Caracterização Espectral de Sinais Caóticos Gerados pelo Mapa de Bernoulli com 2 e 3 Segmentos

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1 Caracterização Epectral de Sinai Caótico Gerado pelo Mapa de Bernoulli com e 3 Segmento Raael Alve da Cota, Murilo Bellezoni Loiola e Marcio Eiencrat Reumo Na última década, inúmera pequia envolvendo aplicaçõe prática de inai caótico em Telecomunicaçõe tem ido realizada. Embora a análie epectral eja de relevância nea área, pouco etudo analítico e preocupam com a caracterização epectral de inai caótico. Nete trabalho, etende-e o etudo de trabalho anteriore, obtendo-e reultado analítico para equência de autocorrelação, denidade epectral de potência e banda eencial de inai caótico gerado por uma amília de mapa lineare por parte com número arbitrário de egmento. Ee reultado ão relevante para aplicaçõe prática de inai caótico em itema de modulação digital. Palavra-Chave geradore caótico, comunicação uando cao, análie epectral, banda eencial. Abtract In recent decade, reearche envolving with practical application o chaotic ignal in Telecommunication have been carried out. Although the pectral analyi i o relevance in thi ield, ew analytical tudie concerning the pectral characterization o chaotic ignal were publihed. In thi wor, we extend previou wor, by obtaining analytical reult or the autocorrelation equence, the power pectral denity and the eential bandwidth o chaotic ignal generated by a amily o piecewie linear map with an arbitrary number o egment. Thee inding are relevant or practical application o chaotic ignal in digital modulation ytem. Keyword Chao generator, chaotic communication, pectral analyi, eential bandwidth. I. INTRODUÇÃO Um inal caótico é limitado em amplitude, aperiódico, determinítico e apreenta dependência enível à condiçõe iniciai ]. De orma impliicada, ea última condição implica que inai gerado por condiçõe iniciai arbitrariamente próxima eparam-e exponencialmente aumindo valore batante ditinto apó alguma iteraçõe ]. Atualmente exite um grande número de área deenvolvendo pequia envolvendo inai caótico. Divero e- xemplo podem er encontrado em ]. Na Engenharia de Telecomunicaçõe, o artigo 6], obre incronização de itema caótico e o artigo 8] obre comunicação com cao, ão coniderado o marco inicial da pequia nea área. Dede a publicação dee trabalho, vêm urgindo numeroa poibilidade de aplicaçõe em modulaçõe analógica e digitai, codiicação e criptograia, entre outra área ], 4], 7]. Divero artigo e livro caracterizam inai caótico como tendo banda larga e equência de autocorrelação (SAC) impuliva ], 4], 9]. Entretanto, ea caracterização não é uiciente quando e pena em aplicaçõe prática. Trabalho Raael Alve da Cota e Murilo Bellezoni Loiola Centro de Engenharia, Modelagem e Ciência Sociai Aplicada, Univeridade Federal do ABC, Santo André-SP, ail, ael98@gmail.com, murilo.loiola@uabc.edu.br. Marcio Eiencrat, Ecola Politécnica da Univeridade de São Paulo, São Paulo-SP, ail. marcio@lc.poli.up.br. recente já motraram também que ea caracterização pode não er correta em algun cao. Veja, por exemplo, 3], 5], 6]. No projeto de itema de comunicação é undamental conhecer a Denidade Epectral de Potência (DEP) e a banda eencial do inai envolvido. No último ano houve algum progreo na determinação da DEP de inai caótico gerado por alguma amília de mapa 6], 7], 9], ], porém, reultado mai gerai ainda preciam er encontrado. Nete trabalho, buca-e generalizar ee reultado, obtendo-e órmula echada para a DEP de mapa unidimenionai lineare por parte com r inclinaçõe ditinta. Como orma de veriicar o reultado obtido, veriica-e computacionalmente o cao particulare r = e r = 3. O artigo é etruturado da eguinte orma: na Seção deinee o mapa etudado e na Seção 3 deduzem-e ua SAC, ua DEP e ua banda eencial. Na Seção 4, particularizam-e o reultado para o cao r = e na Seção 5 o cao r = 3. Para ee cao particulare, ão motrada imulaçõe que validam o reultado teórico. Por im, na Seção 6 tecem-e a concluõe. II. O MAPA DE BERNOULLI COM r SEGMENTOS O mapa de Bernoulli ( ) com r inclinaçõe, em que r, deinido no intervalo U =,], é dado por em que S(n+) = (S(n)), () () = (α j +α j ) α j α j, α j < α j, () endo α =, α r = e α j (,), j =,,r. Na Figura (a) é motrado um exemplo do mapa de Bernoulli com r = 7 inclinaçõe com α =.5, α =.3, α 3 =., α 4 =., α 5 =.7 e α 6 =.8. Na Figura (b) ão motrado doi trecho de inai gerado por ee mapa com condiçõe iniciai muito próxima, S() =.3 e S() =.3, deixando-e explícita a dependência enível à condiçõe iniciai. A denidade invariante p () do mapa ( ), ito é, a orma com que o ponto do inai gerado por ee mapa ditribuem-e no intervalo U = (, ), podem er obtida pela iteração do operador de Frobeniu-Perron P( ) ] aplicado a uma denidade inicial qualquer p(). Sendo,,, r, r a contra-imagen de um ponto, como ilutrado na Figura, obtém-e

2 () (a) α α α 3 α 4 α 5 α 6 (b) S(n) n Fig.. (a) Mapa de Bernoulli com r = 7 inclinaçõe (b) trecho de órbita do mapa de Bernoulli com r = 7 inclinaçõe com S() =.3 (linha contínua) e S() =.3 (linha tracejada). III. SEQUÊNCIA DE AUTOCORRELAÇÃO E DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA Sinai caótico gerado por mapa unidimenionai como ( ) podem er tratado como unçõe amotra de um proceo etocático ergódico ]. Para um conjunto ixo de parâmetro α, α,, α r, o inal caótico gerado pelo mapa a partir de uma condição inicials() pode er interpretado como uma unção amotra de um proceo etocático deinido por ( ). A dedução da SAC para ( ), inpirada na reerência 8], é apreentada a eguir. A SAC R() do inal S(n) para um atrao é deinida por R() = ES(n)S(n+)]. (7) A eperança matemática E ] é tomada obre toda a condiçõe iniciai. Nete cálculo, conidera-e S(n) = para n <. Para acilitar a notação deine-e x = S(n) e y = S(n+) = B r. (8) () Aim, a denidade conjunta p(x,y) é dada por p(x,y) = p δ ( y B r ), (9) α = α α r r α r α r = r Fig.. A contra-imagem do intervalo, ] da amília de mapa de Bernoulli com r inclinaçõe é dada por, ] α, ] α r, r ] α r, r].. P(p()) = d d (,]) p(u)du = (α +)p()+(α α)p()++( αr )p(r) ]. (3) Note que para p() =, P(p()) = (α +) + +( α r ) ] = ]. Aim, a denidade invariante para o mapa ( ) é uniorme e dada por p () =, para, (4) independente do valore ecolhido do parâmetro. O valor eperado da órbita gerada pelo mapa ( ) é = E] = e ua potência média P m = E ] = p ()d = p ()d = d = (5) d = 3. (6) Sabendo que a denidade invariante de inai gerado pela amília de mapa de Bernoulli com r inclinaçõe é uniorme e coniderando-e que ete mapa ão lineare por parte, o cálculo da SAC e da DEP dee inai ão acilitada, como é dicutido na eçõe ubequente. em que p ( ) é a denidade invariante do mapa ( ) e δ( ) repreenta a unção delta de Dirac. Deta orma, como U =,], utilizando-e (7), tem-e para o mapa ( ) R() = Exy] = = xyp(x, y)dxdy x B r dx. () Dea orma, para obter R() é neceário encontrar uma órmula echada para B r. A imagem de cada um do r egmento que ormam o mapa ( ) é igual ao domínio U do mapa. Aim, o gráico B ( ) conite der egmento. Na Figura 3(a), tem-e o mapa. Na Figura 3(b) é apreentado o gráico de B r e na Figura 3(c) é motrado um trecho do gráico de B r para um genérico. Repreenta-e a m-éima olução da equação B r = por a (m), em que m r. (a) α r α a () a () a (r ) a (r) (b) (c) a () a () a (r ) a (r) a (r r+)a (r r+)a (r ) a (r ) a () a (m ) a (m ) a (m) x a (m+) a (m+) a (r ) Fig. 3. (a) Mapa Bernoulli com r inclinaçõe ; (b) B r ; (c) B r

3 O egmento que paa por (a (m ), ) e (a (m),) é dado por y = x (a (m)+a (m )). () a (m) a (m ) Subtituindo-e () em () obtém-e R() = r m= a (m) a (m ) Reolvendo a integral () tem-e R() = ( x (a (m)+a (m ))x r m= a (m) a (m ) ) ] dx. () (a (m) a (m )) ]. (3) Procurando-e obter uma órmula mai imple para R(), buca-e uma orma recuriva para R( + ) em unção de R(). Ao iterar uma vez o mapa, paa-e de B r para + B r, cuja generalização pode er eita a partir da Figura 4(a) e 4(b), em que w m,, w m,, e w m,r ão a raíze da equaçõe B r = α, B r = α, e B r = α r, repectivamente, no intervalo a (m ),a (m)]. (a) (b) + α r α r α α A a (m ) B w m, w m, w w m,r m,r x A B C D C D a (m) em que ψ r = r ( ) α j α j α j+. (7) j= Comparando-e (3) e (6), oberva-e que R( +) = ψ r R(). (8) Dea orma, reolvendo a equação a dierença (8) com a condição inicial dada em (6) R() = P m = 3 e uando a imetria de R(), obtém-e R() = 3 ψ r. (9) A DEP P(ω) é obtida calculando-e a Tranormada de Fourier de Tempo Dicreto de R(), coniderando-e a variável temporal 5]. Aim, a DEP de (9), é dada por P(ω) = ψ r 3(+ψ r ψ r co(ω)). () A partir da DEP (), é poível obter a banda eencial B do inal, que é deinida como o comprimento do intervalo de requência em que q = 95% da potência do inal etá concentrada 3]. Para calcular a banda eencial B utiliza-e o memo procedimento utilizado em ], obtendo-e ( qπ ) ] B = arctan tan ψ r ψ r +. () A im de validar numericamente o reultado analítico obtido, na próxima dua eçõe ão analiada a SAC, a DEP e a banda eencial para o cao particulare em que r = e r = 3. Para ee cao já oram obtido reultado imilare na literatura 3], 6]. a (rm r) + a + (rm r+)a + (rm r+) a (rm ) + a (rm ) + a (rm) + x Fig. 4. (a) Trecho do mapa genérico B r e (b) trecho dee mapa apó uma iteração + B r. Para determinar w m,, w m,, e w m,r ubtitui-e y por α, α, e α r e x por w m,, w m,, e w m,r em (). Deta orma, tem-e w m,j = (a (m) a (m ))α j +(a (m)+a (m )). (4) Relacionando-e o gráico da Figura 4, oberva-e que a + (rm r) = a (m ), a + (rm r + ) = w m,, a + (rm r +) = w m,, e a + (rm) = a (m). Calculando-e R( + ) a partir de (3), obtém-e R( +) = r m= (a+ (m) a + (m )) ]. (5) Pela relaçõe inerida da Figura 4 obtêm-e R( +) = ψ r m= (a (m) a (m )) ], (6) IV. VALIDAÇÃO NUMÉRICA: CASO r = Para o cao r =, ( ) reduz-e ao mapa etudado em 3]. Subtituindo r = na expreõe (7) e (9), tem-e R() = 3 ψ, () com ψ = (+α ). Ete reultado é equivalente a (6) de 3]. Na Figura 5 ão ilutrado graico da SAC para algun valore de α. Nota-e que o reultado analítico coincidem com o obtido numericamente. Na Figura 6 ão motrada curva da DEP para algun valore de α e na Figura 7 é apreentado, de orma normalizada, o comportamento geral da DEP para todo o valore de α. Nota-e na Figura 6 e 7 que, no cao do mapa B ( ) a DEP para todo o valore de α é paa-baixa, dierente do que ocorre com a DEP para o mapa tenda inclinada, por exemplo ]. Nota-e também que para nenhum α obtéme um epectro plano. Aim, pelo gráico apreentado oberva-e que o parâmetro da amília controla a orma como a potência etá ditribuída na requência. A Figura 8 motra gráico da banda eencial B em unção do módulo de α. Oberva-e inai caótico paa-baixa com banda etreita para α.

4 R().5. α =.9 α =.8 α =.7 α =.5 α =.3 α = B /π α Fig. 5. SAC para inai do mapa B ( ) para algun valore de α. Em linha tracejada etão a curva analítica e em linha cheia, a curva obtida via imulação numérica. P(ω) α =.9 α =.8 α =.7 α =.5 α =.3 α = Fig. 8. Banda eencial em unção de α. com ψ 3 = ( α +α α α +α α + ). (4) Coniderando-e α = α, obtém-e um mapa emelhante ao etudado em 6]. Nee cao, tem-e ψ 3 = +α+) (3α. Utilizando (3) e (4) em () e () obtêm-e, repectivamente, a DEP e a banda eencial para ee mapa. Na Figura 9 é ilutrada a SAC para algun valore de α. Nota-e que a SAC para o mapa B3 ( ), quando α, decai de orma lenta e quando α 3, decai de orma mai rápida. Nota-e, também, que o reultado numérico na Figura 9 validam e expreão (3) ω/π Fig. 6. DEP para inai do mapa B ( ) para algun valore de α. Em linha tracejada etão a curva analítica e em linha cheia a curva obtida via imulação numérica. R() α =.9 α =.85 α =.75 α =.6 α =.33 α = Fig. 9. SAC para inai do mapa B3 ( ) para algun valore de α no intervalo (, ). Em linha tracejada etão a curva analítica e em linha cheia, a curva obtida via imulação numérica. Fig. 7. Comportamento geral da DEP normalizada para o valore admiívei de α. Para r = 3, V. VALIDAÇÃO NUMÉRICA: CASO r = 3 R() = 3 ψ 3, (3) Na Figura ão motrado gráico da DEP do mapa B3 ( ) para algun valore de α e na Figura é apreentado o comportamento geral da DEP normalizada para todo o valore de α (,). Nota-e que o epectro da DEP, para qualquer valor de α, aume a orma de paa-baixa. Dea orma, quanto mai próximo o parâmetro da amília etiver de um, mai etreita é a banda do inal reultante e, quanto mai próximo de α = 3, mai uniorme é a ditribuição epectral da potência. Para ee valor de α a trê inclinaçõe pouem memo coeiciente angular. Oberva-e na Figura a equivalência entre o reultado analítico e o numérico. Na Figura é motrada a banda eencial em unção de α no intervalo (,). Nota-e que com α = 3 a potência etá com máxima ditribuição epectral na banda B. Já para α, a órbita ão unçõe amotra de um proceo de banda etreita.

5 P(ω) α =.9 α =.85 α =.75 α =.6 α =.33 α = AGRADECIMENTOS ME gotaria de agradecer ao uporte inanceiro do CNPq, proceo 4799/3-9 e 3575/3-7 e da FAPESP, proceo 4/ MBL gotaria de agradecer ao uporte inanceiro da FAPESP proceo 3/ ω / π Fig.. DEP para inai do mapa B3 ( ) para algun valore de α. Em linha tracejada etão a curva analítica e em linha cheia a curva obtida via imulação numérica. Fig.. Comportamento geral da DEP normalizada para o valore admiívei de α. B/π α Fig.. Banda eencial em unção de α. VI. CONCLUSÕES Para aplicaçõe prática na área de Telecomunicaçõe é undamental conhecer e controlar a caracterítica epectrai do inai envolvido. Nete artigo, deduzem-e a SAC, a DEP e a banda eencial para a órbita do mapa de Bernoulli com r inclinaçõe. Em particular, oram analiado, teórica e numericamente, o cao com r = e r = 3 inclinaçõe. Ee reultado podem er útei no projeto e implementação de itema de comunicação baeado em cao que venham a utilizar ee mapa. No momento, o autore etão trabalhando nee apecto. REFERÊNCIAS ] K. Alligood, T. Sauer, and J. Yore. Chao: An Introduction to Dynamical Sytem. Textboo in Mathematical Science. Springer, 997. ] M. Baptita. Cryptography with chao. Phyic Letter A, 4:5 54, ] R. A. da Cota, M. B. Loiola, and M. Eiencrat. Spectral propertie o chaotic ignal generated by the bernoulli map. Journal o Engineering Science and Technology Review, 8(): 6, 5. 4] M. Eiencrat, R. R. F. Attux, and R. Suyama, editor. Chaotic Signal in Digital Communication. CRC Pre, Inc., 3. 5] M. Eiencrat and D. M. Kato. Spectral propertie o chaotic ignal with application in communication. Nonlinear Analyi: Theory, Method & Application, 7():e59 e599, 9. 6] K. Felteh, D. Fournier-Prunaret, and S. Belghith. Analytical expreion or power pectral denity iued rom one-dimenional continuou piecewie linear map with three lope. Signal Proceing, 94():49 57, 4. 7] K. Felteh, Z. B. Jemaa, D. Fournier-Prunaret, and S. Belghith. Border colliion biurcation and power pectral denity o chaotic ignal generated by one-dimenional dicontinuou piecewie linear map. Communication in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 9(8):77 784, 4. 8] C. Grebogi and E. Ott. Communicating with chao. Phy. Rev. Lett, 7():33 334, ] D. M. Kato and M. Eiencrat. Caracterização epectral de inai caótico. In Anai do XXV Simpóio aileiro de Telecomunicaçõe, volume. Sociedade aileira de Telecomunicaçõe, 7. ] D. M. Kato and M. Eiencrat. Caracterização epectral de inai caótico: reultado analítico. In Anai do XXVI Simpóio aileiro de Telecomunicaçõe, Rio de Janeiro, 8. Sociedade aileira de Telecomunicaçõe. ] M. P. Kennedy, G. Setti, and R. Rovatti, editor. Chaotic Electronic in Telecommunication. CRC Pre, Inc., Boca Raton, FL, USA,. ] A. Laota and M. MacKey. Probabilitic propertie o determinitic ytem. Cambridge Univerity Pre, ] B. P. Lathi. Modern Digital and Analog Communication Sytem. Oxord Univerity Pre, Inc., New Yor, NY, USA, 4.ed edition, 9. 4] F. C. M. Lau and C. K. Te. Chao-baed digital communication ytem. Springer, Berlin, 3. 5] A. V. Oppenheim and R. W. Schaer. Dicrete-Time Signal Proceing. Prentice Hall Pre, Upper Saddle River, NJ, USA, 3rd edition, 9. 6] L. M. Pecora and T. L. Carroll. Synchronization in chaotic ytem. Phy. Rev. Lett., 64(8):8 84, Feb ] H.-P. Ren, M. S. Baptita, and C. Grebogi. Wirele communication with chao. Phy. Rev. Lett., :84, Apr 3. 8] H. Saai and H. Toumaru. Autocorrelation o a certain chao. Acoutic, Speech and Signal Proceing, IEEE Tranaction on, 8(5):588 59, Oct ] P. Stavroulai, editor. Chao Application in Telecommunication. CRC Pre, Inc., Boca Raton, FL, USA, 5. ] S. H. Strogatz. Nonlinear Dynamic and Chao: with Application to Phyic, Biology, Chemitry and Engineering. Pereu Boo Group, January.