Capítulo II Codificação de Fonte

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1 Capíulo II Codificação de Fone A Codificação de Fone é o proceo ue via reduzir o máximo poível a informação redundane da Seüência de Informação em ua aída, eüência ea obida a parir do proceameno do inal de enrada m () (ver Figura.). O Codificador de Fone envolve baicamene uaro ub-proceo:. Amoragem: Proceo aravé do ual o inal conínuo no empo m () é ranformado em um inal dicreo no empo. Ou eja, valore (amora) do inal m () ão eüencialmene omado em inane diino, igualmene epaçado no empo de um inervalo T, e ão levado à aída do proceo de amoragem. Epecificamene, o inal m () é ranformado no inal m ( nt ), onde T é denominado de inervalo de amoragem e n =,,! é o índice do inane de amoragem. Como para um dado iema digial o inervalo de amoragem T é definido e conane, para efeio de m er referido como m () n. Nea implificação de repreenação, é comum o inal ( ) nt repreenação n é inerpreado como o inane = nt no ual o valor do inal m () é levado à aída do proceo de amoragem.. Quanização: Proceo aravé do ual o inal m () n conínuo em ampliude é ranformado em um inal m () n dicreo em ampliude (valor). Ou eja, dado m () n no inane n, m () n aumirá um do poívei valore, denominado nívei de uanização, do conjuno Θ = { m, m,!, m }, endo < m < < m m > m() n e m < m() n para odo e ualuer n. Epecificamene, () n Q{ m() n } m!, com m =, onde Q {} é o operador ue repreena a uanização do valor do argumeno e é dado Q = arg min m, m Θ, k =,,!,. O operador Q {} pode er por {} ( ) k m k k inerpreado da eguine maneira: Dado um valor x a er uanizado, a operação definida por Q{} x = arg min x mk, m Θ, k =,,!,, ea oda a poívei diância { m m,, m } m k mk k x e aribui a Q {} x auele elemeno m do conjuno Θ =,! ue reulou na menor diância x m. Quano menor o número de nívei de uanização uilizado para repreenar m () n, meno fiel erá a repreenação e maior erá o ruído de uanização, conforme veremo na Seção.... Codificação: Proceo aravé do ual cada um do poívei valore de m () n Θ, Θ = { m, m,!, m }, é mapeado em uma eüência (ou bloco) de N = log dígio binário (ou bi). Ou eja, cada um do elemeno do conjuno Θ = { m, m,!, m } é aociado à um número repreenado por N bi. O ipo de mapeameno a er uilizado é dependene do código adoado. 4. Compreão: Proceo no ual cada uma da poívei eüência de N bi, repreenaiva de cada um do poívei valore de () n Θ, êm o eu número m

2 de bi N reduzido para um valor menor como decorrência da eliminação da informação redundane em () n Θ, aravé de um Algorimo de Compreão m (Huffman, Lempel-Ziv, ec...). Em muio iema práico o proceo de Compreão ocorre durane o proceo de Codificação.. Amoragem O princípio báico ue rege o proceo de amoragem pode er expreo aravé do denominado Teorema da Amoragem, cujo enunciado é: m um inal limiado em banda al ue f é a freüência mai ala de eu epecro, freüência a parir da ual a componene epecrai de m () podem er Seja () coniderada de magniude deprezível. Sejam o valore de m () deerminado a inervalo conane de T egundo al ue T f, io é, m () é periodicamene amorado a cada T f egundo. Enão a amora m ( nt ) de m (), n =,,!, univocamene deerminam m (). Em decorrência dee fao, o inal m () pode er reconruído a parir de m ( nt ) aravé de um filro adeuado. Noe ue o Teorema da Amoragem exige ue a razão (freüência) de amoragem f = T f eja rápida o uficiene de modo ue pelo meno dua amora ejam omada durane o período f da componene epecral de m () de maior freüência. O proceo de amoragem reconrução pode er melhor compreendido aravé da Figura.. Figura.: Proceo de amoragem. (a) Sinal m () a er amorado. (b) Função de amoragem S (). (c) Operação de amoragem S () m(). (d) Sinal m () amorado.

3 O inal em banda-bae m () a er amorado é morado na Figura.a. Um rem de pulo periódico S (), de largura infinieimal d, ampliude uniária e período T (Figura.b) é aplicado a um muliplicador (Figura.c) conjunamene com o inal m (). A aída S m do muliplicador emula a operação de uma chave ue fecha durane d egundo () () periodicamene a cada T egundo. Uma amora de m () é levada à aída do muliplicador oda vez ue a chave fecha, conforme mora a Figura.d. Io é, oda vez ue ocorre um pulo em S () iuação ue repreena a chave fechada o valor de m() nauele inane é aplicado à aída do muliplicador. Para ualuer ouro inane de empo a aída do muliplicador apreena o valor zero. O inal () T e, uando expandido em Série de Fourier, S é periódico de período em a repreenação morada na Euação.. S Para T f d d S() = + co π + co 4 π +! T T T T = a aída () m() d T d T S do muliplicador é dada por () m() = m() + [ m() co ( π ( f ) ) + m( ) co( π ( 4 f ) ) +!] (.) (.) O primeiro ermo da érie em (.) é o próprio inal m () a meno de um faor d. O epecro do produo de um inal ualuer x () por um T muliplicaivo conane inal enoidal de freüência ω é dado por c I{ x() ( ω c + θ )} = [ exp( jθ ) X ( j( ω ω c ) + exp( jθ ) X ( j( ω + ω c )] onde X ( jω ) = I{ x( ) } é o epecro de x () e o operador {} x por co ( ω +θ ) co (.) I repreena o operador Tranformada de Fourier [Carlon]. Io é, ao muliplicarmo () c, o epecro de x () ofre uma ranlação de freüência e paa a er como freüência cenral a freüência ω c. Porano, upondo ue o epecro ( jω ) = I{ m( ) } de m () eja limiado em banda al ue f é a ua freüência mai ala (Figura.a), enão o ermo m() co ( π ( kf ) ), k =,4,!, em (.) dão origem ao epecro morado na Figura.b. Noe ue o ermo ( d T ) m( ) em (.) dá origem à porção do epecro ue e eende de a f na Figura.b. Embora o epecro de magniude de um inal real enha imeria par, é morado aui apena o eixo poiivo do domínio freüência por ueõe de implicidade e concião.

4 Figura.: Epecro reulane do proceo de amoragem. (a) Epecro inal m (). (b) Epecro inal amorado. Suponhamo ue o inal amorado () m() S pae aravé de um filro paa-baixa com freüência de core f cuja função de ranferência aproxime-e da função de H jω de um filro paa-baixa ideal, conforme morado na Figura.b. ranferência ( ) LP Noe ue o filro elimina oda a réplica do epecro de m () cenrada em f 4 f,!, ma ranfere na ínegra à ua a aída o epecro ( jω) ue e eende de a f., Porano, apó o proceo de amoragem, o inal m () original pode der recuperado em diorção na aída de um filro paa-baixa com freüência de core f filro ideal, dede ue a freüência de amoragem f eja maior ou igual a, próximo do f. A Figura.a mora a banda de guarda ue é obida uando f > f. A banda de guarda empre é uilizada na práica porue elimina a neceidade do filro paa-baixa er ideal (i.e., o filro não neceia apreenar declividade infinia na freüência de core). Tipicamene, para um inal de voz f =.KHz, uando enão adoa-e f = 8. KHz. A banda de guarda reulane é de 8.. =. 4KHz. A Figura.b mora a uperpoição da réplica do epecro m () original, uperpoição ue ocorre uando f < f. Para ea iuação, não há forma de filragem ue coniga recuperar o inal original m () em diorção. Tal diorção é denominada de aliaing, (alia: peudônimo em inglê) porue o epecro original ofre inerferência de uma réplica dele memo com ouro nome, io é, ofre inerferência dele memo ó ue ranladado em freüência. 4

5 Figura.: (a) Banda de guarda reulane de reulane de f < f. f > f. (b) Superpoição de epecro A freüência de amoragem mínima f = f para ue não haja ocorrência de aliaing é ambém denominada de Freüência de Nyui. Um aumeno da razão de amoragem para além da Freüência de Nyui aumena a largura da banda de guarda e facilia o proceo de filragem para recuperação do inal m' () no recepor digial (Ver Figura.). No enano, um aumeno da freüência de amoragem aumena a banda paane neceária para a ranmião do inal amorado aravé do iema digial porue erá neceário ranmiir mai amora no memo inervalo de empo... Amoragem Naural A amoragem inanânea aravé de um rem de pulo S () de largura infinieimal d, via na Seção., é uma idealização eórica ue, embora inruiva e didáica, não correponde à implemenação práica de iema amoradore. Aé porue é uma impoibilidade conruir circuio de chaveameno com rapidez uficiene para emular uma chave ue feche e abra inananeamene. Um forma de amoragem mai próxima da implemenação práica é a denominada Amoragem Naural, morada na Figura.4. 5

6 Figura.4: Amoragem naural. (a) Forma de onda do inal em banda-bae m (). (b) Sinal amorador S (). (c) Sinal amorado S () m(). Na amoragem naural, o inal amorador S () é um rem de pulo de largura τ, ampliude uniária e período T (Figura.4b). Noe ue o inal amorado S () m() conie de uma eüência de pulo de ampliude variável (Figura.4c) e ue o opo de cada pulo não é plano (non-fla-op: opo-não-plano em inglê), eguindo a forma de onda do inal em banda-bae m () (Figura.4a). Aim como na amoragem inanânea, na amoragem naural o inal m' () no recepor digial (Ver Figura.) pode er reconruído exaamene aravé de um filro paa-baixa com freüência de core f dede ue o inal m () no ranmior digial enha ido amorado a uma razão f = T igual ou maior do ue a Freüência de Nyui, endo f a freüência mai ala do epecro de m () e T o inervalo de 6

7 amoragem. Para verificar a veracidade dea aerção, conideremo ue o inal S() (Figura.4b) é periódico de período T e, uando expandido em Série de Fourier, em a repreenação morada na Euação.4. onde S Para τ τ () + S = + C co π C co π +! T T T T f T = f C n nπτ en T = nπτ T = o inal amorado () m() τ τ T S é dado por () m() m() + [ m() C co ( π ( f ) ) + m( ) C co( π ( 4 f )) +!] = T Porano, o epecro do inal () m() (.4) (.5) (.6) S definido por (.6), é al ue, aim como na amoragem inanânea, um filro paa-baixa com freüência de core f enrega em ua aída S () o inal S τ T () = m() (.7) ue é o memo inal reulane da filragem do inal definido por (.), exceo ue d é ubiuído por τ. De (.7) oberva-e ue a ampliude de S () é proporcional à τ T. Porano para iema não-muliplexado no empo, não é raro maximizar τ T aé a unidade para ue. No enano, em iema muliplexado TD eja maximizado o nível do inal S () [Carlon][Taub] (TD: Time Diviion uliplex em inglê), a diferença T τ define o inervalo de empo diponível para a inerção do demai inai a erem muliplexado no empo conjunamene com m (). Porano, em iema TD exie um compromio enre o número de inai muliplexado e o nível do inal recuperado apó filragem paa-baixa no recepor... Amoragem Fla-op A amoragem naural decria na Seção.. raramene é uilizada na práica. Ao invé, pulo com opo plano (fla-op: opo plano em inglê) ão uualmene uilizado, conforme mora a Figura.5a. 7

8 Figura.5: Amoragem fla-op. (a) Sinal amorado por amoragem fla-op. (b) Rede linear cuja função H ( jω) é al ue ranforma o pulo x () de ampliude uniária e largura infinieimal d no pulo y () de ampliude uniária e largura τ. Nee ipo de amoragem o pulo em ampliude conane e definida pelo valor do inal m () em algum pono denro do inervalo do pulo. No enano, por conveniência, na Figura.5a o inane de amoragem coincide com o início do pulo. Na amoragem fla-op é impoível recuperar o inal m' () aravé de um filro paa-baixa no recepor digial em ue ocorra diorção. No enano, a amoragem fla-op em o mério de implificar a implemenação do circuio elerônico uilizado para execuar a operação de amoragem [Taub]. Para compreendermo o mecanimo gerador da diorção inerene à amoragem fla-op, eja o epecro do inal m (), dado por ( jω ) = I{ m( ) }, limiado em banda à freüência máxima f. O epecro do inal amorado fla-op ε ( jω) = I{ mε ( ) } é deerminado coniderando ue o pulo fla-op podem er gerado paando o inal inananeamene amorado da Figura.d aravé da rede da Figura.5b, a ual poui função de ranferência H ( jω). A função H ( jω) é al ue ranforma o pulo x () de 8

9 ampliude uniária e largura infinieimal d no pulo y () de ampliude uniária e largura τ. A função H ( jω) é deerminada aravé de { y() } { x() } I H ( jω) = (.8) I onde x () pode er repreenado por um impulo de inenidade d e I { y() } = τ τ e jω jω jω { x() } = d ( ) e d = d[ e ] = d δ (.9) I = jω e d = jω τ τ e = Aim, de (.8), (.9) e (.) τ jω e jω Porano, o epecro ( j ) { m ( ) } ε τ jω τ e = ( ωτ ) τ jω e τ jω τ jω ωτ τ en = ωτ (.) τ en H( j ω) = (.) d ωτ ε ω = I ε do inal amorado fla-op é dado por ( jω) = ( jω) H( jω) = ( jω ) ( ωτ ) τ en d ωτ (.) E na banda de freüência ue e eende de a f, coniderando o primeiro ermo de (.) e coniderando (.), podemo ecrever ε τ T ( jω) = ( jω) ( ωτ ) en ωτ, f f (.) Por implicidade, vamo aumir ue o epecro ( jω ) = I{ m( ) } do inal m() eja conane e igual a denro da faixa a f, conforme mora a Figura.6a. A Figura.6b mora o epecro do inal m () amorado inananeamene e a Figura.6c mora a magniude do faor en ( ωτ ) ωτ em (.) com faor de ecala τ. A Figura.6d mora a magniude do epecro do inal amorado fla-op ε ( jω) = I{ mε ( ) }. 9

10 Figura.6: Epecro reulane da amoragem fla-op. (a) Epecro ( j ) = I{ m( ) } inal m () conane e igual a ω do denro da faixa a f para efeio de implificação. (b) Epecro do inal m () amorado inananeamene. (c) agniude do faor en ( ωτ ) ωτ na Euação (.) com faor de ecala τ. (d) agniude do epecro ε ( jω) = I{ mε ( ) } do inal amorado fla-op.

11 Oberve ue a medida ue a largura τ do pulo fla-op diminui, o gráfico de τ en ωτ ωτ achaa devido ao primeiro nulo τ afaar-e de origem. Em ( ) coneüência, a medida ue τ diminui, o epecro ε ( jω) I{ mε ( ) } Figura.6d) orna-e cada vez mai emelhane ao epecro ( j ) = I{ m( ) } = (Euação (.) e ω na faixa f f. Porano, uano mai ereio o pulo fla-op menor a diorção do inal m' () recuperado no recepor e, adveramene, menor a ua ampliude τ T. Para compenar a diorção inroduzida pelo faor en ( ωτ ) ωτ em diminuir demaiadamene a ampliude τ T não raro ão uilizado filro compenadore ue aproximam a função [ ( ωτ ) ωτ ] en no domínio freüência... Amoragem Sample-and-Hold Quando o nível de ampliude do inal recuperado m' () é de imporância maior ue a diorção inroduzida pelo faor en ( ωτ ) ωτ, como aconece, por exemplo, uando a informação é enviada aravé de um canal de ranmião com baixa SNR, é comum fazer τ =, conforme mora a Figura.7. T Figura.7: Amoragem Sample-and-Hold. Porano, na banda de freüência ue e eende de a f, o epecro ε ( jω) = I{ mε ( ) } do inal reulane de amoragem Sample-and-Hold é dado por ε ( jω) = ( jω) ( ωτ ) en ωτ, f f (.4) A Figura.8a mora o epecro do inal m () amorado inananeamene e a Figura.8b mora a magniude do faor en ( ωτ ) ωτ em (.4) com faor de ecala τ. A Figura.8c mora a magniude do epecro ε ( jω) = I{ mε ( ) } do inal reulane da amoragem Sample-and-Hold.

12 Figura.8: Epecro reulane da amoragem Sample-and-Hold. (a) epecro do inal m () amorado inananeamene. (b) agniude do faor en ( ωτ ) ωτ na Euação (.4) com faor de ecala τ. (c) agniude do epecro ε ( jω) = I{ mε ( ) } do inal reulane da amoragem Sample-and-Hold. en ωτ ωτ é coniderável, Oberve ue a diorção inroduzida pelo faor ( ) problema ue é uualmene conornado pelo uo de compenadore [ ( ωτ ) ωτ ] Uma da poibilidade de implemenação de compenadore [ ( ωτ ) ωτ ] deerminar c () = I [ en( ωτ ) ωτ ] e execuar a convolução de c () com () recepor.. Quanização { } en. en é m' no A maior limiação de um iema de ranmião analógico ocorre na iuação em ue é neceário enviar informação aravé de longa diância. Uma vez ruído endo ido adicionado ao inal ao longo do canal de ranmião de um iema analógico é poível

13 minimizar eu efeio, ma nunca eliminar. Ea é a grande diferença enre um iema analógico e um iema digial. O inal recebido em um iema analógico é gradaivamene degradado a medida ue a SNR do canal cai. No enano, um iema digial apreena um limiar de SNR no canal acima do ual o inal é recebido em degradação percepível. Porano, repeidore colocado em pono ao longo do canal no uai a SNR enconre-e acima do limiar permie a comunicação enre pono remoo com excelene fidelidade. Ee efeio de limiar, caraceríico de iema digiai, é devido, em pare, ao efeio da uanização. A operação de uanização em o grande mério de, para um valor uficienemene alo de SNR, o ruído adiivo er oalmene eparado do inal. A Figura.9 mora graficamene a operação de uanização () Q{ m() } () n Q{ m() n } m =, ou m = e coniderarmo ue, ane de er uanizado, m () é amorado a inervalo T. Porano, é deneceária a indexação emporal explícia da variávei envolvida. Aume-e ue o inane de amoragem ocorre no início de cada inervalo T e ue m () varia enre o limie V L e V H. Figura.9: Operação de uanização m () = Q{ m() }, ou () n Q{ m() n } emporal. Oberve na Figura.9 ue a operação {} m = fora do conexo Q realizada é Q{} = min ( ) mk m k Θ, k =,,!,, Θ = { m m,, m } S ( V H VL ) (uanizer ep). A ualuer inane, o erro de uanização e () m() m () arg,,! com = 8. A uanidade = é denominada de pao de uanização ou pao do uanizador = é al ue m k

14 e S. Obviamene, uano maior, mai () menor erá e (). m aemelha-e a () m e, porano, Vamo coniderar agora a iuação em ue o inal uanizado m () é recebido por um repeidor ao longo do percuro da informação aé o deino, conforme mora a Figura.. Vamo upor ue o repeidor eja o mai imple poível, io é, o repeidor é compoo de um amplificador e de um uanizador. Figura.: Efeio regeneraivo em um repeidor imple, por coneüência do proceo de re-uanização. Oberve ue exie ruído uperpoo ao inal m () recebido. a, uponhamo ue o repeidor eeja em um pono ao longo do canal no ual a SNR eja al ue o nível de ruído uperpoo eja uae empre menor do ue S. Porano, o uanizador do repeidor, ao re-uanizar o inal m () recebido, remove o ruído a ele uperpoo, regenerando o inal m () original. Em raro inane, uando o nível de ruído ulrapaa o limiar S, um erro é reranmiido adiane. Oberve ambém ue uano maior o pao de uanização S maior erá a remoção de ruído uperpoo pelo proceo de uanização. No enano, uano maior for S maior erá o erro de uanização e () = m() m (). O erro de uanização pode er coniderado como um ruído uperpoo ao inal apó a uanização e é denominado de ruído de uanização. A média uadráica do ruído de uanização é uma medida da poência do ruído de uanização, ea úlima neceária ao cálculo da SNR de uanização. 4

15 .. Ruído de Quanização A poência do ruído gerado no proceo de uanização é dada pela média uadráica do erro de uanização. No domínio empo, a poência de ruído de uanização é dada por T = e T T T () e lim d. (.5) a (.5) não é de deerminação práica, principalmene porue não conhecemo analiicamene a função e () = m() m (). Io é, m () é aleaório poi depende da fone de informação (voz, imagem, dado, ec...), o ue ugere ue eja uilizada a média eaíica ao invé da média no empo para o cálculo da poência de ruído. Na realidade, o uo da média eaíica no lugar da média no empo baeia-e na upoição de ue o inal m () (e, em coneüência, e () ) eja um proceo aleaório Ergódico, i.e, um proceo em ue a média no empo é livremene inercambiável pela média eaíica [Taub]. Seja f ( m) a função denidade de probabilidade do inal m (). Seja f ( m)dm a probabilidade ue m () auma um valor denro da faixa m dm a m + dm. Enão a média do uadrado (= média uadráica) do erro de uanização é dada por m + S m S m + S ( m)( m m ) dm + f ( m)( m m ) dm + + f ( m)( m m ) e = f! dm. m S m + S m S (.6) Obviamene a função denidade de probabilidade f ( m) não é conane ao longo do inervalo de valore VL m VH poívei a m (). No enano, para uma grande número de nívei de uanização, o pao de uanização S = ( V H VL ) é peueno comparado com a faixa de excurão VH VL de m (). Nea iuação, é razoável upor ue f ( m) eja aproximadamene conane denro da faixa m S a m + S. Enão, podemo ubiuir f m f ( m) no primeiro ermo de (.6) pela conane c, aim como podemo ubiuir ( ) no egundo ermo de (.6) pela conane c, e aim por diane, de modo ue m + S m S m + S ( m m ) dm + c ( m m ) dm + + c ( m m ) m S + S e = c! dm, m m S m + S m + S ( m m ) ( m m ) ( m m ) + m S e = c + c +! + c, m S m S m S (.7) (.8) 5

16 e = c + c! + c ( m + S m ) ( m S m ) ( m + S m ) ( m S m ) ( m + S m ) ( m S m ) + + S S S e = c + c +! + c,, (.9) (.) S S ( ) e = cs + cs +! + c S = ck S. k= (.) a c k é o valor da função denidade probabilidade de m () denro da faixa m k S a m k + S, k =,,!,. Porano c k S é o valor da probabilidade do valor de m () ocorrer denro da faixa m k S a m k + S. Como a probabilidade de ue o valor de m () ocorra denro da faixa VL m VH é., enão c =. e (.) reula em S e =. S k k= (.) A Euação (.) define a poência do ruído adiivo gerado pelo proceo de uanização. Para calcularmo a SNR de uanização, conideremo, por implicidade, ue a função denidade de probabilidade f ( m) do inal m () eja conane ao longo do inervalo VL m VH e ue VH = VL = V. Logo, f ( m) = V. Para ualuer uanizador práico, a poência do inal uanizado meno a poência do ruído de uanização é aproximadamene igual à do inal m (). Porano, a poência de inal (em ruído) apó o proceo de uanização pode er dada pela poência m () do inal m() aravé de m V () = m () V V V dm = (.) ma, e o número de nívei de uanização é, enão S = V e cada nível de uanização pode er repreenado por número de = log bi. Logo de (.) emo N ( ) S m () = e de (.) e (.4) podemo ober a SNR de uanização dada por (.4) 6

17 SNR Q = e () N N ( ) m = = = (.5). Codificação N SNR Q =log = 6N [db] (.6) Nea eapa do Codificador de Fone, o inal m () (ou m () n ) reulane do proceo de amoragem eguido do proceo de uanização é ranformado em uma eüência numérica em bae binária. Cada amora m () n Θ é mapeada em uma eüência (ou bloco) de N = log dígio binário (ou bi), conforme mora a Figura. para = 8, endo Θ = { m, m,!, m } o conjuno de poívei valore de () n ou nívei de uanização. m Figura.: Proceo de codificação do inal m () em uma eüência numérica em bae binária. Tal proceo é muia veze referido como modulação (ou codificação) PC (PC: pule code modulaion) [Taub]. Uma poível implemenação em hardware do mapeameno morado na Figura. é o converor A/D (A/D: analog o digial) morado na Figura.. O inal m () é aplicado na enrada V i e a aída reulane do mapeameno ão o inai b b b. O inai 7

18 b4 e b não ão uilizado porue ão neceário omene N = log = bi para repreenar = 8 nívei de uanização. O amplificadore operacionai U e U ão alimenado por fone imérica de ± Vcc vol. A enão de alimenação do comparador U, flip-flop e pora AND é aimérica e de + Vcc vol. O flip-flop ão do ipo T (oggle) e rocam o eado lógico da aída Q na borda de decida da enrada T. Cada inal de aída i {,+Vcc}. b pode aumir o valore lógico { }, de acordo com o nívei de enão Figura.: Poível implemenação do mapeameno morado na Figura. aravé de um converor A/D. Da Figura. emo ue onde i = Vcc b R + b R / 6 R + b R / 8 R R + b + b R / 4 R / Vx 4 V x = Vcc[ 6b4 + 8b + 4b + b + b ] b pode aumir o valore lógico { } de modo ue ma, por implicidade, e adoarmo V = R y, em (.7) e (.8). Ainda, ( f R i ) V x ( R R )[ 6b + 8b + 4b + b b ] V + R R (.7) (.8) (.9) y = Vcc f i 4 (.) R f e R al ue Vcc ( ) = i R f R i, enão 8

19 4 y = b4 + b + b + b b. (.) V + Porano, (.) dá um valor decimal de enão correpondene ao valor binário b4 b b b b. O funcionameno do A/D pode er decrio aravé de um exemplo. Suponhamo ue m () = V i = Vol. Inicialmene odo o flip-flop eão reeado, e porano oda a aída eão no eado lógico. Logo, de (.), V y =. Como V i > Vy o comparador U gera V c = + Vcc e porano V =Vclock(), o ue faz o flip-flop incremenarem a conagem dede b =, b =, b =, b = e b = aé b =, b =, b =, b = e 4 b =. Quando ea conagem é aingida, V y = (Euação.) o ue faz V i = Vy, V c = e V =, parando o incremenar da conagem do flip-flop. O valor decimal correpondene à aída digial b 4 =, b =, b =, b = e b = é V, ue é preciamene a enão de enrada m () = V i = Vol. Obviamene a conagem deve er uficienemene rápida para o pior cao, io é, auele em ue o flip-flop devam conar denro do inervalo de amoragem T aé o número binário repreenaivo do maior nível de uanização. Em oura palavra, < T. Para reconrução do inal m' () a parir da eüência binária recebida no recepor, o Decodificador de Fone implemena o dual do converor A/D, denominado converor D/A (D/A: digial o analog). Uma poível implemenação de um converor D/A é morado na Figura.. 4 Figura.: Poível implemenação do mapeameno invero da Figura. aravé de um converor D/A. 9

20 O converor D/A da Figura. uiliza flip-flop do ipo S/R. Um flip-flop S/R leva a aída Q ao eado lógico uando a enrada S eá no eado lógico, e leva a aída Q ao eado lógico uando a enrada R eá no eado lógico. Se amba a enrada eão no eado lógico, a aída Q não é alerada. Aravé de raciocínio emelhane ao empregado para decrição do A/D, a aída V é dada por ou fazendo ( ) = ( R R )[ 6b + 8b + 4b + b ] V = Vcc f i 4 + b (.) Vcc R f R i, 4 V = b4 + b + b + b + b. (.) Porano, a aída V definida por (.) dá um valor decimal de enão correpondene ao valor binário b4 b b b b de enrada. Oberve, de (.6), ue um converor A/D de 8 bi apreena enuano ue um converor A/D de 6 bi apreena SNR Q = 96 db. SNR Q = 48 db O proceo de codificação do inal m () em uma eüência numérica em bae binária muia veze é referido como modulação (ou codificação) PC (PC: pule code modulaion) [Taub]..4 Compreão No proceo de compreão, cada uma da poívei eüência de N = log bi reulane da codificação PC, repreenaiva de cada um do poívei valore de m () n Θ, êm o eu número de bi N reduzido para um valor menor como decorrência da eliminação da informação redundane em m () n Θ, aravé de um código para compreão de dado. O código para compreão de dado conidera cada uma da eüência reulane da codificação PC como uma menagem de N bi e aocia a cada uma dela uma palavra-código cujo número de bi depende da probabilidade de ocorrência da menagem. Palavra-código com meno bi ão aribuída a menagen com maior probabilidade de ocorrência, e palavra-código com mai bi ão aribuída a menagen com menor probabilidade de ocorrência. Ee criério é crucial para a eficiência da compreão. Um código ue egue ee criério faz com ue menagen ue ocorrem freüenemene neceiem de meno bi para erem ranmiida e, porano, o efeio global é o de permiir ue mai informação poa er ranmiida no memo inervalo de empo. A probabilidade de ocorrência de cada menagem depende da eaíica da fone do inal m () : vídeo, voz, ec. Na práica, para deerminação da probabilidade de ocorrência de cada menagem, aplica-e na enrada do iema digial um número uficiene de clae de inai repreenaivo da fone do inal m (). Simulaneamene, regira-e a menagen reulane na aída do uanizador em geral um número n m baane grande de menagen é neceário. Apó o proceo de regiro, cona-e o número de cada ipo de

21 menagem ocorrida, denre o ipo poívei, e divide-e a conagem de cada ipo por n m. O conjuno de valore obido, cuja oma forçoamene ende para., é uma boa aproximação da probabilidade de ocorrência de cada uma da poívei menagen. Código para compreão com bae no princípio probabilid ade bi ão denominado de proceo para Codificação por Enropia [Proaki], endo enropia um conceio a er eudado adiane nee exo. O veerano Código ore, uilizado para enviar informação por elegrafia dede a I Guerra undial, é um exemplo hiórico dea clae de código. Cada lera do alfabeo A Z é uma menagem do Código ore. O conjuno de caracere uilizado para compor a palavra-código do Código ore é o conjuno {" ", " "}. A cada menagem é aribuído uma eüência de pono e/ou raço repreenado em elegrafia por on audívei curo e/ou longo. O mapeameno menagem palavra código do Código ore é al ue lera mai provávei na ecria inglea ão aociada a palavra-código cura e lera meno provávei ão aociada a palavra-código longa. A lera E, por exemplo, é a lera mai freüene na ecria em inglê e é repreenada por um único " ". No conexo de Codificação por Enropia, o denominado Código de Huffman, a er eudado adiane nee exo, é uae ue univeralmene uilizado. A compreão por codificação de Huffman é óima no enido de ue o número médio de bi reuerido por palavra-código na aída do compreor para repreenar o nívei de uanização codificado em menagen de N = log bi é reduzido ao mínimo poível em ue caue degradação. Nea eção dicuiremo brevemene o algorimo de compreão denominado µ-law e A-Law, baicamene uilizado em iema digiai para ranmião de voz humana, como em elefonia celular, por exemplo. O algorimo µ-law e A-Law não ão óimo como o Código de Huffman o é, no enano, êm o mério de o cuo compuacional de ua operação er menor ue o cuo compuacional de um compreor com bae no Código de Huffman, além de aenderem o reuiio pico-acúico envolvido na ranmião de inai de voz.. O algorimo µ-law é uilizado na América enuano ue o algorimo A-Law é uilizado na Europa. A ampliude do inal de voz humana em uma diribuição eaíica caracerizada por menore ampliude erem ala probabilidade de ocorrência, enuano ue maiore ampliude raramene ocorrem. Porano, ob o pono de via do princípio de compreão probabilid ade bi, meno bi devem er aribuído a amora correpondene a menore ampliude. Por ouro lado, eudo indicam ue o proceo de audição humano é um proceo pico-acúico ue apreena enibilidade logarímica, no ual on de baixa ampliude ranporam mai informação ao cérebro do ue on de ala ampliude. Sob ee pono de via, mai bi devem er aribuído a amora correpondene a menore ampliude. Porano, a codificação PC com um número N fixo de bi por amora (menagem) é ineficiene ano ob o pono de via pico-acúico como ob o pono de via de compreão ( probabilid ade bi ). Euivalenemene, pode er dio ue a caua da ineficiência é a uanização com pao S uniformemene igual ao longo da faixa

22 de excurão VH VL de m (), denominada uanização uniforme. Ou eja, a uanização uniforme reula em uma ualidade exceivamene ala para inai de ampliude ala, raro de ocorrer, e reula em pronunciada diorção por runcameno para inai de baixa ampliude, mai freüene, e com maior coneúdo de informação ob o pono de via pico-acúico. Ou ainda, a uanização uniforme reula em menagen com mai bi do ue o neceário para inai de ala ampliude e em menagen com meno bi do ue o neceário para inai de baixa ampliude. Uma poível olução para o compromio enre eficiência de compreão e enibilidade pico-acúica é uilizar um proceo de uanização não-uniforme no ual o pao de uanização S aumena à medida ue aumena o nível de uanização. O reulado global obido em comparação com a uanização uniforme é um menor número de bi do ue eria neceário para repreenar inai de baixa ampliude em diorção por runcameno e um menor número de bi do ue eria neceário para repreenar larga excurõe do inal m () em aurar o uanizador (maior faixa dinâmica). Uma da maneira de e ober uanização não-uniforme é maner o uanizador uniforme ma previamene ubmeer o inal m () à ranformação logarímica denominada µ-law, definida por y = gn () x ln ( + µ x ) ln ( + µ ) (.4) onde x é o inal m () normalizado para o inervalo [, ], y repreena o inal m() ranformado e µ = 55. No Decodificador de Fone do recepor o inal m' () é ubmeido à ranformação invera + µ x = gn. ( ) [ ] y µ y (.5) por Oura forma de uanização não-uniforme é aravé da denominada A-Law, definida gn y = gn () x () x com A = 87. 6, cuja operação invera é A x, + lna + ln ( A x ) + lna x A, A x (.6) + lna ( ) gn y y, A x = exp gn( y) ( y ( + ln A) ) A( + lna) + lna y A + lna, x A A Figura.4 compara a curva de compreão para o algorimo µ-law e A-Law. (.7)

23 Figura.4: Curva de compreão reulane do algorimo µ-law e A-Law. O proceo de compreão pelo algorimo µ-law e A-Law raramene é aplicado ao inal m () ou ao inal m (). Ao invé dio, a compreão é feia digialmene em cada uma da eüência de N bi reulane da codificação PC. Por exemplo, no cao do algorimo µ-law, uualmene N =. O algorimo µ-law conidera cada uma da eüência reulane da codificação PC como uma menagem de bi e aocia a cada uma dela uma palavra-código de 8 bi de acordo com uma abela de mapeameno de bi. O dealhe de implemenação do algorimo µ-law e A-Law e repeciva abela de mapeameno de bi podem er enconrado no arigo A-Law and µ-law Companding Implemenaion Uing he TSC54x, Applicaion Noe SPRA6A, Texa Inrumen, December 997. TSC6 µ-law and A-Law Companding wih Sofware or he cbsp, Applicaion Repor SPRA64, Texa Inrumen, April. diponívei para download em hp://

24 .5 PC Diferencial (DPC) Quando um inal de áudio ou vídeo é amorado a uma razão ligeiramene maior ue a Freüência de Nyui, o inal amorado reulane paa a exibir uma ala correlação enre amora adjacene. O ignificado dea ala correlação é ue, na média, o inal não varia rapidamene de uma amora para a oura. Quando ea amora alamene correlacionada ão codificada em um codificador PC padrão, conforme o vio na Seção., a menagen ou eüência de bi reulane apreenarão informação redundane. Io ignifica ue menagen ue não ão aboluamene eenciai à ranmião de informação ão gerada como reulado do proceo de codificação. Removendo ea redundância ane da codificação pelo converor A/D reula um aumeno da eficiência do inal codificado em ranporar informação. Se nó conhecemo uma parcela uficiene de um inal redundane nó podemo inferir o reo do inal, ou pelo meno enar fazer a eimaiva mai provável. Em paricular, e nó conhecemo o comporameno paado de um inal aé um deerminado pono no empo enão é poível fazer alguma inferência obre eu valore fuuro. Tal proceo de inferência é conhecido como predição. Embora exiam inúmero méodo de predição, no conexo de codificação DPC no limiaremo à denominada Predição Linear. Na Predição Linear uma amora fuura é obida como uma combinação linear de um conjuno de amora paada. Suponhamo, enão, ue um inal em banda-bae m () é amorado a uma razão f = T > f Nyui produzindo uma eüência de amora correlacionada m( nt ) epaçada no empo de um inervalo T. Como o inervalo de amoragem T é definido e m erá repreenada por m () n. conane, para efeio de implificação, a eüência ( ) nt Nea repreenação n é inerpreado como o inane = nt no ual o valor do inal m() é levado à aída do proceo de amoragem. O fao de ue é poível predizer valore fuuro de m () n provê moivação para a implemenação do euema de uanização diferencial morado na Figura.5. 4

25 Figura.5: Siema DPC. (a) Codificador (no ranmior digial) (b) Decodificador (no recepor digial). No iema DPC a enrada do uanizador Q {} é o inal de erro e( n) = m( n) mˆ ( n) (.8) o ual é a diferença enre o inal de amorado enrada m () n e a predição mˆ () n do memo. O inal mˆ () n é o reulado do proceo de predição linear aplicado obre um conjuno de amora paada do inal m () n, ee úlimo endo uma verão uanizada do inal m () n. O inal de erro e(n) é denominado de erro de predição vio ue eu valor repreena a incapacidade do Predior Linear em prever m () n com exaidão. Ao aplicarmo a aída do uanizador () n Q{ e() n } e = ao converor A/D obemo a eüência y (n) de bi DPC ou menagen codificada em DPC. A aída do uanizador pode er decompoa em e () n Q{ e() n } = e( n) (n) = + e (.9) onde e () n repreena o ruído ou erro de uanização vio na Seção... Oberve na Figura.5a ue a aída do uanizador () n Q{ e() n } e =, io é, o erro de predição uanizado, é adicionado ao valor predio mˆ () n para formar o inal de enrada m () n do Predior Linear: m () n m() n e () n = ˆ + (.4) 5

26 A inerpreação de m () n em (.4) é a eguine: De (.8) emo ue m ( n) = mˆ ( n) + e( n). Logo, e, ao invé de e (n), acrecenarmo à predição mˆ () n a verão uanizada de e (n), i.e., e () n = Q{ e() n }, enão o reulado erá a verão uanizada m () n do inal original m () n. Subiuindo (.9) em (.4), emo m () n mˆ () n + e() n ( n) = + e (.4) ma de (.8) emo ue mˆ ( n) = m( n) e( n). Daí, de (.4) emo m () n m() n (n) = + e (.4) ue repreena a verão uanizada m () n do inal original m () n aravé da decompoição do inal uanizado m () n em inal original m () n e ruído de uanização e () n. A Euação (.4) pode er inerpreada da eguine maneira: Não imporando a capacidade de predição do Predior Linear, o inal uanizado m () n, na enrada do Predior Linear, difere do inal original m () n apena do valor do ruído ou erro de uanização e () n. A vanagem do iema DPC obre o iema PC fica evidenciada aravé do eguine raciocínio: Seja Q {} um uanizador com nívei de uanização e pao de uanização S = ( V H VL ), endo VH VL a faixa dinâmica do inal em ua enrada. No cao do iema DPC, e o Predior Linear prevê m () n com exaidão, enão a faixa dinâmica VH VL do inal e (n) na enrada de Q {} erá muio menor do ue a faixa dinâmica do inal m () n na enrada de Q {} para o cao do iema PC. Porano, para um memo, S = ( V V ) erá menor para o iema DPC do ue para o iema H L S PC, o ue implica ue a poência do erro de uanização = e, dada por (.), é menor no iema DPC do ue no iema PC. A Figura.5b mora o decodificador DPC, localizado no decodificador de fone no recepor digial. Noe na Figura.5a ue, no ranmior digial, a oma da predição m ˆ ( n) com a verão uanizada e () n = Q{ e() n } do erro de predição e (n) reula no inal uanizado m () n = mˆ () n + e () n. O D/A na Figura.5b gera em ua aída o inal e ~ () n, ue é uma aproximação do inal e () n no ranmior, aproximação reulane da evenual degradação de e () n pela ranmião aravé do canal. a, uano ao proceo de predição, o fluxo de inal no recepor (Figura.5b) é o memo do ranmior (Figura.5a ), de modo ue m~ () n = m ~ˆ () n + e~ () n. De fao, e o canal de ranmião não m~ n m n. inroduzir nenhuma degradação no inal ranmiido, enão () () 6

27 .5. Predição Linear A Predição Linear conidera o problema de predição da amora u ( i +), ubeüene a um conjuno conhecido de amora conecuiva prévia { u() i, u( i ),!} perencene a uma érie emporal dicrea U () i, problema ee conhecido como predição a um pao. No conexo de codificação DPC, û ( i +) repreena a eimaiva mˆ () n da predição do inal amorado original m () n no inane n, e { u () i, u( i ),!} repreena o conjuno de amora paada de m () n na enrada Predior Linear, io é, {,!} { u () i, u( i ),!} = m ( n ), m ( n ). Tendo ido feia a aociação enre codificação DPC e Predição Linear, para maner a nomenclaura e elemeno decriivo próprio da área de predição, doravane nea eção paaremo a raar do problema de predição linear de maneira devinculada do conexo de codificação DPC. Apena uando neceário, eabeleceremo um paralelo enre a dua área. Em predição linear, a eimaiva da amora predia, u ˆ ( n +), é exprea como uma combinação linear de (não confundir com o número de nívei de uanização!) amora prévia { u () n, u( n ),!, u( n + ) }. O coeficiene W k, k =,,!, ue ponderam al combinação linear definem um filro FIR [Srum] ranveral. A Figura.6 dealha um predior FIR de ordem, o ual é morado no inane n nauela figura [Haykin]. Porano, como o inane é definido, viando ornar compaca a euaçõe no deenvolvimeno ue egue, não erá expliciado o indexador n para a variávei envolvida, a meno ue n não eja ineuivocamene definido pelo conexo. Um predior linear de ordem uiliza amora prévia conhecida da érie emporal para eimar u ( n +), no enano, neceia do conhecimeno de oda a amora ue compõem a érie para emular a mariz de correlação aociada. A função de cuo J mede o erro médio uadráico enre a eimaiva da predição y () n = uˆ ( n +) e o valor efeivamene obido para a amora em ueão, u ( n +). O veor W ue define o filro FIR em eu coeficiene deerminado de forma a minimizar a função de cuo J. Conforme pode er obervado na Figura.6, a amora predia ˆ ( n +) u é dada por uˆ + T ( n ) = y( n) = W u( n k) W u k= k = (.4) 7

28 Figura.6: Filro Linear Tranveral uilizado como predior de u ( n +) com ordem de predição = 8. E {} é o operador ue reula no valor eperado do argumeno [Taub]. Da Figura.6, o erro de predição e(n) pode er expreo por e () n d() n y() n = (.44) O operador gradiene é aplicado com o inuio de ober o valore para o peo W i do filro ranveral ue minimizem a função de cuo J, reolvendo-e a euação J =. Aim, omando a derivada parcial da função de cuo J com relação a cada peo W i, J i J = W i = W i E e y { e } = E e = E e ( d y) = E e ; W i W i =,,!, E, coniderando o gradiene a parir do inane n, eremo i W i (.45) J i () n = E e() n () n y W i = E e W i k = () n W u( n k) = E{ e( n) u( n i) } k (.46) Como a função de cuo J é uma função uadráica, J erá globalmene mínimo para J =. Aim, a parir da Euação (.46) podemo ecrever ue () n = E{ e()( n u n i) } = i J (.47) Subiuindo a Euaçõe (.4) e (.44) na Euação (.47), oberemo 8

29 E d () n W u( n k) u( n i) = k= Diribuindo o produo e rearranjando a Euação (.48), k (.48) k= W E k { u( n k) u( n i) } = E{ d( n) u( n i) } Oberva-e no lado euerdo da igualdade exprea na Euação (.49), ue { u( n k) u( n i) } = R ( k i) (.49) E uu (.5) onde R uu é a função de auo-correlação do proceo aleaório u (=proceo eocáico) para um arao k i enre a amora, com k, i =,,!, [Taub]. Da mema forma, obervando o lado direio da igualdade exprea na Euação (.49), onde { d()( n u n i) } = R ( i) E (.5) du R du é a função de correlação cruzada enre o proceo aleaório ue decreve a aída d = u n + e o proceo u. deejada ( ) Coniderando a Euaçõe (.5) e (.5), a Euação (.49) pode er reecria como k= W R ( k i) = R ( i) ; i =,,, - k uu du! (.5) Para ecrever a Euação (.5) ob a forma maricial, conideremo ue eja u n = u n u n! u n +, al ue () [ () ( ) ( )] T io é R = E E T { u() n u () n } R = E (.5) E{ u()() n u n } E{ u( n) u( n ) }! E{ u( n) u( n + ) } { u( n ) u( n) } E{ u( n ) u( n ) }! " " " { u( n + ) u( n) } E{ u( n + ) u( n ) }! E{ u( n + ) u( n + ) } # " (.54) ou Ruu Ruu R = " Ruu () Ruu ()! Ruu ( ) () R ( )! " ( ) R ( )! R ( ) uu uu " # uu " (.55) 9

30 Para melhor ilurar a Euaçõe (.5), (.54) e (.55), conideremo um exemplo. u n = u n u n u n e R erá dado por Para o cao em ue =, eremo () [ () ( ) ( )] T u() n ( n ) ( n ) T [ () n u ()]= R = E u n (.56) = E u n u R = R R a, como R () x R ( x) uu uu uu uu uu [ u() n u( n ) u( )] = () Ruu ( ) Ruu ( ) () Ruu ( ) Ruu ( ) () () () Ruu Ruu =, R poderá, por fim, er expreo como R R = R R Seja, agora, o veor P definido por = uu uu uu () Ruu () Ruu () () Ruu ( ) Ruu () () () () Ruu Ruu { d()() n u }= (.57) P = E n (.58) T [ E{ d()() n u n } E{ d( n) u( n )}! E{ d( n) u( n + ) }] = [ P() P( )! P( )] T = e eja ambém o veor de peo dado por [ W W ] T W W =! (.59) Aim, parindo da Euaçõe (.5), (.5), (.55), (.58) e (.59), eremo R W = P (.6) A Euação (.6) é denominada Euação de Wiener-Hopf [Haykin]. A olução de (.6) para W define o coeficiene do filro linear ranveral morado na Figura.6. O filro prediz com o mínimo erro uadráico médio a amora u ( n +) de uma érie emporal ue apreena correlação enre a prévia amora. Se a mariz de correlação R da érie emporal é não-ingular para definido, enão W pode er obido por W = R P (.6)

31 endo P o veor ue define a correlação cruzada enre o veor u () n de enrada e a aída d n = u n +. deejada () ( ) É imporane obervar ue, para uma dada érie emporal com N amora oai, apreenando correlação enre amora conecuiva prévia ao inane a er predio, a precião com ue R e P repreenam a correlaçõe envolvida erá ano maior uano maior for N com relação a. Io ocorre porue, na práica, não e conhece o proceo aleaório ubjacene ue deermina a érie emporal em ueão. Porano, não ão conhecida a funçõe correlaçõe ue ão realmene envolvida no proceo. Aim, o operador E {} na Euaçõe (.5) e (.58) é ubiuído pela média do veore de componene envolvido no cômpuo de R e P, média ea realizada obre o inervalo de N amora oai conhecida da érie emporal. Dea maneira, a predição linear ó em enido uando o proceo aleaório ubjacene é eacionário [Taub], poi, em cao conrário, R e P não ão univocamene definida, memo para N uficienemene grande. Ou eja, e a érie emporal reula de um proceo aleaório não-eacionário, R e P variam ao longo da érie, invalidando a Euação (.6) para a obenção do veor de peo W. A olução alguma veze adoada é aumir ue a érie emporal é eacionária em inervalo e adapar R e P para cada inervalo. No enano, o número de amora em cada inervalo nem empre é uficiene para exprear com fidelidade a operação E {}. Ea é a razão do uo cada vez mai dieminado de écnica de predição não-linear, a uai, embora apreenem cuo compuacional maior, conornam a neceidade de um número grande de amora conhecida, uficiene para ue o operador E {} eja aproximado com fidelidade pela média emporal. Objeivando reduzir a complexidade compuacional envolvida no cômpuo da Euação (.6), como R reula em uma mariz Töepliz [Ganmacher], a ua inverão é, em geral, realizada pelo méodo de Durbin-Levinon [Haykin], muio embora a peudo-inverão de oore-penroe via Decompoição em Valore Singulare [Haykin][Pre] eja freüenemene uilizada para conornar o problema reulane de uma mariz R uae ingular. No conexo de codificação DPC, uiliza-e para conruir R e P um conjuno uficienemene grande formado pela amora paada mai recene de m () n de forma ue R e P ão reavaliado a cada nova predição ou a cada N p prediçõe. A cada nova reavaliação de R e P o coeficiene do filro W ão obido por W = R P e ão enviado ao filro do recepor aravé do canal de ranmião [Proaki]. Uma alernaiva para eviar a ocupação de pare da banda-paane do canal com a ranmião do coeficiene do filro é o predior do recepor calcular W a parir do inal recebido. No enano, como ocorre degradação de inal no canal, nem empre o inal recebido erá uma réplica fiel do inal ranmiido e o predior do recepor poderá acabar predizendo ruído e inerferência.

32 Io deeriorará a performance do decodificador DPC, a meno ue o código correore de erro do Decodificador de Canal compenem a degradação. Noe ainda ue, a parir da inicialização de um iema DPC, devido à aída do predior er realimenada para ua enrada, ano o predior do ranmior como o do recepor neceiam de um razoável número de amora aé ue conigam reduzir o erro de predição a nívei aceiávei..5. Criério de Avaliação do Erro de Predição Adoaremo como criério para avaliação da ualidade de um predior linear o criério ugerido por Gerhenfeld e Weigend em [Weigend]. Ee criério de avaliação é coniderado referência pela comunidade de peuiadore da área de predição. A ualidade da predição erá exprea em ermo da razão enre a oma de erro uadráico morada em (.6). ( obervação ) predição ( obervação obervação ) (.6) Em (.6) o denominador exprea o erro médio uadráico (SE) de predição obido para a chamada predição pela úlima amora., ue, como veremo, é o predior uilizado na odulação Dela. Tal méodo de predição conidera ue a melhor predição poível para a próxima amora conie implemene em repeir o valor efeivamene obervado para a amora aual. O valor obido por al criério para o SE é omado como normalizador para o SE reulane da diferença enre o valore efeivamene obido, apó a obervação da amora em ueão, e o repecivo valore obido pelo predior ue eá endo avaliado. Uma razão inferior a. correponde a uma predição melhor do ue auela obida pela imple repeição do valor efeivamene obervado para a amora anerior àuela a er predia limiar ue ualifica um predior ue preenda er úil. O erro obido aravé do procedimeno expreo em (.6) é chamado Erro édio Quadráico Normalizado (Normalized ean Suared Error) e é referido na lieraura por NSE. Expreando (.6) em forma de euação, eremo n n (.6) ( o() i p() i ) ( u( i + ) uˆ ( i + ) i= i= NSE() n = = n n o i o i u i + u i i= ( () ( ) ( ( ) ()) onde o () i e p () i ão repecivamene a obervação (o valor efeivamene obervado) e a predição no inane i. Para uma dada érie emporal U com N amora oai o erro ao final do proceo de predição de U é dado por NSE( N ), onde N é o índice do úlimo elemeno da érie. i=

33 .5. Exemplo Predição de ancha Solare Nea eção apreena-e o reulado obido para a predição linear da érie Sunpo, com N = 8 amora oai. Cada um do 8 pono ue coniuem ea érie correponde ao número normalizado da ocorrência anual de mancha olare, no período de 7 a 979. Ea érie, morada na Tabela., é cláica no conexo de predição, endo ido hioricamene uma da primeira érie emporai eudada. Ela erve ao noo eudo vio ue apreena um nível de correlação emelhane ao obido por amoragem com f > f, uada em codificação DPC. Nyui Tabela.: Série emporal Sunpo. Ano Número Normalizado da Ocorrência Anual de ancha Solare. Downloaded de fp://fp.anafe.edu/pub/time-serie/daa/unpo

34 A predição eimada ˆ ( n +) u é, nee cao, exprea como uma combinação linear de 4 amora prévia, euivalendo a dizer ue a ordem da predição linear adoada é = 4. O valore para o coeficiene ue ponderam al combinação linear foram obido aravé de (.6) e ão W =.578, W =.44764, W =.8694 e W =.7569, de al forma ue a Euação (.4) reula em: uˆ ( n + ) =.578 u( n) u( n ).8694 u( n ) u( n ) O valor obido para o Erro édio Quadráico Normalizado final NSE( N ) =.68, conforme Euação (.6). É imporane alienar ue, apear de a ordem de predição er = 4, a predição linear aui efeuada neceia do conhecimeno prévio de odo o N = 8 elemeno da érie emporal para monar a mariz de correlação R, exprea por (.55), na enaiva de aproximar o operador E {} pela média emporal obida a parir do elemeno conhecido. A Figura.7 apreena a repreenaçõe gráfica da érie Sunpo, obervada e predia. é Figura.7: Série Sunpo Predição Linear = 4, NSE( N ) =.68. 4

35 A Tabela. lia o crip LinPred.m, para alab 5., uilizado nee exemplo. Tabela.: Scrip LinPred.m, para alab 5., o ual implemena um predior linear de ordem. O argumeno de linha de comando ão: TimeSerieInFile Aruivo de enrada numérico-acii conendo o valore da érie emporal a er predia Pred&ObOuFile Aruivo de aída numérico-acii conendo na coluna da euerda o valore predio e na coluna da direia o valore obervado. ARCoefOuFile Aruivo de aída numérico-acii conendo o coeficiene do veor W. ARodelOrder Ordem de predição (ordem do modelo auo-regreivo). % One ep ahead linear predicor for calar ime erie % Ue Durbin-Levinon algorihm o olve Wiener-Hopf (=Yule-Walker) % euaion % % USE: LinPred TimeSerieInFile Pred&ObOuFile ARCoefOuFile ARodelOrder % % By Criina & Fernando De Caro November funcion LinPred(TimeSerieInFile, PredObOuFile, ARCoefOuFile, ARodelOrder) if nargin!= 4 dip('linpred: TimeSerieInFile Pred&ObOuFile ARCoefOuFile ARodelOrder'); reurn end n=eval(arodelorder); % read ime erie ino S InFp=fopen(TimeSerieInFile,'r'); S=fcanf(InFp,'%f'); fcloe(infp); % predic S ino P [a,g]=lpc(s,n); h=polyh(a,[],[]); P=predic(S,h,); LenS=lengh(S); LenP=lengh(P); NSmpl=min(LenS,LenP); % plo k=:nsmpl; plo(k,s,'b',k,p,'r'); % oupu Pred & Ob OuFp=fopen(PredObOuFile,'w'); fprinf(oufp,'%8.6g\%8.6g\n',[p';s']); fcloe(oufp); ErrEn=; PredEn=; % NSE calculaion for k=:nsmpl ErrEn=ErrEn+(S(k)-P(k))^; PredEn=PredEn+(S(k)-S(k-))^; 5