Correlações cruzadas em mercadorias brasileiras: um estudo econofísico

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1 VIII ERMAC 8 o Encontro Regonal de Matemátca Aplcada e Computaconal 0- de Novembro de 008 Unversdade Federal do Ro Grande do Norte Natal/RN Correlações cruzadas em mercadoras brasleras: um estudo econofísco Ernaldo Lete S. Júnor, Tatjana Stosc, Lucan Bogdan Bejan, Felpe Rcardo S. de Gusmão Programa de Pós-Graduação em Bometra e Estatístca Aplcada, UFRPE, , Recfe, PE junorbr3@msn.com, tastosc@gmal.com, lucanbb@gmal.com, felpe556@gmal.com. Resumo: Utlzamos o método Detrended Cross- Correlaton Analyss (DCCA) para avalar se as mercadoras brasleras em estudo apresentam correlações entre elas e também verfcar se há ou não memóra. Apresentamos os expoentes de Hurst para as combnações das séres e verfcamos que todas confrmavam um comportamento persstente, ou seja, são postvamente correlaconadas, apresentamos os expoentes das análses bem como os expoentes das mesmas. Palavras-chave: Correlação cruzada, DCCA, retornos, Covarânca, Mercadoras. Introdução Fatores externos e complexdade nos elementos nternos sobre as dnâmcas dos mercados fnanceros dfcultam seu entendmento e podem tornar tas mercados sngulares, ou seja, com característcas própras que mpedem a generalzação de déas. Contudo, algumas propredades estatístcas apresentam smlardades para mercados dferentes[,6], reforçando a possbldade de exstr resultados com característcas unversas. Essas propredades vêm sendo analsadas por métodos desenvolvdos em sstemas físcos[5,6] e sto tem atraído o nteresse de profssonas dessa área[6]. Mandelbrot, constatou que a dstrbução dos retornos vara com a escolha do t, motvado pela establdade da forma funconal para dferentes escalas de tempo, propôs que a dstrbução dos retornos segue uma dstrbução estável de Lévy[3]. Há dversas stuações onde snas dferentes exbem correlações cruzadas. Podobn[7], propôs um método para calcular a correlação cruzada de séres não estaconáras o Detrended Cross-Correlaton Analyss (DCCA). Utlzaremos esse método para calcular as correlações cruzadas das mercadoras brasleras, verfcaremos se as correlações presentes nas séres persstem e apresentaremos a tabela dos expoentes de Hurst de todas as combnações. Metodologa Para este trabalho utlzaremos séres temporas sobre mercadoras dsponíves no síto do CEPEA[] as nformações sobre as séres utlzadas estão na Tabela. Analsaremos o retorno padronzado absoluto obtdo por: g ( t) ln X ( t+ t) ln X ( t) = σ em que X (t) é a cotação da mercadora no t =, ou seja, a cotação momento t e utlzaremos serão dáras. Para calcular a correlação cruzada de longo alcance na presença de não estaconardade utlzaremos o DCCA. Consdere duas séres temporas com correlação y' de tamanho cruzada de longo alcance { } gual a R y = y e { } N. Calculamos seus snas ntegrados e R' y', em que,..., N = =, N n janelas justapostas dvdmos as duas séres em contendo n + valores. Para ambas as séres cada janela começando no valor e termnando no valor ~ e + n. Defnmos como tendênca local, ~ ' R, R,, para a janela ncada no valor, sendo a sére ntegrada para uma reta ajustada por mínmos quadrados. Daí, defnmos como passeo sem tendênca a dferença entre o passeo orgnal e a tendênca local. Em seguda calculamos a covarânca do resíduo de cada janela: + n ~ ~ f DCCA ( n) ( R R, )( R' R', ) n = Por fm, calculamos a covarânca sem tendênca calculando a méda das covarâncas dos resíduos por:

2 F DCCA N ( n) N n = n f DCCA ( n, ) repetmos o processo para dversos tamanhos de janela e plotamos Logn versus LogF DCCA( n) e ajustamos uma reta pelo método de mínmos quadrados e a nclnação do gráfco será o expoente de Hurst para a correlação cruzada das séres. Se analsarmos apenas um camnho aleatóro R = ', a covarânca sem tendênca ( ) R F DCCA ( n) se reduz a varânca sem tendênca F ( n) usada no método [7]. O expoente calculado pelo método () tem relação com a função de autocorrelação. Essa relação se dá pela expressão: γ = α sendo γ o expoente de decamento da nossa autocorrelação. Mandelbrot[4] ntroduzu o conceto de movmento Brownano fraconáro (passeo aleatóro correlaconado) em que os ncrementos fetos no passado são correlaconados com os ncrementos fetos no futuro, sto é, o sstema possu memóra. Se > α teremos o passado e o futuro são postvamente correlaconados (passeo aleatóro em algum nstante t0 tenderá na mesma dreção em t > t 0 ). Incrementos (decrementos) fetos no passado mplcam em ncrementos (decrementos) no futuro. Para α > teremos < γ. Esse tpo de comportamento é chamado de persstênca[4]. Se < α os ncrementos (decrementos) fetos no passado mplcam em decrementos (ncrementos) fetos no futuro. Esse tpo de comportamento é chamado de ant-persstênca[4]. Para α < teremos > = Caso γ. α então o processo é não correlaconado e os retornos seguem um passeo aleatóro clássco, e tendo α = teremos γ =. Na físca, dzemos que duas varáves seguem uma le de potênca se segurem à função: y= ax em que teremos a como nossa constante de proporconaldade e como nosso expoente constante. Em um gráfco log-log teremos a segunte anamorfose: ( y) = log( a) log( x) log + em que tal expressão é obtda pelo uso das propredades logarítmcas e reescrevendo a equação anteror teremos: Y = A+ X tendo Y = log( y), A= log( a) e X log( x) =. em que será o expoente de Hurst da sére analsada. Na lteratura econofísca, temos que a nversa da função de probabldade acumulada segue uma le de potênca defnda por: F( g ( t)) ~ g ( t) Apresentaremos o expoente da le de potênca da nversa da função de probabldade acumulada das mercadoras analsadas. Utlzaremos o software R para escrevermos a rotna que calculará a metodologa aqu proposta para calcularmos o expoente da nversa da acumulada. Para efeto de cálculo fxaremos que a regão a ser ajustada será o ntervalo após 75% e antes de 90% dos dados de cada mercadora. Resultados e dscussões O método se mostra muto váldo para verfcar se há relação entre séres não estaconára. Uma vez quantfcada tal relação podemos avalar se a varação de uma das séres compromete sgnfcatvamente a mportânca do estudo das demas. Apresentamos nas Tabelas e 3 as covarâncas das combnações das séres estudadas. Notamos que todas os expoentes encontrados pelo DCCA conservam o comportamento persstente, ou seja, as correlações cruzadas entre essas mercadoras têm memóra. É valda a déa de que as complexdades nos elementos nternos dfcultam o entendmento de tas séres, pos, tendo tal comportamento mplca que a mudança do preço de uma mercadora afeta o preço das demas, a saber, de forma postvamente correlaconada. A dagonal prncpal de nossa tabela apresenta os expoentes da análse da correlação cruzada das séres com elas mesmas, ou seja, a dagonal prncpal apresenta o expoente das mercadoras brasleras. α

3 Os expoentes de Hurst para as mercadoras álcool andro combustível e álcool hdratado combustível são guas e logcamente a covarânca entre eles também é gual. Na tabela 4 apresentamos os expoentes de Hurst de cada uma das séres trabalhadas. E através da relação do expoente de Hurst e o expoente de decamento da função de autocorrelação, apresentamos os expoentes de decamento. Note que nenhum expoente de Hurst apresentou valor gual a 0,5; sto é, todas as séres possuem memóra. Assm obtemos que nenhum decamento teve expoente gual a, o que garante que nenhuma de nossas séres tem decamento exponencal na sua função de autocorrelação, ou seja, seguem uma le de potênca. Na tabela 5 apresentamos o expoente da le de potênca da nversa da função de probabldade acumulada das mercadoras analsadas. Notamos que está de acordo com a lteratura, que resultados de mercados de outros países apresentam expoente próxmos de 3. Isso valda anda mas o método e apresenta a característca de unversaldade que ndepende do mercado em estudo. Obtemos para a cauda postva das mercadoras dáras: α + e para a cauda negatva: α =,78±,06 =,±,3 os valores não se apresentaram muto próxmos de 3, por motvo de termos utlzado o ajuste para uma mesma regão para todas as mercadoras. Atualmente na lteratura utlzamos o estmador de Hll, utlzaremos este método para melhor ajustarmos nossos resultados em nosso trabalho futuro. Os dados semanas apresentaram um comportamento dferencado, ndcando que as dnâmcas semanas modfcam um pouco os resultados fnas. Os métodos econofíscos se mostram uma alternatva válda para estudo de mercados fnanceros e servem como mas uma avalação para rscos de nvestmento e por ventura contrbu na seleção de varáves para serem ntroduzdas em algum modelo que necesste de varáves explcatvas para a flutuação de mercado, sto é, ao analsarmos dversos mercados, poderemos aferr quas deles têm maor correlação cruzada e por fm seleconarmos os de maor correlação cruzada para testarmos no modelo. Tabela. Mercadoras analsadas. Tpo Mercadora Período Nº Dados Dáro Açúcar 07/97-04/ Dáro Algodão 07/97-04/ Dáro Bo 07/97-04/ Dáro Café 07/97-04/ Dáro Soja 07/97-04/ Semanal Álcool A C 07/00-04/ Semanal Álcool H C 07/00-04/ Semanal Álcool H O 07/00-04/ Sendo Álcool A C = Álcool Andro Combustível, Álcool HC = Álcool Hdratado Combustível e Álcool H O = Álcool Hdratado Outros Fns. Tabela. Expoente de Hurst para as correlações cruzadas dos dados semanas. Álcool A C Álcool H C Álcool H O Álcool A C 0,805 0,805 0,7670 Álcool H C 0,805 0,805 0,7670 Álcool H O 0,7670 0,7670 0,6600 Tabela 3. Expoente de Hurst cruzadas dos dados dáros. Açúcar Algodão 0,8533 para as correlações Açúcar Algodão Bo Café Soja 0,84 0,8533 0,8350 0,8054 0,8787 Bo 0,8350 0,8648 Café 0,8054 0,8008 0,803 0,854 0,8648 0,8008 0,8986 0,866 0,803 0,8697 Soja 0,8787 0,8986 0,8697 0,85 0,744 0,85 0,835 3

4 Dstrbução acumulada Tabela 4. Expoentes de Hurst e de decamento das mercadoras analsadas. Mercadoras Expoente de Hurst () Expoente de decamento Açúcar 0,84 0,378 Algodão 0,854 0,369 Bo 0,866 0,3468 Café 0,744 0,55 Soja 0,835 0,398 Álcool A C 0,805 0,379 Álcool H C 0,805 0,379 Álcool H O 0,805 0,379 Logartmo das probabldades Logartmo dos retornos padronzados Fgura. Ajuste para o caso da mercadora algodão, para a cauda negatva. Tabela 5. Expoentes da nversa da função de probabldade acumulada das mercadoras analsadas. Mercadoras Expoente le de potênca Cauda postva Expoente le de potênca Cauda negatva Açúcar,05,9 Algodão,4,3 Bo 3,34,85 Café,96,39 Soja 3,6,4 Álcool Andro combustível Álcool Hdratado combustível Álcool Hdratado outros fns,73,50,73,50 0,8,37 Logartmo das probabldades Dstrbução acumulada Logartmo dos retornos padronzados Fgura. Ajuste para o caso da mercadora algodão, para a cauda postva. 4

5 Cross-Correlaton Log F(n) Log n Fgura 3. Correlação cruzada entre as mercadoras algodão e bo. Referêncas [] CEPEA DATA, Centro de Estudos Avançados em Economa Aplcada, Acessado em 06/04/08. [] P. Goprshnan et al., Eur. Phys. J. B 3, 39 (998). [3] P. Lévy, théore de l Addton des Varables Aléatores (Gauther-Vllars, Pars, 937). [4] B. B. Mandelbrot, J. Busness 36, 94 (963). [5] R. N. Mantegna, Physca A 79, 3 (99). [6] R. N. Mantegna, and Stanley, H. E., An Introduton to Econophyscs: Correlatons and Complexty n Fnance (Cambrdge Unversty Press, Cambrdge, 999). [7] B. Podobn, and Stanley, H. E., Phys. Rev. Let. 8, 00 (008). 5