por meio da seeção do ganho do controador, que pertence ao conjunto de ganhos K j, j K s. Essa ei de chaveamento utiiza matrizes simétricas auxiiares Q j,j K s e escohe um índice σ. Portanto, considerando os índices σ obtidos utiizando a Definição 1, define-se o controador chaveado da seguinte forma: u(t) = K σ x M (t), σ = arg min j K s {x T M(t) Q j x M (t)}. (11) Teorema Suponha a existência de uma matriz simétrica positiva definida X R n n, matrizes simétricas Z i,q j R n n, matrizes M j R m n e um escaar β, para todo i,j K s, tais que: B i M j M T j B T i Z i Q j, (1) XA T i +A i X +Z i +Q i +βx. (13) Então a ei de controe chaveada (11) torna o ponto de equiíbrio x M = do sistema (6) (e x = de (5)) gobamente assintoticamente estáve com uma taxa de decaimento maior ou igua β, sendo P = X 1, Q j = X 1 Q j X 1 e os ganhos do controador dados por K j = M j X 1. Prova: Como em (Boyd et a., 1994), pode-se usar uma função de Lyapunov quadrática (1) para estabeecer um imite inferior para a taxa de decaimento do sistema (6). A condição V(x M (t)) βv(x M (t)), para todas as trajetórias x M (t), é equivaente à especificação de umataxadedecaimentomaiorouiguaaβ. Dessa forma tem-se: V(x M (t))+βv(x M (t)) = = x T M(A T zp +PA z +βp K T σb T z P PB z K σ )x M. (14) Agora, considere que existam matrizes simétricas Z i, Qj R n n tais que: (PB i K j +K T j B T i P) Z i + Q j, i,j K s. (15) Então, de (15) tem-se: x T M(PB z K σ +KσB T z T P)x M = α i x T M(PB i K σ +KσB T i T P)x M α i x T Z M i x M +x T Q M σ x M. (16) A partir de (1) e (11), observe que x T Q M σ x M = min(x T Q M j x M ) α i x T Q M i x M. j K s Então, de (16) tem-se: x T M(PB z K σ +KσB T z T P)x M α i x T M( Z i + Q i )x M. (17)

4 Lembrando que α i e α i = 1, de (14) e (17), para x M, tem-se que: se V(x M (t))+βv(x M (t)) (18) A T i P +PA i + Z i + Q i +βp. (19) Agora, defina X = P 1, Z i = X Z i X, Q i = X Q i X e M j = K j X. Pré- e pós-mutipicando (15) e (19) por X, as LMIs (1) (13) são obtidas, respectivamente. 4 O Sistema D ba baancer Quanser R Considere o sistema D ba baancer, fabricado pea Quanser R, mostrado na Figura 1. Seu modeo esquemático referente à direção x da paca é mostrado na Figura, e a direção y pode ser representado da mesma forma (Quanser, 8). Figura 1: Equipamento D ba baancer, pertencente ao DEE-FEIS-LPC (Souza et a., 14b). Engrenagem do Motor rarm Engrenagem de Carga Engrenagem do Potenciômetro d x α θ x L pate Boa Paca de Equiíbrio Suporte da Barra Paca de Suporte Inferior Figura : Panta esquemática do D ba baancer na direção x (Quanser, 8). O sistema consiste de uma paca quadrada sobre a qua uma boa é coocada e se move ivremente. A boa pode ser posicionada em um ponto de referência fixo ou pode rastrear uma rota determinada. Uma câmera superior é utiizada para medir a posição da boa. Existem dois servomotores, cada um dees está igado a um dos eixos da paca. Ao controar a posição das engrenagens de carga do servomotor, o ânguo de incinação da paca pode ser ajustado para equiibrar a boa em uma posição pana desejada. O modeo matemático inearizado do sistema D ba baancer (Quanser, 8) é dado por: d(t) = K bb θ(t), τ θ(t)+ θ(t) = KV m (t), () sendo: d(t) a posição da boa; θ(t) o ânguo de carga; V m (t) = u(t) o sina de controe; τ e K são parâmetros do fabricante; m b gr arm r b e K bb = L pate (m b r b +J b ). A descrição e os vaores das constantes são dados na Tabea. Tabea : Parâmetros do sistema D ba baancer. Parâmetros Símboo Vaor Massa da boa (kg) m b,3 Distância do eixo do motor ao ponto de r arm,54 fixação da barra (cm) Raio da boa (cm) r b 1,96 Comprimento da mesa (cm) L pate 7,5 Parâmetro do fabricante (rad/sv) K 1,76 Parâmetro do fabricante (s) τ,85 Momento de inércia de uma esfera sóida J b,46 (kgm ) Parâmetro do sistema (m/s rad) K bb 1,3 O sistema() pode ser representado de forma simiar ao sistema (), sendo que: d(t) A= K bb 1,B=,x(t)= d(t) θ(t). 1 K τ τ θ(t) (1) Durante a impementação prática apenas as variáveis de estado d M e θ M estão disponíveis, e d M e θ M são estimadas por meio de fitros derivativos G f (s) = s/(s + ), como sugerido pea fabricante (Quanser, 8). Dessa forma, foi considerada uma faha de até 5% na eitura do ânguo medido, acarretando uma faha simutânea na derivada do ânguo. Já a eitura da posição da boa não possui nenhuma erro de eitura. A partir dessas considerações, de (1) e (3), as matrizes Γ k e Γ 1 são dadas por: Γ k = diag[1 1 γ 3 (a 3 ) γ 3 (a 3 )] Γ 1 = diag [ 1 1 γ 3 (b 3 ) 1 γ 3 (b 3 ) 1],5 γ 3 1 Utiizando o Teorema 1, o sistema inear e invariante no tempo descrito em () e (1) pode ser representado por (6) e (1), sendo que K A i = bb γ 3(b 3) 1, B i= 1 τ Kγ 3(a 3) τ. ()

5 Nesse caso em particuar, observe que as matrizes Γ k, Γ 1, A i e B i dependem somente dos vaores máximos e mínimos de γ 3. Dessa forma, a partir de (1) e para k, {1,} e i {1,,3,4} a combinação dos vaores máximo e mínimo de γ 3 é apresentada na Tabea 3. Tabea 3: Vaores de γ 3 (a 3 ) e γ 3 (b 3 ) 1. ρ k a 3 λ b 3 i α i γ 3(a 3) γ 3(b 3) 1 ρ 1 λ 1 1 α 1 min min ρ 1 λ 1 α min max ρ 1 λ 3 α 3 max min ρ 1 λ 1 4 α 4 max max Portanto, no projeto de controe foram utiizados os seguintes vértices do poitopo, para ambos os eixos: [A 1 A ]= [A 3 A 4]= K bb 1 1 τ K bb 1 1 τ B 1 = B = [ B 3 = B 4 = [ K bb 1 1 τ K bb 1 1 τ,5k τ K τ ] T,,, ] T. (3) Utiizando as LMIs do Teorema e considerando os vértices do poitopo (3) para β = 1, 4 foram obtidos os seguintes ganhos, a seguinte matriz simétrica positiva definida e as seguintes matrizes simétricas: K 1 = [14, ,68 73,517 4,4394], K = [161,66 18, ,9968 3,19], K 3 = [1,455 95,364 41,1394,3784], K 4 = [53,583 4,83 18,9139,885], 3,7,875 1,64,84 P=1 4,875,576,9543,667 1,64,9543,495,88,,84,667,88,1 1,315 1,434,4536,95 Q 1=1 7 1,434,895,365,35,4536,365,1567,1,,95,35,1,6 1,15,8136,357,3 Q =1 7,8136,648,843,178,357,843,146,78,,3,178,78,5 5,63 4,196 1,8373,114 Q 3=1 6 4,196 3,3451 1,4643,88 1,8373 1,4643,646,386,,114,88,386, 1,9186 1,5535,731,9 Q 4=1 6 1,5535 1,571,584,39,731,584,694,115.,9,39,115, (4) (5) Os resutados numéricos obtidos, foram utiizados para reaizar a impementação prática que serão apresentadas a seguir. 4.1 Resutados Práticos O objetivo da impementação é fazer com que a boa siga a referência de um quadrado de 1 cm de ado. Após 4 segundos do início da simuação foi inserida uma faha de 5% na eitura dos ânguos dos servomotores das direções x e y da paca. A entrada de controe u(t) é imitada em ±5V através de um saturador, inserido via Simuink R, para não danificar o atuador. As respostas obtidas são apresentadas nas Figuras 3 e 4, utiizando o controador chaveado dado em (11), com os ganhos dados em (4). d xm (cm) θ xm (rad) uσx σx Tempo(s) Figura 3: Resutados práticos da direção x: posição d xm = d x, ânguo θ xm = γ 3θ x, sina de controe u σx e a regra de chaveamento σ x do D ba baancer utiizando o controador chaveado (11), (4) e (5). d ym (cm) θ ym (rad) uσy σy Tempo(s) Figura 4: Resutados práticos da direção y: posição d ym = d y, ânguo θ ym = γ 3θ y, sina de controe u σy e a regra de chaveamento σ y do D ba baancer utiizando o controador chaveado (11), (4) e (5). Nas Figuras 3 e 4, pode-se notar que utiizando o controador chaveado (11), o sistema seguiu a posição desejada x = ±5 cm, y = ±5 cm e manteve os ânguos das direções x e y próximo de zero. Observa-se também que houve aternância entre os quatro controadores ativos para cada instante de tempo. Por fim, a trajetória da boa representada na Figura 5 confirma a eficiência da metodoogia proposta.

6 posição dym posição d xm Figura 5: Resutados práticos da posição x y do D ba baancer utiizando o controador chaveado (11), (4) e (5). 5 Concusões Nesse trabaho foi considerado que o vetor de estado disponíve para a reaimentação possui incertezas poitópicas. Na busca de resover esse probema recorrente em impementações práticas, um teorema que permite representar esse sistema em espaço de estados descrevendo a dinâmica de x M (t) foi proposto. O projeto de controe chaveado, utiizando essa nova representação, foi utiizado para garantir estabiidade ao sistema. Os resutados da impementação prática em um sistema D ba baancer confirmaram a eficiência do método. Agradecimentos Os autores agradecem a CAPES, ao CNPq e a FAPESP (11/1761-) peo apoio financeiro. Referências Ackermann, J. (1984). Robustness against sensor faiures, Automatica (): Boyd, S., Ghaoui, L. E., Feron, E. and Baakrishnan, V. (1994). Linear Matrix Inequaities in System and Contro Theory, Vo. 15 of Studies in Appied Mathematics, SIAM - Soc. Ind. App. Math., Phiadephia, PA. Dong, J. and Yang, G.-H. (15). Reiabe state feedback contro of T-S fuzzy systems with sensor fauts, Fuzzy Systems, IEEE Transactions on 3(): Liu, M., Cao, X. and Shi, P. (13). Fuzzymode-based faut-toerant design for noninear stochastic systems against simutaneous sensor and actuator fauts, Fuzzy Systems, IEEE Transactions on 1(5): Minqing, X. (9). Reiabe robust guaranteed cost contro of deta operator inear uncertain systems with sensor faiure, Inteigent Computation Technoogy and Automation, 9. ICICTA 9. Second Internationa Conference on, Vo. 1, pp Oiveira, D. R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E., Souza, W. A., Moreira, M. R. and Siva, J. H. P. (14). Projeto de controe robusto H chaveado: Impementação prática em um sistema de suspensão ativa, XX Congresso Brasieiro de Automática - CBA, Beo Horizonte, MG. Quanser (8). D Ba Baancer Contro using QUARC: Instructor Manua, Quanser Inc., Canadá. Souza, W. A., Oiveira, D. R., Teixeira, M. C. M., Siva, L. S. C., Cardim, R. and Assunção, E. (14b). Projeto e impementação de um controador robusto chaveado utiizando modeos fuzzy Takagi-Sugeno, XX Congresso Brasieiro de Automática - CBA, Beo Horizonte, MG. Souza, W. A., Teixeira, M. C. M., Santim, M. P. A., Cardim, R. and Assunção, E. (13). On switched contro design of inear timeinvariant systems with poytopic uncertainties, Mathematica Probems in Engineering 13: 1. Souza, W., Teixeira, M. C. M., Cardim, R. and Assunção., E.(14a). On switched reguator design of uncertain noninear systems using Takagi-Sugeno fuzzy modes, Fuzzy Systems, IEEE Transactions on (6): Veiette, R., Medanic, J. and Perkins, W. R. (199). Design of reiabe contro systems, Automatic Contro, IEEE Transactions on 37(3): Wang, Z., Jin, X. and Wang, Z. (11). Adaptive controer design for inear time-invariant systems with sensor faiures, Contro and Decision Conference (CCDC), 11 Chinese, pp Yang, G.-H., Wang, J. L. and Soh, Y. C. (1). Reiabe H controer design for inear systems, Automatica 37(5): Yang, G., Wang, J. and Soh, Y. (). Reiabe LQG contro with sensor faiures, Contro Theory and Appications, IEE Proceedings - 147(4): Zhang, Y. and Jiang, J. (8). Bibiographica review on reconfigurabe faut-toerant contro systems, Annua Reviews in Contro 3(): 9 5.