REPROJETO DIGITAL DE SISTEMAS POLITÓPICOS COM MINIMIZAÇÃO DE NORMA H 2

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1 REPROJETO DIGITAL DE SISTEMAS POLITÓPICOS COM MINIMIZAÇÃO DE NORMA H 2 CECÍLIA F. MORAIS, MÁRCIO F. BRAGA, EDUARDO S. TOGNETTI, RICARDO C. L. F. OLIVEIRA, PEDRO L. D. PERES Facudade de Engenharia Eétrica e de Computação, Universidade Estadua de Campinas UNICAMP, , Campinas, SP, Brasi. Departamento de Engenharia Eétrica, Instituto de Ciências Exatas e Apicadas, Universidade Federa de Ouro Preto UFOP, , João Monevade, MG, Brasi. Departamento de Engenharia Eétrica, Universidade de Brasíia UnB, , Brasíia, DF, Brasi. Emais: {cfmorais, ricfow, peres}@dt.fee.unicamp.br, mfbraga@deet.ufop.br, estognetti@ene.unb.br Abstract The aim of this paper is to design digita controers that stabiize a poytopic continuous-time system by empoying the digita redesign technique. In this method, starting from a continuous-time controer previousy computed, it is possibe to determine an equivaent discrete-time controer that stabiizes the hybrid system and optimizes some performance criterion reated with the difference between the trajectories of the cosed-oop continuous-time system and the hybrid system. In this paper, a bound to the H 2 norm of a system representing the dynamics of the difference (error) between the state trajectories of the continuous-time and the discrete-time pant is minimized. The design conditions are formuated in terms of inear matrix inequaities based on poynomiay parameter-dependent decision variabes and a scaar parameter search. Numerica exampes iustrate the appicabiity and the advantages of the proposed methodoogy when compared with other conditions from the iterature. Keywords Digita Redesign, H 2 Norm, Poytopic Uncertainty, Linear Matrix Inequaities, Samped-data Systems. Resumo O objetivo deste artigo é o projeto de controadores discretos que estabiizem um sistema poitópico a tempo contínuo utiizando a técnica de reprojeto digita. Nesse método, a partir de um controador previamente projetado em tempo contínuo, é possíve determinar um equivaente discreto que estabiiza o sistema híbrido otimizando agum critério de desempenho com o intuito de tornar a diferença entre as trajetórias dos sistemas híbrido e contínuo em maha fechada tão pequena quanto possíve. Neste trabaho, um imitante para a norma H 2 de um sistema que representa a dinâmica da diferença (erro) entre as trajetórias das pantas contínua e discreta é minimizado. As condições de projeto são formuadas em termos de desiguadades matriciais ineares baseadas em variáveis de decisão poinomiamente dependentes das incertezas e na busca em um parâmetro escaar. Exempos numéricos iustram a apicabiidade dos métodos e demonstram as vantagens quando comparados a outras condições da iteratura. Reprojeto Digita, Norma H 2, Incerteza Poitópica, Desiguadades Matriciais Lineares, Sistemas Amostra- Paavras-chave dos. 1 Introdução Devido ao avanço da tecnoogia digita, o controe de sistemas dinâmicos via rede vem se tornando cada vez mais comum em apicações práticas. Como as pantas controadas usuamente são contínuas no tempo, a determinação de controadores com impementação discreta (digita), capazes de estabiizar o sistema origina, pode ser uma tarefa desafiadora. Nesse contexto surge a técnica de reprojeto digita (do ingês, digita redesign) (Chang et a., 2002; Lee et a., 2004; Lee et a., 2006). Nessa técnica, dado um controador estabiizante a tempo contínuo previamente projetado, computa-se um controador a tempo discreto que garante a estabiidade do conjunto híbrido (panta contínua e controador) ao mesmo tempo em que minimiza-se um critério de desempenho associado à diferença (erro) entre as trajetórias das variáveis de estado das representações contínua e discreta. Enquanto os primeiros trabahos de reprojeto digita (Shieh et a., 1992; Tsai et a., 1993) assumem que a estabiidade do sistema resutante é acançada devido à proximidade das trajetórias das variáveis de estado, impicando na verificação da estabiidade a posteriori via simuação, as pesquisas mais recentes (Chang et a., 2002; Lee et a., 2006; Maccari Jr. et a., 2013; Braga et a., 2015) empregam simutaneamente um critério de anáise de estabiidade e uma condição de reprojeto digita associada à minimização da norma do erro entre as variáveis de estado. Existem ainda outras extensões da técnica, como o reprojeto digita inteigente (Lee et a., 2004; Sung et a., 2010; Koo et a., 2011; Koo et a., 2013; Koo et a., 2016) que seguem o mesmo princípio de conversão de controadores anaógicos em equivaentes digitais com o intuito de acançar a correspondência entre as trajetórias das variáveis de estado, mas que tratam especificamente de modeos nebuosos de Takagi- Sugeno (Tanaka e Wang, 2001). Finamente, motivados peo fato de que a maioria dos métodos mencionados anteriormente opta pea minimização da norma da distância entre as representações contínua e discreta das matrizes de espaço de estados, em Lee et a. (2015), os autores propõem uma maneira aternativa de reduzir a diferença entre as trajetórias contínua e discreta. Sendo assim, primeiramente é construído um sina de erro associado a uma dinâmica, que pode ser interpretada como um mapeamento de uma entrada dada peo vetor de variáveis de estado amostrado x d (k) para uma saída dada peo erro e(k) entre as variáveis de estado em tempo contínuo x c (k) e discreto x d (k), de forma que a correspondência entre as variáveis de estado pode ser obtida pea minimização da norma H da função de transferência do sistema dinâmico de erro. Particuarmente, quando a descrição do sistema

2 contínuo envove a presença de incertezas associadas aos processos físicos, o projeto de controadores digitais é dificutado pois o processo de discretização envove o cácuo das exponenciais de matrizes incertas. Levando em conta essa dificudade e seguindo as propostas de souções fornecidas em Lee et a. (2015) e Braga et a. (2015), o objetivo deste artigo é computar controadores discretos que estabiizem sistemas ineares contínuos afetados por incertezas poitópicas empregando a técnica de reprojeto digita via minimização da norma H 2 do sistema dinâmico de erro. Para isso, primeiramente utiiza-se um método de discretização baseado na expansão por séries de Tayor (Braga et a., 2013; Braga et a., 2014; Braga et a., 2015). Em seguida, resovem-se, por meio de agoritmos eficientes de programação convexa, condições baseadas em desiguadades matriciais ineares (do ingês Linear Matrix Inequaities LMIs) com variáveis de decisão dependentes de parâmetros e busca em um escaar. As condições de projeto envovem basicamente a estabiidade do sistema híbrido em maha fechada e a minimização da norma H 2 do sistema dinâmico do erro entre as trajetórias. O probema tratado neste trabaho é mais abrangente que o apresentado em Lee et a. (2015) pois considera o controe digita de sistemas ineares poitópicos. Aém disso, para vaores fixos do parâmetro escaar (introduzido para aumentar a iberdade na busca por uma soução factíve) o procedimento de soução é convexo, não sendo necessário resover um probema não inear, ta qua no agoritmo proposto em Lee et a. (2015, Remark 3). Experimentos numéricos são apresentados para iustrar a apicabiidade do procedimento proposto. 2 Formuação do Probema Considere o sistema inear contínuo e invariante no tempo ẋ c (t)=e(α)x c (t)+f(α)u c (t) (1) em que x c (t) R n x e u c (t) R n u representam, respectivamente, o vetor de estados e a ei de controe em tempo contínuo. As matrizes E(α) R n x n x e F(α) R n x n u são poitópicas, ou seja, são dadas pea combinação convexa de N vértices conhecidos (E,F)(α)= N i=1 α i (E i,f i ) (2) em que o vetor de parâmetros invariantes no tempo α =(α 1,...,α N ) pertence ao simpex unitário { Λ N = ζ R N : N i=1 } ζ i = 1, ζ i 0, i=1,...,n. (3) A ei de controe por reaimentação de estado é descrita por u c (t)=k c x c (t) (4) em que K c representa o controador em tempo contínuo que estabiiza robustamente o sistema (1) produzindo a seguinte dinâmica em maha fechada ẋ c (t)=(e(α)+f(α)k c )x c (t). (5) Discretizando (5), obtém-se em que x c (k+1)= A m f (α)x c (k) (6) ) (E(α)+F(α)K A m f (α)=e c T, (7) T é o período de amostragem e x c (k) é a representação em tempo discreto de x c (t) com t = kt. 1 Por outro ado, uma representação amostrada de (1) utiizando um segurador de ordem zero (ZOH, do ingês Zero-Order Hod) pode ser descrita por x d (k+1)= A(α)x d (k)+b(α)u d (k) (8) com ( T A(α)=e E(α)T, B(α)= e a ei de controe em tempo discreto 0 ) e E(α)s ds F(α) (9) u d (k)=k d x d (k), (10) produzindo o seguinte sistema discreto em maha fechada x d (k+1)=(a(α)+b(α)k d )x d (k). (11) Tendo essas definições como base, pode-se enunciar o probema de reprojeto digita (Chang et a., 2002). Probema 1 (Reprojeto digita) Dada uma ei de controe por reaimentação de estado contínua no tempo u c (t)=k c x c (t) ta que o sistema em maha fechada (5) seja assintoticamente estáve, projete uma ei de controe amostrada por reaimentação de estado (10) ta que a estabiidade em maha fechada por reaimentação de estado do sistema discreto no tempo (11) seja assegurada; as trajetórias das variáveis de estado do sistema discreto em maha fechada (11) sejam tão próximas quanto for possíve das trajetórias do sistema contínuo em maha fechada (5) nos instantes t = kt. Para atingir os objetivos estabeecidos anteriormente, a forma mais comum é minimizar a norma eucidiana da diferença entre as variáveis de estado contínuas e discretas (Chang et a., 2002; Lee et a., 2004). Porém, neste trabaho, a proposta é minimizar a norma H 2 associada a e(k) = x d (k) x c (k), com e(k) possuindo a seguinte dinâmica e(k+1)= x d (k+1) x c (k+1) k. =(A(α)+B(α)K d )x d (k) A m f (α)x c (k) = A m f (α)e(k) + A m f (α)x d (k) A m f (α)x d (k) + ( A(α)+B(α)K d A m f (α) ) x d (k), 1 Por simpicidade de notação, o instante kt é representado por

3 ou x e (k+1)= A e (α)x e (k)+b e (α)w e (k) z e (k)= C e x e (k) (12) com x e (k) = e(k), w e (k) = x d (k), A e (α) = A m f (α), B e (α)=a(α)+b(α)k d A m f (α) e C e = I. Primeiramente, para computar um imitante superior para a norma H 2 do sistema representado em (12), é necessário soucionar o probema de tratar exponenciais de matrizes incertas presentes nas expressões (7) e (9). Uma aternativa computacionamente viáve é apresentada em Braga et a. (2013), Braga et a. (2014) e Braga et a. (2015), na qua é utiizado um procedimento baseado na expansão em série de Tayor de um grau arbitrário, conforme descrito a seguir com e A m f (α)=a m f (α)+ A m f (α), A(α)=A (α)+ A (α), B(α)=B (α)+ B (α), A m f (α)= j=0 A (α)= B (α)= j=0 j=1 (13) (E(α)+F(α)K c ) j T j, (14) E(α) j T j, (15) E(α) j 1 T j F(α), (16) A m f (α)=e(e(α)+f(α)k c)t A m f (α), (17) A (α)=e E(α)T A (α), (18) B (α)= T 0 e E(α)s ds F(α) B (α), (19) em que A m f (α), A (α) e B (α) são os resíduos da expansão em série de Tayor de ordem. Seguindo as notação e definições apresentados em Braga et a. (2013), (15) e (16) podem ser reescritas como A (α) α k A k, B (α) α k B k (20) k K () k K () com os respectivos coeficientes matriciais B k = A k = T j j=1 T j j=0 ˆk K ( j) k ˆk ˆk K ( j) k ˆk p R(k ˆk) i {1,...,N} p R(k ˆk e i ) k i ˆk i 0 ( j)! E p, (21) ˆk! ( j)! E p F i. (22) ˆk! Finamente, a expressão para a versão discreta da matriz de maha fechada dada por (14) pode ser computada por (21) substituindo-se A k e E p respectivamente por A m f k e E p + F p K c. Adicionamente, é necessário impor imitantes superiores para os termos que aparecem em (13), A m f (α), A (α) e B (α), ou seja, cacuar δ Am f = sup A m f(α), δ A = sup A (α), α Λ N α Λ N δ B = sup α Λ N B (α), (23) reaizando-se, por exempo, uma busca em uma maha fina de vaores de α Λ N como descrito em Braga et a. (2014). Note que, uma vez que esse procedimento aumenta o custo computaciona apenas na fase de projeto (off-ine), é possíve que uma maha de vaores tão granuosa quanto se queira seja usada para computar (23). Na prova das condições LMIs propostas na Seção 3 é empregado o seguinte ema (Boyd et a., 1994). Lema 1 Dado um escaar λ > 0 e matrizes M e N de dimensões compatíveis, então MN+ N M λ MM + λ 1 N N. 3 Principais Resutados Nesta seção são apresentados os resutados teóricos deste trabaho, cujas principais contribuições incuem: apresentar novas condições LMIs de reprojeto digita para o cômputo de controadores discretos que estabiizem um sistema poitópico contínuo amostrado; associar o projeto do controador discreto à minimização da norma H 2 do sistema (12) em termos de LMIs com funções de Lyapunov dependentes de parâmetros e variáveis de foga; iustrar por experimentos numéricos que escohas adequadas dos parâmetros de entrada dos teoremas propostos podem evar a sistemas discretos em maha fechada com trajetórias de variáveis de estado mais próximas das produzidas peo sistema contínuo em maha fechada. As condições LMIs propostas utiizam funções de Lyapunov poinomiamente dependentes de parâmetros, variáveis de foga e um parâmetro escaar pertencente a um intervao imitado que pode representar um grau extra de iberdade na busca por uma soução factíve. No teorema seguinte, condições LMIs para a síntese de um controador discreto via reprojeto digita associado à minimização da norma H 2 do sistema erro (12) são apresentadas. Teorema 1 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas W(α) R n x n x, P(α) R n x n x e uma matriz X(α) R n x n x poinomiais de grau g N, matrizes constantes G R n x n x e Z R n u n x, escaares positivos λ A1, λ B1, λ A2, λ B2 e λ Am f e um dado parâmetro escaar ξ ( 1, 1), tais que as LMIs ( ) Θ W(α) G A (α) +Z B (α) W(α) G < 0, ξ G G ξ Z Z λ B1 I ξ G G 0 λ A1 I (24) Tr (P(α))<µ 2, (25)

4 Ψ 11 0 Ψ 22 Ψ 31 Ψ 32 Ψ 33 X(α) G 0 Ψ 44 < 0, 0 G 0 0 λ A2 I 0 Z λ B2 I (26) com Θ= ( λ A1 δa 2+ λ B1δB) 2 I+ ξ(a (α)g+b (α)z) + ξ(a (α)g+b (α)z), Ψ 11 = P(α) X(α) X(α), Ψ 22 = I G G, Ψ 31 = A m f (α)x(α), Ψ 32 = A (α)g+b (α)z A m f (α)g, Ψ 33 = P(α)+ ( λ Am f δ 2 Am f + λ A2δ 2 A + λ B2δ 2 B) I, Ψ 44 = λ Am f I, sejam verificadas para todo α Λ N,então K d = ZG 1 é um ganho discreto robusto por reaimentação de estado que estabiiza o sistema (8) e µ é um custo garantido para a norma H 2 do sistema erro (12) que representa a diferença entre as variáveis de estado do sistema discreto controado (11) e as trajetórias do sistema contínuo amostrado em maha fechada (6). Observação 1 Em (26), A m f (α), A (α) e B (α), com grau de aproximação de série de Tayor N, são computadas empregando os coeficientes A m f k, A k e B k e os resíduos δ A, δ B e δ Am f são dados por (23). Prova: A prova de (24) segue os mesmos passos da prova do Teorema 1 de Braga et a. (2013), garantindo que o sistema discreto em maha fechada (11) é assintoticamente estáve. Por outro ado, (25) pode ser reescrita como Tr(C e P(α)C e)<µ 2 uma vez que C e = I, recuperando a condição do traço no cômputo da norma H 2 (de Oiveira et a., 2002) para o sistema erro (12). Adicionamente, sabendo que B (α) B (α) δ 2 B I, A (α) A (α) δ 2 A I, A m f (α) A m f (α) δ 2 Am f I e utiizando o Lema 1 na seguinte ordem com as escohas λ = λ B2, M = [ 0 0 B (α) 0 0 ], N =[0 Z 0 0 0], depois λ = λ A2, M = [ 0 0 A (α) 0 ], N = [ 0 G 0 0 ], e finamente λ = λ Am f, M = [ 0 0 A m f (α) ], N = [ X(α) G 0 ], e, em seguida, apicando o compemento de Schur, observa-se que se (26) for verificada, então P(α) X(α) X(α) 0 I G G <0 A e (α)x(α) B e G P(α) (27) também é assegurada. Pré e pós mutipicando (27) respectivamente por [ A e B e I ] e sua transposta, recupera-se a condição do gramiano de controabiidade A e (α)p(α)a e (α) P(α)+B e (α)b e (α) < 0. (28) Por conseguinte, ao minimizar a variáve µ sujeita às restrições (25) e (26), o custo garantido H 2 do sistema (12) também é minimizado. 4 Exempos Iustrativos Para demonstrar as vantagens da abordagem proposta em reação às demais técnicas existentes na iteratura, primeiramente as condições apresentadas neste texto são adaptadas para tratar o caso precisamente conhecido (quando o sistema contínuo origina não é afetado por incertezas) e comparadas a outras condições de reprojeto digita existentes. Em seguida, é investigado um exempo incerto. Todas as rotinas foram impementadas em Matab, versão 7.10 (R2010a) usando Yamip (Löfberg, 2004) e SeDuMi (Sturm, 1999), em um computador AMD Phenon (TM) II X6 1090T (3.2GHz), 4GB RAM e os controadores apresentados foram truncados com 4 casas decimais. Exempo 1 Considere o sistema precisamente conhecido inear, invariante e contínuo no tempo apresentado em Lee et a. (2015). O período de amostragem é T = 0.3 s e a condição inicia empregada nas simuações é x c (0) = x d (0) = [ ]. O objetivo deste exempo é sintetizar um ganho discreto estabiizante via reprojeto digita e comparar as trajetórias das variáveis de estado em tempo discreto e em tempo contínuo produzidas peos sistemas em maha fechada com ganhos computados por diferentes abordagens da iteratura, incuindo a técnica proposta neste texto. Sendo assim, primeiramente computa-se um ganho de reaimentação de estado em tempo contínuo K c por agum método disponíve na iteratura, por exempo, o Lema 1 de Oiveira et a. (2011), obtendo-se K c = [ ]. Usando o método de reprojeto digita apresentado em Chang et a. (2002), baseado em um critério de estabiidade quadrática e na minimização da norma eucidiana da diferença entre as trajetórias de estado discreto e contínuo, obtém-se K d(cplj) = [ ] Em seguida, projeta-se um controador peo método proposto em Braga et a. (2015), que utiiza condições LMIs baseadas em variáveis de decisão dependentes de parâmetros associadas com busca em um parâmetro escaar ξ ( 1,1). Para este exempo em particuar, a busca no parâmetro escaar não produziu aterações significativas e o ganho computado para ξ = 0 é K d(bmtop) = [ ]. O terceiro controador foi obtido peo procedimento sistemático fornecido por Lee et a. (2015, Remark 3). Nessa técnica, fixa-se o coeficiente de amortecimento da função de Lyapunov em α = 1, reaiza-se um procedimento de bisseção para encontrar o mínimo vaor de γ = γ que é um imitante superior para a norma H do sistema erro e, em seguida, fixa-se γ = γ e encontra-se por bisseção o mínimo vaor de α = α para o qua as LMIs propostas são factíveis. Seguindo os passos descritos anteriormente, obtémse K d(ljk) = [ ] para γ = e α = Finamente, adaptando o método proposto para sintetizar um controador discreto para um sistema precisamente conhecido, ou seja, a discretização das matrizes por meio de (7) e (9) é exata e, portanto δ Am f, δ A e δ B são nuos, obtém-se um custo garantido para a norma H 2 do sistema erro (12) de µ = e o ganho K d (T1) =[ ],

5 pea apicação do Teorema 1 com ξ = 0 (a variação do parâmetro escaar não modifica os custos garantidos para o caso precisamente conhecido). Para efeito de comparação, as trajetórias do estado x 1 do sistema contínuo em maha fechada e dos sistemas discretos usando os ganhos computados são apresentadas na Figura 1. Observa-se que embora seja mais direto minimizar a norma eucidiana da distância entre as trajetórias contínua e discreta, os mehores resutados foram obtidos com a otimização de critérios de desempenho associados ao sistema erro (12). Outra informação reevante é o fato de que diferentemente do método em Lee et a. (2015), as condições fornecidas neste texto são LMIs para um dado parâmetro ξ e o vaor do imitante superior µ para o custo garantido pode ser obtido resovendo-se um probema de otimização sem a necessidade de empregar agum agoritmo iterativo ou procedimento de bisseção. 2 1 seguida, para o reprojeto digita considerou-se um período de amostragem de T = 0.1 s e as condições LMIs do Teorema 1 foram empregadas com ξ = 0, diferentes graus g de dependência dos parâmetros e coeficientes matriciais resutantes de expansões da série de Tayor de grau = 5,6,7, resutando em diferentes ganhos discretos. Tais ganhos proveem estratégias de controe que resutam em sistemas híbridos em maha fechada, compostos peo sistema contínuo e o controador discreto usando um ZOH, cujos custos garantidos da norma H 2 associados ao sistema erro entre as trajetórias são apresentados na Tabea 1. Observe que tanto o aumento do grau g das variáveis de decisão quanto do grauda série de Tayor, associado a representações mais precisas do sistema poitópico contínuo em tempo discreto, permitem produzir resutados menos conservadores no que se refere aos custos garantidos µ. Adicionamente, a Figura 2 apresenta um gráfico de µ versus ξ empregando o Teorema 1 com g = 1 e = 5 para mostrar que escohas apropriadas do parâmetro escaar ξ podem produzir ganhos associados a menores custos garantidos H 2 para o sistema erro (12). 0 xc1(t) x c1 x d1(cplj) x d 1(BMTOP) x d1(ljk) x d1(t 1) t Tabea 1: Custos garantidos (µ) para a norma H 2 do sistema (12) obtidos com o Teorema 1 para ξ = 0, diferentes graus g de dependência dos parâmetros e grausde expansão de série de Tayor g µ Figura 1: Estado x 1 do sistema contínuo em maha fechada usando o ganho K c (inha contínua em azu), e do sistema discreto em maha fechada com os ganhos K d(cplj) (círcuo vermeho), K d(bmtop) (asterisco), K d(ljk) (ponto rosa) e K d(t 1) (tracejado) para o Exempo 1, considerando x 0 =[ ] e um período de amostragem T = 0.3 s. µ Exempo 2 Considere um sistema mecânico que consiste em duas massas (m 1 = 1 kg e m 2 = 15 kg) acopadas por uma moa com constante eástica k 2 [40, 60] N/m e um amortecedor (b = 1.8 Ns/m), a primeira massa também está conectada à parede por outra moa (k 1 = 100 N/m). O objetivo é controar a veocidade e aceeração das massas exercendo uma força sobre a massa m 1. Como a constante eástica k 2 pertence a um intervao conhecido, o sistema pode ser representado por um poitopo de dois vértices E i = (k 1 + k 2i )/m 1 k 2i /m 1 b/m 1 b/m 1 k 2i /m 2 k 2i /m 2 b/m 2 b/m 2 F i = [ 0 0 1/m 1 0 ], i=1,2. Primeiramente, computa-se o ganho em tempo contínuo K c = [ ] utiizando-se o Lema 1 de Oiveira et a. (2011). Em, Figura 2: Custos garantidos H 2 (µ) para o sistema erro (12) obtidos com o Teorema 1 para =5, g = 1 e diferentes vaores de ξ ( 1,1) para o Exempo 2 com período de amostragem T = 0.1 s. ξ 5 Concusões Foram propostas novas condições LMIs para reprojeto digita de sistemas ineares incertos baseadas em variáveis de decisão dependentes de parâmetros e busca em um parâmetro escaar. Diferentemente de

6 outros métodos da iteratura que recorrem à minimização da norma eucidiana da distância entre as trajetórias das variáveis de estado em maha fechada em tempo contínuo e discreto, a proposta deste trabaho foi minimizar a norma H 2 de um sistema aumentado representando o erro entre as trajetórias contínua e discreta. Os exempos numéricos mostraram que a técnica apresentada pode ser menos conservadora tanto no caso incerto quanto no caso precisamente conhecido. No caso de sistemas incertos, observou-se que uma representação poinomia mais precisa do sistema em tempo discreto, ou seja, maiores graus de expansão em série de Tayor, aiada à fexibiidade proporcionada peo aumento dos graus g de dependência dos parâmetros incertos e a escoha do parâmetro escaar, permitem obter resutados menos conservadores produzindo respostas transitórias mais próximas das trajetórias do sistema contínuo origina. Agradecimentos Às agências CAPES, CNPq e FAPESP (Proc. 2014/ ). Referências Boyd, S., E Ghaoui, L., Feron, E. e Baakrishnan, V. (1994). Linear Matrix Inequaities in System and Contro Theory, SIAM Studies in Appied Mathematics, Phiadephia, PA. Braga, M. F., Morais, C. F., Tognetti, E. S., Oiveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2013). Discretização e controe por reaimentação de estados de sistemas ineares incertos, XI SBAI, Fortaeza, CE, Brasi. Braga, M. F., Morais, C. F., Tognetti, E. S., Oiveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2014). Discretisation and contro of poytopic systems with uncertain samping rates and network-induced deays, Int. J. Contro 87(11): Braga, M. F., Morais, C. F., Tognetti, E. S., Oiveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2015). Condições LMIs para controe de sistemas poitópicos via reprojeto digita, XII SBAI, Nata, RN, pp Chang, W., Park, J.-B., Lee, H. J. e Joo, Y.-H. (2002). LMI approach to digita redesign of inear timeinvariant systems, IEE Proc. Contro Theory and App. 149(4): de Oiveira, M. C., Gerome, J. C. e Bernussou, J. (2002). Extended H 2 and H characterization and controer parametrizations for discrete-time systems, Int. J. Contro 75(9): Koo, G. B., Park, J.-B. e Joo, Y.-H. (2013). Inteigent digita redesign for noninear systems using a guaranteed cost contro method, Int. J. Contro Autom. Syst. 11(6): Koo, G. B., Park, J.-B. e Joo, Y.-H. (2016). Inteigent digita redesign of fuzzy controer for non-inear systems with packet osses, IET Contro Theory & App. 10(3): Koo, G. B., Park, J.-B., Joo, Y.-H. e Jeon, H. S. (2011). Digita controer design for fuzzy systems with packet oss: Inteigent digita redesign approach, Proc IEEE Int. Conf. Fuzzy Syst., Taipei, Taiwan, pp Lee, D. H., Joo, Y.-H. e Kim, S. K. (2015). H digita redesign for LTI systems, Int. J. Contro Autom. Syst. 13(3): Lee, H. J., Kim, H., Joo, Y.-H., Chang, W. e Park, J.-B. (2004). A new inteigent digita redesign for T S fuzzy systems: goba approach, IEEE Trans. Fuzzy Syst. 12(2): Lee, H. J., Park, J.-B. e Joo, Y.-H. (2006). Further refinement on LMI-based digita redesign: Detaoperator approach, IEEE Trans. Circuits & Syst. II: Exp. Briefs 53(6): Löfberg, J. (2004). YALMIP: A toobox for modeing and optimization in MATLAB, Proc IEEE Int. Symp. on Comput. Aided Contro Syst. Des., Taipei, Taiwan, pp Maccari Jr., L. A., Montagner, V. F. e Oiveira, R. C. L. F. (2013). Digita redesign LMI conditions for state feedback controers with an appication for power eectronics, 2013 Braziian Power Eectronics Conference (COBEP), Gramado, RS, Brazi, pp Oiveira, R. C. L. F., de Oiveira, M. C. e Peres, P. L. D. (2011). Robust state feedback LMI methods for continuous-time inear systems: Discussions, extensions and numerica comparisons, Proc IEEE Int. Symp. on Comput. Aided Contro Syst. Des., Denver, CO, USA, pp Shieh, L. S., Zhang, J. L. e Sunke, J. W. (1992). A new approach to the digita redesign of continuous-time controers, Contro Theory Adv. Techn. 8(1): Sturm, J. F. (1999). Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toobox for optimization over symmetric cones, Optim. Method Softw. 11(1 4): http: //sedumi.ie.ehigh.edu/. Sung, H. C., Kim, D. W., Park, J.-B. e Joo, Y.-H. (2010). Robust digita contro of fuzzy systems with parametric uncertainties: LMI-based digita redesign approach, Fuzzy Sets & Syst. 161(6): Tanaka, K. e Wang, H. (2001). Fuzzy Contro Systems Design and Anaysis: A Linear Matrix Inequaity Approach, John Wiey & Sons, New York, NY. Tsai, J. S. H., Shieh, L. S. e Zhang, J. L. (1993). An improvement on the digita redesign method based on the bock-puse function approximation, Circ. Syst. Signa Process. 12(1):